Interés simple y compuesto

Interés simple

El tiempo y el capital son directamente proporcionales al interés simple. Así, con el mismo capital, a mayor tiempo mayor interés; y en el mismo tiempo, a mayor capital más interés.

Si invertimos 100 € durante un año nos dará un interés «$r$», pero ¿qué interés nos darán si lo invertimos durante «$t$ años»? Aplicando la fórmula de la proporcionalidad compuesta tenemos:

• $C$ es el dinero que se va a invertir;
• $r$ es el interés, por ejemplo, si el interés es del 5% entonces $r = 5$;
• $t$ es el tiempo (días, semanas, meses, trimestres; cuatrimestres, semestres, años, etc);
• $I$ es el cantidad de interés que produce el capital $C$;
  

Si el tiempo viene expresado en años:

$$ \begin{array}{ccccc} \text{Tiempo (años)} & \longrightarrow & \text{Capital} \ \text{ €} & \longrightarrow & \text{Interés} \ \% \cr 1 & \longrightarrow & 100 & \longrightarrow & r \cr t & \longrightarrow & C & \longrightarrow & I \cr \end{array} $$ $$ \dfrac{\ 1\ }{t} \cdot \dfrac{\ 100\ }{C} = \dfrac{\ r\ }{ I } \Rightarrow 100 \cdot I = C \cdot r \cdot t \Rightarrow I = \dfrac{\ C \cdot r \cdot t\ }{100} $$ $$ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \qquad \text{La fórmula del carrete } \qquad I = \dfrac{\ C \cdot r \cdot t\ }{100} \qquad } $$

Si el tiempo viene expresado en meses:

$$ \begin{array}{ccccc} \text{Tiempo (meses)} & \longrightarrow & \text{Capital} \ \text{ €} & \longrightarrow & \text{Interés} \ \% \cr 12 & \longrightarrow & 100 & \longrightarrow & r \cr t & \longrightarrow & C & \longrightarrow & I \cr \end{array} $$ $$ \dfrac{\ 12\ }{t} \cdot \dfrac{\ 100\ }{C} = \dfrac{\ r\ }{ I } \Rightarrow 12 \cdot 100 \cdot I = C \cdot r \cdot t \Rightarrow I = \dfrac{\ C \cdot r \cdot t\ }{1.200} $$

Si el tiempo viene expresado en días, el año económico tiene 360 días:

$$ \begin{array}{ccccc} \text{Tiempo (días)} & \longrightarrow & \text{Capital} \ \text{ €} & \longrightarrow & \text{Interés} \ \% \cr 360 & \longrightarrow & 100 & \longrightarrow & r \cr t & \longrightarrow & C & \longrightarrow & I \cr \end{array} $$ $$ \dfrac{\ 360\ }{t} \cdot \dfrac{\ 100\ }{C} = \dfrac{\ r\ }{ I } \Rightarrow 360 \cdot 100 \cdot I = C \cdot r \cdot t \Rightarrow I = \dfrac{\ C \cdot r \cdot t\ }{\ 36.000\ } $$

Se puede hacer también por semestres (2), por cuatrimestres (3), por trimestres (4) o por bimestres (6). que serían respectivamnete $ I = \dfrac{\ C \cdot r \cdot t\ }{200}, I = \dfrac{\ C \cdot r \cdot t\ }{300}, I = \dfrac{\ C \cdot r \cdot t\ }{400} \text{ e } I = \dfrac{\ C \cdot r \cdot t\ }{600} $

Para calcular el capital final, tenemos que sumar el capital inicial más los intereses y ese será el capital total después de la inversión.

$$ \bbox[6px,border:4px solid teal] { \qquad C_{final} = C_{inicial} + I \qquad } $$

Interés compuesto

La diferencia del interés simple con el interés compuesto, es que en este último los intereses generados vuelven a formar parte del capital que genera esos intereses. Veamos:

• $C_o$ es el dinero que se va a invertir al principio; 
• $C_f$ es el dinero que se va a obtener después de la inversión; 
  
• $r$ es el interés, por ejemplo, si el interés es del 5% entonces $r = 5$;
• $n$ es el tiempo (días, semanas, meses, trimestres; cuatrimestres, semestres, años, etc); 

Si el interés es anual:
$$\begin{array}{lclcl} \text{año} & \ \ \ \ \ & \textbf{Capital inicial } & \longrightarrow & \textbf{Capital final} \cr 1^{\underline{o}} \ & \longrightarrow & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C_{o} & \longrightarrow & C_{o} + \dfrac{ C_{o} \cdot r }{100} = C_{o} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r}{100} \right ) \cr 2^{\underline{\circ}} & \longrightarrow & C_1 = C_{o} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r }{100} \right ) & \longrightarrow & C_{1} + \dfrac{ C_1 \cdot r }{100} = C_{1} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r}{100} \right ) = C_{0} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r }{100} \right )^2 \cr 3^{\underline{o}} & \longrightarrow & C_2 = C_{o} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r }{100} \right )^2 & \longrightarrow & C_{2} + \dfrac{ C_2 \cdot r}{100} = C_{2} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r}{100} \right ) = C_{0} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r }{100} \right )^3 \cr \ \ \ \ \vdots & \longrightarrow & \qquad \vdots & \longrightarrow & \qquad \qquad \vdots \cr n^{\underline{\text{ésimo}}} & \longrightarrow & C_n = C_{o} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r }{100} \right )^{n - 1} & \longrightarrow & C_{n} + \dfrac{ C_n \cdot r }{100} = C_{n} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r}{100} \right ) = C_{0} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r}{100} \right )^{n} \end{array} $$

