Resolver ecuaciones de 2º grado completas e incompletas. Bicuadradas.

Fórmula para resolver ecuaciones de $2^{\underline{\circ}}$ grado \(ax^2 + bx + c = 0 \)

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— Tungsteno (@74WTungsteno) July 7, 2021

Veamos «otra fórmula» para resolver ecuaciones de $2^{\underline{\circ}}$ grado, pero $C$ tiene que ser distinto de cero: $$\Large{ \begin{aligned} a x^2+b x+c & =0 \\ 4 a c x^2+4 b c x+4 c^2 & =0 \\ 4 b c x+4 c^2 & =-4 a c x^2 \\ b^2 x^2+4 b c x+4 c^2 & =b^2 x^2-4 a c x^2 \\ (b x+2 c)^2 & =x^2\left(b^2-4 a c\right) \\ b x+2 c & = \pm x \sqrt{b^2-4 a c} \\ 2 c & =-b x \pm x \sqrt{b^2-4 a c} \\ 2 c & = x\left(-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}\right) \\ x\left(-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}\right) & =2 c \\ x & =\dfrac{2 c}{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}} \end{aligned} } $$

Completas

Una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado es completa si $a \neq 0$, $b \neq 0$ y $c \neq 0$. Para ello tenemos que ver cuanto vale \(a, \ b \ y \ c\) y aplicar dicha fórmula: $$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$$ Lo primero que tenemos que hacer es estudiar el discriminante \( \Delta = \sqrt{b^2 - 4ac} \)

 

$$ \large \cases{ \text{ Si }  \Delta > 0 \ \text{ tendremos 2 soluciones diferentes;} \cr \cr \text{ Si }\  \Delta = 0 \ \text{tendremos 1 solución «doble» (es la misma), es una identidad notable, y} \cr \cr \text{ Si } \ \Delta < 0 \ \text{ no tendremos ninguna solución «real».} } $$

Veamos algunos ejemplos:
1.- Para la ecuación: \(x^2 + 6x + 5 = 0 \), entonces \(a = 1\), \(b = 6\) y \(c = 5\).

Resolvamos la ecuación:
Primero veamos el \( \Delta = \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5} = \sqrt{36 - 20} = \sqrt{16} = 4 \) como el determinante es positivo, tiene dos raíces reales diferentes:

$$ x = \dfrac{ -6 \pm 4 }{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ -2 }{ 2 } = -1  \Rightarrow x_1 = -1 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -10 }{ 2 } = -5 \Rightarrow x_2 = -5 \end{array}. $$

La pregunta que nos hacemos ahora: ¿hemos terminado? No, tenemos que comprobar las soluciones obtenidas:
La primera solución \(x_1 = -1\), donde pone \(x\) tenemos que poner -1: \[ (-1)^2 + 6(-1) + 5 = 1 - 6 + 5 = 0\]
La primera solución \(x_2 = -5\), donde pone \(x\) tenemos que poner -5: \[ (-5)^2 + 6(-5) + 5 = 25 - 30 + 5 = 0\]

Si factorizamos, tenemos que $$0 = x^2 + 6x + 5 = (x + 5) \cdot (x + 1) $$ 

2.- Para la ecuación: \(x^2 - 5x + 6 = 0 \), entonces \(a = 1\), \(b = -5\) y \(c = 6\). Si no lo veis claro, podéis poner \(x^2 + (-5)x + 6 = 0 \) y así es más sencillo sacar los valores de \(a, \ b \ y \ c\).

