Ecuaciones trigonométricas con solución I

Ecuaciones trigonométricas I. Colección de 21 ejercicios resueltos.

Antes de resolver ecuaciones trigonométricas es conveniente saber las razones trigonométricas de las ángulos principales $0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}},\pi ,{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$ y $2\pi$; además de los ángulos ${\displaystyle \frac{\pi }{6}},{\displaystyle \frac{\pi }{4}},{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ y los relacionados con estos en los cuadrantes II, III y IV. En este enlace tienes toda esta información

Sabemos que el $\mathrm{sen}x=1\Rightarrow x=\mathrm{arcsen}(1)\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2\cdot \pi \cdot k,k\in \mathbb{Z}$

Sabemos que $\mathrm{tg}x=0\iff \mathrm{sen}x=0$.

Sabemos que el $\mathrm{sen}x=0\Rightarrow x=\mathrm{arcsen}(0)\Rightarrow x=\pi \cdot k,k\in \mathbb{Z}$

Sabemos que $2\cdot \cos x+1=0\Rightarrow \cos x={\displaystyle \frac{-1}{2}}$

El coseno es negativo en el $2^{\underset{―}{\circ }}$ y $3^{\underset{―}{er}}$ cuadrante, luego sabemos que el

$$\cos x={\displaystyle \frac{-1}{2}}\Rightarrow x=\arccos \left({\displaystyle \frac{-1}{2}}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+2\cdot \pi \cdot k,k\in \mathbb{Z}\\ \\ x={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}+2\cdot \pi \cdot k,k\in \mathbb{Z}\end{array}$$

Sabemos que $\sqrt{3}\cdot \mathrm{tg}x-1=0\Rightarrow \mathrm{tg}x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$

La tangente es positiva en el $1^{\underset{―}{er}}$ y $3^{\underset{―}{er}}$ cuadrante, luego sabemos que el

$$\mathrm{tg}x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}\Rightarrow x=\mathrm{arctg}\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2\cdot \pi \cdot k,k\in \mathbb{Z}\\ \\ x={\displaystyle \frac{7\pi }{6}}+2\cdot \pi \cdot k,k\in \mathbb{Z}\end{array}$$

Sabemos que la tangente es negativa en el $2^{\underset{―}{\circ }}$ y $4^{\underset{―}{\circ }}$ cuadrante, luego sabemos que

$$3x=\mathrm{arctg}(-1)\Rightarrow \{\begin{array}{l}3x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+2\cdot \pi \cdot k,k\in \mathbb{Z}\\ \\ 3x={\displaystyle \frac{7\pi }{4}}+2\cdot \pi \cdot k,k\in \mathbb{Z}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{2\cdot \pi \cdot k}{3}},k\in \mathbb{Z}\\ \\ x={\displaystyle \frac{7\pi }{12}}+{\displaystyle \frac{2\cdot \pi \cdot k}{3}},k\in \mathbb{Z}\end{array}$$

Sabemos que el seno es positivo en el $1^{\underset{―}{er}}$ y $2^{\underset{―}{\circ }}$ cuadrante, luego sabemos que

$$4x-{\displaystyle \frac{\pi }{9}}=\mathrm{arctg}\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}4x-{\displaystyle \frac{\pi }{9}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+2\cdot \pi \cdot k,k\in \mathbb{Z}\\ \\ 4x-{\displaystyle \frac{\pi }{9}}={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+2\cdot \pi \cdot k,k\in \mathbb{Z}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}4x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+{\displaystyle \frac{\pi }{9}}+2\cdot \pi \cdot k,k\in \mathbb{Z}\\ \\ 4x={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+{\displaystyle \frac{\pi }{9}}+2\cdot \pi \cdot k,k\in \mathbb{Z}\end{array}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}4x={\displaystyle \frac{3\pi }{9}}+{\displaystyle \frac{\pi }{9}}+2\cdot \pi \cdot k,k\in \mathbb{Z}\\ \\ 4x={\displaystyle \frac{6\pi }{9}}+{\displaystyle \frac{\pi }{9}}+2\cdot \pi \cdot k,k\in \mathbb{Z}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}4x={\displaystyle \frac{4\pi }{9}}+2\cdot \pi \cdot k,k\in \mathbb{Z}\\ \\ 4x={\displaystyle \frac{7\pi }{9}}+2\cdot \pi \cdot k,k\in \mathbb{Z}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{\pi }{9}}+{\displaystyle \frac{\pi \cdot k}{2}},k\in \mathbb{Z}\\ \\ x={\displaystyle \frac{7\pi }{36}}+{\displaystyle \frac{\pi \cdot k}{2}},k\in \mathbb{Z}\end{array}$$

