Cálculo de primitivas e Integral indefinida: Ejercicios con solución.

Si $\boldsymbol{y} = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ es una función definida en un intervalo $[a, b]$, una primitiva de $f(x)$ en ese intervalo es una función $\boldsymbol{F}$ derivable y tal que $\boldsymbol{F}^{\prime}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ en todo el intervalo.

Ejemplos: $$ \begin{array}{ c c c } f(x) & \qquad & F(x) \\ 2x & \qquad & x^2 \\ \sen x & \qquad & - \cos x \\ e^x & \qquad & e^x \\ 1/x & \qquad & \ln |x| \end{array} $$ Muy importante: Notar que una función tiene infinitas primitivas.

$$ \begin{array}{ c c c } f(x) & \qquad & F(x) \\ 2x & \qquad & x^2 \\ 2x & \qquad & x^2 + 1 \\ 2x & \qquad & x^2 - 1 \\ 2x & \qquad & x^2 - \msqrt{2} \\ \ldots & \qquad & \ldots \\ 2x & \qquad & x^2 + C \\ \end{array} $$

Una consecuencia inmediata de esta definición es que si $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})$ es una primitiva de $\boldsymbol{f(x)}$ en un intervalo $[a, b]$, también lo es la función $F(x) + \boldsymbol{C}$, siendo $C$ cualquier número real, $C \in \mathbb{R}$.

INTEGRAL INDEFINIDA DE f(x):

Llamamos integral indefinida o simplemente integral de f(x) al conjunto de todas sus primitivas y se denota: \[ \mint{ f(x) }{ dx } = F(x) + C \text{ tal que } F'(x) = f(x) \] Ejemplos:

\( \mint{2x}{dx} = x^2 + C \)
\( \mint{ \sen x }{dx} = -cos x + C \)
\( \mint{ \mfrac{1}{x} }{dx} = \ln x + C \)


Propiedades de la integración indefinida:

• $ \mint k dx = k \cdot x + C$ Siendo $k$ una constante
• $ \mint dx = x + C $
• $ \mint \left ( f(x) \pm g(x) \right ) dx = \mint f(x) dx \pm \int g(x) dx $
  
  $ \mint{ \left ( x^2 - 3x + 4 \right )}{ dx } = \mfrac{ x^3 }{3} - 3 \mfrac{ x^2 }{2} + 4x + C $
• $ \mint K \cdot f(x) dx = K \cdot \mint f(x) dx $
  
  $ \mint{ 7 \cos x }{ dx } = 7 \cdot \mint{ \cos x }{ dx } = 7 \sen x + C $

Todas estas se pueden resumir en una: $$ \mint \left ( a \cdot f(x) \ \pm \ b \cdot g(x) \right ) dx = a \cdot \mint f(x) dx \ \pm \ b \cdot \int g(x) dx $$

No se cumple lo siguiente:

\[ \mint{ [f(x) \cdot g(x)] }{dx} \neq \mint{ f(x) }{dx} \cdot \mint{ g(x) }{dx} \] \[ \mint{ \mfrac{ f(x) }{ g(x) } }{dx} \neq \mfrac{ \mint{ f(x) }{dx} }{ \mint{ g(x) }{dx} } \]

Un buen ejercicio es además comprobar que la derivada de la primitiva calculada coincide con la primitiva de la función a calcular.

Ejemplos:

1. \( \mint{ 2 }{dx} = 2x + C \)


2. \( \mint{ x^3 }{dx} = \mfrac{ x^4 }{ 4 } + C \)


3. \( \mint{ x }{dx} = \mfrac{ x^2 }{ 2 } + C \)


4. \( \mint{ 2x^5 }{dx} = \mfrac{ 2x^6 }{ 6 } + C = \mfrac{ x^6 }{ 3 } + C \)


5. \( \mint{ \mmsqrt{3}{2x^2} }{dx} = \mmsqrt{3}{2} \mint{ x^{2/3} }{ dx} = \mmsqrt{3}{2} \mfrac{ x^{2/3 + 1} }{ \mfrac{2}{3} + 1} + C = \mmsqrt{3}{2} \mfrac{ x^{5/3} }{ \mfrac{5}{3} } + C = \)
   
   \( = \mfrac{ 3 \mmsqrt{3}{2} x^{5/3} }{5} + C = \mfrac{ 3 \mmsqrt{3}{2x^5} }{5} + C = \mfrac{ 3 x \mmsqrt{3}{2x^2} }{5} + C \)


6. \( \mint{ \mfrac{4}{x^3} }{dx} = 4 \mint{x^{-3}}{dx} = 4 \mfrac{ x^{-2} }{ -2 } + C = \mfrac{-2}{x^2} + C \)


7. \( \mint{ 3x^3 - \sen x + 2^x }{dx} = \mint{ 3x^3 }{dx} - \mint{ \sen x }{dx} + \mint{ 2^x }{dx} = 3 \mfrac{x^4}{4} + \cos x + \mfrac{2^x}{ \ln 2 } + C \)


