Interés simple y compuesto. El número «$e$».

Interés simple

El tiempo y el capital son directamente proporcionales al interés simple. Así, con el mismo capital, a mayor tiempo mayor interés; y en el mismo tiempo, a mayor capital más interés.

Si invertimos 1 € durante un año nos dará un interés «$r$», pero ¿qué interés nos darán si lo invertimos durante «$t$ años»? Aplicando la fórmula de la proporcionalidad compuesta tenemos:

• $C$ es el dinero que se va a invertir;
• $r$ es el interés, por ejemplo, si el interés es del 5% entonces $r = 0,05$;
• $t$ es el tiempo (días, semanas, meses, trimestres; cuatrimestres, semestres, años, etc);
• $I$ es el cantidad de interés que produce el capital $C$;
  

Directa

Directa

Tiempo Años Meses Días Trimestral Cuatrimestral Semanal Quincenal Bimensual Semestral

Capital €

Interés %

1

1

r

$t$

$C$

$I$

Para calcular el capital final, tenemos que sumar el capital inicial más los intereses y ese será el capital total después de la inversión.

$$ \bbox[6px,border:4px solid teal] { \qquad C_{final} = C_{inicial} + I \qquad } $$

Interés compuesto

La diferencia del interés simple con el interés compuesto, es que en este último los intereses generados vuelven a formar parte del capital que genera esos intereses. Veamos:

• $C_o$ es el dinero que se va a invertir al principio; 
• $C_f$ es el dinero que se va a obtener después de la inversión; 
  
• $r$ es el interés, por ejemplo, si el interés es del 5% entonces $r = 0,05$;
• $n$ es el tiempo (días, semanas, meses, trimestres; cuatrimestres, semestres, años, etc); 

Tiempo Años Meses Días Trimestral Cuatrimestral Semanal Qunicenal Bimensual Semestral	Capital inicial	Capital final
$\odn{1}{er}$ año
$2^{\underline{\circ}}$ año
$\odn{3}{er}$
$\cdots$
$n^{\underline{ésimo}}$ año

En el Interés compuesto, para calcular el interés, al capital final tenemos que restarle el capital inicial:

$$ \bbox[6px,border:4px solid teal] { \qquad I = C_{final} - C_{inicial} \qquad } $$

$$ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \qquad \text{El primer año, tanto el interés simple como el compuesto dan el mismo interés.} \qquad } $$

Veamos un ejemplo:

Hallar el interés simple y compuesto producido durante un año, por un capital de 30.000 €, al 6%.

Simple:

$$ I = C \cdot r \cdot t = 30.000 \cdot 1 \cdot 0,06 = 1.800   \text{€} $$

Luego el Capital final es 30.000 + 1.800 = 31.800 €

Compuesto:

$$ C_{f} = C_{0} \cdot \left ( 1 + r \right )^{n} = 30.000 \cdot \left ( 1 + 0,06 \right )^{1} = 30.000 \cdot 1,06 = 31.800 \text{€} $$

Luego los intereses son 1.800 €, que es lo mismo que en el interés simple. 

Hallar el interés simple y compuesto producido durante dos años, por un capital de 30.000 €, al 7%.

Simple:

$$ I = C \cdot r \cdot t = 30.000 \cdot 2 \cdot 0,07 = 4.200 \text{€} $$

Luego el Capital final es 30.000 + 4.200 = 34.200 €

Compuesto:

$$ C_{f} = C_{0} \cdot \left ( 1 + r \right )^{n} =  30.000 \cdot \left ( 1 + 0,07 \right )^{2} = 30.000 \cdot (1,07)^2 = 30.000 \cdot 1,1449 = 34.347 \text{€} $$

Luego los intereses son 1.800 €, que es lo mismo que en el interés simple. 

