Ecuaciones trigonométricas con solución II

Ecuaciones trigonométricas II. Colección de 14 ejercicios resueltos.

Si tenemos la ecuación:

$$\cos x-\sqrt{3}\cdot \mathrm{sen}x=1$$ La intentamos escribir de la forma:

$$\mathrm{sen}x\cdot \cos \theta \pm \cos x\cdot \mathrm{sen}\theta =\mathrm{sen}(x\pm \theta )\text{ o }\cos x\cdot \cos \theta \pm \mathrm{sen}x\cdot \mathrm{sen}\theta =\cos (x\mp \theta )$$ donde $\theta$ es un ángulo conocido, y si divimos por $r,r>0$, tenemos que:

$${\displaystyle \frac{1}{r}}\cos x+{\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{r}}\mathrm{sen}x={\displaystyle \frac{1}{r}}$$ donde $\mathrm{sen}\theta ={\displaystyle \frac{1}{r}}$ y $\cos \theta ={\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{r}}$ y como sabemos que ${\cos }^2\theta +{\mathrm{sen}}^2\theta =1$ podemos calcular el valor de $r$:

$${\displaystyle \frac{1}{r^2}}+{\displaystyle \frac{3}{r^2}}=1\Rightarrow 1+3=r^2\Rightarrow 4=r^2\Rightarrow r=2,\text{ ya que }\mathrm{sen}\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ Obsérvese que $r$ es la raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de los coeficientes de $\cos x$ y $\mathrm{sen}x$ cuando la ecuación se escribe de la forma $a\cdot \cos x+b\cdot \mathrm{sen}x=c$, esto es, $$r=\sqrt{a^2+b^2}$$ La ecuación no tiene solución si ${\displaystyle \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}}$ es mayor que 1 o menor que -1.

Tenemos que evitar elevar al cuadrado, ya que añadimos soluciones, en este caso infinitas soluciones que será muy difícil quitar.

Para ello intentamos poner el miembro de la izquierda de la forma:
$$\mathrm{sen}x\cdot \cos y\pm \cos x\cdot \mathrm{sen}y=\mathrm{sen}(x\pm y)\text{ o }\cos x\cdot \cos y\pm \mathrm{sen}x\cdot \mathrm{sen}y=\cos (x\mp y)$$ Para ello multiplicamos la ecuación por ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ y nos queda:

$${\displaystyle \frac{1}{2}}\cos x-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot \mathrm{sen}x={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow \cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\cos x-\mathrm{sen}{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\cdot \mathrm{sen}x={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow$$
$$\Rightarrow \cos ({\displaystyle \frac{\pi }{3}}+x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+x=\arccos \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\Rightarrow {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+2\pi k\Rightarrow x=2\pi k,k\in \mathbb{Z}\\ \\ {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+x=\arccos \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\Rightarrow {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+x={\displaystyle \frac{5\pi }{3}}+2\pi k,\Rightarrow x={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}+2\pi kk\in \mathbb{Z}\end{array}$$

Sustituimos $\mathrm{tg}2x={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}2x}{\cos 2x}}={\displaystyle \frac{2\mathrm{sen}x\cos x}{\cos 2x}}$ y así tenemos que:

$$\mathrm{tg}2x+2\mathrm{sen}x=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{2\mathrm{sen}x\cos x}{\cos 2x}}+2\mathrm{sen}x=0\Rightarrow$$
Sacamos factor común y nos queda:

$$\Rightarrow 2\mathrm{sen}x({\displaystyle \frac{\cos x}{\cos 2x}}+1)=0\Rightarrow 2\mathrm{sen}x\left({\displaystyle \frac{\cos x+\cos 2x}{\cos 2x}}\right)=0$$ Es decir, $\mathrm{sen}x=0$ o $\cos x+\cos 2x=0$. Vamos por partes:

Por un lado $\mathrm{sen}x=0\Rightarrow x=\mathrm{arcsen}\left(0\right)\Rightarrow x=\pi k,k\in \mathbb{Z}.$

Por otro lado $$\cos x+\cos 2x=0\Rightarrow 2\cos \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)\cos \left({\displaystyle \frac{3x}{2}}\right)=0$$
Volvemos a $\cos \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)=0$ o $\cos \left({\displaystyle \frac{3x}{2}}\right)=0$

