- Determina su dominio y las ecuaciones de sus asíntotas.
- Halla los extremos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento y, los puntos de inflexión.
- Con la información obtenida en los apartados anteriores representa la curva.
a) $Dom f(x) = \R$ ya que es el producto de un monomio por una exponencial y no hay puntos problemáticos.
Asíntotas verticales no tiene.
ASíntotas horizontales: \[ \milmt{x}{+\infty}{ xe^{-2x^2} } = 0 \qquad \text{Por encima del eje } X \] \[ \milmt{x}{+\infty}{ xe^{-2x^2} } = 0 \qquad \text{Por encima del eje } X\] Asíntotas oblicuas no tiene: \[ \milmt{x}{+\infty}{ \mfrac{xe^{-2x^2}}{x} } = \milmt{x}{+\infty}{ e^{-2x^2} } = 0 \qquad \text{La asíntota será horizontal, no oblicua.}\] \[ \milmt{x}{-\infty}{ \mfrac{xe^{-2x^2}}{x} } = \milmt{x}{+\infty}{ e^{-2x^2} } = 0 \qquad \text{La asíntota será horizonatl, no oblicua.}\]
b) Para calcular los extremos y el crecimiento/decrecimiento tenemos que derivar: \[ f'(x) = e^{-2x^2} - 4x^2e^{-2x^2} = (1 - 4x^2)e^{-2x^2} = (1 - 2x)(1 + 2x)e^{-2x^2} \]
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & (-\infty, -1/2) & -1/2 & (-1/2, 1/2) & 1/2 & (1/2, +\infty) \\[2.5ex] \hline \qquad f'(x) \qquad & - & 0 & + & 0 & - \\[2.5ex] \hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow & \text{Maximo} & \searrow \\[2.5ex] \end{array} $$ Para los puntos de inflexión debemos calcular la segunda derivada:
\[ f''(x) = -8xe^{-2x^2} + (1 - 4x^2)e^{-2x^2}4x = -8xe^{-2x^2} - 4xe^{2x^2} + 16x^3e^{2x^2} = - 12xe^{2x^2} + 16x^3e^{2x^2} = 4x(4x^2 - 3)e^{-2x^2} \] El punto de inflexión cuando $f''(x) = 0$
\[ f''(x) = 0 \implies 4x(4x^2 - 3)e^{-2x^2} = 0 \implies 4e^{-2x^2}x(2x - \msqrt{3})(2x + \msqrt{3}) = 0 \] Luego $f(x)$ tiene puntos de inflexión en $x = 0$ y en $x = \mfrac{\pm \msqrt{3}}{2}$.
c) Para este apartado vamos a usar que la función $f(x)$ es impar: \[ f(-x) = -xe^{-2(-x)^2} = - xe^{2x^2} = -f(x) \] Una función impar es simétrica respecto del origen o que si giramos $\odn{180}{o}$ la gráfica será la misma.
Veamos el dibujo de la función:
La Rioja PAU (2026) junio Contesta justificadamente los siguientes apartados:
- Calcula el siguiente límite: $$\lim_{x \to 0} \mfrac{2 \left( \mfrac{x}{\sen x} - 1 \right)}{a^2x^2}, \quad a \neq 0.$$
- Sea la función $f(x) = x^3(x-1)^2 + 1$. Demuestra que la ecuación $f'(x) = 0$ tiene alguna solución en $(0, 1)$.
