Resolver ecuaciones de 2º grado completas e incompletas. Bicuadradas.

Fórmula para resolver ecuaciones de $2^{\underset{―}{\circ }}$ grado $a{x}^2+bx+c=0$

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— Tungsteno (@74WTungsteno) July 7, 2021

Veamos «otra fórmula» para resolver ecuaciones de $2^{\underset{―}{\circ }}$ grado, pero $C$ tiene que ser distinto de cero: $$\begin{array}{rl}a{x}^2+bx+c& =0\\ 4ac{x}^2+4bcx+4c^2& =0\\ 4bcx+4c^2& =-4ac{x}^2\\ b^2{x}^2+4bcx+4c^2& =b^2{x}^2-4ac{x}^2\\ (bx+2c{)}^2& =x^2(b^2-4ac)\\ bx+2c& =\pm x\sqrt{b^2-4ac}\\ 2c& =-bx\pm x\sqrt{b^2-4ac}\\ 2c& =x(-b\pm \sqrt{b^2-4ac})\\ x(-b\pm \sqrt{b^2-4ac})& =2c\\ x& ={\displaystyle \frac{2c}{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}}\end{array}$$

Completas

Una ecuación de $2^{\underset{―}{\circ }}$ grado es completa si $a\ne 0$, $b\ne 0$ y $c\ne 0$. Para ello tenemos que ver cuanto vale $a,byc$ y aplicar dicha fórmula: $$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ Lo primero que tenemos que hacer es estudiar el discriminante $\mathrm{\Delta }=\sqrt{b^2-4ac}$

 

$$\{\begin{array}{l}\text{ Si }\mathrm{\Delta }>0\text{ tendremos 2soluciones diferentes;}\\ \\ \text{ Si }\mathrm{\Delta }=0\text{tendremos 1solución «doble» (es la misma), es una identidad notable, y}\\ \\ \text{ Si }\mathrm{\Delta }<0\text{ no tendremos ninguna solución «real».}\end{array}$$

Veamos algunos ejemplos:
1.- Para la ecuación: $x^2+6x+5=0$, entonces $a=1$, $b=6$ y $c=5$.

Resolvamos la ecuación:
Primero veamos el $\mathrm{\Delta }=\sqrt{6^2-4\cdot 1\cdot 5}=\sqrt{36-20}=\sqrt{16}=4$ como el determinante es positivo, tiene dos raíces reales diferentes:

$$x={\displaystyle \frac{-6\pm 4}{2}}=\begin{array}{l}\oplus \nearrow {\displaystyle \frac{-2}{2}}=-1\Rightarrow x_1=-1\\ \\ \ominus \searrow {\displaystyle \frac{-10}{2}}=-5\Rightarrow x_2=-5\end{array}.$$

La pregunta que nos hacemos ahora: ¿hemos terminado? No, tenemos que comprobar las soluciones obtenidas:
La primera solución $x_1=-1$, donde pone $x$ tenemos que poner -1: $$(-1{)}^2+6(-1)+5=1-6+5=0$$
La primera solución $x_2=-5$, donde pone $x$ tenemos que poner -5: $$(-5{)}^2+6(-5)+5=25-30+5=0$$

Si factorizamos, tenemos que $$0=x^2+6x+5=(x+5)\cdot (x+1)$$ 

2.- Para la ecuación: $x^2-5x+6=0$, entonces $a=1$, $b=-5$ y $c=6$. Si no lo veis claro, podéis poner $x^2+(-5)x+6=0$ y así es más sencillo sacar los valores de $a,byc$.