El número «$e$»

• Si invertimos un 1€, al 100% de interés (simple o compuesto) al cabo de un año, ¿cuánto obtenemos? 1€, en total 2€. $$ C_o = 1, C_f = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{100} \right ) = 2 \text{€} $$
• Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, pero en lugar de cobrar los intereses al final del año, lo hacemos de forma semestral durante un año, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1; C_1 = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{200} \right ) = 1,5 \text{€} $$ $$ C_1 = 1,5; C_1 = 1,5 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{200} \right ) = 2,25 \text{€} $$ $$ C_2 = 1 \cdot \left ( 1 + \mfrac{100}{200} \right )^2 \approx 2,25 $$
• Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, pero en lugar de cobrar los intereses al final de cada semestre, lo hacemos de forma cuatrimestral durante un año, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1, C_1 = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{300} \right ) \approx 1,33 \text{€} $$ $$ C_1 = 1,33, C_2 = 1,33 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{300} \right ) \approx 1,77 \text{€} $$ $$ C_2 = 1,7689, C_3 = 1,7689 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{300} \right ) \approx 2,35 \text{€} $$ $$ C_3 = 1 \cdot \left ( 1 + \mfrac{100}{300} \right )^3 \approx 2,44 $$
• Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, pero en lugar de cobrar los intereses al final de cada cuatrimestre, lo hacemos de forma trimestral durante un año, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1; C_1 = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{400} \right ) = 1,25 \text{€} $$ $$ C_1 = 1,25; C_2 = 1,25 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{400} \right ) \approx 1,56 \text{€} $$ $$ C_2 = 1,56; C_3 = 1,56 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{400} \right ) \approx 1,95 \text{€} $$ $$ C_3 = 1,95; C_3 = 1,95 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{400} \right ) \approx 2,44 \text{€} $$ $$ C_4 = 1 \cdot \left ( 1 + \mfrac{100}{400} \right )^4 \approx 2,44 $$
• Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, pero en lugar de cobrar los intereses al final de cada cuatrimestre, lo hacemos de forma mensual durante un año, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1; C_{12} = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{1200} \right )^{12} \approx 2,613 \text{€} $$
• Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, pero en lugar de cobrar los intereses al final de cada más pequeño durante un año, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1; C_{360} = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{100}{36000} \right )^{360} \approx 2,714 \text{€} $$
• Si invertimos un 1€, al 100% de interés compuesto, y hacemos que el número de plazos aumente de forma infinita, ¿cuánto obtenemos de interés? $$ C_o = 1; C_{n} = 1 \cdot \left (1 + \mfrac{1}{n} \right )^{n} = 2,7182818284590452353602874713527 \cdots \text{€} $$

\[ e = \milmt{n}{\infty}{ \left ( 1 + \mfrac{1}{n} \right)^n } = 2,7182818284590452353602874713527 \cdots \]

Ejercicios resueltos de Interés simple y compuesto

En este caso el capital inicial son 7000 €, pero cuidado, porque los intereses generados no son 9500 €. Los 9500 € corresponden al capital final. Por tanto, calculamos los intereses generados en primer lugar: \[ I = C_f - C_i = 9.500 - 7.000 = 2.500 \] Ahora sustituimos todos los datos en la fórmula del interés simple. Y despejamos el tipo de interés: \[ I = C \cdot r \cdot t \Rightarrow 2.500 = 7.000 \cdot r \cdot 4 \Rightarrow r = \mfrac{ 2.500 }{ 7.000 \cdot 4 } = \mfrac{ 25 }{ 70 \cdot 4 } = \] \[ = \mfrac{ 5 }{ 14 \cdot 4 } = \mfrac{ 5 }{ 56 } = 0,08928571 = 8,92\% \text{ de interés } \] Es un tipo de interés anual, ya que el periodo de tiempo estaba en años.

La fórmula para usar en este ejericio es \[ C_f = C_i \cdot \left (1 +\mfrac{r}{4} \right )^{t} \] Donde \(t\) representa el tiempo en trimestes.

