Cálculo de primitivas: Ejercicios con solución.

Colección de 50 primitivas resueltas.

Si $\mathit{y}=\mathit{f}(\mathit{x})$ es una función definida en un intervalo $[a,b]$, una primitiva de $f(x)$ en ese intervalo es una función $\mathit{F}$ derivable y tal que ${\mathit{F}}^{\prime }(\mathit{x})=\mathit{f}(\mathit{x})$ en todo el intervalo.

Una consecuencia inmediata de esta definición es que si $\mathit{F}(\mathit{x})$ es una primitiva de $\mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}$ en un intervalo $[a,b]$, también lo es la función $F(x)+\mathit{C}$, siendo $C$ cualquier número real, $C\in \mathbb{R}$.

Propiedades de la integración indefinida:

• ${\displaystyle \int kdx=k\cdot x+C}$ Siendo $k$ una constante $
• ${\displaystyle \int dx=x+C}$
• ${\displaystyle \int (f(x)\pm g(x))dx={\displaystyle \int f(x)dx\pm \int g(x)dx}}$
• ${\displaystyle \int K\cdot f(x)dx=K\cdot {\displaystyle \int f(x)dx}}$

Todas estas se pueden resumir en una: $${\displaystyle \int (a\cdot f(x)\pm b\cdot g(x))dx=a\cdot {\displaystyle \int f(x)dx\pm b\cdot \int g(x)dx}}$$

Un buen ejercicio es además comprobar que la derivada de la primitiva calculada coincide con la primitiva de la función a calcular.

Integrales inmediatas

Separamos la integral en resta de dos integrales: $${\displaystyle \int ({\displaystyle \frac{1}{x^2}}-{\displaystyle \frac{1}{x+1}})dx={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx-{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x+1}}dx={\displaystyle \frac{-1}{x}}-\ln |x+1|+C}}}$$

Ponemos las $x$ como potencias de índice racional y nos queda más sencillo, aplicamos ${\displaystyle \int x^{n}dx={\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}}+C,\mathrm{\forall }n\ne -1}$ : $${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{x^4}}dx={\displaystyle \int x^{\frac{-7}{2}}dx={\displaystyle \frac{-2}{5}}\cdot x^{\frac{-5}{2}}+C}}$$

Buscamos el $\mathrm{arcsen}u(x)$: $${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}}dx=\mathrm{arcsen}(2x)+C}$$

Buscamos el $\mathrm{arcsen}u(x)$: $${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}}dx={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{2\cdot \sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}^2}}}dx={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}^2}}}dx=\mathrm{arcsen}\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)+C}}}$$

Vamos a ponerla de la siguiente forma ${\displaystyle \int a^{x}dx={\displaystyle \frac{a^x}{\ln a}}+C,a>0}$ : $${\displaystyle \int 2^{2x}dx={\displaystyle \int 4^{x}dx={\displaystyle \frac{4^x}{\ln 4}}+C}}$$

Vamos a separar esta integral en suma de dos integrales: $${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1+2x}{1+x^2}}dx={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}dx+{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x}{1+x^2}}dx=\mathrm{arctg}x+\ln (1+x^2)+C}}}$$

Se ve fácilmente que el númerador es la derivada del numerador y aplicamos ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{u^{\prime }}{u}}dx=\ln u+C}$: $${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{6x^2-4}{x^3-2x}}dx=2\cdot {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{3x^2-2}{x^3-2x}}dx=2\cdot \ln |x^3-2x|+C}}$$

Vamos a sustituir $\mathrm{tg}x$ por ${\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{\cos x}}$ y el numerador es la derivada del denominador: $${\displaystyle \int \mathrm{tg}xdx={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{\cos x}}dx=-{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{-\mathrm{sen}x}{\cos x}}dx=-\ln |\cos x|+C}}}$$

Vamos a multiplicar y dividir por -2, para usar ${\displaystyle \int u^{\prime }\cdot e^{u}dx=e^u+C}$: $${\displaystyle \int x\cdot e^{-x^2}dx={\displaystyle \frac{-1}{2}}{\displaystyle \int (-2x)e^{-x^2}\cdot dx={\displaystyle \frac{-e^{-x^2}}{2}}+C}}$$

