Determinantes. Ejercicios resueltos.

¿Qué es un determinante?

Los determinantes son valores escalares que se asocian a matrices cuadradas, esto es, aquellas matrices que tienen el mismo número de filas que de columnas. El determinante de una matriz es una medida numérica que proporciona información importante sobre la matriz y sus transformaciones lineales asociadas. El determinante de una matriz A se denota como det(A) o |A|.

$\bullet$ Determinante de una matriz $2 \times 2$:

$$ \begin{eqnarray} |A| = \begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } \end{vmatrix} = a_{ 11 } \cdot a_{ 22 } - a_{ 21 } \cdot a_{ 12 } \end{eqnarray} $$

$\bullet$ Determinante de una matriz $3 \times 3$:

$$ \begin{eqnarray} |A| = \begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{vmatrix} = a_{ 11 } \cdot a_{ 22 } \cdot a_{ 33 } + a_{ 12 } \cdot a_{ 23 } \cdot a_{ 31 } + a_{ 21 } \cdot a_{ 32 } \cdot a_{ 13 } \\ \\ - ( a_{ 13 } \cdot a_{ 22 } \cdot a_{ 31 } + a_{ 21 } \cdot a_{ 12 } \cdot a_{ 33 } + a_{ 11 } \cdot a_{ 32 } \cdot a_{ 23 } ) \end{eqnarray} $$

$$ \begin{eqnarray} |A| = \begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{vmatrix} = a_{ 11 } \cdot \begin{vmatrix} a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{vmatrix} - a_{ 12 } \cdot \begin{vmatrix} a_{ 21 } & a_{ 23 } \\ a_{ 31 } & a_{ 33 } \end{vmatrix} + a_{ 13 } \cdot \begin{vmatrix} a_{ 21 } & a_{ 22 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } \end{vmatrix} = \\ \\ = a_{ 11 } \left ( a_{ 22 } \cdot a_{ 33 } - a_{ 32 } \cdot a_{ 23 } \right) - a_{ 12 } \cdot \left ( a_{ 21 } \cdot a_{ 33 } - a_{ 31 } \cdot a_{ 23 } \right) + a_{ 13 } \cdot \left ( a_{ 21 } \cdot a_{ 32 } - a_{ 31 } \cdot a_{ 22 } \right) = \\ \\ = a_{ 11 } \cdot a_{ 22 } \cdot a_{ 33 } + a_{ 12 } \cdot a_{ 31 } \cdot a_{ 23 } + a_{ 13 } \cdot a_{ 21 } \cdot a_{ 32 } - a_{ 11 } \cdot a_{ 32 } \cdot a_{ 23 } - a_{ 12 } \cdot a_{ 21 } \cdot a_{ 33 } - a_{ 13 } \cdot a_{ 31 } \cdot a_{ 22 } \end{eqnarray} $$

Propiedades de los determinantes:

1. Multiplicación por un escalar: Multiplicar una fila (o columna) por un escalar \( k \) multiplica el determinante por \( k \).
   
   
2. Si $A$ es una matriz de orden $n$ y $k$ es un número real: \[ |k \cdot A | = k^n \cdot |A| \]
3. Intercambio de filas o columnas: Intercambiar dos filas (o columnas) cambia el signo del determinante.
   
   
4. Operaciones elementales: Sumar un múltiplo de una fila (o columna) a otra no cambia el determinante.
   
   
5. Matriz triangular: El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es el producto de sus elementos diagonales.
   
   Ejemplos de determinantes de matrices triangulares superiores:
   
   $$ \begin{array}{ccc} |A| = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 = 6 & \qquad \phantom{prueba} \qquad & |B| = \begin{vmatrix} 2 & 5 & -3 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 \cdot (-1) = -6 \end{array} $$ $$ |C|= \begin{vmatrix} 5 & 3 & 10 & -5 \\ 0 & 3 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{vmatrix} = 5 \cdot 3 \cdot (- 2) \cdot (- 3) = 90 $$
6. Si en un determinante los elementos de una fila o columna son sumas de dos sumandos, se puede descomponer en suma de dos determinantes.
   
   
7. El determinante de la suma de dos matrices cuadradas $A$ y $B$ no siempre es igual a la suma de los determinantes de $A$ y de $B$: \[ |A + B| \neq |A| + |B| \]
8. Matriz diagonal: El determinante de una matriz diagonal es el producto de sus elementos diagonales.
   
