\[ \milmt{x}{\infty}{\left(\msqrt{x+\msqrt{x+\msqrt{x} } } - \msqrt{x}\right)} = \imini = \] Es una indeterminación ya que los dos términos son del mismo orden. Multiplicamos y dividimos por el conjugado $\left(\msqrt{x+\msqrt{x+\msqrt{x} } } + \msqrt{x}\right)$
\[ = \milmt{x}{\infty}{ \mfrac{\left(\msqrt{x+\msqrt{x+\msqrt{x} } } - \msqrt{x}\right)\left(\msqrt{x+\msqrt{x+\msqrt{x} } } + \msqrt{x}\right) }{ \left(\msqrt{x+\msqrt{x+\msqrt{x} } } + \msqrt{x}\right) } } = \] \[ = \milmt{x}{\infty}{ \mfrac{ x + \msqrt{x + \msqrt{x} } - x }{ \left(\msqrt{x+\msqrt{x+\msqrt{x} } } + \msqrt{x}\right) } } = \milmt{x}{\infty}{ \mfrac{ \msqrt{x + \msqrt{x} } }{ \left(\msqrt{x+\msqrt{x+\msqrt{x} } } + \msqrt{x}\right) } } = \idivi = \] Comparando los grados del numerador y del denominador quedándonos con las potencias de $x$ más altas o también dividimos el numerador y el denominador por $\sqrt{x}$: \[ = \milmt{x}{\infty}{ \mfrac{ x^{1/2} }{ x^{1/2} + x^{1/2} } } = \mfrac{1}{2} \]
\[ \milmt{x}{\infty}{\msqrt{x^3+1}\left(\msqrt{2x^5-2x}-\msqrt{2x^5+3x}\right)} = \infty \cdot (\imini) = \] Es una indeterminación ya que los dos términos son del mismo orden. Multiplicamos y dividimos por el conjugado $\msqrt{2x^5-2x}+\msqrt{2x^5+3x}$
\[ \milmt{x}{\infty}{\msqrt{x^3+1} \mfrac{\left(\msqrt{2x^5-2x}-\msqrt{2x^5+3x}\right)\left(\msqrt{2x^5-2x}+\msqrt{2x^5+3x}\right)}{ \msqrt{2x^5-2x} + \msqrt{2x^5+3x} } } = \] \[ \milmt{x}{\infty}{\msqrt{x^3+1} \mfrac{ 2x^5 - 2x - 2x^5 - 3x}{\left(\msqrt{2x^5-2x} + \msqrt{2x^5+3x}\right)} } = \milmt{x}{\infty}{\mfrac{ -5x \cdot \msqrt{x^3+1} }{ \msqrt{2x^5-2x} + \msqrt{2x^5+3x}} } = \idivi = \] Ahora comparamos los grados de los polinomios numerador y denominador. Numerador $-5x \cdot \msqrt{x^3+1} \equiv -5x^{5/2}$ y denominador $\msqrt{2x^5-2x} + \msqrt{2x^5+3x} \equiv \msqrt{2}x^{5/2} + \msqrt{2}x^{5/2} = 2 \cdot \msqrt{2}x^{5/2}$ \[ = milmt{x}{\infty}{\mfrac{ -5x^{5/2} }{ 2 \cdot \msqrt{2}x^{5/2} } } = \mfrac{-5}{2 \cdot \msqrt{2}} = \mfrac{-5 \msqrt{2}}{ 4} \]
\[ \milmt{x}{\infty}{\mfrac{\msqrt{x^2 + 1} - x}{ \msqrt{x^2 + 1} - x\msqrt{x} } } = \mfrac{\imini}{-\infty} = \] Hay una indeterminación en el numerador, ya que los dos términos del mismo orden. Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado $\msqrt{x^2 + 1} + x$
\[ = \milmt{x}{\infty}{\mfrac{\left (\msqrt{x^2 + 1} - x\right) \cdot \left ( \msqrt{x^2 + 1} + x \right ) }{ \left ( \msqrt{x^2 + 1} + x \right ) \cdot \left ( \msqrt{x^2 + 1} - x\msqrt{x} \right) } } = \milmt{x}{\infty}{\mfrac{ x^2 + 1 - x^2 }{ \left ( \msqrt{x^2 + 1} + x \right ) \cdot \left ( \msqrt{x^2 + 1} - x\msqrt{x} \right) } } = \] \[ = \milmt{x}{\infty}{\mfrac{ 1 }{ \left ( \msqrt{x^2 + 1} + x \right ) \cdot \left ( \msqrt{x^2 + 1} - x\msqrt{x} \right) } } = \mfrac{1}{ - \infty } = 0 \]
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com
No hay comentarios:
Publicar un comentario