Estadística. Teoría y problemas.

Sea una muestra $x_1, x_2, \dots x_n$ de $N$ valores con frecuencias $f_1, f_2, ..., f_n$ respectivamente de una variable «$x$»:

• Se llama media muestral a $\bar{x} = \mfrac{f_1 \cdot x_1 + f_2 \cdot x_2 + + f_3 \cdot x_3 + \dots + f_n \cdot x_n}{N} = \mfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n f_i \cdot x_i}{N} = \mfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^N x_i}{N} $ media aritmética de los datos.
• Se llama varianza muestral a $\displaystyle S^2_x = \mfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n f_i \cdot (x_i-\bar{x})^2}{N}$ que es una medida de dispersión para estudiar la representatividad de la media:
• Se llama desviación típica muestral a la raíz cuadrada de la varianza muestral $S_x = \msqrt{S^2_x}$

Veamos un ejemplo: Dadas las notas de un alumno

$x_i$	$x_i - \bar{x}$	$(x_i - \bar{x})^2$
7	0	0
9	2	4
6	-1	1
7	0	0
6	-1	1

$$ \bar{x} = \mfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n f_i \cdot x_i}{N} = \mfrac{2 \cdot 6 + 2 \cdot 7 + 9}{5} = \mfrac{35}{5} = 7 $$ $$ S^2x = \mfrac{ \displaystyle \sum_{i=1}^n f_i \cdot (x_i - \bar{x})^2}{N} = \mfrac{2 \cdot (-1)^2 + 2 \cdot 0 + (-2)^2}{5} = \mfrac{6}{5} = 1,2 $$

• La media muestral: $\bar{x}$, sirve para estimar la media poblacional, se denota con $\mu$.
• La desviación típica muestral: $\mathbf{s}$, es una estimación de la desviación típica, se denota con $\sigma$.
• La varianza: se denota $\sigma^2$.

Distribución Normal

Una variable aleatoria continua $X$ sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma$, y se designa por $N(\mu, \sigma)$ si cumplen las siguientes condiciones:

• La variable pueden tomar cualquier valor real, es decir, $x \in (-\infty, \infty)$
• La función de densidad, $f(x)$ de la distribución $$f(x) = \mfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$

La gráfica de una distribución normal es simétrica con respecto de la media «$\mu$» y su forma es acampanada, lo que le da el nombre de la campana de Gauss.

El área que queda por debajo de la curva es 1.


$P(-\infty < x < +\infty) = 1$



Cuando $\mu=0$ y $\sigma=1$ tenemos la normal tipificada o estándar $N(0,1)$



La importancia que la distribución normal tipificada radica en que cualquier distribución normal se puede reducir a una tipificada y que esta se encuentra tabulada.



Cálculo de probabilidades en una Normal Tipificada

La distribución $N(0,1)$ que se representa por $Z$, se encuentra tabulada, lo cual permite un cálculo rápido de las probabilidades asociadas a la misma.

Aunque existe muchos fenómenos que se comporten como una distribución normal, se puede afirmar que ninguno de ellos se comporta exactamente como una $N(0,1)$

Lo más aconsejable sería transformar la variable $X$ que sigue una distribución $N(\mu, \sigma)$ en otra variable $Z$ que siga una distribución $N(0,1)$. Esta transformación se conoce con el nombre de tipificación de la variable y consiste en:

• Centrar: consiste en trasladar la media de la distribución al origen de coordenadas. Esto equivale a hacer $\mu = 0$
• Reducir: la desviación estándar a 1 ($\sigma = 1$). Esto equivale a dilatar o contraer la gráfica de la distribución para que coincida con la ley estándar: $$Z = \mfrac{X - \mu}{\sigma}$$

La regla de simetría real es: >$$P(Z > a) = P(Z < -a)$$ Esta propiedad es fundamental en la distribución normal estándar y se basa en una única palabra: «simetría». La campana de Gauss de una $N(0,1)$ está perfectamente centrada en el $0$. Esto significa que la mitad izquierda de la campana es un reflejo exacto (como en un espejo) de la mitad derecha. Si elegimos un número positivo cualquiera, por ejemplo $a$: $P(Z >a)$ representa el área de la «cola» que queda a la derecha de $a$. $P(Z < -a)$ representa el área de la «cola» que queda a la izquierda de $-a$. Como la campana es simétrica y los puntos $a$ y $-a$ están exactamente a la misma distancia del centro ($0$), esas dos colas exteriores son idénticas en tamaño. Por lo tanto, el área que encierran (la probabilidad) vale exactamente lo mismo. En la PAU esto es utilísimo porque las tablas oficiales solo suelen dar las probabilidades para valores positivos y menores que ($P(Z < a)$). Si el examen te pide calcular la probabilidad de que $Z$ sea menor que un número negativo, gracias a esta propiedad le das la vuelta a todo y lo transformas en un problema de cola derecha: \[ P(Z < -a) = P(Z > a) = 1 - P(Z < a) \]

Cálculo de $\mathbf{ P(Z \leq a) } $

Hallar la probabilidad

$ P(Z \leq 0,56)$ Basta con buscar el valor en la tabla o en la calculadora.

$ P(Z \leq 0,56) = 0,7123 $

Hallar la $a$ sabiendo la probabilidad:

$P(Z \leq a) = 0,6854 \implies a = 0,48285$

Cálculo de $\mathbf{ P(Z > a) } $

Hallar la Probabilidad

$ P(Z \geq 1,215) = 1 - P(Z \leq 1,125) = 1 - 0,8697 = 0,1303 $

$ P(Z \geq 1,41) = 1 - P(Z \leq 1,41)= 1 - 0,9207 = 0,0793 $

Hallar la $a$ sabiendo la probabilidad:

$P(Z \geq a) = 0,1384 \implies P(Z \leq a) = 0,8616 \implies$

$a = 1,08754$

Cálculo de $\mathbf{ P(Z < -a) } $

Hallar la Probabilidad

$P(Z < - 0,25) = P(Z > 0,25) = $

$= 1 - P(Z \leq 0,25) = 1 – 0,5987 = 0,4013$



$P(Z < - 1,75) = P(Z > 1,75) = $

$= 1- P(Z \leq 1,75) = 1 – 0,9599 = 0,0401 $

Cálculo de $\mathbf{ P(a \leq Z \leq b) } $

Hallar la Probabilidad

$ P(-0,75 < Z < 1,23) = P(Z < 1,23) - P(Z < -0,75) = $

$ = P(Z < 1,23) – P(Z > 0,75) = $

$ = P(Z < 1,23) - [1 - P(Z < 0,75) ] = $

$ = 0,8907 – (1 - 0,7734) = 0,664 $







El valor crítico se designa mediante $z_{\alpha/2}$.

$P(Z > z_{\alpha/2}) = \mfrac{\alpha}{2} $

$P(-z_{\alpha/2} < Z < z_{\alpha/2}] = 1 − \alpha$

$\alpha$ es el nivel de significación.

$1 − \alpha$ es el nivel de confianza, que es la probabilidad de que el parámetro a estimar se encuentre en el intervalo de confianza.

Los niveles de confianza más usuales son: 90%; 95% y 99%.

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline 1 - \alpha & \alpha & \alpha/2 & z_{\alpha/2} \\[2.5ex] \hline 0,90 & 0,10 & 0,05 & 1,645 \\[2.5ex] \hline 0,95 & 0,05 & 0,025 & 1,96 \\[2.5ex] \hline 0,99 & 0,01 & 0,005 & 2,575 \\[2.5ex] \hline \end{array} \]