Una de cónicas (Circunferencia, elipse, parábola e hipérbola)

Cónicas

Las cónicas se pueden ver como la intersección de un plano que interseca con un cono doble, según el plano de inclinación la intersección produce circunferencias, elipse, parábolas e hiérbolas. Este es el enlace en GeoGebra.

Una cónica viene determinada por cinco puntos, siempre que tres de ellos no estén alineados.

Excentricidad

La excentricidad no es solo un número; mide la forma «estirada» o «achatada» de la curva.
La distancia entre los focos se llama distancia focal. El punto medio del segmento que une los focos es el centro de la cónica y la recta que pasa por los focos se llama eje focal. Si $c$ es la semidistancia focal y $a$ es el semiejemayor, entonces:

$$ \text{ Se define excentricidad } \epsilon = \dfrac{\ c \ }{ a } $$ La excentricidad mide cuánto se «desvía» una sección cónica de ser un círculo perfecto. En una elipse, la excentricidad está entre 0 y 1 ($0 < e < 1$). Cuanto más cerca está de 0, más redondeada es; cuanto más cerca de 1, más «achatada». La circunferencia es el caso límite de la elipse donde los dos focos coinciden en un mismo punto (el centro). Al no haber distancia entre los focos, no hay «forma atachada» y la excentricidad es nula.

Forma Estándar de las Secciones Cónicas con Centro en el punto $(h, k)$

$$ \large { \begin{array}{lll} & \ \ \text { Eje Horizontal } \ \ & \qquad \ \ \text { Eje Vertical } \ \ \cr \cr \hline \cr \text { Circunferencia } & (x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2} & \cr \cr \text { Parábola } &(y - k)^{2} = 4p(x - h) & \qquad (x - h)^{2} = 4p(y - k) \cr \cr \text { Elipse } & \dfrac{(x - h)^{2}}{a^{2}} + \dfrac{(y - k)^{2}}{b^{2}}=1 &   \qquad \dfrac{(x - h)^{2}}{b^{2}} + \dfrac{(y - k)^{2}}{a^{2}}=1 \cr \cr \text { Hipérbola } & \dfrac{(x - h)^{2}}{a^{2}} - \dfrac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1 & \qquad \dfrac{(y - k)^{2}}{a^{2}} - \dfrac{(x - h)^{2}}{b^{2}} = 1 \cr \cr \hline \end{array} } $$

$$ \text{ La ecuación general de un cónica es: } \Large Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 $$ A partir de esta ecuación podemos saber el tipo de cónica.

¿Qué representa cada término?

• $Ax^2 + Bxy + Cy^2$ son los términos cuadráticos. El término $xy$ indica si la cónica está rotada respecto a los ejes.
• $Dx + Ey$ son los términos lineales que indican si la cónica está desplazada del origen.
• $F$ es el término independiente.

Cómo saber qué figura es.

Para identificar la cónica cuando no hay rotación ($B = 0$), nos fijamos en los coeficientes $A$ y $C$:

• Si $A = C \implies $ Circunferencia.
• Si $A = 0 \lor C = 0 \implies $ Parábola (solo una variable está al cuadrado).
• Si $A \neq C$, pero con el mismo signo $\implies $ Elipse.
• Si $A \neq C$, pero con signo opuesto $\implies $ Hipérbola.

Si la cónica está rotada $B \neq 0$, identificamos la figura usamos la fórmula $\Delta = B^2 - 4 \cdot A \cdot C$. Según el resultado, sabemos la cónica sin dibujarla:

• Si es $\Delta < 0$ es elipse o circunferencia.
• Si es $\Delta = 0$ es parábola.
• Si es $\Delta > 0$ es hipérbola.

Nota: Una circunferencia nunca está rotada, por eso siempre $B = 0$.

Si $A = B = C = 0$ tenemos una recta, es el caso de cónica degenerada. Las cónicas degeneradas pueden ser: un punto, una recta o un par de rectas secantes.

La circuferencia: 

Es el lugar geométrico de los puntos de plano que equidistan de otro punto llamado centro. 

