Números decimales, racionales e irracionales.

Nota: Sobre la escritura de números decimales en la RAE: Está permitido escribir $\pi = 3,141592 .... $ o $\pi = 3.141592 .... $

$$\huge \fbox{ Lo que NO está permitido es escribir $\pi = 3'141592 .... $ } $$

 ¿Qué es un número decimal? Estamos ante una pregunta, que igual no hacemos de la mejor manera, y que muchas veces tampoco respondemos de la mejor forma.

Se entiende por números decimales aquellos que no son enteros, es decir, que tienen parte fraccionaria. Pero tenemos que tener en cuenta que usamos el sistema de numeración decimal:

El sistema de numeración decimal, es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del número diez. El conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración arábiga) se compone de diez cifras:

cero (0) - uno (1) - dos (2) - tres (3) - cuatro (4) - cinco (5) - seis (6) - siete (7) - ocho (8) - nueve (9)

Veamos un par de ejemplos:

Para números enteros: 

$1.375 = 1 \times 10^3 +  3 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 5 \times 10^0 $

Para números no enteros:

$349,6372... = 3 \times 10^2 + 4 \times 10^1 + 9 \times 10^0 + 6 \times 10^{-1} + 3 \times 10^{-2} + 7 \times 10^{-3} + 2 \times 10^{-4} + \cdots $ 

Vamos a hablar de la relación entres las fracciones y los números decimales, racionales e irracionales. Veamos el siguiente esquema: 

$$ n\acute{u}mero \left\{\begin{array}{l} entero \\ decimal \left\{\begin{array}{l} racional \left\{\begin{array}{l} exacto \\ peri\acute{o}dico \left\{\begin{array}{l} puro \\ \\  mixto \end{array} \right. \\ \end{array} \right. \\ irracional \end{array} \right. \end{array}\right. $$

Los números irracionales tienen infinitas cifras decimales y no se pueden representar como una fracción. Uno de los irracionales más famosos es $\pi$ ( $\simeq 3,141592653589793238462 \cdots $) En la actualidad se conocen unos 31.000.000.000.000 de cifras decimales de dicho número) que curiosamente se define a partir de una fracción

$$ \pi = \dfrac{Longitud \ de \ una \ circunferencia}{ diametro } = \dfrac{Longitud \ de \ una \  circunferencia}{2 \ veces \ el \ radio} $$

Más irracionales famosos: 

el número áureo $ \varphi \simeq 1,618033988749894 \cdots $

raíz cuadrada de un número primo $\sqrt{p}$, con $p$ número primo, es decir, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}, \cdots $ 

el número e $ e \simeq 2,718281828459045235360 \cdots $

Pero vamos con los racionales y dentro de este conjunto con los fraccionarios, números que tienen decimales, finitos o infinitos, pero que se pueden poner en forma de fracción. Lo que vamos a hacer es saber a partir de la fracción la clase de número que es sin hacer la división. Es decir, si es racional finito o periódico, y si es periódico, ver si es puro o mixto.

Para ello cogemos una fracción cualquiera:

$$\dfrac{100}{200}; \qquad \dfrac{15}{25}; \qquad \dfrac{9}{90}; \qquad \dfrac{3}{9}; \qquad \dfrac{5}{105}; \qquad \dfrac{40}{48}$$

y obtenemos la fracción irreducible, es decir, aquella que no se puede simplificar, Podemos usar el máximo común divisor del numerador y del denominador para hacerlo en un solo paso:

$$\dfrac{1}{2}; \qquad \dfrac{3}{5}; \qquad \dfrac{1}{10}; \qquad \dfrac{1}{3}; \qquad \dfrac{1}{21}; \qquad \dfrac{5}{6}$$

Una vez obtenida la fracción irreducible, factorizamos el denominador, sólo el denominador. Podemos tener 3 casos:

1.- Solo tenemos en la factorización los factores primos 2 y/o 5, en este caso el racional es exacto: 

$$\dfrac{1}{2} = 0,5 ; \qquad \dfrac{3}{5} = 0,6; \qquad \dfrac{1}{10} = 0,1$$

2.- Tenemos factores primos que no son ni el 2 ni el 5, en este caso el decimal es infinito, periódico puro:

$$\dfrac{1}{3} = 0,333333...   ; \qquad \dfrac{1}{3 \cdot 7 } = 0,047619047619... $$

