Funciones: Asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.

Una asíntota es una recta a la cual la función se va aproximando indefinidamente.

Las asíntotas verticales pueden aparecer por dos motivos: 

1. Valores que anulan el denominador de una función: Por ejemplo la función $f(x) = \dfrac{1}{x}$ en $x = 0$.
2. Extremos de intervalo del dominio de la función que no están en el dominio: Por ejemplo la función $f(x) = \ln(x)$ en $x = 0$ cuando $x$ tiende a cero por la derecha. $(x \Rightarrow 0^+)$. Lo mismo vale para las funciones $f(x) = \log_a (x) \ a > 1$ y $f(x) = \log_b (x) \ 0 < b < 1$. 

Importante:

«Una función no puede tener una asíntota horizontal y otra oblicua por el mismo lado, por el mismo lado quiere decir, si $ x \rightarrow +\infty$ o si $ x \rightarrow - \infty$ »

Podemos tener una asíntota horizontal cuando $x \rightarrow + \infty$ y una asíntota oblicua cuando $x \rightarrow - \infty$ o viceversa. 

Las asíntotas horiontales, son las rectas horizontales $ y = k $ a la que se aproxima la función cuando $x \to + \infty $ y $x \to - \infty $

$$ \milmt{x}{+ \infty}{f(x)} = k \Longleftrightarrow y = k_1 $$ $$ \milmt{x}{- \infty}{f(x)} = k \Longleftrightarrow y = k_2 $$ $k_1$ y $k_2$ pueden ser iguales.

Las asíntotas oblicuas son de la forma $y = mx + n $, donde:

$$ m_1 = \milmt{x}{+ \infty}{\dfrac{\ f(x)\ }{x}} \text{ y } n_1 = \milmt{x}{+ \infty}{ f(x) - m_1 \cdot x } $$ $$ m_2 = \milmt{x}{- \infty}{\dfrac{\ f(x)\ }{x}} \text{ y } n_2 = \milmt{x}{- \infty}{ f(x) - m_2 \cdot x } $$
Los valores $m_1$ y $m_2$ pueden ser iguales. Las valores $n_1$ y $n_2$ pueden ser iguales.

Voy a poner dos ejemplos de funciones que tienen los tres tipos de asíntotas:

$$ f(x) = \dfrac{xe^x}{x + e^x} $$

$$f(x) = x^{\dfrac{|x|}{x}} + \dfrac{1}{x} $$