SM Página 142 Ejercicio 141

Del cuadrado $ABCD$, se conocen las coordenadas del punto $A(8,7)$ y que los puntos B y C pertenecen a la recta de ecuación $3x-4y=19$.

1. ¿Cuáles son las coordenadas de los otros tres vértices?
2. Halla el perímetro ($P_c$) y el área del cuadrado ($A_c$).

El perímetro y el área se puede calcular directamente. La longitud del lado del cuadrado es la distancia del punto a la recta:
$$d(A,r)={\displaystyle \frac{|3\cdot 8-4\cdot 7-19|}{\sqrt{3^2+4^2}}}={\displaystyle \frac{|24-28-19|}{\sqrt{25}}}={\displaystyle \frac{23}{5}}$$ Luego el perímetro es: $P_c=4\cdot {\displaystyle \frac{23}{5}}={\displaystyle \frac{92}{5}}u$

Y el área es: $A_c={\left({\displaystyle \frac{23}{5}}\right)}^2={\displaystyle \frac{{23}^2}{25}}{u}^2={\displaystyle \frac{529}{25}}{u}^2$

Usando rectas

Vamos con el apartado $a)$, vamos a resolverlo con rectas:

Tenemos el punto A y la recta $r:3x-4y=19$. Lo primero que podemos calcular es la recta $s$, que es perpendicular a $r$ y que pase por $A$.
La recta $s$ es de la forma $4x+3y+d=0$, para calcular $d$ sabemos que pasa por $A$, así tenemos:
$$4\cdot 8+3\cdot 7+d=0\Rightarrow 32+21+d=0\Rightarrow 53+d=0\Rightarrow d=-53$$ Así la ecuación de la recta es $s:4x+3y=53$
Y también podemos calcular la recta $t$, que es paralela a la recta $r$ y que pasa por el punto $A$:

La recta $t$ es de la forma $t:3x-4y+e=0$ y para calcular $e$ sabemos que pasa por $A$ entonces: $$3\cdot 8-4\cdot 7+e=0\Rightarrow 24-28+e=0\Rightarrow -4+e=0\Rightarrow e=4$$ Luego la recta $t$ paralela a $r$ que pasa por $A$ es $t:3x-4y=-4$

Y ahora como sabemos que la distancia entre las rectas paralelas que definen el cuadrado es la misma, en este caso ${\displaystyle \frac{23}{5}}$ y sabemos que la recta $u$ que falta es paralela a la recta $s$ y está a la distancia calculada, luego sabemos que $u:4x+3y+f=0$. Vamos a calcular el valor de $f$:
$$d(u,r)={\displaystyle \frac{23}{5}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{|f+53|}{\sqrt{3^2+4^2}}}={\displaystyle \frac{23}{5}}\Rightarrow |f+53|=23\Rightarrow$$ Cómo es un valor absoluto tenemos dos posibilidades:
$$\Rightarrow |f+53|=23\Rightarrow \{\begin{array}{l}{1}^{\underset{―}{a}}{f}_1+53=23\Rightarrow f_1=-30\Rightarrow u_1:4x+3y=30\\ \\ 2^{\underset{―}{a}}{f}_2+53=-23\Rightarrow f_2=-76\Rightarrow u_2:4x+3y=76\end{array}$$ Y tiene sentido que tengamos dos rectas a esa distancia de la recta $r$.

Vamos a calcular los vértices, el primero que calculamos está claro que el punto $B=r\bigcap s$:
$$\{\begin{array}{l}3x-4y=19\\ 4x+3y=53\end{array}$$ $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{c}3x-4y=19\\ 4x+3y=53\end{array}\begin{array}{c}\stackrel{\cdot 3}{\to }\\ \stackrel{\cdot 4}{\to }\end{array}& & \{\begin{array}{c}9x-12y=57\\ 16x+12y=212\end{array}\end{array}$$ Sumando ambas ecuaciones tenemos que: $25x=269\Rightarrow x={\displaystyle \frac{269}{25}}$