$\cos \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{x}{2}}=\arccos \left(0\right)\Rightarrow {\displaystyle \frac{x}{2}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\pi k\Rightarrow x=\pi +2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$


$\cos \left({\displaystyle \frac{3x}{2}}\right)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{3x}{2}}=\arccos \left(0\right)\Rightarrow {\displaystyle \frac{3x}{2}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\pi k\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+{\displaystyle \frac{2\pi k}{3}},k\in \mathbb{Z}.$

$\mathrm{sen}2x=\cos 2x\Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{sen}2x}{\cos 2x}}=1\Rightarrow \mathrm{tg}2x=1\Rightarrow 2x=\mathrm{arctg}(1)\Rightarrow 2x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+\pi k\Rightarrow$

$\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\pi }{8}}+{\displaystyle \frac{\pi k}{2}},k\in \mathbb{Z}$

El seno es negativo en el $3^{\underset{―}{er}}$ y $4^{\underset{―}{\circ }}$ cuadrante. Luego: $$3x=\mathrm{arcsen}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})\Rightarrow \{\begin{array}{l}3x={\displaystyle \frac{5\pi }{4}}+2\pi k\Rightarrow x={\displaystyle \frac{5\pi }{12}}+{\displaystyle \frac{2\pi k}{3}},k\in \mathbb{Z}\\ \\ \\ 3x={\displaystyle \frac{7\pi }{4}}+2\pi k\Rightarrow x={\displaystyle \frac{7\pi }{12}}+{\displaystyle \frac{2\pi k}{3}},k\in \mathbb{Z}\end{array}$$

$$\cos (3x-{45}^{\circ })={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow 3x-{45}^{\circ }=\arccos \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}3x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+2\pi k\Rightarrow 3x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\\ \\ \\ 3x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{5\pi }{3}}+2\pi k\Rightarrow 3x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{5\pi }{3}}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\end{array}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}3x={\displaystyle \frac{7\pi }{12}}+2\pi k\Rightarrow x={\displaystyle \frac{7\pi }{36}}+{\displaystyle \frac{2\pi k}{3}},k\in \mathbb{Z}\\ \\ \\ 3x={\displaystyle \frac{23\pi }{12}}+2\pi k\Rightarrow x={\displaystyle \frac{23\pi }{36}}+{\displaystyle \frac{2\pi k}{3}},k\in \mathbb{Z}\end{array}$$

SOLUCIÓN: Nos piden el ángulo águdo, ese sería $x={\displaystyle \frac{7\pi }{36}}={35}^{\circ }$.

Por un lado $\mathrm{sen}5x-\mathrm{sen}3x=2\cos 4x\mathrm{sen}x$ y sustituyendo en la ecuación tenemos que:

$$\mathrm{sen}5x-\mathrm{sen}3x-\mathrm{sen}x=0\Rightarrow 2\cos 4x\mathrm{sen}x-\mathrm{sen}x=0\Rightarrow \mathrm{sen}x\cdot (2\cos 4x-1)=0$$
Luego $\mathrm{sen}x=0$ o $2\cos 4x-1=0$. Vamos por partes:

Por un lado $\mathrm{sen}x=0\Rightarrow x=\mathrm{arcsen}\left(0\right)\Rightarrow x=\pi k,k\in \mathbb{Z}.$

Por otro $2\cos 4x-1=0\Rightarrow \cos 4x={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow$
$$\Rightarrow 4x=\arccos \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}4x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+2\pi k\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\pi }{12}}+{\displaystyle \frac{\pi k}{2}},k\in \mathbb{Z}\\ \\ \\ 4x={\displaystyle \frac{5\pi }{3}}+2\pi k\Rightarrow x={\displaystyle \frac{5\pi }{12}}+{\displaystyle \frac{\pi k}{2}},k\in \mathbb{Z}\end{array}$$

Esta es una ecuación de $2^{\underset{―}{\circ }}$ grado en $\mathrm{sen}x$. Se ve fácilmente que una raíz es 1 y la otra es -2, luego tenemos que:
$${\mathrm{sen}}^{2}x+\mathrm{sen}x-2=0\Rightarrow (\mathrm{sen}x-1)\cdot (\mathrm{sen}x+2)=0$$ Es decir, $\mathrm{sen}x=1$ o $\mathrm{sen}x=-2$ que es imposible. Veamos cuando $\mathrm{sen}x=1$

$\mathrm{sen}x=1\Rightarrow x=\mathrm{arcsen}\left(1\right)\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$