3.- Tenemos factores primos 2 y/o 5 y otros diferentes de estos dos: 

$$\dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{2 \cdot 3} = 0,83333...; \qquad \dfrac{1}{30} = \dfrac{1}{2 \cdot 3 \cdot 5} = 0,03333...  $$

Otra cosa interesante, es que podemos saber el número de decimales que tiene el anteperiodo y/o el periodo de cada tipo de número. Veamos por casos: 

1.- Solo tenemos en la factorización los factores primos 2 y/o 5, en este caso el racional es exacto: 

$$\dfrac{1}{2} = 0,5; \qquad \dfrac{1}{2^2} = 0,25 ; \qquad \dfrac{1}{2 \cdot 5^2} = 0,02; \qquad \dfrac{1}{5^3} = 0,125$$

El número de decimales es el máximo de los exponentes de 2 y 5. 

2.- Para calcular el número de decimales tenemos que saber cuántos números tiene el número formado por todo 9 que es multiplo del denominador. Así 9 es múltiplo de 3, como 9 tiene un solo número, por eso el periodo esta formado por una sola cifra. Otro ejemplo: 999.999 es mútliplo de 21 y está formado por 6 nueves, luego el periodo de $\dfrac{1}{21}$ tiene 6 cifras.

3.- Si es periódico mixto, el número de cifras del anteperiodo será el máximo de los exponentes del 2 o el 5; el número de cifras de la parte periódica vendrá dado igual que en el apartado 2. Ejemplo: $\dfrac{1}{42} = \dfrac{1}{2 \cdot 3 \cdot 7} = $ 0,0238095238095238095 ... 

El cero azul es el anteperiodo y las cifras en morado es el periodo. 

Ejercicio: Tipo de número racional y el número de cifras de la parte fraccionaria según el número racional que sea de los siguientes números: 

1. $\dfrac{45}{66} \\ \\ $ 



2. $\dfrac{120}{300} \\ \\ $ 



3. $\dfrac{12}{81} \\ \\ $

Interés simple y compuesto. El número «$e$».

Interés simple

El tiempo y el capital son directamente proporcionales al interés simple. Así, con el mismo capital, a mayor tiempo mayor interés; y en el mismo tiempo, a mayor capital más interés.

Si invertimos 1 € durante un año nos dará un interés «$r$», pero ¿qué interés nos darán si lo invertimos durante «$t$ años»? Aplicando la fórmula de la proporcionalidad compuesta tenemos:

• $C$ es el dinero que se va a invertir;
• $r$ es el interés, por ejemplo, si el interés es del 5% entonces $r = 0,05$;
• $t$ es el tiempo (días, semanas, meses, trimestres; cuatrimestres, semestres, años, etc);
• $I$ es el cantidad de interés que produce el capital $C$;
  

Directa

Directa

Tiempo Años Meses Días Trimestral Cuatrimestral Semanal Quincenal Bimensual Semestral

Capital €

Interés %

1

1

r

$t$

$C$

$I$

Para calcular el capital final, tenemos que sumar el capital inicial más los intereses y ese será el capital total después de la inversión.

$$ \bbox[6px,border:4px solid teal] { \qquad C_{final} = C_{inicial} + I \qquad } $$

Interés compuesto

La diferencia del interés simple con el interés compuesto, es que en este último los intereses generados vuelven a formar parte del capital que genera esos intereses. Veamos:

• $C_o$ es el dinero que se va a invertir al principio; 
• $C_f$ es el dinero que se va a obtener después de la inversión; 
  
• $r$ es el interés, por ejemplo, si el interés es del 5% entonces $r = 0,05$;
• $n$ es el tiempo (días, semanas, meses, trimestres; cuatrimestres, semestres, años, etc); 

Tiempo Años Meses Días Trimestral Cuatrimestral Semanal Qunicenal Bimensual Semestral	Capital inicial	Capital final
$\odn{1}{er}$ año
$2^{\underline{\circ}}$ año
$\odn{3}{er}$
$\cdots$
$n^{\underline{ésimo}}$ año

En el Interés compuesto, para calcular el interés, al capital final tenemos que restarle el capital inicial:

$$ \bbox[6px,border:4px solid teal] { \qquad I = C_{final} - C_{inicial} \qquad } $$

$$ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \qquad \text{El primer año, tanto el interés simple como el compuesto dan el mismo interés.} \qquad } $$

Veamos un ejemplo:

Hallar el interés simple y compuesto producido durante un año, por un capital de 30.000 €, al 6%.