Ahora vamos a calcular el valor de $y$: $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{c}3x-4y=19\\ 4x+3y=53\end{array}\begin{array}{c}\stackrel{\cdot (-4)}{\to }\\ \stackrel{\cdot 3}{\to }\end{array}& \{\begin{array}{c}-12x+16y=-76\\ 12x+9y=159\end{array}& \\ \end{array}$$ Sumando ambas ecuaciones tenemos que: $25y=83\Rightarrow y={\displaystyle \frac{83}{25}}$. El punto $B=({\displaystyle \frac{269}{25}},{\displaystyle \frac{83}{25}})$

Como tenemos dos posibilidades para la recta $u$ ($u_1$ y $u_2$) tenemos dos posibilidades para el punto $C$ y $D$. Vamos con la recta $u_1$ y calculamos los puntos $C_1$ y $D_1$:

$C_1$ es la intersección de las rectas $r$ y $u_1$, $C_1=r\bigcap u_1$ tenemos el sistema: $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{c}3x-4y=19\\ 4x+3y=30\end{array}\begin{array}{c}\stackrel{\cdot 3}{\to }\\ \stackrel{\cdot 4}{\to }\end{array}& \{\begin{array}{c}9x-12y=57\\ 16x+12y=120\end{array}& \\ \end{array}$$ Sumando ambas ecuaciones tenemos que: $25x=177\Rightarrow x={\displaystyle \frac{177}{25}}$

Ahora vamos a calcular el valor de $y$: $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{c}3x-4y=19\\ 4x+3y=30\end{array}\begin{array}{c}\stackrel{\cdot (-4)}{\to }\\ \stackrel{\cdot 3}{\to }\end{array}& \$\{\begin{array}{c}-12x+16y=-76\\ 12x+9y=90\end{array}\$& \\ \end{array}$$ Sumando ambas ecuaciones tenemos que: $25y=14\Rightarrow y={\displaystyle \frac{14}{25}}$. El punto $C_1=({\displaystyle \frac{177}{25}},{\displaystyle \frac{14}{25}})$

Vamos a calcular las coordenadas de $D_1$:

$D_1$ es la intersección de las rectas $t$ y $u_1$, $D_1=t\bigcap u_1$ tenemos el sistema: $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{c}3x-4y=-4\\ 4x+3y=30\end{array}\begin{array}{c}\stackrel{\cdot 3}{\to }\\ \stackrel{\cdot 4}{\to }\end{array}& \{\begin{array}{c}9x-12y=-12\\ 16x+12y=120\end{array}& \\ \end{array}$$ Sumando ambas ecuaciones tenemos que: $25x=108\Rightarrow x={\displaystyle \frac{108}{25}}$

Ahora vamos a calcular el valor de $y$: $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{c}3x-4y=-4\\ 4x+3y=30\end{array}\begin{array}{c}\stackrel{\cdot (-4)}{\to }\\ \stackrel{\cdot 3}{\to }\end{array}& \{\begin{array}{c}-12x+16y=16\\ 12x+9y=90\end{array}\$& \\ \end{array}$$ Sumando ambas ecuaciones tenemos que: $25y=106\Rightarrow y={\displaystyle \frac{106}{25}}$. El punto $D_1=({\displaystyle \frac{108}{25}},{\displaystyle \frac{106}{25}})$

Vamos con la recta $u_2$ y calculamos los puntos $C_2$ y $D_2$:

$C_2$ es la intersección de las rectas $r$ y $u_2$, $C_2=r\bigcap u_2$ tenemos el sistema: $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{c}3x-4y=19\\ 4x+3y=76\end{array}\begin{array}{c}\stackrel{\cdot 3}{\to }\\ \stackrel{\cdot 4}{\to }\end{array}& \{\begin{array}{c}9x-12y=57\\ 16x+12y=304\end{array}& \\ \end{array}$$ Sumando ambas ecuaciones tenemos que: $25x=361\Rightarrow x={\displaystyle \frac{361}{25}}$

Ahora vamos a calcular el valor de $y$: $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{c}3x-4y=19\\ 4x+3y=76\end{array}\begin{array}{c}\stackrel{\cdot (-4)}{\to }\\ \stackrel{\cdot 3}{\to }\end{array}& \{\begin{array}{c}-12x+16y=-76\\ 12x+9y=228\end{array}& \\ \end{array}$$ Sumando ambas ecuaciones tenemos que: $25y=152\Rightarrow y={\displaystyle \frac{152}{25}}$. El punto $C_2=({\displaystyle \frac{361}{25}},{\displaystyle \frac{152}{25}})$