Vamos a sustituir $\mathrm{cotg}x$ por ${\displaystyle \frac{\cos x}{\mathrm{sen}x}}$ y el numerador es la derivada del denominador: $${\displaystyle \int \mathrm{cotg}xdx={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\cos x}{\mathrm{sen}x}}dx={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\cos x}{\mathrm{sen}x}}dx=\ln \left|\mathrm{sen}x\right|+C}}}$$

Vamos a separar la integral de una resta en resta de integrales: $${\displaystyle \int (e^x-e^{-x})dx={\displaystyle \int e^{x}dx-{\displaystyle \int e^{-x}dx={\displaystyle \int e^{x}dx+{\displaystyle \int (-e^{-x})dx=e^x+e^{-x}+C}}}}}$$

Vemos que ${\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{sen}}^{2}3x}}={\displaystyle \frac{{\cos }^{2}3x+{\mathrm{sen}}^{2}3x}{{\mathrm{sen}}^{2}3x}}=1+{\mathrm{tg}}^{2}3x$: $${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2}{{\mathrm{sen}}^{2}3x}}dx=2\cdot {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{sen}}^{2}3x}}dx=2\cdot {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{{\cos }^{2}3x+{\mathrm{sen}}^{2}3x}{{\mathrm{sen}}^{2}3x}}dx=2\cdot {\displaystyle \int 1+{\mathrm{tg}}^{2}3xdx={\displaystyle \frac{-2}{3}}\cdot \mathrm{cotg}3x+C}}}}$$

Vemos que el numerador es la derivada del denominador: $${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{2+\cos x}}dx=-{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{-\mathrm{sen}x}{2+\cos x}}dx=-\ln (2+\cos x)+C}}$$

Vemos que es la potencia de una suma y la derivada de la suma es 7: $${\displaystyle \int (7x+1{)}^{3}dx={\displaystyle \frac{1}{4\cdot 7}}\cdot (7x+1{)}^4+C}$$

Vamos a integrarlo como una potencia de exponente negativo y la derivada de la suma es 2: $${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{(2x+1{)}^3}}dx={\displaystyle \int (2x+1{)}^{-3}dx={\displaystyle \frac{-1}{2}}\cdot {\displaystyle \int 2\cdot (2x+1{)}^{-3}dx={\displaystyle \frac{-1}{4}}\cdot (2x+1{)}^{-2}+C}}}$$

Vamos a integrarlo como una potencia de exponente negativo y la derivada de la suma es $2x+1$: $${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x+1}{{(x^2+x+1)}^2}}dx={\displaystyle \int (2x+1)\cdot {(x^2+x+1)}^{-2}dx=-(x^2+x+1{)}^{-1}+C={\displaystyle \frac{-1}{x^2+x+1}}+C}}$$

Vamos a integrarlo como una potencia de $x$ manejando las propiedades de las potencias: $${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\sqrt[3]{x}}{x}}dx={\displaystyle \int x^{\frac{-2}{3}}dx=3\cdot x^{\frac{1}{3}}+C}}$$

Vamos a simplificar y veamos lo que nos queda: $${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\sqrt{x+1}}{x+1}}dx={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x+1}}}dx=2\cdot {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{2\cdot \sqrt{x+1}}}dx=2\cdot \sqrt{x+1}+C}}}$$

Vamos a integrarlo como una potencia de $1+x^2$ manejando las propiedades de las potencias: $${\displaystyle \int x\cdot \sqrt{1+x^2}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \int 2x\cdot (1+x^2{)}^{\frac{1}{2}}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot (1+x^2{)}^{\frac{3}{2}}+C={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot (1+x^2{)}^{\frac{3}{2}}+C}}$$

Vamos a integrarlo como una potencia de $\cos x$: $${\displaystyle \int {\cos }^{2}x\cdot \mathrm{sen}xdx={\displaystyle \frac{-1}{3}}\cdot {\cos }^{3}x+C}$$

Integración por partes

Tenemos la primitiva del producto de dos funciones, utilizaremos el método de «integración por partes»: $$(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }\Rightarrow {\displaystyle \int (uv{)}^{\prime }={\displaystyle \int u^{\prime }\cdot v+{\displaystyle \int u\cdot v^{\prime }}}}$$ $${\displaystyle \int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-{\displaystyle \int u^{\prime }\cdot v}}$$

Lo importante es saber cuales son las candidatas a funciones $u$, para ello usaremos la regla $ALPES$:

$\bullet$ A: funciones arco (arco seno, arco coseno, arco tangente, arco secante, arco cosecante, arco cotangente)
$\bullet$ L: Logaritmos
$\bullet$ P: Potencias (de exponente numérico)
$\bullet$ E: Exponenciales
$\bullet$ S: Seno y coseno

Aplicamos integración por partes $u=x,u^{\prime }=1$ y $v^{\prime }=\cos x,v=\mathrm{sen}x$ $${\displaystyle \int x\cdot \cos xdx=x\cdot \mathrm{sen}x-{\displaystyle \int \mathrm{sen}xdx=x\cdot \mathrm{sen}x+{\displaystyle \int (-\mathrm{sen}x)dx=x\cdot \mathrm{sen}x+\cos x+C}}}$$

Aplicamos integración por partes $u=x,u^{\prime }=1$ y $v^{\prime }=\mathrm{sen}x,v=-\cos x$ $${\displaystyle \int x\cdot \mathrm{sen}xdx=-x\cdot \cos x+{\displaystyle \int \cos xdx=-x\cdot \cos x+\mathrm{sen}x+C}}$$

Aplicamos integración por partes $u=\mathrm{arctg}x,u^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$ y $v^{\prime }=1,v=x$ $${\displaystyle \int \mathrm{arctg}xdx=x\cdot \mathrm{arctg}x-{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x}{1+x^2}}dx=x\cdot \mathrm{arctg}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x}{1+x^2}}dx=x\cdot \mathrm{arctg}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (1+x^2)+C}}}$$

Aplicamos integración por partes $u=x,u^{\prime }=1$ y $v^{\prime }=e^x,v=e^x$ $${\displaystyle \int \text{x}\cdot e^{x}dx=x\cdot e^x-{\displaystyle \int e^{x}dx=x\cdot e^x-e^x+C}}$$

Aplicamos integración por partes $u=x^2,u^{\prime }=2x$ y $v^{\prime }=e^x,v=e^x$ $${\displaystyle \int x^2\cdot e^{x}dx=x^2\cdot e^x-{\displaystyle \int 2\cdot x\cdot e^{x}dx=x^2\cdot e^x-2{\displaystyle \int x\cdot e^{x}dx=(\ast )}}}$$

La integral ${\displaystyle \int x\cdot e^x}$ la hemos calculado en el ejercicio anterior y el resultado es ${\displaystyle \int x\cdot e^x=x\cdot e^x-e^x+C_1}$ Sustituyendo en (*) tenemos: c $$(\ast )=x^2\cdot e^x-2{\displaystyle \int x\cdot e^{x}dx=x^2\cdot e^x-2\cdot (x\cdot e^x-e^x+C_1)+C_2=x^2\cdot e^x-2\cdot x\cdot e^x+2\cdot e^x+C}$$

Aplicamos integración por partes $u=x^2,u^{\prime }=2x$ y $v^{\prime }=\cos x,v=\mathrm{sen}x$ $${\displaystyle \int x^2\cdot \cos xdx=x^2\cdot \mathrm{sen}x-{\displaystyle \int 2\cdot x\cdot \mathrm{sen}xdx=x^2\cdot \mathrm{sen}x-2{\displaystyle \int x\cdot \mathrm{sen}xdx=(\ast )}}}$$

La integral ${\displaystyle \int x\cdot \mathrm{sen}x}$ la hemos calculado anteriormente y el resultado es ${\displaystyle \int x\cdot \mathrm{sen}x=-x\cdot \cos x+\mathrm{sen}x+C_1}$ Sustituyendo en (*) tenemos: $$(\ast )=x^2\cdot \mathrm{sen}x-2\cdot (-x\cdot \cos x+\mathrm{sen}x+C_1)+C_2=x^2\cdot \mathrm{sen}x+2\cdot x\cdot \cos x-2\cdot \mathrm{sen}x+C$$

Aplicamos integración por partes $u=x^2,u^{\prime }=2x$ y $v^{\prime }=\mathrm{sen}x,v=-\cos x$ $${\displaystyle \int x^2\cdot \mathrm{sen}xdx=-x^2\cdot \cos x+{\displaystyle \int 2\cdot x\cdot \cos xdx=-x^2\cdot \mathrm{sen}x+2{\displaystyle \int x\cdot \cos xdx=(\ast )}}}$$