8. \( \mint{ 3\cos x - 5e^x }{dx} = \mint{ 3\cos x }{dx} + \mint{ (-5e^x) }{dx} = 3 \mint{ \cos x }{dx} - 5 \mint{ e^x }{dx} = 3 \sen x - 5e^x + C \)


9. \( \mint{ \mfrac{ \msqrt{1 - x^2} }{1 - x^2} }{dx} = \mint{ \mfrac{1}{ \msqrt{1 - x^2} } }{dx} = \arcsen x + C \)


10. \( \mint{ \mfrac{ 3 }{x^2 + 1} }{dx} = 3 \mint{ \mfrac{ 1 }{x^2 + 1} }{dx} = 3 \arctg x + C \)


11. \( \mint{ \mfrac{ x }{x^2 + 1} }{dx} = \mfrac{1}{2} \mint{ \mfrac{ 2x }{x^2 + 1} }{dx} = \mfrac{1}{2} \ln |1 + x^2 | + C \)


12. \( \mint{(2x - 5)\cos(x^2 - 5x + 3) }{dx} = \sen(x^2 - 5x + 3) + C \)


13. \( \mint{ e^{3x + 1} }{dx} = \mfrac{1}{3} \mint{ 3 e^{3x + 1} }{dx} = \mfrac{ e^{3x + 1} }{3} + C \)


14. \( \mint{ \mfrac{ x }{ \msqrt{1 - x^4} } }{dx} = \mint{ \mfrac{ x }{ \msqrt{1 - (x^2)^2 } } }{dx} = \mfrac{1}{2} \mint{ \mfrac{ 2x }{ \msqrt{1 - (x^2)^2 } } }{dx} = \mfrac{1}{2} \arcsen (x^2) + C \)


15. \( \mint{ \tg x}{dx} = \mint{ \mfrac{ \sen x }{ \cos x } }{dx} = \ln| \sen x | + C \)


16. \( \mint{ \mfrac{ 3x }{x^2 + 2} }{dx} = 3 \mint{ \mfrac{ x }{x^2 + 2} }{dx} = \mfrac{3}{2} \mint{ \mfrac{ 2x }{x^2 + 2} }{dx} = \mfrac{3}{2} \ln|x^2 + 2| + C \)

Integrales inmediatas

Inmediatas o método de sustitución (Cuando las dos funciones tienen relación, función y derivada) Cambio $f(x) = t$ siendo $f(x)$ la función.

Ejemplo:

\( \mint{\sen^4 x \cdot \cos x}{dx} \)

Hacemos el cambio $t = \sen x \Rightarrow dt = \cos x dx$. Sustituimos en la integral:

\[ \mint{\sen^4 x \cdot \cos x}{dx} = \mint{ t^4 }{dt} = \mfrac{t^5}{5} + C \] Deshacemos el cambio:

\[ \mfrac{t^5}{5} + C = \mfrac{ \sen^5 x }{ 5 } + C \] Derivamos el resultado y comprobamos que es correcto.

Separamos la integral en resta de dos integrales: $$ \mint \left( \dfrac{1}{\ x^2\ } - \dfrac{1}{\ x + 1\ } \right) dx = \mint \dfrac{1}{\ x^2\ } dx - \mint \dfrac{1}{\ x + 1\ } dx = \dfrac{\ -1\ }{x} - \ln \left | x + 1 \right | + C $$

Ponemos las $x$ como potencias de índice racional y nos queda más sencillo, aplicamos $ \mint x^n dx = \dfrac{\ x^{n + 1}\ }{n+1} + C, \forall n \neq -1 $ : $$ \mint \dfrac{\ \sqrt{x}\ }{x^4} dx = \mint x^{ \frac{-7}{2} } dx = \dfrac{\ -2\ }{5} \cdot x^\frac{\ -5\ }{2} + C $$

Buscamos el $\arcsen u(x)$: $$ \mint \dfrac{2}{\ \sqrt{\ 1 - 4x^2\ }\ } dx = \arcsen (2x) + C $$

Buscamos el $\arcsen u(x)$: $$ \mint \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 4 - x^2\ }\ } dx = \mint \dfrac{1}{\ 2 \cdot \sqrt{\ 1 - \left ( \dfrac{\ x\ }{2} \right )^2\ }\ } dx = \mint \dfrac{ \dfrac{\ 1\ }{2} }{\ \sqrt{\ 1 - \left ( \dfrac{\ x\ }{2} \right )^2\ }\ } dx = \arcsen\left ( \dfrac{\ x\ }{2} \right ) + C $$

Vamos a ponerla de la siguiente forma $ \mint a^x dx = \dfrac{a^x}{\ \ln a\ } + C, a > 0 $ : $$ \mint 2^{2x} dx = \mint 4^x dx = \dfrac{\ 4^x\ }{\ \ln 4\ } + C $$

Vamos a separar esta integral en suma de dos integrales: $$ \mint \dfrac{\ 1 + 2x\ }{1 + x^2} dx = \mint \dfrac{ 1 }{\ 1 + x^2\ } dx + \mint \dfrac{ 2x }{\ 1 + x^2\ } dx = \arctg x + \ln \left ( 1 + x^2 \right ) + C $$