Sabemos que $\sec x={\displaystyle \frac{1}{\cos x}}$ luego $\cos x+4\cdot {\displaystyle \frac{1}{\cos x}}=5$

Multiplicamos por $\cos x$ ambos lados de la ecuación y tenemos que

$${\cos }^{2}x+4=5\cos x\Rightarrow {\cos }^{2}x-5\cos x+4=0$$ Lo que es una ecuación de $2^{\underset{―}{\circ }}$ grado en $\cos x$

Podemos aplicar la fórmula para resolver la ecuación de $2^{\underset{―}{\circ }}$ grado o como vemos fácilmente que 1 es raíz, la otra aíz es 4. Así nos quedará:

$\cos x=1\Rightarrow x=\arccos (1)\Rightarrow x=2\cdot \pi \cdot k,k\in \mathbb{Z}$
$\text{ o }\cos x=4$ lo que es imposible.

Sabemos que $\mathrm{tg}x={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{\cos x}}$ luego $\cos x\cdot \mathrm{tg}x={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow \cos x\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{\cos x}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow \mathrm{sen}x={\displaystyle \frac{1}{2}}$

El seno es positivo en el $1^{\underset{―}{er}}$ y $2^{\underset{―}{\circ }}$ cuadrante, luego sabemos que el

$$\mathrm{sen}x={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow x=\mathrm{arcsen}\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2\cdot \pi \cdot k,k\in \mathbb{Z}\\ \\ x={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+2\cdot \pi \cdot k,k\in \mathbb{Z}\end{array}$$

Sabemos que $\mathrm{tg}x={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{\cos x}}$, sustituimos y sacamos factor común:
$$\mathrm{tg}x-\mathrm{sen}x=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{\cos x}}-\mathrm{sen}x=0\Rightarrow \mathrm{sen}x\cdot ({\displaystyle \frac{1}{\cos x}}-1)=0$$ Dos posibilidades:

1. $\mathrm{sen}x=0\Rightarrow x=\mathrm{arcsen}(0)\Rightarrow x=\pi \cdot k,k\in Z$
   
   
2. ${\displaystyle \frac{1}{\cos x}}-1=0\Rightarrow \cos x=1\Rightarrow x=\arccos (1)\Rightarrow x=2\cdot \pi \cdot k,k\in Z$
   
   

Las soluciones de $\cos x=1$ están en las soluciones de $\mathrm{sen}x=0$. Luego las soluciones de esta ecuación son: $$x=\pi \cdot k,k\in Z$$

Este ejercicio se puede hacer de bastantes formas:

1. Dividimos por el ${\mathrm{sen}}^{2}x$ y tenemos que:
   ${\displaystyle \frac{{\mathrm{sen}}^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=1\Rightarrow {\mathrm{tg}}^{2}x=1\Rightarrow \mathrm{tg}x=\pm 1$
   
   Dos posibilidades:
   
   
   1. $\mathrm{tg}x=1\Rightarrow x=\mathrm{arctg}(1)\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+\pi \cdot k,k\in Z$
      
      
   2. $\mathrm{tg}x=-1\Rightarrow x=\mathrm{arctg}(-1)\Rightarrow x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+\pi \cdot k,k\in Z$
      
      
   Podemos juntar las dos soluciones en una:
   
   $$x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{\pi \cdot k}{2}},k\in Z$$
   
   Nota: Análogamente se puede hacer dividiendo por el ${\mathrm{sen}}^{2}x$.
   
   
2. Pasamos restando el ${\cos }^{2}x$ y tenemos que:
   $${\mathrm{sen}}^{2}x-{\cos }^{2}x=0\text{ Esto es una identidad notable, diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia }$$
   $${\mathrm{sen}}^{2}x-{\cos }^{2}x=0\Rightarrow (\mathrm{sen}x-\cos x)\cdot (\mathrm{sen}x+\cos x)=0$$
   Otra vez dos posibilidades:
   
   
   1. $\mathrm{sen}x-\cos x=0\Rightarrow \mathrm{sen}x=\cos x\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+\pi \cdot k,k\in Z$
      
      
   2. $\mathrm{sen}x+\cos x=0\Rightarrow \mathrm{sen}x=-\cos x\Rightarrow x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+\pi \cdot k,k\in Z$
      
      
   Podemos juntar las dos soluciones en una:
   
   $$x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{\pi \cdot k}{2}},k\in Z$$
   
   
3. Sabemos que ${\cos }^{2}x+{\mathrm{sen}}^{2}x=1$, depejamos ${\cos }^{2}x=1-{\mathrm{sen}}^{2}x$ y sustituyendo en la ecuación tenemos que:
   $${\mathrm{sen}}^{2}x=1-{\mathrm{sen}}^{2}x\Rightarrow 2{\mathrm{sen}}^{2}x=1\Rightarrow {\mathrm{sen}}^{2}x={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow \mathrm{sen}x=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}}={\displaystyle \frac{\pm 1}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\pm \sqrt{2}}{2}}$$
   Otra vez dos posibilidades:
   
   
   1. $\mathrm{sen}x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+\pi \cdot k,k\in Z$
      
      
   2. $\mathrm{sen}x={\displaystyle \frac{-\sqrt{2}}{2}}\Rightarrow x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+\pi \cdot k,k\in Z$
      
      
   Podemos juntar las dos soluciones en una:
   
   $$x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{\pi \cdot k}{2}},k\in Z$$
   Nota: Análogamente se puede hacer despejando el ${\mathrm{sen}}^{2}x=1-{\cos }^{2}x$.
   

Este ejercicio vamos a poner todo en senos y cosenos:

${\displaystyle \frac{3}{\mathrm{sen}x}}-2\cdot \cos x\cdot {\displaystyle \frac{\cos x}{\mathrm{sen}x}}+3=0$

Multiplicamos por el $\mathrm{sen}x$:

$3-2\cdot {\cos }^{2}x+3\cdot \mathrm{sen}x=0$

Sustituimos el ${\cos }^{2}x=1-{\mathrm{sen}}^{2}x$ y reordenamos:

$3-2\cdot (1-{\mathrm{sen}}^{2}x)+3\cdot \mathrm{sen}x=0\Rightarrow 3-2+2{\mathrm{sen}}^2+3\cdot \mathrm{sen}x=0\Rightarrow 2\cdot {\mathrm{sen}}^{2}x+3\cdot \mathrm{sen}x+1=0$

Tenemos una ecuación de $2^{\underset{―}{0}}$ grado en $\mathrm{sen}x$:

$$\mathrm{sen}x={\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{3^2-4\cdot 1\cdot 2}}{4}}={\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{9-8}}{4}}={\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{1}}{4}}={\displaystyle \frac{-3\pm 1}{4}}=\begin{array}{l}\oplus \nearrow {\displaystyle \frac{-2}{4}}={\displaystyle \frac{-1}{2}}\\ \\ \ominus \searrow {\displaystyle \frac{-4}{4}}=-1\end{array}.$$

$$\mathrm{sen}x={\displaystyle \frac{-1}{2}}\iff x=\mathrm{arcsen}\left({\displaystyle \frac{-1}{2}}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{7\pi }{6}}+2\cdot \pi \cdot k_1,k_1\in \mathbb{Z}\\ \\ x={\displaystyle \frac{11\pi }{6}}+2\cdot \pi \cdot k_2,k_2\in \mathbb{Z}\end{array}$$

$$\mathrm{sen}x=-1\iff x=\mathrm{arcsen}(-1)\Rightarrow x={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}+2\cdot \pi \cdot k_3,k_3\in \mathbb{Z}$$

Este ejercicio vamos a poner todo en senos y cosenos:

$\cos x-{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{\cos x}}={\displaystyle \frac{1}{\cos x}}$

Multiplicamos por el $\cos x$:

${\cos }^{2}x-\mathrm{sen}x=1$

Sustituimos el ${\cos }^{2}x=1-{\mathrm{sen}}^{2}x$ y reordenamos:

