Interés simple
El tiempo y el capital son directamente proporcionales al interés simple. Así, con el mismo capital, a mayor tiempo mayor interés; y en el mismo tiempo, a mayor capital más interés.
Si invertimos 1 € durante un año nos dará un interés «$r$», pero ¿qué interés nos darán si lo invertimos durante «$t$ años»? Aplicando la fórmula de la proporcionalidad compuesta tenemos:
- $C$ es el dinero que se va a invertir;
- $r$ es el interés, por ejemplo, si el interés es del 5% entonces $r = 0,05$;
- $t$ es el tiempo (días, semanas, meses, trimestres; cuatrimestres, semestres, años, etc);
- $I$ es el cantidad de interés que produce el capital $C$;
Directa
Directa
Tiempo
Capital €
Interés %
1
1
r
$t$
$C$
$I$
Para calcular el capital final, tenemos que sumar el capital inicial más los intereses y ese será el capital total después de la inversión.
$$ \bbox[6px,border:4px solid teal] { \qquad C_{final} = C_{inicial} + I \qquad } $$Interés compuesto
La diferencia del interés simple con el interés compuesto, es que en este último los intereses generados vuelven a formar parte del capital que genera esos intereses. Veamos:
- $C_o$ es el dinero que se va a invertir al principio;
- $C_f$ es el dinero que se va a obtener después de la inversión;
- $r$ es el interés, por ejemplo, si el interés es del 5% entonces $r = 0,05$;
- $n$ es el tiempo (días, semanas, meses, trimestres; cuatrimestres, semestres, años, etc);
|
Tiempo
|
Capital inicial | Capital final |
|---|---|---|
| $\odn{1}{er}$ año | ||
| $2^{\underline{\circ}}$ año | ||
| $\odn{3}{er}$ | ||
| $\cdots$ | ||
| $n^{\underline{ésimo}}$ año | ||
En el Interés compuesto, para calcular el interés, al capital final tenemos que restarle el capital inicial:
$$ \bbox[6px,border:4px solid teal] { \qquad I = C_{final} - C_{inicial} \qquad } $$$$ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \qquad \text{El primer año, tanto el interés simple como el compuesto dan el mismo interés.} \qquad } $$
Veamos un ejemplo:
Hallar el interés simple y compuesto producido durante un año, por un capital de 30.000 €, al 6%.
Simple:
$$ I = C \cdot r \cdot t = 30.000 \cdot 1 \cdot 0,06 = 1.800 \text{€} $$
Luego el Capital final es 30.000 + 1.800 = 31.800 €
Compuesto:
$$ C_{f} = C_{0} \cdot \left ( 1 + r \right )^{n} = 30.000 \cdot \left ( 1 + 0,06 \right )^{1} = 30.000 \cdot 1,06 = 31.800 \text{€} $$
Luego los intereses son 1.800 €, que es lo mismo que en el interés simple.
Hallar el interés simple y compuesto producido durante dos años, por un capital de 30.000 €, al 7%.
Simple:
$$ I = C \cdot r \cdot t = 30.000 \cdot 2 \cdot 0,07 = 4.200 \text{€} $$
Luego el Capital final es 30.000 + 4.200 = 34.200 €
Compuesto:
$$ C_{f} = C_{0} \cdot \left ( 1 + r \right )^{n} = 30.000 \cdot \left ( 1 + 0,07 \right )^{2} = 30.000 \cdot (1,07)^2 = 30.000 \cdot 1,1449 = 34.347 \text{€} $$
Luego los intereses son 1.800 €, que es lo mismo que en el interés simple.