Se ve fácilmente que el númerador es la derivada del numerador y aplicamos $ \mint \dfrac{\ u'\ }{u} dx = \ln u + C$: $$ \mint \dfrac{6x^2 - 4}{x^3 - 2x} dx = 2 \cdot \mint \dfrac{3x^2 - 2}{x^3 - 2x} dx = 2 \cdot \ln \left | x^3 - 2x \right | + C $$

Vamos a sustituir $ \tg x$ por $ \dfrac{\ \sen x\ }{\cos x}$ y el numerador es la derivada del denominador: $$ \mint \tg x dx = \mint \dfrac{\ \sen x\ }{ \cos x } dx = - \mint \dfrac{\ - \sen x\ }{ \cos x } dx = - \ln \left | \cos x \right | + C $$

Vamos a multiplicar y dividir por -2, para usar $\mint u' \cdot e^u dx = e^u + C$: $$ \mint x \cdot e^{-x^2} dx = \dfrac{\ -1\ }{2} \mint (-2x)e^{-x^2} \cdot dx = \dfrac{\ - e^{-x^2}\ }{2} + C $$

Vamos a sustituir $ \cotg x$ por $ \dfrac{\cos x}{\ \sen x\ }$ y el numerador es la derivada del denominador: $$ \mint \cotg x dx = \mint \dfrac{ \cos x }{\ \sen x\ } dx = \mint \dfrac{ \cos x }{\ \sen x\ } dx = \ln \left | \sen x \right | + C $$

Vamos a separar la integral de una resta en resta de integrales: $$ \mint (e^x - e^{-x}) dx = \mint e^x dx - \mint e^{-x} dx = \mint e^x dx + \mint (- e^{-x}) dx = e^x + e^{-x} + C $$

Vemos que $\dfrac{1}{\ \sen^2 3x\ } = \dfrac{\ \cos^2 3x + \sen^2 3x\ }{\ \sen^2 3x\ } = 1 + \tg^2 3x $: $$ \mint \dfrac{2}{\ \sen^2 3x\ } dx = 2 \cdot \mint \dfrac{1}{\ \sen^2 3x\ } dx = 2 \cdot \mint \dfrac{\ \cos^2 3x + \sen^2 3x\ }{\ \sen^2 3x\ } dx = 2 \cdot \mint 1 + \tg^2 3x dx = \dfrac{\ -2\ }{3} \cdot \cotg 3x + C $$

Vemos que el numerador es la derivada del denominador: $$ \mint \dfrac{\ \sen x\ }{\ 2 + \cos x\ } dx = - \mint \dfrac{\ - \sen x\ }{\ 2 + \cos x\ } dx = - \ln \left ( 2 + \cos x \right ) + C $$

Vemos que es la potencia de una suma y la derivada de la suma es 7: $$ \mint (7x + 1)^3 dx = \dfrac{\ 1\ }{\ 4 \cdot 7\ } \cdot (7x + 1)^4 + C $$

Vamos a integrarlo como una potencia de exponente negativo y la derivada de la suma es 2: $$ \mint \dfrac{1}{\ (2x + 1)^3\ } dx = \mint (2x + 1)^{-3} dx = \dfrac{\ -1\ }{\ 2\ } \cdot \mint 2 \cdot (2x + 1)^{-3} dx = \dfrac{\ - 1\ }{\ 4\ } \cdot (2x + 1)^{-2} + C $$

Vamos a integrarlo como una potencia de exponente negativo y la derivada de la suma es $2x + 1$: $$ \mint \dfrac{ 2x + 1 }{\ \left ( x^2 + x + 1 \right)^2\ } dx = \mint (2x + 1) \cdot \left ( x^2 + x + 1 \right)^{-2} dx = -( x^2 + x + 1)^{-1} + C = \dfrac{ - 1 }{\ x^2 + x + 1\ } + C $$

Vamos a integrarlo como una potencia de $x$ manejando las propiedades de las potencias: $$ \mint \dfrac{\ \sqrt[3]{x}\ }{x} dx = \mint x^{\frac{-2}{3}} dx = 3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + C $$

Vamos a simplificar y veamos lo que nos queda: $$ \mint \dfrac{\ \sqrt{\ x + 1\ }\ }{x + 1} dx = \mint \dfrac{1}{\ \sqrt{\ x + 1\ }\ } dx = 2 \cdot \mint \dfrac{1}{\ 2 \cdot \sqrt{\ x + 1\ }\ } dx = 2 \cdot \sqrt{\ x + 1\ } + C $$

Vamos a integrarlo como una potencia de $1 + x^2$ manejando las propiedades de las potencias: $$ \mint x \cdot \sqrt{\ 1 + x^2\ } dx = \dfrac{1}{\ 2\ } \cdot \mint 2x \cdot (1 + x^2)^{ \frac{1}{2} } dx = \dfrac{1}{\ 2\ } \cdot \dfrac{2}{\ 3\ } \cdot (1 + x^2)^{ \frac{3}{2} } + C = \dfrac{1}{\ 3\ } \cdot (1 + x^2)^{ \frac{3}{2} } + C $$