La integral ${\displaystyle \int x\cdot \cos x}$ la hemos calculado anteriormente y el resultado es ${\displaystyle \int x\cdot \cos x=x\cdot \mathrm{sen}x+\cos x+C_1}$ Sustituyendo en (*) tenemos: $$(\ast )=-x^2\cdot \cos x+2\cdot (x\cdot \mathrm{sen}x+\cos x+C_1)+C_2=-x^2\cdot \mathrm{sen}x+2\cdot x\cdot \mathrm{sen}x+2\cdot \cos x+C$$

Aplicamos integración por partes $u=\mathrm{arcsen}x,u^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$ y $v^{\prime }=1,v=x$ $${\displaystyle \int \mathrm{arcsen}xdx=x\cdot \mathrm{arcsen}x-{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}dx=x\cdot \mathrm{arcsen}x-{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x}{2\cdot \sqrt{1-x^2}}}dx=x\cdot \mathrm{arcsen}x+\sqrt{1-x^2}+C}}}$$

Aplicamos integración por partes $u=e^x,u^{\prime }=e^x$ y $v^{\prime }=\cos x,v=\mathrm{sen}x$ $${\displaystyle \int e^x\cdot \cos xdx=e^x\cdot \mathrm{sen}x-{\displaystyle \int e^x\cdot \mathrm{sen}xdx=(\ast )}}$$

Y tenemos que volver a aplicar integración por partes a ${\displaystyle \int e^x\cdot \mathrm{sen}xdx}$ con $u_1=e^x,u_1^{\prime }=e^x$ y $v_1^{\prime }=\mathrm{sen}x,v_1=-\cos x$: $${\displaystyle \int e^x\cdot \mathrm{sen}xdx=-e^x\cdot \cos x+{\displaystyle \int e^x\cos xdx+C_1}}$$ Ahora sustituimos esta integral en $(\ast )$: $${\displaystyle \int e^x\cdot \cos xdx=e^x\cdot \mathrm{sen}x-{\displaystyle \int e^x\cdot \mathrm{sen}xdx=e^x\cdot \mathrm{sen}x-(-e^x\cdot \cos x+{\displaystyle \int e^x\cos xdx+C_1})dx=}}$$ $$=e^x\cdot \mathrm{sen}x+e^x\cdot \cos x-{\displaystyle \int e^x\cos xdx+C_1\Rightarrow }$$ $$\Rightarrow {\displaystyle \int e^x\cdot \cos xdx=e^x\cdot \mathrm{sen}x+e^x\cdot \cos x-{\displaystyle \int e^x\cos xdx+C_1\Rightarrow }}$$ Despejamos ${\displaystyle \int e^x\cdot \cos xdx}$ y tenemos que: $$\Rightarrow 2\cdot {\displaystyle \int e^x\cdot \cos xdx=e^x\cdot \mathrm{sen}x+e^x\cdot \cos x+C_1\Rightarrow }$$ $$\Rightarrow {\displaystyle \int e^x\cdot \cos xdx={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (e^x\cdot \mathrm{sen}x+e^x\cdot \cos x+C_1)\Rightarrow }$$ $$\Rightarrow {\displaystyle \int e^x\cdot \cos xdx={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (e^x\cdot \mathrm{sen}x+e^x\cdot \cos x)+C}$$

Aplicamos integración por partes $u=\ln x,u^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{x}}$ y $v^{\prime }=1,v=x$ $${\displaystyle \int \ln xdx=x\cdot \ln x-{\displaystyle \int dx=x\cdot \ln x-x+C}}$$

Aplicamos integración por partes $u=x,u^{\prime }=1$ y $v^{\prime }=e^{2\cdot x},v={\displaystyle \frac{e^{2\cdot x}}{2}}$ $${\displaystyle \int x\cdot e^{2\cdot x}dx={\displaystyle \frac{x\cdot e^{2\cdot x}}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \int e^{2\cdot x}dx={\displaystyle \frac{x\cdot e^{2\cdot x}}{2}}-{\displaystyle \frac{e^{2\cdot x}}{4}}+C}}$$

Aplicamos integración por partes $u=\mathrm{sen}x,u^{\prime }=\cos x$ y $v^{\prime }=\mathrm{sen}x,v=-\cos x$ $${\displaystyle \int {\mathrm{sen}}^{2}xdx=-\mathrm{sen}x\cdot \cos x+{\displaystyle \int {\cos }^{2}xdx=-\mathrm{sen}x\cdot \cos x+{\displaystyle \int (1-{\mathrm{sen}}^{2}x)dx=-\mathrm{sen}x\cdot \cos x+{\displaystyle \int dx-{\displaystyle \int {\mathrm{sen}}^{2}xdx}}}}}$$