   
9. Matriz singular: Si el determinante vale 0.
   $\bullet\ $ Si una matriz tiene una fila (o columna) de ceros, su determinante es cero.
   
   $\bullet\ $ Si una matriz tiene dos filas o dos columnas iguales o proporcionales, su determinante es cero.
   
   
10. Multiplicación de matrices: El determinante del producto de dos matrices es el producto de los determinantes de las matrices individuales. \[ | A \cdot B | = |A| \cdot | B | \]
    
11. Inversa de una matriz: El determinante de la inversa de una matriz es el recíproco del determinante original. \[ | A^{-1} | = \mfrac{1}{|A|} \]
    
12. Traspuesta de una matriz: El determinante de la traspuesta de una matriz es igual al determinante de la matriz original. \[ | A^{\top} | = |A| \]
    
13. Una matriz ortogonal es una matriz cuadrada e inversible $A$ cuya inversa coincide con su traspuesta: \[ A^{-1} = A^t \]

Si $A$ y $B$ son matrices $n \times n$: \[ |A + B| \neq |A| + |B| \] \[ | − A| \neq |A| (\text{ es } | − A| = (−1)^n |A| ) \] \[ |kA| \neq k|A| (\text{ es } |kA| = k^n \cdot |A|) \] $\bullet$ Calcula el valor del siguiente determinante: $$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x & y & z & t \\ x^2 & y^2 & z^2 & t^2 \\ x^3 & y^3 & z^3 & t^3 \end{vmatrix} $$ Restamos a las columnas 2º, 3ª y 4ª la 1ª: $$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x & y & z & t \\ x^2 & y^2 & z^2 & t^2 \\ x^3 & y^3 & z^3 & t^3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ x & y - x & z - x & t - x \\ x^2 & y^2 - x^2 & z^2 - x^2 & t^2 - x^2 \\ x^3 & y^3 - x^3 & z^3 - x^3 & t^3 - x^3 \end{vmatrix} = $$ Ahora nos queda un determinante $3 \times 3$ $$ = \begin{vmatrix} y - x & z - x & t - x \\ (y - x)(y + x) & (z - x)(z + x) & (t - x)(t + x) \\ (y - x)(y^2 + xy + x^2) & (z - x)(z^2 + xz + x^2) & (t - x)(t^2 + xt + x^2) \end{vmatrix} = $$

$$ = (y - x) \begin{vmatrix} 1 & z - x & t - x \\ y + x & (z - x)(z + x) & (t - x)(t + x) \\ y^2 + xy + x^2 & (z - x)(z^2 + xz + x^2) & (t - x)(t^2 + xt + x^2) \end{vmatrix} = $$

$$ = (y - x) \cdot (z - x) \begin{vmatrix} 1 & 1 & t - x \\ y + x & z + x & (t - x)(t + x) \\ y^2 + xy + x^2 & z^2 + xz + x^2 & (t - x)(t^2 + xt + x^2) \end{vmatrix} = $$

$$ = (y - x) \cdot (z - x) \cdot (t - x) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ y + x & z + x & t + x \\ y^2 + xy + x^2 & z^2 + xz + x^2 & t^2 + xt + x^2 \end{vmatrix} = $$ Volvemos a restar a las columnas 2ª y 3ª, la 1ª columna: $$ = (y - x) \cdot (z - x) \cdot (t - x) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ y + x & z - y & t - y \\ y^2 + xy + x^2 & z^2 - y^2 + xz - xy & t^2 -y^2 + xt - xy \end{vmatrix} = $$ $$ z^2 - y^2 + xz - xy = (z - y) \cdot (z + y) + x \cdot (z - y) = (z - y) \cdot (x + y + z) $$ $$ t^2 - y^2 + xt - xy = (t - y) \cdot (t + y) + x \cdot (t - y) = (t - y) \cdot (x + y + t) $$ $$ = (y - x) \cdot (z - x) \cdot (t - x) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ y + x & z - y & t - y \\ y^2 + xy + x^2 & (z - y) \cdot (x + y + z) & (t - y) \cdot (x + y + t) \end{vmatrix} = $$ $$ = (y - x) \cdot (z - x) \cdot (t - x) \cdot (z - y) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ y + x & 1 & t - y \\ y^2 + xy + x^2 & x + y + z & (t - y) \cdot (x + y + t) \end{vmatrix} = $$ $$ = (y - x) \cdot (z - x) \cdot (t - x) \cdot (z - y) \cdot (t - y) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ y + x & 1 & 1 \\ y^2 + xy + x^2 & x + y + z & x + y + t \end{vmatrix} = $$ y después de aplicar propiedades nos queda un determinante $2 \times 2$: $$ = (y - x) \cdot (z - x) \cdot (t - x) \cdot (z - y) \cdot (t - y) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x + y + z & x + y + t \end{vmatrix} = $$ Restamos a la 2ª columna la 1ª y nos queda: $$ = (y - x) \cdot (z - x) \cdot (t - x) \cdot (z - y) \cdot (t - y) \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ x + y + z & t - z \end{vmatrix} = $$ $$ = (y - x) \cdot (z - x) \cdot (t - x) \cdot (z - y) \cdot (t - y) \cdot (t -z) $$