Resolvamos la ecuación:
Primero veamos el $\mathrm{\Delta }=\sqrt{(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 6}=\sqrt{25-24}=\sqrt{1}=1$ como el determinante es positivo, tiene dos raíces reales diferentes:
$$x={\displaystyle \frac{5\pm 1}{2}}=\begin{array}{l}\oplus \nearrow {\displaystyle \frac{6}{2}}=3\Rightarrow x_1=3\\ \\ \ominus \searrow {\displaystyle \frac{4}{2}}=2\Rightarrow x_2=2\end{array}.$$

La pregunta que nos hacemos ahora: ¿hemos terminado? No, tenemos que comprobar las soluciones obtenidas:
La primera solución $x_1=3$, donde pone $x$ tenemos que poner 3: $$3^2-5\cdot 3+6=9-15+6=0$$
La primera solución $x_2=2$, donde pone $x$ tenemos que poner 2: $$2^2-5\cdot 2+6=4-10+6=0$$

Si factorizamos, tenemos que $$0=x^2-5x+6=(x-2)\cdot (x-3)$$

3.- Para la ecuación: $2x^2-5x-3=0$, entonces $a=2$, $b=-5$ y $c=-3$. Si no lo veis claro, podéis poner $2x^2+(-5)x+(-3)=0$ y así es más sencillo sacar los valores de $a,byc$.

Resolvamos la ecuación:
Primero veamos el $\mathrm{\Delta }=\sqrt{(-5{)}^2-4\cdot 2\cdot (-3)}=\sqrt{25+24}=\sqrt{49}=7$ como el determinante es positivo, tiene dos raíces reales diferentes:
$$x=\frac{5\pm 7}{4}$$ Una raíz sería $x_1=3$ y la otra $x_2=\frac{-1}{2}$.
$$x={\displaystyle \frac{5\pm 7}{4}}=\begin{array}{l}\oplus \nearrow {\displaystyle \frac{12}{4}}=3\Rightarrow x_1=3\\ \\ \ominus \searrow {\displaystyle \frac{-2}{4}}={\displaystyle \frac{-1}{2}}\Rightarrow x_2={\displaystyle \frac{-1}{2}}\end{array}.$$

La pregunta que nos hacemos ahora: ¿hemos terminado? No, tenemos que comprobar las soluciones obtenidas:
La primera solución $x_1=3$, donde pone $x$ tenemos que poner 3: $$2\cdot 3^2-5\cdot 3-3=18-15-3=0$$
La primera solución $x_2=\frac{-1}{2}$, donde pone $x$ tenemos que poner $\frac{-1}{2}$ : $$2\cdot (\frac{-1}{2}{)}^2-5\cdot (\frac{-1}{2})-3=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}-3=\frac{6}{2}-3=3-3=0$$

Si factorizamos, tenemos que $$0=x^2-5x+6=(x-3)\cdot (2x+1)$$

4.- Ejemplo de una ecuación con una única solución, es decir, solución doble. Sea la ecuación $x^2-18x+81=0$ 

Resolvamos la ecuación:
Primero veamos el determinante $\mathrm{\Delta }=\sqrt{(-18{)}^2-4\cdot 1\cdot (81)}=\sqrt{324-324}=\sqrt{0}=0$ como el determinante es cero, tiene una raíz «doble»:

$$x={\displaystyle \frac{18\pm 0}{2}}=\begin{array}{l}\oplus \nearrow {\displaystyle \frac{18}{2}}=9\Rightarrow x_1=9\\ \\ \ominus \searrow {\displaystyle \frac{18}{2}}=9\Rightarrow x_2=9\end{array}.$$

Si factorizamos el polinomio, nos queda 

$$x^2-18x+81=0\iff (x-9{)}^2=0$$

5.- Ejemplo de una ecuación que no tiene solución. Sea la ecuación $x^2+x+12=0$ 

Resolvamos la ecuación:
Primero veamos el determinante $\mathrm{\Delta }=\sqrt{(1{)}^2-4\cdot 1\cdot (12)}=\sqrt{1-48}=\sqrt{-47}$ como el determinante es negativo, eso quiere decir que no tienen «solución», solución real.

Como no tiene soluciones reales, no se puede factorizar. 

