Ángulos central, inscrito y semi-inscrito.

 Ángulo central: es un ángulo cuyo vértice es el centro de una circunferencia y los lados que lo delimitan son dos radios de dicha circunferencia. 

Una cuerda en una circunferencia es un segmento que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro de la misma.

Ángulo inscrito: es un ángulo cuyo vértice está situado en la circunferencia y los lados que lo delimitan son dos cuerdas de dicha circunferencia.

Ángulo semi-inscrito: es un ángulo cuyo vértice está situado en la circunferencia y los lados que lo delimitan, uno es tangente a la circunferencia y el otro es una cuerda de dicha circunferencia.

Veamos ahora los siguientes puntos: 

1.- Dos ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco son iguales. 

2.- La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad del arco que abarca, es decir, la mitad del ángulo central correspondiente.

3.- Un ángulo semi-inscrito que abarca el mismo arco que uno central, tiene la mitad de amplitud que el central.

4.- Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. 

Recortes de la prensa ...

 

¿Qué llama la atención de este titular?

Que nos estamos cargando el sistema educativo es algo que es muy evidente y a una velocidad inimaginable, por lo menos veo que hay gente que también lo ve así: 

Rectas y puntos notables en el triángulo.

Aquí tenemos algunas de las rectas y de los puntos notables de un triángulo: 

Cálculo de los diferentes puntos:

• Para calcular el Circuncentro (C), basta con calcular dos mediatrices y su punto de corte.
• Para calcular el Ortocentro (O), basta con calcular dos alturas y su punto de corte.
• Para calcular el Incentro (I), basta con calcular dos bisetrices «interiores» y su punto de corte.
• Para calcular el Baricentro (B), basta con calcular dos medianas y su punto de corte.

La recta de Euler

La recta de Euler es la recta que pasa por el Circuncentro (C), por el Ortocentro (O) y por el Baricentro (B). Además se cumple que: $$ \color{blue}{ \boldsymbol{ 2 \cdot d(B, O) = d(B, C) } }$$

Para verlo mejor pincha en este enlace, es un applet de GeoGebra 

Funciones cuadráticas - Parábolas - En la ESO

Parábolas - Funciones cuadráticas

Vamos a estudiar las parábolas como la representación geométrica de una función polinómica de grado 2, es decir, $f(x) = ax^2 + bx + c$. 

Siguiendo esta serie de pasos podemos dibujar cualquier parábola: 

$1^{\underline{\circ}}$ Saber la dirección de las ramas de la parábola viendo el signo del coeficiente del monomio $a \cdot x^2$, es decir, por $a$: 

Si $a > 0$ las ramas de la parábola van hacia arriba; si $a < 0$ las ramas de la parábola van hacia abajo.

Cuánto mayor sea el valor absoluto de $|a|$ menos amplitud tendrá la parábola y 

cuánto menor sea el valor absoluto de $|a|$ más amplitud tendrá la parábola.

$2^{\underline{\circ}}$ Calcular el vértice de la parábola $V = \left ( \dfrac{-b}{2a}, f \left ( \dfrac{-b}{2a} \right ) \right )$.  Tenemos que calcular $f \left ( \dfrac{-b}{2a} \right )$ 

$$f \left ( \dfrac{-b}{2a} \right ) = a  \cdot \left ( \dfrac{-b}{2a} \right )^2 + b \cdot \left ( \dfrac{-b}{2a} \right ) + c = \dfrac{ab^2}{4a^2} - \dfrac{b^2}{2a} + c = \dfrac{b^2}{4a} - \dfrac{2b^2}{4a} + \dfrac{4ac}{4a} = \dfrac{4ac - b^2}{4a} $$

NOTAS: 

• Si la parábola va hacia arriba el vértice es un mínimo.
• Si la parábola va hacia abajo el vértice es un máximo. 

$3^{\underline{\circ}}$ Corte con el eje $OY$, «siempre» va a cortar a este eje $Y$, el eje de ordenadas, lo hará cuando $x = 0$ y así el punto de corte será el punto de coordenadas $(0, c)$.

$4^{\underline{\circ}}$ Corte con el eje $OX$, cortará a este eje $X$ , el eje de abscisas, cuando la $y = 0$, para saber en que puntos corta la parábola a dicho tenemos que resolver la siguiente ecuación: 

$$ 0 = ax^2 + bx + c$$ 

Al eje $X$ «NO siempre» le corta. Ya sabemos que resolviendo este ecuación tenemos tres casos: 

1. No hay solución $\rightarrow$ la parábola no corta al eje $X$; 
2. Hay una solución (doble) $x_1 \rightarrow$ la parábola corta al eje $X$ en un único punto de coordenadas $(x_1, 0)$, es decir, el eje $X$ es tangente a la parábola;
3. Hay dos soluciones distintas $x_1$ y $x_2$, la parábola corta al eje $X$ en dos puntos distintos de coordenadas respectivamente $(x_1, 0)$ y $(x_2, 0)$.  

NOTA: 

Si la parábola va hacia arriba y el vértice está por encima del eje $X$, es claro que la parábola no cortará al eje $X$ (Caso 1).

Lo mismo si la parábola va hacia abajo y el vértice está por debajo del eje X. 

