Una matriz es un conjunto de números o expresiones algebraicas dispuestos en una tabla formada por filas y columnas. Cada número o expresión algebraica de la matriz se llama elemento y se denota $a_{ij}$, donde $i$ hace referencia a la fila i-ésima y $j$ hacer referencia a la colmuna j-ésima. El elemento $a_{23}$ es el que está en la $\odn{2}{a}$ fila, $\odn{3}{a}$ columna.
Las matrices se representan del siguiente modo: $$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm} \\ \end{pmatrix} $$ $A$ es una matriz de $n$ filas y $m$ columnas, se dice que es de orden $n \times m$.
Dos matrices $A$ y $B$ son iguales si tienen el mismo orden y los elementos correspondientes de las matrices son iguales si $$a_{ij} = b_{ij} \ \forall \ 1 \leq i \leq n; \ 1 \leq j \leq m$$
$$\huge \fbox{ Clases de Matrices } $$
- $ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \text{ Matrices rectangulares: } } $ el número de filas y de columnas es distinto. $$ \begin{pmatrix} 1 & -3 & 9 & 2 \\ 0 & -1 & 2 & -3 \\ \end{pmatrix} \qquad \qquad \begin{pmatrix} 1 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 0 \\ \end{pmatrix} $$ - $ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \text{ Matriz fila} }:$ Tiene una fila y una o varias columnas. \[ \begin{pmatrix} 1 & -3 & 4 \end{pmatrix} \]
- $ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \text{ Matriz columna} }:$ Tiene una columna y una o varias filas. \[ \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \]
- $ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \text{ Matriz traspuesta} }:$ Es la que se obtiene al cambiar las filas por las columnas, se denota $A^t$ o $A'$. \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow A^t = A' = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}; \] \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow B' = B^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}; \] Nota $(A')' = A$. La traspuesta de la traspuesta es la matriz original.
- $ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \text{ Matriz nula} }:$ Todos los elementos de la matriz son nulos. $(a_{ij} = 0) \forall 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n $
\[ N = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] \[ N = \begin{pmatrix} 0 & 0 \end{pmatrix} \] \[ N = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] $ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \text{ Matrices cuadradas} }:$ el número de filas y de columnas es el mismo.
$$ \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \qquad \qquad \begin{pmatrix} 1 & -3 & 8 \\ 2 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -2 \end{pmatrix} $$ - Matriz identidad: Es una matriz cuadrada con unos en la diagonal y el resto ceros. Se denoya $I_n$ a la matriz cuadrada de orden $n$.
$$ I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}; \qquad I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}; \qquad I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}; \cdots I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \ldots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}; $$ La diagonal de una matriz cuadrada son los elementos de la matriz donde el número de fila y columna coinciden: $(a_{ii}) \forall 1 \leq i \leq \ n $.
- Matriz diagonal: Cuando todos los elementos que no están en la diagonal son cero, y los de la diagonal, distintos de cero: \[ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}; \qquad \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}; \]
- Matriz escalar: Es un caso particular de matriz diagonal, donde los elementos de la diagonal son todos iguales: \[ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}; \qquad \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}; \] La Matriz identidad es una matriz diagonal. Las Matrices escalares se pueden poner como un número por una matriz identidad. \[ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -1 \cdot I_2; \qquad \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} = (-3) \cdot I_3; \]
- Matriz triangular superior: Los elementos por debajo de la diagonal son ceros. \[ \begin{pmatrix} 11 & -7 & 3 \\ 0 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}; \qquad \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 8 \\ 0 & -9 & -3 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -11 \end{pmatrix}; \]
- Matriz triangular inferior: Los elementos por encima de la diagonal son ceros. \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & 0 \\ 10 & -4 & 7 \end{pmatrix}; \qquad \qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -3 & 9 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 6 & 0 \\ -1 & 2 & 5 & -3 \end{pmatrix}; \]
- Matriz simétrica: Si cumple que $A = A'$ \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}; \qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \\ 1 & 5 & -1 \end{pmatrix}; \] Para que una matriz sea simétrica los elementos simétricos respecto de la diagonal han de ser iguales $a_{ij} = a_{ji} \forall \ 1 \leq i,j \leq n, i \neq j $.
La suma de una matriz cualquiera y su traspuesta es una matriz simétrica: $$ S = A + A' \Rightarrow S' = (A + A')' = A' + A = S $$ Nota: La traspuesta de la suma (o resta) de matrices es la suma (o resta) de las traspuestas.
- Matriz antisimétrica: SI cumple que $A = - A'$ \[ \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}; \qquad \begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ -3 & 0 & 7 \\ 1 & -7 & 0 \end{pmatrix}; \] Para que una matriz sea antisimétrica los elementos simétricos respecto de la diagonal han de ser opuestos $a_{ij} = -a_{ji} \forall \ 1 \leq i,j \leq n$ y los de la diagonal nulos $ (a_{ii} = 0 \forall 1 \leq i \leq n )$.
La resta de una matriz cualquiera y su traspuesta es antisimétrica: $$ T = A - A' \Rightarrow T' = (A - A')' = - A' + A = T $$ Nota: La traspuesta de la suma (o resta) de matrices es la suma (o resta) de las traspuestas.
-
$$\Large \fbox{ Operaciones con matrices } $$
- Suma y resta de matrices: Las matrices deben tener la misma dimensión (mismo número de filas y de columnas). La operación se realiza sumando o restando los elementos que están en la misma posición en ambas matrices, obteniendo como resultado una nueva matriz del mismo tamaño. La suma de matrices es CONMUTATIVA $A + B = B + A$. \[ A \pm B = (a_{ij}) \pm (b_{ij}) = (a_{ij} \pm b_{ij} ) \] Ejemplos:
\( \bullet \ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 3 & 1 + 4 \\ 5 + 2 & -7 + 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 7 & 0 \end{pmatrix} \)
\( \bullet \ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 3 & 1 - 4 \\ 5 - 2 & -7 - 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 3 & -14 \end{pmatrix} \)
\( \bullet \ \begin{pmatrix} 3 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 -2 & 1 + 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 8 \end{pmatrix} \)
\( \bullet \ \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 2 & - 1 & -7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 1 & 0 + 1 & 1 + 2 \\ 2 + 2 & - 1 + 0 & -7 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & - 1 & -7 \end{pmatrix} \)
- Producto de matrices: La multiplicación sólo es posible si el número de columnas de la $\odn{1}{a}$ matriz coincide con el número de filas de la $\odn{2}{a}$. El producto de dos matrices se obtiene al multiplicar las filas de la $\odn{1}{a}$ matriz por las columnas de la $\odn{2}{a}$. Si \(A\) es una matriz de orden \(m\times p\) y \(B\) es de orden \(p\times n\), entonces la matriz producto \(AB\) será de orden \(m\times n\). Para calcular cada elemento de la matriz resultante $c_{ij}$, se multiplica elemento a elemento la fila $i$ por la columna $j$ correspondiente y se suman los resultados. El producto de matrices NO es CONMUTATIVO, es decir $A \cdot B \neq B \cdot A.$
\[ A \times B = (c_{ij} ), \text{ donde } c_{ij} = \displaystyle \sum_{k=1}^n {a_{ik} \times b_{kj}} \] Ejemplos:
\( \bullet \ \begin{pmatrix} 2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 5 = 6 - 5 = 1 \)
\( \bullet \ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 & 2 \cdot 5 \\ -1 \cdot 3 & -1 \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 10 \\ -3 & -5 \end{pmatrix} \)
El producto de matrices es asociativo, es decir, \[ A \times (B \times C ) = ( A \times B )\times C \] El producto de matrices es distributivo respecto de la suma, es decir, \[ A \times (B + C) = A \times B + A \times C \] El producto tiene elemento neutro $I_s$, que es la identidad de dimensión que corresponda y es el elemento neutro por derecha e izquierda (si la matriz es cuadrada, si no, el neutro por derecha e izquierda tiene distinta dimensión). Es decir, $A$ es de orden n \times m entonces: \[ I_n \times A = A \times I_m = A \] Si la matriz B es cuadrada $n \times n$, entonces: \[ I_n \times B = B \times I_n = B \] - Producto por un número o escalar: Para multiplicar una matriz \(A\) por un escalar \(k\) (un número real cualquiera), se debe multiplicar cada uno de los elementos de la matriz \(A\) por dicho escalar \(k\). \[ k \cdot A = k \cdot (a_{ij} ) = (k \cdot a_{ij}) \]
$\bullet$ Ejercicio 1: \( \text{ Si } \quad A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^{37} A^{n} = \text{?} \)
\( A^1 = A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)
\( A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{pmatrix} \)
\( A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 3 & 1 \end{pmatrix} \)
\( A^4 = A^3 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 4 & 1 \end{pmatrix} \)
\( \text{Así tenemos que } A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ n & 1 \end{pmatrix} \)
Luego $$ \displaystyle \sum_{n=1}^{37} A^{n} = \displaystyle \sum_{n=1}^{37} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ n & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 37 & 0\\ \dfrac{37 \cdot 38}{2} & 37 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 37 & 0\\ 37 \cdot 19 & 37 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \ 37 & 0\\ 703 & 37 \end{pmatrix} $$
$\bullet$ Ejercicio 2: Sea \( A = \begin{pmatrix} \ \mfrac{ \msqrt{2} }{ 2 } & \mfrac{ - \msqrt{2} }{ 2 } \\ \\ \mfrac{ \msqrt{2} }{ 2 } & \mfrac{ \msqrt{2} }{ 2 } \end{pmatrix} \) Calcula el valor de \( A^{12} \).
$\bullet \ $ Halla todas la matrices que conmutan con $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$.
$\bullet \ $ Sea $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Determina los valores de $p$ y $q$, para los que se cumple la ecuación $A^2 + p \cdot A^t + q \cdot I_2 = -2 \cdot A^{-1}$.
$\bullet \ $ Sea $P = \begin{pmatrix} a & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$. Calcula el valor de $a$ sabiendo que $P \cdot P^t$ es una matriz diagonal.
La matriz traspuesta es $P^t = \begin{pmatrix} a & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$ entonces: \[ P \cdot P^t = \begin{pmatrix} a & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + 9 & 2a - 12 \\ 2a - 12 & 2^2 + 4^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + 9 & 2a - 12 \\ 2a - 12 & 20 \end{pmatrix} \] Como $P$ es una matriz diagonal, eso quiere decir que todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son cero. Entonces $2a - 12 = 0 \Rightarrow a = 6$ y la matriz $P$ queda así: \[ P = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \text{ y } P^t = \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \]
$$\Large \fbox{ Matrices curiosidades: } $$
Podemos poner el producto vectorial de dos vectores $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ y $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ en $\R^3$ como el producto de una matriz por un vector columna (análogamente por un vector fila):
$$ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 & -a_z & a_y \\ a_z & 0 & -a_x \\ -a_y & a_x & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix} $$
$\bullet\ $ un producto de matrices curioso: \[ \bbox[black, 20px]{ \color{white} \begin{pmatrix} \color{cyan} \begin{matrix} 6 & 5 & 3 & 7 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 5 & 3 & 2 & 5 \\ 7 & 5 & 3 & 6 \end{matrix} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \color{yellow} \begin{matrix} 7 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 7 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 7 \end{matrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{cyan}6\color{yellow}7 & \color{cyan}5\color{yellow}2 & \color{cyan}3\color{yellow}1 & \color{cyan}7\color{yellow}2 \\ \color{cyan}3\color{yellow}1 & \color{cyan}2\color{yellow}1 & \color{cyan}1\color{yellow}3 & \color{cyan}3\color{yellow}1 \\ \color{cyan}5\color{yellow}2 & \color{cyan}3\color{yellow}7 & \color{cyan}2\color{yellow}1 & \color{cyan}5\color{yellow}2 \\ \color{cyan}7\color{yellow}2 & \color{cyan}5\color{yellow}2 & \color{cyan}3\color{yellow}1 & \color{cyan}6\color{yellow}7 \end{pmatrix} } \]
En una pastelería se elaboran dos tipos de tartas: de limón y de chocolate. De cada tipo hacen tres tamaños. Cada semana elaboran las tartas que aparecen en la tabla:
| Limón | Chocolate | |
|---|---|---|
| Grande | 10 | 5 |
| Mediana | 16 | 20 |
| Pequeña | 12 | 10 |
- Escribe la matriz que expresa el número de tartas según el tamaño y el sabor.
- Escribe las matrices que expresan el número de tartas y el porcentaje según el sabor y el tipo de venta.
- Calcula la matriz que expresa el número de tartas según el tamaño y el tipo de venta.
Contesta justificadamente los siguientes apartados:
En una tienda de comida para llevar, el producto más vendido se elabora con tres variantes: A, B y C. Cada variante se vende en dos tamaños: pequeño y grande. Cada día se elaboran las cantidades de cada variante que aparecen en la siguiente tabla:
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| Pequeño | 100 | 50 | 100 |
| Grande | 160 | 150 | 100 |
- Escribe la matriz que expresa el número de productos según el tamaño y la variante.
- Escribe la matriz que expresa el número de productos y el porcentaje según la variante y el tipo de venta.
- Calcula la matriz que expresa el número de productos según tamaño y tipo de venta.
