- Escribe la matriz que expresa el número de productos según el tamaño y la variante. \[ \begin{pmatrix} 100 & 50 & 100 \\ 160 & 150 & 100 \end{pmatrix} \]
- Escribe la matriz que expresa el número de productos y los porcentajes según la variante y el tipo de venta.
- Calcula la matriz que expresa el número de productos según tamaño y tipo de venta.
Se pide la matriz que expresa el número de productos según el tamaño (filas) y la variante (columnas). Esta matriz es la mismaque la tabla proporcionada en el enunciado. Llamaremos a esta matriz $P$ (de dimensión $2 \times 3$): \[ \begin{pmatrix} 100 & 50 & 100 \\ 160 & 150 & 100 \end{pmatrix} \]
b) Ahora nos piden una matriz que exprese los porcentajes de venta según la variante (filas) y el tipo de venta (columnas: tienda o domicilio). Vamos a expresar los porcentajes en formato decimal.
Variante A: 50% tienda (0.5), el resto a domicilio es 100% - 50% = 50% (0.5).
Variante B: 60% tienda (0.6), el resto a domicilio es 100% - 60% = 40% (0.4).
Variante C: 40% tienda (0.4), el resto a domicilio es 100% - 40% = 60% (0.6).
Llamaremos a esta matriz $P$ (de dimensión $3 \times 2$): $$P = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.6 & 0.4 \\ 0.4 & 0.6 \end{pmatrix}$$
c) Para calcular el número de productos según tamaño y tipo de venta, debemos multiplicar la matriz de producción ($M$) por la matriz de distribución porcentual ($P$). Al multiplicar una matriz de $2 \times 3$ por una de $3 \times 2$, el resultado será una matriz de $2 \times 2$ (Tamaño $\times$ Tipo de venta). $$ C = M \cdot P = \begin{pmatrix} 100 & 50 & 100 \\ 160 & 150 & 100 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.6 & 0.4 \\ 0.4 & 0.6 \end{pmatrix} $$ Realizamos los cálculos multiplicando filas por columnas:
Por lo tanto, la matriz final resultante es: $$C = \begin{pmatrix} 120 & 130 \\ 210 & 200 \end{pmatrix}$$ Interpretación del resultado: 120 productos pequeños se venden en tienda, 130 productos pequeños se reparten a domicilio, 210 productos grandes se venden en tienda y 200 productos grandes se reparten a domicilio.
PAU Larioja 2026 (junio) CCSS Una pareja compra en una tienda especializada tres electrodomésticos: A, B у C, pagando por ellos un total de 1000 euros. Lo que les ha costado A representa el 40% de lo gastado en C; y, además, la suma total del dinero gastado en la compra de B y de C cuadruplica el pagado por A. Calcula cuánto le ha costado a esta pareja cada uno de los tres electrodomésticos.
$x = $ Importe electrodoméstico A; $y = $ Importe electrodoméstico B; $z = $ Importe electrodoméstico C; Vamos a plantear las ecuaciones: $x + y + z = 1000 $
$x = 0,4z$
$y + z = 4x $
Que forman el sistema que vamos a resolver: \[ \begin{cases} x + y + z = 1000 \\ x = 0,4z \\ y + z = 4x \end{cases}\] Se puede resolver matricialmente, pero en este caso no merece la pena. De la tercera ecuación, usando la segunda, sacamos una relación entre $x$ e $y$: \[ y = 4x - z = 1,6z - z = 0,6z \] Sustituimos en la primera ecuación: \[ x + y + z = 1000 \implies 0,4z + 0,6z + z = 1000 \implies 2z = 1000 \implies z = 500 \text{€}\] Ahora despejamos $x$ e $y$:
$x = 0,4z = 0,4 \cdot 500 = 200 \text{€}$
$y = 0,6z = 0,6 \cdot 500 = 300 \text{€}$
PAU Larioja 2026 (junio) CCSS Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ a & b \end{pmatrix}$, $a, b$: números reales, se pide:
- Calcula los valores de «$a$» y «$b$» para que se verifique la igualdad: $A \cdot B = B \cdot A$.
- Calcula una matriz $X$ que cumpla la igualdad: $X \cdot A^4 = I_2$. (I_2 representa la matriz identidad de orden 2)
$4 + 2a = 4 \implies 2a = 0 \implies a = 0$ y por otro lado $5 + 2b = 13 \implies 2b = 8 \implies b = 4$.