Simple:

$$ I = C \cdot r \cdot t = 30.000 \cdot 1 \cdot 0,06 = 1.800   \text{€} $$

Luego el Capital final es 30.000 + 1.800 = 31.800 €

Compuesto:

$$ C_{f} = C_{0} \cdot \left ( 1 + r \right )^{n} = 30.000 \cdot \left ( 1 + 0,06 \right )^{1} = 30.000 \cdot 1,06 = 31.800 \text{€} $$

Luego los intereses son 1.800 €, que es lo mismo que en el interés simple. 

Hallar el interés simple y compuesto producido durante dos años, por un capital de 30.000 €, al 7%.

Simple:

$$ I = C \cdot r \cdot t = 30.000 \cdot 2 \cdot 0,07 = 4.200 \text{€} $$

Luego el Capital final es 30.000 + 4.200 = 34.200 €

Compuesto:

$$ C_{f} = C_{0} \cdot \left ( 1 + r \right )^{n} =  30.000 \cdot \left ( 1 + 0,07 \right )^{2} = 30.000 \cdot (1,07)^2 = 30.000 \cdot 1,1449 = 34.347 \text{€} $$

Luego los intereses son 1.800 €, que es lo mismo que en el interés simple. 

El número «$e$»

• Si invertimos un 1€, al 100% de interés (simple o compuesto) al cabo de un año, ¿cuánto obtenemos? 1€, en total 2€. $$ C_o = 1, C_f = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{100} \right ) = 2 \text{€} $$
• Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, pero en lugar de cobrar los intereses al final del año, lo hacemos de forma semestral durante un año, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1; C_1 = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{200} \right ) = 1,5 \text{€} $$ $$ C_1 = 1,5; C_1 = 1,5 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{200} \right ) = 2,25 \text{€} $$ $$ C_2 = 1 \cdot \left ( 1 + \mfrac{100}{200} \right )^2 \approx 2,25 $$
• Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, pero en lugar de cobrar los intereses al final de cada semestre, lo hacemos de forma cuatrimestral durante un año, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1, C_1 = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{300} \right ) \approx 1,33 \text{€} $$ $$ C_1 = 1,33, C_2 = 1,33 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{300} \right ) \approx 1,77 \text{€} $$ $$ C_2 = 1,7689, C_3 = 1,7689 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{300} \right ) \approx 2,35 \text{€} $$ $$ C_3 = 1 \cdot \left ( 1 + \mfrac{100}{300} \right )^3 \approx 2,44 $$
• Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, pero en lugar de cobrar los intereses al final de cada cuatrimestre, lo hacemos de forma trimestral durante un año, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1; C_1 = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{400} \right ) = 1,25 \text{€} $$ $$ C_1 = 1,25; C_2 = 1,25 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{400} \right ) \approx 1,56 \text{€} $$ $$ C_2 = 1,56; C_3 = 1,56 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{400} \right ) \approx 1,95 \text{€} $$ $$ C_3 = 1,95; C_3 = 1,95 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{400} \right ) \approx 2,44 \text{€} $$ $$ C_4 = 1 \cdot \left ( 1 + \mfrac{100}{400} \right )^4 \approx 2,44 $$
• Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, pero en lugar de cobrar los intereses al final de cada cuatrimestre, lo hacemos de forma mensual durante un año, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1; C_{12} = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{1200} \right )^{12} \approx 2,613 \text{€} $$
• Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, pero en lugar de cobrar los intereses al final de cada más pequeño durante un año, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1; C_{360} = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{36000} \right )^{360} \approx 2,714 \text{€} $$
• Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, y hacemos que el número de plazos aumente de forma infinita, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1; C_{n} = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{1}{n} \right )^{n} = 2,7182818284590452353602874713527 \cdots \text{€} $$

\[ e = \milmt{n}{\infty}{ \left ( 1 + \mfrac{1}{n} \right)^n } = 2,7182818284590452353602874713527 \cdots \]

