Números complejos. Conjugado de un número complejo. Formas de un número complejo.

 Los conjuntos de números los podemos poner en un esquema de este estilo: 

Recordemos que: 

$$ \Huge \mathbb{I} \bigcap \mathbb{Q} = \varnothing $$ 

Esto quiere decir que no existe ningún número real que sea racional e irracional a la vez; si es racional, se puede poner en forma de fracción luego no es irracional y viceversa. 

$$ \Huge \mathbb{I} \bigcup \mathbb{Q} = \mathbb{R}$$ 

Esto quiere decir, que todo número real o es racional o es irracional. 

$$ \Huge \left . \begin{array}{r} \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \cr  \mathbb{I} \end{array}\right \}  \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} $$

Veamos ejemplos de números de distintos conjuntos: 

$1, 13, 1.000.000, 5^2, ... \in \mathbb{N} $ 

$1, 13, 1.000.000, 5^2, 13, 0, -12, 3^0, -2.222.222,  ... \in \mathbb{Z} $ 

$1, 13, 1.000.000, 5^2, 13, 0, -12, 3^0, -2.222.222, \dfrac{1}{2},  \dfrac{-11}{4}, \dfrac{23}{5} ... \in \mathbb{Q} $ 

$ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{p} \text{ siendo } p \text{ primo}, \log(2), \pi, e. \phi, ... \in \mathbb{I} $ 

Todos los números anteriores son números reales y por tanto son números complejo. 

$i$ es la unidad imaginaria $i = \sqrt{-1}$ y tal que $i^2 = -1$ Veamos las potencias de $i$ 

$$\Large i^1 = i \qquad i^2 = -1 \qquad i^3 = -i \qquad i^4 = 1$$ 

$$\Large i^5 = i \qquad i^6 = -1 \qquad i^7 = -i \qquad i^8 = 1$$ 

$$\Large i^9 = i \qquad i^{10} = -1 \qquad i^{11} = -i \qquad i^{12} = 1$$ y así sucesivamente. 

Para calcular cuanto vale cualquier potencia de $i, i^{75}$, lo que hacemos es la división entera del exponente entre 4 y nos quedaremos con el resto: 

$$ \Large 75 = 4 \times 18 + 3 \Rightarrow i^{75} = i^{4 \times 18 + 3} = (i^4)^{18} \cdot i^3 = 1 \cdot i^3 = i^3 = -i$$

Veamos una definición formal del conjunto de los números complejos:

$$\Huge \mathbb{C} = \{ \ a + bi \ | \ a, b \in \mathbb{R}; \ \ i^2 = -1 \} $$ 

Sea un número complejo cualquiera $z = a + bi $, se define el conjugado $\bar{z} = a - bi$, es decir, la misma parte real y parte imaginaria la opuesta. 

En esta animación de GeoGebra vamos a ver la representación del un número complejo $z$ (en la animación es el que forma el ángulo con la parte positiva del eje de abscisas $OX$), su conjugado $\bar{z}$, el opuesto $-z$ y el opuesto del conjugado $-\bar{z}$. Si cogemos el punto que determina dicho número complejo, el afijo, podemos mover dicho número y como se actualizan los 4 números según se desplaza.

Si un número complejo es $z = 3 + 5i$, su conjugado $\bar{z} = 3 - 5i$, su opuesto es $-z = -3 - 5i$; y el opuesto de su conjugado (es lo mismo el conjugado de su opuesto) es $- \bar{z} = - 3 + 5i$.

Otro ejemplo: $w = -6 - 7i$, su conjugado $\bar{w} = -6 + 7i$, su opuesto es $-w = 6 + 7i$ y el opuesto del conjugado $- \bar{w} = +6 - 7i$.

Distintas formas en las que podemos escribir un número complejo, siendo $r = | z | = \sqrt{a^2 + b^2}$ y $\alpha = Arg(z) = \arctg \left ( \dfrac{b}{a} \right )$. 

$$ \large z = \left (a, b \right ) = a + bi = r \cdot \left ( \cos \alpha + i \sen \alpha \right ) = r_{\alpha} = r \cdot e^{i \alpha}  $$

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \text{ Par ordenado }  \qquad z = \left (a, b \right ) $ } } $$

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \text{Forma binómica } \qquad  z = a + bi $ } } $$

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \text{Forma trigonométrica}  \qquad z = r \cdot \left ( \cos \alpha + i \cdot \sen \alpha \right ) $ } } $$ $$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \text{Forma polar}  \qquad  z = r_{ \alpha } $ } } $$

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \text{Forma exponencial}  \qquad  z = r \cdot e^{ i \alpha } $ } } $$

Propiedades de los módulos de los números complejos:

1. El $|z| \geq 0 $. Además $|z| = 0$ si y solo si $z = 0$.
   
   
2. $|a| \leq |z|$ y $|b| \leq |z| $.
   
   $|a|= \msqrt{a^2} \leq \msqrt{a^2 + b^2} = |z| $
   
   $|b|= \msqrt{b^2} \leq \msqrt{a^2 + b^2} = |z| $
   
   
3. El producto de un número complejo por su conjugado es igual al cuadrado de su módulo: $z \cdot \overline{z} = |z|^2$.
   
   $$ z \cdot \overline{z} = (a + bi) \cdot (a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 + b^2 = |z|^2 $$
   
   
4. El módulo de un número complejo y su conjugado son iguales: $|z| = |\overline{z}| $
   
   Sea $z = a + bi$, el módulo de $|z| = \msqrt{a^2 + b^2}$
   
   Sea $\overline{z} = a - bi$, el módulo de $|\overline{z}| = \msqrt{a^2 + (-b)^2} = \msqrt{a^2 + b^2} = |z| $
   
   De la misma forma se puede ver que $$ |z| = |\overline{z}| = |-z| = |-\overline{z}| $$
5. El módulo del producto de dos números complejos es el producto de sus módulos: $ |z_1 \cdot z_2 | = |z_1| \cdot |z_2|$
   
   Vamos a utilizar las propiedades $ z \cdot \bar{z} = |z|^{2} $ y $\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2} $ : $$ |z_1 \cdot z_2|^{2} = (z_1 \cdot z_2) \overline{ (z_1 \cdot z_2)} = z_1 \cdot z_2 \cdot \bar{z_1} \cdot \bar{z_2} = z_1 \cdot \bar{z_1} \cdot z_2 \cdot \bar{z_2}= |z_1|^{2}|z_2|^{2} $$ Sacamos raíces cuadradas tenemos: $$ |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| $$ Nota: Está propiedad se puede extender al producto de 3, 4, 5, .... módulos de números complejos.
   
   Consecuencia:
   
   El módulo de la enésima potencia es la enésima potencia del módulo: $|z^n| = |z|^n$
   
   
   
   
6. Sea un número complejo distinto de cero $z \neq 0$, el módulo del inverso es el inverso del módulo de $z$: $ \left | z^{-1} \right | = |z|^{-1} $
   
   Usamos la propiedad anterior, $ |z_1 \cdot z_2 | = |z_1| \cdot |z_2|$
   
   Tenemos que $$1 = z \cdot z^{-1} \Rightarrow 1 = |1| = \left| z \cdot z^{-1} \right | = |z| \cdot \left|z^{-1}\right| $$ Si despejamos $ \left|z^{-1}\right| $ tenemos que
   
   $$ \left | z^{-1} \right| = \dfrac{\ \ 1 \ \ }{|z|} = |z|^{-1} $$
   
   
   
   
7. El módulo del cociente de dos complejos es el cociente de sus módulos: $\text{ Si } z_2 \neq 0 \Rightarrow \left| \dfrac{\ z_1\ }{z_2} \right | = \dfrac{\ |z_1|\ }{ |z_2| } $
   
   Usamos la dos propiedades anteriores: $ |z_1 \cdot z_2 | = |z_1| \cdot |z_2| $, $\left |z^{-1} \right | = |z|^{-1}$ y $|z_2| \neq 0$. Veamos: $$ \left | \dfrac{\ z_1\ }{z_2} \right | = \left |z_1 \cdot z_2^{-1} \right | = |z_1| \cdot \left|z_2^{-1} \right | = |z_1| \cdot |z_2|^{-1} = \dfrac{\ |z_1| \ }{|z_2|} $$
   
   
   
   

Fórmula de «De Moivre»

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \left( \cos \alpha + i \sen \alpha \right )^n = \cos n\alpha + i \sen n\alpha$ } } $$

$\bullet \quad $ Usando está fórmula podemos obtener las fórmulas trigonométricas del ángulo doble, $n = 2$: 

Por un lado tenemos: $\left ( \cos \alpha + i \sen \alpha \right )^2 = \cos^2 \alpha + 2i\cos \alpha \sen \alpha - \sen^2 \alpha$

Por otro lado:  $\cos 2\alpha + i \sen 2\alpha$

Como es el mismo número complejo, las partes real e imaginaria han de coincidir, entonces:

$$ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha $$ $$ \sen 2 \alpha = 2\cos \alpha \sen \alpha $$ 

$\bullet \quad $ Veamos el caso $n = 3$, las fórmulas del ángulo triple:

Por un lado tenemos: $\left ( \cos \alpha + i \sen \alpha \right )^3 = \cos^3 \alpha + 3i\cos^2 \alpha \sen \alpha + 3 \cos \alpha (i \cdot \sen \alpha)^2 + (i \cdot \sen \alpha )^3 = $ $$ = \cos^3 \alpha + 3i\cos^2 \alpha \sen \alpha - 3 \cos \alpha \sen^2 \alpha - i \sen^3 \alpha $$

Por otro lado:  $\cos 3\alpha + i \sen 3\alpha$

Como es el mismo número complejo, las partes real e imaginaria han de coincidir, entonces:

$$ \cos 3 \alpha = \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha \sen^2 \alpha = \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha (1 - \cos^2 \alpha) = 4\cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha $$ $$ \sen 3 \alpha = 3\cos^2 \alpha \sen \alpha - \sen^3 \alpha = 3(1 - \sen^2 \alpha ) \sen \alpha - \sen^3 \alpha = 3 \sen \alpha - 3 \sen^3 \alpha - \sen^3 \alpha = 3 \sen \alpha - 4 \sen^3 \alpha $$

Operaciones con números complejos

    Las distintas expresiones utilizadas para representar un número complejo, nos deben hacer plantearnos cuál de ellas es la más adecuada para la realización de las distintas operaciones con números complejos.

	Cartesiana (a, b)	Binómica a + bi	Trigonométrica $r \cdot (\cos \alpha + i \cdot \sen \alpha ) $	Polar $r_{\alpha}$	Exponencial $r \cdot e^{i \cdot \alpha}$
Suma	*	*
Resta	*	*
Producto		*		*
División		*		*
Potencia			*	*	*
Radicación				*

Vamos con un ejemplo, calcular $(1 - i)^5$:

Para calcular $(1 - i)^5$ podemos usar el binomio de Newton:

$$ \displaystyle (1 - i)^5 = [1 + (- i) ]^5 = \sum_{n = 0}^{5} \binom{5}{n} 1^{5-n}(-i)^n = $$
$$ = \binom{5}{0} 1^{5} + \binom{5}{1} 1^{4}(-i)^1 + \binom{5}{2} 1^{3}(-i)^2 + \binom{5}{3} 1^{2}(-i)^3 + $$
$$ \displaystyle + \binom{5}{4} 1^{1}(-i)^4 + \binom{5}{5}(-i)^5 = 1 + 5(-i) + 10 (-1) + 10i + 5 - i = -4 + 4i $$

Pasamos el número de binómica a trigonométrica y polar $ z = 1 - i $:

$r = |z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ y $\alpha = Arg( z ) = \arctg \left ( \dfrac{b}{a} \right ) = \arctg \left ( \dfrac{-1}{1} \right ) = \arctg( -1) $

Puede ser $\dfrac{3\pi}{4} = \gss{135}$ o $\dfrac{7\pi}{4} = \gss{315}$; es la $2^{\underline{a}}$ opción ya que $1 - i$ está en el $4^{\underline{o}}$ cuadrante.

Así: $z = 1 - i = \sqrt{2}_{ \dfrac{7\pi}{4} } = \sqrt{2} \cdot \left [ \cos \left ( \dfrac{7\pi}{4} \right ) + i \sen \left ( \dfrac{7\pi}{4} \right ) \right ] = \sqrt{2} \cdot \left [ \dfrac{ \sqrt{2} }{2} + i \dfrac{ -\sqrt{2} }{2} \right ] = 1 - i = $

$ = \sqrt{2}_{ \gss{315} } = \sqrt{2} \cdot \left [ \cos \left ( \gss{315} \right ) + i \sen \left ( \gss{315} \right ) \right ] $

Si calculamos su potencia:

$z^5 = (1 - i)^5 = \left ( \sqrt{2}_{ \dfrac{7\pi}{4} } \right )^5 = (\sqrt{2})^5_{ \dfrac{35\pi}{4} } = 4 \sqrt{2} \cdot \left [ \cos \left ( \dfrac{3\pi}{4} \right ) + i \sen \left ( \dfrac{3\pi}{4} \right ) \right ] = $

$= 4 \cdot \sqrt{2} \cdot \left [ \dfrac{ -\sqrt{2} }{2} + i \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \right ] = - 4 + 4i $





Teorema: Sea $a(x)$ un polinomio con coeficientes reales, $a_i \in \R \ \forall i = 0, 1, 2, \ldots, n$: $$a(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots +a_{1} x+a_{0}$$ y sea $z \in \mathbb{C}$ es una raíz de $a(x)$, es decir $a(z) = 0 $, entonces $\bar{z}$ es también raíz de $a(x)$, es decir, $a(\bar{z}) = 0$.

