Curiosidades

1. El signo de la división $\large { \div } $ se llama «óbelo». Recordemos que para la división se pueden utiliar además la fracción, los dos puntos «:» o la barra diagonal «/». $$ \Large { \dfrac{\ a \ }{b} = a:b = a/b = a \div b } $$
   
   
   
2. La división en «caja», que no es caja sino galera entrada 8 del diccionario de la «RAE».
   
   
   
   
   
   
3. Elementos de la resta:
   $$ \begin{array}{rcl} \quad \ \ \ a & \longrightarrow & \text{ minuendo } \cr & & \cr \quad - \ \ b & \longrightarrow & \text{ sustraendo } \cr \hline \cr \quad \ \ \ c & \longrightarrow & \text{ resta o diferencia } \cr \end{array} \qquad \qquad \begin{array}{rcl} \quad \ \ \ 342 & \longrightarrow & \text{ minuendo } \cr & & \cr \quad - \ \ 145 & \longrightarrow & \text{ sustraendo } \cr \hline \cr \quad \ \ \ 197 & \longrightarrow & \text{ resta o diferencia } \cr \end{array} $$
   
   
4. Del «Centro virtual Cervantes»:
   
   Se dice que cierto fraile mendicante entró en una huevería para comprar una docena de huevos. Pero como eran para distintas personas, le dijo así a la huevera:
   
   —Como son para distintas personas, póngamelos separados de la siguiente manera: media docena, para el padre prior; un tercio de docena, para el padre guardián, y para mí que soy más pobre, un cuarto de docena.
   
   Es decir, que separó la mitad de doce, o sea, seis huevos; después un tercio de doce, cuatro huevos; y finalmente un cuarto de doce, tres huevos. En total sumaban, como se puede ver, trece huevos: 6 + 4 + 3 = 13.
   
   
   
   
5. Billón español y billón americano
   
   Hay dos escalas para el uso de las potencias de 10, la escala corta (billón americano) y la escala larga (billón español):
   
   Diferencia entre millones, billones y trillón en escalas numéricas Larga y Corta $$ \begin{array}{|r|l|l|} \hline \text{ Valor } & \text{ Escala corta (anglosajona) } & \text{ Escala larga } \cr \hline 1 & uno & \text{uno} \\ \hline 1\,000 & mil & \text{mil} \\ \hline 1\,000\,000 & millón & \text{millón} \\ \hline 1\,000\,000\,000 & billón & \text{mil millones o millardo} \\ \hline 1\,000\,000\,000\,000 & trillón & \text{billón } \\ \hline 1\,000\,000\,000\,000\,000 & cuatrillón & \text{mil billones} \\ \hline 1\,000\,000\,000\,000\,000\,000 & quintillón & \text{trillón} \\ \hline \end{array}$$ $\bullet \ $ En el siglo XVII una corriente de matemáticos anglosajones adoptó la denominación de Billón, para el número 1.000.000.000 o 10 elevado a la novena potencia. Lo que en otros idiomas sería un millardo.
   
   Este concepto se ha mantenido en el inglés, aunque no ha sido oficialmente aceptado en el Reino Unido hasta 1.974, cuando el gobierno británico aceptaba oficialmente 1.000.000.000 como Billón.
   
   $\bullet \ $ Otra teoría dice que en el siglo XVII matemáticos de Francia e Italia que decidieron adoptar el concepto billón para llamar a los mil millones, cuando para el resto del mundo era millardo.
   
   En Italia, 1 Billón son 1.000 millones = 1.000.000.000
   
   En Francia, 1 billón son un millón de millones. Aunque no ha sido hasta el siglo XX cuando gracias al matemático Nicolás Chuquet se impuso de nuevo el billón español. En 1961 se formalizó el uso de la escala larga.
   
   
6. Un acre son 4046,86 $m^2$ = 40% de una hectarea.
   
   Una hectarea son 10.000$ m^2$.
   