Vamos a integrarlo como una potencia de $\cos x$: $$ \mint \cos^2 x \cdot \sen x dx = \dfrac{- 1}{\ 3\ } \cdot \cos^3 x + C $$

Integración por partes

Tenemos la primitiva del producto de dos funciones, utilizaremos el método de «integración por partes»: $$ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \Rightarrow \mint (uv)' = \mint u' \cdot v + \mint u \cdot v' $$ $$ \mint u \cdot v' = u \cdot v - \mint u' \cdot v $$

Lo importante es saber cuales son las candidatas a funciones $u$, para ello usaremos la regla $ALPES$:

$\bullet$ A: funciones arco (arco seno, arco coseno, arco tangente, arco secante, arco cosecante, arco cotangente)
$\bullet$ L: Logaritmos
$\bullet$ P: Potencias (de exponente numérico)
$\bullet$ E: Exponenciales
$\bullet$ S: Seno y coseno

Ejemplo:

\( \mint{e^x \cdot \sen x}{dx} \)

$ u = \sen x \Rightarrow du = \cos x $

$ dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x $

Aplicando partes: \( \mint{e^x \cdot \sen x}{dx} = e^x \sen x - \mint{e^x \cos x}{dx} \)

Ahora tenemos que volver a aplicar partes a $\mint{e^x \cos x}{dx}$:

$ u = \cos x \Rightarrow du = -\sen x $

$ dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x $

\( \mint{e^x \cdot \cos x}{dx} = e^x \cos x + \mint{e^x \sen x}{dx} (2) \)

Ahora juntamos todo:

\( \mint{e^x \cdot \sen x}{dx} = e^x \sen x - \mint{e^x \cos x}{dx} \) Por $(2)$ \( \mint{e^x \cdot \sen x}{dx} = e^x \sen x - ( e^x \cos x + \mint{e^x \sen x}{dx} ) \)

\( \mint{e^x \cdot \sen x}{dx} = e^x \sen x - e^x \cos x - \mint{e^x \sen x}{dx} \)

Pasamos la integral a la izquierda, y nos queda:

\( 2\mint{e^x \cdot \sen x}{dx} = e^x \sen x - e^x \cos x \)

\( \mint{e^x \cdot \sen x}{dx} = \mfrac{1}{2}( e^x \sen x - e^x \cos x) + C = \mfrac{e^x(\sen x - \cos x)}{2} + C \)

A la hora de aplicar integración por partes, lo hemos aplicado dos veces, esto suele pasar habitualmente.

Aplicamos integración por partes $ u = x, u' = 1 $ y $v' = \cos x, v = \sen x$ $$ \mint x \cdot \cos x dx = x \cdot \sen x - \mint \sen x dx = x \cdot \sen x + \mint (- \sen x) dx = x \cdot \sen x + \cos x + C $$

Aplicamos integración por partes $ u = x, u' = 1 $ y $v' = \sen x, v = -\cos x$ $$ \mint x \cdot \sen x dx = - x \cdot \cos x + \mint \cos x dx = - x \cdot \cos x + \sen x + C $$

Aplicamos integración por partes $ u = \arctg x, u' = \dfrac{1}{\ 1 + x^2\ } $ y $v' = 1, v = x$ $$ \mint \arctg x dx = x \cdot \arctg x - \mint \dfrac{2x}{\ 1 + x^2\ } dx = x \cdot \arctg x - \dfrac{\ 1\ }{2} \mint \dfrac{2x}{\ 1 + x^2\ } dx = x \cdot \arctg x - \dfrac{\ 1\ }{2} \ln(1 + x^2) + C $$

Aplicamos integración por partes $ u = x, u' = 1 $ y $v' = e^x, v = e^x$ $$ \mint \x \cdot e^x dx = x \cdot e^x - \mint e^x dx = x \cdot e^x - e^x + C $$

Aplicamos integración por partes $ u = x^2, u' = 2x $ y $v' = e^x, v = e^x$ $$ \mint x^2 \cdot e^x dx = x^2 \cdot e^x - \mint 2 \cdot x \cdot e^x dx = x^2 \cdot e^x - 2 \mint x \cdot e^x dx = (*) $$

La integral $ \mint x \cdot e^x $ la hemos calculado en el ejercicio anterior y el resultado es $\mint x \cdot e^x = x \cdot e^x - e^x + C_1 $ Sustituyendo en (*) tenemos: c $$ (*) = x^2 \cdot e^x - 2 \mint x \cdot e^x dx = x^2 \cdot e^x - 2 \cdot ( x \cdot e^x - e^x + C_1) + C_2 = x^2 \cdot e^x - 2 \cdot x \cdot e^x + 2 \cdot e^x + C $$