b) Vamos a calcular $X$, $A$ es inversible ya que $|A| = 1$ luego $X = A^{-4}$, vamos a calcular $A^{-1}$, después $A^{-2}$ y por último $A^{-4}$: \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & - 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad A^{-2} = \begin{pmatrix} 1 & - 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & - 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & - 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] \[ A^{-4} = A^{-2} \cdot A^{-2} = \begin{pmatrix} 1 & - 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & - 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & - 8 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] \[ X = \begin{pmatrix} 1 & - 8 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
PAU Larioja 2026 (julio) Dos productos A y B compiten en el mercado. Sus demandas $x_a$ y $x_b$ están relacionadas con sus precios, $p_a$ y $p_b$, por las siguientes ecuaciones de demanda: $$x_a = 17 - 2p_a + \mfrac{1}{2}p_b, \qquad x_b = 20 - 3p_b + \mfrac{1}{2}p_a.$$ Las ecuaciones de oferta son: $$p_a = 2 + x_a + \mfrac{1}{3}x_b, \qquad p_b = 2 + \frac{1}{2}x_b + \mfrac{1}{4}x_a,$$ que dan los precios a los cuales las cantidades $x_a$ e $x_b$ estarán disponibles en el mercado. Calcula los valores de equilibrio de $x_a, x_b, p_a$ y $p_b$ que resuelven el sistema planteado: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -1/2 & 3 \\ -1 & -1/3 & 1 & 0 \\ -1/4 & -1/2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_a \\ x_b \\ p_a \\ p_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 20 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}.$$ Vamos a resolver el problema: \[ (A|B) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1/2 & 17 \cr 0 & 1 & -1/2 & 3 & 20 \cr -1 & -1/3 & 1 & 0 & 2 \cr -1/4 & -1/2 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right) \] Vamos a hacer ceros por debajo de la diagonal: Primer paso, a la $\odn{3}{a}$ fila le suma la $\odn{1}{a}$ y a la $\odn{4}{a}$ fila le sumo la $\odn{1}{a}$ multiplicada por $\mfrac{1}{4}$: \[ (A|B) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1/2 & 17 \cr 0 & 1 & -1/2 & 3 & 20 \cr 0 & -1/3 & 3 & -1/2 & 19 \cr 0 & -1/2 & 1/2 & 7/8 & 25/4 \end{array} \right) \] Segundo paso, a la $\odn{3}{a}$ fila le suma la $\odn{2}{a}$ multiplicada por $\mfrac{1}{3}$ (el resultado final lo multiplicamos por 6) y a la $\odn{4}{a}$ fila le sumo la $\odn{2}{a}$ multiplicada por $\mfrac{1}{2}$ (el resultaod final lo multiplicamos por 4): \[ (A|B) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1/2 & 17 \cr 0 & 1 & -1/2 & 3 & 20 \cr 0 & 0 & 17 & 3 & 154 \cr 0 & 0 & 1 & 19/2 & 65 \end{array} \right) \] Tercer paso. permutamos la $\odn{3}{a}$ y la $\odn{4}{a}$: \[ (A|B) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1/2 & 17 \cr 0 & 1 & -1/2 & 3 & 20 \cr 0 & 0 & 1 & 19/2 & 65 \cr 0 & 0 & 17 & 3 & 154 \end{array} \right) \] Cuarto paso, a la $\odn{4}{a}$ fila le suma la $\odn{4}{a}$ multiplicada por $-17$ (el resultado final lo multiplicamos por 3): \[ (A|B) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1/2 & 17 \cr 0 & 1 & -1/2 & 3 & 20 \cr 0 & 0 & 1 & 19/2 & 65 \cr 0 & 0 & 0 & 317/2 & 951 \end{array} \right) \] Ahora despejamos el sistema de abajo hacia arriba, empezmos por $p_b$: \[ \mfrac{317}{2} p_b = 951 \implies 317 p_b = 1902 \implies p_b = 6 \] Ahora $p_a$: \[ p_a + \mfrac{19}{2} \cdot p_b = 65 \implies p_a = 65 - \mfrac{19}{2} \cdot 6 = 65 - 57 = 8 \] Ahora $x_b$: \[ x_b - \mfrac{1}{2} \cdot p_a + 3 \cdot p_b = 20 \implies x_b = 20 + \mfrac{1}{2} \cdot 8 - 3 \cdot 6 = 20 + 4 - 18 = 6 \] Ahora $x_a$: \[ x_a + 2 \cdot p_a - \mfrac{1}{2} \cdot p_b = 17 \implies x_a = 17 - 2 \cdot 8 + \mfrac{1}{2} \cdot 6 = 17 - 16 + 3 = 4 \] Vamos a comprobar la solución: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -1/2 & 3 \\ -1 & -1/3 & 1 & 0 \\ -1/4 & -1/2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 16 - 3 \\ 6 - 4 + 18 \\ -4 - 2 + 8 \\ -1 - 3 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 20 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}.