$\bullet \ $ Sabiendo que $\begin{vmatrix} a & b & c \\ 5 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1$, calcula: $$ \begin{array}{ccc} \text{ a) } \begin{vmatrix} 3a & 3b & 3c \\ 5 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} & \qquad & \text{ b) } \begin{vmatrix} 5a & 5b & 5c \\ 1 & 0 & \dfrac{3}{5} \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \end{array} $$

$\bullet$ Sabiendo que $\begin{vmatrix} a & b & c \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 2$, calcula $$\begin{vmatrix} -2 & 0 & 2 \\ a & b & c \\ a - 4 & b - 4 & c - 4 \end{vmatrix} $$

$\bullet$ ¿Cuánto vale el siguiente determinante? $$\begin{vmatrix} a - b - c & 2a & 2a \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{vmatrix}$$

1. $abc$
2. $(a + b)(b + c)(a + c)$
3. $(a + b + c)abc$
4. $(a + b +c)^3$
5. $(a - b)(b - c)(c - a)$

Solución: Sumamos a la 1ª fila la 2ª y 3ª fila:
$$\begin{vmatrix} a - b - c & 2a & 2a \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a + b + c & a + b + c & a + b + c \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{vmatrix} = $$ El factor $a + b + c$ está multiplicando a la 1ª fila luegp $$ = (a + b + c) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{vmatrix} = $$ Restamos la 1ª columna a la 2ª y 3ª columna: $$ = (a + b + c) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2b & - (a + b + c) & 0 \\ 2c & 0 & - (a + b + c) \end{vmatrix} = $$ Desarrollamos el determinante por la 1ª fila y nos queda: $$ = (a + b + c) \cdot \begin{vmatrix} - (a + b + c) & 0 \\ 0 & - (a + b + c) \end{vmatrix} = (a + b + c)^3 $$ Luego la opción correcta es la 4.

$\bullet$ Sabiendo que $ A = \begin{vmatrix} x & y & z \\ 4 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 5$, calcula: $$ \text{ a) } \begin{vmatrix} 3x & 2 & x - 1 \\ 3y & 0 & y - 1 \\ 3z & 1 & z - 1 \end{vmatrix} \qquad \text{ b) } \begin{vmatrix} x & y & z \\ 10 & 2 & 6 \\ x + 4 & y & z + 2 \end{vmatrix} \qquad \text{ c) } |2(A \cdot A^t)^{-1}|$$

\( \bullet \) Encuentra el valor de \( f(100), \text{ si } a - 2b + c = 1 \). Siendo \[ f(x) = \begin{vmatrix} x + a & x + 2 & x + 1 \\ x + b & x + 3 & x + 2 \\ x + c & x + 4 & x + 3 \end{vmatrix} \] Primero calculamos el valor del determinante, para ello vamos a usar lo que nos dicen, a la primera fila, le sumamos la segunda multiplicada por -2 y le sumamos la 3 fila: \[ \begin{vmatrix} x + a & x + 2 & x + 1 \\ x + b & x + 3 & x + 2 \\ x + c & x + 4 & x + 3 \end{vmatrix} \xrightarrow{F_{1} = F_{1} - 2 \cdot F_{2} + F_{3} } \] \[ \xrightarrow{F_{1} = F_{1} - 2 \cdot F_{2} + F_{3} } \begin{vmatrix} x + a - 2(x + b) + (x + c) & x + 2 -2(x + 3) + (x + 4) & x + 1 - 2(x + 2) + (x + 3) \\ x + b & x + 3 & x + 2 \\ x + c & x + 4 & x + 3 \end{vmatrix} = \] \[ = \begin{vmatrix} x + a - 2x - 2b + x + c & x + 2 - 2x -6 + x + 4 & x + 1 - 2x - 4 + x + 3 \\ x + b & x + 3 & x + 2 \\ x + c & x + 4 & x + 3 \end{vmatrix} = \] \[ = \begin{vmatrix} a - 2b + c & 0 & 0 \\ x + b & x + 3 & x + 2 \\ x + c & x + 4 & x + 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x + b & x + 3 & x + 2 \\ x + c & x + 4 & x + 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x + 3 & x + 2 \\ x + 4 & x + 3 \end{vmatrix} = (x + 3)^2 - (x + 4)(x + 2) \] Así la expresión de $f(x)$ es la siguiente: \[ f(x) = (x + 3)^2 - (x + 4)(x + 2) = x^2 + 6x + 9 - (x^2 + 6x + 8) = 1 \forall x \in \R \]

