Si la parábola va hacia arriba el vértice es un mínimo.
Si la parábola va hacia abajo el vértice es un máximo.
$3^{\underline{\circ}}$ Corte con el eje $OY$, «siempre» va a cortar a este eje $Y$, el eje de ordenadas, lo hará cuando $x =
0$ y así el punto de corte será el punto de coordenadas $(0, c)$.
$4^{\underline{\circ}}$ Corte con el eje $OX$, cortará a este eje $X$ ,
el eje de abscisas, cuando la $y = 0$, para saber en que puntos corta la
parábola a dicho tenemos que resolver la siguiente ecuación:
$$ 0 = ax^2 + bx + c$$
Al eje $X$ «NO siempre» le corta. Ya sabemos que resolviendo este ecuación tenemos tres
casos:
No hay solución $\rightarrow$ la parábola no corta al eje $X$;
Hay una solución (doble) $x_1 \rightarrow$ la parábola corta al eje $X$ en
un único punto de coordenadas $(x_1, 0)$, es decir, el eje $X$ es tangente
a la parábola;
Hay dos soluciones distintas $x_1$ y $x_2$, la parábola corta al eje $X$
en dos puntos distintos de coordenadas respectivamente $(x_1, 0)$ y $(x_2,
0)$.
NOTA:
Si la parábola va hacia arriba y el vértice está por encima del eje $X$, es
claro que la parábola no cortará al eje $X$ (Caso 1).
Lo mismo si la parábola va hacia abajo y el vértice está por debajo del eje
X.
Parábolas hacia abajo:
$5^{\underline{\circ}}$ Eje de simetría: La recta $x = \mfrac{-b}{2a}$ es el eje de simetría, es una recta paralela al eje $Y$ que pasa por el vértice de la parábola. Si doblaramos el plano por dicha recta las dos ramas de la prábola coincidirían.
$6^{\underline{\circ}}$ Dibujar la gráfica con los puntos calculados. Si
hicieran falta más puntos se pueden calcular haciendo una tabla numérica.
Vamos a ver dos ejemplos:
El $1^{\underline{er}}$ ejemplo, la parábola $y = x^2 - 12x + 11 $. Vamos a
calcular los pasos anteriores:
$a = 1 > 0$ luego las ramas de la parábola van hacia arriba.
Calculamos el vértice, la componente $x$ del vértice es $
\dfrac{-b}{2a} = \dfrac{12}{2} = 6$ y la componente $y$ es $f(6) = 36 -
72 + 11 = -25$ luego el vértice tiene de coordenadas $V = (6, -25)$.
Como el vértice está por debajo del eje $X$ está claro que cortará a
dicho eje en dos puntos diferentes.
Corte eje $Y$, a este eje siempre le va a cortar y será cuando $x = 0$
así el punto de corte será el punto $(0, c) = (0, 11)$
Corte con eje $Y$ que será cuando $y = 0$, tenemos que resolver la
ecuación $x^2 - 12x + 11 = 0$. Podemos aplicar la fórmula de la ecuación
de segundo grado o vemos que la suma de los coeficientes es cero luego 1
es raíz y como el producto de las raíces es 11 entonces la otra raíz es
11. Luego los punto de corte son $(1, 0)$ y $(11, 0)$.
Vamos a dibujar la gráfica con los puntos calculados:
El $2^{\underline{\circ}}$ ejemplo, la parábola $y = -3x^2 + 5x -2 $.
Vamos a calcular los pasos anteriores:
$a = -3 < 0$ luego las ramas de la parábola van hacia abajo.
Calculamos el vértice, la componente $x$ del vértice es $
\dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-5}{-6} = \dfrac{5}{6}$ y la componente $y$ es
$f \left (\dfrac{5}{6} \right) = \dfrac{24 - 25}{-12} = \dfrac{1}{12}$
luego el vértice tiene de coordenadas $V = \left (\dfrac{5}{6},
\dfrac{1}{12} \right )$. Como el vértice está por encima del eje
$X$ está claro que cortará a dicho eje en dos puntos diferentes.
