Análisis. PAU.

La Rioja PAU (2026) Halla el área total de la figura limitada por y = x^3, y = 2x e y = x.



Las tres funciones son impares (ya veremos para que sirve esto más adelante). Si hacemos un dibujo de las funciones, se ve que la recta $y = x$ es l bisectriz del $\odn{1}{er}-\odn{3}{er}$ cuadrante, la recta $y = 2x$ va por encima de la recta anterior y luego la curva $y = x^3$ va por debajo de la la bisectriz en el intervalo $[0, 1]$ y entre $[1, \msqrt{2}]$ va entre las dos rectas. Veamos de donde salen estos puntos:

Intersección $y = x$ e $ y =x^3 \implies x = x^3 \implies x = 0, \pm 1$

Intersección $y = 2x$ e $ y =x^3 \implies 2x = x^3 \implies x = 0, \pm \msqrt{2}$

El área la dividimos entre 0 y 1, el área entre $y = 2x$ e $ y =x$; y entre 1 y $\msqrt{2}$, el área enre las funciones $y=2x$ e $y = x^3$: \[A = \mintd{0}{1}{(2x - x)}{dx} + \mintd{1}{\msqrt{2}}{(2x - x^3)}{dx} = (*) \] \[ = \mintd{0}{1}{(x)}{dx} + \mintd{1}{\msqrt{2}}{(2x - x^3)}{dx} = \] Vamos con la primera integral: \[ \Bigg [ \mfrac{x^2}{2} \Bigg]^1_0 = \mfrac{1}{2} \] Ahora a por la segunda: \[ \Bigg [ x^2 - \mfrac{x^4}{4} \Bigg ]^{\msqrt{2}}_1 = \left (2 - \mfrac{4}{4} \right ) - \left (1 - \mfrac{1}{4} \right ) = 1 - \mfrac{3}{4} = \mfrac{1}{4} \] Juntando las dos integrales nos queda: \[ (*) = \mfrac{1}{2} + \mfrac{1}{4} = \mfrac{3}{4} \] Hemos dicho que las funciones son impares, luego a la izquierda hay un área igual pero en la parte negativa, así el área total es el doble del área calculada: \[ Área Total = 2 \cdot \mintd{0}{1}{(2x - x)}{dx} + \mintd{1}{\msqrt{2}}{(2x - x^3)}{dx} = 2 \cdot \mfrac{3}{4} = \mfrac{3}{2} u^2 \]

La Rioja PAU (2026) Sea $f(x) = \mfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1$. Determinar todas las ecuaciones de las rectas tangentes horizontales a la gráfica de la función $f$. Las rectas tangentes horizontales son las paralelas al eje $X$, es decir, las que tienen pendiente cero, que coinciden con los extremos de la función. Si derivamos la función: \[ f'(x) = x^2 - 4x + 3 \] y resolvemos la ecuación $f'(x) = 0$, cuyas soluciones son $x = 1$ y $x = 4$ por las fórmulas de Cardano-Vieta.

Calculamos las ecuaciones de las rectas tangentes en esos valores de $x$:

$\bullet\ $ Para $x = 1$ la ecuación de la recta será $x = f(1) \implies x = \mfrac{7}{3}$

$\bullet\ $ Para $x = 3$ la ecuación de la recta será $x = f(3) \implies x = 1$

La Rioja PAU (2026) Dados $a, b \in \mathbb{R}$, estudia la continuidad de $f$, en función de $a, b$, para todos los puntos de $\mathbb{R}$ de la siguiente función: \[ f(x) = \begin{cases} e^{ax+b}, & \text{si } x < 1, \\ e, & \text{si } x = 1, \\ e - ax + 1, & \text{si } x > 1. \end{cases} \] Para que sea continua la función $f(x)$ tiene que cumplir que \[ \milmt{x}{1^-}{ f(x) } = f(1) = \milmt{x}{1^+}{ f(x) } \] Veamos el límite por la izquierda: \[ \milmt{x}{1^-}{ f(x) } = \milmt{x}{1^-}{ e^{a + b} } = e \implies a + b = 1\] Veamos el límite por la derecha: \[ \milmt{x}{1^+}{ f(x) } = \milmt{x}{1^-}{ e - ax + 1 } = e \implies -a + 1 = 0 \implies a = 1 \] Como $a = 1$ y tenemos que $a + b = 1 \implies b = 0$. Luego la función $f$ queda de la siguiente forma: \[ f(x) = \begin{cases} e^{x}, & \text{si } x < 1, \\ e, & \text{si } x = 1, \\ e - x + 1, & \text{si } x > 1. \end{cases} \]