Juntamos las dos integrales de ${\mathrm{sen}}^{2}x$ y obtendremos la integral buscada: $${\displaystyle \int {\mathrm{sen}}^{2}xdx=-\mathrm{sen}x\cdot \cos x+{\displaystyle \int dx-{\displaystyle \int {\mathrm{sen}}^{2}xdx\Rightarrow 2\cdot {\displaystyle \int {\mathrm{sen}}^{2}xdx=-\mathrm{sen}x\cdot \cos x+{\displaystyle \int dx\Rightarrow }}}}}$$ $$\Rightarrow {\displaystyle \int {\mathrm{sen}}^{2}xdx=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(\mathrm{sen}x\cdot \cos x+{\displaystyle \int dx})\Rightarrow }$$ $$\Rightarrow {\displaystyle \int {\mathrm{sen}}^{2}xdx=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(\mathrm{sen}x\cdot \cos x+x)+C}$$

Aplicamos integración por partes $u=x,u^{\prime }=1$ y $v^{\prime }={\displaystyle \frac{x}{{(x^2+1)}^2}},v={\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$ $${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^2}{{(x^2+1)}^2}}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \int x{\displaystyle \frac{2x}{{(x^2+1)}^2}}dx={\displaystyle \frac{x}{2\cdot (x^2+1)}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}dx={\displaystyle \frac{x}{2\cdot (x^2+1)}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{arctg}x+C}}}$$

Aplicamos integración por partes $u={\mathrm{sen}}^{2}x,u^{\prime }=2\cdot \mathrm{sen}x\cdot \cos x$ y $v^{\prime }=\mathrm{sen}x,v=-\cos x$ $${\displaystyle \int {\mathrm{sen}}^{3}xdx=-\cos x\cdot {\mathrm{sen}}^{2}x-{\displaystyle \int 2\cdot \mathrm{sen}x\cdot \cos x\cdot (-\cos x)dx=-\cos x\cdot {\mathrm{sen}}^{2}x-2\cdot {\displaystyle \int (-\mathrm{sen}x)\cdot {\cos }^{2}xdx=}}}$$ $$=-\cos x\cdot {\mathrm{sen}}^{2}x-{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\cos }^{3}x+C$$

Aplicamos integración por partes $u=x,u^{\prime }=1$ y $v^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}={\displaystyle \frac{{\cos }^{2}x+{\mathrm{sen}}^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=1+{\mathrm{tg}}^{2}x,v=\mathrm{tg}x$ $${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x}{{\cos }^{2}x}}dx=x\cdot \mathrm{tg}x-{\displaystyle \int \mathrm{tg}xdx=x\cdot \mathrm{tg}x-{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{\cos x}}=x\cdot \mathrm{tg}x+{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{-\mathrm{sen}x}{\cos x}}=x\cdot \mathrm{tg}x+\ln |\cos x|+C}}}}$$

Aplicamos integración por partes $u=\ln (1+x^2),u^{\prime }={\displaystyle \frac{2x}{1+x^2}}$ y $v^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{x^2}},v={\displaystyle \frac{-1}{x}}$ $${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\ln (1+x^2)}{x^2}}dx=-{\displaystyle \frac{1}{x}}\cdot \ln (1+x^2)-{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x}{1+x^2}}\cdot \left({\displaystyle \frac{-1}{x}}\right)dx=-{\displaystyle \frac{\ln (1+x^2)}{x}}+2\cdot {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}dx=}}}$$ $$=-{\displaystyle \frac{\ln (1+x^2)}{x}}+2\cdot \mathrm{arctg}x+C$$

Aplicamos integración por partes $u=(\ln x{)}^2,u^{\prime }=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}\cdot (\ln x)$ y $v^{\prime }=\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}},v={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{4}{3}}$

$${\displaystyle \int \sqrt[3]{x}\cdot (\ln x{)}^{2}dx={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{4}{3}}\cdot (\ln x{)}^2-{\displaystyle \int 2\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}\cdot (\ln x)\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{4}{3}}dx=}}$$ $$={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{4}{3}}\cdot (\ln x{)}^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x}}\cdot (\ln x)\cdot x^{\frac{4}{3}}dx=(\ast )}$$