Resumiendo, al cabo de «$n$» años, el capital final $C_{f}$ será:

$$ C_{f} = C_{0} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r}{100} \right )^{n} $$ 

Lo que nos dice que el interés compuesto es un progresión geométrica de razón $ \left ( 1 + \dfrac{r}{100} \right ) $ o $ \left ( 1 + \dfrac{r}{1.200} \right ) $ o $ \left ( 1 + \dfrac{r}{36.000} \right ) $ o lo que toque dependiendo del tipo de interés, que es mayor que la unidad, por tanto la progresión geométrica asociada a esta razón es creciente.

Si el interés es mensual:
$$\begin{array}{lclcl} \text{año} & \ \ \ \ \ & \textbf{Capital inicial } & \longrightarrow & \textbf{Capital final} \cr 1^{\underline{o}} \ & \longrightarrow & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C_{o} & \longrightarrow & C_{o} + \dfrac{ C_{o} \cdot r }{1.200} = C_{o} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r}{1.200} \right ) \cr 2^{\underline{\circ}} & \longrightarrow & C_1 = C_{o} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r }{1.200} \right ) & \longrightarrow & C_{1} + \dfrac{ C_1 \cdot r }{1.200} = C_{1} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r}{1.200} \right ) = C_{0} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r }{1.200} \right )^2 \cr 3^{\underline{o}} & \longrightarrow & C_2 = C_{o} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r }{1.200} \right )^2 & \longrightarrow & C_{2} + \dfrac{ C_2 \cdot r}{1.200} = C_{2} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r}{1.200} \right ) = C_{0} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r }{1.200} \right )^3 \cr \ \ \ \ \vdots & \longrightarrow & \qquad \vdots & \longrightarrow & \qquad \qquad \vdots \cr n^{\underline{\text{ésimo}}} & \longrightarrow & C_n = C_{o} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r }{1.200} \right )^{n - 1} & \longrightarrow & C_{n} + \dfrac{ C_n \cdot r }{1.200} = C_{n} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r}{1.200} \right ) = C_{0} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r}{1.200} \right )^{n} \end{array} $$

Resumiendo, al cabo de «$n$» meses, el capital final $C_{f}$ será:

$$ C_{f} = C_{0} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r}{1.200} \right )^{n} $$ 

Si el interés es diario:
$$\begin{array}{lclcl} \text{año} & \ \ \ \ \ & \textbf{Capital inicial } & \longrightarrow & \textbf{Capital final} \cr 1^{\underline{o}} \ & \longrightarrow & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C_{o} & \longrightarrow & C_{o} + \dfrac{ C_{o} \cdot r }{36.000} = C_{o} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r}{36.000} \right ) \cr 2^{\underline{\circ}} & \longrightarrow & C_1 = C_{o} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r }{36.000} \right ) & \longrightarrow & C_{1} + \dfrac{ C_1 \cdot r }{36.000} = C_{1} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r}{36.000} \right ) = C_{0} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r }{36.000} \right )^2 \cr 3^{\underline{o}} & \longrightarrow & C_2 = C_{o} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r }{36.000} \right )^2 & \longrightarrow & C_{2} + \dfrac{ C_2 \cdot r}{36.000} = C_{2} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r}{36.000} \right ) = C_{0} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r }{36.000} \right )^3 \cr \ \ \ \ \vdots & \longrightarrow & \qquad \vdots & \longrightarrow & \qquad \qquad \vdots \cr n^{\underline{\text{ésimo}}} & \longrightarrow & C_n = C_{o} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r }{36.000} \right )^{n - 1} & \longrightarrow & C_{n} + \dfrac{ C_n \cdot r }{36.000} = C_{n} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r}{36.000} \right ) = C_{0} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r}{36.000} \right )^{n} \end{array} $$

Resumiendo, al cabo de «$n$» días, el capital final $C_{f}$ será:

$$ C_{f} = C_{0} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r}{36.000} \right )^{n} $$ 

$$ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \qquad \text{El primer año, tanto el interés simple como el compuesto dan el mismo interés.} \qquad } $$

Veamos un ejemplo:

Hallar el interés simple y compuesto producido durante un año, por un capital de 30.000 €, al 6%.

Simple:

$$ I = \dfrac{C \cdot r \cdot t}{100} = \dfrac{30.000 \cdot 1 \cdot 6}{100} = \dfrac{180.000}{100} = 1.800   \text{€} $$

Luego el Capital final es 30.000 + 1.800 = 31.800 €

Compuesto:

$$ C_{f} = C_{0} \cdot \left ( 1 + \dfrac{r}{100} \right )^{n} =  30.000 \cdot \left ( 1 + \dfrac{6}{100} \right )^{1} = 30.000 \cdot \dfrac{106}{100} = 300 \cdot 106 = 31.800 \text{€} $$

Luego los intereses son 1.800 €, que es lo mismo que en el interés simple. 

Al aplicar la fórmula del interés compuesto, calculamos el capital final de la inversión, es decir, capital más intereses. Si queremos calcular los intereses que nos ha producido la inversión tenemos que hacer la resta, capital final - capital inicial.