a) \[ \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{2 \left( \mfrac{x}{\sen x} - 1 \right)}{a^2x^2} } = \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{2 \left( \mfrac{x}{\sen x} - \mfrac{\sen x}{\sen x} \right)}{a^2x^2} } = \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{2 \left( x - \sen x \right)}{a^2 (\sen x )x^2} } = \mfrac{2}{a^2} \cdot \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{ x - \sen x }{ (\sen x )x^2} } = \zdivz = \] \[ = \mfrac{2}{a^2} \cdot \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{ 1 - \cos x }{ 2x \cdot \sen x + x^2(\cos x)} } = \zdivz = \mfrac{2}{a^2} \cdot \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{ \sen x }{ 2\sen x + 2x\cos x + 2x(\cos x ) - x^2 \sen x } } = \] \[ =\mfrac{2}{a^2} \cdot \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{ \sen x }{ 2\sen x + 4x(\cos x ) - x^2 \sen x } } = \zdivz = \mfrac{2}{a^2} \cdot \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{ \cos x }{ 2\cos x + 4\cos x - 4x\sen x - 2x\sen x - x^2 \cos x } } = \] \[ \mfrac{2}{a^2} \cdot \milmt{x}{ 0 }{ \mfrac{ \cos x }{ 6\cos x - 6x\sen x - x^2 \cos x } } = \mfrac{2}{a^2} \cdot \mfrac{1}{6} = \mfrac{1}{3a^2} \]
b) $f(x) = x^3(x^2 - 2x + 1) + 1 = x^5 - 2x^4 + x^3 + 1 $. Vamos a calcular $f'(x)$: \[ f'(x) = 5x^4 - 8x^3 + 3x^2 \] $f'(x)$ en continua en $[0, 1]$ por ser una función polinómica.
$f'(0) = 0$ y $f'(3/4) = \mfrac{-27}{256}$
Aplicamos el Teorema de Bolzano en el intervalo $\left (0, \mfrac{3}{4} \right) \subset (0, 1)$ exite al menos un punto $c$ en dicho intervalo donde $f'(c) = 0$.
La Rioja PAU (2026) junio CCSS Una empresa tecnológica de nueva creación estima que su beneficio (en cientos de euros) durante los 10 primeros meses, desde su apertura, vendrá dado por la función: $$f(x) = x^3 - 15x^2 + 48x + 120 \quad x \in [0, 10]$$ donde $x$ representa el número de meses transcurridos. Se pide:
- Calcula el beneficio de la empresa a los 3 meses de su apertura.
- Calcula los extremos relativos de $f$. En este período de 10 meses, es decir en el intervalo [0, 10], calcula cuál será el beneficio máximo y cuál será el mínimo; determina cuándo se alcanzarán.
- Considera la función $g(x) = f'(x)$; calcula el área limitada por la gráfica de $g$, el eje $X$, la recta $x = 0$ y la recta $x = 2$.
b) Vamos a derivar $f(x)$, $f'(x) = 3x^2 - 30x + 48$ y tenemos que resolver la ecuación $f'(x) = 0$: \[ f'(x) = 0 \implies 3x^2 - 30x + 48 = 0 \implies x^2 - 10x + 16 = 0 \implies (x - 2)(x - 8) = 0 \] $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & [0, 2) & 2 & (2, 8) & 8 & (8,10] \\[2.5ex] \hline \qquad f'(x) \qquad & + & 0 & - & 0 & + \\[2.5ex] \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \\[2.5ex] \end{array} $$ Beneficio máximo $f(2) = 2^3 - 15 \cdot 2^2 + 48 \cdot 2 + 120 = 8 - 60 + 96 + 120 = 164 \implies 16.400 \text{€}$
Beneficio mínimo $f(8) = 8^3 - 15 \cdot 8^2 + 48 \cdot 8 + 120 = 8 \cdot 8^2 - 15 \cdot 8^2 + 6 \cdot 8^2 + 120 = -64 + 120 = 56 \implies 5.600 \text{€}$
c) Vamos a calcular la integral: \[ \mintd{0}{2}{ (3x^2 - 30x + 48) }{dx} = \left [ x^3 - 15x^2 + 48x \right]^2_0 = 2^3 - 15 \cdot 2^2 + 48 \cdot 2 = 8 - 60 + 96 = 44 u^2 \]
La Rioja PAU (2026) junio CCSS Dada la función $f(x) = \mfrac{x + a}{(x - 1)^2}, \quad \text{(a: número real)}$, se pide:
- Halla el valor de «$a$» para que la gráfica de $f$ pase por el punto (0, 2). Para dicho valor de «$a$», calcula el dominio de $f$, las asíntotas y los puntos de corte de dicha gráfica con los ejes coordenados.
- Para $a = 1$: Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, así como los extremos relativos.