Si pasamos restando el ${\mathrm{sen}}^{2}x$ tenemos la expresión: ${\cos }^{2}x-{\mathrm{sen}}^{2}x=0$
Aplicando las fórmulas del ángulo doble tenemos:
$${\cos }^{2}x-{\mathrm{sen}}^{2}x=0\Rightarrow \cos (2x)=0\Rightarrow 2x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\pi \cdot kk\in \mathbb{Z}$$ Si despejamos la $x$ tenemos
$$x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{\pi \cdot k}{2}}k\in \mathbb{Z}$$

Hay que recordar que $\mathrm{sen}2x=2\mathrm{sen}x\cdot \cos x$. Así:

$sen2x\cdot \cos x=6{\mathrm{sen}}^{3}x\Rightarrow 2\cdot \mathrm{sen}x\cdot \cos x\cdot \cos x=6{\mathrm{sen}}^{3}x\Rightarrow 2\cdot \mathrm{sen}x\cdot {\cos }^{2}x=6{\mathrm{sen}}^{3}x$

Por otro lado, hay que tener en cuenta que ${\cos }^{2}x+{\mathrm{sen}}^{2}x=1$. Por ello: $$2\cdot \mathrm{sen}x\cdot (1-{\mathrm{sen}}^{2}x)=6\cdot {\mathrm{sen}}^{3}x\Rightarrow \Rightarrow \mathrm{sen}x\cdot (1-{\mathrm{sen}}^{2}x)=3\cdot \mathrm{sen}x\cdot {\mathrm{sen}}^{2}x\Rightarrow \mathrm{sen}x\cdot (4\cdot {\mathrm{sen}}^{2}x-1)=0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow \{\begin{array}{l}\mathrm{sen}x=0\\ \\ {\mathrm{sen}}^{2}x={\displaystyle \frac{1}{4}}\Rightarrow \mathrm{sen}x=\pm {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$ Finalmente estudiamos cada uno de estos tres casos:

Si $\mathrm{sen}x=0\Rightarrow x=\mathrm{arcsen}(0)\Rightarrow x=\pi \cdot k,k\in \mathbb{Z}$ En este caso $x=0$, $x=\pi$ y $x=2\pi$.

Si $\mathrm{sen}x={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow x=\mathrm{arcsen}\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\Rightarrow x=\Rightarrow \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\\ \\ x={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\\ \end{array}$ En este caso $x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ y $x={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$


Si $\mathrm{sen}x={\displaystyle \frac{-1}{2}}\Rightarrow x=\mathrm{arcsen}\left({\displaystyle \frac{-1}{2}}\right)\Rightarrow x=\Rightarrow \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{7\pi }{6}}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\\ \\ x={\displaystyle \frac{11\pi }{6}}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\\ \end{array}$ En este caso $x={\displaystyle \frac{7\pi }{6}}$ y $x={\displaystyle \frac{11\pi }{6}}$

De la primera ecuación obtenemos $x+y=\mathrm{arctg}\left(\sqrt{3}\right)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+\pi \cdot k,k\in \mathbb{Z}$.

Luego tenemos un sistema de ecuaciones equivalente:

$\{\begin{array}{c}x+y={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+\pi \cdot k\\ \\ x+2y={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\end{array}$

Que resolvemos fácilmente, si a la segunda ecuación le restamos la primera nos queda:

$y={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}-\pi \cdot k={\displaystyle \frac{3\pi -2\cdot \pi }{6}}-\pi \cdot k={\displaystyle \frac{\pi }{6}}-\pi \cdot k,k\in \mathbb{Z}$

Sustituimos en la primera ecuación

$x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+\pi \cdot k-y={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+\pi \cdot k-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+\pi \cdot k={\displaystyle \frac{2\cdot \pi }{6}}-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2\cdot \pi \cdot k={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2\cdot \pi \cdot k,k\in \mathbb{Z}$

De la primera ecuación, sabemos que si $x+y={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\Rightarrow \cos x=\mathrm{sen}y\text{ y }\cos y=\mathrm{sen}x$ .