   
7. 
8. \[ |e^{i\pi}| = |\pi^{ie}| = |i^{\pi e}| = 1 \] \[ e^{i\pi} = - 1 \Rightarrow |e^{i\pi}| = |- 1| = 1 \] \[ \pi^{i e} \Rightarrow \text{ Para potencias de base real } a \text{ y exponente imaginario } b, |a^b| = |a^{Re(b)}| \text{ en este caso } |\pi^{ie}| = |\pi^0| = 1 \] \[ i^{\pi e}, i = e^{i\pi / 2} \Rightarrow i^{\pi e} = e^{i\pi / 2} \pi e = e^{i \pi^2 e /2 } \text{ que es número de módulo 1, luego } |i^{\pi e}| = 1 \]
9. \[ \log_{3}{5} \text{ es un número irracional. } \] Por contradicción, supongamos que $\log_{3}{5} \in \Q$, entonces $\log_{3}{5} = \mfrac{a}{b}, a, b \in \N$ y el mínimo común múltiplo de $a$ y $b$ es 1.
   Entonces: \[ 3^{a/b} = 5 \Rightarrow 3^a = 5 ^b , \text{ lo que no es posible. Contradicción y } \log_{3}{5} \text{ es irracional.} \]
10. Un ejemplo de límites no comuntativos: \[ \large{ \milmt{n}{\infty}{ \ \ \milmt{m}{\infty}\mfrac{n}{m + n} } \neq \milmt{m}{\infty}{ \ \ \milmt{n}{\infty}\mfrac{n}{m + n} } } \]
11. El símbolo "=" fue inventado en 1.557 por Robert Recorde, que estaba cansado de escribir "es igual a" repetidamente. @PhysInHistory
    
12. 
    
    Tabla de símbolos Matemáticos:
    
    
    
13. 
    
    La Conjetura de Goldbach: Cada número natural par mayor que 2 es la suma de dos números primos.
    
    4 = 1 + 3
    
    6 = 1 + 5
    
    8 = 1 + 7
    
    10 = 7 + 3
    
    12 = 7 + 5 ...
    
    
    
14. 
    
    Si combinas los invariantes de una matriz con las relaciones de Cardano-Vieta puedes obtener directamente el polinomio característico coeficiente a coeficiente.
    
    Aquí vemos el caso 2x2 (el más conocido) mostrado con un ejemplo:
    
    Sea la matriz \( A = \begin{pmatrix} \ 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \), entonces el polinomio característico sale de hacer: \[ p(x) = | A - x \cdot I_2 | = \left | \begin{pmatrix} \ 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} - x \cdot \begin{pmatrix} \ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right | = \begin{vmatrix} 1 - x & 3 \\ -2 & 1 - x \end{vmatrix} = (1 - x)^2 + 6 = x^2 - 2x + 1 + 6 = x^2 - 2x + 7 \] Sabemos que:
    
    Traza(A) = 1 + 1 = 2 y que \( |A| = \begin{vmatrix} \ 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - (-2) \cdot 3 = 1 + 6 = 7 \). Entonces: \[ p(x) = x^2 - \text{traza(A)} \cdot x + |A| \Rightarrow p(x) = x^2 - 2x + 7 \] Ahora vemos el caso 3x3 mostrado con otro ejemplo:
    
    Sea la matriz \( A = \begin{pmatrix} \ 1 & 3 & 0 \\ \ 2 & 1 & -1 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \), entonces el polinomio característico sale de hacer: \[ p(x) = | A - x \cdot I_3 | = \left | \begin{pmatrix} \ 1 & 3 & 0 \\ \ 2 & 1 & -1 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix} - x \cdot \begin{pmatrix} \ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right | = \begin{vmatrix} 1 - x & 3 & 0 \\ 2 & 1 - x & -1 \\ -2 & 1 & 3 - x \end{vmatrix} = \] \[ = (1 - x)[(1 - x)(3 - x) + 1] + (-1) \cdot 3 \cdot [2(3 - x) - 2] = (1 - x) [3 - x - 3x + x^2 + 1] - 3[6 - 2x - 2] = \] \[ = (1 - x) [4 - 4x + x^2] - 3[4 - 2x] = 4 - 4x + x^2 - 4x + 4x^2 - x^3 - 12 + 6x = -x^3 + 5x^2 - 2x - 8 \] Sabemos que:
    
    Traza(A) = 1 + 1 + 3 = 5
    
    SMP2(A) es la suma de los menores principales de orden 2,
    
    SMP2(A) \( = \begin{vmatrix} \ 1 & -1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \ 1 & 0 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \ 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 4 + 3 - 5 = 2 \)
    
    y que \( |A| = \begin{vmatrix} \ 1 & 3 & 0 \\ \ 2 & 1 & -1 \\ -2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 + (-1) \cdot (3) \cdot [2 \cdot 3 - (-2)\cdot (-1) ] = 4 - 12 = -8 \).
    
    Entonces: \[ p(x) = -x^3 + \text{traza(A)} \cdot x^2 - SMP2(A) \cdot x + |A| \Rightarrow p(x) = -x^3 + 5x^2 - 2x - 8 \]