Demo: Al ser $z$ raíz de $a(x)$ sabemos que $$ a(z) = a_{n} z^{n} + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_{1} z + a_{0} = 0 $$
Ahora bien, utilizando propiedades del conjugado de un número complejo y el hecho de que los coeficientes del polinomio son números reales, tenemos que:
$$\begin{aligned} a(\bar{z}) &=a_{n} \bar{z}^{n}+a_{n-1} \bar{z}^{n-1}+\cdots+a_{1} \bar{z}+ a_{0} = \\ & =\bar{a}_{n} \bar{z}^{n}+\bar{a}_{n-1} \bar{z}^{n-1}+\cdots+\bar{a}_{1} \bar{z}+a_{0} = \\ &=\overline{a_{n} z^{n}}+\overline{a_{n-1} z^{n-1}}+\dots+\overline{a_{1} z}+\overline{a_{0}} = \\ & =\overline{a_{n} z^{n}+a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_{1}z+a_{0} } = \overline{0} = 0 \end{aligned}$$

Ejercicios con solución:

Para tener una expersión más manejable de dicho número, lo que tenemos que hacer es multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador $(-2 - 3i)$:
$$\dfrac{4x + 9i}{-2 + 3i} = \dfrac{ (4x + 9i) \cdot (-2 - 3i) }{ (-2 + 3i) \cdot (-2 - 3i) } = \dfrac{-8x - 12ix - 18i + 27}{ 4 + 9 } = = \dfrac{-8x + 27 - 6i \cdot (2x + 3) }{ 13 }$$
Valor de $x$ para que sea un número real:

Para que sea un número real la parte imaginario tiene que ser cero. Veamos: $$ 2x + 3 = 0 \Rightarrow x = \mfrac{-3}{2} $$
Valor de $x$ para que sea un número imaginario puro.

Para que sea un número imaginario puro, la parte real ha de ser cero. Veamos: $$ -8x + 27 = 0 \Rightarrow \ x = \mfrac{27}{8} $$

Primero vamos a calcular su modulo:
$|z| = | (30 - 16 \cdot i) | \cdot | (a + 36 \cdot i) | $ si calculamos los módulos por separado:

$\sqrt{30^2 + 16^2} \cdot \sqrt{a^2 + 36^2} = 1.530 \ \Rightarrow \sqrt{1.156} \cdot \sqrt{a^2 + 1.296} = 1.530 \Rightarrow $

$ \Rightarrow 34 \cdot \sqrt{a^2 + 1.296} = 1.530 \Rightarrow \sqrt{a^2 + 1.296} = 45 \Rightarrow a^2 + 1.296 = 2.025 \Rightarrow a^2 = 729 \Rightarrow a = \pm 27$

Pero nos piden que valor de $a$ hace que el complejo $z$ esté en el primer cuadrante: $$ z = 30a + 576 + i \cdot (1.080 - 16a) $$ Si $a = +27 \ \Rightarrow \ z = 810 + 576 + i \cdot (1.080 + 432 ) = 1.386 + 648i $ que está en el $\odn{1}{er}$ cuadrante. $\checkmark$

Si $a = -27 \ \Rightarrow \ z = -810 + 576 + i \cdot (1.080 + 432 ) = -234 + 1.512i $ que no está en el $1^{\underline{er}}$ cuadrante. $\unicode{x2717}$

Sean $z = a + bi, \Rightarrow \overline{z} = a - bi$ los números complejos;

La suma es 8, entonces $$ z + \overline{z} = 8 \Rightarrow( a + bi ) + ( a - bi) = 8 \Rightarrow 2a = 8 \Rightarrow a = 4$$ La suma de los módulos es 10, entonces

$ | z | + | \overline{z} | = 10 \Rightarrow \sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{a^2 + b^2} = 10 \Rightarrow 2 \sqrt{16 + b^2} = 10 \Rightarrow \sqrt{16 + b^2} = 5 \Rightarrow $

$ \Rightarrow 16 + b^2 = 25 \Rightarrow b^2 = 9 \Rightarrow b = \pm 3 $

Luego los números son: $$z = 4 + 3i, \Rightarrow \overline{z} = 4 - 3i \text{ o } z = 4 - 3i, \Rightarrow \overline{z} = 4 + 3i $$

Tenemos que calcular las raíces sextas de -8i, $ z = \sqrt[6]{-8i} = \sqrt[6]{8_{ \frac{ 3\pi}{2} }}$. Para calcular las raíces sextas de un número tendremos que buscar $w$ tal que $w^6 = z$, para ello

$ |w| = \sqrt[6]{|z|} \Rightarrow |w| = \sqrt[6]{8} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt{2} $ y los argumentos:
$$ \beta = \dfrac{Arg(z) + 2 \pi k}{ n } = \dfrac{Arg(z) + \gss{360} k}{ n } , \text{ con } k = 0, 1, 2, ... , n - 1$$
En este caso el $Arg(-8i) = \dfrac{3\pi}{2} = \gss{270}$ y $\beta = \dfrac{ \dfrac{ 3\pi}{2} + 2 \pi k}{ 6 } = \dfrac{ \gss{270} + \gss{360} k}{ 6 }, k = 0, 1, 2, 3, 4 \text{ y } 5 $
$$k = 0 \text{ y} \beta_0 = \dfrac{ 3\pi }{ 12 } = \dfrac{ \pi }{ 4 } \Rightarrow \beta_0 = \gss{45} $$ $$k = 1 \text{ y} \beta_1 = \dfrac{ \dfrac{3\pi}{2} + 2 \pi}{ 6 } = \dfrac{ 7 \pi}{ 12 } \Rightarrow \beta_1 = \dfrac{ \gss{270} + \gss{360}}{ 6 } = \dfrac{ \gss{630} }{ 6 } = \gss{105} $$ $$k = 2 \text{ y} \beta_2 = \dfrac{ \dfrac{3\pi}{2} + 4 \pi}{ 6 } = \dfrac{ 11 \pi}{ 12 } \Rightarrow \beta_2 = \dfrac{ \gss{270} + \gss{360} \cdot 2}{ 6 } = \dfrac{ \gss{270} + \gss{720} }{ 6 } = \dfrac{ \gss{900} }{ 6 } = \gss{165} $$ $$k = 3 \text{ y} \beta_3 = \dfrac{ \dfrac{3\pi}{2} + 6 \pi}{ 6 } = \dfrac{ 15 \pi}{ 12 } \Rightarrow \beta_3 = \dfrac{ \gss{270} + \gss{360} \cdot 3 }{ 6 } = \dfrac{ \gss{270} + \gss{1.080} }{ 6 } = \dfrac{ \gss{1.260} }{ 6 } = \gss{225} $$ $$k = 4 \text{ y} \beta_4 = \dfrac{ \dfrac{3\pi}{2} + 8 \pi}{ 6 } = \dfrac{ 19 \pi}{ 12 } \Rightarrow \beta_4 = \dfrac{ \gss{270} + \gss{360} \cdot 4 }{ 6 } = \dfrac{ \gss{270} + \gss{1.440} }{ 6 } = \dfrac{ \gss{1.620} }{ 6 } = \gss{285} $$ $$k = 5 \text{ y} \beta_5 = \dfrac{ \dfrac{3\pi}{2} + 10 \pi}{ 6 } = \dfrac{ 23 \pi}{ 12 } \Rightarrow \beta_5 = \dfrac{ \gss{270} + \gss{360} \cdot 5 }{ 6 } = \dfrac{ \gss{270} + \gss{1.800} }{ 6 } = \dfrac{ \gss{2.070} }{ 6 } = \gss{345} $$ Es decir, las raíces son:

$w_0 = \sqrt{2}_{\frac{ \pi }{ 4 } } = \sqrt{2} \cdot \left [ \cos \left ( \dfrac{ \pi }{ 4 } \right ) + i \sen \left ( \dfrac{ \pi }{ 4 } \right ) \right ] = \sqrt{2} \cdot \left ( \dfrac{ \sqrt{2} }{2} + i \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \right ) = 1 + i $

$w_1 = \sqrt{2}_{ \frac{ 7\pi }{ 12 } } = \sqrt{2} \cdot \left [ \cos \left ( \dfrac{ 7\pi }{ 12 } \right ) + i \sen \left ( \dfrac{ 7\pi }{ 12 } \right ) \right ] = \sqrt{2} \cdot \dfrac{ \sqrt{2} }{4} \cdot \left ( 1 - \sqrt{3} + i ( 1 + \sqrt{3} ) \right ) = $

$= \dfrac{ 1 - \sqrt{3} }{2} + i \dfrac{ 1 + \sqrt{3} }{2} $

$w_2 = \sqrt{2}_{ \frac{ 11 \pi}{ 12 } } = \sqrt{2} \cdot \left ( \cos \left ( \dfrac{ 11\pi }{ 12 } \right ) + i \sen \left ( \dfrac{ 11\pi }{ 12 } \right ) \right ) = \sqrt{2} \cdot \dfrac{ \sqrt{2} }{4} \cdot \left ( - (\sqrt{3} + 1) + i ( \sqrt{3} - 1) \right ) = $

$= - \dfrac{ \sqrt{3} + 1 }{2} + i \dfrac{ \sqrt{3} - 1 }{2} $

$w_3 = \sqrt{2}_{ \frac{ 15 \pi}{ 12 } } = \sqrt{2} \cdot \left [ \cos \left ( \dfrac{ 15\pi }{ 12 } \right ) + i \sen \left ( \dfrac{ 15\pi }{ 12 } \right ) \right ] = \sqrt{2} \cdot \left ( \dfrac{ -\sqrt{2} }{2} + i \dfrac{ -\sqrt{2} }{2} \right ) = - (1 + i) $

$w_4 = \sqrt{2}_{ \frac{ 19 \pi}{ 12 } } = \sqrt{2} \cdot \left [ \cos \left ( \dfrac{ 19\pi }{ 12 } \right ) + i \sen \left ( \dfrac{ 19\pi }{ 12 } \right ) \right ] = \sqrt{2} \cdot \dfrac{ \sqrt{2} }{4} \cdot \left ( 1 - \sqrt{3} + i ( 1 + \sqrt{3} ) \right ) = $

$ = \dfrac{ \sqrt{3} - 1 }{2} - i\dfrac{ \sqrt{3} + 1 }{2} $

$w_5 = \sqrt{2}_{ \frac{ 23 \pi}{ 12 } } = \sqrt{2} \cdot \left [ \cos \left ( \dfrac{ 23\pi }{ 12 } \right ) + i \sen \left ( \dfrac{ 23\pi }{ 12 } \right ) \right ] \sqrt{2} \cdot \dfrac{ \sqrt{2} }{4} \cdot \left ( 1 + \sqrt{3} + i ( 1 - \sqrt{3} ) \right ) = $

$= \dfrac{ 1 + \sqrt{3} }{2} + i \dfrac{ 1 - \sqrt{3} }{2} $

En grados, las raíces son:
$w_0 = \sqrt{2}_{ \gss{45} } = \sqrt{2} \cdot \left [ \cos \left ( \gss{45} \right ) + i \sen \left ( \gss{45} \right ) \right ] = \sqrt{2} \cdot \left ( \dfrac{ \sqrt{2} }{2} + i \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \right ) = 1 + i $

$w_1 = \sqrt{2}_{ \gss{105} } = \sqrt{2} \cdot \left [ \cos \left ( \gss{105} \right ) + i \sen \left ( \gss{105} \right ) \right ] = \sqrt{2} \cdot \dfrac{ \sqrt{2} }{4} \cdot \left ( 1 - \sqrt{3} + i ( 1 + \sqrt{3} ) \right ) = $

$= \dfrac{ 1 - \sqrt{3} }{2} + i \dfrac{ 1 + \sqrt{3} }{2} $

$w_2 = \sqrt{2}_{ \gss{165} } = \sqrt{2} \cdot \left [ \cos \left ( \gss{165} \right ) + i \sen \left ( \gss{165} \right ) \right ] = \sqrt{2} \cdot \dfrac{ \sqrt{2} }{4} \cdot \left ( - (\sqrt{3} + 1) + i ( \sqrt{3} - 1) \right ) = $

$= - \dfrac{ \sqrt{3} + 1 }{2} + i \dfrac{ \sqrt{3} - 1 }{2} $

$w_3 = \sqrt{2}_{ \gss{225} } = \sqrt{2} \cdot \left [ \cos \left ( \gss{225} \right ) + i \sen \left ( \gss{225} \right ) \right ] = \sqrt{2} \cdot \left ( \dfrac{ -\sqrt{2} }{2} + i \dfrac{ -\sqrt{2} }{2} \right ) = - (1 + i) $

$w_4 = \sqrt{2}_{ \gss{285} } = \sqrt{2} \cdot \left [ \cos \left ( \gss{285} \right ) + i \sen \left ( \gss{285} \right ) \right ] = \sqrt{2} \cdot \dfrac{ \sqrt{2} }{4} \cdot \left ( 1 - \sqrt{3} + i ( 1 + \sqrt{3} ) \right ) = $

$ = \dfrac{ \sqrt{3} - 1 }{2} - i\dfrac{ \sqrt{3} + 1 }{2} $

$w_5 = \sqrt{2}_{ \gss{345} } = \sqrt{2} \cdot \left [ \cos \left ( \gss{345} \right ) + i \sen \left ( \gss{345} \right ) \right ] = \sqrt{2} \cdot \dfrac{ \sqrt{2} }{4} \cdot \left ( 1 + \sqrt{3} + i ( 1 - \sqrt{3} ) \right ) = $