Corte eje $Y$, a este eje siempre le va a cortar y será cuando $x = 0$
así el punto de corte será el punto $(0, c) = (0, -2)$
Corte con eje $Y$ que será cuando $y = 0$, tenemos que resolver la
ecuación $-3x^2 + 5x - 2 = 0$ que es lo mismo que resolver $3x^2 - 5x +
2 = 0$, sacamos 3 factor común $x^2 - \dfrac{5x}{3} + \dfrac{2}{3} = 0$.
Podemos aplicar la fórmula de la ecuación de segundo grado o vemos que
la suma de los coeficientes es cero luego 1 es raíz y como el producto
de las raíces es $\dfrac{2}{3}$ entonces la otra raíz es
$\dfrac{2}{3}$. Luego los punto de corte son $(1, 0)$ y $\left
(\dfrac{2}{3}, 0 \right )$.
Vamos a dibujar la gráfica con los puntos calculados:
Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera siempre lo
llevaremos al $1^{\underline{er}}$ cuadrante, realmente
al $1^{\underline{er}}$ octante usando ángulos complementarios.
Veamos de qué forma, os dejo un
applet de GeoGebra
donde se puede ver:
Razones trigonométricas de ángulos del $1^{\underline{er}}$ cuadrante [0º, 90º] = $ \left [0, \dfrac{\pi}{2} \right ] $
Para calcular las razones trigonométricas de
ángulos del $1^{\underline{er}}$ cuadrante
vamos a trabajar con los ángulos complementarios, aquellos que suman 90º. En
el esquema de GeoGebra
podemos ver que el coseno de un ángulo es el seno de su complementario y
viceversa; además la tangente de un ángulo es la cotangente de su
complementario:
Razones trigonométricas de ángulos del $2^{\underline{\circ}}$
cuadrante [90º, 180º] = $ \left [\dfrac{\pi}{2}, \pi \right ]$
Seguimos por los
ángulos del $2^{\underline{\circ}}$ cuadrante
y para ello usamos que los ángulos suplementarios, es decir, aquellos
ángulos cuya suma es 180º. Para calcular las razones trigonométricas de un
ángulo del $2^{\underline{\circ}}$ cuadrante nos fijaremos en su
suplementario y vemos que el seno es el mismo y el coseno es el opuesto; y
por tanto la tangente es la opuesta.
Razones trigonométricas de ángulos del $3^{\underline{er}}$
cuadrante [180º, 270º] = $ \left [\pi, \dfrac{3\pi}{2} \right ]$
Seguimos por los
ángulos del $3^{\underline{er}}$ cuadrante
y para ello usamos que los ángulos se diferencian en 180º. Para calcular
las razones trigonométricas de un ángulo del $3^{\underline{er}}$
cuadrante, lo que hacemos es prolongar el radio que define el ángulo en el
tercer cuadrante y nos marca el ángulo del $1^{\underline{er}}$ y vemos
que el seno es el opuesto, el coseno es el opuesto; y por tanto la
tangente es la misma.
Razones trigonométricas de ángulos del $4^{\underline{\circ}}$ cuadrante [270º, 360º] = $ \left [ \dfrac{3\pi}{2}, 2 \pi \right]$
Vamos a terminar con los
ángulos del $4^{\underline{\circ}}$ cuadrante
y para ello usamos que los ángulos suman 360º o el ángulo opuesto. Para
calcular las razones trigonométricas de un ángulo del
$4^{\underline{\circ}}$ cuadrante, lo que hacemos es ver que
los «triángulos» que forman los ángulos comparten la misma base, luego el coseno es
el mismo, vemos que el seno es el opuesto y por tanto la tangente es la
opuesta.
RRTT de un ángulo $\alpha$ del $1^{\underline{er}}$ cuadrante al que le sumamos $\mfrac{\pi}{2}$, $\mfrac{3\pi}{2}$ y se lo restamos a $\mfrac{3\pi}{2}$
En todos estos problemas aparecen 2 o más magnitudes y se resuelven planteando
una regla de tres COMPUESTA (sigue estos pasos):
1.- Escribimos todas las magnitudes que aparecen con la unidad en que las
vamos a medir.