Parábolas hacia abajo: 

$5^{\underline{\circ}}$ Eje de simetría: La recta $x = \mfrac{-b}{2a}$ es el eje de simetría, es una recta paralela al eje $Y$ que pasa por el vértice de la parábola. Si doblaramos el plano por dicha recta las dos ramas de la prábola coincidirían.

$6^{\underline{\circ}}$ Dibujar la gráfica con los puntos calculados. Si hicieran falta más puntos se pueden calcular haciendo una tabla numérica.

Vamos a ver dos ejemplos: 

El $1^{\underline{er}}$ ejemplo, la parábola $y = x^2 - 12x + 11 $. Vamos a calcular los pasos anteriores:

1. $a = 1 > 0$ luego las ramas de la parábola van hacia arriba.
2. Calculamos el vértice, la componente $x$ del vértice es $  \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{12}{2} = 6$ y la componente $y$ es $f(6) = 36 - 72 + 11 = -25$ luego el vértice tiene de coordenadas $V = (6, -25)$. Como el vértice está por debajo del eje $X$ está claro que cortará a dicho eje en dos puntos diferentes. 
3. Corte eje $Y$, a este eje siempre le va a cortar y será cuando $x = 0$ así el punto de corte será el punto $(0, c) = (0, 11)$ 
4. Corte con eje $Y$ que será cuando $y = 0$, tenemos que resolver la ecuación $x^2 - 12x + 11 = 0$. Podemos aplicar la fórmula de la ecuación de segundo grado o vemos que la suma de los coeficientes es cero luego 1 es raíz y como el producto de las raíces es 11 entonces la otra raíz es 11. Luego los punto de corte son $(1, 0)$ y $(11, 0)$. 
5. Vamos a dibujar la gráfica con los puntos calculados: 

El $2^{\underline{\circ}}$ ejemplo, la parábola $y = -3x^2 + 5x -2 $. Vamos a calcular los pasos anteriores:

1. $a = -3 < 0$ luego las ramas de la parábola van hacia abajo.
2. Calculamos el vértice, la componente $x$ del vértice es $  \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-5}{-6} = \dfrac{5}{6}$ y la componente $y$ es $f \left (\dfrac{5}{6} \right) = \dfrac{24 - 25}{-12} = \dfrac{1}{12}$ luego el vértice tiene de coordenadas $V = \left (\dfrac{5}{6}, \dfrac{1}{12} \right )$. Como el vértice está por encima del eje $X$ está claro que cortará a dicho eje en dos puntos diferentes. 
3. Corte eje $Y$, a este eje siempre le va a cortar y será cuando $x = 0$ así el punto de corte será el punto $(0, c) = (0, -2)$ 
4. Corte con eje $Y$ que será cuando $y = 0$, tenemos que resolver la ecuación $-3x^2 + 5x - 2 = 0$ que es lo mismo que resolver $3x^2 - 5x + 2 = 0$, sacamos 3 factor común $x^2 - \dfrac{5x}{3} + \dfrac{2}{3} = 0$. Podemos aplicar la fórmula de la ecuación de segundo grado o vemos que la suma de los coeficientes es cero luego 1 es raíz y como el producto de las raíces es $\dfrac{2}{3}$ entonces la otra raíz es $\dfrac{2}{3}$. Luego los punto de corte son $(1, 0)$ y $\left (\dfrac{2}{3}, 0 \right )$. 
5. Vamos a dibujar la gráfica con los puntos calculados:

Y eso es todo ... por ahora.

Razones trigonométricas de ángulos del $2^{\underline{\circ}}$, $3^{\underline{er}}$ y $4^{\underline{\circ}}$ cuadrante relacionados con ángulos del primer cuadrante.

Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera siempre lo llevaremos al $1^{\underline{er}}$ cuadrante, realmente al $1^{\underline{er}}$ octante usando ángulos  complementarios. Veamos de qué forma, os dejo un applet de GeoGebra donde se puede ver:

Razones trigonométricas de ángulos del $1^{\underline{er}}$ cuadrante [0º, 90º] = $ \left [0, \dfrac{\pi}{2} \right ] $

Para calcular las razones trigonométricas de ángulos del $1^{\underline{er}}$ cuadrante vamos a trabajar con los ángulos complementarios, aquellos que suman 90º. En el esquema de GeoGebra podemos ver que el coseno de un ángulo es el seno de su complementario y viceversa; además la tangente de un ángulo es la cotangente de su complementario:



Aquí tenemos una 2ª versión de este applet:

Razones trigonométricas de ángulos del $2^{\underline{\circ}}$ cuadrante [90º, 180º] = $ \left [\dfrac{\pi}{2}, \pi \right ]$

Seguimos por los ángulos del $2^{\underline{\circ}}$ cuadrante y para ello usamos que los ángulos suplementarios, es decir, aquellos ángulos cuya suma es 180º. Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo del $2^{\underline{\circ}}$ cuadrante nos fijaremos en su suplementario y vemos que el seno es el mismo y el coseno es el opuesto; y por tanto la tangente es la opuesta. 

