Máximo común divisor «MCD» y mínimo común múltiplo «mcm»

Recordemos varias cosas:

Un número es múltiplo de otro, cuando el primero contiene un número exacto de veces a otro. Ejemplo: 12 es múltiplo de 2; 25 es múltiplo de 5. Un número tiene infinitos múltiplos y se obtienen de multiplicar ese número por todos los números naturales. A los múltiplos de un número $a$ se le denota $\dot{a}$. $$ \dot{3} = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, \ldots \} $$

Un número es divisor de otro si al hacer la divisón el resto es cero, es decir, es exacta. Ejemplo: 2 es divisor de 12, 3 es divisor de 12. Un número cualquiera como mínimo siempre tiene dos divisores, que son el 1 y el propio número. Si sólo tiene estos dos divisores se dice que es un número primo. El número de divisores es siempre finito. En este enlace puedes recordar como se calculan los divisores de un número.

Mínimo común múltiplo de 2 (o más) números: es el menor número que es múltiplo a la vez de cada uno de los números. Por ejemplo: mcm(12, 42) = 84.

Máximo cómun divisor de 2 (o más) números: es el mayor número que es divisor a la vez de cada uno de los números. Por ejemplo : MCD(12, 42) = 6.

Muy importante:
«El máximo común divisor de dos o más números estará entre 1 y el menor de los números de los que voy a calcular dicho máximo común divisor.»

«El mínimo común múltiplo de dos o más números estará a partir del mayor de los números de los que voy a calculos dicho mínimo común múltiplo.»

Veamos como se calcula el Mínimo común múltiplo:

1. Descomponemos en producto de factores primos los números de los que queremos calcular el mcm.
2. Cogemos todos los factores primos diferentes con el mayor exponente.

Veamos el ejemplo anterior, mcm(12, 42) y MCD(12, 42): $$ \begin{array}{ccc} \begin{array}{{2}{c}|{2}{l}} 12 & 2 \\ \ 6 & 2 \Rightarrow 12 = 2^2 \cdot 3 \\ \ 3 & 3 \\ \ 1 & {} \\ \end{array} & \qquad \qquad & \begin{array}{{2}{c}|{2}{l}} 42 & 2 \\ 21 & 3 \Rightarrow 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7\\ \ 7 & 7 \\ \ 1 & {} \\ \end{array} \end{array} $$ Los factores diferentes que aparecen son el $2$, el $3$ y el $7$. El $2$ con exponente $2$, el $3$ con exponente $1$ y el $7$ con exponente $1$. Luego $$ mcm(12, 42) = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84 $$ Ahora vamos a calcular el MCD(12, 42):

Escribimos los dos números y buscamos el mayor número que los divide a la vez:

$$ \begin{array}{{4}{c}{2}{c}|{2}{l}} \ \ 12 & 84 & \color{red}{2} \ \ \\ \hline \\ \ \ \ 6 & 42 & \color{red}{2} \ \ \\ \hline \\ \ \ \ 3 & 21 & \color{red}{3} \ \ \\ \hline \\ \ \ \ 1 &\ 7 \\ \end{array} $$ Multiplicamos los número que están en rojo y obtenemos el $MCD(12, 84) = 2^2 \cdot 3 = 12 $.

Veamos otra forma de calcular el Máximo común divisor de dos o más números:

1. Descomponemos en producto de factores primos los números de los que queremos calcular el mcm.
2. Cogemos los factores primos comunes al menor exponente.

Ahora vamos a calcular el MCD(75, 60):
1) Descomponemos factorialmente los números:

$ \qquad 75 = 3 \cdot 5^2$ y $ 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

2) Cogemos los factores comunes al menor exponente: en este caso los factores comunes son 3 y 5, el menor exponente 1:

$\qquad MCD(60, 75) = 3 \cdot 5 $

Si calculamos el mcm y el MCD de dos números $a$ y $b$, sólo de dos números se cumple: $$ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \qquad mcm(a, b) \cdot MCD(a, b) = a \cdot b \qquad } $$ En el ejemplo que acabamos de hacer se cumple lo que acabamos de decir: $$ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \qquad 42 \cdot 12 = 6 \cdot 84 \Leftrightarrow 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 2^2 \cdot 3 = 2 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \Leftrightarrow 504 = 504 } $$ Aquí dejo un applet de GeoGebra donde podemos calcular el MCD y el mcm de dos números cualesquiera comprendidos entre 2 y 200: