Ecuaciones trigonométricas con solución I

Antes de resolver ecuaciones trigonométricas es conveniente saber las razones trigonométricas de las ángulos principales $0, \dfrac{\ \pi\ }{2}, \pi, \dfrac{\ 3\pi\ }{2}$ y $ 2\pi $; además de los ángulos $ \dfrac{\ \pi\ }{6}, \dfrac{\ \pi\ }{4}, \dfrac{\ \pi\ }{3}$ y los relacionados con estos en los cuadrantes II, III y IV. En este enlace tienes toda esta información

Sabemos que el $\sen x = 1 \Rightarrow x = \arcsen (1) \Rightarrow x = \dfrac{\ \ \pi\ \ }{2} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z $

Sabemos que $\tg x = 0 \Leftrightarrow \sen x = 0$.

Sabemos que el $\sen x = 0 \Rightarrow x = \arcsen(0) \Rightarrow x = \pi \cdot k, \quad k \in \Z $

Sabemos que $2 \cdot \cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \dfrac{\ \ -1 \ \ }{2}$

El coseno es negativo en el $2^{\underline{\circ}}$ y $3^{\underline{er}}$ cuadrante, luego sabemos que el

$$\cos x = \dfrac{\ \ -1 \ \ }{2} \Rightarrow x = \arccos \left ( \dfrac{\ \ -1 \ \ }{2} \right ) \Rightarrow \cases{ x = \dfrac{\ \ 2\pi \ \ }{3} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr \cr x = \dfrac{\ \ 4\pi \ \ }{3} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr } $$

Sabemos que $\sqrt{3} \cdot \tg x - 1 = 0 \Rightarrow \tg x = \dfrac{\ \ 1 \ \ }{ \sqrt{3} } = \dfrac{\ \sqrt{3} \ }{ 3 } $

La tangente es positiva en el $1^{\underline{er}}$ y $3^{\underline{er}}$ cuadrante, luego sabemos que el

$$\tg x = \dfrac{\ \sqrt{3} \ }{ 3 } \Rightarrow x = \arctg \left ( \dfrac{\ \sqrt{3} \ }{ 3 } \right ) \Rightarrow \cases{ x = \dfrac{\ \pi \ }{6} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr \cr x = \dfrac{\ 7\pi \ }{6} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr } $$

Sabemos que la tangente es negativa en el $2^{\underline{\circ}}$ y $4^{\underline{\circ}}$ cuadrante, luego sabemos que

$$ 3x = \arctg ( - 1) \Rightarrow \cases{ 3x = \dfrac{\ 3\pi \ }{4} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr \cr 3x = \dfrac{\ 7\pi \ }{4} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr } \Rightarrow \cases{ x = \dfrac{\ \pi \ }{4} + \dfrac{2 \cdot \pi \cdot k}{3}, \quad k \in \Z \cr \cr x = \dfrac{\ 7\pi \ }{12} + \dfrac{2 \cdot \pi \cdot k}{3}, \quad k \in \Z \cr } $$

Sabemos que el seno es positivo en el $1^{\underline{er}}$ y $2^{\underline{\circ}}$ cuadrante, luego sabemos que

$$ 4x - \dfrac{\ \pi\ }{9} = \arctg \left ( \dfrac{\ \sqrt{3}\ }{2} \right ) \Rightarrow \cases{ 4x - \dfrac{\ \pi\ }{9} = \dfrac{\ \pi \ }{3} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr \cr 4x - \dfrac{\ \pi\ }{9} = \dfrac{\ 2\pi \ }{3} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr } \Rightarrow \cases{ 4x = \dfrac{\ \pi \ }{3} + \dfrac{\ \pi\ }{9} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr \cr 4x = \dfrac{\ 2\pi \ }{3} + \dfrac{\ \pi\ }{9} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr } \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow \cases{ 4x = \dfrac{\ 3\pi \ }{9} + \dfrac{\ \pi\ }{9} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr \cr 4x = \dfrac{\ 6\pi \ }{9} + \dfrac{\ \pi\ }{9} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr } \Rightarrow \cases{ 4x = \dfrac{\ 4\pi \ }{9} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr \cr 4x = \dfrac{\ 7\pi \ }{9} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr } \Rightarrow \cases{ x = \dfrac{\ \pi \ }{9} + \dfrac{\ \pi \cdot k\ }{2}, \quad k \in \Z \cr \cr x = \dfrac{\ 7\pi \ }{36} + \dfrac{\pi \cdot k}{2}, \quad k \in \Z \cr } $$

Sabemos que $\sec x = \dfrac{\ \ 1 \ \ }{ \cos x } $ luego $ \cos x + 4 \cdot \dfrac{\ \ 1 \ \ }{ \cos x } = 5$

Multiplicamos por $\cos x$ ambos lados de la ecuación y tenemos que

$$ \cos^2 x + 4 = 5 \cos x \Rightarrow \cos^2 x - 5 \cos x + 4 = 0$$ Lo que es una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado en $\cos x$

Podemos aplicar la fórmula para resolver la ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado o como vemos fácilmente que 1 es raíz, la otra aíz es 4. Así nos quedará:

$ \cos x = 1 \Rightarrow x = \arccos(1) \Rightarrow x = 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z $
$ \text{ o } \cos x = 4 $ lo que es imposible.

Sabemos que $\tg x = \dfrac{\ \ \sen x \ \ }{ \cos x } $ luego $ \cos x \cdot \tg x = \dfrac{\ \ 1 \ \ }{ 2 } \Rightarrow \cos x \cdot \dfrac{\ \ \sen x \ \ }{ \cos x } = \dfrac{\ \ 1 \ \ }{ 2 } \Rightarrow \sen x = \dfrac{\ \ 1 \ \ }{ 2 } $

El seno es positivo en el $1^{\underline{er}}$ y $2^{\underline{\circ}}$ cuadrante, luego sabemos que el

$$\sen x = \dfrac{\ \ 1 \ \ }{2} \Rightarrow x = \arcsen \left ( \dfrac{\ \ 1 \ \ }{2} \right ) \Rightarrow \cases{ x = \dfrac{\ \ \pi \ \ }{6} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr \cr x = \dfrac{\ \ 5\pi \ \ }{6} + 2 \cdot \pi \cdot k, \quad k \in \Z \cr } $$

Sabemos que $\tg x = \dfrac{\ \ \sen x \ \ }{ \cos x}$, sustituimos y sacamos factor común:
$$ \tg x - \sen x = 0\Rightarrow \dfrac{\ \ \sen x \ \ }{ \cos x} - \sen x = 0 \Rightarrow \sen x \cdot \left ( \dfrac{\ \ 1 \ \ }{ \cos x} - 1 \right ) = 0 $$ Dos posibilidades:

1. $\sen x = 0 \Rightarrow x = \arcsen (0) \Rightarrow x = \pi \cdot k, \qquad k \in Z $
   
   
2. $\dfrac{\ \ 1 \ \ }{ \cos x} - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1 \Rightarrow x = \arccos (1) \Rightarrow x = 2\cdot \pi \cdot k, \qquad k \in Z $
   
   

Las soluciones de $\cos x = 1$ están en las soluciones de $\sen x = 0$. Luego las soluciones de esta ecuación son: $$ x = \pi \cdot k, \qquad k \in Z $$

Este ejercicio se puede hacer de bastantes formas:

1. Dividimos por el $\sen^2 x$ y tenemos que:
   $ \dfrac{\ \ \sen^2 x \ \ }{ \cos^2 x } = 1 \Rightarrow \tg^2 x = 1 \Rightarrow \tg x = \pm 1 $
   
   Dos posibilidades:
   
   
   1. $\tg x = 1 \Rightarrow x = \arctg (1) \Rightarrow x = \dfrac{\ \ \pi\ \ }{4} + \pi \cdot k, \qquad k \in Z $
      
      
   2. $\tg x = -1 \Rightarrow x = \arctg (-1) \Rightarrow x = \dfrac{\ \ 3\pi\ \ }{4} + \pi \cdot k, \qquad k \in Z $
      
      
   Podemos juntar las dos soluciones en una:
   
   $$ x = \dfrac{\ \ \pi\ \ }{4} + \dfrac{\ \ \pi \cdot k\ \ }{2}, \qquad k \in Z $$
   
   Nota: Análogamente se puede hacer dividiendo por el $\sen^2 x$.
   
   
2. Pasamos restando el $\cos^2 x$ y tenemos que:
   $$ \sen^2 x - \cos^2 x = 0 \text{ Esto es una identidad notable, diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia } $$
   $$ \sen^2 x - \cos^2 x = 0 \Rightarrow (\sen x - \cos x) \cdot (\sen x + \cos x) = 0 $$
   Otra vez dos posibilidades:
   
   
   1. $\sen x - \cos x = 0 \Rightarrow \sen x = \cos x \Rightarrow x = \dfrac{\ \ \pi\ \ }{4} + \pi \cdot k, \qquad k \in Z $
      
      
   2. $\sen x + \cos x = 0 \Rightarrow \sen x = - \cos x \Rightarrow x = \dfrac{\ \ 3\pi\ \ }{4} + \pi \cdot k, \qquad k \in Z $
      
      
   Podemos juntar las dos soluciones en una:
   
   $$ x = \dfrac{\ \ \pi\ \ }{4} + \dfrac{\ \ \pi \cdot k\ \ }{2}, \qquad k \in Z $$
   
   
3. Sabemos que $\cos^2 x + \sen^2 x = 1$, depejamos $\cos^2 x = 1 - \sen^2x $ y sustituyendo en la ecuación tenemos que:
   $$ \sen^2 x = 1 - \sen^2 x \Rightarrow 2\sen^2 x = 1 \Rightarrow \sen^2 x = \dfrac{\ 1 \ }{2} \Rightarrow \sen x = \pm \sqrt{ \dfrac{\ 1 \ }{ 2 } } = \dfrac{\ \pm 1 \ }{\sqrt{2}} = \dfrac{\ \pm \sqrt{2} }{2} $$
   Otra vez dos posibilidades:
   
   
   1. $\sen x = \dfrac{\ \sqrt{2} }{2} \Rightarrow x = \dfrac{\ \ \pi\ \ }{4} + \pi \cdot k, \qquad k \in Z $
      
      
   2. $\sen x = \dfrac{\ - \sqrt{2} }{2} \Rightarrow x = \dfrac{\ \ 3\pi\ \ }{4} + \pi \cdot k, \qquad k \in Z $
      
      
   Podemos juntar las dos soluciones en una:
   
   $$ x = \dfrac{\ \ \pi\ \ }{4} + \dfrac{\ \ \pi \cdot k\ \ }{2}, \qquad k \in Z $$
   Nota: Análogamente se puede hacer despejando el $\sen^2 x = 1 - \cos^2 x $.
   

Este ejercicio vamos a poner todo en senos y cosenos:

$ \dfrac{\ \ 3 \ \ }{ \sen x } - 2 \cdot \cos x \cdot \dfrac{\ \ \cos x \ \ }{ \sen x } + 3 = 0 $

Multiplicamos por el $\sen x$:

$ 3 - 2 \cdot \cos^2 x + 3 \cdot \sen x = 0 $

Sustituimos el $\cos^2 x = 1 - \sen^2 x$ y reordenamos:

$ 3 - 2 \cdot (1 - \sen^2 x) + 3 \cdot \sen x = 0 \Rightarrow 3 - 2 + 2 \sen^2 + 3 \cdot \sen x = 0 \Rightarrow 2 \cdot \sen^2 x + 3 \cdot \sen x + 1 = 0 $

Tenemos una ecuación de $\odn{2}{0}$ grado en $\sen x$:

$$ \sen x = \dfrac{\ \ -3 \pm \sqrt{\ 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 \ } \ }{ 4 } = \dfrac{\ \ -3 \pm \sqrt{\ 9 - 8 \ } \ }{ 4 } = \dfrac{\ \ -3 \pm \sqrt{\ 1 } \ }{ 4 } = \dfrac{\ \ -3 \pm 1 \ }{ 4 } = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ -2 }{ 4 } = \dfrac{ -1 }{ 2 } \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -4 }{ 4 } = -1 \end{array}. $$

$$ \sen x = \dfrac{ -1 }{ 2 } \Leftrightarrow x = \arcsen \left ( \dfrac{\ -1\ }{2} \right ) \Rightarrow \cases{ x = \dfrac{\ 7\pi\ }{6} + 2 \cdot \pi \cdot k_1, \quad k_1 \in \Z \cr \cr x = \dfrac{\ 11\pi\ }{ 6 } + 2 \cdot \pi \cdot k_2, \quad k_2 \in \Z \cr } $$

$$ \sen x = -1 \Leftrightarrow x = \arcsen \left ( -1 \right ) \Rightarrow x = \dfrac{\ 3\pi\ }{2} + 2 \cdot \pi \cdot k_3, \quad k_3 \in \Z $$

Este ejercicio vamos a poner todo en senos y cosenos:

$ \cos x - \dfrac{ \sen x }{\ \ \cos x \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos x \ \ } $

Multiplicamos por el $\cos x$:

$ \cos^2 x - \sen x = 1 $

Sustituimos el $\cos^2 x = 1 - \sen^2 x$ y reordenamos:

$ 1 - \sen^2 x - \sen x - 1 = 0 \Rightarrow - \sen^2 x - \sen x = 0 \Rightarrow \sen^2 x + \sen x = 0 $

Tenemos una ecuación de $\odn{2}{0}$ grado en $\sen x$ incompleta, sacamos factor común y resolvemos:

$$ \sen^2 x + \sen x = 0 \Rightarrow \sen x \cdot (\sen x + 1) = 0 \Leftrightarrow \cases{ \sen x = 0 \cr \cr \sen x = - 1 }. $$

$$ \sen x = 0 \Leftrightarrow x = \arcsen ( 0 ) \Rightarrow x = \pi \cdot k_1, \quad k_1 \in \Z $$

$$ \sen x = -1 \Leftrightarrow x = \arcsen \left ( -1 \right ) \Rightarrow x = \dfrac{\ 3\pi\ }{2} + 2 \cdot \pi \cdot k_2, \quad k_2 \in \Z $$ En esta solución, destacar que si $ \sen x = -1 \Rightarrow \cos x = 0$ y esto quiere decir, que ni la $\tg x$ ni la $\sec x$ están definidas.

Este ejercicio vamos a dividir por 3 y a poner todo en senos y cosenos:

$ \cancel{3} \cdot \sec x - \cancel{3} \cdot \sen x \cdot \tg x = - \cancel{3} \Rightarrow \dfrac{ 1 }{\ \cos x\ \ } - \sen x \cdot \dfrac{ \sen x }{\ \cos x\ \ } = - 1 $

Multiplicamos por el $\cos x$:

$ 1 - \sen^2 x = - \cos x $

Sustituimos el $1 - \sen^2 x = \cos^2 x $ y reordenamos:

$ \cos^2 x = - \cos x \Rightarrow \cos^2 x + \cos x = 0 $

Tenemos una ecuación de $\odn{2}{0}$ grado en $\cos x$ incompleta, sacamos factor común y resolvemos:

$$ \cos^2 x + \cos x = 0 \Rightarrow \cos x \cdot (\cos x + 1) = 0 \Leftrightarrow \cases{ \cos x = 0 \cr \cr \cos x = -1 }. $$

$$ \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \arccos( 0 ) \Rightarrow x = \dfrac{\ \pi\ }{ 2 } + \pi \cdot k_1, \quad k_1 \in \Z $$ Esta solución no vale, ya que si el $\cos x = 0$, entonces la $\sec x$ y el $\tg x$ no estarían definidas.

$$ \cos x = -1 \Leftrightarrow x = \arccos \left ( -1 \right ) \Rightarrow x = \pi + 2 \cdot \pi \cdot k_2, \quad k_2 \in \Z $$

Este ejercicio vamos a poner todo en senos y cosenos:

$ 3 \cdot \dfrac{\ \cos x\ \ }{ \sen x } + 4 \cdot \sen x = 2 \cdot \cos x \cdot \dfrac{ \sen x }{\ \cos x\ \ } \Rightarrow 3 \cdot \dfrac{\ \cos x\ \ }{ \sen x } + 4 \cdot \sen x = 2 \cdot \sen x \Rightarrow 3 \cdot \dfrac{\ \cos x\ \ }{ \sen x } + 2 \cdot \sen x = 0 $

Multiplicamos por el $\sen x$:

$ 3 \cdot \cos x = 2 \cdot \sen^2 x $

Sustituimos el $\sen^2 x = 1 - \cos^2 x $ y reordenamos:

$ 3 \cdot \cos x = 2 \cdot (1 - \cos^2 x ) \Rightarrow 3 \cdot \cos x = 2 - 2 \cdot \cos^2 x \Rightarrow 2 \cdot \cos^2 x + 3 \cdot \cos x - 2 = 0 $

Tenemos una ecuación de $\odn{2}{0}$ grado en $\cos x$ incompleta, sacamos factor común y resolvemos:

$$ \cos x = \dfrac{\ \ -3 \pm \sqrt{\ 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) \ } \ }{ 4 } = \dfrac{\ \ -3 \pm \sqrt{\ 9 + 16 \ } \ }{ 4 } = \dfrac{\ \ -3 \pm \sqrt{\ 25\ } \ }{ 4 } = \dfrac{\ \ -3 \pm 5 \ }{ 4 } = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 2 }{ 4 } = \dfrac{ 1 }{ 2 } \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -8 }{ 4 } = -2 \end{array}. $$

$$ \cos x = -2 \Leftrightarrow x = \arccos( -2 ) $$ Esta solución no vale, ya que el $\cos x $ no puede ser menor que -1.

$$ \cos x = \dfrac{\ 1\ }{2} \Leftrightarrow x = \arccos \left ( \dfrac{\ 1\ }{2} \right ) \Rightarrow \cases{ x = \dfrac{\ \pi\ }{3} + 2 \cdot \pi \cdot k_1, \quad k_1 \in \Z \cr \cr x = \dfrac{\ -\pi\ }{ 3 } + 2 \cdot \pi \cdot k_2 = \dfrac{\ 5\pi\ }{ 3 } + 2 \cdot \pi \cdot k_2, \quad k_2 \in \Z \cr } $$

\(\cos x - \tg x = \sec x\) Simplificando, obtenemos: \[\cos^2 x - \sen x = 1\] Usando la identidad trigonométrica \(\cos^2 x + \sen^2 x = 1\), reemplazamos \(\cos^2 x\): \[1 - \sen x - \sen x = 1\] Simplificando: \[-2\sen x = 0 \Leftrightarrow \sen x = 0 \] La solución es \(\sen x = 0\), lo cual ocurre cuando \(x = k \cdot \pi\), $ k \in \Z $, es decir, $k$ es un número entero.

\[\sen^2 x - \cos^2 x = \dfrac{1}{2}\] Simplificamos utilizando la identidad \(\sen^2 x + \cos^2 x = 1\): \[\sen^2 x - (1 - \sen^2 x) = \dfrac{1}{2}\] Expandiendo y simplificando: \[2\sen^2 x = \dfrac{3}{2}\] Dividiendo por 2: \[\sen^2 x = \dfrac{3}{4}\] Tomando la raíz cuadrada: \[\sen x = \dfrac{\ \pm \sqrt{\ 3\ } \ }{2}\] - Si $\sen x = \dfrac{\ \sqrt{\ 3\ } \ }{2}$

Las soluciones son \(x = \dfrac{\ \pi\ }{3} + 2n\pi\) y \(x = \dfrac{\ 2\pi\ }{3} + 2n \pi \), donde \(n\) es un número entero.

- Si $\sen x = \dfrac{\ -\sqrt{\ 3\ } \ }{2}$

Las soluciones son \(x = \dfrac{\ 4\pi\ }{3} + 2n\pi\) y \(x = \dfrac{\ 5\pi\ }{3} + 2n \pi \), donde \(n\) es un número entero.

Estás soluciones se pueden poner así:

\( x = \dfrac{\ \pi\ }{3} + s\pi \) y \( x = \dfrac{\ 2\pi\ }{3} + s\pi \), donde \( s \in \Z \)

\[ \cos^2 x - 3 \sen^2 x = 0 \] Simplificando con la identidad \(\cos^2 x + \sen^2 x = 1\): \[ 4 \cos^2 x - 3 = 0 \] Añadiendo 3 a ambos lados: \[ 4 \cos^2 x = 3 \] Dividiendo por 4: \[ \cos^2 x = \dfrac{\ 3\ }{4} \] Tomando la raíz cuadrada: \[ \cos x = \dfrac{\ \pm \sqrt{\ 3\ }\ }{2} \] Las soluciones son:

- Si \(\cos x = \dfrac{\ \sqrt{\ 3\ }\ }{2} \) \[ x = \dfrac{\ \pi\ }{6} + 2n\pi, n \in \Z \] \[ x = \dfrac{\ 11\pi\ }{6} + 2n\pi, n \in \Z \] - Si \(\cos x = \dfrac{\ -\sqrt{\ 3\ }\ }{2} \) \[ x = \dfrac{\ 5\pi\ }{6} + 2n\pi, n \in \Z \] \[ x = \dfrac{\ 7\pi\ }{6} + 2n\pi, n \in \Z \] Estás soluciones se pueden poner así:

\( x = \dfrac{\ \pi\ }{6} + s\pi, s \in \Z \) y \( x = \dfrac{\ 5\pi\ }{6} + s\pi \), donde \( s \in \Z \)

\[ \sen^2 x + \sen x - 6 = 0 \] Resolviendo la ecuación cuadrática para \(\sen x\): \[ \sen x = \dfrac{\ -1 \pm \sqrt{\ 1 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)\ }\ }{ 2 \cdot 1 } = \] \[ = \dfrac{-1 \pm \sqrt{\ 25\ }\ }{2} = \dfrac{\ -1 \pm 5\ }{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 4 }{ 2 } = 2 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -6 }{ 2 } = -3 \end{array}. \] Las soluciones son \(\sen x = 2\) y \(\sen x = -3\), pero ambas no tienen soluciones reales, ya que el seno está acotado entre -1 y 1.

\[ 2 \cdot ( \cos^2 x - \sen^2 x ) = 1 \] Dividimos los dos miembros de la ecuación por 2 y nos queda: \[ \cos^2 x - \sen^2 x = \dfrac{\ 1\ }{2} \] Simplificamos utilizando la identidad \(\sen^2 x + \cos^2 x = 1\): \[(1 - \sen^2 x) - \sen^2 x = \dfrac{1}{2}\] Expandiendo y simplificando: \[-2\sen^2 x = \dfrac{\ -1\ }{2}\] Dividiendo por -2: \[\sen^2 x = \dfrac{\ 1\ }{4}\] Tomando la raíz cuadrada: \[\sen x = \dfrac{\ \pm 1 \ }{2}\] - Si $\sen x = \dfrac{\ 1 \ }{2}$

Las soluciones son \(x = \dfrac{\ \pi\ }{6} + 2n\pi\) y \(x = \dfrac{\ 5\pi\ }{6} + 2n \pi \), donde \(n\) es un número entero.

- Si $\sen x = \dfrac{\ -1 \ }{2}$

Las soluciones son \(x = \dfrac{\ 7\pi\ }{6} + 2n\pi\) y \(x = \dfrac{\ 11\pi\ }{6} + 2n \pi \), donde \(n\) es un número entero.

Estás soluciones se pueden poner así:

\( x = \dfrac{\ \pi\ }{6} + s\pi \) y \( x = \dfrac{\ 5\pi\ }{6} + s\pi \), donde \( s \in \Z \)

\[2 \tan^2 x - 3 \tan x + 1 = 0\] Resolviendo la ecuación cuadrática para \(\tan x\): \[\tg x = \dfrac{\ 3 \pm \sqrt{\ (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1\ }}{ 2 \cdot 2 } = \dfrac{\ 3 \pm \sqrt{\ 9 - 8\ }\ }{ 4 } = \dfrac{\ 3 \pm \sqrt{\ 1\ }\ }{ 4 } = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 4 }{ 4 } = 1 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 2 }{ 4 } = \dfrac{\ 1\ }{ 2 } \end{array} \] Las soluciones son:

- Si \( \tg x = 1 \)
\[ x = \dfrac{\ \pi\ }{4} + n\pi, n \in \Z \] - Si \( \tg x = \dfrac{\ 1\ }{ 2 } \)
\[ x = \dfrac{\ \pi\ }{6} + 2n\pi, n \in \Z \] \[ x = \dfrac{\ 5\pi\ }{6} + 2n\pi, n \in \Z \]

Ampliación de Ecuaciones trigonométricas en este enlace, para ello es necesario saber el seno y el coseno de la suma de dos ángulos y alguna cosilla más.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com