Aquí tenemos una 2ª versión de este applet:

Razones trigonométricas de ángulos del $3^{\underline{er}}$ cuadrante [180º, 270º] = $ \left [\pi, \dfrac{3\pi}{2} \right ]$

Seguimos por los ángulos del $3^{\underline{er}}$ cuadrante y para ello usamos que los ángulos se diferencian en 180º. Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo del $3^{\underline{er}}$ cuadrante, lo que hacemos es prolongar el radio que define el ángulo en el tercer cuadrante y nos marca el ángulo del $1^{\underline{er}}$ y vemos que el seno es el opuesto, el coseno es el opuesto; y por tanto la tangente es la misma.




Aquí tenemos una 2ª versión de este applet:

Razones trigonométricas de ángulos del $4^{\underline{\circ}}$ cuadrante [270º, 360º] = $ \left [ \dfrac{3\pi}{2}, 2 \pi \right]$

Vamos a terminar con los ángulos del $4^{\underline{\circ}}$ cuadrante y para ello usamos que los ángulos suman 360º o el ángulo opuesto. Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo del $4^{\underline{\circ}}$ cuadrante, lo que hacemos es ver que los «triángulos» que forman los ángulos comparten la misma base, luego el coseno es el mismo, vemos que el seno es el opuesto y por tanto la tangente es la opuesta.



Aquí tenemos una 2ª versión de este applet:

RRTT de un ángulo $\alpha$ del $1^{\underline{er}}$ cuadrante al que le sumamos $\mfrac{\pi}{2}$, $\mfrac{3\pi}{2}$ y se lo restamos a $\mfrac{3\pi}{2}$

$$\large \fbox{ $\boldsymbol{ \quad \sen \left ( \alpha + \mfrac{\pi}{2} \right ) = \cos \left ( \alpha \right ) \qquad \cos \left ( \alpha + \mfrac{\pi}{2} \right ) = - \sen \left ( \alpha \right ) \qquad \tg \left ( \alpha + \mfrac{\pi}{2} \right ) = - \cotg \left ( \alpha \right ) \qquad } $ } $$

$$\large \fbox{ $\boldsymbol{ \sen \left ( \mfrac{3\pi}{2} - \alpha \right ) = - \cos \left ( \alpha \right ) \qquad \cos \left ( \mfrac{3\pi}{2} - \alpha\right ) = - \sen \left ( \alpha \right ) \qquad \tg \left ( \mfrac{3\pi}{2} - \alpha \right ) = \cotg \left ( \alpha \right ) } $ } $$

$$\large \fbox{ $\boldsymbol{ \sen \left ( \alpha + \mfrac{3\pi}{2} \right ) = - \cos \left ( \alpha \right ) \qquad \cos \left ( \alpha + \mfrac{3\pi}{2} \right ) = \sen \left ( \alpha \right ) \qquad \tg \left ( \alpha + \mfrac{3\pi}{2} \right ) = - \cotg \left ( \alpha \right ) } $ } $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Problemas de proporcionalidad compuesta

Resolución de los problemas de proporcionalidad

En todos estos problemas aparecen 2 o más magnitudes y se resuelven planteando una regla de tres COMPUESTA (sigue estos pasos):

• 1.- Escribimos todas las magnitudes que aparecen con la unidad en que las vamos a medir.
• 2.- Leemos el problema y colocamos las cantidades en la magnitud correspondiente. Recuerda que si no están en la misma unidad hay que pasarlas a la misma unidad. Llamamos «$x$» a la cantidad que tenemos que calcular.

• 3.- Comparamos cada magnitud con la magnitud en la que está la «$x$» para saber si es directa o inversa: utilizamos las letras «d» e «i». Recuerda que es muy importante hacerse un esquema. Tenemos que buscar siempre la relación de la magnitud que nos piden con el resto. 

• Será Directa, si al aumentar/disminuir una magnitud la otra también aumenta/disminuye; 

• Será Inversa, si al aumentar/disminuir una magnitud la otra también disminuye/aumenta.  

• 4.- Escribimos primero la fracción de la magnitud en la que está la «$x$» seguida del signo «=» , después escribimos el producto de las fracciones de las otras magnitudes teniendo en cuenta que:

• Si es Directa formamos la fracción números igual que aparecen en la regla de tres.

• Si es Inversa escribimos la fracción inversa.

• 5.- Resolvemos la proporción y tenemos la solución del problema.

Veamos algunos ejemplos: 

Ejemplo 1: Dos magnitudes directamente proporcionales

Un grupo de 8 amigos pagó 960€ por su estancia de 3 días en un hotel. ¿Cuánto costaba la estancia diaria de cada amigo?

Veamos el esquema

Con la regla de 3 compuesta: 

$$ \dfrac{8}{1} \cdot \dfrac{3}{1} = \dfrac{960}{x} \Leftrightarrow 8 \cdot 3 \cdot x = 960 \Leftrightarrow x = \dfrac{ 960 }{ 8 \cdot 3 } =  \dfrac{ 120 }{ 3 } = 40 \ \text{€ costará la estancia diaria de cada amigo} $$

Por reducción a la unidad:

$$ \begin{array}{ccc} Amigos & \text{Días} & \text{€} \cr 8 & 3 & 960 \cr \hline \cr \text{Dividimimos entre 8} & \qquad \qquad & \text{Dividimimos entre 8} \cr 1 & 3 & 120 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimimos entre 3} & \text{Dividimimos entre 3} \cr   1 & 1 & \ 40 \cr \end{array} $$

Un amigo paga por un día 40€.