Aplicamos integración por partes $ u = x^2, u' = 2x $ y $v' = \cos x, v = \sen x$ $$ \mint x^2 \cdot \cos x dx = x^2 \cdot \sen x - \mint 2 \cdot x \cdot \sen x dx = x^2 \cdot \sen x - 2 \mint x \cdot \sen x dx = (*) $$

La integral $ \mint x \cdot \sen x $ la hemos calculado anteriormente y el resultado es $\mint x \cdot \sen x = -x \cdot \cos x + \sen x + C_1 $ Sustituyendo en (*) tenemos: $$ (*) = x^2 \cdot \sen x - 2 \cdot ( - x \cdot \cos x + \sen x + C_1) + C_2 = x^2 \cdot \sen x + 2 \cdot x \cdot \cos x - 2 \cdot \sen x + C $$

Aplicamos integración por partes $ u = x^2, u' = 2x $ y $v' = \sen x, v = - \cos x$ $$ \mint x^2 \cdot \sen x dx = - x^2 \cdot \cos x + \mint 2 \cdot x \cdot \cos x dx = - x^2 \cdot \sen x + 2 \mint x \cdot \cos x dx = (*) $$

La integral $ \mint x \cdot \cos x $ la hemos calculado anteriormente y el resultado es $\mint x \cdot \cos x = x \cdot \sen x + \cos x + C_1 $ Sustituyendo en (*) tenemos: $$ (*) = - x^2 \cdot \cos x + 2 \cdot ( x \cdot \sen x + \cos x + C_1) + C_2 = - x^2 \cdot \sen x + 2 \cdot x \cdot \sen x + 2 \cdot \cos x + C $$

Aplicamos integración por partes $ u = \arcsen x, u' = \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 - x^2\ }\ }$ y $v' = 1, v = x $ $$ \mint \arcsen x dx = x \cdot \arcsen x - \mint \dfrac{x}{\ \sqrt{\ 1 - x^2\ }\ } dx = x \cdot \arcsen x - \mint \dfrac{2x}{\ 2 \cdot \sqrt{\ 1 - x^2\ }\ } dx = x \cdot \arcsen x + \sqrt{\ 1 - x^2\ } + C $$

Aplicamos integración por partes $ u = e^x, u' = e^x $ y $v' = \cos x, v = \sen x$ $$ \mint e^x \cdot \cos x dx = e^x \cdot \sen x - \mint e^x \cdot \sen x dx = (*) $$

Y tenemos que volver a aplicar integración por partes a $ \mint e^x \cdot \sen x dx $ con $u_1 = e^x, u_1' = e^x$ y $v_1' = \sen x, v_1 = - \cos x$: $$ \mint e^x \cdot \sen x dx = - e^x \cdot \cos x + \mint e^x \cos x dx + C_1 $$ Ahora sustituimos esta integral en $(*)$: $$ \mint e^x \cdot \cos x dx = e^x \cdot \sen x - \mint e^x \cdot \sen x dx = e^x \cdot \sen x - \left ( - e^x \cdot \cos x + \mint e^x \cos x dx + C_1 \right ) dx = $$ $$ = e^x \cdot \sen x + e^x \cdot \cos x - \mint e^x \cos x dx + C_1 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \mint e^x \cdot \cos x dx = e^x \cdot \sen x + e^x \cdot \cos x - \mint e^x \cos x dx + C_1 \Rightarrow $$ Despejamos $ \mint e^x \cdot \cos x dx $ y tenemos que: $$ \Rightarrow 2 \cdot \mint e^x \cdot \cos x dx = e^x \cdot \sen x + e^x \cdot \cos x + C_1 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \mint e^x \cdot \cos x dx = \dfrac{1}{\ 2\ } \cdot \left ( e^x \cdot \sen x + e^x \cdot \cos x + C_1 \right ) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \mint e^x \cdot \cos x dx = \dfrac{1}{\ 2\ } \cdot \left ( e^x \cdot \sen x + e^x \cdot \cos x \right ) + C $$

Aplicamos integración por partes $ u = \ln x, u' = \dfrac{1}{\ x\ }$ y $v' = 1, v = x $ $$ \mint \ln x dx = x \cdot \ln x - \mint dx = x \cdot \ln x - x + C $$

Aplicamos integración por partes $ u = x, u' = 1 $ y $v' = e^{2 \cdot x}, v = \dfrac{\ e^{2 \cdot x}\ }{2}$ $$ \mint x \cdot e^{2 \cdot x} dx = \dfrac{\ x \cdot e^{2 \cdot x}\ }{2} - \dfrac{\ 1\ }{2} \cdot \mint e^{2 \cdot x} dx = \dfrac{\ x \cdot e^{2 \cdot x}\ }{2} - \dfrac{\ e^{2 \cdot x}\ }{4} + C $$

Aplicamos integración por partes $ u = \sen x, u' = \cos x $ y $v' = \sen x, v = - \cos x$ $$ \mint \sen^2 x dx = - \sen x \cdot \cos x + \mint \cos^2 x dx = - \sen x \cdot \cos x + \mint (1 - \sen^2 x) dx = - \sen x \cdot \cos x + \mint dx - \mint \sen^2 x dx $$