- Para $a = 1$: Calcula la integral definida $\mintd{2}{3}{ f(x)(x - 1)^3}{dx}$ e interpreta geométricamente el resultado obtenido.
$Dom f(x) = \R \setminus \{1\}$
Puntos de corte: con el eje $Y$ ya lo tenemos. Con el eje $X$: \[ 0 = \mfrac{x + 2}{(x - 1)^2} \implies 0 = x + 2 \implies x = -2 \] Asíntotas horizontales $y = 0$: \[ \milmt{x}{+\infty}{ \mfrac{x + 2}{(x - 1)^2} } = 0 \qquad \milmt{x}{- \infty}{ \mfrac{x + 2}{(x - 1)^2} } = 0 \] Asíntotas verticales en $x = 1$: \[ \milmt{x}{1^+}{ \mfrac{x + 2}{(x - 1)^2} } = +\infty \qquad \milmt{x}{1^-}{ \mfrac{x + 2}{(x - 1)^2} } = +\infty \] Asíntotas oblicuas no tiene: \[ \milmt{x}{+\infty}{ \mfrac{ f(x) }{ x } } = 0 \qquad \milmt{x}{- \infty}{ \mfrac{ f(x) }{ x } } = 0 \]
b) Sea $f(x) = \mfrac{x + 1}{(x - 1)^2}$, vamos a derivar la función para estudiar sus extremos y creciemiento/decrecimiento: \[ f'(x) = \mfrac{(x - 1)^2 - (x + 1)2(x -1)}{(x - 1)^4} = \mfrac{(x - 1) - 2(x + 1)}{(x - 1)^3} = \mfrac{x - 1 - 2x -2 }{(x - 1)^3} = \mfrac{-(x + 3) }{(x - 1)^3} \] $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & (-\infty, -3) & -3 & (-3, 1) & 1 & (1, +\infty) \\[2.5ex] \hline \qquad f'(x) \qquad & - & 0 & + & \text{No definida} & - \\[2.5ex] \hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow & - & \searrow \\[2.5ex] \end{array} $$
c) Vamos a calcular la integral: \[ \mintd{2}{3}{ f(x) \cdot (x - 1)^3 }{dx} = \mintd{2}{3}{ \mfrac{x + 1}{(x - 1)^2} \cdot (x - 1)^3 }{dx} = \mintd{2}{3}{ (x + 1) \cdot (x - 1) }{dx} = \] \[ = \mintd{2}{3}{ (x^2 - 1) }{dx} = \left [ \mfrac{x^3}{3} - x \right ]^3_2 = 9 - 3 - \left ( \mfrac{8}{3} - 2 \right ) = 6 - \mfrac{2}{3} = \mfrac{16}{3}u^2 \] La función del integrando $h(x) = f(x) \cdot (x-1)^3 = (x + 1)(x - 1)$ es continua y positiva en el intervalo de integración $[2, 3]$, el valor obtenido $\mfrac{16}{3}$ representa el área de la región plana acotada por la gráfica de dicha función, el eje $X$ y las rectas verticales $x = 2$ y $x = 3$.
La Rioja PAU (2026) junio Halla el área total de la figura limitada por y = x^3, y = 2x e y = x.