\( \bullet \) Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada $A$ vale −1 y que el determinante de la matriz $2A$ vale −16. ¿Cuál es el orden de la matriz A?

Sabemos que si un escalar multiplica una fila o una columna de una matriz, el determinante queda multiplicado por ese escalar.

La matriz $2A$ es el resultado de multiplicar por 2 todos los elementos de la matriz, luego el orden de la matriz es 4, ya que: \[ |2A| = 2^n \cdot |A| = -2^n = -16 \Rightarrow n = 4 \] La matriz tiene orden 4.

\( \bullet \) Calcula el siguiente determinante: \[ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \] \[ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \xrightarrow{F_{6} = F_{6} - 2 \cdot F_{1}} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \xrightarrow{F_{5} = F_{5} - 2 \cdot F_{2}} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \xrightarrow{} \] \[ \xrightarrow{F_{4} = F_{4} - 2 \cdot F_{3}} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \] Nos ha quedado una matriz diagonal superior, el determinante es el producto de los valores de la diagonal, luego \[ A = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot 1 = 9 \]

Curiosidades de los determinantes:

$\bullet\ $ Área de un triángulo = \( \mfrac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix} \)

$\bullet\ $ Volumen de un tetraedro = \( \mfrac{1}{3!} \cdot \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \\ \end{vmatrix} \)

$\bullet\ $ La ecuación general de una cónica \[ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \] se puede calcular con un determinante sabiendo 5 puntos que pertenezcan a dicha cónica. Así dados los puntos $(x_i, y_i)$ para $i=1, ..., 5$ el siguiente determinante determina la cónica: \[ \begin{vmatrix} x^2 & xy & y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2 & x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 & x_2y_2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 & x_3y_3 & y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4^2 & x_4y_4 & y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \\ x_5^2 & x_6y_5 & y_5^2 & x_5 & y_5 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0 \]

\[ |A| = |A^t| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \\ 0 & -2 & 5 \end{vmatrix} = 5 + 0 - 12 - (0 - 15 - 8) = -7 + 23 = 16 \]

$\bullet\ $ Aplicar las propiedades 9 y 10 para transformar el determinante de la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & 2 \\ 0 & -1 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 9 & 6 \\ 3 & 2 & 4 & 8 \end{pmatrix}$ en otro más sencillo de igual valor.

La primera columna está multiplicada por $bc$, la segunda columna por $b$ y la tercera columna por $a$: \[ \begin{vmatrix} abc & -ab & a^2 \\ -b^2c & 2b^2 & -ab \\ b^2c & -b^2c & 3ab \end{vmatrix} = ab^2c \cdot \begin{vmatrix} a & -a & a \\ -b & 2b & -b \\ b & -bc & 3b \end{vmatrix} = \] Ahora la primera fila está multiplicada por $a$, la segunda y tercera fila por $b$: \[ = a^2b^4c \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -c & 3 \end{vmatrix} = \] Ahora a la segunda fila le sumamos la primera fila y a la tercera fila le restamos la primera fila y desarrollamos el determinante por la primera columna: \[ = a^2b^4c \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -c + 1 & 2 \end{vmatrix} = a^2b^4c \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -c + 1 & 2 \end{vmatrix} = 2a^2b^4c \]

Si nos damos cuenta la suma de todas las filas es $x + 3$: \[ \begin{vmatrix} x & 1 & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 & 1 \\ 1 & 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & 1 & x \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} x + 3 & x + 3 & x + 3 & x + 3 \\ 1 & x & 1 & 1 \\ 1 & 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & 1 & x \end{vmatrix} = 0 \] Ahora a las columnas segunda, tercera y cuarta le restamos la primera columna: \[ \begin{vmatrix} x + 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & x - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & x - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & x - 1 \end{vmatrix} = 0 \implies (x + 3)(x - 1)^3 = 0 \ implies \] \[ \implies x = -3 \text{ y } x = 1 \]

