Derivadas: Problemas y más.

Las dos expresiones equivalentes para calcular la derivada de una función f(x) en un punto x=a mediante el límite del cociente incremental son: En función del incremento $h$ (o $\Delta x$): \[ f'(a) = \milmt{h}{0}{\mfrac{f(a+h)−f(a)}{h}} \]  En función de la variable x aproximándose al punto $a$: \[ f'(a) = \milmt{x}{a} {\mfrac{f(x)−f(a)}{x - a}} \]  Ambas expresiones son formalmente equivalentes haciendo el cambio de variable x=a+h (de modo que cuando $x \Rightarrow a$, el incremento $h \Rightarrow 0$).

Interpretación:
Representan la pendiente de la recta secante cuando los dos puntos considerados sobre la curva se aproximan infinitamente hasta convertirse en la recta tangente en $x = a$.
Función derivada general: Para obtener la función derivada $f'(x)$ en cualquier punto variable, se suele emplear la primera expresión sustituyendo $a$ por $x$:
\[ f'(x) = \milmt{h}{0}{\mfrac{f(x+h)−f(x)}{h}} \]

$f(x) = 2x^3 + x$

Recta tangente: $y - f(0) = f'(0) \cdot (x - 0)$

$f'(x) = 6x^2 + 1 \Rightarrow f'(0) = 1$

$y - 0 = 1 (x - 0) \Rightarrow \boxed{y = x}$

El producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es -1: \[ m_r \cdot m_s = - 1 \] Ejemplos: Las rectas $y = x$ (bisectriz $\odn{1}{er}-\odn{3}{er}$ cuadrante) e $y = - x$ (bisectriz $\odn{2}{o}-\odn{4}{o}$ cuadrante) son perpendiculares, el producto de sus pendientes es -1.

Recta normal: $y - f(0) = \dfrac{-1}{f'(0)} \cdot (x - 0)$

$y - 0 = -1 (x - 0) \Rightarrow \boxed{y = -x}$

Utilizando la definición de derivada, calcula $f'(-2)$, siendo $f(x) = \dfrac{\ 1 \ }{x} $:

$$ f'(-2) = \milmt{h}{0}{ \mfrac{f(-2 + h) - f(-2)}{h} } = \milmt{h}{0}{ \mfrac{\mfrac{1}{-2 + h} - \mfrac{1}{-2 } }{h} } = \milmt{h}{0}{ \mfrac{\mfrac{1}{ -2 + h } + \mfrac{ 1 }{ 2 } }{h} } = \milmt{h}{0}{ \mfrac{\mfrac{2 - 2 + h}{ -4 + 2h } }{h} } = $$
$$ = \milmt{h}{0}{ \mfrac{h}{ (-4 + 2h) \cdot h } } = \zdivz = \milmt{h}{0}{ \mfrac{ \cancel{h} }{ (-4 + 2h) \cdot \cancel{h} } } = \milmt{h}{0}{ \mfrac{\ 1 }{ -4 + 2h } } = \mfrac{-1}{4} $$

Recta secante que pasa por los puntos $(1, 0)\,(4, 3) \Rightarrow \mfrac{x - 1}{ 4 - 1} = \mfrac{y - 0}{3 - 0} \implies y = x - 1$.
La pendiente de esta recta vale 1, luego la pendiente de la tangente vale 1 al ser rectas paralelas $\Rightarrow f'(x_0) = 1$.
\[ f'(x) = 2x - 4 \Rightarrow f'(x_0) = 2x_0 - 4 \Rightarrow 2x_0 - 4 = 1 \Rightarrow x_0 = \mfrac{5}{2} \] El punto pedido es $ \left( x_0, f(x_0) \right ) = \left( \mfrac{5}{2}, \mfrac{-3}{4}\right)$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com