Queremos despejar el \(C_i\), entonces: \[ C_f = C_i \cdot \left (1 +\mfrac{r}{4} \right )^{t} \Rightarrow C_i = \mfrac{ C_f }{ \left (1 +\mfrac{r}{4} \right )^{t} } \] Sustituimos cada dato por su valor y tenemos: \[ C_i = \mfrac{ C_f }{ \left (1 +\mfrac{r}{4} \right )^{t} } = \mfrac{ 14.638,67 }{ (\left (1 + \mfrac{0,05}{4} \right )^{4 \cdot 4 } } = \mfrac{ 14.638,67 }{ (1,0125)^{ 16} } = \mfrac{ 14.638,67 }{ 1,22 } = 12.000\ \text{€} \]

a) Anualmente: \( C_f = 60.000 \cdot \left (1 + 0,05 \right )^4 = 72.930,38 \text{€} \)

b) Mensualmente: \( C_f = 60.000 \cdot \left (1 + \dfrac{0,05}{12} \right )^{12 \cdot 4} = 73.253,72 \text{€} \)

c) Diariamente: \( C_f = 60.000 \cdot \left (1 + \dfrac{0,05}{12} \right )^{360 \cdot 4} = 73.283,15 \text{€} \)

d) Trimestralmente: \( C_f = 60.000 \cdot \left (1 + \dfrac{0,05}{4} \right )^{4 \cdot 4} = 73.193,37 \text{€} \)

e) Cuatrimestralmente: \( C_f = 60.000 \cdot \left (1 + \dfrac{0,05}{3} \right )^{3 \cdot 4} = 73.163,47 \text{€} \)

f) Semanalmente: \( C_f = 60.000 \cdot \left (1 + \dfrac{0,05}{52} \right )^{52 \cdot 4} = 73.277,12 \text{€} \)

g) Quincenalmente: \( C_f = 60.000 \cdot \left (1 + \dfrac{0,05}{24} \right )^{24 \cdot 4} = 73.268,92 \text{€} \)

h) Bimensualmente: \( C_f = 60.000 \cdot \left (1 + \dfrac{0,05}{6} \right )^{6 \cdot 4} = 73.223,46 \text{€} \)

i) Semestralmente: \( C_f = 60.000 \cdot \left (1 + \dfrac{0,05}{2} \right )^{2 \cdot 4} = 73.104,17 \text{€} \)

Como es abono de intereses anuales usaremos la fórmula: \[ C_f = C_i \cdot \left (1 + r \right )^{t} \qquad t \text{ es el tiempo en años} \] Despejamos la $t$: \[ C_f = C_i \cdot \left (1 + r \right )^{t} \Rightarrow \mfrac{ C_f }{ C_i } = \left (1 + r \right )^{t} \] Tomamos logaritmos: \[ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } = \log \left (1 + r \right )^{t} \Rightarrow \log \mfrac{ C_f }{ C_i } = n \log \left (1 + r \right ) \Rightarrow n = \mfrac{ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } }{ \log \left (1 + r \right ) } \] Luego \( n = \mfrac{ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } }{ \log \left (1 + r \right ) } = \mfrac{ \log \mfrac{ 42.500 }{ 36.700 } }{ \log \left (1 + 0,05 \right ) } = 3 \) trimestres = 3 años

Como es abono de intereses trimestrales usaremos la fórmula: \[ C_f = C_i \cdot \left (1 +\mfrac{r}{4} \right )^{t} \qquad t \text{ es el tiempo en trimestres} \] Despejamos la $t$: \[ C_f = C_i \cdot \left (1 +\mfrac{r}{4} \right )^{t} \Rightarrow \mfrac{ C_f }{ C_i } = \left (1 +\mfrac{r}{4} \right )^{t} \] Tomamos logaritmos: \[ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } = \log \left (1 +\mfrac{r}{4} \right )^{t} \Rightarrow \log \mfrac{ C_f }{ C_i } = n \log \left (1 +\mfrac{r}{4} \right ) \Rightarrow n = \mfrac{ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } }{ \log \left (1 +\mfrac{r}{4} \right ) } \] Luego \( n = \mfrac{ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } }{ \log \left (1 + \mfrac{r}{4} \right ) } = \mfrac{ \log \mfrac{ 28.170 }{ 25.000 } }{ \log \left (1 + 0,01 \right ) } = 12 \) trimestres = 3 años