Vamos a hacer ceros en la primera columna, restándole el doble de la primera fila: \[ \begin{vmatrix} 1 & x & x & x \\ 2 & 1 & 2x & 2x \\ 2 & 2 & 1 & 2x \\ 2 & 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} 1 & x & x & x \\ 0 & 1 - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 - 2x & 1 - 2x & 0 \\ 0 & 2 - 2x & 2 - 2x & 1 - 2x \end{vmatrix} = 0 \implies \] \[ \implies (1 - 2x)^3 = 0 \implies x = \mfrac{1}{2} \]

Sacamos $x$ del determinante ya que multiplica a la primera fila: \[ \begin{vmatrix} x & x & x & x \\ x & 1 & 0 & x \\ x & 0 & x & 1 \\ x & x & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \implies x \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x & 1 & 0 & x \\ x & 0 & x & 1 \\ x & x & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \implies \] Ahora hacemos ceros en la primera fila menos en la posición (1,1) y desarrollamos el determinante por la primera fila: \[ \implies x \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ x & 1 - x & -x & 1 - x \\ x & -x & 0 & 1 - x \\ x & 0 & 1 - x & -x \end{vmatrix} = 0 \implies \] \[ \implies x \cdot \begin{vmatrix} 1 - x & -x & 1 - x \\ -x & 0 & 1 - x \\ 0 & 1 - x & -x \end{vmatrix} = 0 \implies x \cdot [ x^3 - (1 - x)^3 = 0 (1)\implies \] \[ \implies x \cdot (x^3 - 1 + 3x - 3x^2 + x^3\] = 0 \implies x \cdot (2x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = 0 \] Una solución es $x = 0$ y la otra $x = \mfrac{1}{2}$ de $(1)$. Si factorizamos: \[ x \cdot (2x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = 0 \implies x (2x - 1) (x^2 - x + 1) = 0\] $x^2 - x - 1$ es un polinomio irreducible de segundo grado.

Linealmente independientes: Construimos la matriz con los vectores por filas (o columnas) y calculamos su determinante, que coincide con la matriz $A$ del apartado anterior: \[ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 + 1 + 0 - 0 - 0 - 0 = 2 \] Como $|A| = 2 \neq 0$, el rango de la matriz es 3, lo que demuestra que los tres vectores $\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3\}$ son linealmente independientes.

Formación de la base: Dado que el número de vectores linealmente independientes es igual a la dimensión del espacio vectorial, es decir: \[ \text{nº de vectores} = 3 = \dim(\mathbb{R}^3) \] estos vectores constituyen también un sistema generador de $\mathbb{R}^3$ y, por lo tanto, sí forman una base de $\mathbb{R}^3$.

Dada una matriz cuadrada $A$ de orden $n \times n$ se llama menor de orden $r$ de dicha matriz al determinante que se obtiene quedándonos con los elementos de las $r$ filas y $r$ columnas que se indiquen: \[ A \begin{pmatrix} i_1 i_2 \dots i_r \\ j_1 j_2 \dots j_r \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a_{i_1 j_1} & a_{i_1 j_2} & \dots & a_{i_1 j_r} \\ a_{i_2 j_1} & a_{i_2 j_2} & \dots & a_{i_2 j_r} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i_r j_1} & a_{i_r j_2} & \dots & a_{i_r j_r} \end{vmatrix} \] con $i_1 < i_2 < \dots < i_r$ y $j_1 < j_2 < \dots < j_r$.

Ejemplo: Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 & 4 \\ -1 & 6 & 0 & -2 \\ 4 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & -2 & 1 \end{pmatrix} $



Dada una matriz $A$ cuadrada, de orden $n \times n$, se llama adjunto $A_{ij}$ al menor obtenido de suprimir la fila -ésima y la columna j-ésima multiplicada por $(-1)^{i + j}$: \[ A_{ij} = (-1)^(i + j) A_{ij} = \begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1\,j-1} & a_{1\,j+1} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \dots & \vdots \\ a_{i-1\,1} & \dots & a_{i-1\,j-1} & a_{i-1\,j+1} & \dots & a_{i-1\,n} \\ a_{i+1\,1} & \dots & a_{i+1\,j-1} & a_{i+1\,j+1} & \dots & a_{i+1\,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \dots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{n\,j-1} & a_{n\,j+1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} \]

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com