Las tres funciones son impares (ya veremos para que sirve esto más adelante). Si hacemos un dibujo de las funciones, se ve que la recta $y = x$ es l bisectriz del $\odn{1}{er}-\odn{3}{er}$ cuadrante, la recta $y = 2x$ va por encima de la recta anterior y luego la curva $y = x^3$ va por debajo de la la bisectriz en el intervalo $[0, 1]$ y entre $[1, \msqrt{2}]$ va entre las dos rectas. Veamos de donde salen estos puntos:
Intersección $y = x$ e $ y =x^3 \implies x = x^3 \implies x = 0, \pm 1$
Intersección $y = 2x$ e $ y =x^3 \implies 2x = x^3 \implies x = 0, \pm \msqrt{2}$
El área la dividimos entre 0 y 1, el área entre $y = 2x$ e $ y =x$; y entre 1 y $\msqrt{2}$, el área enre las funciones $y=2x$ e $y = x^3$: \[A = \mintd{0}{1}{(2x - x)}{dx} + \mintd{1}{\msqrt{2}}{(2x - x^3)}{dx} = (*) \] \[ = \mintd{0}{1}{(x)}{dx} + \mintd{1}{\msqrt{2}}{(2x - x^3)}{dx} = \] Vamos con la primera integral: \[ \Bigg [ \mfrac{x^2}{2} \Bigg]^1_0 = \mfrac{1}{2} \] Ahora a por la segunda: \[ \Bigg [ x^2 - \mfrac{x^4}{4} \Bigg ]^{\msqrt{2}}_1 = \left (2 - \mfrac{4}{4} \right ) - \left (1 - \mfrac{1}{4} \right ) = 1 - \mfrac{3}{4} = \mfrac{1}{4} \] Juntando las dos integrales nos queda: \[ (*) = \mfrac{1}{2} + \mfrac{1}{4} = \mfrac{3}{4} \] Hemos dicho que las funciones son impares, luego a la izquierda hay un área igual pero en la parte negativa, así el área total es el doble del área calculada: \[ Área Total = 2 \cdot \mintd{0}{1}{(2x - x)}{dx} + \mintd{1}{\msqrt{2}}{(2x - x^3)}{dx} = 2 \cdot \mfrac{3}{4} = \mfrac{3}{2} u^2 \]
La Rioja PAU (2026) Sea $f(x) = \mfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1$. Determinar todas las ecuaciones de las rectas tangentes horizontales a la gráfica de la función $f$. Las rectas tangentes horizontales son las paralelas al eje $X$, es decir, las que tienen pendiente cero, que coinciden con los extremos de la función. Si derivamos la función: \[ f'(x) = x^2 - 4x + 3 \] y resolvemos la ecuación $f'(x) = 0$, cuyas soluciones son $x = 1$ y $x = 4$ por las fórmulas de Cardano-Vieta.
Calculamos las ecuaciones de las rectas tangentes en esos valores de $x$:
$\bullet\ $ Para $x = 1$ la ecuación de la recta será $x = f(1) \implies x = \mfrac{7}{3}$
$\bullet\ $ Para $x = 3$ la ecuación de la recta será $x = f(3) \implies x = 1$
La Rioja PAU (2026) julio CCSS II Se ha realizado un estudio sobre el comportamiento de cierta sustancia en el organismo. Su concentración en sangre (medida en mg/l) viene modelada por la función: $$C(x) = \mfrac{a \cdot x}{x^2 + 4}, \quad x > 0, \quad \text{(a: número real)}$$ siendo «$x$» el tiempo, en horas, transcurrido desde su administración. Se pide:
- Calcula el valor de «$a$» sabiendo que la concentración de la sustancia en sangre transcurridas 4 horas es de $0,20 mg/l$. Calcula $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} C(x)$ e interpreta el resultado sabiendo lo que representan $x$ y $C(x)$.
- Para $a = 1$: Calcula los intervalos de tiempo en los que la concentración aumenta y aquellos en los que disminuye. Estudia si la función posee o no algún extremo relativo, y en caso afirmativo, razona si se trata de un máximo o de un mínimo.
- Calcula el valor de «$a$» para que se verifique la igualdad: $$\displaystyle \int_{1}^{2} (x^2 + 4) C(x) \, dx = 6.$$
\[ \milmt{x}{+\infty}{C(x)} = 0 \] Quiere decir que con el tiempo el la concentración en sangre de la sustancia desaparece.