Resolvamos la ecuación:
Primero veamos el \( \Delta = \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6} = \sqrt{25 - 24} = \sqrt{1 } = 1 \) como el determinante es positivo, tiene dos raíces reales diferentes:
$$ x = \dfrac{ 5 \pm 1 }{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 6 }{ 2 } = 3  \Rightarrow x_1 = 3 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 4 }{ 2 } = 2 \Rightarrow x_2 = 2 \end{array}. $$

La pregunta que nos hacemos ahora: ¿hemos terminado? No, tenemos que comprobar las soluciones obtenidas:
La primera solución \(x_1 = 3\), donde pone \(x\) tenemos que poner 3: \[ 3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\]
La primera solución \(x_2 = 2\), donde pone \(x\) tenemos que poner 2: \[ 2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\]

Si factorizamos, tenemos que $$0 = x^2 - 5x + 6 = (x - 2) \cdot (x - 3) $$

3.- Para la ecuación: \(2x^2 - 5x - 3 = 0 \), entonces \(a = 2\), \(b = -5\) y \(c = -3\). Si no lo veis claro, podéis poner \(2x^2 + (-5)x + (-3) = 0 \) y así es más sencillo sacar los valores de \(a, \ b \ y \ c\).

Resolvamos la ecuación:
Primero veamos el \( \Delta = \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)} = \sqrt{25 + 24} = \sqrt{49} = 7 \) como el determinante es positivo, tiene dos raíces reales diferentes:
$$ x = {5 \pm 7 \over 4} $$ Una raíz sería \(x_1 = 3\) y la otra \(x_2 = {-1 \over 2} \).
$$ x = \dfrac{ 5 \pm 7 }{4} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 12 }{ 4 } = 3  \Rightarrow x_1 = 3 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -2 }{ 4 } = \dfrac{-1}{2} \Rightarrow x_2 = \dfrac{-1}{2} \end{array}. $$

La pregunta que nos hacemos ahora: ¿hemos terminado? No, tenemos que comprobar las soluciones obtenidas:
La primera solución \(x_1 = 3 \), donde pone \(x\) tenemos que poner 3: \[ 2 \cdot 3^2 - 5 \cdot 3 - 3 = 18 - 15 - 3 = 0\]
La primera solución \(x_2 = {-1 \over 2} \), donde pone \(x\) tenemos que poner \( {-1 \over 2} \) : \[ 2 \cdot \Bigg ( {-1 \over 2} \Bigg )^2 - 5 \cdot \Bigg ( {-1 \over 2} \Bigg ) - 3 = {1 \over 2} + {5 \over 2} - 3 = {6 \over 2} - 3 = 3 -3 = 0 \]

Si factorizamos, tenemos que $$0 = x^2 - 5x + 6 = (x - 3) \cdot (2x + 1) $$

4.- Ejemplo de una ecuación con una única solución, es decir, solución doble. Sea la ecuación $x^2 - 18x + 81 = 0$ 

Resolvamos la ecuación:
Primero veamos el determinante \( \Delta = \sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (81)} = \sqrt{324 - 324} = \sqrt{0} = 0 \) como el determinante es cero, tiene una raíz «doble»:

$$ x = \dfrac{ 18 \pm 0 }{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 18 }{ 2 } = 9  \Rightarrow x_1 = 9 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 18 }{ 2 } = 9 \Rightarrow x_2 = 9 \end{array}. $$

Si factorizamos el polinomio, nos queda 

$$ x^2 - 18x + 81 = 0 \Leftrightarrow (x -9)^2 = 0 $$

5.- Ejemplo de una ecuación que no tiene solución. Sea la ecuación $x^2 + x + 12 = 0$ 

Resolvamos la ecuación:
Primero veamos el determinante \( \Delta = \sqrt{\ (1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (12)\ } = \sqrt{\ 1 - 48\ } = \sqrt{\ -47\ } \) como el determinante es negativo, eso quiere decir que no tienen «solución», solución real.

Como no tiene soluciones reales, no se puede factorizar. 

Fórmulas de Cardano-Vieta

Si $\alpha$ y $\beta$ son las raíces de la ecuación de $\odn{2}{o}$ grado entonces se cumple que: $$ \alpha + \beta = - \dfrac{\ b\ }{a} \quad \text{ y } \quad \alpha \cdot \beta = \dfrac{\ c\ }{a} $$ Si $a = 1$ entonces tenemos que: $$ \alpha + \beta = - b \quad \text{ y } \quad \alpha \cdot \beta = c $$

¿De dónde salen estas fórmulas?