Ejercicios resueltos de Interés simple y compuesto

En este caso el capital inicial son 7000 €, pero cuidado, porque los intereses generados no son 9500 €. Los 9500 € corresponden al capital final. Por tanto, calculamos los intereses generados en primer lugar: \[ I = C_f - C_i = 9.500 - 7.000 = 2.500 \] Ahora sustituimos todos los datos en la fórmula del interés simple. Y despejamos el tipo de interés: \[ I = C \cdot r \cdot t \Rightarrow 2.500 = 7.000 \cdot r \cdot 4 \Rightarrow r = \mfrac{ 2.500 }{ 7.000 \cdot 4 } = \mfrac{ 25 }{ 70 \cdot 4 } = \] \[ = \mfrac{ 5 }{ 14 \cdot 4 } = \mfrac{ 5 }{ 56 } = 0,08928571 = 8,92\% \text{ de interés } \] Es un tipo de interés anual, ya que el periodo de tiempo estaba en años.

La fórmula para usar en este ejericio es \[ C_f = C_i \cdot \left (1 +\mfrac{r}{4} \right )^{t} \] Donde \(t\) representa el tiempo en trimestes.

Queremos despejar el \(C_i\), entonces: \[ C_f = C_i \cdot \left (1 +\mfrac{r}{4} \right )^{t} \Rightarrow C_i = \mfrac{ C_f }{ \left (1 +\mfrac{r}{4} \right )^{t} } \] Sustituimos cada dato por su valor y tenemos: \[ C_i = \mfrac{ C_f }{ \left (1 +\mfrac{r}{4} \right )^{t} } = \mfrac{ 14.638,67 }{ (\left (1 + \mfrac{0,05}{4} \right )^{4 \cdot 4 } } = \mfrac{ 14.638,67 }{ (1,0125)^{ 16} } = \mfrac{ 14.638,67 }{ 1,22 } = 12.000\ \text{€} \]

a) Anualmente: \( C_f = 60.000 \cdot \left (1 + 0,05 \right )^4 = 72.930,38 \text{€} \)

b) Mensualmente: \( C_f = 60.000 \cdot \left (1 + \dfrac{0,05}{12} \right )^{12 \cdot 4} = 73.253,72 \text{€} \)

c) Diariamente: \( C_f = 60.000 \cdot \left (1 + \dfrac{0,05}{12} \right )^{360 \cdot 4} = 73.283,15 \text{€} \)

d) Trimestralmente: \( C_f = 60.000 \cdot \left (1 + \dfrac{0,05}{4} \right )^{4 \cdot 4} = 73.193,37 \text{€} \)

e) Cuatrimestralmente: \( C_f = 60.000 \cdot \left (1 + \dfrac{0,05}{3} \right )^{3 \cdot 4} = 73.163,47 \text{€} \)

f) Semanalmente: \( C_f = 60.000 \cdot \left (1 + \dfrac{0,05}{52} \right )^{52 \cdot 4} = 73.277,12 \text{€} \)

g) Quincenalmente: \( C_f = 60.000 \cdot \left (1 + \dfrac{0,05}{24} \right )^{24 \cdot 4} = 73.268,92 \text{€} \)

h) Bimensualmente: \( C_f = 60.000 \cdot \left (1 + \dfrac{0,05}{6} \right )^{6 \cdot 4} = 73.223,46 \text{€} \)

i) Semestralmente: \( C_f = 60.000 \cdot \left (1 + \dfrac{0,05}{2} \right )^{2 \cdot 4} = 73.104,17 \text{€} \)

Como es abono de intereses anuales usaremos la fórmula: \[ C_f = C_i \cdot \left (1 + r \right )^{t} \qquad t \text{ es el tiempo en años} \] Despejamos la $t$: \[ C_f = C_i \cdot \left (1 + r \right )^{t} \Rightarrow \mfrac{ C_f }{ C_i } = \left (1 + r \right )^{t} \] Tomamos logaritmos: \[ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } = \log \left (1 + r \right )^{t} \Rightarrow \log \mfrac{ C_f }{ C_i } = n \log \left (1 + r \right ) \Rightarrow n = \mfrac{ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } }{ \log \left (1 + r \right ) } \] Luego \( n = \mfrac{ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } }{ \log \left (1 + r \right ) } = \mfrac{ \log \mfrac{ 42.500 }{ 36.700 } }{ \log \left (1 + 0,05 \right ) } = 3 \) trimestres = 3 años