Vamos a calcular las coordenadas de $D_2$:

$D_2$ es la intersección de las rectas $t$ y $u_2$, $D_2=t\bigcap u_2$ tenemos el sistema: $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{c}3x-4y=-4\\ 4x+3y=76\end{array}\begin{array}{c}\stackrel{\cdot 3}{\to }\\ \stackrel{\cdot 4}{\to }\end{array}& \{\begin{array}{c}9x-12y=-12\\ 16x+12y=304\end{array}& \\ \end{array}$$ Sumando ambas ecuaciones tenemos que: $25x=292\Rightarrow x={\displaystyle \frac{292}{25}}$

Ahora vamos a calcular el valor de $y$: $$\begin{array}{ccc}\$\{\begin{array}{c}3x-4y=-4\\ 4x+3y=30\end{array}\begin{array}{c}\stackrel{\cdot (-4)}{\to }\\ \stackrel{\cdot 3}{\to }\end{array}\$& \$\{\begin{array}{c}-12x+16y=16\\ 12x+9y=228\end{array}\$& \\ \end{array}$$ Sumando ambas ecuaciones tenemos que: $25y=244\Rightarrow y={\displaystyle \frac{244}{25}}$. El punto $D_2=({\displaystyle \frac{292}{25}},{\displaystyle \frac{244}{25}})$



El enlace a la construcción con rectas.

Usando vectores

Vamos a hacer el apartado $a)$ usando vectores:

Empezamos de la misma forma que con las rectas, calculando la recta $s$, que es perpendicular a $r$ y pasa por el punto $A$ que ya hemos visto que es la recta $s:4x+3y=53$ y calculamos el punto $B=r\bigcap s$, donde $B=({\displaystyle \frac{269}{25}},{\displaystyle \frac{83}{25}})$

Ahora podemos calcular el vector $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{BA}$: $$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{BA}=(8-{\displaystyle \frac{269}{25}},7-{\displaystyle \frac{83}{25}})=({\displaystyle \frac{200-269}{25}},{\displaystyle \frac{175-83}{25}})=({\displaystyle \frac{-69}{25}},{\displaystyle \frac{92}{25}})$$ Calculamos el vector $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{v}\perp \overrightarrow{u}$, nos salen dos posibilidades para el vector, vamos a coger que $$\overrightarrow{v}=({\displaystyle \frac{-92}{25}},{\displaystyle \frac{-69}{25}})$$ Al punto $B$, le podemos sumar el vector $\overrightarrow{v}$ o su opuesto $-\overrightarrow{v}$, vamos a sumarle $\overrightarrow{v}$ y tenemos que: $$C_1=B+\overrightarrow{v}=({\displaystyle \frac{269}{25}},{\displaystyle \frac{83}{25}})+({\displaystyle \frac{-92}{25}},{\displaystyle \frac{-69}{25}})=({\displaystyle \frac{177}{25}},{\displaystyle \frac{14}{25}})$$ Al punto $C_1$, le podemos sumamos el vector $-\overrightarrow{u}$, así tenemos que: $$D_1=C_1-\overrightarrow{u}=({\displaystyle \frac{177}{25}},{\displaystyle \frac{14}{25}})+({\displaystyle \frac{-69}{25}},{\displaystyle \frac{92}{25}})=({\displaystyle \frac{108}{25}},{\displaystyle \frac{106}{25}})$$ Podemos comprobar que las cosas están bien hechas ya que si a $D_1$ le sumamos $-\overrightarrow{v}$ nos dará el punto $A$: $$A=D_1-\overrightarrow{v}=({\displaystyle \frac{108}{25}},{\displaystyle \frac{106}{25}})+({\displaystyle \frac{92}{25}},{\displaystyle \frac{69}{25}})=({\displaystyle \frac{200}{25}},{\displaystyle \frac{175}{25}})=(8,7)✓$$ Al punto $B$, le podemos sumar el vector $\overrightarrow{v}$ o su opuesto $-\overrightarrow{v}$, vamos a sumarle $-\overrightarrow{v}$ y tenemos que: $$C_2=B+\overrightarrow{v}=({\displaystyle \frac{269}{25}},{\displaystyle \frac{83}{25}})+({\displaystyle \frac{92}{25}},{\displaystyle \frac{69}{25}})=({\displaystyle \frac{361}{25}},{\displaystyle \frac{152}{25}})$$ Al punto $C_2$, le podemos sumamos el vector $\overrightarrow{u}$, así tenemos que: $$D_2=C_2+\overrightarrow{u}=({\displaystyle \frac{361}{25}},{\displaystyle \frac{152}{25}})+({\displaystyle \frac{-69}{25}},{\displaystyle \frac{92}{25}})=({\displaystyle \frac{292}{25}},{\displaystyle \frac{244}{25}})$$ Podemos comprobar que las cosas están bien hechas ya que si a $D_2$ le sumamos $\overrightarrow{v}$ nos dará el punto $A$: $$A=D_2+\overrightarrow{v}=({\displaystyle \frac{292}{25}},{\displaystyle \frac{244}{25}})+({\displaystyle \frac{-92}{25}},{\displaystyle \frac{-69}{25}})=({\displaystyle \frac{200}{25}},{\displaystyle \frac{174}{25}})=(8,7)✓$$ El enlace a la construcción con vectores.