Ahora tenemos que calcular la integral $${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x}}\cdot (\ln x)\cdot x^{\frac{4}{3}}dx={\displaystyle \int x^{\frac{1}{3}}\cdot (\ln x)dx}}$$ Volvemos a aplicar la integración por partes $u_1=\ln x,u_1^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{x}}$ y $v_1^{\prime }=x^{\frac{1}{3}},v_1={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{4}{3}}$

$${\displaystyle \int x^{\frac{1}{3}}\cdot (\ln x)dx={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{4}{3}}\cdot \ln x-{\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x}}\cdot x^{\frac{4}{3}}dx=}}$$ $$={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{4}{3}}\cdot \ln x-{\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \int x^{\frac{1}{3}}dx={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{4}{3}}\cdot \ln x-{\displaystyle \frac{9}{16}}\cdot x^{\frac{4}{3}}+C_1}$$ Ahora sustituimos en $(\ast )$ y nos queda: $$(\ast )={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{4}{3}}\cdot (\ln x{)}^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot ({\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{4}{3}}\cdot \ln x-{\displaystyle \frac{9}{16}}\cdot x^{\frac{4}{3}})+C=$$ $$={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{4}{3}}\cdot (\ln x{)}^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{4}{3}}\cdot \ln x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{9}{16}}\cdot x^{\frac{4}{3}}+C=$$ Sacamos factor común ${\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{4}{3}}$ y nos queda: $$={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{4}{3}}\cdot [(\ln x{)}^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot \ln x+{\displaystyle \frac{9}{2}}]+C$$

Aplicamos integración por partes $u=\mathrm{arcsen}x,u^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$ y $v^{\prime }={\displaystyle \frac{2x}{2\cdot \sqrt{1-x^2}}},v=-\sqrt{1-x^2}$ $${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x\cdot \mathrm{arcsen}x}{\sqrt{1-x^2}}}dx=-\sqrt{1-x^2}\cdot \mathrm{arcsen}x+{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}}dx=-\sqrt{1-x^2}\cdot \mathrm{arcsen}x+{\displaystyle \int dx=}}}$$ $$=-\sqrt{1-x^2}\cdot \mathrm{arcsen}x+x+C$$

Otras integrales

Estamos ante la primitiva de una fracción algebraica, lo $1^{\underset{―}{o}}$ que tenemos que hacer es comprobar si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador:
- Si es así, hacemos la división y nos saldrá el cociente y una fracción algebraica con el grado del numerador es menor que el grado del denominador, entonces lo que hacemos es descomponer dicha fracción es fracciones más simples, fracciones parciales;
- Si no es así, si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, entonces lo que hacemos es descomponer dicha fracción es fracciones más simples, fracciones parciales;
$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^3+x^2+1}{x^3-x}}dx}$$

En este caso, el grado del numerador es igual, podemos hacer la división o ver que: $${\displaystyle \frac{x^3+x^2+1}{x^3-x}}={\displaystyle \frac{x^3-x+x^2+x+1}{x^3-x}}=1+{\displaystyle \frac{x^2+x+1}{x^3-x}}$$ y ahora descomponemos ${\displaystyle \frac{x^2+x+1}{x^3-x}}$ en fracciones más simples:

$1^{\underset{―}{o}}$ factorizamos el denominador $x^3-x=x(x-1)(x+1)$ y así tendremos que:

$${\displaystyle \frac{x^2+x+1}{x^3-x}}={\displaystyle \frac{A}{x}}+{\displaystyle \frac{B}{x-1}}+{\displaystyle \frac{C}{x+1}}$$ Es claro que:

$${\displaystyle \frac{x^2+x+1}{x^3-x}}={\displaystyle \frac{A(x^2-1)+B(x^2+x)+C(x^2-x)}{x^3-x}}\iff x^2+x+1=A(x^2-1)+B(x^2+1)+C(x^2-x)$$

Si $x=0\Rightarrow -A=1\Rightarrow A=-1$

Si $x=1\Rightarrow 2B=3\Rightarrow B={\displaystyle \frac{3}{2}}$

Si $x=-1\Rightarrow 2C=1\Rightarrow C={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Al final tenemos que:
$${\displaystyle \frac{x^2+x+1}{x^3-x}}={\displaystyle \frac{-1}{x}}+{\displaystyle \frac{3}{2(x-1)}}+{\displaystyle \frac{1}{2(x+1)}}$$ Luego la primitiva queda de la siguiente manera:
$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x^3+x^2+1}{x^3-x}}dx={\displaystyle \int dx+{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{-1}{x}}dx+{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{3}{2(x-1)}}dx+{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{2(x+1)}}dx=}}}}}$$ $$=x-\ln x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot \ln (x-1)+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \ln (x+1)+C$$