Ejemplo 2: Dos magnitudes una directa y otra inversamente proporcional

En 7 días, 8 máquinas han cavado una zanja de 1.400 m de largo. ¿Cuántas máquinas serán necesarias para cavar 300 m. de zanja en 6 días?

Veamos el esquema que hemos de hacer

Con la regla de 3 compuesta: 

$$ \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{1.400}{300} = \dfrac{8}{x} \ \ \ \text{Simplificando}$$ 

$$ \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{14}{3} = \dfrac{8}{x} \Leftrightarrow 6 \cdot 14 \cdot x = 8 \cdot 3 \cdot 7 \Leftrightarrow x = \dfrac{ 8 \cdot 3 \cdot 7 }{ 6 \cdot 14 } =  \dfrac{ 8 \cdot 3 }{ 6 \cdot 2 } = 2 \ \ \text{máquinas serán necesarias} $$

Por reducción a la unidad:

$$ \begin{array}{ccc} \text{Días} & Metros & \text{Máquinas} \cr 7 & 1400 & \ 8 \cr \hline \cr  \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 2} &\text{Dividimos entre 2} \cr 7 & 700 & \ 4 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 7} &\qquad \qquad &  \text{Multiplicamos por 7} \cr 1 & 700 & 28 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 7} &\text{Dividimos entre 7} \cr 1 & 100 & \ 4 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 3} &\text{Multiplicamos por 3} \cr 1 & 300 & \ 12 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 6} &\qquad \qquad &  \text{Dividimos entre 6} \cr 6 & 300 & 2 \cr \end{array} $$

Serán necesarias 2 máquinas.

Ejemplo 3: Las dos magnitudes inversamente proporcionales

Para limpiar un monte en 5 días se necesitan 8 personas trabajando 6 horas al día. ¿Cuántos días tardarán 6 personas si trabajan 5 h al día? 

Veamos el esquema

Usando la regla de 3 compuesta: 

$$ \dfrac{6}{8} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{x} \Leftrightarrow 6 \cdot 5 \cdot x = 8 \cdot 6 \cdot 5 \Leftrightarrow x = \dfrac{ 8 \cdot 6 \cdot 5 }{ 6 \cdot 5 } =  8 \ \ \text{días tardarán} $$

Por reducción a la unidad:

$$ \begin{array}{ccc} Personas & Horas & \text{Días} \cr 8 & 6 & \ 5 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 4} & \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 4} \cr 2 & 6 & 20 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 6} & \text{Multiplicamos por 6} \cr 2 & 1 & 120 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 3} & \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 3} \cr 6 & 1 & 40 \cr \hline \cr  \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 5} &\text{Dividimos entre 5} \cr 6 & 5 & \ 8 \cr \end{array} $$

Tardarán 8 días.

Ejemplo 4: Intervienen cuatro magnitudes en el problema 

Veinte obreros han tendido 400 m de cable durante 6 días, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros durante 14 días para tender 700 m de cable?

Veamos el esquema

Usando la regla de 3 compuesta: 

$$ \dfrac{24}{20} \cdot \dfrac{400}{700} \cdot \dfrac{14}{6} = \dfrac{8}{x} \ \ \ \text{Simplificando}$$ 

$$ \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{7}{3} = \dfrac{8}{x} \Leftrightarrow 6 \cdot 4 \cdot 7  \cdot x = 5 \cdot 7 \cdot 3  \cdot 8 \Leftrightarrow x = \dfrac{ 5 \cdot 7 \cdot 3  \cdot 8 }{ 6 \cdot 4 \cdot 7 } =  \dfrac{ 5 \cdot 3 \cdot 8 }{ 6 \cdot 4 } = 5 \ \ \text{horas días serán necesarias} $$

Por reducción a la unidad:

$$ \begin{array}{cccc} Obreros & Metros & \text{Días} & Horas \cr 20 & 400 & 6 & 8 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 5} & \qquad \qquad & \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 5} \cr 4 & 400 & 6 & 40 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 4} & & \text{Dividimos entre 4} \cr 4 & 100 & 6 & 10 \cr \hline \cr \qquad \qquad &  & \text{Dividimos entre 3} & \text{Multipicamos por 3} \cr  4 & 100 & 2 & 30 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 6} & \qquad \qquad & \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 6} \cr 24 & 100 & 2 & 5 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Multipicamos por 7} & & \text{Multipicamos por 7} \cr 24 & 700 & 2 & 35 \cr \hline \cr \qquad \qquad &  & \text{Multipicamos por 7} & \text{Dividimos entre 7} \cr 24 & 700 & 14 & 5 \cr \end{array} $$

5 horas serían necesarias.

Variable incógnita: horas.
Relación entre las magnitudes:

• Mangueras-Horas: Cuantas más mangueras, menos horas se necesitan. Es una proporcionalidad inversa.
• Litros-Horas: Cuantos más litros de agua, más horas se necesitan. Es una proporcionalidad directa.