Como es abono de intereses anuales usaremos la fórmula: \[ C_f = C_i \cdot \left (1 + r \right )^{t} \qquad t \text{ es el tiempo en años} \] Despejamos la $t$: \[ C_f = C_i \cdot \left (1 + r \right )^{t} \Rightarrow \mfrac{ C_f }{ C_i } = \left (1 + r \right )^{t} \] Tomamos logaritmos: \[ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } = \log \left (1 + r \right )^{t} \Rightarrow \log \mfrac{ C_f }{ C_i } = n \log \left (1 + r \right ) \Rightarrow n = \mfrac{ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } }{ \log \left (1 + r \right ) } \] Luego \( n = \mfrac{ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } }{ \log \left (1 + r \right ) } = \mfrac{ \log \mfrac{ 2 \cdot 70.000 }{ 70.000 } }{ \log \left (1 + 0,08 \right ) } = \mfrac{ \log 2 }{ \log \left (1,08 \right ) } = 9 \) años

Como es abono de intereses mensuales usaremos la fórmula: \[ C_f = C_i \cdot \left (1 + \mfrac{r}{12} \right )^{t} \qquad t \text{ es el tiempo en meses} \] Despejamos la $t$: \[ C_f = C_i \cdot \left (1 + \mfrac{r}{12} \right )^{t} \Rightarrow \mfrac{ C_f }{ C_i } = \left (1 + \mfrac{r}{12} \right )^{t} \] Tomamos logaritmos: \[ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } = \log \left (1 + \mfrac{r}{12} \right )^{t} \Rightarrow \log \mfrac{ C_f }{ C_i } = n \log \left (1 + \mfrac{r}{12} \right ) \Rightarrow n = \mfrac{ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } }{ \log \left (1 + \mfrac{r}{12} \right ) } \] El 82% de los intereses son 3.310,34, luego el 100 de los intereses son: \( I = \mfrac{3.310,34}{0,82} = 4.037 \) €

El capital final es $C_f = 4.037 + 25.000 = 29.037 Luego \( n = \mfrac{ \log \mfrac{ C_f }{ C_i } }{ \log \left (1 + \mfrac{r}{12} \right ) } = \mfrac{ \log \mfrac{ 29.037 }{ 25.000 } }{ \log \left (1 + \mfrac{0,05}{12} \right ) } = \mfrac{ \log (1,16148) }{ \log \left (1,00416667 \right ) } = 36 \) meses = 3 años

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Anamorfosis, la geometría de la ilusión

La anamorfosis o anamorfismo es una técnica con la que se consigue crear una ilusión óptica haciendo uso de principios mátemáticos y las leyes de la perspectiva. Veamos el vídeo de publicidad del Honda CR-V (2.013):

 

 En la casa de las ciencias de Logroño grabé este vídeo del Triángulo de Penrose:

 

   

  En la casa de las ciencias de Logroño hay un ejemplo de anamorfosis donde se puede leer la frase «Lo importante es no dejar de hacerse preguntas» Albert Einstein

Galería de los horrores (Matemáticos y algo más)

        Esta es una entrada para hacer ver fallos muy repetitivos que realizan los alumnos en las diferentes etapas educativas en secundaria y bachillerato, no es con ánimo de burla, ni mucho menos. Si alguien cree lo contrario, lo siento, eso es algo que yo, no puedo controlar.

    Siempre aparecen los nervios en el examen, ¿por qué motivo?

¿Cuántas veces ponemos esos interrogantes? ... 

Alumn@ de 1º de la ESO (no es bilingüe)

 

Alumn@ 1º bachillerato de ciencias:

    Cuidadin con el 2, ¿exponente de coseno o ángulo doble?

