Interés simple y compuesto. El número «$e$».

Interés simple

El tiempo y el capital son directamente proporcionales al interés simple. Así, con el mismo capital, a mayor tiempo mayor interés; y en el mismo tiempo, a mayor capital más interés.

Si invertimos 100 € durante un año nos dará un interés «$r$», pero ¿qué interés nos darán si lo invertimos durante «$t$ años»? Aplicando la fórmula de la proporcionalidad compuesta tenemos:

• $C$ es el dinero que se va a invertir;
• $r$ es el interés, por ejemplo, si el interés es del 5% entonces $r = 5$;
• $t$ es el tiempo (días, semanas, meses, trimestres; cuatrimestres, semestres, años, etc);
• $I$ es el cantidad de interés que produce el capital $C$;
  

Directa

Directa

Tiempo Años Meses Días Trimestral Cuatrimestral Semanal Quincenal Bimensual Semestral

Capital €

Interés %

1

100

r

$t$

$C$

$I$

Para calcular el capital final, tenemos que sumar el capital inicial más los intereses y ese será el capital total después de la inversión.

$$ \bbox[6px,border:4px solid teal] { \qquad C_{final} = C_{inicial} + I \qquad } $$

Interés compuesto

La diferencia del interés simple con el interés compuesto, es que en este último los intereses generados vuelven a formar parte del capital que genera esos intereses. Veamos:

• $C_o$ es el dinero que se va a invertir al principio; 
• $C_f$ es el dinero que se va a obtener después de la inversión; 
  
• $r$ es el interés, por ejemplo, si el interés es del 5% entonces $r = 5$;
• $n$ es el tiempo (días, semanas, meses, trimestres; cuatrimestres, semestres, años, etc); 

Tiempo Años Meses Días Trimestral Cuatrimestral Semanal Qunicenal Bimensual Semestral	Capital inicial	Capital final
$1^{\underline{\circ}}$
$2^{\underline{\circ}}$
$3^{\underline{\circ}}$
$\cdots$
$n^{\underline{ésimo}}$

$$ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \qquad \text{El primer año, tanto el interés simple como el compuesto dan el mismo interés.} \qquad } $$

Veamos un ejemplo:

Hallar el interés simple y compuesto producido durante un año, por un capital de 30.000 €, al 6%.

Simple:

$$ I = \dfrac{C \cdot r \cdot t}{100} = \dfrac{30.000 \cdot 1 \cdot 6}{100} = \dfrac{180.000}{100} = 1.800   \text{€} $$

Luego el Capital final es 30.000 + 1.800 = 31.800 €

Compuesto:

$$ C_{f} = C_{0} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r}{100} \right )^{n} =  30.000 \cdot \left ( 1 + \dfrac{6}{100} \right )^{1} = 30.000 \cdot \dfrac{106}{100} = 300 \cdot 106 = 31.800 \text{€} $$

Luego los intereses son 1.800 €, que es lo mismo que en el interés simple. 

Al aplicar la fórmula del interés compuesto, calculamos el capital final de la inversión, es decir, capital más intereses. Si queremos calcular los intereses que nos ha producido la inversión tenemos que hacer la resta, capital final - capital inicial.

El número «$e$»

• Si invertimos un 1€, al 100% de interés (simple o compuesto) al cabo de un año, ¿cuánto obtenemos? 1€, en total 2€. $$ C_o = 1, C_f = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{100} \right ) = 2 \text{€} $$
• Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, pero en lugar de cobrar los intereses al final del año, lo hacemos de forma semestral durante un año, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1; C_1 = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{200} \right ) = 1,5 \text{€} $$ $$ C_1 = 1,5; C_1 = 1,5 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{200} \right ) = 2,25 \text{€} $$ $$ C_2 = 1 \cdot \left ( 1 + \mfrac{100}{200} \right )^2 \approx 2,25 $$
• Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, pero en lugar de cobrar los intereses al final de cada semestre, lo hacemos de forma cuatrimestral durante un año, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1, C_1 = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{300} \right ) \approx 1,33 \text{€} $$ $$ C_1 = 1,33, C_2 = 1,33 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{300} \right ) \approx 1,77 \text{€} $$ $$ C_2 = 1,7689, C_3 = 1,7689 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{300} \right ) \approx 2,35 \text{€} $$ $$ C_3 = 1 \cdot \left ( 1 + \mfrac{100}{300} \right )^3 \approx 2,44 $$
• Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, pero en lugar de cobrar los intereses al final de cada cuatrimestre, lo hacemos de forma trimestral durante un año, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1; C_1 = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{400} \right ) = 1,25 \text{€} $$ $$ C_1 = 1,25; C_2 = 1,25 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{400} \right ) \approx 1,56 \text{€} $$ $$ C_2 = 1,56; C_3 = 1,56 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{400} \right ) \approx 1,95 \text{€} $$ $$ C_3 = 1,95; C_3 = 1,95 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{400} \right ) \approx 2,44 \text{€} $$ $$ C_4 = 1 \cdot \left ( 1 + \mfrac{100}{400} \right )^4 \approx 2,44 $$
• Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, pero en lugar de cobrar los intereses al final de cada cuatrimestre, lo hacemos de forma mensual durante un año, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1; C_{12} = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{1200} \right )^{12} \approx 2,613 \text{€} $$
• Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, pero en lugar de cobrar los intereses al final de cada más pequeño durante un año, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1; C_{360} = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{36000} \right )^{360} \approx 2,714 \text{€} $$
• Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, y hacemos que el número de plazos aumente de forma infinita, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1; C_{n} = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{1}{n} \right )^{n} = 2,7182818284590452353602874713527 \cdots \text{€} $$

$$ \milmt{n}{\infty}{ \left ( 1 + \mfrac{1}{n} \right)^n } = 2,7182818284590452353602874713527 \cdots $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com