Una ecuación polinómica de $\odn{2}{o}$ grado $ax^2 + bx + c = 0$ tiene como mucho 2 raíces, si suponemos que son $\alpha$ y $\beta$ entonces el polinomio lo podemos poner de esta forma:
$$ ax^2 + bx + c = 0 \Leftrightarrow a \cdot \left (x^2 + \dfrac{\ bx\ }{a} + \dfrac{\ c\ }{a} \right ) = 0 \Leftrightarrow x^2 + \dfrac{\ bx\ }{a} + \dfrac{\ c\ }{a} = 0 $$ Así: $$ x^2 + \dfrac{\ bx\ }{a} + \dfrac{\ c\ }{a} = (x - \alpha) \cdot (x - \beta) $$ Y si desarrollamos el producto de la derecha tenemos que:
$$ (x - \alpha) \cdot (x - \beta) = x^2 - \alpha x - \beta x + \alpha \beta $$ Luego tenemos:
$$ x^2 + \dfrac{\ bx\ }{a} + \dfrac{\ c\ }{a} = x^2 - \left ( \alpha + \beta \right) x + \alpha \beta $$ Y dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y los coeficientes correspondientes de las potencias de x son iguales:

Es decir:

$$ \cases{ \alpha + \beta = - \dfrac{\ b\ }{a} \cr \cr \alpha \beta = \dfrac{\ c\ }{a} \cr } $$

Veamos los ejemplos resueltos anteriormente:

1.- Para la ecuación: \(x^2 + 6x + 5 = 0 \) las soluciones han sido $x_1 = -1$ y $x_2 = -5$.

$\quad$ Si sumamos las raíces y hacemos el opuesto tenemos: $ - (-1 + (-5) ) = - (-6) = 6$ el coeficiente de la $x \checkmark $

$\quad$ Si multiplicamos las raíces tenemos: $ (-1) \cdot (-5) = 5$ el término independiente $\checkmark$



2.- Para la ecuación: \(x^2 - 5x + 6 = 0 \) las soluciones han sido $x_1 = 2$ y $x_2 = 3$.

$\quad$ Si sumamos las raíces y hacemos el opuesto tenemos: $ - (2 + 3 ) = - (5) = -5$ el coeficiente de la $x \checkmark $

$\quad$ Si multiplicamos las raíces tenemos: $ 2 \cdot 3 = 6$ el término independiente $\checkmark$

Os dejo el enlace de este applet de resolver ecuaciones de $\odn{2}{o}$ grado sin aplicar la fórmula:

Resolver ecuaciones $\odn{2}{\circ}$ grado «completando cuadrados»

Completar cuadrados es un recurso de álgebra que me permite poner una expresión como una identidad notable. Veamos unos ejemplos:

• $ x^2 + 10x $ no es un cuadrado perfecto, pero si le sumo y le resto 25, es el cuadrado de la mitad del coeficiente de $x$, tengo: $$ x^2 + 10x + 25 - 25 = (x + 5)^2 - 25 $$
• Pero no siempre es tan fácil: $x^2 + 3x$ $$ x^2 + 3x + \dfrac{\ 3^2\ }{2^2} - \dfrac{\ 3^2\ }{2^2} = \left (x + \dfrac{\ 3\ }{2} \right )^2 - \dfrac{\ 9\ }{4} $$