    Tengo que resolver una ecuación de 2º grado ... claro la $x$, pero no digo lo que quiero calcular.

Alumn@ 1º bachillerato de ciencias, prueba inicial de curso:

Otro alumn@ 1º bachillerato de ciencias, prueba inicial de curso:

En 1º Bach de ciencias me calculan el valor de la unidad imaginaria «i»

En 1º Bach de ciencias: ¡¡¡ Hay que tener cuidado a la hora de simplificar!!!

Esto pasa cuando pregunto el teorema del coseno ... algunas veces ... 

Otro discente de $1^{\underline{\circ}}$ de bachillerato de ciencias ... 

La división lleva tiempo dando problemas ... discente de $3^{\underline{\circ}}$ ESO 

¿Qué pensáis vosotros?

Este circula mucho por las redes sociales ... 

Lo de los exponentes negativos empieza a ser dramático ... y si te lo hacen en 1º de bachillerato de ciencias ... ni te cuento. 

 

  

Operaciones con decimales:

Los problemas de comprensión lectora o no querer hacer los ejercicios:

¿Dividir? ¿Para qué?

La importancia de copiar bien el enunciado (2/111) y pensar ... ¿el profesor me puede mandar esto? ¿de verdad

? ¿seguro? La aritmética básica:

Si a un lado de la igualdad hay un cero ... cuidadin:

Los límites laterales ... ¿en el infinito?:

El Álgebra cuesta un poquito:

Lo de explicar las cosas ...:

Las propiedades de las potencias lo puedn estropear un poco:

Ecuaciones con radicales:

Dividir y no reflexionar:

Otra división:

y otra división:

División con decimales:

La notación científica también da sus problemillas:

La sinceridad ante todo:

Iremos actualizando esta sección con nuevos «horrores» que nos podéis enviar, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Funciones: Asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.

Una asíntota es una recta a la cual la función se va aproximando indefinidamente.

Las asíntotas verticales pueden aparecer por dos motivos: 

1. Valores que anulan el denominador de una función: Por ejemplo la función $f(x) = \dfrac{1}{x}$ en $x = 0$.
2. Extremos de intervalo del dominio de la función que no están en el dominio: Por ejemplo la función $f(x) = \ln(x)$ en $x = 0$ cuando $x$ tiende a cero por la derecha. $(x \Rightarrow 0^+)$. Lo mismo vale para las funciones $f(x) = \log_a (x) \ a > 1$ y $f(x) = \log_b (x) \ 0 < b < 1$. 

Importante:

«Una función no puede tener una asíntota horizontal y otra oblicua por el mismo lado, por el mismo lado quiere decir, si $ x \rightarrow +\infty$ o si $ x \rightarrow - \infty$ »

Podemos tener una asíntota horizontal cuando $x \rightarrow + \infty$ y una asíntota oblicua cuando $x \rightarrow - \infty$ o viceversa. 

Las asíntotas horiontales, son las rectas horizontales $ y = k $ a la que se aproxima la función cuando $x \to + \infty $ y $x \to - \infty $

$$ \milmt{x}{+ \infty}{f(x)} = k \Longleftrightarrow y = k_1 $$ $$ \milmt{x}{- \infty}{f(x)} = k \Longleftrightarrow y = k_2 $$ $k_1$ y $k_2$ pueden ser iguales.

Las asíntotas oblicuas son de la forma $y = mx + n $, donde:

$$ m_1 = \milmt{x}{+ \infty}{\dfrac{\ f(x)\ }{x}} \text{ y } n_1 = \milmt{x}{+ \infty}{ f(x) - m_1 \cdot x } $$ $$ m_2 = \milmt{x}{- \infty}{\dfrac{\ f(x)\ }{x}} \text{ y } n_2 = \milmt{x}{- \infty}{ f(x) - m_2 \cdot x } $$
Los valores $m_1$ y $m_2$ pueden ser iguales. Las valores $n_1$ y $n_2$ pueden ser iguales.