Por reducción a la unidad:
$$ \begin{array}{ccc} \text{Mangueras} & \text{Litros} & \text{Horas} \cr 6 & 18.000 & \ 3 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 6} & \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 6} \cr 1 & 18.000 & 18 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 18} & \text{Dividimos entre 18} \cr 1 & 1.000 & \ 1 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 128} &\text{Multiplicamos por 128} \cr 1 & 128.000 & 128 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 4} & \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 4} \cr 4 & 128.000 & 32\cr \end{array} $$ 32 horas tardarán.
Usando la regla de tres compuesta: $$ \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{18.000}{128.000} = \dfrac{3}{x} \ \ \text{ Simplificando }$$ $$ \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{9}{64} = \dfrac{3}{x} \Leftrightarrow 2 \cdot 9 \cdot x = 3 \cdot 64 \cdot 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{ 3 \cdot 3 \cdot 64 }{ 9 \cdot 2 } = \dfrac{ 64 }{ 2 } = 32 \ \ \text{horas son necesarias} $$

Variable incógnita: €
Relación entre las magnitudes:

• kg - €: Cuantos más kg, más €. Es una proporcionalidad directa.
• km - €: Cuantas más km, más €. Es una proporcionalidad directa.

Por reducción a la unidad:
$$ \begin{array}{ccc} \text{kg} & \text{km} & \text{ € } \cr 5 & 60 & \ 9 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 5} & \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 5} \cr 1 & 60 & \ 9/5 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 60} & \text{Dividimos entre 60} \cr 1 & 1 & 3/100 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 200} &\text{Multiplicamos por 200} \cr 1 & 200 & 6 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 50} & \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 50} \cr 50 & 200 & 300 \cr \end{array} $$ 300 € costará.
Usando la regla de tres compuesta: $$ \dfrac{\ 5\ }{50} \cdot \dfrac{\ 60\ }{200} = \dfrac{\ 9\ }{x} \ \ \text{ Simplificando }$$ $$ \dfrac{\ 1\ }{10} \cdot \dfrac{\ 3\ }{10} = \dfrac{\ 9\ }{x} \Leftrightarrow 3 \cdot x = 9 \cdot 10 \cdot 10 \Leftrightarrow x = \dfrac{\ 9 \cdot 10 \cdot 10\ }{ 3 } = \dfrac{\ 900\ }{ 3 } = 300 \ \ \text{ € costará} $$

Variable incógnita: Años.
Relación entre las magnitudes:

• Programadores - años: Cuantos más programadores, menos años. Es una proporcionalidad inversa.
• Horas - años: Cuantas más horas, menos años se necesitan. Es una proporcionalidad inversa.

Por reducción a la unidad:
$$ \begin{array}{ccc} \text{Programadores} & \text{Horas} & \text{Años} \cr 8 & 5 & \ 3 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 8} & \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 8} \cr 1 & 5 & \ 24 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 5} & \text{Multiplicamos por 5} \cr 1 & 1 & 120 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 6} &\text{Dividimos entre 6} \cr 1 & 6 & 20 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 10} & \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 10} \cr 10 & 6 & 2\cr \end{array} $$ 2 años tardarán.
Usando la regla de tres compuesta: $$ \dfrac{\ 10\ }{8} \cdot \dfrac{\ 5\ }{6} = \dfrac{\ 3\ }{x} \ \ \text{ Simplificando }$$ $$ \dfrac{\ 5\ }{4} \cdot \dfrac{\ 6\ }{5} = \dfrac{3}{x} \Leftrightarrow 5 \cdot 6 \cdot x = 4 \cdot 5 \cdot 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{\ 3 \cdot 4 \cdot 5\ }{ 5 \cdot 6 } = \dfrac{\ 12\ }{ 6 } = 2 \ \ \text{años tardarán} $$

Variable incógnita: Días.
Relación entre las magnitudes:

• Obreros - Días: Cuantos más obreros, menos días. Es una proporcionalidad inversa.
• Horas - Días: Cuantas más horas, menos días. Es una proporcionalidad inversa.
• Metros - Días: Cuantas más días, más metros. Es una proporcionalidad directa.

Por reducción a la unidad:
$$ \begin{array}{cccc} \text{Obreros} & \text{Horas} & \qquad \text{Metros} & \qquad \text{Días} \cr 12 & \ 8 & \ 50 & \ 25 \cr \hline \cr \div 12 & \qquad \qquad & \qquad \qquad & \times 12 \cr \ 1 & \ 8 & \ 50 & 300 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \div 8 \qquad \qquad & & \times 8 \cr \ 1 & \ 1 & \ 50 & 2400 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \qquad \qquad & \div 50 & \div 50 \cr \ 1 & \ 1 & \ 1 & 48 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \qquad \qquad & \times 100 & \times 100 \cr \ 1 & \ 1 & \ 100 & 4800 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \times 10 \qquad \qquad & & \div 10 \cr \ 1 & \ 10 & \ 100 & 480 \cr \hline \cr \times 5 & \qquad \qquad & \qquad \qquad & \div 5 \cr \ 5 & \ 10 & \ 100 & 96 \cr \end{array} $$ 96 días tardarán
Usando la regla de tres compuesta: $$ \dfrac{\ 5\ }{12} \cdot \dfrac{\ 10\ }{8} \cdot \dfrac{\ 50\ }{100} = \dfrac{\ 25\ }{x} \ \ \text{ Simplificando }$$ $$ \dfrac{\ 5\ }{12} \cdot \dfrac{\ 5\ }{4} \cdot \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 25\ }{x} \Leftrightarrow 25 \cdot x = 96 \cdot 25 \Leftrightarrow x = \dfrac{\ 96 \cdot 25\ }{ 25 } = 96 \ \ \text{ días \ tardarán } $$