Como es abono de intereses trimestrales usaremos la fórmula: \[ C_f = C_i \cdot \left (1 +\mfrac{r}{4} \right )^{t} \qquad t \text{ es el tiempo en trimestres} \] Despejamos la $t$: \[ C_f = C_i \cdot \left (1 +\mfrac{r}{4} \right )^{t} \Rightarrow \mfrac{ C_f }{ C_i } = \left (1 +\mfrac{r}{4} \right )^{t} \] Tomamos logaritmos: \[ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } = \log \left (1 +\mfrac{r}{4} \right )^{t} \Rightarrow \log \mfrac{ C_f }{ C_i } = n \log \left (1 +\mfrac{r}{4} \right ) \Rightarrow n = \mfrac{ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } }{ \log \left (1 +\mfrac{r}{4} \right ) } \] Luego \( n = \mfrac{ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } }{ \log \left (1 + \mfrac{r}{4} \right ) } = \mfrac{ \log \mfrac{ 28.170 }{ 25.000 } }{ \log \left (1 + 0,01 \right ) } = 12 \) trimestres = 3 años

Como es abono de intereses anuales usaremos la fórmula: \[ C_f = C_i \cdot \left (1 + r \right )^{t} \qquad t \text{ es el tiempo en años} \] Despejamos la $t$: \[ C_f = C_i \cdot \left (1 + r \right )^{t} \Rightarrow \mfrac{ C_f }{ C_i } = \left (1 + r \right )^{t} \] Tomamos logaritmos: \[ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } = \log \left (1 + r \right )^{t} \Rightarrow \log \mfrac{ C_f }{ C_i } = n \log \left (1 + r \right ) \Rightarrow n = \mfrac{ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } }{ \log \left (1 + r \right ) } \] Luego \( n = \mfrac{ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } }{ \log \left (1 + r \right ) } = \mfrac{ \log \mfrac{ 2 \cdot 70.000 }{ 70.000 } }{ \log \left (1 + 0,08 \right ) } = \mfrac{ \log 2 }{ \log \left (1,08 \right ) } = 9 \) años

Como es abono de intereses mensuales usaremos la fórmula: \[ C_f = C_i \cdot \left (1 + \mfrac{r}{12} \right )^{t} \qquad t \text{ es el tiempo en meses} \] Despejamos la $t$: \[ C_f = C_i \cdot \left (1 + \mfrac{r}{12} \right )^{t} \Rightarrow \mfrac{ C_f }{ C_i } = \left (1 + \mfrac{r}{12} \right )^{t} \] Tomamos logaritmos: \[ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } = \log \left (1 + \mfrac{r}{12} \right )^{t} \Rightarrow \log \mfrac{ C_f }{ C_i } = n \log \left (1 + \mfrac{r}{12} \right ) \Rightarrow n = \mfrac{ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } }{ \log \left (1 + \mfrac{r}{12} \right ) } \] El 82% de los intereses son 3.310,34, luego el 100 de los intereses son: \( I = \mfrac{3.310,34}{0,82} = 4.037 \) €

El capital final es $C_f = 4.037 + 25.000 = 29.037 Luego \( n = \mfrac{ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } }{ \log \left (1 + \mfrac{r}{12} \right ) } = \mfrac{ \log \mfrac{ 29.037 }{ 25.000 } }{ \log \left (1 + \mfrac{0,05}{12} \right ) } = \mfrac{ \log (1,16148) }{ \log \left (1,00416667 \right ) } = 36 \) meses = 3 años

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Anamorfosis, la geometría de la ilusión

La anamorfosis o anamorfismo es una técnica con la que se consigue crear una ilusión óptica haciendo uso de principios mátemáticos y las leyes de la perspectiva. Veamos el vídeo de publicidad del Honda CR-V (2.013):

 

 En la casa de las ciencias de Logroño grabé este vídeo del Triángulo de Penrose:

 

   

  En la casa de las ciencias de Logroño hay un ejemplo de anamorfosis donde se puede leer la frase «Lo importante es no dejar de hacerse preguntas» Albert Einstein

Galería de los horrores (Matemáticos y algo más)

        Esta es una entrada para hacer ver fallos muy repetitivos que realizan los alumnos en las diferentes etapas educativas en secundaria y bachillerato, no es con ánimo de burla, ni mucho menos. Si alguien cree lo contrario, lo siento, eso es algo que yo, no puedo controlar.