Usando la diagonal del cuadrado

Vamos a resolver el apartado $a)$ usando una recta que forma un ángulo de ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ radianes con la recta $r:3x-4y=19$.

Empezamos de la misma forma que con las rectas, calculando la recta $s$, que es perpendicular a $r$ y pasa por el punto $A$ que ya hemos visto que es la recta $s:4x+3y=53$ y calculamos el punto $B=r\bigcap s$, donde $B=({\displaystyle \frac{269}{25}},{\displaystyle \frac{83}{25}})$

Ponemos la recta $r$ en su forma explícita $r:y={\displaystyle \frac{3}{4}}x-{\displaystyle \frac{19}{4}}$ y la pendiente de esta recta es $m_r={\displaystyle \frac{3}{4}}$.

Ahora buscamos una recta que forme un ángulo de ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ radianes o ${45}^{\circ }$ grados con la recta $r$, para ello usaremos la fórmula: $$\mathrm{tg}\left(\alpha \right)=\left|{\displaystyle \frac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2}}\right|\Rightarrow \mathrm{tg}\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=\left|{\displaystyle \frac{\frac{3}{4}-m}{1+\frac{3}{4}m}}\right|\Rightarrow 1=\left|{\displaystyle \frac{\frac{3}{4}-m}{1+\frac{3}{4}m}}\right|$$ Al tener un valor absoluto nos da dos posibilidades: $$1=\left|{\displaystyle \frac{\frac{3}{4}-m}{1+\frac{3}{4}m}}\right|\Rightarrow \{\begin{array}{l}{1}^{\underset{―}{a}}1={\displaystyle \frac{\frac{3}{4}-m}{1+\frac{3}{4}m}}\Rightarrow 1+{\displaystyle \frac{3}{4}}m={\displaystyle \frac{3}{4}}-m\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{-7}{4}}m\Rightarrow m_1={\displaystyle \frac{-1}{7}}\\ \\ 2^{\underset{―}{a}}-1={\displaystyle \frac{\frac{3}{4}-m}{1+\frac{3}{4}m}}\Rightarrow -1-{\displaystyle \frac{3}{4}}m={\displaystyle \frac{3}{4}}-m\Rightarrow {\displaystyle \frac{-7}{4}}={\displaystyle \frac{-1}{4}}m\Rightarrow m_2=7\end{array}$$ Y de esa recta que forma un ángulo de ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ radianes y que pasa por el punto $A$ tenemos dos rectas, ya que nos han salido dos valores para las pendiente de la recta.