Fórmulas de Cardano-Vieta

Si $\alpha$ y $\beta$ son las raíces de la ecuación de $2^{\underset{―}{o}}$ grado entonces se cumple que: $$\alpha +\beta =-{\displaystyle \frac{b}{a}}\text{ y }\alpha \cdot \beta ={\displaystyle \frac{c}{a}}$$ Si $a=1$ entonces tenemos que: $$\alpha +\beta =-b\text{ y }\alpha \cdot \beta =c$$

¿De dónde salen estas fórmulas?

Una ecuación polinómica de $2^{\underset{―}{o}}$ grado $a{x}^2+bx+c=0$ tiene como mucho 2 raíces, si suponemos que son $\alpha$ y $\beta$ entonces el polinomio lo podemos poner de esta forma:
$$a{x}^2+bx+c=0\iff a\cdot (x^2+{\displaystyle \frac{bx}{a}}+{\displaystyle \frac{c}{a}})=0\iff x^2+{\displaystyle \frac{bx}{a}}+{\displaystyle \frac{c}{a}}=0$$ Así: $$x^2+{\displaystyle \frac{bx}{a}}+{\displaystyle \frac{c}{a}}=(x-\alpha )\cdot (x-\beta )$$ Y si desarrollamos el producto de la derecha tenemos que:
$$(x-\alpha )\cdot (x-\beta )=x^2-\alpha x-\beta x+\alpha \beta$$ Luego tenemos:
$$x^2+{\displaystyle \frac{bx}{a}}+{\displaystyle \frac{c}{a}}=x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta$$ Y dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y los coeficientes correspondientes de las potencias de x son iguales:

Es decir:

$$\{\begin{array}{l}\alpha +\beta =-{\displaystyle \frac{b}{a}}\\ \\ \alpha \beta ={\displaystyle \frac{c}{a}}\end{array}$$

Veamos los ejemplos resueltos anteriormente:

1.- Para la ecuación: $x^2+6x+5=0$ las soluciones han sido $x_1=-1$ y $x_2=-5$.

$$ Si sumamos las raíces y hacemos el opuesto tenemos: $-(-1+(-5))=-(-6)=6$ el coeficiente de la $x✓$

$$ Si multiplicamos las raíces tenemos: $(-1)\cdot (-5)=5$ el término independiente $✓$



2.- Para la ecuación: $x^2-5x+6=0$ las soluciones han sido $x_1=2$ y $x_2=3$.

$$ Si sumamos las raíces y hacemos el opuesto tenemos: $-(2+3)=-(5)=-5$ el coeficiente de la $x✓$

$$ Si multiplicamos las raíces tenemos: $2\cdot 3=6$ el término independiente $✓$

Os dejo el enlace de este applet de resolver ecuaciones de $2^{\underset{―}{o}}$ grado sin aplicar la fórmula:

Resolver ecuaciones $2^{\underset{―}{\circ }}$ grado «completando cuadrados»

Completar cuadrados es un recurso de álgebra que me permite poner una expresión como una identidad notable. Veamos unos ejemplos:

• $x^2+10x$ no es un cuadrado perfecto, pero si le sumo y le resto 25, es el cuadrado de la mitad del coeficiente de $x$, tengo: $$x^2+10x+25-25=(x+5{)}^2-25$$
• Pero no siempre es tan fácil: $x^2+3x$ $$x^2+3x+{\displaystyle \frac{3^2}{2^2}}-{\displaystyle \frac{3^2}{2^2}}={(x+{\displaystyle \frac{3}{2}})}^2-{\displaystyle \frac{9}{4}}$$

Esta es la técnica que vamos a usar para resolver ecuaciones de $2^{\underset{―}{\circ }}$ grado: $$x^2-5x+6=0\Rightarrow x^2-5x=-6\Rightarrow x^2-5x+{\displaystyle \frac{25}{4}}=-6+{\displaystyle \frac{25}{4}}\Rightarrow$$ $$\Rightarrow {(x-{\displaystyle \frac{5}{2}})}^2={\displaystyle \frac{-24}{4}}+{\displaystyle \frac{25}{4}}\Rightarrow {(x-{\displaystyle \frac{5}{2}})}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}\Rightarrow$$ $$\Rightarrow x-{\displaystyle \frac{5}{2}}=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}}\Rightarrow x-{\displaystyle \frac{5}{2}}=\pm {\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow$$ $$\Rightarrow x=\begin{array}{l}\oplus \nearrow {\displaystyle \frac{-1}{2}}+{\displaystyle \frac{5}{2}}={\displaystyle \frac{4}{2}}=2\Rightarrow x_1=2\\ \\ \ominus \searrow {\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{5}{2}}={\displaystyle \frac{6}{2}}=3\Rightarrow x_2=3\end{array}.$$