Tenemos la primitiva del producto de dos funciones, utilizaremos el método de «integración por partes»: $$(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }\Rightarrow {\displaystyle \int (uv{)}^{\prime }={\displaystyle \int u^{\prime }\cdot v+{\displaystyle \int u\cdot v^{\prime }}}}$$ $${\displaystyle \int u\cdot v^{\prime }=u\cdot v-{\displaystyle \int u^{\prime }\cdot v}}$$

Lo importante es saber cuales son las candidatas a funciones $u$, para ello usaremos la regla $ALPES$:

$\bullet$ A: funciones arco (arco seno, arco coseno, arco tangente, arco secante, arco cosecante, arco cotangente)
$\bullet$ L: Logaritmos
$\bullet$ P: Potencias (de exponente numérico)
$\bullet$ E: Exponenciales
$\bullet$ S: Seno y coseno

$${\displaystyle \int x{e}^{x}dx}$$

En este caso, $v^{\prime }=e^x$ , $u=x$, luego $v=e^x$ y $u^{\prime }=1$. ASí nos queda:

$${\displaystyle \int x{e}^{x}dx=x{e}^x-{\displaystyle \int e^{x}dx=x{e}^x-e^x+C}}$$

Cuando tenemos una fracción y vemos que el numerador es la derivada del denominador, luego la integral es inmediata:

$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{1-\cos x}}dx=\ln (1-\cos x)+C}$$

Tenemos una fracción algebraica, donde el grado del numerador es cero y el grado del denominador es 2 sin raíces reales; utilizaremos la integral de la función arcotangente:
$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{a}{1+(ax+b{)}^2}}=\mathrm{arctg}(ax+b)+C}$$
$${\displaystyle \frac{1}{5+4x+x^2}}={\displaystyle \frac{1}{1+4+4x+x^2}}={\displaystyle \frac{1}{1+(x+2{)}^2}}$$
$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{5+4x+x^2}}dx={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{1+(x+2{)}^2}}dx=\mathrm{arctg}(2+x)+C}}$$

Tenemos una fracción algebraica, donde el grado del numerador es cero y el grado del denominador es 2 sin raíces reales; utilizaremos la integral de la función arcotangente:
$${\displaystyle \int x^3\cdot e^{x^2}}$$

Tenemos un monomio de grado por un coseno de $x$, vamos a utilizar la integración por partes:
$${\displaystyle \int x^2\cos x}$$
En este caso, $v^{\prime }=\cos x$ , $u=x^2$, luego $v=\mathrm{sen}x$ y $u^{\prime }=2x$. ASí nos queda:

$${\displaystyle \int x^2\cos xdx=x^2\cdot \cos x-{\displaystyle \int 2x\mathrm{sen}xdx}}$$ y ahora volvemos a aplicar la integración por partes a la integral ${\displaystyle \int x\cdot \mathrm{sen}xdx}$

$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x-5}{x^2+6x+13}}dx}$$

$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x\sqrt{1-{\ln }^{2}x}}}dx}$$

$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x+\cos x}{\sqrt[4]{\mathrm{sen}x-\cos x}}}dx}$$

$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{8e^{2x}}{e^{2x}-3e^x+2}}dx}$$

$${\displaystyle \int {\mathrm{sen}}^{2}x\cdot {\sec }^{4}xdx}$$

$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{arctg}x}}{1+x^2}}dx}$$

2. Calcular el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones $f(x)=x^2$ y $g(x)=|x|$.

3. Determine el área del recinto limitado por el eje $OX$, las rectas $x=0$ y $x=\pi ,y$ la gráfica de la función $f(x)=x^2\cos x$. Nota: Puedes utilizar la resolución del ejercicio 1 .

4. Las gráficas de $f(x)=x^2$ y $g(x)=c{x}^3$ siendo $c>0$, se cortan en los puntos $(0,0)y(\frac{1}{c},\frac{1}{c^2})$. Determinar c de manera que la región limitada entre esas gráficas y sobre el intervalo $[0,{\displaystyle \frac{1}{c}}]$ tenga área $2/3.$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com