Si $m_1=7$, la recta $d_1:y-7=7\cdot (x-8)\Rightarrow d_1:7x-y=49$

Si $m_2={\displaystyle \frac{-1}{7}}$, la recta $d_2:y-7={\displaystyle \frac{-1}{7}}\cdot (x-8)\Rightarrow d_2:x+7y=57$

Vamos a calcular $C_1$, el punto de intersección de las rectas $r$ y $d_1$, $C_1=r\bigcap d_1$ tenemos que resolver el sistema: $$\{\begin{array}{c}7x-y=49\\ 3x-4y=19\end{array}$$ Despejamos la $y$ de la primera ecuación $y=7x-49$ y sustituimos en la segunda ecuación:

$$3x-4\cdot (7x-49)=19\Rightarrow 3x-28x+196=19\Rightarrow -25x=-177\Rightarrow x={\displaystyle \frac{177}{25}}$$ Ahora vamos a calcular el valor de $y={\displaystyle \frac{7\cdot 177}{25}}-49={\displaystyle \frac{1239-1225}{25}}={\displaystyle \frac{14}{25}}$. Las coordenadas del punto son $C_1=({\displaystyle \frac{177}{25}},{\displaystyle \frac{14}{25}})$ Ahora calculamos el punto medio del segmento $\overline{A{C}_1}$ que lo llamaremos $M_1$: $$M_1=({\displaystyle \frac{8+\frac{177}{25}}{2}},{\displaystyle \frac{7+\frac{14}{25}}{2}})=({\displaystyle \frac{377}{50}},{\displaystyle \frac{189}{50}})$$ Y ahora $D_1$ es el simétrico de $B$ respecto de $M_1$, es decir, $M_1$ es el punto medio del segmento $B{D}_1$. Vamos a calcular las coordenadas del punto $D_1=(d_{1x},d_{1y})$:

$d_{1x}=2\cdot {\displaystyle \frac{377}{50}}-{\displaystyle \frac{269}{25}}={\displaystyle \frac{108}{25}}$

$d_{1y}=2\cdot {\displaystyle \frac{189}{50}}-{\displaystyle \frac{83}{25}}={\displaystyle \frac{106}{25}}$

Así el punto $D_1=({\displaystyle \frac{108}{25}},{\displaystyle \frac{106}{25}})$. Vamos a calcular $C_2$, el punto de intersección de las rectas $r$ y $d_2$, $C_2=r\bigcap d_2$ tenemos que resolver el sistema: $$\{\begin{array}{c}x+7y=57\\ 3x-4y=19\end{array}$$ Despejamos la $x$ de la primera ecuación $x=57-7y$ y sustituimos en la segunda ecuación:

$$3\cdot (57-7y)-4y=19\Rightarrow 171-21y-4y=19\Rightarrow -25y=-152\Rightarrow y={\displaystyle \frac{152}{25}}$$ Ahora vamos a calcular el valor de $x=57-{\displaystyle \frac{7\cdot 152}{25}}={\displaystyle \frac{1425-1064}{25}}={\displaystyle \frac{361}{25}}$. Las coordenadas del punto son $C_2=({\displaystyle \frac{361}{25}},{\displaystyle \frac{152}{25}})$ Ahora calculamos el punto medio del segmento $\overline{A{C}_2}$ que lo llamaremos $M_2$: $$M_2=({\displaystyle \frac{8+\frac{361}{25}}{2}},{\displaystyle \frac{7+\frac{152}{25}}{2}})=({\displaystyle \frac{561}{50}},{\displaystyle \frac{327}{50}})$$ Y ahora $D_2$ es el simétrico de $B$ respecto de $M_2$, es decir, $M_2$ es el punto medio del segmento $B{D}_2$. Vamos a calcular las coordenadas del punto $D_2=(d_{2x},d_{2y})$:

$d_{2x}=2\cdot {\displaystyle \frac{561}{50}}-{\displaystyle \frac{269}{25}}={\displaystyle \frac{292}{25}}$

$d_{2y}=2\cdot {\displaystyle \frac{327}{50}}-{\displaystyle \frac{83}{25}}={\displaystyle \frac{244}{25}}$

Así el punto $D_2=({\displaystyle \frac{292}{25}},{\displaystyle \frac{244}{25}})$.


El enlace a la construcción con la diagonal.