Juntamos las dos integrales de $\sen^2 x$ y obtendremos la integral buscada: $$ \mint \sen^2 x dx = - \sen x \cdot \cos x + \mint dx - \mint \sen^2 x dx \Rightarrow 2 \cdot \mint \sen^2 x dx = - \sen x \cdot \cos x + \mint dx \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \mint \sen^2 x dx = - \dfrac{1}{2} \left (\sen x \cdot \cos x + \mint dx \right ) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \mint \sen^2 x dx = - \dfrac{1}{2} \left (\sen x \cdot \cos x + x \right ) + C $$

Aplicamos integración por partes $ u = x, u' = 1 $ y $v' = \dfrac{ x }{\ \left( x^2 + 1 \right)^2\ }, v = \dfrac{1}{\ x^2 + 1\ } $ $$ \mint \dfrac{ x^2 }{\ \left( x^2 + 1 \right)^2\ } dx = \dfrac{\ 1\ }{2} \cdot \mint x \dfrac{ 2x }{\ \left( x^2 + 1 \right)^2\ } dx = \dfrac{x}{\ 2 \cdot (x^2 + 1)\ } - \dfrac{\ 1\ }{2} \cdot \mint \dfrac{1}{\ x^2 + 1\ } dx = \dfrac{x}{\ 2 \cdot (x^2 + 1)\ } + \dfrac{\ 1\ }{2} \cdot \arctg x + C $$

Aplicamos integración por partes $ u = \sen^2 x, u' = 2 \cdot \sen x \cdot \cos x $ y $v' = \sen x, v = - \cos x $ $$ \mint \sen^3 x dx = - \cos x \cdot \sen^2 x - \mint 2 \cdot \sen x \cdot \cos x \cdot ( - \cos x ) dx = - \cos x \cdot \sen^2 x - 2 \cdot \mint (-\sen x) \cdot \cos^2 x dx = $$ $$ = - \cos x \cdot \sen^2 x - \dfrac{\ 2\ }{3} \cdot \cos^3 x + C $$

Aplicamos integración por partes $ u = x, u' = 1 $ y $v' = \dfrac{1}{\ \cos^2 x\ } = \dfrac{\ \cos^2 x + \sen^2 x\ }{\ \cos^2 x\ } = 1 + \tg^2 x , v = \tg x$ $$ \mint \dfrac{x}{\ \cos^2 x\ } dx = x \cdot \tg x - \mint \tg x dx = x \cdot \tg x - \mint \dfrac{\ \sen x\ }{\ \cos x\ } = x \cdot \tg x + \mint \dfrac{\ - \sen x\ }{\ \cos x\ } = x \cdot \tg x + \ln \left | \cos x\ \right | + C $$

Aplicamos integración por partes $ u = \ln(1 + x^2), u' = \dfrac{2x}{\ 1 + x^2\ }$ y $v' = \dfrac{ 1 }{\ x^2\ }, v = \dfrac{-1}{\ x\ } $ $$ \mint \dfrac{\ \ln \left ( 1 + x^2 \right )\ }{x^2} dx = - \dfrac{\ 1\ }{x} \cdot \ln(1 + x^2) - \mint \dfrac{2x}{\ 1 + x^2\ } \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x\ } \right) dx = - \dfrac{\ \ln(1 + x^2)\ }{x} + 2 \cdot \mint \dfrac{1}{\ 1 + x^2\ } dx = $$ $$ = - \dfrac{\ \ln (1 + x^2) \ }{x} + 2 \cdot \arctg x + C $$

Aplicamos integración por partes $ u = (\ln x)^2, u' = 2 \cdot \dfrac{1}{\ x\ } \cdot (\ln x) $ y $v' = \sqrt[3]{\ x\ } = x^{\frac{1}{3}}, v = \dfrac{\ 3\ }{4} \cdot x^{ \frac{4}{3} } $

$$ \mint \sqrt[3]{\ x\ } \cdot (\ln x)^2 dx = \dfrac{\ 3\ }{4} \cdot x^{\frac{4}{3}} \cdot (\ln x)^2 - \mint 2 \cdot \dfrac{1}{\ x\ } \cdot (\ln x) \cdot \dfrac{\ 3\ }{4} \cdot x^{ \frac{4}{3} } dx = $$ $$ = \dfrac{\ 3\ }{4} \cdot x^{\frac{4}{3}} \cdot (\ln x)^2 - \dfrac{\ 3\ }{2} \cdot \mint \dfrac{1}{\ x\ } \cdot (\ln x) \cdot x^{\frac{4}{3}} dx = (*) $$