$= \dfrac{ 1 + \sqrt{3} }{2} + i \dfrac{ 1 - \sqrt{3} }{2} $

Luego $$ S = \left \{ w_4, w_5 \right \} \Rightarrow S = \left \{ \dfrac{ \sqrt{3} - 1 }{2} - i\dfrac{ \sqrt{3} + 1 }{2}, \dfrac{ \sqrt{3} + 1 }{2} + i \dfrac{ 1 - \sqrt{3} }{2} \right \} $$

Tenemos que resolver $z = \sqrt[4]{-i} = \sqrt[4]{ 1_{ \frac{3\pi}{2} } } = \sqrt[4]{ 1_{ \gss{270} } } $

Claramente $|z| = 1 $ y el argumento de $z \text{ es } Arg(z) = \dfrac{3\pi}{2} = \gss{270} $. Y los argumentos de las raíces son $$\beta = \dfrac{ \dfrac{ 3\pi}{2} + 2 \pi k}{ 4 } = \dfrac{ \gss{270} + \gss{360} k}{ 4 }, k = 0, 1, 2 \text{ y } 3 $$ $$k = 0 \text{ y } \beta_0 = \dfrac{ 3\pi }{ 8 } \Rightarrow \beta_0 = \gss{67,5} $$ $$k = 1 \text{ y } \beta_1 = \dfrac{ \dfrac{3\pi}{2} + 2 \pi}{ 4 } = \dfrac{ 7 \pi}{ 8 } \Rightarrow \beta_1 = \dfrac{ \gss{270} + \gss{360}}{ 4 } = \dfrac{ \gss{630} }{ 4 } = \gss{157,5} $$ $$k = 2 \text{ y } \beta_2 = \dfrac{ \dfrac{3\pi}{2} + 4 \pi}{ 4 } = \dfrac{ 11 \pi}{ 8 } \Rightarrow \beta_2 = \dfrac{ \gss{270} + \gss{360} \cdot 2}{ 4 } = \dfrac{ \gss{270} + \gss{720} }{ 4 } = \dfrac{ \gss{990} }{ 4 } = \gss{247,5} $$ $$k = 3 \text{ y } \beta_3 = \dfrac{ \dfrac{3\pi}{2} + 6 \pi}{ 4 } = \dfrac{ 15 \pi}{ 8 } \Rightarrow \beta_3 = \dfrac{ \gss{270} + \gss{360} \cdot 3 }{ 4} = \dfrac{ \gss{270} + \gss{1.080} }{ 4 } = \dfrac{ \gss{1.350} }{ 4 } = \gss{337,5} $$ Tenemos que los ángulos $\gss{67,5}$ y $\gss{22,5}$ son complementarios. Y para calcular las razones trigonométricas $\gss{22,5}$ vamos a utilizar las fórmulas del ángulo mitad:
$$ \cos \left ( \dfrac{x}{2} \right ) = \pm \sqrt{ \dfrac{1 + cos( x ) }{2} }; \qquad \qquad \sen \left ( \dfrac{x}{2} \right ) = \pm \sqrt{ \dfrac{1 - cos( x ) }{2} }; $$ \\ Para calcular las razones trigonométricas de $\gss{67,5}$, usamos que es complementario de $\gss{22,5}$: \\ $\cos( \gss{67,5} ) = \sen( \gss{22,5} ) = \sen \left ( \dfrac{ \gss{45} }{2} \right ) = \sqrt{ \dfrac{1 - \cos( \gss{45} ) }{2} } = \sqrt{ \dfrac{1 - \dfrac{ \sqrt{2} }{2} }{2} } = \sqrt{ \dfrac{2 - \sqrt{2} }{4} } = $ \\ \\ $ = \dfrac{ \sqrt{ 2 - \sqrt{2} } }{2} $

$\sen( \gss{67,5} ) = \cos( \gss{22,5} ) = \cos \left ( \dfrac{\gss{45}}{2} \right ) = \sqrt{ \dfrac{1 + \cos( \gss{45} ) }{2} } = \sqrt{ \dfrac{1 + \dfrac{ \sqrt{2} }{2} }{2} } = \sqrt{ \dfrac{2 + \sqrt{2} }{4} } = $

$ = \dfrac{ \sqrt{ 2 + \sqrt{2} } }{2} $

En grados, las raíces son: $$w_0 = 1_{ \gss{67,5} } = \cos \left ( \gss{67,5} \right ) + i \sen \left ( \gss{67,5} \right ) = \dfrac{ \sqrt{2 - \sqrt{2}} }{2} + i \dfrac{ \sqrt{ 2 + \sqrt{2} } }{2} $$ $$w_1 = 1_{ \gss{157,5} } = \cos \left ( \gss{157,5} \right ) + i \sen \left ( \gss{157,5} \right ) = \dfrac{ - \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{2} + i\dfrac{ \sqrt{ 2 - \sqrt{2} } }{2} $$ $$w_2 = 1_{ \gss{247,5} } = \cos \left ( \gss{247,5} \right ) + i \sen \left ( \gss{247,5} \right ) = \dfrac{ - \sqrt{2 - \sqrt{2}} }{2} - i\dfrac{ \sqrt{ 2 + \sqrt{2} } }{2} $$ $$w_3 = 1_{ \gss{337,5} } = \cos \left ( \gss{337,5} \right ) + i \sen \left ( \gss{337,5} \right ) = \dfrac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{2} - i \dfrac{ \sqrt{ 2 - \sqrt{2} } }{2} $$

Como es una potencia vamos a pasar el número a polares:

$3 + 3i \Rightarrow | 3 + 3i | = \sqrt{(3)^2 + (3)^2 } = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ y $Arg(z) = \arctg \left ( \dfrac{\ 3 \ }{ 3 } \right ) = \arctg(1) = \dfrac{ \ \pi \ }{4} = \gss{45}$ $$ 3 + 3i = 3\sqrt{2}_{\frac{ \pi } {4} } = 3\sqrt{2}_{ \gss{45} }$$
Ahora calculamos la potencia:

$\left ( 3 + 3 \cdot i \right )^{829} = \left ( 3\sqrt{2}_{ \frac{ \pi } {4} } \right )^{829} = {3^{829} 2^{424} \sqrt{2} }_{ \frac{ 829\pi }{4} } = (*) $

Aquí el problema lo tenemos en calcular $\mfrac{ 829\pi }{4} $

$$ \dfrac{ 829\pi }{4} = 407\pi + \dfrac{ \pi }{4} = 406\pi + \pi + \mfrac{ \pi }{4} = \dfrac{ 5\pi }{4} (406\pi \text{ son 203 vueltas completas.} )$$
$= (*) = {3^{829}2^{424} \sqrt{2} }_{ \frac{ 5\pi }{4} } = 3^{829}2^{424} \sqrt{2} \cdot \left [ \cos \left ( \dfrac{ 5\pi }{4} \right ) + i \sen \left ( \dfrac{ 5\pi }{4} \right ) \right ] = 3^{829}2^{424} \sqrt{2} \cdot \left ( \dfrac{ -\sqrt{2} }{2} - i \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \right ) = $

$ = - 3^{829}2^{424} \cdot ( 1 + i ) $

Lo primero que hay que hacer es calcular $i^{15} = i^{4.3 + 3} = i^3 = -i$. Luego despejar $z$

$$ \dfrac{z}{1 + z} = -i \Rightarrow z = -i \cdot (1 + z) \Rightarrow z = -i -iz \Rightarrow z ( 1 + i ) = -i \Rightarrow z = \dfrac{\ -i \ }{1 + i} = \dfrac{\ -i \cdot (1 - i) \ }{ (1 + i) \cdot (1 - i)} = \dfrac{\ -1 - i \ }{ 2 } $$

Como es un polinomio con coeficientes reales, vamos a probar con los divisores del término independiente, en este caso $-2$ y nos quedan $\pm 1 y \pm 2$.

Sea $p(z) = z^4 + z^3 - z^2 + z - 2 = 0$ si hacemos $p(1) = 1^4 + 1^3 - 1^2 + 1 - 2 = 3 - 3 = 0$ luego 1 es solución de la ecuación. Aplicamos Ruffini y nos queda:

Nos queda $p(z) = (z - 1) \cdot (z^3 + 2z^2 + z + 2) $ aquí vemos que las raíces tienen que ser negativas y -1 no es raíz; si probamos con -2 nos sale que es ráiz.

Ahora nos queda $p(z) = (z - 1) \cdot (z + 2) \cdot (z^2 + 1) $ y ahora la factorización es muy sencilla:
$$p(z) = (z - 1) \cdot (z + 2) \cdot (z + i) \cdot (z - i) $$

Sacamos factor común $-x \cdot (x^4 + 1) = 0$ y seguir factorizando: $$-x \cdot (x^2 + i) \cdot (x^2 - i) = -x \cdot (x + i\sqrt{i} ) \cdot (x - i\sqrt{i} ) \cdot (x - \sqrt{i} ) \cdot (x + \sqrt{i} ) = 0$$ Otra forma de hacerlo, por ejemplo, si nos pidieran la forma binomial:

$x^4 = -1$ es decir, calcular las raíces 4 de -1, $x = \sqrt[4]{-1} = \sqrt[4]{1_{\gss{180}} } $

El módulo de la raíz $w, |w| = 1$. Así los argumentos de las raíces son:

$$\beta = \dfrac{ \pi + 2 \pi k}{ 4 } = \dfrac{ \gss{180} + \gss{360} k}{ 4 }, k = 0, 1, 2 \text{ y } 3 $$ $$k = 0 \text{ y } beta_0 = \dfrac{ \ \pi \ }{4} \Rightarrow \beta_0 = \gss{45} $$ $$k = 1\text{ y }\beta_1 = \dfrac{ \pi + 2 \pi}{ 4 } = \dfrac{ \ 3\pi \ }{ 4 } \Rightarrow \beta_1 = \dfrac{ \gss{180} + \gss{360} }{ 4 } = \gss{135} $$ $$k = 2\text{ y }\beta_2 = \dfrac{ \pi + 4 \pi}{ 4 } = \dfrac{ \ 5\pi \ }{ 4 } \Rightarrow \beta_2 = \dfrac{ \gss{180} + \gss{360} \cdot 2}{ 4 } = \dfrac{ \gss{900} }{ 4 } = \gss{225} $$ $$k = 3\text{ y }\beta_3 = \dfrac{ \pi + 6 \pi}{ 4 } = \dfrac{\ 7\pi \ }{ 4 } \Rightarrow \beta_3 = \dfrac{ \gss{180} + \gss{360} \cdot 3 }{ 4 } = \dfrac{ \gss{1.260} }{ 4 } = \gss{315} $$ Es decir, las raíces son:
$$w_0 = 1_{\frac{ \pi }{ 4 } } = \cos \left ( \dfrac{ \pi }{ 4 } \right ) + i \sen \left ( \dfrac{ \pi }{ 4 } \right ) = \dfrac{ \sqrt{2} }{2} + i \dfrac{ \sqrt{2} }{2} $$ $$w_1 = 1_{ \frac{ 3\pi }{ 4 } } = \cos \left ( \dfrac{ 3\pi }{ 4 } \right ) + i \sen \left ( \dfrac{ 3\pi }{ 4 } \right ) = - \dfrac{ \sqrt{2} }{2} + i \dfrac{ \sqrt{2} }{2} $$ $$w_2 = 1_{ \frac{ 5 \pi}{ 4 } } = \cos \left ( \dfrac{ 5\pi }{ 4 } \right ) + i \sen \left ( \dfrac{ 5\pi }{ 4 } \right ) = - \dfrac{ \sqrt{2} }{2} - i\dfrac{ \sqrt{2} }{2} $$ $$w_3 = 1_{ \frac{ 7 \pi}{ 4 } } = \cos \left ( \dfrac{ 7\pi }{ 4 } \right ) + i \sen \left ( \dfrac{ 7\pi }{ 4 } \right ) = \dfrac{ \sqrt{2} }{2} - i \dfrac{ \sqrt{2} }{2} $$ En grados, las raíces son:
$$w_0 = 1_{ \gss{45} } = \cos \left ( \gss{45} \right ) + i \sen \left ( \gss{45} \right ) = \dfrac{ \sqrt{2} }{2} + i \dfrac{ \sqrt{2} }{2} $$ $$w_1 = 1_{ \gss{135} } = \cos \left ( \gss{135} \right ) + i \sen \left ( \gss{135} \right ) = - \dfrac{ \sqrt{2} }{2} + i \dfrac{ \sqrt{2} }{2} $$ $$w_2 = 1_{ \gss{225} } = \cos \left ( \gss{225} \right ) + i \sen \left ( \gss{225} \right ) = - \dfrac{ \sqrt{2} }{2} - i \dfrac{ \sqrt{2} }{2} $$ $$w_3 = 1_{ \gss{315} } = \cos \left ( \gss{315} \right ) + i \sen \left ( \gss{315} \right ) = \dfrac{ \sqrt{2} }{2} - i \dfrac{ \sqrt{2} }{2} $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

SM Ejercicio 141 de varias formas

 Vamos a resolver el siguiente ejercicio de tres formas diferentes a como lo hace el solucionario. 