Resolver ecuaciones $2^{\underset{―}{\circ }}$ grado «sacando factor común»

También se pueden resolver las ecuaciones de $2^{\underset{―}{\circ }}$ grado, sacando factor común. El término de la $x$ hay que ponerlo como suma o resta de algún factor del término independiente y/o del coeficiente director. Veamos algunos ejemplos:

• $x^2-5x+6=0\Rightarrow x^2-2x-3x+6=0\Rightarrow x(x-2)-3(x-2)=0\Rightarrow (x-2)\cdot (x-3)=0$
  
  Las soluciones son $x=2$ y $x=3$
• $x^2+6x+5=0\Rightarrow x^2+5x+x+5=0\Rightarrow x(x+5)+(x+5)=0\Rightarrow (x+5)\cdot (x+1)=0$
  
  Las soluciones son $x=-5$ y $x=-1$
• $2x^2+5x-7=0\Rightarrow 2x^2-2x+7x-7=0\Rightarrow 2x(x-1)+7(x-1)=0\Rightarrow (x-1)\cdot (2x+7)=0$
  
  Las soluciones son $x=1$ y $x={\displaystyle \frac{-7}{2}}$
• $2x^2+5x+3=0\Rightarrow 2x^2+2x+3x+3=0\Rightarrow 2x(x+1)+3(x+1)=0\Rightarrow (x+1)\cdot (2x+3)=0$
  
  Las soluciones son $x=-1$ y $x={\displaystyle \frac{-3}{2}}$

Incompletas

En una ecuación de segundo grado $a{x}^2+bx+c=0$ está claro que $a$, el coeficiente de $x^2$ no puede ser cero, ya que entonces sería una ecuación de primer grado. Luego cuando estamos con ecuaciones de segundo grado incompletas es que los coeficientes que pueden ser cero son $b$ y/o $c$.

• Si $b=c=0$ tenemos $a{x}^2=0$ y la única solución es $x=0$. Se dice que 0 es raíz doble o con multiplicidad 2, porque se repite dos veces. 
• Si $b=0$ , entonces tenemos $a{x}^2+c=0\iff x^2={\displaystyle \frac{-c}{a}}\iff x=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{-c}{a}}}$ Luego tendrá solución si ${\displaystyle \frac{-a}{c}}\le 0$. 
• Si $c=0$, entonces tenemos $a{x}^2+bx=0\iff x\cdot (ax+b)=0$. Entonces sacamos factor común a $x$, puede que podamos sacar factor común a algo más que a $x$, eso quiere decir que cero es siempre solución. Y la otra solución la sacamos de resolver el otro paréntesis $ax+b=0\iff x={\displaystyle \frac{-b}{a}}$.

Veamos algunos ejemplos: 

$\bullet$ Tenemos la ecuación $3x^2=0$ donde $b=c=0\Rightarrow x=0$.

$\bullet$ Tenemos la ecuación $x^2-9=0$ donde $b=0$. Así $x^2=9\iff x=\pm \sqrt{9}=\pm 3$

Otra forma: Si factorizamos tenemos $$x^2-9=(x-3)\cdot (x+3)=0$$ 

$\bullet$ Tenemos la ecuación $x^2+1=0$ si despejamos $x$ tenemos que $x^2=-1$ lo que es imposible, no tiene solución. 

$\bullet$ Tenemos la ecuación $3x^2-75x=0$ donde c = 0. Sacamos factor común a $x$ y en este caso además a 3, nos quedará $3x^2-75x=3x\cdot (x-25)=0$.

