Las dos expresiones equivalentes para calcular la derivada de una función f(x) en un punto x=a mediante el límite del cociente incremental son:
En función del incremento $h$ (o $\Delta x$):
\[ f'(a) = \milmt{h}{0}{\mfrac{f(a+h)−f(a)}{h}} \]
En función de la variable x aproximándose al punto $a$:
\[ f'(a) = \milmt{x}{a} {\mfrac{f(x)−f(a)}{x - a}} \]
Ambas expresiones son formalmente equivalentes haciendo el cambio de variable x=a+h (de modo que cuando $x \Rightarrow a$, el incremento $h \Rightarrow 0$).
Interpretación:
Representan la pendiente de la recta secante cuando los dos puntos considerados sobre la curva se aproximan infinitamente hasta convertirse en la recta tangente en $x = a$.
Función derivada general: Para obtener la función derivada $f'(x)$ en cualquier punto variable, se suele emplear la primera expresión sustituyendo $a$ por $x$:
\[ f'(x) = \milmt{h}{0}{\mfrac{f(x+h)−f(x)}{h}} \]
$f(x) = 2x^3 + x$
Recta tangente: $y - f(0) = f'(0) \cdot (x - 0)$
$f'(x) = 6x^2 + 1 \Rightarrow f'(0) = 1$
$y - 0 = 1 (x - 0) \Rightarrow \boxed{y = x}$
El producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es -1:
\[ m_r \cdot m_s = - 1 \]
Ejemplos: Las rectas $y = x$ (bisectriz $\odn{1}{er}-\odn{3}{er}$ cuadrante) e $y = - x$ (bisectriz $\odn{2}{o}-\odn{4}{o}$ cuadrante) son perpendiculares, el producto de sus pendientes es -1.
Recta secante que pasa por los puntos $(1, 0)\,(4, 3) \Rightarrow \mfrac{x - 1}{ 4 - 1} = \mfrac{y - 0}{3 - 0} \implies y = x - 1$.
La pendiente de esta recta vale 1, luego la pendiente de la tangente vale 1 al ser rectas paralelas $\Rightarrow f'(x_0) = 1$.
\[
f'(x) = 2x - 4 \Rightarrow f'(x_0) = 2x_0 - 4 \Rightarrow 2x_0 - 4 = 1 \Rightarrow x_0 = \mfrac{5}{2}
\]
El punto pedido es $ \left( x_0, f(x_0) \right ) = \left( \mfrac{5}{2}, \mfrac{-3}{4}\right)$
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com
LOS NUMERALES MULTIPLICATIVOS (1-13 y 100): «Los numerales multiplicativos expresan multiplicación».
(x2): doble, duplo/pla,
(x3): triple, triplo/pla,
(x4): cuádruple, cuádruplo/pla,
(x5): quíntuple, quíntuplo/pla,
(x6): séxtuple, séxtuplo/pla,
(x7): séptuple, séptuplo/pla,
(x8): óctuple, óctuplo/pla,
(x9): nónuplo/pla,
(x10): décuplo/pla,
(x11): undécuplo/pla,
(x12): duodécuplo/pla,
(x13): terciodécuplo/pla,
(x14): cuartodécuplo/pla,
(x15): quintodécuplo/pla,
(x16): sextodécuplo/pla,
(x100): céntuplo/pla.
(*) Del 14 al 99 los multiplicativos en español son inusitados, por lo que, en su lugar, se suelen emplear las expresiones « $X$ veces mayor» o "$X$ veces más".
¿Qué es una ecuación? Es una igualdad en las que aparecen números y letras (llamadas incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
En las ecuaciones distinguimos varios elementos:
Incógnita: La letra o variable que aparece en la ecuación, normalmente es la letra $x$ pero puede ser cualquiera.
Miembro: Es cada una de las dos expresiones algebraicas separadas por el signo «=».
Término: Cada uno de los sumandos que componen los miembros de la ecuación.
Grado: Es el mayor de los exponentes de las incógnitas, en esta entrada es 1, ecuaciones de $\odn{1}{er}$ grado.
Vamos a resolver diferentes tipos de ecuaciones de $\odn{1}{er}$ grado, con paréntesis y con denominadores. Para ellos vamos a repasar algunas cosas:
Ecuación equivalente: «Aquellas ecuaciones que tienen las mismas soluciones.»
Regla de la suma: «Si a los dos miembros de una ecuación, les sumamos o restamos el mismo número o la misma expresión algebraica, obtenemos una ecuación equivalente.»
Regla del producto: «Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de la ecuación por el mismo número distinto de cero, obtenemos una ecuación equivalente.»
Para resolver ecuaciones de $\odn{1}{er}$ grado sin paréntesis y sin denominadores lo que haremos será seguir los siguientes pasos:
Agruparemos términos en cada uno de los miembros de la ecuación
Transpondremos términos, los que tienen $x$ a un lado y los números a otro (usaremos la Regla de la suma)
Agrupamos de nuevo términos
Despejamos la $x$ (usaremos la Regla del producto)
Comprobamos la solución
Ecuaciones de $\odn{1}{er}$ grado, sin paréntesis y sin denominadores.
En este ejercicio no podemos agrupar en cada miembro de la ecuación, luego directamente trasponemos los términos, es decir, pasamos las $x$ a un lado y los números al otro:
$$ 5x - 7 = 2 - 4x $$
$$ 5x + 4x = 2 + 7 $$
$$ 9x = 9 $$
$$ x = \dfrac{\ 9\ }{9} = 1 $$
Una vez solucionada la ecuación,siempre debemos comprobar la misma, siempre en la ecuación original:
En esta ecuación podemos agrupar términos en cada miembro de la ecuación, antes de transponer dichos términos:
$$ 3x + x + 4 = 2x + 10 $$
$$ 4x + 4 = 2x + 10 $$
$$ 4x - 2x = 10 - 4 $$
$$ 2x = 6$$
$$ x = \dfrac{\ 6\ }{2} = 3 $$
Ahora comprobamos la ecuación, sustituimos $x$ por 3 y vemos que la ecuación se cumple:
Agrupamos términos en cada uno de los miembros de la ecuación:
$$ 6x - 9 + 3x - 2 - 5x = x - 6 - 3x + 1 $$
Trasponemos los términos, las $x$ a la izquierda de la ecuación ya que el coeficiente quedará positivo:
$$ 4x - 11 = - 2x - 5 $$
Agrupamos de nuevo:
$$ 4x + 2x = 11 - 5 $$
$$ 6x = 6 $$
Despejamos:
$$ x = \dfrac{\ 6\ }{6} = 1 $$
Ahora comprobamos la ecuación, sustituimos $x$ por 1 y vemos que la ecuación se cumple:
En esta ecuación podemos agrupar términos en cada miembro de la ecuación, antes de transponer dichos términos:
$$ 3x - x + 7x + 12 = 3x + 9 - x + 4x + 18 $$
$$ 9x + 12 = 6x + 27 $$
Transponemos términos:
$$ 9x - 6x = 27 - 12 $$
Agrupamos de nuevo:
$$ 3x = 15 $$
Despejamos:
$$ x = \dfrac{\ 15\ }{3} = 5 $$
Ahora comprobamos la ecuación, sustituimos $x$ por 5 y vemos que la ecuación se cumple:
Ecuaciones de $\odn{1}{er}$ grado con paréntesis y sin denominadores.
Para ello recordaremos como se trabaja los paréntesis, aplicando la propiedad distributiva:
$$ a \times (b + c) = a \times b + a \times c \qquad \text{ y } \qquad a \times (b - c) = a \times b - a \times c $$
y la regla de los signos:
$$ \oplus = \oplus \times \oplus \qquad \oplus = \ominus \times \ominus $$
$$ \ominus = \oplus \times \ominus \qquad \ominus = \ominus \times \oplus $$
Veamos unos ejemplos:
Quitamos los paréntesis aplicando la propiedad distributiv y teniendo cuidado con los signos:
$$ 3 \cdot (12 - x) - 4x = 2 \cdot (11 - x) + 9x $$
$$ 3 \cdot 12 - 3 \cdot x - 4x = 2 \cdot 11 - 2 \cdot x + 9x $$
$$ 36 - 3x - 4x = 22 - 2x + 9x $$
Ya tenemos una ecuación sin paréntesis que ya sabemos resolver, vamos a agrupar en cada uno de los miembros:
$$ 36 - 7x = 22 + 7x $$
Ahora transponemos términos, en este caso pasamos las $x$ a la derecha para qué quede positiva:
$$ 36 - 22 = 7x + 7x $$
Volvemos a agrupar y despejamos:
$$ 14 = 14x $$
$$ x = \dfrac{\ 14\ }{14} = 1 $$
Ahora comprobamos la ecuación, sustituimos $x$ por 1 y vemos que la ecuación se cumple:
Vamos a quitar los paréntesis y teniendo cuidado con los signos negativos:
$$ 3 \cdot (x + 7) = - (5 - x) + 6 $$
$$ 3 \cdot x + 3 \cdot 7 = - 5 + x + 6 $$
$$ 3x + 21 = - 5 + x + 6 $$
Tenemos una ecuación de $\odn{1}{er}$ grado sin paréntesis que ya sabemos resolver, agrupamos términos en cada miembro de la ecuación:
$$ 3x + 21 = x + 1 $$
Transponemos términos y despejamos:
$$ 3x - x = 1 - 21 $$
$$ 2x = - 20 $$
$$ x = \dfrac{\ - 20\ }{2} = -10 $$
Ahora comprobamos la ecuación, sustituimos $x$ por -10 y vemos que la ecuación se cumple:
Ecuaciones de $\odn{1}{er}$ grado con paréntesis y con denominadores.
Para resolver ecuaciones de $\odn{1}{er}$ grado con paréntesis y con denominadores lo que haremos será seguir los siguientes pasos:
Calcular el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de las fracciones que hay en la ecuación.
Multiplicar los dos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo calculado anteriormente, aplicamos la distributiva y quitamos los denominadores. Ahora tenemos una ecuación con paréntesis que ya sabemos resolver.
Quitar los paréntesis. ¡¡Cuidado con los signos negativos delante del paréntesis y con los signos negativos que están dentro del paréntesis!!
Agruparemos términos en cada uno de los miembros de la ecuación
Transpondremos términos, los que tienen $x$ a un lado y los números a otro (Regla de la suma)
Agrupamos de nuevo términos
Despejamos la $x$ (Regla del producto)
Comprobamos la solución
Lo primero recordar que $ \dfrac{\ 1\ }{2} x = \dfrac{\ x\ }{2} $. Ahora calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores, como sólo está el 2, en este caso es muy fácil, multiplicaremos los dos miembros de la ecuación por 2:
$$ 3x + \dfrac{\ 1\ }{2} x + 6 = 2x $$
$$ 2 \cdot \left ( 3x + \dfrac{\ 1\ }{2} x + 6 \right ) = 2 \cdot 2x $$
Aplicamos la propiedad distributiva y quitamos los denominadores:
$$ 2 \cdot 3x + 2 \cdot \dfrac{\ 1\ }{2} x + 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2x $$
$$ 6x + x + 12 = 4x $$
Ahora tenemos una ecuación sin paréntesis y sin denominadores que ya sabemos resolver, agrupamos, transponemos, agrupamos y despejamos:
$$ 7x + 12 = 4x $$
$$ 3x = - 12 $$
$$ x = \dfrac{\ - 12\ }{3} = - 4 $$
Ahora comprobamos la ecuación, sustituimos $x$ por -4 y vemos que la ecuación se cumple:
Leer las veces que haga falta el enunciado, hacer cualquier dibujo o esquema que ayude a su comprensión. Obtener todos los datos, directos e indirectos, que nos da el problema.
Plantear una ecuación
Escribir una ecuación que se adecúe al problema en cuestión.
Resolver la ecuación
Resolver la ecuación.
Comprobar la solución obtenida
Coherencia del resultado y comprobación de la misma.
$x$ = nº de horas que estudia Matemáticas.
$2x + 3$ = nº de horas que se dedica a jugar a los videojuegos.
$$x + 2x + 3 = 12 $$
$$3x = 12 - 3 $$
$$3x = 9 $$
$$x = \dfrac{\ 9\ }{3} = 3 \text{ horas. } $$
Eso quiere decir que ha dedicado 3 horas a Matemáticas y 9 horas a los videojuegos.
$$ \begin{array}{ccc}
& \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 5 años } \\ \hline
Padre & x + 36 & x + 41 \\ \hline
Hijo & x & x + 5
\end{array} $$
Si la edad del padre cuadruplica a la del hijo en 5 años, tenemos que:
$$ 4(x + 5) = x + 41 $$
$$ 4x + 20 = x + 41 $$
$$ 4x - x = 41 - 20 $$
$$ 3x = 21 $$
$$ x = \dfrac{\ 21\ }{3} = 7 $$
$$ \begin{array}{ccc}
& \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 5 años } \\ \hline
Padre & 7 + 36 = 43 & 7 + 41 = 48 \\ \hline
Hijo & 7 & 7 + 5 = 12
\end{array} $$
$x = $ nº de motos, con 2 ruedas
$39 - x = $ nº de coches, con 4 ruedas
El número total de ruedas es de 130:
$$ 2 \cdot x + 4 \cdot (39 - x ) = 130 $$
$$ 2x + 156 - 4x = 130 $$
$$ - 2x = -26 \Rightarrow 2x = 26 $$
$ x = \dfrac{\ 26\ }{2} = 13 \Rightarrow x = 13$ motos y el número de coches será 39 - 13 = 26.
$x = $ nº de patos, 2 patas
$2x = $ nº de cerdos, 4 patas
La cantidad total de patas es:
$$ 2 \cdot x + 2x \cdot 4 = 350 $$
$$ 2x + 8x = 350 $$
$$ 10x = 350 $$
$ x = \dfrac{\ 350\ }{ 10 } = 35 \Rightarrow x = 35 $ patos, y el número de cerdos es de 70.
$$ \begin{array}{ccc}
& \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 5 años } \\ \hline
Cristina & x + 15 & x + 20 \\ \hline
Andrea & x & x + 5
\end{array} $$
Si la edad de Cristina es el doble de la de Andrea en 5 años, tenemos que:
$$ 2(x + 5) = x + 20 $$
$$ 2x + 10 = x + 20 $$
$$ 2x - x = 20 - 10 $$
$$ x = 10 $$
$$ \begin{array}{ccc}
& \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 5 años } \\ \hline
Padre & 10 + 15 = 25 & 10 + 20 = 30 \\ \hline
Hijo & 10 & 10 + 5\ = 15
\end{array} $$
$x = $ nº de preguntas acertadas
$50 - x = $ nº de preguntas No acertadas
Calculamos la puntuación, 3 puntos por acierto y -2 por fallo:
$$ 3 \cdot x - 2 \cdot (50 - x) = 85 $$
$$ 3x - 100 + 2x = 85 $$
$$ 5x = 185 $$
$$ x = \dfrac{\ 185\ }{ 5 } = 37 $$
Comprobación:
$ 3 \times 37 - 2 \times 13 = 111 - 26 = 85 $ puntos
Un número es $x$ y el otro número es $x - 27$, así su resta es 27.
Y la suma de dichos números es 241 luego:
$$ x + x - 27 = 241 $$
$$ 2x = 241 + 27 $$
$$ 2x = 268 $$
$$ x = \dfrac{\ 268\ }{2} = 134 $$
Luego el otro número es $x - 27 = 134 - 27 = 107$
Comprobación:
Si sumamos los números tenemos: 134 + 107 = 241
Si los restamos tenemos: 134 - 107 = 27
$ x =$ nº de huevos que hay en cada cesta
Si pasamos 8 huevos de una cesta a otra nos quedará así, si una tiene el triple que la otra, será la que menos tenga:
$$ 3 \cdot (x - 8) = x + 8 $$
$$ 3x - 24 = x + 8 $$
$$ 3x - x = 24 + 8 $$
$$ 2x = 32 $$
$$ x = \dfrac{\ 32\ }{2} = 16 $$
Luego cada cesta tiene 16 huevos, si pasamos 8 huevos de una cesta a otra, una tendrá 8 y la otra el triple que es 24.
$$ \begin{array}{ccc}
& \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 3 años } \\ \hline
Marta & 3x & 3x + 3 \\ \hline
Carlos & x & x + 3
\end{array} $$
Dentro de 3 años la edad de Marta será el doble que la de Carlos:
$$ 3x + 3 = 2 \cdot (x + 3) $$
$$ 3x + 3 = 2x + 6 $$
$$ 3x - 2x = 6 - 3 $$
$$ x = 3 \text{ años} $$
Comprobación:
$$ \begin{array}{ccc}
& \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 3 años } \\ \hline
Marta & 9 & 12 \\ \hline
Carlos & 3 & 6
\end{array} $$
$x =$ nº de botes de kétchup en la estantería
Así tenemos que:
$$ x + 20 = 4 (x - 10) $$
$$ x + 20 = 4x - 40 $$
$$ 40 + 20 = 4x - x $$
$$ 60 = 3x $$
$$ x = \dfrac{\ 60\ }{3} = 20 $$
Luego en la estantería hay 20 botes de kétchup.
Comprobación:
Si hay 20 y añado 20 tendré 40 botes de kétcup;
Si quito 10 y multiplico por 4 tendré 40 botes de kétcup también.
