Funciones: Asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.

Una asíntota es una recta a la cual la función se va aproximando indefinidamente.

Las asíntotas verticales pueden aparecer por dos motivos: 

1. Valores que anulan el denominador de una función: Por ejemplo la función $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ en $x=0$.
2. Extremos de intervalo del dominio de la función que no están en el dominio: Por ejemplo la función $f(x)=\ln (x)$ en $x=0$ cuando $x$ tiende a cero por la derecha. $(x\Rightarrow 0^{+})$. Lo mismo vale para las funciones $f(x)={\log }_a(x)a>1$ y $f(x)={\log }_b(x)0<b<1$. 

Importante:

«Una función no puede tener una asíntota horizontal y otra oblicua por el mismo lado, por el mismo lado quiere decir, si $x\to +\mathrm{\infty }$ o si $x\to -\mathrm{\infty }$ »

Podemos tener una asíntota horizontal cuando $x\to +\mathrm{\infty }$ y una asíntota oblicua cuando $x\to -\mathrm{\infty }$ o viceversa. 

Las asíntotas horiontales, son las rectas horizontales $y=k$ a la que se aproxima la función cuando $x\to +\mathrm{\infty }$ y $x\to -\mathrm{\infty }$

$${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{{\displaystyle \mathit{\text{l}}\acute{ı}\mathit{\text{m}}}}f(x)=k⟺y=k_1}$$ $${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{{\displaystyle \mathit{\text{l}}\acute{ı}\mathit{\text{m}}}}f(x)=k⟺y=k_2}$$ $k_1$ y $k_2$ pueden ser iguales.

Las asíntotas oblicuas son de la forma $y=mx+n$, donde:

$$m_1={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{{\displaystyle \mathit{\text{l}}\acute{ı}\mathit{\text{m}}}}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}\text{ y }{n}_1={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{{\displaystyle \mathit{\text{l}}\acute{ı}\mathit{\text{m}}}}f(x)-m_1\cdot x}}$$ $$m_2={\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{{\displaystyle \mathit{\text{l}}\acute{ı}\mathit{\text{m}}}}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}\text{ y }{n}_2={\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{{\displaystyle \mathit{\text{l}}\acute{ı}\mathit{\text{m}}}}f(x)-m_2\cdot x}}$$
Los valores $m_1$ y $m_2$ pueden ser iguales. Las valores $n_1$ y $n_2$ pueden ser iguales.

Voy a poner dos ejemplos de funciones que tienen los tres tipos de asíntotas:

$$f(x)={\displaystyle \frac{x{e}^x}{x+e^x}}$$

$$f(x)=x^{{\displaystyle \frac{|x|}{x}}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}$$