El ejercicio dice lo siguiente: 

141. Del cuadrado ABCD, se conocen las coordenadas del punto $A(8, 7)$ y que los puntos $B$ y $C$ pertenecen a la recta de ecuación $3x - 4y =19$.

a) ¿Cuáles son las coordenadas de los otros tres vértices?

b) Halla el perímetro y el área del cuadrado.

Ver esquema del problema: 

1.- Con rectas y resolver sistemas asociados:

Podemos calcular la perpendicular a la recta $r$ que pasa por el punto $A$ que la llamaremos $s$ y la paralela a $r$ pasado por $A$ que la llamaremos $t$: 

- $s \perp r$ y $A \in s$ luego $s$ será de la forma $4x + 3y + K = 0$ y $K$ se calcula obligando a que $A \in s$: 

$$ 4 \cdot 8 + 3 \cdot 7 + K = 0 \Rightarrow K = -53 \Rightarrow s: 4x + 3y - 53 = 0 $$

- $t \parallel r$ y $A \in t$ luego $t$ será de la forma $3x - 4y + L = 0$ y $L$ se calcula obligando a que $A \in t$: 

$$ 3 \cdot 8 - 4 \cdot 7 + L = 0 \Rightarrow L = 4 \Rightarrow s: 3x - 4y + 4 = 0 $$

Y ahora tenemos que calcular una recta $p$ que esté a la misma distancia de $s$ que lo están el punto $A$ y la recta $r$. Dicha distancia es la longitud del lado y entonces podremos responder al apartado b) del ejercicio: 

$$d(A, r ) = \dfrac{ | 3 \cdot 8 - 4 \cdot 7 - 19}{ \sqrt{3^2 + (-4)^2} } = \dfrac{| -23 |}{ \sqrt{25} } = \dfrac{23}{5} $$ 

Luego el perímetro $p = 4 \cdot \dfrac{23}{5} = \dfrac{92}{5} $ y el área $ Área = \Bigg ( \dfrac{23}{5} \Bigg )^2 = \dfrac{529}{25} $ 

Volvemos al problema y tenemos que calcular una recta $p$ que esté a distancia $\dfrac{23}{5}$ de $s$. Lo que ya sabemos es que $p$ es paralela a $s$ y por tanto es de la forma $p: 4x + 3y + J = 0$ y para calcular $J$ tenemos que calcular la distancia entre dos restas: 

$$ d(p, s) = \dfrac{23}{5} \Rightarrow \dfrac{23}{5} = \dfrac{| J + 53 | }{\sqrt{4^2 + 3^2}} $$ 

Haciendo cuentas tenemos: 

$$ \dfrac{23}{5} =  \dfrac{| J + 53 | }{5} \Rightarrow 23 = | J + 53| $$ 

Lo que nos da dos ecuaciones para la recta $p$: 

• $23 = J + 53 \Rightarrow J = -30 \Rightarrow p_1: 4x + 3y  = 30$
• $-23 = J + 53 \Rightarrow J = -76 \Rightarrow p_2: 4x + 3y  = 76$ 

Eso quiere decir que tenemos dos soluciones: 

La 1ª con la recta $p_1$: 

Vamos a calcular los otros 3 vértices:

• El punto $B$ es la intersección de las rectas $r$ y $s, B = r \cap s $ tenemos que resolver el siguiente sistema: 

$$ \begin{array}{l} \cases{ 3x - 4y = 19 \xrightarrow 3 \cr \cr 4x + 3y = 53 \xrightarrow 4 } \\ \ \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \cases{9x - 12y \ = \ 57 \cr \cr  \underline{\ 16x + 12y \ = 212} } \\ \ \ \ \  25x  \ \ \ \ \ \ \ \  \ = \ 269 \Rightarrow x = \dfrac{269}{25} \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \cases{ 3x - 4y = 19 \xrightarrow {(-4)} \cr \cr 4x + 3y = 53 \xrightarrow 3 } \\ \ \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \cases{-12x +16y \ = \ -76 \cr \cr  \underline{\ 12x + 9y \ = 159} } \\ \ \ \ \  \ \ \ \ \ \ \ \ 25y  \ = \ 83 \Rightarrow y = \dfrac{83}{25} \end{array} $$

$$ B = \left ( \dfrac{269}{25}, \dfrac{83}{25} \right ) $$ 

• $C = r \cap p_1$ tenemos que resolver el siguiente sistema: 

$$ \begin{array}{l} \cases{ 3x - 4y = 19 \xrightarrow 3 \cr \cr 4x + 3y = 30 \xrightarrow 4 } \\ \ \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \cases{9x - 12y \ = \ 57 \cr \cr  \underline{\ 16x + 12y \ = 120} } \\ \ \ \ \  25x  \ \ \ \ \ \ \ \  \ = \ 177 \Rightarrow x = \dfrac{177}{25} \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \cases{ 3x - 4y = 19 \xrightarrow {(-4)} \cr \cr 4x + 3y = 53 \xrightarrow 3 } \\ \ \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \cases{-12x +16y \ = \ -76 \cr \cr  \underline{\ 12x + 9y \ = 90} } \\ \ \ \ \  \ \ \ \ \ \ \ \ 25y  \ = \ 14 \Rightarrow y = \dfrac{14}{25} \end{array} $$

$$ C = \left ( \dfrac{177}{25}, \dfrac{14}{25} \right ) $$ 

• $D = p_1 \cap t$ tenemos que resolver el siguiente sistema: 

$$ \begin{array}{l} \cases{ 3x - 4y = -4 \xrightarrow 3 \cr \cr 4x + 3y = 30 \xrightarrow 4 } \\ \ \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \cases{9x - 12y \ = -12 \cr \cr  \underline{\ 16x + 12y \ = 120} } \\ \ \ \ \  25x  \ \ \ \ \ \ \ \  \ = \ 108 \Rightarrow x = \dfrac{108}{25} \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \cases{ 3x - 4y = -4 \xrightarrow {(-4)} \cr \cr 4x + 3y = 53 \xrightarrow 3 } \\ \ \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \cases{-12x +16y \ = \ 16 \cr \cr  \underline{\ 12x + 9y \ = 90} } \\ \ \ \ \  \ \ \ \ \ \ \ \ 25y  \ = \ 106 \Rightarrow y = \dfrac{106}{25} \end{array} $$

$$ D = \left ( \dfrac{108}{25}, \dfrac{106}{25} \right ) $$ 

Veamos la resolución gráfica mediante GeoGebra: 

Resolver el ejercicio con la recta $p_2$ se hace de la misma forma. 

2.- Forma, con vectores: 

Lo primero calculamos el punto $B$, para ello trazamos la perpendicular $s$ a $r$ que pasa por el punto $A$ y el punto $B$ será la intersección de dichas rectas. Lo hacemos exactamente igual que en la primera forma eso no cambia. 

Ahora calculamos el vector  $\overrightarrow{AB} = \left ( \dfrac{269}{25} - 8, \dfrac{83}{25} - 7 \right ) = \left ( \dfrac{69}{25}, \dfrac{-92}{25} \right ) $ 

Ahora calculamos el vector $\vec{v} \perp \vec{u}$, en este caso tenemos dos posibilidades: 

• 1ª opción: $\vec{v} =  \left ( \dfrac{-92}{25}, \dfrac{-69}{25} \right ) $
• 2ª opción: $\vec{v} =  \left ( \dfrac{92}{25}, \dfrac{69}{25} \right ) $

Nosotros vamos a usar el vector $\vec{v} =  \left ( \dfrac{-92}{25}, \dfrac{-69}{25} \right ) $. Así ahora calculamos el punto $C$ 

$$C = B + \vec{v} = \left ( \dfrac{177}{25}, \dfrac{14}{25} \right )  + \left ( \dfrac{-92}{25}, \dfrac{-69}{25} \right ) = \left ( \dfrac{177}{25}, \dfrac{14}{25} \right ) $$

Ahora calculamos el punto $D$ 

$$D = C - \vec{u} = \left ( \dfrac{177}{25}, \dfrac{14}{25} \right ) - \left ( \dfrac{69}{25}, \dfrac{-92}{25} \right ) = \left ( \dfrac{108}{25}, \dfrac{106}{25} \right ) $$

Veamos la resolución gráfica mediante GeoGebra: 

3ª Forma, trazando la recta que pasa por el punto $A$ y forma un ángulo de ${45}^{\circ}$ con la recta $r$.

Recordemos que la pendiente de una recta $m = \tg (\alpha)$ siendo $\alpha$ el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje $OX$.

Así, la pendiente de la recta $r$ es $ m_r = \dfrac{3}{4}$ y tenemos que calcular la pendiente de la recta $s, \ m_s$ que formará un ángulo de ${45}^{\circ}$ con la recta $r$. 

Así 

$$ \tg \left ({45}^{\circ} \right ) = \Bigg | \dfrac{m_s - m_r}{1 + m_s \cdot m_r} \Bigg | $$ 

Es decir 

$$ 1 = \Bigg | \dfrac{m_s - \dfrac{3}{4} }{1 + m_s \cdot \dfrac{3}{4} } \Bigg | $$ 

Al ser un valor absoluto o módulo esto nos dará dos ecuaciones: 

1ª.-  Cogiendo el valor positivo de la igualdad 

$$ 1 =  \dfrac{m_s - \dfrac{3}{4} }{1 + m_s \cdot \dfrac{3}{4} } \Rightarrow 1 + m_s \cdot \dfrac{3}{4} = m_s - \dfrac{3}{4} \Rightarrow \dfrac{7}{4} =  \dfrac{m_s}{4} \Rightarrow m_s = 7 $$

La ecuación de la recta que forma un ángulo de ${45}^{\circ}$ con la recta $r$ es la recta:

$$y - 7 = 7 \cdot (x -8) \Rightarrow y - 7 = 7x - 56 \Rightarrow  s: 7x -y - 49 = 0 $

Ahora calculamos el punto $C$, que es el punto de intersección de la recta $r$ y $s$: 

$$ \begin{array}{l} \cases{ 3x - 4y = 19 \xrightarrow 1 \cr \cr 7x - \ y = 49 \xrightarrow {-4} } \\ \ \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \cases{3x - 4y \ = \ 19 \cr \cr  \underline{- 28x + \ 4y \ = -196} } \\ \ \ \ \  -25x  \ \ \ \ \ \ \ \  \ = \ -177 \Rightarrow x = \dfrac{177}{25} \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \cases{ 3x - 4y = 19 \xrightarrow {(7)} \cr \cr 7x  - \ y = 49 \xrightarrow {-3} } \\ \ \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \cases{ 21x - 28y \ = \ 133 \cr \cr  \underline{ -21x + 3y \ = -147} } \\ \ \ \ \  \ \ \ \ \ \ \ \ -25y  \ = \ -14 \Rightarrow y = \dfrac{14}{25} \end{array} $$

$$ C = \left ( \dfrac{177}{25}, \dfrac{14}{25} \right ) $$ 

Tenemos el segmento $\overline{AC}$, calculamos el punto medio de dicho segmento $M$: 

$$M = \left ( \dfrac{8 + \dfrac{177}{25} }{2}, \dfrac{7 + \dfrac{14}{25} }{2} \right ) = \left ( \dfrac{ 377}{50}, \dfrac{189 }{50} \right ) $$

Ahora calcularemos el punto $D$ como el punto simétrico de $B$ respecto de $M$, así si $D = (d_1, d_2)$: 

$$M =  \left ( \dfrac{ 377}{50}, \dfrac{189 }{50} \right ) = \left ( \dfrac{d_1 + \dfrac{269}{25} }{2}, \dfrac{d_2 + \dfrac{83}{25} }{2} \right ) $$

Si despejamos $d_1$ y $d_2$ tenemos: 

$$d_1 =  \dfrac{ 377}{25} - \dfrac{269}{25} = \dfrac{108}{25}$$

$$d_2 =  \dfrac{ 189}{25} - \dfrac{83}{25} = \dfrac{106}{25}$$

El punto $D = \left ( \dfrac{108}{25},  \dfrac{106}{25} \right ) $

Veamos la resolución gráfica mediante GeoGebra: 

2ª.-  Cogiendo el valor negativo de la igualdad 

$$ -1 =  \dfrac{m_s - \dfrac{3}{4} }{1 + m_s \cdot \dfrac{3}{4} } \Rightarrow -1 - m_s \cdot \dfrac{3}{4} = m_s - \dfrac{3}{4} \Rightarrow \dfrac{-1}{4} =  \dfrac{7m_s}{4} \Rightarrow m_s = \dfrac{-1}{7} $$

El resto del proceso sería el mismo pero la recta $s$ sería el mismo, es decir: 

La ecuación de la recta que forma un ángulo de ${135}^{\circ}$ con la recta $r$ es la recta:

$$y - 7 =  \dfrac{-1}{7} \cdot (x -8) \Rightarrow 7y - 49 = -x + 8 \Rightarrow  s: x + 7y = 57 $

Y se termina el ejercicio. 

Vectores (libres y fijos). Ecuaciones de la recta vectorial, paramétricas, continua, general, punto pendiente y explícita.

Vamos a ver la definición de vector y sus componentes; y como calcular las diferentes ecuaciones de la recta.

Vector. Componentes de un vector. Vectores equipolentes. Vector libre y fijo.

Un vector es un segmento orientado en el plano. Los componentes de un vector son:

• Origen: Punto donde empieza el vector.
• Extremo: punto donde acaba el vector.
• Módulo: es la longitud del segmento.
• Dirección: es la misma que la de la recta que lo contiene.
• Sentido: el que va del del origen al extremo.

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Un vector fijo es un representante del vector libre.

