Límites de funciones. Indeterminación $1^{\infty}$

Para resolver límites si tenemos una indeterminación del tipo $1^{\infty}$ veremos que fórmula aplicar y de donde sale. Lo primero que tenemos que ver es el número $e$

$$ e = \displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} \left ( 1 + \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^{x} }$$

Pero también se cumple, si en lugar de $x$ es cualquier $f(x)$:

$$ \text{(1)} \ \ \ \ e = \displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} \left ( 1 + \dfrac{\ 1 \ }{f(x)} \right )^{f(x)} }$$ 

Las indeterminaciones del tipo $1^{\infty}$ nos pueden aparecer cuando:

$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)^{g(x)} = \left \{  1^{\infty} \right \} $$
$$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)^{g(x)} = \left \{  1^{ \infty} \right \} $$
$$\displaystyle \lim_{ x \to a } f(x)^{g(x)} = \left \{  1^{ \infty} \right \} a \in \mathbb{R}$$

Para resolver límites de este estilo, siempre tenemos que ponerlos de la forma (1), veamos un ejemplo:

$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (\dfrac{x + 3}{x + 1} \right )^{x + 5} = \left \{  1^{+\infty} \right \} = $$

Sumamos y restamos 1 en la base y hacemos la resta:

$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{x + 3}{x + 1} - 1 \right )^{x + 5} = \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{x + 3}{x + 1} - \dfrac{x + 1}{x + 1} \right )^{x + 5} = $$

$$\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{x + 3 - x - 1}{x + 1} \right )^{x + 5} = \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{2}{x + 1} \right )^{x + 5} = $$

Ahora tenemos que dejar 1 en el numerador de la base, ¿cómo lo conseguimos? Dividiendo numerador y denominador por el numerador, en este caso 2:

$$\displaystyle =  \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{ \dfrac{2}{2} }{ \dfrac{x + 1}{2} } \right )^{x + 5}  =  \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{ 1 }{ \dfrac{x + 1}{2} } \right )^{x + 5} = $$

Necesitamos que el exponente coincida con el denominador de la fracción de la base, como no coincide, multiplicamos y dividimos el exponente por el denominador de la fracción de la base:

$$\displaystyle =  \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{ 1 }{ \dfrac{x + 1}{2} } \right )^{\dfrac{x + 1}{2} \cdot \dfrac{2}{x + 1}  \cdot (x + 5)} = \left [ \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{ 1 }{ \dfrac{x + 1}{2} } \right )^{\dfrac{x + 1}{2}} \right ]^{ \dfrac{2}{x + 1}  \cdot (x + 5)} =$$

Lo de los corchetes es el número $e$ que ahora está elevado a una expresión cuyo límite queremos calcular:

$$ = e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty}  \dfrac{2}{x + 1}  \cdot (x + 5) } =  e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty}  \dfrac{2x + 10}{x + 1} } = e^{ \left \{ \dfrac{+\infty}{+\infty} \right \} } = e^{2} $$


Lo mismo que hemos hecho con este límite lo podríamos hacer en general, veámoslo:

Tenemos una función $f(x)$ tal que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$ y
otra función $g(x)$ tal que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$. Así 


$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)^{g(x)} = \left \{  1^{+\infty} \right \} = $$

Sumamos y restamos 1 en la base y hacemos la resta:

$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (1 + f(x) - 1 \right )^{g(x)} =$$

Ahora tenemos que dejar 1 en el numerador de la base, ¿cómo lo conseguimos? Dividiendo numerador y denominador por el numerador, en este caso $f(x) - 1 $:
$$\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{ 1 }{ \dfrac{1}{f(x) - 1} } \right )^{g(x)} $$

Necesitamos que el exponente coincida con el denominador de la fracción de la base, como no coincide, multiplicamos y dividimos el exponente por el denominador de la fracción de la base:

$$\displaystyle =  \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{ 1 }{ \dfrac{1}{f(x) - 1} } \right )^{\dfrac{1}{f(x) - 1} \cdot (f(x) - 1) \cdot g(x)} = \lim_{x \to +\infty} \left [ \left (1 + \dfrac{ 1 }{ \dfrac{1}{f(x) - 1} } \right )^{\dfrac{1}{f(x) - 1} } \right ]^{ (f(x) - 1) \cdot g(x)} = $$

Lo de los corchetes es el número $e$ que ahora está elevado a una expresión cuyo límite queremos calcular:

$$ = e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty}  (f(x) - 1) \cdot g(x) } $$

Resumiendo

$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)^{g(x)} = \left \{  1^{+\infty} \right \} = e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty}  (f(x) - 1) \cdot g(x) } $$

Si lo aplicamos al ejemplo anterior tenemos: 

$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (\dfrac{x + 3}{x + 1} \right )^{x + 5} = \left \{  1^{+\infty} \right \} =  e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (\dfrac{x + 3}{x + 1} - 1 \right ) \cdot \left ( x + 5 \right ) } =  e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (\dfrac{x + 3}{x + 1} - \dfrac{x + 1}{x + 1} \right ) \cdot \left ( x + 5 \right ) } = $$ 

$$ = e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (\dfrac{x + 3 - x - 1}{x + 1} \right ) \cdot \left ( x + 5 \right ) } = e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2 \cdot \left ( x + 5 \right )}{x + 1}  } =  e^{ \displaystyle \dfrac{\infty}{\infty} } = e^{ \displaystyle 2} $$  

Para terminar, los errores más típicos en este tipo de indeterminaciones es creer que la base tiende a 1 cuando no lo hace o que el exponente tiende a infinito cuando no es así. Veamos algunos ejemplos:

 $\bullet$ La base no tiende a 1:
$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left ( \dfrac{3x + 2}{6x + 3} \right )^{x} = \left ( \dfrac{1}{2} \right)^{+\infty} = 0 $$

 $\bullet$ El exponente no tiende a $\infty$:
 $$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left ( 1 + \dfrac{1}{x^2} \right )^{\dfrac{3x}{2x + 1}} = {\Large 1}^{ \displaystyle \normalsize 3/2 } = {\Large 1} $$