Números decimales, racionales e irracionales.

 ¿Qué es un número decimal? Estamos ante una pregunta, que igual no hacemos de la mejor manera, y que muchas veces tampoco respondemos de la mejor forma.

Se entiende por números decimales aquellos que no son enteros, es decir, que tienen parte fraccionaria. Pero tenemos que tener en cuenta que usamos el sistema de numeración decimal:

El sistema de numeración decimal, es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del número diez. El conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración arábiga) se compone de diez cifras:

cero (0) - uno (1) - dos (2) - tres (3) - cuatro (4) - cinco (5) - seis (6) - siete (7) - ocho (8) - nueve (9)

Veamos un par de ejemplos:

Para números enteros: 

$1.375=1\times {10}^3+3\times {10}^2+7\times {10}^1+5\times {10}^0$

Para números no enteros:

$349,6372...=3\times {10}^2+4\times {10}^1+9\times {10}^0+6\times {10}^{-1}+3\times {10}^{-2}+7\times {10}^{-3}+2\times {10}^{-4}+\cdots$ 

Vamos a hablar de la relación entres las fracciones y los números decimales, racionales e irracionales. Veamos el siguiente esquema: 

$$n\acute{u}mero\{\begin{array}{l}entero\\ decimal\{\begin{array}{c}racional\{\begin{array}{c}exacto\\ peri\acute{o}dico\{\begin{array}{c}puro\\ \\ mixto\end{array}\end{array}\\ irracional\end{array}\end{array}$$

Los números irracionales tienen infinitas cifras decimales y no se pueden representar como una fracción. Uno de los irracionales más famosos es $\pi$ ( $\simeq 3,141592653589793238462\cdots$) En la actualidad se conocen unos 31.000.000.000.000 de cifras decimales de dicho número) que curiosamente se define a partir de una fracción

$$\pi ={\displaystyle \frac{Longituddeunacircunferencia}{diametro}}={\displaystyle \frac{Longituddeunacircunferencia}{2veceselradio}}$$

Más irracionales famosos: 

el número áureo $\phi \simeq 1,618033988749894\cdots$

raíz cuadrada de un número primo $\sqrt{p}$, con $p$ número primo, es decir, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5},\cdots$ 

el número e $e\simeq 2,718281828459045235360\cdots$

Pero vamos con los racionales y dentro de este conjunto con los fraccionarios, números que tienen decimales, finitos o infinitos, pero que se pueden poner en forma de fracción. Lo que vamos a hacer es saber a partir de la fracción la clase de número que es sin hacer la división. Es decir, si es racional finito o periódico, y si es periódico, ver si es puro o mixto.

Para ello cogemos una fracción cualquiera:

$${\displaystyle \frac{100}{200}};{\displaystyle \frac{15}{25}};{\displaystyle \frac{9}{90}};{\displaystyle \frac{3}{9}};{\displaystyle \frac{5}{105}};{\displaystyle \frac{40}{48}}$$

y obtenemos la fracción irreducible, es decir, aquella que no se puede simplificar, Podemos usar el máximo común divisor del numerador y del denominador para hacerlo en un solo paso:

$${\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{3}{5}};{\displaystyle \frac{1}{10}};{\displaystyle \frac{1}{3}};{\displaystyle \frac{1}{21}};{\displaystyle \frac{5}{6}}$$

Una vez obtenida la fracción irreducible, factorizamos el denominador, sólo el denominador. Podemos tener 3 casos:

1.- Solo tenemos en la factorización los factores primos 2 y/o 5, en este caso el racional es exacto: 

$${\displaystyle \frac{1}{2}}=0,5;{\displaystyle \frac{3}{5}}=0,6;{\displaystyle \frac{1}{10}}=0,1$$

2.- Tenemos factores primos que no son ni el 2 ni el 5, en este caso el decimal es infinito, periódico puro:

$${\displaystyle \frac{1}{3}}=0,333333...;{\displaystyle \frac{1}{3\cdot 7}}=0,047619047619...$$

3.- Tenemos factores primos 2 y/o 5 y otros diferentes de estos dos: 

$${\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{5}{2\cdot 3}}=0,83333...;{\displaystyle \frac{1}{30}}={\displaystyle \frac{1}{2\cdot 3\cdot 5}}=0,03333...$$

Otra cosa interesante, es que podemos saber el número de decimales que tiene el anteperiodo y/o el periodo de cada tipo de número. Veamos por casos: 

1.- Solo tenemos en la factorización los factores primos 2 y/o 5, en este caso el racional es exacto: 

$${\displaystyle \frac{1}{2}}=0,5;{\displaystyle \frac{1}{2^2}}=0,25;{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 5^2}}=0,02;{\displaystyle \frac{1}{5^3}}=0,125$$

El número de decimales es el máximo de los exponentes de 2 y 5. 

2.- Para calcular el número de decimales tenemos que saber cuántos números tiene el número formado por todo 9 que es multiplo del denominador. Así 9 es múltiplo de 3, como 9 tiene un solo número, por eso el periodo esta formado por una sola cifra. Otro ejemplo: 999.999 es mútliplo de 21 y está formado por 6 nueves, luego el periodo de ${\displaystyle \frac{1}{21}}$ tiene 6 cifras.

3.- Si es periódico mixto, el número de cifras del anteperiodo será el máximo de los exponentes del 2 o el 5; el número de cifras de la parte periódica vendrá dado igual que en el apartado 2. Ejemplo: ${\displaystyle \frac{1}{42}}={\displaystyle \frac{1}{2\cdot 3\cdot 7}}=$ 0,0238095238095238095 ... 

El cero azul es el anteperiodo y las cifras en morado es el periodo. 

Ejercicio: Tipo de número racional y el número de cifras de la parte fraccionaria según el número racional que sea de los siguientes números: 

1. ${\displaystyle \frac{45}{66}}$ 



2. ${\displaystyle \frac{120}{300}}$ 



3. ${\displaystyle \frac{12}{81}}$