Límites de funciones. Indeterminación 1∞

Para resolver límites si tenemos una indeterminación del tipo $1^{\mathrm{\infty }}$ veremos que fórmula aplicar y de donde sale. Lo primero que tenemos que ver es el número $e$

$$e={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^x}$$

Pero también se cumple, si en lugar de $x$ es cualquier $f(x)$:

$$\text{(1)}e={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(1+{\displaystyle \frac{1}{f(x)}})}^{f(x)}}$$ 

Las indeterminaciones del tipo $1^{\mathrm{\infty }}$ nos pueden aparecer cuando:

$${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x{)}^{g(x)}=\left\{1^{\mathrm{\infty }}\right\}}$$
$${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x{)}^{g(x)}=\left\{1^{\mathrm{\infty }}\right\}}$$
$${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x{)}^{g(x)}=\left\{1^{\mathrm{\infty }}\right\}a\in \mathbb{R}}$$

Para resolver límites de este estilo, siempre tenemos que ponerlos de la forma (1), veamos un ejemplo:

$${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\left({\displaystyle \frac{x+3}{x+1}}\right)}^{x+5}=\left\{1^{+\mathrm{\infty }}\right\}=}$$

Sumamos y restamos 1 en la base y hacemos la resta:

$${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(1+{\displaystyle \frac{x+3}{x+1}}-1)}^{x+5}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(1+{\displaystyle \frac{x+3}{x+1}}-{\displaystyle \frac{x+1}{x+1}})}^{x+5}=}$$

$${\displaystyle =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(1+{\displaystyle \frac{x+3-x-1}{x+1}})}^{x+5}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(1+{\displaystyle \frac{2}{x+1}})}^{x+5}=}$$

Ahora tenemos que dejar 1 en el numerador de la base, ¿cómo lo conseguimos? Dividiendo numerador y denominador por el numerador, en este caso 2:

$${\displaystyle =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(1+{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{2}}}{{\displaystyle \frac{x+1}{2}}}})}^{x+5}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(1+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{x+1}{2}}}})}^{x+5}=}$$

Necesitamos que el exponente coincida con el denominador de la fracción de la base, como no coincide, multiplicamos y dividimos el exponente por el denominador de la fracción de la base:

$${\displaystyle =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(1+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{x+1}{2}}}})}^{{\displaystyle \frac{x+1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{x+1}}\cdot (x+5)}={\left[\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(1+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{x+1}{2}}}})}^{{\displaystyle \frac{x+1}{2}}}\right]}^{{\displaystyle \frac{2}{x+1}}\cdot (x+5)}=}$$

Lo de los corchetes es el número $e$ que ahora está elevado a una expresión cuyo límite queremos calcular:

$$=e^{{\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{2}{x+1}}\cdot (x+5)}}=e^{{\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{2x+10}{x+1}}}}=e^{\left\{{\displaystyle \frac{+\mathrm{\infty }}{+\mathrm{\infty }}}\right\}}=e^2$$


Lo mismo que hemos hecho con este límite lo podríamos hacer en general, veámoslo:

Tenemos una función $f(x)$ tal que ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=1}$ y
otra función $g(x)$ tal que ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(x)=+\mathrm{\infty }}$. Así 


$${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x{)}^{g(x)}=\left\{1^{+\mathrm{\infty }}\right\}=}$$

Sumamos y restamos 1 en la base y hacemos la resta:

$${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(1+f(x)-1)}^{g(x)}=}$$

Ahora tenemos que dejar 1 en el numerador de la base, ¿cómo lo conseguimos? Dividiendo numerador y denominador por el numerador, en este caso $f(x)-1$:
$${\displaystyle =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(1+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{f(x)-1}}}})}^{g(x)}}$$

Necesitamos que el exponente coincida con el denominador de la fracción de la base, como no coincide, multiplicamos y dividimos el exponente por el denominador de la fracción de la base:

$${\displaystyle =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(1+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{f(x)-1}}}})}^{{\displaystyle \frac{1}{f(x)-1}}\cdot (f(x)-1)\cdot g(x)}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\left[{(1+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{f(x)-1}}}})}^{{\displaystyle \frac{1}{f(x)-1}}}\right]}^{(f(x)-1)\cdot g(x)}=}$$

Lo de los corchetes es el número $e$ que ahora está elevado a una expresión cuyo límite queremos calcular:

$$=e^{{\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(f(x)-1)\cdot g(x)}}$$

Resumiendo

$${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x{)}^{g(x)}=\left\{1^{+\mathrm{\infty }}\right\}=e^{{\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(f(x)-1)\cdot g(x)}}}$$

Si lo aplicamos al ejemplo anterior tenemos: 

$${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\left({\displaystyle \frac{x+3}{x+1}}\right)}^{x+5}=\left\{1^{+\mathrm{\infty }}\right\}=e^{{\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}({\displaystyle \frac{x+3}{x+1}}-1)\cdot (x+5)}}=e^{{\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}({\displaystyle \frac{x+3}{x+1}}-{\displaystyle \frac{x+1}{x+1}})\cdot (x+5)}}=}$$ 

$$=e^{{\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left({\displaystyle \frac{x+3-x-1}{x+1}}\right)\cdot (x+5)}}=e^{{\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{2\cdot (x+5)}{x+1}}}}=e^{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}}}=e^{{\displaystyle 2}}$$  

Para terminar, los errores más típicos en este tipo de indeterminaciones es creer que la base tiende a 1 cuando no lo hace o que el exponente tiende a infinito cuando no es así. Veamos algunos ejemplos:

 $\bullet$ La base no tiende a 1:
$${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\left({\displaystyle \frac{3x+2}{6x+3}}\right)}^x={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{+\mathrm{\infty }}=0}$$

 $\bullet$ El exponente no tiende a $\mathrm{\infty }$:
 $${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(1+{\displaystyle \frac{1}{x^2}})}^{{\displaystyle \frac{3x}{2x+1}}}=1^{{\displaystyle 3/2}}=1}$$