Variable incógnita: Días.
Relación entre las magnitudes:

• Caballos - Días: A más caballos, menos días y viceversa. Es una proporcionalidad inversa.
• Kg - Días: A más caballos, más kg y viceversa. Es una proporcionalidad directa.

Por reducción a la unidad:
$$ \begin{array}{ccc} \text{Caballos} & \text{Pienso} & \text{Días} \cr 5 & 60 & \ 4 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 5} & \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 5} \cr 1 & 60 & \ 20 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 60} & \text{Dividimos entre 60} \cr 1 & 1 & 1/3 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 360} &\text{Multiplicamos por 360} \cr 1 & 360 & 120 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 8} & \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 8} \cr 8 & 20 & 15 \cr \end{array} $$ 15 días podrá alimentar.
Usando la regla de tres compuesta: $$ \dfrac{\ 8\ }{5} \cdot \dfrac{\ 60\ }{360} = \dfrac{\ 4\ }{x} \ \ \text{ Simplificando }$$ $$ \dfrac{\ 8\ }{5} \cdot \dfrac{\ 1\ }{6} = \dfrac{\ 4\ }{x} \Leftrightarrow 8 \cdot 1 \cdot x = 5 \cdot 6 \cdot 4 \Leftrightarrow x = \dfrac{\ 4 \cdot 6 \cdot 5\ }{ 8 } = \dfrac{\ 3 \cdot 5\ }{ 1 } = 15 \ \ \text{ 15 días podrá alimentar} $$

Variable incógnita: Fuentes.
Relación entre las magnitudes:

• Horas - fuentes: A más horas, menos fuentes y viceversa. Es una proporcionalidad inversa.
• Litros - fuentes: A más litros.menos horas y viceversa. Es una proporcionalidad inversa.

Por reducción a la unidad:
$$ \begin{array}{ccc} \text{Horas} & \text{Litros} & \text{Fuentes} \cr 8 & 12 & \ 5 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 8} & \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 8} \cr 1 & 12 & \ 40 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 12} & \text{Multiplicamos por 12} \cr 1 & 1 & 480 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 20} &\text{Dividimos entre 20} \cr 1 & 20 & 24 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 6} & \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 6} \cr 6 & 20 & 4 \cr \end{array} $$ 4 fuentes abrirán.
Usando la regla de tres compuesta: $$ \dfrac{\ 6\ }{8} \cdot \dfrac{\ 20\ }{12} = \dfrac{\ 5\ }{x} \ \ \text{ Simplificando }$$ $$ \dfrac{\ 1\ }{2} \cdot \dfrac{\ 5\ }{2} = \dfrac{\ 5\ }{x} \Leftrightarrow 5 \cdot 1 \cdot x = 2 \cdot 2 \cdot 5 \Leftrightarrow x = \dfrac{\ 2 \cdot 2 \cdot 5\ }{ 5 } = \dfrac{\ 4\ }{ 1 } = 4 \ \ \text{ 4 fuentes abrirán} $$

Repartos directamente proporcionales e inversamente proporcionales.

Repartos directamente proporcionales
Consiste en repartir una cantidad en partes directamente proporcionales a otras cantidades.

Queremos repartir una cantidad $N$ de forma directamente proporcional a las cantidades $a, b, c, \cdots $. A cada cantidad le tocará la parte proporcional de forma que se cumplirá:

1. La razón de proporcionalidad $r = \dfrac{N}{\ a + b + c + \cdots \ }$
   
2. $p_a$ es lo que se lleva $a$, $p_b$ lo que se lleva $b \cdots $
   $p_a = a \cdot r$, $p_b = b \cdot r$, $p_c = c \cdot r \cdots $
3. La suma de todas las partes es la cantidad a repartir $p_a + p_b + p_c + \cdots = N $; y
4. $$ \dfrac{\ p_a \ }{a} = \dfrac{\ p_b \ }{b} = \ldots = \dfrac{\ p_a + p_b + p_c + \cdots \ }{ a + b + \cdots } = \dfrac{ \ N \ }{\ a + b + c + \cdots } = r \text{ donde } r \textrm{ es la constante de proporcionalidad } $$

Para saber la cantidad $p_a$ que se llevará el que le toca $c_a$, para cada uno tenemos que calcular:

$$ r = \dfrac{\ p_a \ }{a} \Rightarrow p_a = r \cdot a $$

$$ r = \dfrac{\ p_b \ }{b} \Rightarrow p_b = r \cdot b $$

$$ r = \dfrac{\ p_c \ }{c} \Rightarrow p_c = r \cdot c $$

$$ \ldots $$

Veamos un ejemplo: 

Entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad respectivamente, un abuelo reparte 450€ de forma directamente proporcional a sus edades. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

En este caso se reparte en 3 partes, es decir tenemos que repartir entre 3 la cantidad de 450€. Así $a = 8, b = 12$ y $c = 16$ y le tocarán las cantidades respectivamente $p_a, p_b$ y $p_c$ de forma que $p_a + p_b + p_c = 450$€

Vamos a calcular la constante de proporcionalidad $r$:

$$r = \dfrac{\ p_a \ }{8} = \dfrac{\ p_b \ }{12} = \dfrac{\ p_c \ }{ 16 } = \dfrac{ p_a + p_b + p_c }{ a + b + c } = \dfrac{ 450 }{ 36 } = \dfrac{\ 25\ }{2}$$

Así $ \dfrac{\ p_a \ }{ a } = r \Rightarrow p_a = r \cdot a $, $ \dfrac{\ p_b \ }{ b } = r \Rightarrow p_b = r \cdot b $ y $ \dfrac{\ p_c \ }{ c } = r \Rightarrow p_c = r \cdot c $

$$ \dfrac{\ p_a \ }{8} = \dfrac{25}{2} \Rightarrow p_a = \dfrac{25}{2} \cdot 8 = 25 \cdot 4 = 100 $$

$$ \dfrac{\ p_b \ }{12} = \dfrac{25}{2} \Rightarrow p_b = \dfrac{25}{2} \cdot 12 = 25 \cdot 6 = 150 $$

$$ \dfrac{\ p_c \ }{16} = \dfrac{25}{2} \Rightarrow p_c = \dfrac{25}{2} \cdot 16 = 25 \cdot 8 = 200 $$

Para terminar el ejercicio, sumamos todas las partes, es decir, $p_a + p_b + p_c = 100 + 150 + 200 = 450$ € $\checkmark$ y comprobamos que hemos repartido la cantidad que teníamos, ni más ni menos.

Repartos inversamente proporcionales

Queremos repartir una cantidad $N$ de forma inversamente proporcional a las cantidades $a, b, c, \cdots $. Y un reparto inversamente proporcional a las cantidades $a, b, c, \cdots $ es un reparto directamente proporcional a las cantidades de sus inversos $\dfrac{1}{\ a\ }, \dfrac{1}{\ b\ }, \dfrac{1}{\ c\ } \cdots $. Reducimos esos inversos a común denominador y hacemos un reparto directamente proporcional a los numeradores $n_a, n_b, n_c \ldots $

Veamos un ejemplo:

Repartir 420 €, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6.

Otra vez tenemos que repartir entre 3; Luego tenemos que hacer un reparto directamente proporcional a $\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{5}$ y $\dfrac{1}{6}$; Si ponemos común denominador tenemos que: $$ \dfrac{10}{30}, \dfrac{6}{30} \text{ y } \dfrac{5}{30}$$ Con lo que tenemos que hacer un reparto proporcional a 10 (3 años), 6 (5 años) y 5 (6 años):

Vamos a calcular la constante de proporcionalidad $r$:

$$ r = \dfrac{\ p_a \ }{ 10 } = \dfrac{\ p_b \ }{ 6 } = \dfrac{\ p_c \ }{ 5} = \dfrac{ \ p_1 + p_2 + p_3\ }{ 10 + 6 + 5 } = \dfrac{\ 420 \ }{ 21 } = 20 $$

Así $ \dfrac{\ p_a \ }{n_a} = r \Rightarrow p_a = r \cdot n_a $

$ \dfrac{\ p_b \ }{n_b} = r \Rightarrow p_b = r \cdot n_b $

$ \dfrac{\ p_c \ }{n_c} = r \Rightarrow p_c = r \cdot n_c $

$ \ldots $

$$ \dfrac{\ p_a \ }{ 10 } = 20 \Rightarrow p_a = 20 \cdot 10 = 200 $$

$$ \dfrac{\ p_b \ }{ 6 } = 20 \Rightarrow p_b = 20 \cdot 6 = 120 $$

$$ \dfrac{\ p_c \ }{ 5 } = 20 \Rightarrow p_c = 20 \cdot 5 = 100 $$

Sumamos las cantidades $p_a + p_b + p_c = 200 + 120 + 100 = 420 $ € $\checkmark $ y comprobamos que hemos repartido todo lo que teníamos que repartir.

Los repartos pueden ser entre 2, 3, 4, 5 ... etc. A más partes más cuentas habrá que hacer pero la idea del problema de repartos es siempre la misma.