2.- Leemos el problema y colocamos las cantidades en la magnitud
correspondiente. Recuerda que si no están en la misma unidad hay que
pasarlas a la misma unidad. Llamamos «$x$» a la cantidad que tenemos
que calcular.
3.- Comparamos cada magnitud con la magnitud en la que está la
«$x$» para saber si es directa o inversa: utilizamos las letras
«d» e «i». Recuerda que es muy importante hacerse un esquema. Tenemos
que buscar siempre la relación de la magnitud que nos piden con el
resto.
Será Directa, si al aumentar/disminuir una magnitud la otra también
aumenta/disminuye;
Será Inversa, si al aumentar/disminuir una
magnitud la otra también disminuye/aumenta.
4.- Escribimos primero la fracción de la magnitud en la que está la
«$x$» seguida del signo «=» , después escribimos el producto de
las fracciones de las otras magnitudes teniendo en cuenta que:
Si es Directa formamos la fracción números igual que aparecen en la
regla de tres.
Si es Inversa escribimos la fracción inversa.
5.- Resolvemos la proporción y tenemos la solución del problema.
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1: Dos magnitudes directamente proporcionales
Un grupo de 8 amigos pagó 960€ por su estancia de 3 días en un hotel.
¿Cuánto costaba la estancia diaria de cada amigo?
Veamos el esquema
Con la regla de 3 compuesta:
$$ \dfrac{8}{1} \cdot \dfrac{3}{1} = \dfrac{960}{x} \Leftrightarrow 8
\cdot 3 \cdot x = 960 \Leftrightarrow x = \dfrac{ 960 }{ 8 \cdot 3 }
= \dfrac{ 120 }{ 3 } = 40 \ \text{€ costará la estancia diaria
de cada amigo} $$
Ejemplo 4: Intervienen cuatro magnitudes en el problema
Veinte obreros han tendido 400 m de cable durante 6 días, trabajando 8 horas
diarias. ¿Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros durante 14
días para tender 700 m de cable?
Repartos directamente proporcionales
Consiste en repartir una cantidad en partes directamente proporcionales a otras cantidades.
Queremos repartir una cantidad $N$ de forma directamente proporcional a las cantidades $a, b, c, \cdots $. A cada cantidad le tocará
la parte proporcional de forma que se cumplirá:
La razón de proporcionalidad $r = \dfrac{N}{\ a + b + c + \cdots \ }$
$p_a$ es lo que se lleva $a$, $p_b$ lo que se lleva $b \cdots $
$p_a = a \cdot r$, $p_b = b \cdot r$, $p_c = c \cdot r \cdots $
La suma de todas las partes es la cantidad a repartir $p_a + p_b + p_c + \cdots = N $; y
$$ \dfrac{\ p_a \ }{a} = \dfrac{\ p_b \ }{b} = \ldots = \dfrac{\ p_a + p_b + p_c + \cdots \ }{ a + b + \cdots } = \dfrac{ \ N \ }{\ a + b + c + \cdots } = r \text{ donde } r \textrm{ es la constante de proporcionalidad } $$
Para saber la cantidad $p_a$ que se llevará el que le toca $c_a$, para cada uno tenemos que calcular:
$$ r = \dfrac{\ p_a \ }{a} \Rightarrow p_a = r \cdot a $$
$$ r = \dfrac{\ p_b \ }{b} \Rightarrow p_b = r \cdot b $$
$$ r = \dfrac{\ p_c \ }{c} \Rightarrow p_c = r \cdot c $$
$$ \ldots $$
Veamos un ejemplo:
Entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad respectivamente, un abuelo reparte 450€ de forma directamente proporcional a sus edades. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?