    Siempre aparecen los nervios en el examen, ¿por qué motivo?

¿Cuántas veces ponemos esos interrogantes? ... 

Alumn@ de 1º de la ESO (no es bilingüe)

 

Alumn@ 1º bachillerato de ciencias:

    Cuidadin con el 2, ¿exponente de coseno o ángulo doble?

    Tengo que resolver una ecuación de 2º grado ... claro la $x$, pero no digo lo que quiero calcular.

Alumn@ 1º bachillerato de ciencias, prueba inicial de curso:

Otro alumn@ 1º bachillerato de ciencias, prueba inicial de curso:

En 1º Bach de ciencias me calculan el valor de la unidad imaginaria «i»

En 1º Bach de ciencias: ¡¡¡ Hay que tener cuidado a la hora de simplificar!!!

Esto pasa cuando pregunto el teorema del coseno ... algunas veces ... 

Otro discente de $1^{\underline{\circ}}$ de bachillerato de ciencias ... 

La división lleva tiempo dando problemas ... discente de $3^{\underline{\circ}}$ ESO 

¿Qué pensáis vosotros?

Este circula mucho por las redes sociales ... 

Lo de los exponentes negativos empieza a ser dramático ... y si te lo hacen en 1º de bachillerato de ciencias ... ni te cuento. 

 

  

Operaciones con decimales:

Los problemas de comprensión lectora o no querer hacer los ejercicios:

¿Dividir? ¿Para qué?

La importancia de copiar bien el enunciado (2/111) y pensar ... ¿el profesor me puede mandar esto? ¿de verdad

? ¿seguro? La aritmética básica:

Si a un lado de la igualdad hay un cero ... cuidadin:

Los límites laterales ... ¿en el infinito?:

El Álgebra cuesta un poquito:

Lo de explicar las cosas ...:

Las propiedades de las potencias lo puedn estropear un poco:

Ecuaciones con radicales:

Dividir y no reflexionar:

Otra división:

y otra división:

División con decimales:

La notación científica también da sus problemillas:

La sinceridad ante todo:

Iremos actualizando esta sección con nuevos «horrores» que nos podéis enviar, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Funciones: Asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.

Una asíntota es una recta a la cual la función se va aproximando indefinidamente.

Las asíntotas verticales pueden aparecer por dos motivos: 

1. Valores que anulan el denominador de una función: Por ejemplo la función $f(x) = \dfrac{1}{x}$ en $x = 0$.
2. Extremos de intervalo del dominio de la función que no están en el dominio: Por ejemplo la función $f(x) = \ln(x)$ en $x = 0$ cuando $x$ tiende a cero por la derecha. $(x \Rightarrow 0^+)$. Lo mismo vale para las funciones $f(x) = \log_a (x) \ a > 1$ y $f(x) = \log_b (x) \ 0 < b < 1$. 

Importante:

«Una función no puede tener una asíntota horizontal y otra oblicua por el mismo lado, por el mismo lado quiere decir, si $ x \rightarrow +\infty$ o si $ x \rightarrow - \infty$ »

Podemos tener una asíntota horizontal cuando $x \rightarrow + \infty$ y una asíntota oblicua cuando $x \rightarrow - \infty$ o viceversa. 

Las asíntotas horiontales, son las rectas horizontales $ y = k $ a la que se aproxima la función cuando $x \to + \infty $ y $x \to - \infty $

$$ \milmt{x}{+ \infty}{f(x)} = k \Longleftrightarrow y = k_1 $$ $$ \milmt{x}{- \infty}{f(x)} = k \Longleftrightarrow y = k_2 $$ $k_1$ y $k_2$ pueden ser iguales.