$ x = $ nº de alumnos de la clase de Miguel
nº de libros $ = 3x + 4 $
nº de libros $ = 4 \cdot (x - 5) $
Luego igualando el nº de libros tenemos que:
$$ 3x + 4 = 4 \cdot (x - 5) $$
$$ 3x + 4 = 4x - 20 $$
$$ 20 + 4 = 4x - 3x $$
$$ 24 = x $$
Luego el número de alumnos es de 24 y el número de libros es $ 3 \times 24 + 4 = 72 + 4 = 76 $
$$ \begin{array}{ccc}
& \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 3 años } \\ \hline
Eva & x - 5 & x - 2 \\ \hline
Hermano & x & x + 3
\end{array} $$
Dentro de 3 años la suma de las edades será de 23 años:
$$ x + 3 + x - 2 = 23 $$
$$ 2x + 1 = 23 $$
$$ 2x = 23 - 1 $$
$$ 2x = 22 $$
$$ x = \dfrac{\ 22\ }{2} = 11 \text{ años } $$
Comprobación:
$$ \begin{array}{ccc}
& \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 3 años } \\ \hline
Eva & 6 & 9 \\ \hline
Hermano & 11 & 14
\end{array} $$
$x = $ nº de perros
$60 - x = $ nº de periquitos
Calculamos el número de patas, los perros tienen 4 y los periquitos 2:
$$ 4 \cdot x + 2 \cdot (60 - x) = 150 $$
$$ 4x + 120 - 2x = 150 $$
$$ 2x = 150 - 120 $$
$$ 2x = 30 $$
$$ x = \dfrac{\ 30\ }{ 2 } = 15 \text{ perros; luego el número de periquitos es de } 45. $$
Comprobación:
$ 4 \times 15 + 2 \times 45 = 60 + 90 = 150 $ patas
$x = $ nº de caballos
$35 - x = $ nº de avestruces
Calculamos el número de patas, los caballos tienen 4 y los avestruces 2:
$$ 4 \cdot x + 2 \cdot (35 - x) = 116 $$
$$ 4x + 70 - 2x = 116 $$
$$ 2x = 116 - 70 $$
$$ 2x = 46 $$
$$ x = \dfrac{\ 46\ }{ 2 } = 23 \text{ caballos; luego el número de avestruces es de } 12. $$
Comprobación:
$ 4 \times 23 + 2 \times 12 = 92 + 24 = 116 $ patas
$$ \begin{array}{ccc}
& \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 14 años } \\ \hline
Madre & x & x + 14 \\ \hline
Hijo & 40 - x & 54 - x
\end{array} $$
Dentro de 14 años la edad de la madre será el triple que la del hijo:
$$ 3 \cdot (54 - x) = x + 14 $$
$$ 162 - 3x = x + 14 $$
$$ 162 - 14 = x + 3x $$
$$ 148 = 4x $$
$$ x = \dfrac{\ 148\ }{4} = 37 \text{ años tiene la madre; luego el hijo tiene 3 años } $$
Comprobación:
$$ \begin{array}{ccc}
& \text{ Hoy } & \text{ Dentro de 14 años } \\ \hline
Madre & 37 & 37 + 14 = 51 \\ \hline
Hijo & 3 & 3 + 14 = 17
\end{array} $$
$x =$ número de horas que dura el trayecto.
Sabemos que el viaje de ida le ha costado 2 horas más que el de vuelta. Tenemos que recordar que el espacio = velocidad $ \times $ tiempo. Así:
$$ 60 \cdot (x + 2 ) = 80 \cdot x $$
$$ 60x + 120 = 80x $$
$$ 120 = 20 x $$
$$ x = \dfrac{\ 120\ }{20} = 6 \text{ horas ha durado el viaje. } $$
La distancia entre ambas ciudades es de $6h \cdot 80km/h = 480 km$ de distancia.