En este caso se reparte en 3 partes, es decir tenemos que repartir entre 3 la cantidad de 450€. Así $a = 8, b = 12$ y $c = 16$ y le tocarán las cantidades respectivamente $p_a, p_b$ y $p_c$ de forma que $p_a + p_b + p_c = 450$€
Vamos a calcular la constante de proporcionalidad $r$:
Así $ \dfrac{\ p_a \ }{ a } = r \Rightarrow p_a = r \cdot a $, $ \dfrac{\ p_b \ }{ b } = r \Rightarrow p_b = r \cdot b $ y $ \dfrac{\ p_c \ }{ c } = r \Rightarrow p_c = r \cdot c $
Para terminar el ejercicio, sumamos todas las partes, es decir, $p_a + p_b + p_c = 100 + 150 + 200 = 450$ € $\checkmark$ y comprobamos que hemos repartido la cantidad que teníamos, ni más ni menos.
Repartos inversamente proporcionales
Queremos repartir una cantidad $N$ de forma inversamente proporcional a las cantidades $a, b, c, \cdots $. Y un reparto inversamente proporcional a las cantidades $a, b, c, \cdots $ es un reparto directamente proporcional a las cantidades de sus inversos $\dfrac{1}{\ a\ }, \dfrac{1}{\ b\ }, \dfrac{1}{\ c\ } \cdots $. Reducimos esos inversos a común denominador y hacemos un reparto directamente proporcional a los numeradores $n_a, n_b, n_c \ldots $
Veamos un ejemplo:
Repartir 420 €, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6.
Otra vez tenemos que repartir entre 3; Luego tenemos que hacer un reparto directamente proporcional a $\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{5}$ y
$\dfrac{1}{6}$; Si ponemos común denominador tenemos que:
$$ \dfrac{10}{30}, \dfrac{6}{30} \text{ y } \dfrac{5}{30}$$
Con lo que tenemos que hacer un reparto proporcional a 10 (3 años), 6 (5 años) y 5 (6 años):
Vamos a calcular la constante de proporcionalidad $r$:
Sumamos las cantidades $p_a + p_b + p_c = 200 + 120 + 100 = 420 $ € $\checkmark $ y comprobamos que hemos repartido todo lo que teníamos que repartir.
Los repartos pueden ser entre 2, 3, 4, 5 ... etc. A más partes más cuentas habrá que hacer pero la idea del problema de repartos es siempre la
misma.
1.- Reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser $ 9 + 6 + 3 = 22$, y cada parte debe de ser de
$$k = \dfrac{\ 792\ }{\ 9 + 6 + 3\ } = \dfrac{\ 792\ }{\ 18\ } = 44 \text{€} $$
$$\begin{array}{lrc}
\text{Así la hija de 9 años se lleva 9 partes de 44 € } & \Rightarrow 9 \times 44 = & 396 \text{€} \cr
\text{Así la hija de 6 años se lleva 6 partes de 44 € } & \Rightarrow 6 \times 44 = & 264 \text{€} \cr
\text{Así la hija de 3 años se lleva 3 partes de 44 € } & \Rightarrow 3 \times 44 = & 132 \text{€} \cr
& total & 792 \text{€}
\end{array}$$
2.- Reparto inversamente proporcional a 9, 6 y 3.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los inversos $\dfrac{\ 1\ }{9}$, $\dfrac{\ 1\ }{6}$ y $\dfrac{\ 1\ }{3}$.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los numeradores una vez puesto el mismo denominador a los inversos $\dfrac{\ 2\ }{18}$, $\dfrac{\ 3\ }{18}$ y $\dfrac{\ 6\ }{18}$, es decir, es un reparto directamente proporcional a 2, 3 y 6.
Reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser $ 2 + 3 + 6 = 11$, y cada parte debe de ser de
$$k = \dfrac{\ 792\ }{\ 2 + 3 + 6\ } = \dfrac{\ 792\ }{\ 11\ } = 72 \text{€} $$
$$\begin{array}{lrc}
\text{Así la hija de 9 años se lleva 2 partes de 72 € } & \Rightarrow 2 \times 72 = & 144 \text{€} \cr
\text{Así la hija de 6 años se lleva 3 partes de 72 € } & \Rightarrow 3 \times 72 = & 216 \text{€} \cr
\text{Así la hija de 3 años se lleva 6 partes de 72 € } & \Rightarrow 6 \times 72 = & 432 \text{€} \cr
& total & 792 \text{€}
\end{array}$$
1.- Reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser $ 6 + 8 + 12 + 18 = 44$, y cada parte debe de ser de
$$k = \dfrac{\ 102.300\ }{\ 6 + 8 + 12 + 18\ } = \dfrac{\ 102.300\ }{\ 44\ } = 2.325 \text{€} $$
$$\begin{array}{lrc}
\text{Así el hijo de 6 años se lleva 6 partes de 2.325 € } & \Rightarrow \ 6 \times 2.325 = & \ 13.950 \text{€} \cr
\text{Así el hijo de 8 años se lleva 8 partes de 2.325 € } & \Rightarrow \ 8 \times 2.325 = & \ 18.600 \text{€} \cr
\text{Así la hija de 12 años se lleva 12 partes de 2.325 € } & \Rightarrow 12 \times 2.325 = & \ 27.900 \text{€} \cr
\text{Así la hija de 18 años se lleva 18 partes de 2.325 € } & \Rightarrow 18 \times 2.325 = & \ 41.850 \text{€} \cr
& total & 102.300 \text{€}
\end{array}$$
2.- Reparto inversamente proporcional a 6, 8, 12 y 18.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los inversos $\dfrac{\ 1\ }{6}$, $\dfrac{\ 1\ }{8}$, $\dfrac{\ 1\ }{12}$ y $\dfrac{\ 1\ }{18}$.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los numeradores una vez puesto el mismo denominador a los inversos $\dfrac{\ 12\ }{72}$, $\dfrac{\ 9\ }{72}$, $\dfrac{\ 6\ }{72}$ y $\dfrac{\ 4\ }{72}$, es decir, es un reparto directamente proporcional a 12, 9, 6 y 4.
Reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser $ 12 + 9 + 6 + 4 = 31$, y cada parte debe de ser de
$$k = \dfrac{\ 102.300\ }{\ 12 + 9 + 6 + 4\ } = \dfrac{\ 102.300\ }{\ 31\ } = 3.300 \text{€} $$
$$\begin{array}{lrc}
\text{Así el hijo de 6 años se lleva 12 partes de 3.300 € } & \Rightarrow 12 \times 3.300 = & \ 39.600 \text{€} \\
\text{Así el hijo de 8 años se lleva 9 partes de 3.300 € } & \Rightarrow \ 9 \times 3.300 = & \ 29.700 \text{€} \\
\text{Así la hija de 12 años se lleva 6 partes de 3.300 € } & \Rightarrow \ 6 \times 3.300 = & \ 19.800 \text{€} \\
\text{Así la hija de 18 años se lleva 4 partes de 3.300 € } & \Rightarrow 18 \times 3.300 = & \ 13.200 \text{€} \\
& total & 102.300 \text{€}
\end{array}$$
Este es un reparto inversamente proporcional a los días que han faltado 3 y 5.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los inversos de los días faltados $\dfrac{\ 1\ }{3}$ y $\dfrac{\ 1\ }{5}$.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los numeradores de los inversos de los días faltados una vez puesto el mismo denominador $\dfrac{\ 5\ }{15}$ y $\dfrac{\ 3\ }{15}$.
Es un reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser $ 5 + 3 = 8$, y cada parte debe de ser de
$$k = \dfrac{\ 186\ }{\ 5 + 3\ } = \dfrac{\ 136\ }{\ 8\ } = 17 \text{€} $$
$$\begin{array}{lrc}
\text{Así el camarero} \ C_1\ \text{ se lleva 5 partes de 17 € } & \Rightarrow \ 5 \times 17 = & \ 85 \text{€} \cr
\text{Así el camarero} \ C_2\ \text{ se lleva 3 partes de 17 € } & \Rightarrow \ 3 \times 17 = & \ 51 \text{€} \cr
& total & 136 \text{€}
\end{array}$$
Esto quiere decir que no existe ningún número real que sea racional e
irracional a la vez; si es racional, se puede poner en forma de fracción luego
no es irracional y viceversa.
