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El aprendizaje ocurre cuando alquien quiere aprender, no cuando alguien quiere enseñar. «Roger Schanck»


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Si la gente no cree que las matemáticas son sencillas, es sólo porque no se da cuenta de lo complicada que es la vida. «John Von Neumann»

«George Polya» dijo una vez: «Es mejor resolver un problema de 5 formas diferentes que resolver 5 problemas de la misma forma».

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El humor es importante.

Matemáticas, humor y +.

Hay que tomarse siempre las cosas con un poco de humor ... con mucho humor y más humor ¿Quién no ha pasado por estos estado...

sábado, 29 de agosto de 2020

Interés simple y compuesto


Interés simple


El tiempo y el capital son directamente proporcionales al interés simple. Así, con el mismo capital, a mayor tiempo mayor interés; y en el mismo tiempo, a mayor capital más interés.



Si invertimos 100 € durante un año nos dará un interés «r», pero ¿qué interés nos darán si lo invertimos durante «t años»? Aplicando la fórmula de la proporcionalidad compuesta tenemos:

  • C es el dinero que se va a invertir;
  • r es el interés, por ejemplo, si el interés es del 5% entonces r=5;
  • t es el tiempo (días, semanas, meses, trimestres; cuatrimestres, semestres, años, etc);
  • I es el cantidad de interés que produce el capital C;


Si el tiempo viene expresado en años:

Tiempo (años)Capital  €Interés %1100rtCI  1 t 100 C= r I100I=CrtI= Crt 100 La fórmula del carrete I= Crt 100

Si el tiempo viene expresado en meses:

Tiempo (meses)Capital  €Interés %12100rtCI  12 t 100 C= r I12100I=CrtI= Crt 1.200

Si el tiempo viene expresado en días, el año económico tiene 360 días:

Tiempo (días)Capital  €Interés %360100rtCI  360 t 100 C= r I360100I=CrtI= Crt  36.000 

Se puede hacer también por semestres (2), por cuatrimestres (3), por trimestres (4) o por bimestres (6). que serían respectivamnete I= Crt 200,I= Crt 300,I= Crt 400 e I= Crt 600


Para calcular el capital final, tenemos que sumar el capital inicial más los intereses y ese será el capital total después de la inversión.

Cfinal=Cinicial+I

Interés compuesto


La diferencia del interés simple con el interés compuesto, es que en este último los intereses generados vuelven a formar parte del capital que genera esos intereses. Veamos:

  • Co es el dinero que se va a invertir al principio; 
  • Cf es el dinero que se va a obtener después de la inversión; 
  • r es el interés, por ejemplo, si el interés es del 5% entonces r=5;
  • n es el tiempo (días, semanas, meses, trimestres; cuatrimestres, semestres, años, etc); 


Si el interés es anual:
año     Capital inicial Capital final1o           CoCo+Cor100=Co(1+r100)2C1=Co(1+r100)C1+C1r100=C1(1+r100)=C0(1+r100)23oC2=Co(1+r100)2C2+C2r100=C2(1+r100)=C0(1+r100)3    nésimoCn=Co(1+r100)n1Cn+Cnr100=Cn(1+r100)=C0(1+r100)n


Resumiendo, al cabo de «n» años, el capital final Cf será:

Cf=C0(1+r100)n 


Lo que nos dice que el interés compuesto es un progresión geométrica de razón (1+r100) o (1+r1.200) o (1+r36.000) o lo que toque dependiendo del tipo de interés, que es mayor que la unidad, por tanto la progresión geométrica asociada a esta razón es creciente.



Si el interés es mensual:
año     Capital inicial Capital final1o           CoCo+Cor1.200=Co(1+r1.200)2C1=Co(1+r1.200)C1+C1r1.200=C1(1+r1.200)=C0(1+r1.200)23oC2=Co(1+r1.200)2C2+C2r1.200=C2(1+r1.200)=C0(1+r1.200)3    nésimoCn=Co(1+r1.200)n1Cn+Cnr1.200=Cn(1+r1.200)=C0(1+r1.200)n


Resumiendo, al cabo de «n» meses, el capital final Cf será:

Cf=C0(1+r1.200)n 


Si el interés es diario:
año     Capital inicial Capital final1o           CoCo+Cor36.000=Co(1+r36.000)2C1=Co(1+r36.000)C1+C1r36.000=C1(1+r36.000)=C0(1+r36.000)23oC2=Co(1+r36.000)2C2+C2r36.000=C2(1+r36.000)=C0(1+r36.000)3    nésimoCn=Co(1+r36.000)n1Cn+Cnr36.000=Cn(1+r36.000)=C0(1+r36.000)n


Resumiendo, al cabo de «n» días, el capital final Cf será:

Cf=C0(1+r36.000)n 

El primer año, tanto el interés simple como el compuesto dan el mismo interés.

Veamos un ejemplo:

Hallar el interés simple y compuesto producido durante un año, por un capital de 30.000 €, al 6%.

Simple:

I=Crt100=30.00016100=180.000100=1.800

Luego el Capital final es 30.000 + 1.800 = 31.800 €

Compuesto:

Cf=C0(1+r100)n=30.000(1+6100)1=30.000106100=300106=31.800

Luego los intereses son 1.800 €, que es lo mismo que en el interés simple. 


Al aplicar la fórmula del interés compuesto, calculamos el capital final de la inversión, es decir, capital más intereses. Si queremos calcular los intereses que nos ha producido la inversión tenemos que hacer la resta, capital final - capital inicial.

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