Calcular las componentes de un vector.

Un vector $\vec{v}$ se define por sus coordenadas $\vec{v} = (v_{x}, v_{y})$.

Un vector viene definido por sus coordenadas $x$ e $y$. Si no sabemos las coordenadas del vector $\vec{v}$, pero sabemos las coordenadas de los puntos que lo definen, su origen $P$ y su extremo $Q$, podemos calcular las coordenadas del vector que serán las coordenadas del extremo menos las del origen. Las coordenadas de cualquier punto $P$ y su vector de posición $\overrightarrow{OP}$ son las mismas.

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = \text{ coordenadas de } Q - \text{ coordenadas de } P$, o si elegimos el vector opuesto:

$\overrightarrow{QP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OQ} = \text{ coordenadas de } P - \text{ coordenadas de } Q$.

Ejemplo, sea el vector definido por los puntos $P(2, 3)$ y $Q(5, 1)$, entonces:

las coordenadas del vector $\vec{u} = \overrightarrow{PQ} = (5, 1) - (2, 3) = (3, -2)$, y

las coordenadas del vector $\vec{v} = \overrightarrow{QP} = (2, 3) - (5, 1) = (-3, 2)$.

Vector perpendicular a uno dado: 

Para calcular un vector perpendicular a uno dado, es muy fácil, se permuta la coordenada $x$ por la $y$ y después se cambia de signo a una de ellas. 

Veamos, sea $\vec{v} = (v_{x}, v_{y})$ un vector perpendicular a $ \vec{v}$ sería $ (v_{y}, - v_{x})$ o $ (- v_{y}, v_{x})$

Ejemplo: Calcula un vector perpendicular a $\vec{v} = (1, 3)$. Como hemos visto tenemos dos opciones: 

1. $\vec{w_1} = (3, -1)$
2. $\vec{w_2} = (-3, 1)$

Ambos vectores son perpendicular a $\vec{v}$ porque su producto escalar es cero. 

Vector unitario: es un vector de módulo 1.  Sea $\vec{v} = (v_{x}, v_{y})$ se dice unitario si 

$$ | \vec{v} | = \sqrt{v_{x}^2 + v_{y}^2} = 1 $$

Ejemplo: $\vec{v} = \left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2} \right )$

$$ | \vec{v} | = \sqrt{v_{x}^2 + v_{y}^2} = \sqrt{ \left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left ( \dfrac{1}{2} \right)^2 } = \sqrt{ \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} } = \sqrt{1} = 1 $$

Calculo de un vector unitario:

Siempre que tengamos un vector $\vec{a}$ es muy fácil calcular un vector proporcional a $\vec{a}$ y unitario. Para ello usaremos la siguiente propiedad: 

$$ |k \cdot \vec{u}| = |k| \cdot |\vec{u}| \ \forall k \in \mathbb{R}, \forall \ \vec{u} $$

Así, si queremos que el $ |k \cdot \vec{u}|  = 1 \Rightarrow |k| = \dfrac{1}{|\vec{u}|} \Rightarrow k =  \dfrac{\pm 1}{|\vec{u}|}$ 

Veamos un ejemplo: $\vec{a} = \left (12, 5 \right )$. Calculamos su módulo: 

$$ | \vec{a} | = \displaystyle \sqrt{ \strut {12}^2 + {5}^2} = \sqrt{ \strut 144 + 25 } = \sqrt{ 169 } = 13 $$

Ahora lo que hacemos es multiplicar el $\vec{a}$ por el inverso del módulo de $\vec{a}$: 

$$ \dfrac{1}{13} \cdot (12, 5) =  \left (\dfrac{12}{13}, \dfrac{5}{13} \right ) $$

y si calculamos su módulo tenemos: 

$$ | \vec{a} | = \sqrt{ \left ( \dfrac{12}{13} \right)^2 + \left ( \dfrac{5}{13} \right)^2 } = \sqrt{ \dfrac{144}{169} + \dfrac{25}{169} } = \sqrt{ \dfrac{169}{169} } = \sqrt{1} = 1 \checkmark $$

Otra opción sería coger el vector 

$$ \dfrac{-1}{13} \cdot (12, 5) =  \left (\dfrac{-12}{13}, \dfrac{-5}{13} \right ) \text{que también tienen módulo 1} $$

$\overrightarrow{AB} = (-1, 3) - (2, -5) = (-3, 8) $

$|\overrightarrow{AB}| = \msqrt{(-3)^2 + 8^2} = \msqrt{ 9 + 64 } = \msqrt{73}$

$\vec{u} - \vec{w} + \vec{v} = (3, -1) - ( -2, -4) + (1, 5) = (6, 9)$


$2 \cdot \vec{u} - 3 \cdot \vec{v} + \mfrac{1}{2} \cdot \vec{w} = (6, -2) - ( 3, 15) + (-1, -2) = (2, -19)$

Ecuación de la recta que pasa por el punto $\mathbf{P}$ con vector director $\vec{v}$. Enlace del recurso en GeoGebra.
A partir de un punto y un vector podemos calcular las ecuaciones de la recta:

• Ecuación vectorial
  
• Ecuaciones paramétricas
  
• Ecuación continua
  
• Ecuación general
  
• Ecuación punto pendiente
  
• Ecuación explícita
  
• Ecuación segmentaria
  

El punto P se puede modificar, cambiando las coordenadas en la casilla de entrada o arrastrándolo en el plano.
El vector $\vec{u}$ también se puede modificar, cambiando las coordenadas en la casilla de entrada o arrastran el extremo final que lo define el plano.
El punto verde, es cualquier punto de la recta. Se puede desplazar con el ratón o le puedes dar al
botón de play.

La recta $r$ viene definida por el punto $\mathbf{P} = (x_{0}, y_{0})$ y el vector $\vec{v} = (a, b)$.

Un punto cualquiera $X = (x , y)$ de la recta $r$, se representa por el vector posición $\overrightarrow{OX} =\ (x,\ y)$ con las mismas componentes que el punto. Con el punto $P$ y su vector posición $\overrightarrow{OP}$ pasa lo mismo. El vector $\overrightarrow{OX}\ = \ \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PX} $. Además, el vector $\overrightarrow{PX}\ =\ t \cdot \vec{v}, \ t \in \mathbb{R}$.

$$ \overrightarrow{OX}\ = \ \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PX} \qquad \text{sustituyendo} \ \ \   \overrightarrow{PX} = t \cdot \vec{v}, \ t \in \mathbb{R} $$

nos queda la ecuación vectorial de la recta:

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $\qquad \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OP} + t \cdot \vec{v} , t \in \mathbb{R} \qquad $ } } $$

$$ \text{Por coordenadas tenemos las ecuaciones paramétricas de la recta} \qquad (x, y) = (x_{0}, y_{0}) + t \cdot (a, b), \ t \in \mathbb{R}  $$

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $\text{Ecuaciones paramétricas} \qquad \cases{ x = x_{0} + a \cdot t \cr \cr y = y_{0} + b \cdot t } , t \in \mathbb{R} $ } } $$

En las ecuaciones paramétricas, vemos que el vector $\overrightarrow{PX} = (x - x_0, y - y_0)$ es paralelo al vector $\vec{v}$. Así obtenemos la ecuación continua de la recta:

$$ \overrightarrow{PX} \parallel \vec{v} \Leftrightarrow \dfrac{x - x_0}{ a } =  \dfrac{y - y_0}{ b } \qquad \text{Entonces tenemos la} $$ $$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $\text{Ecuación continua} \qquad \large \dfrac{x - x_{0}}{a} = \dfrac{y - y_{0}}{b} $ } } $$

Si quitamos denominadores multiplicando en cruz tenemos:

$a \cdot (x - x_{0}) = b \cdot (y - y_{0})$, es decir, $ax - by + by_{0} - ax_{0} = 0$. Hacemos los siguientes cambios $A = a, B = -b$ y $C = by_{0} - ax_{0}$ para obtener la ecuación general de la recta:

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $\text{Ecuación general} \qquad \large Ax + By + C = 0 $ } } $$

Si en la ecuación continua de la recta, despejamos el término $y - y_{0}$ y hacemos que $m = \dfrac{b}{a}$, tenemos la ecuación punto pendiente de la recta, donde $m$ es la pendiente: 

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $\text{Ecuación punto pendiente} \qquad \large y - y_{0} = m \cdot (x - x_{0})$ } } $$

De la ecuación punto pendiente, si despejamos $y$ tendremos: 

$ y - y_{0} = m \cdot (x - x_{0})$, tenemos $ y = y_{0} + m(x - x_{0})$ y operando $y = mx + y_{0} - mx_{0}$, hacemos que $n = y_{0} - m \cdot x_{0} $, obtenemos la ecuación explícita de la recta, donde $n$ es la ordenada en el origen:

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $\text{Ecuación explícita} \qquad \large y = m \cdot x + n$ } } $$

Ejemplo: Vamos a calcular las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto  $P = (2, 3)$ y vector director $\vec{v} = (1, -2)$.

$$ \large \text{ Vamos con la ecuación vectorial: } \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OP} + t \cdot \vec{v}, \ t \in \mathbb{R}$$ 

$$ \large \boxed{   \text{Ecuación vectorial } \qquad \large (x, y) = (2, 3) + t \cdot (1, -2) , t \in \mathbb{R} \qquad } $$

Vamos a por las ecuaciones paramétricas:

$$ \large \boxed{   \qquad                     \text{Ecuaciones paramétricas} \qquad \large \cases{  x =  2 + t \cr \cr y = 3 - 2 \cdot t } , t \in \mathbb{R} } $$

Calculamos la ecuación continua, recordamos que un punto cualquiera de la recta $X = (x, y)$, junto con el punto $P$ forma el vector $\overrightarrow{PX}$ que es paralelo a $\vec{v}$. Así: 

$$ \large \boxed{   \qquad                     \text{Ecuación continua} \qquad \large x - 2 = \dfrac{y - 3}{-2} } $$

Vamos con la ecuación general:

$$ x - 2 = \dfrac{y - 3}{-2} \Leftrightarrow -2 \cdot (x - 2) = (y - 3) \Leftrightarrow -2x + 4 = y - 3 $$

$$ \large \boxed{   \qquad                     \text{Ecuación general} \qquad \large 2x + y - 7 = 0 } $$

Ahora con la ecuación punto pendiente: 

$$ x - 2 = \dfrac{y - 3}{-2} \Leftrightarrow y - 3 = -2 \cdot (x - 2), \text{la pendiente es -2 } $$

$$ \large \fbox{   $\qquad                \text{Ecuación punto pendiente} \qquad \large y - 3 = -2 \cdot (x - 2) $ } $$

Y por último la ecuación explícita: 

$$ y - 3 = -2 \cdot (x - 2) \Leftrightarrow y = -2x + 4 + 3 \Leftrightarrow y = -2x + 7 $$

La pendiente es -2 y la ordenada en el origen es 7.

$$ \large \boxed{   \qquad                     \text{Ecuación explícita} \qquad \large y = -2x + 7 } $$

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos $P$ y $Q$

Sean los puntos $P = (x_{0}, y_{0})$ y $Q = (x_{1}, y_{1})$, definimos el vector $\vec{v}$ que puede ser el vector $\overrightarrow{PQ} = (x_{1} - x_{0}, y_{1} - y_{0})$ o el vector $\overrightarrow{QP} =  (x_{0} - x_{1}, y_{0} - y_{1})$. Y ahora ya tenemos el vector $\vec{v}$ y podemos coger uno de los dos puntos $P$ ó $Q$.

Ecuación continua de la recta que pasa por $P$ y vector director $\overrightarrow{PQ}$ o 

$$ \large \boxed{   \qquad                     \text{Ecuación continua de la recta que pasa por dos puntos } \qquad \large \dfrac{x - x_{0}}{x_{1} - x_{0}} = \dfrac{y - y_{0}}{y_{1} - y_{0}} } $$

Ejemplo: Ecuaciones de la recta que pasa por los puntos $P = (3, -1)$ y $Q = (2, -4)$. 

El vector $\overrightarrow{PQ} = (2 - 3, -4 + 1) = (-1, -3)$ o el vector $\overrightarrow{QP} = (3 - 2, -1 + 4) = (1, 3)$ 

Ahora cogemos uno de los dos vectores y uno de los dos puntos $P$ o $Q$ y aplicamos el ejemplo anterior. 

Pendiente de una recta. Ángulo que forma con el eje $X$.

Para calcular el ángulo que forma una recta con el eje $X$, basta ver el triángulo que forman el vector director $\vec{u}$, y sus compenentes $u_x$ e $u_y$. Así el ángulo $\alpha$ que forman la recta y el eje $X$ se puede calcular con la tangente: $$ \tg( \alpha ) = \dfrac{ u_y }{ u_x } \Leftrightarrow \alpha = \arctg \left ( \dfrac{ u_y }{ u_x } \right )$$

Además la pendiente coincide con la tangente de dicho ángulo: $$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $\qquad m = \tg( \alpha ) = \dfrac{ u_y }{ u_x } \qquad $ } } $$ Si nos dan dos puntos $P_0 = ( x_0, y_0)$ y $P_1 = ( x_1, y_1)$, definimos el vector $\overrightarrow{P_0P_1} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0 )$ y la pendiente del vector sería: $$ m_{ \overrightarrow{P_0P_1} } = \dfrac{ y_1 - y_0 }{x_1 - x_ 0 } = \tg (\beta ) $$

¿Cómo sabemos si dos rectas son perpendiculares?