Veamos una definición formal del conjunto de los números complejos:
$$\Huge \mathbb{C} = \{ \ a + bi \ | \ a, b \in \mathbb{R}; \ \ i^2 = -1 \}
$$
Sea un número complejo cualquiera $z = a + bi $, se define el conjugado
$\bar{z} = a - bi$, es decir, la misma parte real y parte imaginaria la
opuesta.
En esta animación de GeoGebra vamos a ver la representación del un número complejo $z$ (en la
animación es el que forma el ángulo con la parte positiva del eje de abscisas
$OX$), su conjugado $\bar{z}$, el opuesto $-z$ y el opuesto del conjugado
$-\bar{z}$. Si cogemos el punto que determina dicho número complejo, el afijo,
podemos mover dicho número y como se actualizan los 4 números según se
desplaza.
Si un número complejo es $z = 3 + 5i$, su conjugado $\bar{z} = 3 - 5i$, su
opuesto es $-z = -3 - 5i$; y el opuesto de su conjugado (es lo mismo el
conjugado de su opuesto) es $- \bar{z} = - 3 + 5i$.
Otro ejemplo: $w = -6 - 7i$, su conjugado $\bar{w} = -6 + 7i$, su opuesto es
$-w = 6 + 7i$ y el opuesto del conjugado $- \bar{w} = +6 - 7i$.
Distintas formas en las que podemos escribir un número complejo, siendo $r = | z | = \sqrt{a^2 + b^2}$ y $\alpha = Arg(z) = \arctg \left ( \dfrac{b}{a} \right )$.
$$ \large z = \left (a, b \right ) = a + bi = r \cdot \left ( \cos \alpha + i \sen \alpha \right ) = r_{\alpha} = r \cdot e^{i \alpha} $$
$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \text{ Par ordenado } \qquad z = \left (a, b \right ) $ } } $$
$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \text{Forma binómica } \qquad z = a + bi $ } } $$
El módulo del cociente de dos complejos es el cociente de sus módulos: $\text{ Si } z_2 \neq 0 \Rightarrow \left| \dfrac{\ z_1\ }{z_2} \right | = \dfrac{\ |z_1|\ }{ |z_2| } $
Las distintas expresiones utilizadas para representar un número complejo, nos deben hacer plantearnos cuál de ellas es la más adecuada para la realización de las distintas operaciones con números complejos.
Puede ser $\dfrac{3\pi}{4} = \gss{135}$ o $\dfrac{7\pi}{4} = \gss{315}$; es la $2^{\underline{a}}$ opción ya que $1 - i$ está en el $4^{\underline{o}}$ cuadrante.
Teorema: Sea $a(x)$ un polinomio con coeficientes reales, $a_i \in \R \ \forall i = 0, 1, 2, \ldots, n$:
$$a(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots +a_{1} x+a_{0}$$
y sea $z \in \mathbb{C}$ es una raíz de $a(x)$, es decir $a(z) = 0 $, entonces $\bar{z}$ es también raíz de $a(x)$, es decir, $a(\bar{z}) = 0$.
Demo: Al ser $z$ raíz de $a(x)$ sabemos que $$ a(z) = a_{n} z^{n} + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_{1} z + a_{0} = 0 $$
Ahora bien, utilizando propiedades del conjugado de un número complejo y el hecho de que los coeficientes del polinomio son números reales, tenemos que:
$$\begin{aligned} a(\bar{z}) &=a_{n} \bar{z}^{n}+a_{n-1} \bar{z}^{n-1}+\cdots+a_{1} \bar{z}+ a_{0} = \\ & =\bar{a}_{n} \bar{z}^{n}+\bar{a}_{n-1} \bar{z}^{n-1}+\cdots+\bar{a}_{1} \bar{z}+a_{0} = \\ &=\overline{a_{n} z^{n}}+\overline{a_{n-1} z^{n-1}}+\dots+\overline{a_{1} z}+\overline{a_{0}} = \\ & =\overline{a_{n} z^{n}+a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_{1}z+a_{0} } = \overline{0} = 0 \end{aligned}$$
Ejercicios con solución:
Para tener una expersión más manejable de dicho número, lo que tenemos que hacer es multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador $(-2 - 3i)$:
$$\dfrac{4x + 9i}{-2 + 3i} = \dfrac{ (4x + 9i) \cdot (-2 - 3i) }{ (-2 + 3i) \cdot (-2 - 3i) } = \dfrac{-8x - 12ix - 18i + 27}{ 4 + 9 } = = \dfrac{-8x + 27 - 6i \cdot (2x + 3) }{ 13 }$$
Valor de $x$ para que sea un número real:
Para que sea un número real la parte imaginario tiene que ser cero. Veamos:
$$ 2x + 3 = 0 \Rightarrow x = \mfrac{-3}{2} $$
Valor de $x$ para que sea un número imaginario puro.