Ahora tenemos que calcular la integral $$ \mint \dfrac{1}{\ x\ } \cdot (\ln x) \cdot x^{\frac{4}{3}} dx = \mint x^{\frac{1}{3}} \cdot (\ln x) dx $$ Volvemos a aplicar la integración por partes $u_1 = \ln x, u_1' = \dfrac{\ 1\ }{x}$ y $v_1' = x^{\frac{1}{3}}, v_1 = \dfrac{\ 3\ }{4} \cdot x^{ \frac{4}{3} } $

$$ \mint x^{\frac{1}{3}} \cdot (\ln x) dx = \dfrac{\ 3\ }{4} \cdot x^{ \frac{4}{3} } \cdot \ln x - \dfrac{\ 3\ }{4} \cdot \mint \dfrac{\ 1\ }{x} \cdot x^{ \frac{4}{3} } dx = $$ $$ = \dfrac{\ 3\ }{4} \cdot x^{ \frac{4}{3} } \cdot \ln x - \dfrac{\ 3\ }{4} \cdot \mint x^{ \frac{1}{3} } dx = \dfrac{\ 3\ }{4} \cdot x^{ \frac{4}{3} } \cdot \ln x - \dfrac{\ 9\ }{\ 16\ } \cdot x^{ \frac{4}{3} } + C_1 $$ Ahora sustituimos en $(*)$ y nos queda: $$ (*) = \dfrac{\ 3\ }{4} \cdot x^{\frac{4}{3}} \cdot (\ln x)^2 - \dfrac{\ 3\ }{2} \cdot \left ( \dfrac{\ 3\ }{4} \cdot x^{ \frac{4}{3} } \cdot \ln x - \dfrac{\ 9\ }{\ 16\ } \cdot x^{ \frac{4}{3} } \right) + C = $$ $$ = \dfrac{\ 3\ }{4} \cdot x^{\frac{4}{3}} \cdot (\ln x)^2 - \dfrac{\ 3\ }{2} \cdot \dfrac{\ 3\ }{4} \cdot x^{ \frac{4}{3} } \cdot \ln x + \dfrac{\ 3\ }{2} \cdot \dfrac{\ 9\ }{\ 16\ } \cdot x^{ \frac{4}{3} } + C = $$ Sacamos factor común $\dfrac{\ 3\ }{4} \cdot x^{\frac{4}{3}}$ y nos queda: $$ = \dfrac{\ 3\ }{4} \cdot x^{\frac{4}{3}} \cdot \left [ (\ln x)^2 - \dfrac{\ 3\ }{2} \cdot \ln x + \dfrac{\ 9\ }{2} \right ] + C $$

Aplicamos integración por partes $ u = \arcsen x, u' = \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 - x^2\ } } $ y $v' = \dfrac{ 2x }{\ 2 \cdot \sqrt{\ 1 - x^2\ }\ }, v = - \sqrt{\ 1 - x^2\ } $ $$ \mint \dfrac{\ x \cdot \arcsen x\ }{\ \sqrt{\ 1 - x^2\ }\ } dx = - \sqrt{\ 1 - x^2\ } \cdot \arcsen x + \mint \dfrac{\ \sqrt{\ 1 - x^2\ } }{\ \sqrt{\ 1 - x^2\ } } dx = - \sqrt{\ 1 - x^2\ } \cdot \arcsen x + \mint dx = $$ $$ = - \sqrt{\ 1 - x^2\ } \cdot \arcsen x + x + C $$

Otras integrales

Estamos ante la primitiva de una fracción algebraica, lo $\odn{1}{o}$ que tenemos que hacer es comprobar si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador:
- Si es así, hacemos la división y nos saldrá el cociente y una fracción algebraica con el grado del numerador es menor que el grado del denominador, entonces lo que hacemos es descomponer dicha fracción es fracciones más simples, fracciones parciales;
- Si no es así, si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, entonces lo que hacemos es descomponer dicha fracción es fracciones más simples, fracciones parciales;
$$ \mint \dfrac{\ x^3 + x^2 + 1\ }{ x^3 - x } dx $$

En este caso, el grado del numerador es igual, podemos hacer la división o ver que: $$ \dfrac{\ x^3 + x^2 + 1\ }{ x^3 - x } = \dfrac{\ x^3 -x + x^2 + x + 1\ }{ x^3 - x } = 1 + \dfrac{\ x^2 + x + 1\ }{ x^3 - x } $$ y ahora descomponemos $ \dfrac{\ x^2 + x + 1\ }{ x^3 - x }$ en fracciones más simples:

$\odn{1}{o}$ factorizamos el denominador $x^3 - x = x(x - 1)(x + 1)$ y así tendremos que:

$$ \dfrac{\ x^2 + x + 1\ }{ x^3 - x } = \dfrac{\ A\ }{ x } + \dfrac{\ B\ }{\ x - 1 } + \dfrac{\ C\ }{\ x + 1 \ } $$ Es claro que:

$$ \dfrac{\ x^2 + x + 1\ }{ x^3 - x } = \dfrac{\ A(x^2 - 1) + B(x^2 + x) + C(x^2 - x)\ }{ x^3 - x } \Leftrightarrow x^2 + x + 1 = A(x^2 - 1) + B(x^2 + 1) + C(x^2 - x) $$

Si $x = 0 \Rightarrow -A = 1 \Rightarrow A = -1 $

Si $x = 1 \Rightarrow 2B = 3 \Rightarrow B = \dfrac{\ 3\ }{2}$

Si $x = -1 \Rightarrow 2C = 1 \Rightarrow C = \dfrac{\ 1\ }{2}$

Al final tenemos que:
$$ \dfrac{\ x^2 + x + 1\ }{ x^3 - x } = \dfrac{\ -1\ }{ x } + \dfrac{\ 3\ }{\ 2(x - 1) } + \dfrac{\ 1\ }{\ 2(x + 1) \ } $$ Luego la primitiva queda de la siguiente manera:
$$ \mint \dfrac{\ x^3 + x^2 + 1\ }{ x^3 - x } dx = \mint dx + \mint \dfrac{\ -1\ }{ x }dx + \mint \dfrac{\ 3\ }{\ 2(x - 1) } dx + \mint \dfrac{\ 1\ }{\ 2(x + 1) \ }dx = $$ $$ = x - \ln x + \dfrac{3}{2} \cdot \ln (x -1) + \dfrac{1}{2} \cdot \ln (x + 1) + C $$

Tenemos la primitiva del producto de dos funciones, utilizaremos el método de «integración por partes»: $$ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \Rightarrow \mint (uv)' = \mint u' \cdot v + \mint u \cdot v' $$ $$ \mint u \cdot v' = u \cdot v - \mint u' \cdot v $$

Lo importante es saber cuales son las candidatas a funciones $u$, para ello usaremos la regla $ALPES$:

$\bullet$ A: funciones arco (arco seno, arco coseno, arco tangente, arco secante, arco cosecante, arco cotangente)
$\bullet$ L: Logaritmos
$\bullet$ P: Potencias (de exponente numérico)
$\bullet$ E: Exponenciales
$\bullet$ S: Seno y coseno

$$ \mint x e^x dx $$

En este caso, $v' = e^x$ , $u = x$, luego $v = e^x$ y $u' = 1$. ASí nos queda:

$$ \mint x e^x dx = xe^x - \mint e^x dx = xe^x - e^x + C $$

Cuando tenemos una fracción y vemos que el numerador es la derivada del denominador, luego la integral es inmediata:

$$ \mint \dfrac{\sen x}{\ 1 - \cos x\ } dx = \ln (1 - \cos x) + C $$

Tenemos una fracción algebraica, donde el grado del numerador es cero y el grado del denominador es 2 sin raíces reales; utilizaremos la integral de la función arcotangente:
$$ \mint \dfrac{a}{1 + (ax + b)^2} = \arctg(ax+b) + C $$
$$ \dfrac{1}{\ 5 + 4x + x^2\ } = \dfrac{1}{\ 1 + 4 + 4x + x^2\ } = \dfrac{1}{\ 1 + (x + 2)^2\ } $$
$$ \mint \dfrac{1}{\ 5 + 4x + x^2\ } dx = \mint \dfrac{1}{\ 1 + (x + 2)^2\ } dx = \arctg(2 + x) + C $$

Tenemos una fracción algebraica, donde el grado del numerador es cero y el grado del denominador es 2 sin raíces reales; utilizaremos la integral de la función arcotangente:
$$ \mint x^3 \cdot e^{x^2} $$

Tenemos un monomio de grado por un coseno de $x$, vamos a utilizar la integración por partes:
$$ \mint x^2 \cos x $$
En este caso, $v' = \cos x$ , $u = x^2$, luego $v = \sen x$ y $u' = 2x$. ASí nos queda:

$$ \mint x^2 \cos x dx = x^2 \cdot \cos x - \mint 2x \sen xdx $$ y ahora volvemos a aplicar la integración por partes a la integral $ \mint x \cdot \sen x dx $

$$ \mint \dfrac{\ x - 5\ }{\ x^2 + 6x + 13\ } dx $$

$$ \mint \dfrac{1}{\ x \sqrt{\ 1 - \ln^2 x\ }\ } dx $$

$$ \mint \dfrac{\ \sen x + \cos x\ }{\ \sqrt[4]{\ \sen x - \cos x\ }\ } dx $$

$$ \mint \dfrac{\ 8 e^{2x}\ }{\ e^{2x} - 3e^x + 2\ } dx $$

$$ \mint \sen^2 x \cdot \sec^4 x dx $$

$$ \mint \dfrac{\ \sqrt{\ \arctg x\ }}{\ 1 + x^2\ } dx $$

2. Calcular el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones $f(x)=x^2$ y $g(x)=|x|$.

3. Determine el área del recinto limitado por el eje $O X$, las rectas $x=0$ y $x=\pi, y$ la gráfica de la función $f(x)=x^2 \cos x$. Nota: Puedes utilizar la resolución del ejercicio 1 .

4. Las gráficas de $f(x)=x^2$ y $g(x)=c x^3$ siendo $c>0$, se cortan en los puntos $(0,0) y\left(\frac{1}{c}, \frac{1}{c^2}\right)$. Determinar c de manera que la región limitada entre esas gráficas y sobre el intervalo $\left [0, \dfrac{1}{c} \right]$ tenga área $2 / 3 .$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com