Tenemos que resolver lo siguiente $3\cdot x\cdot (x-25)=0$, es decir, ¿cuándo el producto de tres factores es cero? En este caso, sólo de dos, ya que 3 nunca será cero. El producto será cero si $x=0$ 0 si $x-25=0\iff x=25$. 

Si factorizamos tenemos $$3x^2-75x=3\cdot x\cdot (x-25)=0$$

Bicuadradas

Son ecuaciones de cuarto grado donde sólo aparecen las potencias pares

$$a{x}^4+b{x}^2+c=0$$

Hacemos un cambio de variable $x^2=t$, así la ecuación se transforma en otra que ya sabemos resolver

$$a{t}^2+bt+c=0$$

en una ecuación de segundo grado completa. La que nos puede dar 2 soluciones de $t$, 1 solución de $t$ o ninguna. 

Si nos da alguna solución, después tenemos que deshacer el cambio y calcular los valores de $x$.

Así si tenemos dos soluciones $t_1$ y $t_2$ tendremos que $x^2=t_1$ y $x^2=t_2$ dos ecuaciones de segundo grado incompletas que sabemos resolver.

Si  sólo tenemos una raíz $t$, entonces tenemos $x^2=t$ ecuación de segundo grado incompleta que sabemos resolver. 

Veamos un ejemplo, tenemos la ecuación $x^4-5x^2+4=0$ 

Hacemos el cambio de variable $x^2=t$ y tenemos: 

$$t^2-5t+4=0$$

Aplicamos la fórmula para resolver la ecuación 

$$t={\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2}}={\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{25-16}}{2}}={\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{9}}{2}}={\displaystyle \frac{5\pm 3}{2}}=\begin{array}{l}\oplus \nearrow {\displaystyle \frac{8}{2}}=4\Rightarrow t=4\\ \\ \ominus \searrow {\displaystyle \frac{2}{2}}=1\Rightarrow t=1\end{array}.$$

Ahora deshacemos el campo: 

$x^2=1\iff x=\pm \sqrt{1}=\pm 1$ y 

$x^2=4\iff x=\pm \sqrt{4}=\pm 2$ 

Si factorizamos tenemos que 

$$0=x^4-5x^2+4=(x-1)\cdot (x+1)\cdot (x-2)\cdot (x+2)$$

Otro ejemplo, tenemos la ecuación $x^4-8x^2-9=0$ 

Hacemos el cambio de variable $x^2=t$ y tenemos: 

$$t^2-8t-9=0$$

Aplicamos la fórmula para resolver la ecuación 

$$t={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{(-8{)}^2-4\cdot 1\cdot (-9)}}{2}}={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{64+36}}{2}}={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{100}}{2}}={\displaystyle \frac{8\pm 10}{2}}=\begin{array}{l}\oplus \nearrow {\displaystyle \frac{18}{2}}=9\Rightarrow t=3\\ \\ \ominus \searrow {\displaystyle \frac{-2}{2}}=-1\Rightarrow t=-1\end{array}.$$

Ahora deshacemos el campo: 

$x^2=-1\iff x=\pm \sqrt{-1}\Rightarrow$ no tiene solución; y 

$x^2=9\iff x=\pm \sqrt{9}=\pm 3$ 

Si factorizamos tenemos que 

$$0=x^4-8x^2-9=(x^2+1)\cdot (x-3)\cdot (x+3)$$

Vamos con otro ejemplo, tenemos la ecuación $x^4+26x^2+25=0$ 

Hacemos el cambio de variable $x^2=t$ y tenemos: 

$$t^2+26t+25=0$$

Aplicamos la fórmula para resolver la ecuación 

$$t={\displaystyle \frac{-26\pm \sqrt{{26}^2-4\cdot 1\cdot 25}}{2}}={\displaystyle \frac{-26\pm \sqrt{676-100}}{2}}={\displaystyle \frac{-26\pm \sqrt{576}}{2}}={\displaystyle \frac{-26\pm 24}{2}}=\begin{array}{l}\oplus \nearrow {\displaystyle \frac{-2}{2}}=-1\Rightarrow t=-1\\ \\ \ominus \searrow {\displaystyle \frac{-50}{2}}=-25\Rightarrow t=-25\end{array}.$$

Ahora deshacemos el campo: 

$x^2=-1\iff x=\pm \sqrt{-1}\Rightarrow$ no tiene solución; y 

$x^2=-25\iff x=\pm \sqrt{-25}\Rightarrow$ no tiene solución. 