Ecuación de la circunferencia: 

Punto de plano $P = (x, y)$, centro $C =(h, k)$ y la distancia constante $r$: 

$$ d(P, C) = r \Leftrightarrow \sqrt{(x - h)^2 + (y - k)^2} = r \iff (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $$ 

La excentricidad en la circunferencia es cero. Los focos coinciden con el centro de la circunferencia. El semieje mayor (es el mismo que el semieje menor) y coinciden con el radio.

$$ \epsilon = \dfrac{\ c \ }{ a } = \dfrac{\ 0 \ }{ r } = 0 $$

Ejemplos:

Ecuación de la circunferencia centrada en el origen de radio 5:

$$ x^2 + y^2 = 5^2 $$

Ecuación de la circunferencia centrada en el punto $C =(2, -4)$ y de radio 1:

$$ (x-2)^2 + (y + 4)^2 = 1^2 $$

Si desarrollamos la ecuación de un circunferencia de centro $(h, k)$ tenemos que:

$$ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \Rightarrow x^2 - 2xh + h^2 + y^2 - 2yk + k^2 - r^2 = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 - 2hx - 2ky +h^2 + k^2 - r^2 = 0$$ Hacemos $m = -2h$, $ n = -2k$ y $ o = h^2 + k^2 - r^2$ tenemos: $$ x^2 + y^2 + mx + ny + o = 0, \text{ que es la ecuación general de una cónica con } A = C = 1, B = 0, D = m, E = n \text{ y } F = o $$

La elipse: 

Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

La distancia entre los focos se llama distancia focal. El punto medio del segmento que une los focos es el centro de la elipse y la recta que pasa por los focos se llama eje focal.

Si $c$ es la semidistancia focal y $a$ es el semiejemayor, entonces:

$$ \text{ Se define excentricidad } \epsilon = \dfrac{\ c \ }{ a } $$ Observación: En una elipse la excentricidad está entre 0 y 1, $ \epsilon \ \in \ (0, 1)$

Nota: La circunferencia es una elipse de excentricidad cero. Como $ a = b \Rightarrow c = 0 \Rightarrow \epsilon = 0 $

$$ d(P, F) + d(P, F') = 2a$$ La distancia es dos veces el semieje mayor de longitud $a$ (en este caso situado en el eje $OX$ o eje de abscisas). El semieje menor de longitud $b$ situado en el eje $OY$ o eje de ordenadas.

En una elipse tenemos que $a^2 = b^2 + c^2$ y así la ecuación de una elipse nos queda:

Si suponemos que la elipse está centrada en el origen de coordenadas, el semieje mayor está en el eje $X$, las coordenadas de los focos son $F = (c, 0)$ y $F' = (-c, 0)$ respectivamente y las coordenadas del punto es $P(x, y)$ tenemos:

$$ d(P, F) + d(P, F') = 2a \Rightarrow \sqrt{(x - c)^2 + y^2 }+ \sqrt{ (x + c)^2 + y^2 } = 2a $$ Desarrollamos tenemos que: $$ \sqrt{(x - c)^2 + y^2 } = 2a - \sqrt{ (x + c)^2 + y^2 } \Rightarrow $$ $$ (x - c)^2 + y^2 = 4a^2 + (x + c)^2 + y^2 - 4a\sqrt{ (x + c)^2 + y^2 } \Rightarrow $$ $$ x^2 - 2xc + c^2 + y^2 = 4a^2 + x^2 + 2xc + c^2 + y^2 - 4a\sqrt{ (x + c)^2 + y^2 } \Rightarrow $$ $$ 4a\sqrt{ (x + c)^2 + y^2 } = 4a^2 + 4xc \Rightarrow $$ $$ \xcancel{4}a\sqrt{ (x + c)^2 + y^2 } = \xcancel{4}a^2 + \xcancel{4}xc \Rightarrow $$ $$ a\sqrt{ (x + c)^2 + y^2 } = a^2 + xc \Rightarrow $$ $$ a^2[ (x + c)^2 + y^2 ] = a^4 + 2a^2xc + x^2 c^2 \Rightarrow $$ $$ a^2(x^2 + 2xc + c^2 + y^2) = a^4 + 2a^2 xc + x^2 \Rightarrow $$ $$ a^2x^2 + 2a^2xc + a^2c^2 + a^2y^2 = a^4 + 2a^2 xc + x^2c^2 \Rightarrow $$ Simplificando tenemos que: $$ a^2x^2 + \xcancel{2a^2xc} + a^2c^2 + a^2y^2 = a^4 + \xcancel{2a^2xc} + x^2c^2 \Rightarrow x^2(a^2 - c^2) + a^2y^2 = a^2(a^2 - c^2) $$ $$b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2 \Rightarrow \dfrac{\ \ x^2 \ \ }{a^2} + \dfrac{\ \ y^2 \ \ }{b^2} = 1 $$ Si la elipse no está situada en el origen de coordenadas, está en el punto $(h, k)$ entonces la ecuación de la elipse sería:

Sabiendo que los focos están en los puntos $F_1 = (h - c, k)$ y $F_2 = (h + c, k)$
$$ \dfrac{\ \ (x - h)^2 \ \ }{a^2} + \dfrac{\ \ (y - k)^2 \ \ }{b^2} = 1 \qquad (*) $$
Y si el eje mayor está en la vertical, es decir, en el eje de ordenadas, la ecuación sería: $$ \dfrac{\ \ (x - h)^2 \ \ }{b^2} + \dfrac{\ \ (y - k)^2 \ \ }{a^2} = 1 $$
Desarrollando la ecuación (*) tenemos que: $$ a^2(x^2 - 2xh + h^2) + b^2(y^2 - 2yk + k^2) = a^2b^2 \Rightarrow $$ $$a^2x^2 + b^2y^2 + x(-2a^2h) + y(-2b^2k) + a^2h^2 - a^2b^2 + b^2k^2 = 0 $$ Hacemos $p = a^2, q = b^2, B = 0, r = -2a^2h, s = -2b^2k$ y $ t = a^2h^2 - a^2b^2 + b^2k^2$ tenemos: $$px^2 + qy^2 + rx + sy + t = 0$$

La hipérbola:

Es el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva. Siendo esta constante menor a la distancia entre los focos, distancia focal.

\[ |d(P,F_1) - d(P,F_2)| = 2a \] $$\msqrt{(x+c)^2 + y^2} - \msqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a $$ Paso 1: Aislar una raíz y elevar al cuadrado $$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a + \sqrt{(x-c)^2 + y^2}$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado: $$(x+c)^2 + y^2 = (2a)^2 + 2(2a)\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + \left(\sqrt{(x-c)^2 + y^2}\right)^2$$ $$(x+c)^2 + y^2 = 4a^2 + 4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + (x-c)^2 + y^2$$ Paso 2: Simplificar términos. Expandimos los binomios $(x+c)^2$ y $(x-c)^2$, y cancelamos $y^2$: $$x^2 + 2xc + c^2 = 4a^2 + 4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2} + x^2 - 2xc + c^2$$ Cancelamos $x^2$ y $c^2$ de ambos lados y agrupamos los términos con $xc$: $$4xc - 4a^2 = 4a\sqrt{(x-c)^2 + y^2}$$ Dividimos todo entre 4 para simplificar: $$xc - a^2 = a\sqrt{(x-c)^2 + y^2}$$ Paso 3: Elevar al cuadrado por segunda vezElevamos nuevamente para eliminar la raíz restante: $$(xc - a^2)^2 = a^2 \left[ (x-c)^2 + y^2 \right]$$ $$x^2c^2 - 2xca^2 + a^4 = a^2 (x^2 - 2xc + c^2 + y^2)$$ $$x^2c^2 - 2xca^2 + a^4 = a^2x^2 - 2xca^2 + a^2c^2 + a^2y^2$$ Cancelamos el término $-2xca^2$ en ambos lados: $$x^2c^2 + a^4 = a^2x^2 + a^2c^2 + a^2y^2$$ Paso 4: Agrupar variables y usar la sustitución $c^2 = a^2 + b^2$ Pasamos los términos con $x$ e $y$ a un lado y las constantes al otro: $$x^2c^2 - a^2x^2 - a^2y^2 = a^2c^2 - a^4$$$$x^2(c^2 - a^2) - a^2y^2 = a^2(c^2 - a^2)$$ Aquí aplicamos el hecho que mencionas: si $c^2 = a^2 + b^2$, entonces $b^2 = c^2 - a^2$. Sustituimos: $$x^2(b^2) - a^2y^2 = a^2b^2$$ Paso 5: Resultado final Dividimos toda la ecuación por $a^2b^2$: $$\mfrac{x^2b^2}{a^2b^2} - \mfrac{a^2y^2}{a^2b^2} = \mfrac{a^2b^2}{a^2b^2}$$ Es la ecuación estándar de la hipérbola. $$\mfrac{x^2}{a^2} - \mfrac{y^2}{b^2} = 1$$
La excentricidad de una hipérbola. La distancia entre los vértices ($2a$) debe ser menor que la distancia focal ($2c$). En lenguaje matemático, esto se expresa como:$$a < c \implies \epsilon = \mfrac{c}{a} > 1 $$ La ecuación normal (o canónica) de la hipérbola centrada en el punto $(h, k)$;

• Horizontal (que abre hacia la izquierda y hacia la derecha) es: \[ \dfrac{(x - h)^{2}}{a^{2}} - \dfrac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1 \]
  Centro $ = (h, k)$
  Vértices: $(\pm a, 0)$
  Focos: $(\pm c, 0)$
  $c^2 = a^2 + b^2$, donde $c$ es la distancia del origen al foco.
  Asíntotas $y = \pm \mfrac{b}{a}x$
  