Las asíntotas oblicuas son de la forma $y = mx + n $, donde:

$$ m_1 = \milmt{x}{+ \infty}{\dfrac{\ f(x)\ }{x}} \text{ y } n_1 = \milmt{x}{+ \infty}{ f(x) - m_1 \cdot x } $$ $$ m_2 = \milmt{x}{- \infty}{\dfrac{\ f(x)\ }{x}} \text{ y } n_2 = \milmt{x}{- \infty}{ f(x) - m_2 \cdot x } $$
Los valores $m_1$ y $m_2$ pueden ser iguales. Las valores $n_1$ y $n_2$ pueden ser iguales.

Voy a poner dos ejemplos de funciones que tienen los tres tipos de asíntotas:

$$ f(x) = \dfrac{xe^x}{x + e^x} $$

$$f(x) = x^{\dfrac{|x|}{x}} + \dfrac{1}{x} $$

Límites de funciones. Indeterminación $1^{\infty}$

Para resolver límites si tenemos una indeterminación del tipo $1^{\infty}$ veremos que fórmula aplicar y de donde sale. Lo primero que tenemos que ver es el número $e$.

$$ e = \displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} \left ( 1 + \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^{x} }$$

Pero también se cumple, si en lugar de $x$ es cualquier $f(x)$:

$$ \text{(1)} \ \ \ \ e = \displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} \left ( 1 + \dfrac{\ 1 \ }{f(x)} \right )^{f(x)} }$$ 

Las indeterminaciones del tipo $1^{\infty}$ nos pueden aparecer cuando:

$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)^{g(x)} = \left \{  1^{\infty} \right \} $$
$$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)^{g(x)} = \left \{  1^{ \infty} \right \} $$
$$\displaystyle \lim_{ x \to a } f(x)^{g(x)} = \left \{  1^{ \infty} \right \} a \in \mathbb{R}$$

Para resolver límites de este estilo, siempre tenemos que ponerlos de la forma (1), veamos un ejemplo:

$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (\dfrac{x + 3}{x + 1} \right )^{x + 5} = \left \{  1^{+\infty} \right \} = $$

Sumamos y restamos 1 en la base y hacemos la resta:

$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{x + 3}{x + 1} - 1 \right )^{x + 5} = \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{x + 3}{x + 1} - \dfrac{x + 1}{x + 1} \right )^{x + 5} = $$

$$\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{x + 3 - x - 1}{x + 1} \right )^{x + 5} = \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{2}{x + 1} \right )^{x + 5} = $$

Ahora tenemos que dejar 1 en el numerador de la base, ¿cómo lo conseguimos? Dividiendo numerador y denominador por el numerador, en este caso 2:

$$\displaystyle =  \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{ \dfrac{2}{2} }{ \dfrac{x + 1}{2} } \right )^{x + 5}  =  \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{ 1 }{ \dfrac{x + 1}{2} } \right )^{x + 5} = $$

Necesitamos que el exponente coincida con el denominador de la fracción de la base, como no coincide, multiplicamos y dividimos el exponente por el denominador de la fracción de la base:

$$\displaystyle =  \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{ 1 }{ \dfrac{x + 1}{2} } \right )^{\dfrac{x + 1}{2} \cdot \dfrac{2}{x + 1}  \cdot (x + 5)} = \left [ \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{ 1 }{ \dfrac{x + 1}{2} } \right )^{\dfrac{x + 1}{2}} \right ]^{ \dfrac{2}{x + 1}  \cdot (x + 5)} =$$

Lo de los corchetes es el número $e$ que ahora está elevado a una expresión cuyo límite queremos calcular:

$$ = e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty}  \dfrac{2}{x + 1}  \cdot (x + 5) } =  e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty}  \dfrac{2x + 10}{x + 1} } = e^{ \left \{ \dfrac{+\infty}{+\infty} \right \} } = e^{2} $$


Lo mismo que hemos hecho con este límite lo podríamos hacer en general, veámoslo:

Tenemos una función $f(x)$ tal que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$ y
otra función $g(x)$ tal que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$. Así 


$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)^{g(x)} = \left \{  1^{+\infty} \right \} = $$

Sumamos y restamos 1 en la base y hacemos la resta:

$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (1 + f(x) - 1 \right )^{g(x)} =$$

Ahora tenemos que dejar 1 en el numerador de la base, ¿cómo lo conseguimos? Dividiendo numerador y denominador por el numerador, en este caso $f(x) - 1 $:
$$\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{ 1 }{ \dfrac{1}{f(x) - 1} } \right )^{g(x)} $$

Necesitamos que el exponente coincida con el denominador de la fracción de la base, como no coincide, multiplicamos y dividimos el exponente por el denominador de la fracción de la base:

$$\displaystyle =  \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{ 1 }{ \dfrac{1}{f(x) - 1} } \right )^{\dfrac{1}{f(x) - 1} \cdot (f(x) - 1) \cdot g(x)} = \lim_{x \to +\infty} \left [ \left (1 + \dfrac{ 1 }{ \dfrac{1}{f(x) - 1} } \right )^{\dfrac{1}{f(x) - 1} } \right ]^{ (f(x) - 1) \cdot g(x)} = $$

Lo de los corchetes es el número $e$ que ahora está elevado a una expresión cuyo límite queremos calcular:

$$ = e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty}  (f(x) - 1) \cdot g(x) } $$

Resumiendo

$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)^{g(x)} = \left \{  1^{+\infty} \right \} = e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty}  (f(x) - 1) \cdot g(x) } $$

Si lo aplicamos al ejemplo anterior tenemos: 

$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (\dfrac{x + 3}{x + 1} \right )^{x + 5} = \left \{  1^{+\infty} \right \} =  e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (\dfrac{x + 3}{x + 1} - 1 \right ) \cdot \left ( x + 5 \right ) } =  e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (\dfrac{x + 3}{x + 1} - \dfrac{x + 1}{x + 1} \right ) \cdot \left ( x + 5 \right ) } = $$ 

$$ = e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (\dfrac{x + 3 - x - 1}{x + 1} \right ) \cdot \left ( x + 5 \right ) } = e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2 \cdot \left ( x + 5 \right )}{x + 1}  } =  e^{ \displaystyle \dfrac{\infty}{\infty} } = e^{ \displaystyle 2} $$  

Para terminar, los errores más típicos en este tipo de indeterminaciones es creer que la base tiende a 1 cuando no lo hace o que el exponente tiende a infinito cuando no es así. Veamos algunos ejemplos:

 $\bullet$ La base no tiende a 1:
$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left ( \dfrac{3x + 2}{6x + 3} \right )^{x} = \left ( \dfrac{1}{2} \right)^{+\infty} = 0 $$

 $\bullet$ El exponente no tiende a $\infty$:
 $$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left ( 1 + \dfrac{1}{x^2} \right )^{\dfrac{3x}{2x + 1}} = {\Large 1}^{ \displaystyle \normalsize 3/2 } = {\Large 1} $$

\[ \milmt{x}{\infty}{ \left( 1 - \mfrac{ 1 }{ x } \right )^x } = 1^{\infty} = e^{ \milmt{x}{0}{\ x \cdot \left( 1 - \mfrac{ 1 }{ x } - 1 \right ) }  } = e^{ \milmt{x}{0}{\ x \cdot \left( - \mfrac{ 1 }{ x } \right ) }  } = e^{-1} = \mfrac{1}{e} \]

\[ \milmt{x}{1}{ \left( \mfrac{ 1 }{ x } \right )^{\mfrac{1}{x^2 - 1}} } = 1^{\infty} = e^{ \milmt{x}{1}{\mfrac{1}{x^2 - 1} \cdot \left( \mfrac{ 1 }{ x } - 1 \right ) }  } = e^{ \milmt{x}{1}{\ \mfrac{-1}{1 - x^2} \cdot \left( \mfrac{ 1 - x }{ x } \right ) }  } = \]  \[ = e^{ \milmt{x}{1}{\ \mfrac{-1}{(1 - x)(1 + x)} \cdot \left( \mfrac{ 1 - x }{ x } \right ) }  } = e^{ \milmt{x}{1}{\ \left( \mfrac{ -1 }{ x(1 + x) } \right ) }  } = e^{-1/2} = \mfrac{1}{ \msqrt{e} } = \mfrac{ \msqrt{e} }{e} \]

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com