$1-{\mathrm{sen}}^{2}x-\mathrm{sen}x-1=0\Rightarrow -{\mathrm{sen}}^{2}x-\mathrm{sen}x=0\Rightarrow {\mathrm{sen}}^{2}x+\mathrm{sen}x=0$

Tenemos una ecuación de $2^{\underset{―}{0}}$ grado en $\mathrm{sen}x$ incompleta, sacamos factor común y resolvemos:

$${\mathrm{sen}}^{2}x+\mathrm{sen}x=0\Rightarrow \mathrm{sen}x\cdot (\mathrm{sen}x+1)=0\iff \{\begin{array}{l}\mathrm{sen}x=0\\ \\ \mathrm{sen}x=-1\end{array}.$$

$$\mathrm{sen}x=0\iff x=\mathrm{arcsen}(0)\Rightarrow x=\pi \cdot k_1,k_1\in \mathbb{Z}$$

$$\mathrm{sen}x=-1\iff x=\mathrm{arcsen}(-1)\Rightarrow x={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}+2\cdot \pi \cdot k_2,k_2\in \mathbb{Z}$$ En esta solución, destacar que si $\mathrm{sen}x=-1\Rightarrow \cos x=0$ y esto quiere decir, que ni la $\mathrm{tg}x$ ni la $\sec x$ están definidas.

Este ejercicio vamos a dividir por 3 y a poner todo en senos y cosenos:

$\cancel{3}\cdot \sec x-\cancel{3}\cdot \mathrm{sen}x\cdot \mathrm{tg}x=-\cancel{3}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{\cos x}}-\mathrm{sen}x\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{\cos x}}=-1$

Multiplicamos por el $\cos x$:

$1-{\mathrm{sen}}^{2}x=-\cos x$

Sustituimos el $1-{\mathrm{sen}}^{2}x={\cos }^{2}x$ y reordenamos:

${\cos }^{2}x=-\cos x\Rightarrow {\cos }^{2}x+\cos x=0$

Tenemos una ecuación de $2^{\underset{―}{0}}$ grado en $\cos x$ incompleta, sacamos factor común y resolvemos:

$${\cos }^{2}x+\cos x=0\Rightarrow \cos x\cdot (\cos x+1)=0\iff \{\begin{array}{l}\cos x=0\\ \\ \cos x=-1\end{array}.$$

$$\cos x=0\iff x=\arccos (0)\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\pi \cdot k_1,k_1\in \mathbb{Z}$$ Esta solución no vale, ya que si el $\cos x=0$, entonces la $\sec x$ y el $\mathrm{tg}x$ no estarían definidas.

$$\cos x=-1\iff x=\arccos (-1)\Rightarrow x=\pi +2\cdot \pi \cdot k_2,k_2\in \mathbb{Z}$$

Este ejercicio vamos a poner todo en senos y cosenos:

$3\cdot {\displaystyle \frac{\cos x}{\mathrm{sen}x}}+4\cdot \mathrm{sen}x=2\cdot \cos x\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{\cos x}}\Rightarrow 3\cdot {\displaystyle \frac{\cos x}{\mathrm{sen}x}}+4\cdot \mathrm{sen}x=2\cdot \mathrm{sen}x\Rightarrow 3\cdot {\displaystyle \frac{\cos x}{\mathrm{sen}x}}+2\cdot \mathrm{sen}x=0$

Multiplicamos por el $\mathrm{sen}x$:

$3\cdot \cos x=2\cdot {\mathrm{sen}}^{2}x$

Sustituimos el ${\mathrm{sen}}^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ y reordenamos:

$3\cdot \cos x=2\cdot (1-{\cos }^{2}x)\Rightarrow 3\cdot \cos x=2-2\cdot {\cos }^{2}x\Rightarrow 2\cdot {\cos }^{2}x+3\cdot \cos x-2=0$