b) Tenemos que derivar $C(x)$. \[ C'(x) = \mfrac{x^2 + 4 - x(2x)}{(x^2 + 4)^2} = \mfrac{x^2 + 4 - 2x^2}{(x^2 + 4)^2} = \mfrac{4 - x^2 }{(x^2 + 4)^2} = \mfrac{(2 - x)(2 + x)}{(x^2 + 4)^2} \] $x$ significa el tiempo, es decir $x > 0$. Estudiando el signo de la derivada, vemos que en $(0, 2)$ la función $C(x)$ crece y en $(2, +\infty)$ decrece, así en $x = 2$ la función tiene un máximo, ya que pasa de creciente a decreciente y su valor es $C(2) = \mfrac{2}{2^2 + 4} = \mfrac{2}{8} = \mfrac{1}{4} $
c) Vamos a calcular la integral: \[ \mintd{1}{2}{ (x^2 + 4) \cdot C(x) }{dx} = 6 \implies \mintd{1}{2}{ (x^2 + 4) \cdot \mfrac{ax}{x^2 + 4} }{dx} = 6 \implies \] \[ \implies \mintd{1}{2}{ \cancel{(x^2 + 4)} \cdot \mfrac{ax}{ \cancel{(x^2 + 4)} } }{dx} = 6 \implies \mintd{1}{2}{ ax }{dx} = 6 \implies \] \[ \implies a \cdot \left [ \mfrac{x^2}{2} \right]^2_1 = 6 \implies a \cdot \left (2 - \mfrac{1}{2} \right ) = 6 \implies a \cdot \mfrac{3}{2} = 6 \implies 3 \cdot a = 12 \implies a = 4 \]
La Rioja PAU (2026) julio CCSS II Dada la función $f(x) = \mfrac{ax^2 + b}{x^3}$ ($a, b$: números reales), se pide:
- Calcula los valores de «$a$» y «$b$» sabiendo que la gráfica de $f$ pasa por el punto $P = (1, 3)$ y que la recta tangente a esta curva en $P$ es paralela a la recta de ecuación $y = -5x + 2$.
- Para b = 4, calcula el valor de «$a$» para que la función posea un extremo relativo en $x = 2$. Para este valor de «$a$», indica si en $x = 2$ la función alcanza un máximo o un mínimo relativo.
- Para a = 2, calcula el valor de «$b$» para que se verifique la igualdad: $$ \mintd{1}{3}{ x^4 f(x) }{dx} = 12 $$
Junytamos las dos condiciones y tenemos un sistemas: \[ \begin{cases} a + b = 3 \\ a + 3b = 5 \end{cases} \] A la primera ecuación le restamos la segunda: $-2b = -2 \implies b = 1 \implies a = 3 -b = 3 - 1 = 2$
b) $f(x) = \mfrac{ax^2 + 4}{x^3}$ Se tiene que anular la derivada en $x = 2$: \[ f'(x) = \mfrac{ -(ax^2 + 12) }{ x^4 } \] \[ f'(2) = 0 \implies \mfrac{ - 12 - 4a }{ 16 } = 0 \implies - 12 - 4a = 0 \implies a = -3 \] Entonces $f(x) = \mfrac{-3x^2 + 4}{x^3}$ y $f'(x) = \mfrac{ 3(x^2 - 4) }{x^4} = \mfrac{ 3(x - 2)(x + 2) }{x^4} $
A la izquierda de 2 la derivada es negativa, decrece, y a la derecha del 2 la función es positiva, crece, luego la función tiene en $x = 2$ es un mínimo. $f(2) = \mfrac{-3 \cdot 2^2 + 4}{2^3} = \mfrac{-8}{8} = -1$
c) Ahora $f(x) = \mfrac{2x^2 + b}{x^3}$ y nos piden que calculemos $b$ de forma que: \[ \mintd{1}{3}{ x^4 \cdot \mfrac{2x^2 + b}{x^3} }{dx} = 12 \implies\mintd{1}{3}{ 2x^3 + bx }{dx} = 12 \implies \] \[ \implies \left [ \mfrac{x^4}{2} + b \cdot \mfrac{x^2}{2}\right ]^3_1 = 12 \implies \mfrac{81}{2} + \mfrac{9b}{2} - \mfrac{1}{2} - \mfrac{b}{2} = 12 \implies \] \[ \implies \mfrac{80}{2} + \mfrac{8b}{2} = 12 \implies 40 + 4b = 12 \implies 4b = -28 \implies b = -7 \]
$\bullet\ $ Sea la función $f(x) = \begin{cases} \mfrac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{ si } x < 1 \\[0.25cm] ax + b & \text{ si } x \geq 1 \end{cases}$, donde $a$ y $b$ son números reales. Determina los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua y derivable en $x = 1$.
No hay comentarios:
Publicar un comentario