Hemos visto dos formas:

• $\odn{1}{a}$ Si el producto escalar de los vectores directores (o normales) es cero.


• $\odn{2}{a}$ Si el producto de sus pendientes es -1.

$m_1 = \tg(\hat{A})$ y $m_2 = \tg(\hat{B})$. Cómo son perpendiculares $\hat{B} = \hat{A} + \mfrac{\pi}{2}$.

$$ m_2 = \tg ( \hat{B}) = \tg \left ( \hat{A} + \mfrac{\pi}{2} \right ) = \mfrac{ \sen \left ( \hat{A} + \mfrac{\pi}{2} \right ) }{ \cos \left (\hat{A} + \mfrac{\pi}{2} \right ) } = \mfrac{ \cos (\hat{A}) }{ -\sen (\hat{A}) } = - \cotg(\hat{A}) = \mfrac{-1}{ \tg (\hat{A} )} = \mfrac{-1}{m_1}$$ $$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $\qquad m_1 \cdot m_2 = -1 \qquad $ } } $$ Ejemplo:

Tenemos la recta $r: y = 3x - 5$, queremos calcular la recta perpendicular $s$ a $r$ que pas por el punto $P = (0, 0)$.

La pendiente de $r$ es 3, luego la de una recta perpendicular a $r$ es: $$ 3 \cdot m = -1 \Leftrightarrow m = \mfrac{ -1 }{ 3 } $$ Ya tenemos la pendiente $m = \mfrac{ -1 }{ 3 } $ y el punto $P = (0, 0)$, usando la ecuación punto pendiente: $$ s: y = \mfrac{ -x }{ 3 } $$

Recta paralela a otra recta que pasa por un punto $P$

Tenemos la recta $r:Ax + By + C = 0$ (ecuación general) y el punto $P = (x_0, y_0)$, queremos calcular una recta paralela $s$ que sea paralela a $r$ que pase por $P$. De la recta $r$ conocemos su vector director $\vec{d_r} =(-B, A)$ (y su vector normal $\vec{n_r} = (A, B)$ ) y con las coordenadas del punto $P$ ya podemos calcular dicha recta. Como tenemos la ecuación general, está es de la forma: $$ Ax_0 + By_0 + C = 0 \Rightarrow C = -Ax_0 - By_0 $$ Ejemplo:

La recta $r: 3x + 2y + 7 = 0$ y $P =(1, 1)$. Es claro que $P$ no pertenece a $r$. La ecuación de la recta paralela $s$ a $r$ es de la forma: $$ 3x + 2y + C = 0 $$ Y para calcular $C$ imponemos que $P$ esté en la recta: $$ 3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + C = 0 \Rightarrow 5 + C = 0 \Rightarrow C = -5 $$ Luego $s: 2x + 3y - 5 = 0$

Lo hemos hecho con la ecuación general, pero ya hemos visto que tenemos los datos para hacerlo con cualquier ecuación de la recta.

El punto no debe pertenecer a la recta, ya que sería la misma recta.

Recta perpendicular a otra recta que pasa por un punto $P$

Tenemos la recta $r:Ax + By + C = 0$ y el punto $P = (x_0, y_0)$. De la recta $r$ sacamos el vector normal $\vec{n_r} = (A, B) = (-A, -B)$ que es el vector director de la recta perpendicular $s$ que queremos calcular, junto con el punto ya podemos. Aprovechando que tenemos la ecuación general de la recta, vamo a calcular $s$: $$ s: Bx - Ay + C = 0 \Rightarrow C = -Bx_0 + Ay_0 $$ Ejemplo: La recta $r: 3x + 2y + 7 = 0$ y $P = (1, 1)$. La recta $s$ perpendicular a $r$ que pasa por $P$ es de la forma: $$ s:2x - 3y + C = 0 $$ Si obligamos a que $P \in s$ entonces: $$ 2 \cdot 1 - 3 \cdot 1 + C = 0 \Rightarrow - 1 + C = 0 \Rightarrow C = + 1 $$ Luego $s: 2x - 3y + 1 = 0$

Lo hemos hecho con la ecuación general, pero ya hemos visto que tenemos los datos para hacerlo con cualquier ecuación de la recta.

El punto por el que tiene que pasar la recta puede pertenecer o no a la recta.

Distancia de punto a recta

Si el punto $P$ pertence a la recta $r$ la distancia es cero. Luego está claro que el puntp $P \notin r$ para calcular dicha distancia.

Vamos a deducir la fórmula para calcular la distancia de una recta $r$ a un punto $P$, exterior a ella. Pero antes, necesitamos dicha fórmula o tenemos herramientas para dicho cálculo. Veámoslo:

1. Podemos calcular la recta $s$ perpendicular a $r$ que pasa por el punto $P$.
2. Podemos calcular el punto de corte de ambas rectas $ r \cap s = Q$.
3. Ahora calculamos la distancia de $P$ a $Q$.

Es decir, se puede calcular la distancia de punto a recta sin la necesidad de la fórmula que ahora veremos, eso si, con esta fórmula este cálculo es mucho más sencillo.

Tenemos una recta $r:Ax + By + C = 0$ y el punto $P(x_0, y_0)$. Cogemos un punto $Q$ que esté en la recta $r$, así $Q = (x_1, y_1)$, como está en la recta se cumple que $Ax_1 + By_1 + C = 0$ Tenemos el vector $\overrightarrow{PQ}$ y el vector normal de la recta $\vec{n} =(A, B)$. Si estos dos puntos los posicionamos en $Q$ forman un triángulo y la distancia del punto $P$ a la recta $r$ se puede calcular así: $$ d(P, r) = |\overrightarrow{PQ}| \cdot \cos \alpha \qquad (1) $$ Siendo $\alpha$ el ángulo que forman los vectores $\overrightarrow{PQ}$ y el normal $\vec{n}$. Si calculamos el producto escalar de estos vectores tenemos: $$ \vec{n} \cdot \overrightarrow{PQ} = |\vec{n}| \cdot |\overrightarrow{PQ}| \cdot \cos \alpha \qquad (2) $$ Juntando las. anteriores fórmulas tenemos: $$ d(P, r) = \mfrac{ \vec{n} \cdot \overrightarrow{PQ} }{ \vec{n} } $$ Pero la distancia ha de ser positiva y el producto escalar depende del $\cos \alpha$, para solucionar esto, tomamos el valor absoluto: $$ d(P, r) = \mfrac{ | \vec{n} \cdot \overrightarrow{PQ} | }{ \vec{n} } \qquad (3) $$ El módulo del vector $\vec{n}$ es fácil de calcular $|\vec{n}| = \msqrt{ A^2 + B^2 }$.

Ahora calculemos el producto escalar de $\vec{n}$ y $\overrightarrow{PQ}$: $\vec{n} \cdot \overrightarrow{PQ} = (A, B) \cdot (x_0 - x_1, y_0 - y_1) = A(x_0 - x_1) + B(y_0 - y_1) = Ax_0 + By_0 - Ax_1 - By_1 = Ax_0 + By_0 + C $ Si sustituimos en (3) todas las expresiones calculadas nos queda: $$ d(P, r) = \mfrac{ | \vec{n} \cdot \overrightarrow{PQ} | }{ \vec{n} } = \mfrac{ |Ax_0 + By_0 + C| }{ \msqrt{A^2 + B^2} } $$ $$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $\qquad d(P, r) = \mfrac{ |Ax_0 + By_0 + C| }{ \msqrt{A^2 + B^2} } \qquad $ } } $$ Ejemplo:

La distancia de la recta $r:2x + 3y + 7 = 0$ al punto $P =(-3, 4)$:

- Con la fórmula: $$ d(P, r) = \mfrac{ |-6 + 12 + 7| }{ \msqrt{2^2 + 3^2} } = \mfrac{13}{\msqrt{13}} = \msqrt{13} u $$ - Con los pasos comentados anteriormente:

Paso 1: La recta $s$ perpendicular a $r$ pasando por $P$: $s:3x - 2y + 17 = 0 $

Paso 2: Punto de corte: $Q = (-5, 1)$ Resolviendo el sistema que forman $r$ y $s$.

Paso 3: Distancia entre los puntos $P$ y $Q$: $$d(P, Q) = \msqrt{ (-5 + 3)^2 + (1 - 4)^2} = \msqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \msqrt{4 + 9 } = \msqrt{13} u $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

Según la existencia y la unicidad de las soluciones, los sistemas de ecuaciones se clasifican:

$$ \large \matrix{ \text{ Sistemas } \cr \text{de} \cr \text{ecuaciones} } = \cases{ \textbf{Compatible} \text{, el sistema tiene solución } \large \cases{ \textbf{Determinado} \text{: solución única. } \cr \cr \textbf{Indeterminado} \text{, infinitas soluciones } } \cr \cr \textbf{Incompatible} \text{, el sistema no tiene solución. } \cr } $$

Vamos a resolver varios sistemas de ecuaciones usando los cuatro métodos.

$$\huge \fbox{ Método de Sustitución} $$

«Consiste en despejar una incógnita de una ecuación y sustituirla en la otra.»

Lo que nos da cuatro opciones: 

• Despejar la $x$ en la primera ecuación y sustituirla en la segunda;
• Despejar la $x$ en la segunda ecuación y sustituirla en la primera;
• Despejar la $y$ en la primera ecuación y sustituirla en la segunda;
• Despejar la $y$ en la segunda ecuación y sustituirla en la primera.

Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$$ \large \color{blue} \cases{ 5x + 2y = 11 \cr \cr 2x - 3y = 12 } $$

Vamos a despejar la $x$ en la primera ecuación, así $x = \dfrac{11 - 2y}{5}$; Y ahora sustituimos en la segunda ecuación:

$$2\left ( \dfrac{11 - 2y}{5} \right ) - 3y = 12 \text{ Multiplicando por 5 ambos lados de la ecuación tenemos } $$

$$2\left ( 11 - 2y \right ) - 15y = 60 \Leftrightarrow 22 - 4y - 15y = 60 \Leftrightarrow -19y = 38 \Leftrightarrow y = - 2$$

Sabiendo el valor de $y$, calculemos el de $x, x  = \dfrac{11 - 2(-2)}{5} = \dfrac{15}{5} = 3$. 

Vamos a comprobar el sistema: 

$$ \large \cases{ 5 \cdot 3 + 2 \cdot (-2) = 15 - 4 = 11 \checkmark \cr \cr 2\cdot 3 - 3 \cdot (-2) = 6 + 6 = 12 \checkmark \cr } $$

Siempre hay que comprobar las soluciones.

En todas y cada una de las ecuaciones que forman el sistema.

$$\huge \fbox{ Método de Igualación} $$

«Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualarlas.»

Lo que nos da dos opciones: 

• Despejar la $x$ en las dos ecuaciones e igualarlas;
• Despejar la $y$ en las dos ecuaciones e igualarlas.

Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$$ \large \color{blue} \cases{ 3x + 2y = 7 \cr 2x - 3y = 9 } $$

De la $\odn{1}{a}$ ecuación despejamos $y$, $ 3x + 2y = 7 \Rightarrow 2y = 7 - 3x \Rightarrow y = \dfrac{\ 7 - 3x\ }{2}$ (1)

De la $\odn{2}{a}$ ecuación despejamos también $y$, $2x - 3y = 9 \Rightarrow - 3y = 9 - 2x \Rightarrow 3y = -9 + 2x \Rightarrow y = \dfrac{\ -9 + 2x\ }{3} $ (2)

Igualamos ambas expresiones de $y$ en (1) y (2):

$$ \dfrac{\ 7 - 3x\ }{2} = \dfrac{\ -9 + 2x\ }{3} \Leftrightarrow 3 \cdot \left ( 7 - 3x \right ) = 2 \cdot \left ( -9 + 2x \right )$$

$$ 21 - 9x = - 18 + 4x \Leftrightarrow 39 = 13 x \Leftrightarrow x = \dfrac{\ 39\ }{13} = 3 $$

Sustituyendo en cualquiera de las dos expresiones (1) o (2) donde tenemos despejada la $y$ tenemos:

$$ y = \dfrac{\ 7 - 3x\ }{2} = \dfrac{\ 7 - 3 \cdot 3 \ }{2} = \dfrac{\ 7 - 9\ }{2} = \dfrac{\ - 2\ }{2} = -1 $$

Ya hemos solucionado el sistema. Vamos con la comprobación:

$$ \left \{ \begin{array}{l} 3 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) = 9 - 2 = 7 \checkmark \cr \cr 2 \cdot 3 - 3 \cdot (-1) = 6 + 3 = 9 \checkmark \cr \end{array} \right . $$

$$\huge \fbox{ Método de Reducción} $$

«Consiste en conseguir un sistema equivalente donde alguna de las incógnitas tengan el mismo coeficiente (o su opuesto), que será el mínimo común múltiplo de los coeficientes de la incógnita elegida. Para ello vamos a multiplicar una de las ecuaciones o ambas ecuaciones por algún(os) número(s) para que los coeficientes de la $x$ o los de la $y$ sean iguales (u opuestos). A continuación se suman (o restan) las ecuaciones del sistema para obtener una sola ecuación de primer grado con una incógnita.»

1. Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario,
2. Se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior.
3. Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta

Para este paso hay dos opciones:

• Se repite el proceso con la otra incógnita.
• Se sustituye la incógnita ya hallada en una de las ecuaciones del sistema y se despeja la otra.