El número «$e$»
- Si invertimos un 1€, al 100% de interés (simple o compuesto) al cabo de un año, ¿cuánto obtenemos? 1€, en total 2€. $$ C_o = 1, C_f = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{100} \right ) = 2 \text{€} $$
- Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, pero en lugar de cobrar los intereses al final del año, lo hacemos de forma semestral durante un año, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1; C_1 = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{200} \right ) = 1,5 \text{€} $$ $$ C_1 = 1,5; C_1 = 1,5 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{200} \right ) = 2,25 \text{€} $$ $$ C_2 = 1 \cdot \left ( 1 + \mfrac{100}{200} \right )^2 \approx 2,25 $$
- Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, pero en lugar de cobrar los intereses al final de cada semestre, lo hacemos de forma cuatrimestral durante un año, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1, C_1 = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{300} \right ) \approx 1,33 \text{€} $$ $$ C_1 = 1,33, C_2 = 1,33 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{300} \right ) \approx 1,77 \text{€} $$ $$ C_2 = 1,7689, C_3 = 1,7689 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{300} \right ) \approx 2,35 \text{€} $$ $$ C_3 = 1 \cdot \left ( 1 + \mfrac{100}{300} \right )^3 \approx 2,44 $$
- Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, pero en lugar de cobrar los intereses al final de cada cuatrimestre, lo hacemos de forma trimestral durante un año, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1; C_1 = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{400} \right ) = 1,25 \text{€} $$ $$ C_1 = 1,25; C_2 = 1,25 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{400} \right ) \approx 1,56 \text{€} $$ $$ C_2 = 1,56; C_3 = 1,56 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{400} \right ) \approx 1,95 \text{€} $$ $$ C_3 = 1,95; C_3 = 1,95 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{400} \right ) \approx 2,44 \text{€} $$ $$ C_4 = 1 \cdot \left ( 1 + \mfrac{100}{400} \right )^4 \approx 2,44 $$
- Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, pero en lugar de cobrar los intereses al final de cada cuatrimestre, lo hacemos de forma mensual durante un año, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1; C_{12} = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{1200} \right )^{12} \approx 2,613 \text{€} $$
- Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, pero en lugar de cobrar los intereses al final de cada más pequeño durante un año, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1; C_{360} = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{36000} \right )^{360} \approx 2,714 \text{€} $$
- Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, y hacemos que el número de plazos aumente de forma infinita, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1; C_{n} = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{1}{n} \right )^{n} = 2,7182818284590452353602874713527 \cdots \text{€} $$
\[ e = \milmt{n}{\infty}{ \left ( 1 + \mfrac{1}{n} \right)^n } = 2,7182818284590452353602874713527 \cdots \]
Ejercicios resueltos de Interés simple y compuesto
En este caso el capital inicial son 7000 €, pero cuidado, porque los intereses generados no son 9500 €. Los 9500 € corresponden al capital final. Por tanto, calculamos los intereses generados en primer lugar: \[ I = C_f - C_i = 9.500 - 7.000 = 2.500 \] Ahora sustituimos todos los datos en la fórmula del interés simple. Y despejamos el tipo de interés: \[ I = C \cdot r \cdot t \Rightarrow 2.500 = 7.000 \cdot r \cdot 4 \Rightarrow r = \mfrac{ 2.500 }{ 7.000 \cdot 4 } = \mfrac{ 25 }{ 70 \cdot 4 } = \] \[ = \mfrac{ 5 }{ 14 \cdot 4 } = \mfrac{ 5 }{ 56 } = 0,08928571 = 8,92\% \text{ de interés } \] Es un tipo de interés anual, ya que el periodo de tiempo estaba en años.
La fórmula para usar en este ejericio es \[ C_f = C_i \cdot \left (1 +\mfrac{r}{4} \right )^{t} \] Donde \(t\) representa el tiempo en trimestes.
Queremos despejar el \(C_i\), entonces: \[ C_f = C_i \cdot \left (1 +\mfrac{r}{4} \right )^{t} \Rightarrow C_i = \mfrac{ C_f }{ \left (1 +\mfrac{r}{4} \right )^{t} } \] Sustituimos cada dato por su valor y tenemos: \[ C_i = \mfrac{ C_f }{ \left (1 +\mfrac{r}{4} \right )^{t} } = \mfrac{ 14.638,67 }{ (\left (1 + \mfrac{0,05}{4} \right )^{4 \cdot 4 } } = \mfrac{ 14.638,67 }{ (1,0125)^{ 16} } = \mfrac{ 14.638,67 }{ 1,22 } = 12.000\ \text{€} \]
a) Anualmente: \( C_f = 60.000 \cdot \left (1 + 0,05 \right )^4 = 72.930,38 \text{€} \)
b) Mensualmente: \( C_f = 60.000 \cdot \left (1 + \dfrac{0,05}{12} \right )^{12 \cdot 4} = 73.253,72 \text{€} \)
c) Diariamente: \( C_f = 60.000 \cdot \left (1 + \dfrac{0,05}{12} \right )^{360 \cdot 4} = 73.283,15 \text{€} \)
d) Trimestralmente: \( C_f = 60.000 \cdot \left (1 + \dfrac{0,05}{4} \right )^{4 \cdot 4} = 73.193,37 \text{€} \)
e) Cuatrimestralmente: \( C_f = 60.000 \cdot \left (1 + \dfrac{0,05}{3} \right )^{3 \cdot 4} = 73.163,47 \text{€} \)
f) Semanalmente: \( C_f = 60.000 \cdot \left (1 + \dfrac{0,05}{52} \right )^{52 \cdot 4} = 73.277,12 \text{€} \)
g) Quincenalmente: \( C_f = 60.000 \cdot \left (1 + \dfrac{0,05}{24} \right )^{24 \cdot 4} = 73.268,92 \text{€} \)
h) Bimensualmente: \( C_f = 60.000 \cdot \left (1 + \dfrac{0,05}{6} \right )^{6 \cdot 4} = 73.223,46 \text{€} \)
i) Semestralmente: \( C_f = 60.000 \cdot \left (1 + \dfrac{0,05}{2} \right )^{2 \cdot 4} = 73.104,17 \text{€} \)
Como es abono de intereses anuales usaremos la fórmula: \[ C_f = C_i \cdot \left (1 + r \right )^{t} \qquad t \text{ es el tiempo en años} \] Despejamos la $t$: \[ C_f = C_i \cdot \left (1 + r \right )^{t} \Rightarrow \mfrac{ C_f }{ C_i } = \left (1 + r \right )^{t} \] Tomamos logaritmos: \[ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } = \log \left (1 + r \right )^{t} \Rightarrow \log \mfrac{ C_f }{ C_i } = n \log \left (1 + r \right ) \Rightarrow n = \mfrac{ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } }{ \log \left (1 + r \right ) } \] Luego \( n = \mfrac{ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } }{ \log \left (1 + r \right ) } = \mfrac{ \log \mfrac{ 42.500 }{ 36.700 } }{ \log \left (1 + 0,05 \right ) } = 3 \) trimestres = 3 años
Como es abono de intereses trimestrales usaremos la fórmula: \[ C_f = C_i \cdot \left (1 +\mfrac{r}{4} \right )^{t} \qquad t \text{ es el tiempo en trimestres} \] Despejamos la $t$: \[ C_f = C_i \cdot \left (1 +\mfrac{r}{4} \right )^{t} \Rightarrow \mfrac{ C_f }{ C_i } = \left (1 +\mfrac{r}{4} \right )^{t} \] Tomamos logaritmos: \[ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } = \log \left (1 +\mfrac{r}{4} \right )^{t} \Rightarrow \log \mfrac{ C_f }{ C_i } = n \log \left (1 +\mfrac{r}{4} \right ) \Rightarrow n = \mfrac{ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } }{ \log \left (1 +\mfrac{r}{4} \right ) } \] Luego \( n = \mfrac{ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } }{ \log \left (1 + \mfrac{r}{4} \right ) } = \mfrac{ \log \mfrac{ 28.170 }{ 25.000 } }{ \log \left (1 + 0,01 \right ) } = 12 \) trimestres = 3 años
Como es abono de intereses anuales usaremos la fórmula: \[ C_f = C_i \cdot \left (1 + r \right )^{t} \qquad t \text{ es el tiempo en años} \] Despejamos la $t$: \[ C_f = C_i \cdot \left (1 + r \right )^{t} \Rightarrow \mfrac{ C_f }{ C_i } = \left (1 + r \right )^{t} \] Tomamos logaritmos: \[ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } = \log \left (1 + r \right )^{t} \Rightarrow \log \mfrac{ C_f }{ C_i } = n \log \left (1 + r \right ) \Rightarrow n = \mfrac{ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } }{ \log \left (1 + r \right ) } \] Luego \( n = \mfrac{ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } }{ \log \left (1 + r \right ) } = \mfrac{ \log \mfrac{ 2 \cdot 70.000 }{ 70.000 } }{ \log \left (1 + 0,08 \right ) } = \mfrac{ \log 2 }{ \log \left (1,08 \right ) } = 9 \) años
Como es abono de intereses mensuales usaremos la fórmula: \[ C_f = C_i \cdot \left (1 + \mfrac{r}{12} \right )^{t} \qquad t \text{ es el tiempo en meses} \] Despejamos la $t$: \[ C_f = C_i \cdot \left (1 + \mfrac{r}{12} \right )^{t} \Rightarrow \mfrac{ C_f }{ C_i } = \left (1 + \mfrac{r}{12} \right )^{t} \] Tomamos logaritmos: \[ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } = \log \left (1 + \mfrac{r}{12} \right )^{t} \Rightarrow \log \mfrac{ C_f }{ C_i } = n \log \left (1 + \mfrac{r}{12} \right ) \Rightarrow n = \mfrac{ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } }{ \log \left (1 + \mfrac{r}{12} \right ) } \] El 82% de los intereses son 3.310,34, luego el 100 de los intereses son: \( I = \mfrac{3.310,34}{0,82} = 4.037 \) €
El capital final es $C_f = 4.037 + 25.000 = 29.037 Luego \( n = \mfrac{ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } }{ \log \left (1 + \mfrac{r}{12} \right ) } = \mfrac{ \log \mfrac{ 29.037 }{ 25.000 } }{ \log \left (1 + \mfrac{0,05}{12} \right ) } = \mfrac{ \log (1,16148) }{ \log \left (1,00416667 \right ) } = 36 \) meses = 3 años
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com
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