Comprobación:
Si el viaje de ida va a $60km/h$ y le cuesta 8 horas, ha viajado $ 60 km/h \cdot 8 h = 480 km$
Si el viaje de vuelta va a $80km/h$ y le cuesta 6 horas, ha viajado $ 80 km/h \cdot 6 h = 480 km \checkmark$
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com
Derivación logarítmica: Cuando tenemos una función potencial-exponencial, es decir, que tanto la base como el exponente son dos funciones no constantes, $ F(x) = g(x)^{h(x)} $ y la queremos derivar. Tenemos dos opciones:
o saber deducirla (muy recomendable). Veamos como:
Lo $\odn{1}{o}$ tomamos logaritmos neperianos:
$$ \ln F(x) = \ln g(x)^{h(x)} $$
$$ \text{ usamos las propiedades de los logaritmos y nos queda } \ln F(x) = h(x) \cdot \ln g(x) $$
Tenemos dos expresiones iguales, luego sus funciones derivadas serán iguales:
$$ \left (\ln F(x) \right )' = \left (h(x) \cdot \ln g(x) \right )' \Rightarrow \dfrac{\ F'(x)\ }{F(x)} = h'(x) \ln g(x) + h(x) \cdot \dfrac{\ g'(x)\ }{g(x)} $$
$$ \text{ pasamos } F(x) \text{ multiplicando y tenemos que } F'(x) = F(x) \cdot \left ( h'(x) \ln g(x) + h(x) \cdot \dfrac{\ g'(x)\ }{g(x)} \right ) $$
y sustituyendo $F(x)$ por su valor tenemos:
$$ F'(x) = g(x)^{h(x)} \cdot \left ( h'(x) \ln g(x) + h(x) \cdot \dfrac{\ g'(x)\ }{g(x)} \right ) = g(x)^{h(x)} \cdot h'(x) \cdot \ln g(x) + g(x)^{h(x)} \cdot h(x) \cdot \dfrac{\ g'(x)\ }{g(x)} $$
y así tenemos:
$$ F'(x) = g(x)^{h(x)} \cdot h'(x) \cdot \ln g(x) + g(x)^{h(x) - 1} \cdot h(x) \cdot g'(x) $$
Vamos con un par de ejemplos:
$$ F(x) = (\tg x)^{\cotg x} $$
Tomamos logaritmos, aplicamos la propiedad de las potencias y derivamos:
$$ \ln F(x) = \cotg x \cdot \ln \tg x \Rightarrow \dfrac{\ F'(x)\ }{F(x)} = -(1 + \cotg^2 x) \ln \tg x + \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 + \tg^2 x }{ \tg x} $$
Pasamos $F(x)$ multiplicando y la sustituimos por su valor:
$$ F'(x) = (\tg x)^{\cotg x} \cdot \left ( -(1 + \cotg^2 x) \ln \tg x + \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 + \tg^2 x }{ \tg x} \right ) = $$
$$ = - (\tg x)^{\cotg x} \cdot (1 + \cotg^2 x) \ln \tg x + (\tg x)^{\cotg x} \cdot \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 + \tg^2 x }{ \tg x} = (*) $$
Vemos que
$$ \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 + \tg^2 x }{ \tg x} = \cotg^2 x \cdot ( 1 + \tg^2 x ) = \cotg^2x + 1 $$
Sustituyendo en (*) tenemos y sacando factor común:
$$ = - (\tg x)^{\cotg x} \cdot (1 + \cotg^2 x) \ln \tg x + (\tg x)^{\cotg x} \cdot ( 1 + \cotg^2 x ) = - (\tg x)^{\cotg x} \cdot (1 + \cotg^2 x) \cdot ( \ln \tg x - 1 ) $$
Vamos con otro ejemplo:
$$ G(x) = \sqrt[\tg x]{x} = x^{ \dfrac{1}{\tg x} } = x^{ \cotg x} $$
Tomamos logaritmos, aplicamos la propiedad de las potencias y derivamos:
$$ \ln G(x) = \cotg x \cdot \ln x \Rightarrow \dfrac{\ G'(x)\ }{G(x)} = -(1 + \cotg^2 x) \ln x + \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 \ }{ x} $$
Pasamos $G(x)$ multiplicando y la sustituimos por su valor:
$$ G'(x) = \sqrt[\tg x]{x} \cdot \left ( -(1 + \cotg^2 x) \ln x + \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 \ }{ x} \right ) = - \sqrt[\tg x]{x} \cdot (1 + \cotg^2 x) \cdot \ln x + \sqrt[\tg x]{x} \cdot \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 \ }{ x} $$
Agrupando nos queda:
$$ G'(x) = \sqrt[\tg x]{x} \cdot (1 + \cotg^2 x) \cdot \ln x + \sqrt[\cotg x - 1]{x} \cdot \cotg x $$
Otra variante
$$ G'(x) = \sqrt[\tg x]{x} \cdot \left ( \dfrac{1}{ \ x \cdot \tg x} - \dfrac{\ln x }{\ \sen^2 x\ } \right ) $$
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com