Vamos a despejar la $y$, para ellos queremos conseguir el mismo coeficiente (o el opuesto) en las $x$. Para ello multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por -5:
$$ \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 5x + 2y = 11 \xrightarrow{\ \ \ \ 2\ \ \ } \cr \cr 2x - 3y = 12 \xrightarrow {\ \ \ -5\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 10x + \ 4y \ = \ 22 \cr \cr -10x + 15y = -60 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 19y = -38 \Rightarrow y = -2 \end{array} $$

Ahora tenemos dos opciones:

1.- Aplicando el método de reducción para despejar la $x$, para ello multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2:
$$ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{ 5x + 2y = 11 \xrightarrow{\ \ \ 3\ \ \ } \cr \cr 2x - 3y = 12 \xrightarrow{\ \ \ 2\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{15x + \ 6y \ = \ 33 \cr \cr \ \ 4x \ - 6y \ = \ 24 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ 19x \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \ 57 \Rightarrow x = 3 \end{array} $$

2.- Sustituir en alguna de las ecuaciones la $y$ por -2 y calcular el valor de $x$. 

$$ 5x + 2 \cdot (-2) = 11 \Leftrightarrow 5x = 15 \Leftrightarrow x = 3 $$

Ya hemos solucionado el sistema. La comprobación la tenemos hecha en el método de sustitución. 

$$\huge \fbox{ Método Gráfico } $$

Consiste en representar las gráficas de las rectas asociadas a cada una de las ecuaciones del sistema para deducir su solución.
Recordemos que dos rectas en el plano tienen tres posibilidades:

1. Rectas secantes, se cortan en un único punto, la solución es única. Sistema compatible determinado.
2. Rectas coincidentes, infinitas soluciones. Sistema compatible indeterminado.
3. Rectas paralelas, no se cortan,  no existe solución. Sistema incompatible.

Para dibujar cada una de las rectas del sistema, seguimos los siguientes pasos:

• Despejamos una incógnita, normalmente la $y$;
• Damos valores y calculamos dos puntos de la recta (de los infinitos que tiene);
• Dibujamos en un sistema de referencia cartesiana los dos puntos obtenidos y trazamos la recta que pasa por ambos puntos.

De la $\odn{1}{a}$ ecuación $ \qquad y = \dfrac{11 - 5x}{2} \qquad \begin{array}{c|c} \ \ x\ \ & \ \ y\ \ \cr \hline 1 & 3 \cr 3 & -2 \end{array} \qquad \qquad$ De la $\odn{2}{a}$ ecuación $ \qquad y = \dfrac{2x - 12}{3} \qquad \begin{array}{c|c} \ \ x\ \ & \ \ y\ \ \cr \hline 6 & 0 \cr 3 & -2 \end{array} $

Veamos la gráfica:

     Truco - Coordenadas enteras     

     A la hora de buscar puntos para dibujarlos, siempre que podamos escogeremos puntos con las coordenadas $x$ e $y$ enteras. Para ello lo primero que haremos será despejar una variable (dependiente) en función de la otra (independiente). Si no hay denominador ya trabajamos con coordeadas enteras; si lo hubiera, a la variable independiente le sumamos un múltiplo cualquiera del denominador y ya tendríamos un punto cualquiera de la recta con coordenadas enteras.

Veamos un ejemplo:

    En la primera ecuación, despejamos la coordenada $y$, tenemos $y = \dfrac{\ \ 11 - 5x \ \ }{2}$; hemos obtenido el punto $(x, y) = (1, 3)$. Si ahora a la coordenada $x = 1$ de este punto, le sumamos un múltiplo del denominador de la $y$ en este caso 2, obtendremos otro punto con coordenadas enteras. Así un múltiplo del denominador puede ser $..., -8, -6 , -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, ... $, tomamos por ejemplo 4, si $x = 1 + 4 = 5$, tenemos que $y = -7$, es decir, hemos obtnido otro punto con coordenadas enteras $(x, y) = (5, -7)$. Lo mismo ocurrirá, si $ x = 1 - 4 = -3$, tenemos que $ y = 13$, etc.


    En la 1ª ecuación, si en lugar de despejar $y$, despejamos $x = \dfrac{\ \ 11 - 2y\ \ }{5}$, tenemos que buscar un punto con coordenadas enteras, es lo que más cuesta. En este caso, si $y = -2$ tenemos que $x = 3$, el punto sería el $(x, y) = (3, -2)$. Si ahora sumamos a la coordenada $y$ un múltiplo del denominador 5, tenemos que $y = -2 + 10 = 8$ y así $x = -1$.

    Si cogemos la segunda ecuación tenemos $ y = \dfrac{\ \ 2x - 12\ \ }{3} $ y hemos obtenido el punto $(, y) = (0, -4)$. Si ahora a la coordenada $x$ le sumamos un múltiplo del denominador, que en este caso 3, tenemos $x = 0 + 9 = 9$ así $y = 2$. Otros puntos los obtendríamos para valores de $x = -3, y = -6$.

    Si cogemos la 2ª ecuación y despejamos $ x = \dfrac{\ \ 12 + 3y\ \ }{2} $ y obtenemos el punto $(x, y) = (6, 0)$, ahora a la coordenada $y$ le sumamos cualquier múltiplo de 2 y obtenemos puntos de la recta con coordenadas enteras, por ejemplo, $y = 4$, nos da el valor de $x = 12$.

     Comprueba el sistema     

Aquí os dejo un enlace donde podéis comprobar por el método gráfico la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:





Aquí tienes unos sistemas de ecuaciones resueltos por los métodos sustitución, igualación y reducción. Vamos a ello:

Veamos el método de sustitución, despejamos en la $\odn{1}{a}$ ecuación la variable $x$ y tenemos que: $$ 9x = 2y - 3 \Rightarrow x = \dfrac{\ 2y - 3\ }{9} (1) $$ sustituimos este valor de $x$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación y nos queda:

$$ 7y - 12 \cdot \left ( \dfrac{\ 2y - 3\ }{9} \right ) = 17 \Rightarrow 7y - \dfrac{\ 12\ }{9} \cdot \left ( 2y - 3 \right ) = 17 \Rightarrow 7y - \dfrac{\ 4\ }{3} \cdot \left ( 2y - 3 \right ) = 17 \Rightarrow $$ Multiplicando por 3: $$ 3 \cdot 7y - 3 \cdot \dfrac{\ 4\ }{3} \cdot \left ( 2y - 3 \right ) = 3 \cdot 17 \Rightarrow 21y - 4 \cdot \left ( 2y - 3 \right ) = 51 \Rightarrow $$ $$ 21y - 8y + 12 = 51 \Rightarrow 13y = 39 \Rightarrow y = \dfrac{\ 39\ }{ 13 } = 3 $$ Sustituimos en (1) y tenemos que: $$ x = \dfrac{\ 2 \cdot 3 - 3\ }{9} = \dfrac{\ 6 - 3\ }{9} = \dfrac{\ 3\ }{9} = \dfrac{\ 1\ }{3} $$

Veamos el método de igualación. Vamos a despejar $y$ en las dos ecuaciones. De la $\odn{1}{a}$ ecuación tenemos: $9x + 3 = 2y \Rightarrow y = \dfrac{\ 9x + 3\ }{2} $

Ahora vamos a despejar $y$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación: $7y = 12x + 17 \Rightarrow y = \dfrac{\ 12x + 17\ }{7} $

Igualamos las variables: $$ \dfrac{\ 9x + 3\ }{2} = \dfrac{\ 12x + 17\ }{7} $$ Multiplicamos por 14 y nos quedará: $$ 14 \cdot \dfrac{\ 9x + 3\ }{2} = 14 \cdot \dfrac{\ 12x + 17\ }{7} \Rightarrow 7 \cdot (9x + 3) = 2 \cdot (12x + 17) \Rightarrow 63x + 21 = 24x + 34 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 39x = 13 \Rightarrow x = \dfrac{\ 13\ }{ 39 } = \dfrac{\ 1\ }{3} $$ Sustituyendo la $x$ por su valor en cualquiera de las dos expresiones de $y$ obtenemos su valor: $$ y = \dfrac{\ 12 \cdot \dfrac{\ 1\ }{3} + 17\ }{7} = \dfrac{\ 4 + 17\ }{7} = \dfrac{\ 21\ }{7} = 3 $$

Ahora aplicamos el método de reducción para calcular $x$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 7 y la $\odn{2}{a}$ por 2:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 9x - 2y = -3 \xrightarrow{\ \ \ \ 7\ \ \ } \cr \cr -12x + 7y = 17 \xrightarrow {\ \ \ 2\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 63x - 14y \ = \ -21 \cr \cr -24x + 14y = 34 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ 39x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 13 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow x = \dfrac{\ 13\ }{39} = \dfrac{\ 1\ }{3} \end{array} $$

Volvemos a aplicar el método de reducción para calcular $y$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 4 y la $\odn{2}{a}$ por 3:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 9x - 2y = -3 \xrightarrow{\ \ \ \ 4\ \ \ } \cr \cr -12x + 7y = 17 \xrightarrow {\ \ \ 3\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 36x - 8y \ = \ -12 \cr \cr -36x + 21y = 51 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 13y\ \ \ = 39 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow y = \dfrac{39}{\ 13\ } = 3 \end{array} $$

Veamos el método de sustitución, despejamos en la $\odn{2}{a}$ ecuación la variable $n$ y tenemos que: $$ 2n = -23 - 5m \Rightarrow n = \dfrac{\ -23 - 5m\ }{2} (1) $$ sustituimos este valor de $n$ en la $\odn{1}{a}$ ecuación y nos queda:

$$ 2m - 5 \cdot \left ( \dfrac{\ -23 - 5m\ }{2} \right ) = 14 \Rightarrow 2m - \dfrac{\ 5\ }{2} \cdot \left ( -23 - 5m \right ) = 14 \Rightarrow $$ Multiplicando por 2: $$ 2 \cdot 2m - 2 \cdot \dfrac{\ 5\ }{2} \cdot \left ( -23 - 5m \right ) = 2 \cdot 14 \Rightarrow 4m - 5 \cdot \left ( -23 - 5m \right ) = 28 \Rightarrow 4m + 5 \cdot (23 + 5m) = 28 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 4m + 115 + 25m = 28 \Rightarrow 29m = -87 \Rightarrow m = \dfrac{\ -87\ }{29} = -3 $$ Sustituimos en (1) y tenemos que: $$ n = \dfrac{\ -23 - 5 \cdot (-3)\ }{2} = \dfrac{\ -23 + 15\ }{2} = \dfrac{\ -8\ }{2} = -4 $$

Veamos el método de igualación.

Vamos a despejar $m$ en las dos ecuaciones. De la $\odn{1}{a}$ ecuación tenemos: $2m - 5n = 14 \Rightarrow 2m = 14 + 5n \Rightarrow m = \dfrac{\ 14 + 5n\ }{2} $

Ahora vamos a despejar $m$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación: $5m = -23 - 2n \Rightarrow m = \dfrac{\ -23 - 2n\ }{5} $

Igualamos las variables: $$ \dfrac{\ 14 + 5n\ }{2} = \dfrac{\ -23 - 2n\ }{5} $$ Multiplicamos por 10 y nos quedará: $$ 10 \cdot \dfrac{\ 14 + 5n\ }{2} = 10 \cdot \dfrac{\ -23 - 2n\ }{5} \Rightarrow 5 \cdot (14 + 5n) = 2 \cdot (-23 - 2n) \Rightarrow 70 + 25n = -46 - 4n \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 29n = -116 \Rightarrow n = \dfrac{\ -116\ }{ 29 } = -4 $$ Sustituyendo la $n$ por su valor en cualquiera de las dos expresiones de $m$ obtenemos su valor: $$ m = \dfrac{\ 14 + 5 \cdot (-4)\ }{2} = \dfrac{\ 14 - 20\ }{2} = \dfrac{\ -6\ }{2} = -3 $$

Ahora aplicamos el método de reducción para calcular $n$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 5 y la $\odn{2}{a}$ por 2:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 2m - 5n = 14 \xrightarrow{\ \ \ \ 5\ \ \ } \cr \cr 5m + 2n = -23 \xrightarrow {\ \ \ -2\ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 10m - 25n \ = \ 70 \cr \cr -10m - 4n = 46 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -29n \ \ \ \ \ \ \ = 116 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow n = \dfrac{\ -116\ }{29} = -4 \end{array} $$

Volvemos a aplicar el método de reducción para calcular $m$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 2 y la $\odn{2}{a}$ por 5:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 2m - 5n = 14 \xrightarrow{\ \ \ \ 2\ \ \ } \cr \cr 5m + 2n = -23 \xrightarrow {\ \ \ 5\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 4m - 10n \ = \ 28 \cr \cr 25m + 10n = -115 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ 29m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = -87 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow m = \dfrac{\ -87\ }{ 29 } = - 3 \end{array} $$

Veamos el método de sustitución, despejamos en la $\odn{2}{a}$ ecuación la variable $q$ y tenemos que: $$ 5q = 27 - 7p \Rightarrow q = \dfrac{\ 27 - 7p\ }{5} (1) $$ sustituimos este valor de $q$ en la $\odn{1}{a}$ ecuación y nos queda:

$$ 2p - 3 \cdot \left ( \dfrac{\ 27 - 7p\ }{5} \right ) = 21 \Rightarrow 2p - \dfrac{\ 3\ }{5} \cdot \left ( 27 - 7p \right ) = 21 \Rightarrow $$ Multiplicando por 5: $$ 5 \cdot 2p - 5 \cdot \dfrac{\ 3\ }{5} \cdot \left ( 27 - 7p \right ) = 5 \cdot 21 \Rightarrow 10p - 3 \cdot \left ( 27 - 7p \right ) = 105 \Rightarrow 10p - 81 + 21p = 105 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 31p = 186 \Rightarrow p = \dfrac{\ 186\ }{ 31 } = 6 $$ Sustituimos en (1) y tenemos que: $$ q = \dfrac{\ 27 - 7 \cdot 6\ }{5} = \dfrac{\ 27 - 42\ }{5} = \dfrac{\ -15\ }{ 5 } = -3 $$

Veamos el método de igualación.