Esta es la técnica que vamos a usar para resolver ecuaciones de $\odn{2}{\circ}$ grado: $$ x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow x^2 - 5x = - 6 \Rightarrow x^2 - 5x + \dfrac{\ 25\ }{4} = -6 + \dfrac{\ 25\ }{4} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \left ( x - \dfrac{\ 5\ }{2} \right )^2 = \dfrac{\ -24\ }{4} + \dfrac{\ 25\ }{4} \Rightarrow \left ( x - \dfrac{\ 5\ }{2} \right )^2 = \dfrac{\ 1 }{4} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow x - \dfrac{\ 5\ }{2} = \pm \sqrt{\ \dfrac{\ 1 }{4} } \Rightarrow x - \dfrac{\ 5\ }{2} = \pm \dfrac{\ 1 }{2} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow x = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{\ -1}{ 2 } + \dfrac{\ 5\ }{2} = \dfrac{\ 4\ }{2} = 2 \Rightarrow x_1 = 2 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{\ 1\ }{ 2 } + \dfrac{\ 5\ }{2} = \dfrac{\ 6\ }{2} = 3 \Rightarrow x_2 = 3 \end{array}. $$

Resolver ecuaciones $\odn{2}{\circ}$ grado «sacando factor común»

También se pueden resolver las ecuaciones de $\odn{2}{\circ}$ grado, sacando factor común. El término de la $x$ hay que ponerlo como suma o resta de algún factor del término independiente y/o del coeficiente director. Veamos algunos ejemplos:

• $ x^2 -5x + 6 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 3x + 6 = 0 \Rightarrow x(x - 2) - 3(x - 2) = 0 \Rightarrow (x - 2) \cdot (x -3) = 0 $
  
  Las soluciones son $x = 2$ y $x = 3$
• $ x^2 + 6x + 5 = 0 \Rightarrow x^2 + 5x + x + 5 = 0 \Rightarrow x(x + 5) + (x + 5) = 0 \Rightarrow (x + 5) \cdot (x + 1) = 0 $
  
  Las soluciones son $x = -5$ y $x = -1$
• $ 2x^2 + 5x - 7 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 2x + 7x - 7 = 0 \Rightarrow 2x(x - 1) + 7(x - 1) = 0 \Rightarrow (x - 1) \cdot (2x + 7) = 0 $
  
  Las soluciones son $x = 1$ y $x = \dfrac{\ -7\ }{2}$
• $ 2x^2 + 5x + 3 = 0 \Rightarrow 2x^2 + 2x + 3x + 3 = 0 \Rightarrow 2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0 \Rightarrow (x + 1) \cdot (2x + 3) = 0 $
  
  Las soluciones son $x = -1$ y $x = \dfrac{\ -3\ }{2}$

Incompletas

En una ecuación de segundo grado \(ax^2 + bx + c = 0 \) está claro que $a$, el coeficiente de $x^2$ no puede ser cero, ya que entonces sería una ecuación de primer grado. Luego cuando estamos con ecuaciones de segundo grado incompletas es que los coeficientes que pueden ser cero son $b$ y/o $c$.

• Si $b = c = 0$ tenemos $ax^2 = 0$ y la única solución es $x = 0$. Se dice que 0 es raíz doble o con multiplicidad 2, porque se repite dos veces. 
• Si $b = 0$ , entonces tenemos $ax^2 + c = 0 \Leftrightarrow x^2 = \dfrac{-c}{a} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{ \dfrac{-c}{a} } $ Luego tendrá solución si $\dfrac{-a}{c} \leq 0 $. 
• Si $c = 0$, entonces tenemos $ax^2 + bx = 0 \Leftrightarrow x \cdot \left ( ax + b \right ) = 0 $. Entonces sacamos factor común a $x$, puede que podamos sacar factor común a algo más que a $x$, eso quiere decir que cero es siempre solución. Y la otra solución la sacamos de resolver el otro paréntesis $ax + b = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{-b}{a} $.

Veamos algunos ejemplos: 

$\bullet$ Tenemos la ecuación $3x^2 = 0$ donde $ b = c = 0 \Rightarrow x = 0$.