De la segunda ecuación: $\cos x+\cos y=\sqrt{2}\Rightarrow \cos x+\mathrm{sen}x=\sqrt{2}\Rightarrow$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot \cos x+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot \mathrm{sen}x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot \sqrt{4}\Rightarrow cos(x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=1\Rightarrow x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}=2\cdot \pi \cdot k,k\in \mathbb{Z}$

$$\text{Es decir, }x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+2\cdot \pi \cdot k,k\in \mathbb{Z}$$
Sustituimos en la primera ecuación:

$$x+y={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\Rightarrow y={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}-2\cdot \pi \cdot k={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-2\cdot \pi \cdot k,k\in \mathbb{Z}$$

$${\displaystyle \frac{\mathrm{sen}(3x)}{\cos (3x)}}={\displaystyle \frac{\cos (2x)}{\mathrm{sen}(2x)}}\Rightarrow \mathrm{sen}(3x)\cdot \mathrm{sen}(2x)-\cos (3x)\cdot \cos (2x)=0\Rightarrow -\cos (5x)=0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow \cos (5x)=0\Rightarrow 5x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi \to x={\displaystyle \frac{\pi +2\pi k}{10}}$$

$${\mathrm{sen}}^{4}x+{\cos }^{4}x=2{\mathrm{sen}}^{2}x\cdot {\cos }^{2}x+\mathrm{sen}x\cdot \cos x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow {\mathrm{sen}}^{4}x+{\cos }^{4}x-2{\mathrm{sen}}^{2}x\cdot {\cos }^{2}x=\mathrm{sen}x\cdot \cos x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow$$ $$\Rightarrow {({\cos }^{2}x-{\mathrm{sen}}^{2}x)}^2={\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{sen}x\cdot \cos x}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow {\cos }^2(2x)={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}(2x)}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow$$ $$\Rightarrow 1-{\mathrm{sen}}^2(2x)={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}(2x)}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow 2\cdot (1-{\mathrm{sen}}^2(2x))=\mathrm{sen}(2x)+1\Rightarrow$$ $$\Rightarrow 2-2{\mathrm{sen}}^2(2x)=\mathrm{sen}(2x)+1\Rightarrow 2{\mathrm{sen}}^2(2x)+\mathrm{sen}(2x)-1=0$$ Ecuación de $2^{\underset{―}{\circ }}$ grado en $\mathrm{sen}(2x)$:

$$\mathrm{sen}(2x)={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 2\cdot (-1)}}{2}}={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{9}}{4}}=\begin{array}{l}\oplus \nearrow {\displaystyle \frac{-1+3}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \\ \ominus \searrow {\displaystyle \frac{-1-3}{4}}=-1\end{array}.$$ 2 posibilidades:

$1^{\underset{―}{a}}\mathrm{sen}(2x)=-1\Rightarrow 2x=\mathrm{arcsen}(-1)\Rightarrow 2x={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}+2\pi k\Rightarrow x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$

$2^{\underset{―}{a}}\mathrm{sen}(2x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow 2x=\mathrm{arcsen}\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\Rightarrow 2x=\mathrm{arcsen}\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}2x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2\pi k\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\pi }{12}}+\pi k,k\in \mathbb{Z}\\ \\ \\ 2x={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+2\pi k\Rightarrow x={\displaystyle \frac{5\pi }{12}}+\pi k,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

$$2\mathrm{sen}x-2\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}\mathrm{tg}x+3=0$$ Si intentamos sustituir la $\mathrm{tg}x$ por ${\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{\cos x}}$ e intentamos cosas a poco llegamos; pero si sacamos factor común algo vemos: $$2\mathrm{sen}x-2\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}\mathrm{tg}x+3=0\Rightarrow \mathrm{tg}x(2\cos x-\sqrt{3})-\sqrt{3}(2\cos x-\sqrt{3})=0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow (\mathrm{tg}x-\sqrt{3})\cdot (2\cos x-\sqrt{3})=0$$ Y ahora es más fácil, es un producto de dos factores que será cero cuando alguno de los dos sea cero. Tenemos dos posibilidades:

$1^{\underset{―}{a}}\mathrm{tg}x-\sqrt{3}=0\Rightarrow \mathrm{tg}x=\sqrt{3}\Rightarrow x=\mathrm{arctg}\left(\sqrt{3}\right)\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$

$2^{\underset{―}{a}}2\cos x-\sqrt{3}=0\Rightarrow 2\cos x=\sqrt{3}\Rightarrow \cos x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\Rightarrow x=\arccos \left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)\Rightarrow$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\\ \\ \\ x={\displaystyle \frac{11\pi }{6}}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com