Vamos a despejar $p$ en las dos ecuaciones. De la $\odn{1}{a}$ ecuación tenemos: $2p - 3q = 21 \Rightarrow 2p = 21 + 3q \Rightarrow p = \dfrac{\ 21 + 3q\ }{2} $

Ahora vamos a despejar $p$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación: $7p = 27 - 5q \Rightarrow p = \dfrac{\ 27 - 5q\ }{7} $

Igualamos las variables: $$ \dfrac{\ 21 + 3q\ }{2} = \dfrac{\ 27 - 5q\ }{7} $$ Multiplicamos por 14 y nos quedará: $$ 14 \cdot \dfrac{\ 21 + 3q\ }{2} = 14 \cdot \dfrac{\ 27 - 5q\ }{7} \Rightarrow 7 \cdot (21 + 3q) = 2 \cdot (27 - 5q) \Rightarrow 147 + 21q = 54 - 10q \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 93 = -31q \Rightarrow q = \dfrac{\ -93\ }{ 31 } = -3 $$ Sustituyendo la $q$ por su valor en cualquiera de las dos expresiones de $p$ obtenemos su valor: $$ p = \dfrac{\ 21 + 3 \cdot (-3)\ }{2} = \dfrac{\ 21 - 9\ }{2} = \dfrac{\ 12\ }{2} = 6 $$

Ahora aplicamos el método de reducción para calcular $p$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 5 y la $\odn{2}{a}$ por -3:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 2p - 3q = 21 \xrightarrow{\ \ \ \ 5\ \ \ } \cr \cr 7p + 5q = 27 \xrightarrow {\ \ \ -3\ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 10p - 15q \ = 100 \cr \cr 21p + 15q = 81 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ 31p\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 186 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow p = \dfrac{\ 186\ }{ 31 } = 6 \end{array} $$

Volvemos a aplicar el método de reducción para calcular $q$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 7 y la $\odn{2}{a}$ por -2:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 2p - 3q = 21 \xrightarrow{\ \ \ \ 7\ \ \ } \cr \cr 7p + 5q = 27 \xrightarrow {\ \ \ -7\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 14p - 21q \ = 147 \cr \cr -14p - 10q = -54 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -31q\ \ \ \ \ \ \ \ \ = 93 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow q = \dfrac{\ -93\ }{ 31 } = - 3 \end{array} $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Vectores: combinación lineal e interpretación geométrica del producto escalar. Propiedades del producto escalar.

Segmento: Trozo de recta limitado por dos puntos.

Vector: Es un segmento (de extremos A y B) orientado, \(\overrightarrow{AB}\) o \(\overrightarrow{BA}\), con origen y final, tiene dirección, sentido y longitud.

Escalar: es una magnitud representada por número real cualquiera.

Combinación lineal

 Combinación lineal: Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar dichos vectores multiplicados por escalares (números).

El vector $\vec{w}$ es combinación lineal de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$:

$$ \Large \fbox{ $ \vec{w} = \alpha \cdot \vec{u} + \beta \cdot \vec{v} \quad \alpha, \beta \in \R $ } $$

Ejemplo:
El vector \( \vec{w} = (11, 1) \) se puede expresar como combinación lineal de los vectores \( \vec{u} = (1, 2) \) y \( \vec{v} = (3, -1) \), es decir: \[ \vec{w} = 2 \cdot \vec{u} + 3 \cdot \vec{u} = 2 \cdot (1, 2) + 3 \cdot (3, -1) = (11, 1) \] Dado un vector cualquiera $\vec{p}$, de componentes $\vec{p} = (p_x, p_y)$, se define el módulo del vector $\vec{p}$ y se denota $|\vec{p}|$ como:

$$ \Large \fbox{ $ |\vec{p}| = |(p_x, p_y) | = \sqrt{ p_x^2 + p_y^2 } $ } $$

Producto escalar

Producto escalar de dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ viene dado por la siguiente fórmula:

$$ \Large \fbox{ $ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha = \sqrt{ u_x^2 + u_y^2 } \cdot \sqrt{ v_x^2 + v_y^2 } \cdot \cos \alpha $ } \quad (1) $$

donde $|\vec{u}|$ el módulo o la longitud del vector $\vec{u}$, $|\vec{v}|$ la del vector $\vec{u}$ y $\alpha$ es el ángulo, el menor ángulo que forman los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

Ejemplos:

Propiedades del producto escalar

• \( \vec{u} \cdot \vec{u} \geq 0 \)
  
• \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} \) Cumple la propiedad conmutativa.
  
• \( \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = ( \vec{u} \cdot \vec{v} ) +(\vec{u} \cdot \vec{w}) \) Distributiva de la suma respecto del producto
  
• \( \alpha (\vec{u} \cdot \vec{v}) = ( \alpha \vec{u} ) \cdot \vec{v} ) = \vec{u} \cdot ( \alpha \vec{v}) \) Asociativa respecto de un escar
  

Vector unitario

Vector unitario: Aquel vector cuyo módulo o longitud vale 1. Por ejemplo, el vector $ \vec{i} = (1, 0)$ tiene módulo 1: $$ |\vec{i}| = |(1, 0) | = \sqrt{ 1^2 + 0^2 } = \sqrt{ 1 } = 1 $$ Lo mismo ocurre con el vector $\vec{j}$.

El vector $\left ( \dfrac{ \sqrt{2} }{2}, \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \right )$ tiene módulo 1. Veámoslo: $$ \left | \left ( \dfrac{ \sqrt{2} }{2}, \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \right ) \right | = \sqrt{ \left ( \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \right )^2 + \left ( \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \right )^2 } = \sqrt{ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} } = \sqrt{ 1 } = 1 $$

Dado un vector cualquiera, siempre podemos calcular un vector unitario proporcional a él. Veámoslo: Utilizamos la siguiente propiedad: $$ | \lambda \cdot \vec{u} | = |\lambda | \cdot |\vec{u}| $$ Por un lado tenemos que $\lambda \cdot \vec{u} = \lambda \cdot (u_x, u_y) = (\lambda \cdot u_x, \lambda \cdot u_y) $, si calculamos el módulo de este vector: $$ | \lambda \cdot \vec{u} | = |(\lambda \cdot u_x, \lambda \cdot u_y)| = \msqrt{(\lambda \cdot u_x)^2 + (\lambda \cdot u_y)^2 } = \msqrt{ \lambda^2 \cdot u_x^2 + \lambda^2 \cdot u_y^2 } = \msqrt{ \lambda^2 \cdot ( u_x^2 + u_y^2) } = \msqrt{ \lambda^2 } \cdot \msqrt{ u_x^2 + u_y^2 } = |\lambda| \cdot |\vec{u}| $$ Ahora es tan fácil como que el nuevo vector $\lambda \cdot \vec{u}$ tenga de módulo 1: $$ | \lambda \cdot \vec{u} | = | \lambda | \cdot | \vec{u} | = 1 \Rightarrow | \lambda | \cdot | \vec{u} | = 1 \Rightarrow |\lambda| = \mfrac{ 1 }{ | \vec{u} | } \Rightarrow \lambda = \mfrac{ \pm 1 }{ | \vec{u} | } $$ Ejemplo: Sea $\vec{u} = (4, -7)$, el módulo de $|\vec{u}| = \msqrt{ 4^2 + (-7)^2} = \msqrt{16 + 49} = \msqrt{65} $ luego el escalar buscado puede ser $\lambda = \mfrac{ \pm 1 }{ \msqrt{65} } = \pm \mfrac{ \msqrt{65} }{ 65 }$

Así tenemos los vectores $\mfrac{ \msqrt{65} }{ 65 } (4, -7)$ y $\mfrac{ -\msqrt{65} }{ 65 } (4, -7)$. Vamos a comprobar que son unitarios: $$ \left | \mfrac{ \msqrt{65} }{ 65 } (4, -7) \right | = \left | \left ( \mfrac{ 4\msqrt{65} }{ 65 } , \mfrac{ -7\msqrt{65} }{ 65 } \right ) \right | = \msqrt{ \left ( \mfrac{ 4\msqrt{65} }{ 65 } \right)^2 + \left ( \mfrac{ -7\msqrt{65} }{ 65 } \right)^2 } = \msqrt{ \mfrac{ 16 \cdot 65 }{ 65^2 } + \mfrac{ 49 \cdot 65 }{ 65^2 } } = $$ $$ = \msqrt{ \mfrac{ 16 \cdot \cancel{65} }{ 65^{\cancel{2}} } + \mfrac{ 49 \cdot \cancel{65} }{ 65^{\cancel{2}} } } = \msqrt{ \mfrac{ 16 }{ 65 } + \mfrac{ 49 }{ 65 } } = \msqrt{ \mfrac{ 65 }{ 65 } } = \msqrt{1} = 1 \checkmark $$ Lo mismo con el vector $\mfrac{ -\msqrt{65} }{ 65 } (4, -7)$: $$ \left | \mfrac{ -\msqrt{65} }{ 65 } (4, -7) \right | = \left | \left ( \mfrac{ -4\msqrt{65} }{ 65 } , \mfrac{ 7\msqrt{65} }{ 65 } \right ) \right | = \msqrt{ \left ( \mfrac{ -4\msqrt{65} }{ 65 } \right)^2 + \left ( \mfrac{ 7\msqrt{65} }{ 65 } \right)^2 } = \msqrt{ \mfrac{ 16 \cdot 65 }{ 65^2 } + \mfrac{ 49 \cdot 65 }{ 65^2 } } = $$ $$ = \msqrt{ \mfrac{ 16 \cdot \cancel{65} }{ 65^{\cancel{2}} } + \mfrac{ 49 \cdot \cancel{65} }{ 65^{\cancel{2}} } } = \msqrt{ \mfrac{ 16 }{ 65 } + \mfrac{ 49 }{ 65 } } = \msqrt{ \mfrac{ 65 }{ 65 } } = \msqrt{1} = 1 \checkmark $$

Los vectores $\vec{i} = (1, 0)$ y $\vec{j} = (0, 1)$ son unitarios. Vamos a calcular su producto escalar: $$ \vec{i} \cdot \vec{j} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \left ( \dfrac{\pi}{2} \right ) = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos (\gss{90}) = 0 $$ Es decir, si dos vectores son perpendiculares su producto escalar es cero, y respectivamente, si el producto escalar de dos vectores (no nulos) es cero, entonces son perpendiculares.

El producto escalar de un vector por si mismo es igual al módulo del vector al cuadrado: $\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2 $ $$ \vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|\cdot |\vec{u}|\cdot \cos 0 = |\vec{u}|^2 $$

Expresión analítica del producto escalar

$ \vec{i} = (1,0) $ y $\vec{j} = (0, 1) $ Estos vectores forman un sistema generador, es decir, cualquier vector $\vec{u}$ se puede escribir como combinación lineal de los vectores $\vec{i}$ y $\vec{j}$: $$ \vec{u} = (u_x, u_y) = u_x \cdot \vec{i} + u_y \cdot \vec{j} $$ $$ \vec{v} = (v_x, v_y) = v_x \cdot \vec{i} + v_y \cdot \vec{j} $$ Entonces el producto escalar de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ es: $$ \vec{u} \cdot \vec{v} = (u_x \cdot \vec{i} + u_y \cdot \vec{j} ) \cdot (v_x \cdot \vec{i} + v_y \cdot \vec{j} ) = u_x \cdot v_x \cdot \vec{i} \cdot \vec{i} + u_x \cdot v_y \cdot \vec{i} \cdot \vec{j} + u_y \cdot v_x \cdot \vec{j} \cdot \vec{i} + u_y \cdot v_y \cdot \vec{j} \cdot \vec{j} = (1) $$ Sabemos que $\vec{j} \cdot \vec{i} = \vec{i} \cdot \vec{j} = 0$ por ser perpendiculares; y $|\vec{i}|^2 = \vec{i} \cdot \vec{i} = 1 = \vec{j} \cdot \vec{j} = |\vec{j}|^2 = 1$ $$ (1) = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y $$

$$ \Large \fbox{ $ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y $ } \quad (2) $$

Cálculo del ángulo que forman dos vectores

Para calcular el ángulo $\alpha$ que forman los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$, podemos calcular el coseno del ángulo que forman si juntamos las ecuaciones $(1)$ y $(2)$ tenemos: $$ u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha = \mfrac{ u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y }{ | \vec{u}| \cdot |\vec{v}| } \Rightarrow \cos \alpha = \mfrac{ u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y }{ \sqrt{ u_x^2 + u_y^2 } \cdot \sqrt{ v_x^2 + v_y^2 } } $$

$$ \Large \fbox{ $ \alpha = \arccos \left ( \mfrac{ u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y }{ \sqrt{ u_x^2 + u_y^2 } \cdot \sqrt{ v_x^2 + v_y^2 } }\right )$ } \quad \alpha \in \left (0, \pi \right )$$

 Interpretación geométrica del producto escalar: El producto escalar de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.