$\bullet$ Tenemos la ecuación $x^2 - 9 = 0$ donde $ b = 0$. Así $ x^2 = 9 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{9} = \pm 3 $

Otra forma: Si factorizamos tenemos $$ x^2 - 9 = (x -3 ) \cdot (x + 3) = 0 $$ 

$\bullet$ Tenemos la ecuación $x^2 + 1 = 0$ si despejamos $x$ tenemos que $x^2 = - 1$ lo que es imposible, no tiene solución. 

$\bullet$ Tenemos la ecuación $3x^2 -  75x = 0$ donde c = 0. Sacamos factor común a $x$ y en este caso además a 3, nos quedará $3x^2 -  75x = 3x \cdot (x - 25) = 0$.

Tenemos que resolver lo siguiente $3 \cdot x \cdot (x - 25) = 0 $, es decir, ¿cuándo el producto de tres factores es cero? En este caso, sólo de dos, ya que 3 nunca será cero. El producto será cero si $x = 0 $ 0 si $x - 25 = 0 \Leftrightarrow x = 25$. 

Si factorizamos tenemos $$3x^2 -  75x = 3 \cdot x \cdot (x - 25 ) = 0 $$

Bicuadradas

Son ecuaciones de cuarto grado donde sólo aparecen las potencias pares

$$ ax^4 + bx^2 + c = 0 $$

Hacemos un cambio de variable $x^2 = t$, así la ecuación se transforma en otra que ya sabemos resolver

$$ at^2 + bt + c = 0 $$

en una ecuación de segundo grado completa. La que nos puede dar 2 soluciones de $t$, 1 solución de $t$ o ninguna. 

Si nos da alguna solución, después tenemos que deshacer el cambio y calcular los valores de $x$.

Así si tenemos dos soluciones $t_1$ y $t_2$ tendremos que $x^2 = t_1$ y $x^2 = t_2$ dos ecuaciones de segundo grado incompletas que sabemos resolver.

Si  sólo tenemos una raíz $t$, entonces tenemos $x^2 = t$ ecuación de segundo grado incompleta que sabemos resolver. 

Veamos un ejemplo, tenemos la ecuación $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ 

Hacemos el cambio de variable $x^2 = t$ y tenemos: 

$$ t^2 - 5t + 4 = 0 $$

Aplicamos la fórmula para resolver la ecuación 

$$ t = \dfrac{ 5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 } }{2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 - 16} }{2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{ 9 } }{2} = \dfrac{5 \pm 3 }{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 8 }{ 2 } = 4  \Rightarrow t = 4 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 2 }{ 2 } = 1 \Rightarrow t = 1 \end{array}. $$

Ahora deshacemos el campo: 

$x^2 = 1 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{1} = \pm 1 $ y 

$x^2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{4} = \pm 2 $ 

Si factorizamos tenemos que 

$$ 0 = x^4 - 5x^2 + 4 = (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x - 2) \cdot (x + 2) $$

Otro ejemplo, tenemos la ecuación $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$ 

Hacemos el cambio de variable $x^2 = t$ y tenemos: 

$$ t^2 - 8t - 9 = 0 $$

Aplicamos la fórmula para resolver la ecuación 

$$ t = \dfrac{ 8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) } }{2} = \dfrac{ 8 \pm \sqrt{64 + 36} }{2} = \dfrac{ 8 \pm \sqrt{ 100 } }{2} = \dfrac{8 \pm 10 }{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 18 }{ 2 } = 9  \Rightarrow t = 3 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -2 }{ 2 } = -1 \Rightarrow t = -1 \end{array}. $$

Ahora deshacemos el campo: 

$x^2 = -1 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{-1} \Rightarrow $ no tiene solución; y 