1.- Reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser $ 9 + 6 + 3 = 22$, y cada parte debe de ser de $$k = \dfrac{\ 792\ }{\ 9 + 6 + 3\ } = \dfrac{\ 792\ }{\ 18\ } = 44 \text{€} $$ $$\begin{array}{lrc} \text{Así la hija de 9 años se lleva 9 partes de 44 € } & \Rightarrow 9 \times 44 = & 396 \text{€} \cr \text{Así la hija de 6 años se lleva 6 partes de 44 € } & \Rightarrow 6 \times 44 = & 264 \text{€} \cr \text{Así la hija de 3 años se lleva 3 partes de 44 € } & \Rightarrow 3 \times 44 = & 132 \text{€} \cr & total & 792 \text{€} \end{array}$$

2.- Reparto inversamente proporcional a 9, 6 y 3.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los inversos $\dfrac{\ 1\ }{9}$, $\dfrac{\ 1\ }{6}$ y $\dfrac{\ 1\ }{3}$.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los numeradores una vez puesto el mismo denominador a los inversos $\dfrac{\ 2\ }{18}$, $\dfrac{\ 3\ }{18}$ y $\dfrac{\ 6\ }{18}$, es decir, es un reparto directamente proporcional a 2, 3 y 6.

Reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser $ 2 + 3 + 6 = 11$, y cada parte debe de ser de $$k = \dfrac{\ 792\ }{\ 2 + 3 + 6\ } = \dfrac{\ 792\ }{\ 11\ } = 72 \text{€} $$ $$\begin{array}{lrc} \text{Así la hija de 9 años se lleva 2 partes de 72 € } & \Rightarrow 2 \times 72 = & 144 \text{€} \cr \text{Así la hija de 6 años se lleva 3 partes de 72 € } & \Rightarrow 3 \times 72 = & 216 \text{€} \cr \text{Así la hija de 3 años se lleva 6 partes de 72 € } & \Rightarrow 6 \times 72 = & 432 \text{€} \cr & total & 792 \text{€} \end{array}$$

1.- Reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser $ 6 + 8 + 12 + 18 = 44$, y cada parte debe de ser de $$k = \dfrac{\ 102.300\ }{\ 6 + 8 + 12 + 18\ } = \dfrac{\ 102.300\ }{\ 44\ } = 2.325 \text{€} $$ $$\begin{array}{lrc} \text{Así el hijo de 6 años se lleva 6 partes de 2.325 € } & \Rightarrow \ 6 \times 2.325 = & \ 13.950 \text{€} \cr \text{Así el hijo de 8 años se lleva 8 partes de 2.325 € } & \Rightarrow \ 8 \times 2.325 = & \ 18.600 \text{€} \cr \text{Así la hija de 12 años se lleva 12 partes de 2.325 € } & \Rightarrow 12 \times 2.325 = & \ 27.900 \text{€} \cr \text{Así la hija de 18 años se lleva 18 partes de 2.325 € } & \Rightarrow 18 \times 2.325 = & \ 41.850 \text{€} \cr & total & 102.300 \text{€} \end{array}$$

2.- Reparto inversamente proporcional a 6, 8, 12 y 18.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los inversos $\dfrac{\ 1\ }{6}$, $\dfrac{\ 1\ }{8}$, $\dfrac{\ 1\ }{12}$ y $\dfrac{\ 1\ }{18}$.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los numeradores una vez puesto el mismo denominador a los inversos $\dfrac{\ 12\ }{72}$, $\dfrac{\ 9\ }{72}$, $\dfrac{\ 6\ }{72}$ y $\dfrac{\ 4\ }{72}$, es decir, es un reparto directamente proporcional a 12, 9, 6 y 4.

Reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser $ 12 + 9 + 6 + 4 = 31$, y cada parte debe de ser de $$k = \dfrac{\ 102.300\ }{\ 12 + 9 + 6 + 4\ } = \dfrac{\ 102.300\ }{\ 31\ } = 3.300 \text{€} $$ $$\begin{array}{lrc} \text{Así el hijo de 6 años se lleva 12 partes de 3.300 € } & \Rightarrow 12 \times 3.300 = & \ 39.600 \text{€} \\ \text{Así el hijo de 8 años se lleva 9 partes de 3.300 € } & \Rightarrow \ 9 \times 3.300 = & \ 29.700 \text{€} \\ \text{Así la hija de 12 años se lleva 6 partes de 3.300 € } & \Rightarrow \ 6 \times 3.300 = & \ 19.800 \text{€} \\ \text{Así la hija de 18 años se lleva 4 partes de 3.300 € } & \Rightarrow 18 \times 3.300 = & \ 13.200 \text{€} \\ & total & 102.300 \text{€} \end{array}$$

Este es un reparto inversamente proporcional a los días que han faltado 3 y 5.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los inversos de los días faltados $\dfrac{\ 1\ }{3}$ y $\dfrac{\ 1\ }{5}$.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los numeradores de los inversos de los días faltados una vez puesto el mismo denominador $\dfrac{\ 5\ }{15}$ y $\dfrac{\ 3\ }{15}$.
Es un reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser $ 5 + 3 = 8$, y cada parte debe de ser de $$k = \dfrac{\ 186\ }{\ 5 + 3\ } = \dfrac{\ 136\ }{\ 8\ } = 17 \text{€} $$ $$\begin{array}{lrc} \text{Así el camarero} \ C_1\ \text{ se lleva 5 partes de 17 € } & \Rightarrow \ 5 \times 17 = & \ 85 \text{€} \cr \text{Así el camarero} \ C_2\ \text{ se lleva 3 partes de 17 € } & \Rightarrow \ 3 \times 17 = & \ 51 \text{€} \cr & total & 136 \text{€} \end{array}$$