• Vertical (abre hacia arriba y hacia abajo) es: \[ \dfrac{(y - k)^{2}}{a^{2}} - \dfrac{(x - h)^{2}}{b^{2}} = 1 \] Centro $ = (h, k)$
  Vértices: $(0, \pm a)$
  Focos: $(0, \pm 0)$
  $c^2 = a^2 + b^2$, donde $c$ es la distancia del origen al foco.
  Asíntotas $y = \pm \mfrac{a}{b}x$
  

La parábola:

En esta entrada del blog ya se ha trabajado la parábola como la representación gráfica de una función polinómica de grado 2º en 3º y 4º de la ESO.

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un recta fija llamada directriz ($d$) y de un punto interior $F$ a la parábola llamado foco. El foco $F$ no pertenece a la directriz. La directriz no interseca a la parábola.

\[ d(P, F) = d(P, d) \] La parábola centrada en el origen, los datos del foco y de la directriz son: \(F = (0, p) y d \equiv y = - p \) \[ \msqrt{x^2 + (y - p)^2} = | y + p | \] Elevamos al cuadrado: \[ x^2 + (y - p)^2 = ( y + p )^2 \] \[ x^2 + y^2 - 2yp + p^2 = y^2 + 2yp + p^2 \] Se cancelan los $y^2$ y los $p^2$: \[ x^2 - 2yp = 2yp \implies 4yp = x^2 \] A $4p$ se le denomina lado recto de la parábola. Si $p$ es muy grande, la parábola se estrecha y si p es muy pequeño la parábola es más amplia.

Distancia focal ($p$): Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco, así como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales). Entonces: \[ \epsilon = \mfrac{c}{a} = \mfrac{p}{p} = 1 \]

Si la parábola está centrada en el origen, el eje focal es paralelo al eje Y o eje de ordenadas y la directriz es paralela al eje X o eje de abscisas, entonces la ecuación es de la forma:
La ecuación ordinario, normal o canónica de una parábola:

• Vertical (que abre hacia arriba o hacia abajo) es: \[ 4p(y - k) = (x - h)^{2} \]
  $p$ es la distancia focal. Si $p > 0$ se abre hacia arriba, si $p < 0$ se abre hacia abajo.
  Vértice $(h, k)$
  Foco: $(h, k + p)$
  La directriz es $y = k - p$
  
• Horizontal (abre hacia la izquierda o hacia la derecha) es: \[ (y - k)^{2} = 4p(x - h) \] $p$ es la distancia focal. Si $p > 0$ se abre hacia la derecha, si $p < 0$ se abre hacia la izquierda.
  Vértice $(h, k)$
  Foco: $(h + p, k)$
  La directriz es $x = h - p$
  

Ejemplos: $$ x^2 = 4py $$ Si $p = \dfrac{1}{4} $ tenemos la parábola $y = x^2$

Ejercicios resueltos

Este ejercicio lo hacemos completando cuadrados a $x$ e $y$: \[ x^2 + y^2 - 4x - 6y = 12 \implies x^2 -4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 12 + 4 + 9 \implies (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5^2 \] Es decir, la circunferencia centrada en el punto $(2, 3)$ y de radio 5.

La ecuación de la parábola viene dada por el vértice $(0, 0)$ y $x^2 = 4py$:

El lado recto es $4p$ y vale 8, luego la acuación de la parábola es: $8y = x^2 \implies y = \mfrac{x^2}{8}$

Vértice: $(0, 4)$ y los puntos en el suelo: $(2.5, 0)$ y $(-2.5, 0)$

La ecuación de la parábola viene dada por el vértice $(h, k)$ y $(x - h)^2 = 4p(y - k)$:

$$x^2 = 4p(y - 4)$$ Con el punto $(2.5, 0)$ vamos a calular el lado recto:

\[ (2,5)^2 = 4p(0 - 4) \implies 6,25 = -16p \implies 4p = \mfrac{6,25}{-4} = -1,5625 \] Ya tenemos la ecuación de la parábola: $$x^2 = -1,5625(y - 4)$$ Para calcular la altura, centramos el coche de 3 metros, dejando 1,5 metros a cada lado del centro del tunel y despejamos $y$: $$(1,5)^2 = -1,5625(y - 4) \implies 2,25 = -1,5625y + 6,25 \implies -4 = - 1,5625p \implies p = \mfrac{4}{1,5625} = 2,56 \text{m} $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com