Si factorizamos tenemos que 

$$0=x^4+26x^2+25=(x^2+1)\cdot (x^2+25)$$

Comentario

Si tenemos una ecuación de este estilo 

$$a{\left(x^n\right)}^2+b{x}^n+c=0$$ 

Tendríamos que hacer el cambio $x^n=t$ y nos quedaría 

$$a{t}^2+bt+c=0$$ 

Veamos algunos ejemplos: 

1.- Tenemos la ecuación $x^6+7x^3-8=0$. Hacemos el cambio $x^3=t$ nos queda 

$$t^2+7t-8=0$$

$$t={\displaystyle \frac{-7\pm \sqrt{(-7{)}^2-4\cdot 1\cdot (-8)}}{2}}={\displaystyle \frac{-7\pm \sqrt{49+32}}{2}}={\displaystyle \frac{-7\pm \sqrt{81}}{2}}={\displaystyle \frac{-7\pm 9}{2}}=\begin{array}{l}\oplus \nearrow {\displaystyle \frac{2}{2}}=1\Rightarrow t=1\\ \\ \ominus \searrow {\displaystyle \frac{-16}{2}}=-8\Rightarrow t=-8\end{array}.$$

Ahora deshacemos el cambio: 

$x^3=1\Rightarrow x=\sqrt[3]{1}=1$ 

$x^3=-8\Rightarrow x=\sqrt[3]{-8}=-2$ 

2.- Tenemos la ecuación $x^8-17x^4+16=$. Hacemos el cambio $x^4=t$ nos queda   

$$t^2-17t+16=0$$ 

$$t={\displaystyle \frac{17\pm \sqrt{(17{)}^2-4\cdot 1\cdot 16}}{2}}={\displaystyle \frac{17\pm \sqrt{289-64}}{2}}={\displaystyle \frac{17\pm \sqrt{225}}{2}}={\displaystyle \frac{17\pm 15}{2}}=\begin{array}{l}\oplus \nearrow {\displaystyle \frac{32}{2}}=16\Rightarrow t=16\\ \\ \ominus \searrow {\displaystyle \frac{2}{2}}=1\Rightarrow t=1\end{array}.$$

Ahora deshacemos el cambio: 

$x^4=16\Rightarrow x=\pm \sqrt[4]{16}=\pm 2$ 

$x^4=1\Rightarrow x=\pm \sqrt[4]{1}=\pm 1$ 

3.- Tenemos la ecuación $x^{10}+31x^5-32=0$. Hacemos el cambio $x^5=t$ nos queda

$$t^2+31t-32=0$$ 

$$t={\displaystyle \frac{-31\pm \sqrt{(31{)}^2-4\cdot 1\cdot (-32)}}{2}}={\displaystyle \frac{-31\pm \sqrt{961-128}}{2}}={\displaystyle \frac{-31\pm \sqrt{1.089}}{2}}={\displaystyle \frac{-31\pm 33}{2}}=\begin{array}{l}\oplus \nearrow {\displaystyle \frac{2}{2}}=1\Rightarrow t=-1\\ \\ \ominus \searrow {\displaystyle \frac{-64}{2}}=-32\Rightarrow t=-32\end{array}.$$

Ahora deshacemos el cambio: 

$x^5=1\Rightarrow x=\sqrt[5]{1}=1$ 

$x^5=-32\Rightarrow x=\sqrt[5]{-32}=-2$ 

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com