- $2A + B$
- $B - C$
- $2A + 3C$
$\bullet\ $ Dadas las matrices \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 5 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \] Calcular: $(A + B) \cdot C$
$\bullet\ $ Siendo \[ M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad N = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \] Hallar: $M \cdot N - N \cdot M$
$\bullet\ $ Encontrar una base del espacio vectorial $(M_2, +, \mathbb{R})$, es decir del espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2.
$\bullet\ $ Dadas las matrices \[ A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & 4 \\ 3 & -2 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & -3 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 3 \\ 2 & -3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \] Hallar el producto $A \cdot B$
$\bullet\ $ Dada la matriz \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \] Hallar las matrices $M$, triangular inferior, y $N$, triangular superior, con $n_{ii} = 1, \; \forall \, i \in \{1,2,3\}$, tales que $A = M \cdot N$.
$\bullet\ $ Una cuadrilla de obreros trabaja simultáneamente en la realización de tres obras. Para la primera de ellas necesitan diariamente 100kg de cemento, 235 ladrillos y 44 baldosas; para la segunda necesitan cada día 80kg de cemento, 190 ladrillos y 38 baldosas, y para la tercera obra, las necesidades diarias son de 250kg de cemento, 300 ladrillos y 62 baldosas. Suponiendo que la duración estimada para cada obra sea de 8, 6 y 12 días, respectivamente, se pide expresar matricialmente y calcular las cantidades totales necesarias de cada uno de los materiales empleados en las obras.
$\bullet\ $ Se consideran las matrices \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ -2 & 0 & -4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} x \\ 1 \\ y \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ z \end{pmatrix} \] Calcular $x, y, z$ sabiendo que $A \cdot B = C$
$\bullet\ $ Resolver la ecuación matricial $A \cdot X = B$ siendo \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -5 \end{pmatrix} \]
$\bullet\ $ Resolver la ecuación $X \cdot A = B + C$ siendo: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]
$\bullet\ $ Dada la matriz cuadrada de orden 2, \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \] ver si es regular o singular, intentando calcular su inversa a partir de la definición.
Vamos a calcular el $|A| = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -1 $ La matriz es inversible porque el determinante es distinto de cero.
\[ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{cccc} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 3 & -12 & 6 & -3 \\ 2 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - 3 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 2 E_{1}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 \end{array} \right) \xrightarrow{E_{4} \leftrightarrow E_{2}} & \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 \\ 0 & 7 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \end{array} \] \[ \begin{array}{c} {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 7 \cdot E_{2}} \left( \begin{array}{cccc} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & -25 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \end{array}} \\ \end{array} \] El rango de la matriz es 3.
Primero calculamos $A^2$: \[ A \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 5 \\ 2 & 11 \end{pmatrix} \] Ahora vamos a resolver la igualdad que nos piden: \[ A^2 + aA + bI_2 = 0 \implies \begin{pmatrix} 14 & 5 \\ 2 & 11 \end{pmatrix} + a \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} + b \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 0 \implies \] \[ \begin{cases} 14 + 2a + b = 0 \\ 5 + 5a = 0 \\ 2 + 2a = 0 \\ 11 - a + b = 0 \end{cases} \text{ De la segunda y tercera ecuación} \implies a = - 1\] Sustituimos $a$ en la primera ecuación: \[ 14 + 2a + b = 0 \implies 14 - 2 + b = 0 \implies b = -12 \]
Calculamos las primeras potencias de la matriz $A$ para observar su comportamiento: \[ A^1 = A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] \[ A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \] Como además se cumple que $A \cdot A^2 = A^3 = I_2$, se deduce inmediatamente por la definición de matriz inversa que: \[ A^2 = A^{-1} \] Calculamos la siguiente potencia: \[ A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2 \] A partir de aquí, las potencias vuelven a repetirse en ciclos de 3 en 3 (por ejemplo, $A^4 = A^3 \cdot A = I_2 \cdot A = A$). Por lo tanto, para cualquier exponente $k \ge 3$, realizamos la división entera $k \div 3$, donde $n$ es el cociente, y el resultado dependerá del resto de la división:
- Si $k = 3n$ (el resto es 0): \[ A^k = A^{3n} = (A^3)^n = (I_2)^n = I_2 \]
- Si $k = 3n + 1$ (el resto es 1): \[ A^k = A^{3n+1} = A^{3n} \cdot A = I_2 \cdot A = A \]
- Si $k = 3n + 2$ (el resto es 2): \[ A^k = A^{3n+2} = A^{3n} \cdot A^2 = I_2 \cdot A^2 = A^2 = A^{-1} \]
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com
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