$$ PAU La Rioja 2026 (julio) Dada la matriz $$X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix},$$ calcula $A = I_4 - X(X^t X)^{-1} X^t$ y comprueba que es idempotente, es decir, que $A^2 = A$. Primero vamos a calcular la traspuesta de $X$: \[ X^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \] Ahora hacemos el producto de matrices $X^t \cdot X$, ordenes de las matrices $(2 \times 4) \cdot (4 \times 2) = (2 \times 2)$: \[ X^t \cdot X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 7 & 15 \end{pmatrix} \] El resultado es una matriz inversible (|X^t \cdot X| = 11 \neq 0) y se calcula muy fácilmente: \[ (X^t \cdot X)^{-1} = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 15 & -7 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} \] Vamos a ir calculando $A$ poco a poco, ahora multiplicamos $X \cdot (X^t \cdot X)^{-1}$: \[ X \cdot (X^t \cdot X)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 15 & -7 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 15 & -7 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 8 & -3 \\ 1 & 1 \\ 8 & -3 \\ -6 & 5 \end{pmatrix} \] Ahora hacemos $X \cdot (X^t \cdot X)^{-1} \cdot X^t$: \[ X \cdot (X^t \cdot X)^{-1} \cdot X^t = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 8 & -3 \\ 1 & 1 \\ 8 & -3 \\ -6 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 & 5 & -1 \\ 2 & 3 & 2 & 4 \\ 5 & 2 & 5 & -1 \\ -1 & 4 & -1 & 9 \end{pmatrix} \] Ahora el paso final: \[ A = I_4 - \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 & 5 & -1 \\ 2 & 3 & 2 & 4 \\ 5 & 2 & 5 & -1 \\ -1 & 4 & -1 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 & 5 & -1 \\ 2 & 3 & 2 & 4 \\ 5 & 2 & 5 & -1 \\ -1 & 4 & -1 & 9 \end{pmatrix} = \mfrac{1}{11} \cdot \begin{pmatrix} 6 & -2 & -5 & 1 \\ -2 & 8 & -2 & -4 \\ -5 & -2 & 6 & 1 \\ 1 & -4 & 1 & 2 \end{pmatrix} \] Ahora veamos que $A^2 = A$ de una forma sencilla: \[ A^2 = (I_4 - X(X^t X)^{-1} X^t)^2 = I_4^2 - 2 \cdot I_4 \cdot X(X^t X)^{-1} X^t + (X(X^t X)^{-1} X^t)^2 = \] \[ = I_4 - 2 \cdot X(X^t X)^{-1} X^t + X(X^t X)^{-1} X^t \cdot X(X^t X)^{-1} X^t = \] \[ = I_4 - 2 \cdot X(X^t X)^{-1} X^t + X(X^t X)^{-1} \textcolor{blue}{ X^t \cdot X (X^t X)^{-1} } X^t = \] el texto en azul es la identidad de orden 2: \[ = I_4 - 2 \cdot X(X^t X)^{-1} X^t + X(X^t X)^{-1} \textcolor{blue}{ I_2 } X^t = I_4 - 2 \cdot X(X^t X)^{-1} X^t + X(X^t X)^{-1} X^t = \] \[ = I_4 - X(X^t X)^{-1} X^t = A \]
PAU Larioja 2026 (julio) CCSS Dada la matriz $M = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & -a \end{pmatrix}, a$ número real. Se pide:
- Calcula el valor de «$a$» para que se cumpla: $M^2 = I$. Para ese valor de «$a$», calcula la matriz inversa de $M$ y halla $M^{21}$.
- Para $a = 1$: calcula una matriz $X$ que verifique la igualdad: $M \cdot X + M^T = 2I$. ($I$ representa la matriz identidad orden 2 y $M^T$ la matriz traspuesta de $M$).
Vamos a calcular $M^{21}$ con $a = 0$: \[ M^{21} = M^{20} \cdot M = (M^2)^{10} \cdot M = I_2 \cdot M = \cdot M \]
b) Ahora $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ y queremos resolver esta acuación $M \cdot X + M^T = 2I$: \[ M \cdot X + M^T = 2I_2 \implies M \cdot X = 2I - M^T \implies X = M^{-1} \cdot (2I_2 - M^T) \] La traspuesta de $M$ es $M^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = M $
Y la inversa de $M$ es $M^{-1} = \mfrac{-1}{2} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} $
Juntándolo todo tenemos: \[ X = M^{-1} \cdot (2I_2 - M^T) = \mfrac{-1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \left [ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\right ] = \mfrac{-1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \] \[ = \mfrac{-1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \]
PAU Larioja 2026 (julio) CCSS Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}$, se pide:
- Calcula $A^2$ y calcula el determinante de la matriz inversa de $A$.
- Calcula una matriz $X$ que verifique la igualdad: $X \cdot A = B^T + I_3$ ($B^T$: matriz traspuesta de $B$, $I_3$: matriz identidad orden 3)
b) Vamos a calcular $X, X \cdot A = B^T + I_3 \implies X = (B^T + I_3) \cdot A^{-1}$ para ello necesitamos la inversa de $A$ y la $B^T$. Para calcular $A^{-1}$ usaremos el apartado anterior, ya que $A^{-1} = A$.
$B^T = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ Hacemos las cuentas: \[ X = (B^T + I_3) \cdot A^{-1} = \left [ \begin{pmatrix} 5 & 0 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right ] \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \] \[ = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 3 \\ 1 & 5 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 6 & 3 \\ 5 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]
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