$x^2 = 9 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{9} = \pm 3 $ 

Si factorizamos tenemos que 

$$ 0 = x^4 - 8x^2 - 9 = (x^2 + 1) \cdot (x - 3) \cdot (x + 3) $$

Vamos con otro ejemplo, tenemos la ecuación $x^4 + 26x^2 + 25 = 0$ 

Hacemos el cambio de variable $x^2 = t$ y tenemos: 

$$ t^2 + 26t + 25 = 0 $$

Aplicamos la fórmula para resolver la ecuación 

$$ t = \dfrac{ -26 \pm \sqrt{26^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 } }{2} = \dfrac{ -26 \pm \sqrt{676 - 100} }{2} = \dfrac{ -26 \pm \sqrt{ 576 } }{2} = \dfrac{-26 \pm 24}{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ -2 }{ 2 } = -1  \Rightarrow t = -1 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -50 }{ 2 } = -25 \Rightarrow t = -25 \end{array}. $$

Ahora deshacemos el campo: 

$x^2 = -1 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{-1} \Rightarrow $ no tiene solución; y 

$x^2 = -25 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{-25} \Rightarrow $ no tiene solución. 

Si factorizamos tenemos que 

$$ 0 = x^4 + 26x^2 + 25 = (x^2 + 1) \cdot (x^2 + 25) $$

Comentario

Si tenemos una ecuación de este estilo 

$$ a \left ( x^n \right )^2 + b x^n + c = 0 $$ 

Tendríamos que hacer el cambio $x^n = t $ y nos quedaría 

$$ a  t^2 + b t + c = 0 $$ 

Veamos algunos ejemplos: 

1.- Tenemos la ecuación $ x^6 + 7x^3 - 8 = 0 $. Hacemos el cambio $x^3 = t$ nos queda 

$$ t^2 + 7t - 8 = 0 $$

$$ t = \dfrac{ -7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) } }{2} = \dfrac{ -7 \pm \sqrt{49 + 32} }{2} = \dfrac{ -7 \pm \sqrt{ 81 } }{2} = \dfrac{-7 \pm 9}{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 2 }{ 2 } = 1  \Rightarrow t = 1 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -16 }{ 2 } = -8 \Rightarrow t = -8 \end{array}. $$

Ahora deshacemos el cambio: 

$x^3 = 1 \Rightarrow x = \sqrt[3]{1} = 1 $ 

$x^3 = -8 \Rightarrow x = \sqrt[3]{-8} = -2 $ 

2.- Tenemos la ecuación $x^8 - 17x^4 + 16 = $. Hacemos el cambio $x^4 = t$ nos queda   

$$t^2 - 17t + 16 = 0 $$ 

$$ t = \dfrac{ 17 \pm \sqrt{(17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 } }{2} = \dfrac{ 17 \pm \sqrt{289 - 64} }{2} = \dfrac{ 17 \pm \sqrt{ 225 } }{2} = \dfrac{17 \pm 15}{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 32 }{ 2 } = 16  \Rightarrow t = 16 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 2 }{ 2 } = 1 \Rightarrow t = 1 \end{array}. $$

Ahora deshacemos el cambio: 

$x^4 = 16 \Rightarrow x = \pm \sqrt[4]{16} = \pm 2 $ 

$x^4 = 1 \Rightarrow x = \pm \sqrt[4]{1} = \pm 1 $ 

3.- Tenemos la ecuación $x^{10} + 31 x^5 - 32 = 0$. Hacemos el cambio $x^5 = t$ nos queda

$$t^2 + 31t - 32 = 0$$ 

$$ t = \dfrac{ -31 \pm \sqrt{(31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) } }{2} = \dfrac{ -31 \pm \sqrt{961 - 128} }{2} = \dfrac{ -31 \pm \sqrt{ 1.089 } }{2} = \dfrac{-31 \pm 33}{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 2 }{ 2 } = 1  \Rightarrow t = -1 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -64 }{ 2 } = -32 \Rightarrow t = -32 \end{array}. $$

Ahora deshacemos el cambio: 

$x^5 = 1 \Rightarrow x = \sqrt[5]{1} = 1 $ 

$x^5 = -32 \Rightarrow x = \sqrt[5]{-32} = -2 $ 

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com