Tenemos una ecuación de $2^{\underset{―}{0}}$ grado en $\cos x$ incompleta, sacamos factor común y resolvemos:

$$\cos x={\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{3^2-4\cdot 2\cdot (-2)}}{4}}={\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{9+16}}{4}}={\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{25}}{4}}={\displaystyle \frac{-3\pm 5}{4}}=\begin{array}{l}\oplus \nearrow {\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \\ \ominus \searrow {\displaystyle \frac{-8}{4}}=-2\end{array}.$$

$$\cos x=-2\iff x=\arccos (-2)$$ Esta solución no vale, ya que el $\cos x$ no puede ser menor que -1.

$$\cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}\iff x=\arccos \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+2\cdot \pi \cdot k_1,k_1\in \mathbb{Z}\\ \\ x={\displaystyle \frac{-\pi }{3}}+2\cdot \pi \cdot k_2={\displaystyle \frac{5\pi }{3}}+2\cdot \pi \cdot k_2,k_2\in \mathbb{Z}\end{array}$$

$\cos x-\mathrm{tg}x=\sec x$ Simplificando, obtenemos: $${\cos }^{2}x-\mathrm{sen}x=1$$ Usando la identidad trigonométrica ${\cos }^{2}x+{\mathrm{sen}}^{2}x=1$, reemplazamos ${\cos }^{2}x$: $$1-\mathrm{sen}x-\mathrm{sen}x=1$$ Simplificando: $$-2\mathrm{sen}x=0\iff \mathrm{sen}x=0$$ La solución es $\mathrm{sen}x=0$, lo cual ocurre cuando $x=k\cdot \pi$, $k\in \mathbb{Z}$, es decir, $k$ es un número entero.

$${\mathrm{sen}}^{2}x-{\cos }^{2}x={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ Simplificamos utilizando la identidad ${\mathrm{sen}}^{2}x+{\cos }^{2}x=1$: $${\mathrm{sen}}^{2}x-(1-{\mathrm{sen}}^{2}x)={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ Expandiendo y simplificando: $$2{\mathrm{sen}}^{2}x={\displaystyle \frac{3}{2}}$$ Dividiendo por 2: $${\mathrm{sen}}^{2}x={\displaystyle \frac{3}{4}}$$ Tomando la raíz cuadrada: $$\mathrm{sen}x={\displaystyle \frac{\pm \sqrt{3}}{2}}$$ - Si $\mathrm{sen}x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Las soluciones son $x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+2n\pi$ y $x={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+2n\pi$, donde $n$ es un número entero.

- Si $\mathrm{sen}x={\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{2}}$

Las soluciones son $x={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}+2n\pi$ y $x={\displaystyle \frac{5\pi }{3}}+2n\pi$, donde $n$ es un número entero.

Estás soluciones se pueden poner así:

$x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+s\pi$ y $x={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+s\pi$, donde $s\in \mathbb{Z}$

$${\cos }^{2}x-3{\mathrm{sen}}^{2}x=0$$ Simplificando con la identidad ${\cos }^{2}x+{\mathrm{sen}}^{2}x=1$: $$4{\cos }^{2}x-3=0$$ Añadiendo 3 a ambos lados: $$4{\cos }^{2}x=3$$ Dividiendo por 4: $${\cos }^{2}x={\displaystyle \frac{3}{4}}$$ Tomando la raíz cuadrada: $$\cos x={\displaystyle \frac{\pm \sqrt{3}}{2}}$$ Las soluciones son:

- Si $\cos x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ $$x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2n\pi ,n\in \mathbb{Z}$$ $$x={\displaystyle \frac{11\pi }{6}}+2n\pi ,n\in \mathbb{Z}$$ - Si $\cos x={\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{2}}$ $$x={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+2n\pi ,n\in \mathbb{Z}$$ $$x={\displaystyle \frac{7\pi }{6}}+2n\pi ,n\in \mathbb{Z}$$ Estás soluciones se pueden poner así:

$x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+s\pi ,s\in \mathbb{Z}$ y $x={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+s\pi$, donde $s\in \mathbb{Z}$

$${\mathrm{sen}}^{2}x+\mathrm{sen}x-6=0$$ Resolviendo la ecuación cuadrática para $\mathrm{sen}x$: $$\mathrm{sen}x={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2\cdot 1}}=$$ $$={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{25}}{2}}={\displaystyle \frac{-1\pm 5}{2}}=\begin{array}{l}\oplus \nearrow {\displaystyle \frac{4}{2}}=2\\ \\ \ominus \searrow {\displaystyle \frac{-6}{2}}=-3\end{array}.$$ Las soluciones son $\mathrm{sen}x=2$ y $\mathrm{sen}x=-3$, pero ambas no tienen soluciones reales, ya que el seno está acotado entre -1 y 1.