Para que sea un número imaginario puro, la parte real ha de ser cero. Veamos:
$$ -8x + 27 = 0 \Rightarrow \ x = \mfrac{27}{8} $$
Primero vamos a calcular su modulo:
$|z| = | (30 - 16 \cdot i) | \cdot | (a + 36 \cdot i) | $ si calculamos los módulos por separado:
Pero nos piden que valor de $a$ hace que el complejo $z$ esté en el primer cuadrante:
$$ z = 30a + 576 + i \cdot (1.080 - 16a) $$
Si $a = +27 \ \Rightarrow \ z = 810 + 576 + i \cdot (1.080 + 432 ) = 1.386 + 648i $ que está en el $\odn{1}{er}$ cuadrante. $\checkmark$
Si $a = -27 \ \Rightarrow \ z = -810 + 576 + i \cdot (1.080 + 432 ) = -234 + 1.512i $ que no está en el $1^{\underline{er}}$ cuadrante. $\unicode{x2717}$
Sean $z = a + bi, \Rightarrow \overline{z} = a - bi$ los números complejos;
La suma es 8, entonces
$$ z + \overline{z} = 8 \Rightarrow( a + bi ) + ( a - bi) = 8 \Rightarrow 2a = 8 \Rightarrow a = 4$$
La suma de los módulos es 10, entonces
Luego los números son:
$$z = 4 + 3i, \Rightarrow \overline{z} = 4 - 3i \text{ o } z = 4 - 3i, \Rightarrow \overline{z} = 4 + 3i $$
Tenemos que calcular las raíces sextas de -8i, $ z = \sqrt[6]{-8i} = \sqrt[6]{8_{ \frac{ 3\pi}{2} }}$. Para calcular las raíces sextas de un número tendremos que buscar $w$ tal que $w^6 = z$, para ello
Como es un polinomio con coeficientes reales, vamos a probar con los divisores del término independiente, en este caso $-2$ y nos quedan $\pm 1 y \pm 2$.
Sea $p(z) = z^4 + z^3 - z^2 + z - 2 = 0$ si hacemos $p(1) = 1^4 + 1^3 - 1^2 + 1 - 2 = 3 - 3 = 0$ luego 1 es solución de la ecuación. Aplicamos Ruffini y nos queda:
Nos queda $p(z) = (z - 1) \cdot (z^3 + 2z^2 + z + 2) $ aquí vemos que las raíces tienen que ser negativas y -1 no es raíz; si probamos con -2 nos sale que es ráiz.
Ahora nos queda $p(z) = (z - 1) \cdot (z + 2) \cdot (z^2 + 1) $ y ahora la factorización es muy sencilla:
$$p(z) = (z - 1) \cdot (z + 2) \cdot (z + i) \cdot (z - i) $$
Sacamos factor común $-x \cdot (x^4 + 1) = 0$ y seguir factorizando:
$$-x \cdot (x^2 + i) \cdot (x^2 - i) = -x \cdot (x + i\sqrt{i} ) \cdot (x - i\sqrt{i} ) \cdot (x - \sqrt{i} ) \cdot (x + \sqrt{i} ) = 0$$
Otra forma de hacerlo, por ejemplo, si nos pidieran la forma binomial:
$x^4 = -1$ es decir, calcular las raíces 4 de -1, $x = \sqrt[4]{-1} = \sqrt[4]{1_{\gss{180}} } $
El módulo de la raíz $w, |w| = 1$. Así los argumentos de las raíces son:
