Geometría. PAU.

PAU La Rioja 2026 (julio) Contesta justificadamente los siguientes apartados:

Sean la recta $r : \mfrac{x}{3} = y = \mfrac{z - 11}{-1}$ y el punto $P \equiv (0, 1, 1)$.

1. Determina la ecuación del plano que pasa por el punto $P$ y es perpendicular a la recta $r$.
2. Halla la distancia de $P$ a la recta $r$.

a) El pano que pasa por $P$ y es perpendicuar a $r$ es de la forma: $\pi : 3x + y - z = k $. Sustituimos las coordenadas de $P$ en $\pi$ para calcular $k$ y nos queda: $ \pi : 1 - 1 = k \implies k = 0 $, luego la ecuación del plano buscado es: \[ \pi : 3x + y - z = 0 \]

b) Nos piden la distancia de la recta $r$ al punto $P$: Lo podemos hacer de varias formas, calculando el punto de corte $R$ de la recta $r$ y el plano $\pi$ y calculando la distancia de $P$ a $R$. Aplicando la fórmula de la distancia de un punto a una recta $d(p, r) = \mfrac{|\overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{d}|}{ |\overrightarrow{d}| }$ siendo $\overrightarrow{d}$ el vector director de la recta $r$ y $A$ un punto cualquiera de la recta $r$. Vamos a calcular la distancia con la fórmula:

Sea $A = (0, 0, 11)$ el vector $\overrightarrow{AP} = (0, 1, -10)$. Ahora hacemos el producto vectorial de $\overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{d}$: \[ \overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{d} = \begin{vmatrix} i & i & k \\ 0 & 1 & -10 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 9i - 30j - 3k = (9, -30, -3) \] \[ d(p, r) = \mfrac{|\overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{d}|}{ |\overrightarrow{d}| } = \mfrac{ \msqrt{81 + 900 + 9} }{ \msqrt{9 + 1 + 1} } = \mfrac{ \msqrt{990} }{ \msqrt{11} } = \msqrt{ \mfrac{990}{11} } = \msqrt{90} \approx 9,49 u \]



PAU La Rioja 2026 (julio) Contesta justificadamente los siguientes apartados:

Determina los valores de $a$ para que los planos de ecuaciones: $$\begin{cases} \pi_1 : x + y + z = 1, \\ \pi_2 : (a - 1)x + y + z = a, \\ \pi_3 : x + (a - 1)y - z = 0, \end{cases}$$

1. se corten en un punto. En este caso, determina el punto de corte.
2. se corten en una recta. En este caso, determina la recta en su forma paramétrica.

Apartado a)

Siendo $M$ la matriz de coeficientes y $M'$ la matriz ampliada. Para que se corten en un punto, el rango (M) = rango (M') = 3, luego el $|M| \neq 0$: \[ \begin{eqnarray} |M| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a - 1 & 1 & 1 \\ 1 & a - 1 & - 1 \end{vmatrix} = -1 + 1 + (a -1)^2 - (1 - a + 1 + a - 1) = a^2 - 2a + 1 - 1 = a^2 - a = a(a -2) \end{eqnarray} \] El $|M| \neq 0 \implies a \neq 0 \text{ y } a \neq 2$.

Vamos a resolver este sistema por el método de Cramer: \[ x = \dfrac{ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & 1 & 1 \\ 0 & a - 1 & - 1 \end{vmatrix} }{ a(a - 2)} = \mfrac{ -1 + 0 + a(a - 1) - (0 - a + a - 1) }{a(a - 2)} = \mfrac{a(a - 1)}{ a(a - 2) } = \mfrac{ a - 1 }{ a - 2 } \] \[ y = \dfrac{ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a - 1 & a & 1 \\ 1 & 0 & - 1 \end{vmatrix} }{ a(a - 2)} = \mfrac{ -a + 1 + 0 - (a - a + 1 + 0) }{a(a - 2)} = \mfrac{ -a }{ a(a - 2) } = \mfrac{ - 1 }{ a - 2 } = \mfrac{ 1 }{ 2 - a } \] \[ z = \dfrac{ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a - 1 & 1 & a \\ 1 & a - 1 & 0 \end{vmatrix} }{ a(a - 2)} = \mfrac{ 0 + a + (a - 1)^2 - (1 + 0 + a(a - 1)) }{a(a - 2)} = \mfrac{a + a^2 - 2a + 1 - 1 - a^2 + a}{ a(a - 2) } = \mfrac{ 0 }{ a - 2 } = 0 \] El punto donde se cortan es \[ \left ( \mfrac{ a - 1 }{ a - 2 }, \mfrac{ 1 }{ 2 - a }, 0 \right )\]



Apartado b)

El rango(M) = 2, si $a = 0$ o $a = 2$.

Veamos el caso $a = 0$ $$ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ -x + y + z = 0 \\ x - y - z = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - y - z = 0 \end{cases} $$ En este caso, rango(M) = rango (M') = 2 y los planos $\pi_2$ y $\pi_3$ son coincidentes. Luego los tres planos comparten una recta. Vamos a calcular la recta de corte: Sumando las dos ecuaciones: $2x = 1 \implies x = \mfrac{1}{2}$ y luego tenemos $y + z = \mfrac{1}{2}$. Si hacemos $y = \lambda$ entonces: \[ z = \mfrac{1}{2} - y = \mfrac{1}{2} - \lambda \] \[ \text{ Al final la ecuación de la recta en paramétricas es la siguiente: }r : \begin{cases} x = \mfrac{1}{2} \\ \\ y = \lambda \\ \\ z = \mfrac{1}{2} - \lambda \end{cases} \]



Veamos el caso $a = 2$ $$ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + y + z = 2 \\ x - y - z = 0 \end{cases} $$ En este caso, rango(M) = 2 y rango (M') = 3. Hay planos secantes, por ser rango(M) = 2, pero dos de esos planos son paralelos ($\pi_1$ y $\pi_2$). El tercer plano es secante con los otros dos que son paralelos, pero los tres planos no comparten la recta.