$$2\cdot ({\cos }^{2}x-{\mathrm{sen}}^{2}x)=1$$ Dividimos los dos miembros de la ecuación por 2 y nos queda: $${\cos }^{2}x-{\mathrm{sen}}^{2}x={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ Simplificamos utilizando la identidad ${\mathrm{sen}}^{2}x+{\cos }^{2}x=1$: $$(1-{\mathrm{sen}}^{2}x)-{\mathrm{sen}}^{2}x={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ Expandiendo y simplificando: $$-2{\mathrm{sen}}^{2}x={\displaystyle \frac{-1}{2}}$$ Dividiendo por -2: $${\mathrm{sen}}^{2}x={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ Tomando la raíz cuadrada: $$\mathrm{sen}x={\displaystyle \frac{\pm 1}{2}}$$ - Si $\mathrm{sen}x={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Las soluciones son $x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2n\pi$ y $x={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+2n\pi$, donde $n$ es un número entero.

- Si $\mathrm{sen}x={\displaystyle \frac{-1}{2}}$

Las soluciones son $x={\displaystyle \frac{7\pi }{6}}+2n\pi$ y $x={\displaystyle \frac{11\pi }{6}}+2n\pi$, donde $n$ es un número entero.

Estás soluciones se pueden poner así:

$x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+s\pi$ y $x={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+s\pi$, donde $s\in \mathbb{Z}$

$$2{\tan }^{2}x-3\tan x+1=0$$ Resolviendo la ecuación cuadrática para $\tan x$: $$\mathrm{tg}x={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{(-3{)}^2-4\cdot 2\cdot 1}}{2\cdot 2}}={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{9-8}}{4}}={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{1}}{4}}=\begin{array}{l}\oplus \nearrow {\displaystyle \frac{4}{4}}=1\\ \\ \ominus \searrow {\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$ Las soluciones son:

- Si $\mathrm{tg}x=1$
$$x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+n\pi ,n\in \mathbb{Z}$$ - Si $\mathrm{tg}x={\displaystyle \frac{1}{2}}$
$$x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2n\pi ,n\in \mathbb{Z}$$ $$x={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+2n\pi ,n\in \mathbb{Z}$$

$$\tan x=\cos x$$ Lo primero que hacemos es sustituir la tangente por su definición: $${\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{\cos x}}=\cos x\iff \mathrm{sen}x={\cos }^{2}x$$ Despejamos en la Relación Fundamental de la Trigonometría el ${\cos }^{2}x$ y sustituimos en esta ecuación: $${\cos }^{2}x=1-{\mathrm{sen}}^{2}x\Rightarrow \mathrm{sen}x=1-{\mathrm{sen}}^{2}x$$ Reordenando tenemos una ecuación de $2^{\underset{―}{o}}$ orden: $${\mathrm{sen}}^{2}x+\mathrm{sen}x-1=0$$ Resolviendo tenemos: $$\mathrm{sen}x={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-1)}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}}=\begin{array}{l}\oplus \nearrow {\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\\ \\ \ominus \searrow {\displaystyle \frac{-1-\sqrt{5}}{2}}<-1\text{ No es solución válida. }\end{array}$$ Hemos calculado $\mathrm{sen}x$, ahora calcularemos $x$

- Si $\mathrm{sen}x={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\Rightarrow x=\mathrm{arcsen}\left({\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)=0,67\text{rad}={38,17}^{\circ }$ Las soluciones son: $$x=0,67rad.+2n\pi ,n\in \mathbb{Z}⟹x={38,17}^{\circ }+{360}^{\circ }\cdot n\in \mathbb{Z}$$ $$x=2,48rad.+2n\pi ,n\in \mathbb{Z}⟹x={141,83}^{\circ }+{360}^{\circ }\cdot n\in \mathbb{Z}$$

Ampliación de Ecuaciones trigonométricas en este enlace, para ello es necesario saber el seno y el coseno de la suma de dos ángulos y alguna cosilla más.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com