Voy a poner dos ejemplos de funciones que tienen los tres tipos de asíntotas:

$$ f(x) = \dfrac{xe^x}{x + e^x} $$

$$f(x) = x^{\dfrac{|x|}{x}} + \dfrac{1}{x} $$

Límites de funciones. Indeterminación $1^{\infty}$

Para resolver límites si tenemos una indeterminación del tipo $1^{\infty}$ veremos que fórmula aplicar y de donde sale. Lo primero que tenemos que ver es el número $e$.

$$ e = \displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} \left ( 1 + \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^{x} }$$

Pero también se cumple, si en lugar de $x$ es cualquier $f(x)$:

$$ \text{(1)} \ \ \ \ e = \displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} \left ( 1 + \dfrac{\ 1 \ }{f(x)} \right )^{f(x)} }$$ 

Las indeterminaciones del tipo $1^{\infty}$ nos pueden aparecer cuando:

$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)^{g(x)} = \left \{  1^{\infty} \right \} $$
$$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)^{g(x)} = \left \{  1^{ \infty} \right \} $$
$$\displaystyle \lim_{ x \to a } f(x)^{g(x)} = \left \{  1^{ \infty} \right \} a \in \mathbb{R}$$

Para resolver límites de este estilo, siempre tenemos que ponerlos de la forma (1), veamos un ejemplo:

$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (\dfrac{x + 3}{x + 1} \right )^{x + 5} = \left \{  1^{+\infty} \right \} = $$

Sumamos y restamos 1 en la base y hacemos la resta:

$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{x + 3}{x + 1} - 1 \right )^{x + 5} = \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{x + 3}{x + 1} - \dfrac{x + 1}{x + 1} \right )^{x + 5} = $$

$$\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{x + 3 - x - 1}{x + 1} \right )^{x + 5} = \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{2}{x + 1} \right )^{x + 5} = $$

Ahora tenemos que dejar 1 en el numerador de la base, ¿cómo lo conseguimos? Dividiendo numerador y denominador por el numerador, en este caso 2:

$$\displaystyle =  \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{ \dfrac{2}{2} }{ \dfrac{x + 1}{2} } \right )^{x + 5}  =  \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{ 1 }{ \dfrac{x + 1}{2} } \right )^{x + 5} = $$

Necesitamos que el exponente coincida con el denominador de la fracción de la base, como no coincide, multiplicamos y dividimos el exponente por el denominador de la fracción de la base:

$$\displaystyle =  \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{ 1 }{ \dfrac{x + 1}{2} } \right )^{\dfrac{x + 1}{2} \cdot \dfrac{2}{x + 1}  \cdot (x + 5)} = \left [ \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{ 1 }{ \dfrac{x + 1}{2} } \right )^{\dfrac{x + 1}{2}} \right ]^{ \dfrac{2}{x + 1}  \cdot (x + 5)} =$$

Lo de los corchetes es el número $e$ que ahora está elevado a una expresión cuyo límite queremos calcular:

$$ = e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty}  \dfrac{2}{x + 1}  \cdot (x + 5) } =  e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty}  \dfrac{2x + 10}{x + 1} } = e^{ \left \{ \dfrac{+\infty}{+\infty} \right \} } = e^{2} $$


Lo mismo que hemos hecho con este límite lo podríamos hacer en general, veámoslo:

Tenemos una función $f(x)$ tal que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$ y
otra función $g(x)$ tal que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$. Así 


$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)^{g(x)} = \left \{  1^{+\infty} \right \} = $$

Sumamos y restamos 1 en la base y hacemos la resta:

$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (1 + f(x) - 1 \right )^{g(x)} =$$

Ahora tenemos que dejar 1 en el numerador de la base, ¿cómo lo conseguimos? Dividiendo numerador y denominador por el numerador, en este caso $f(x) - 1 $:
$$\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{ 1 }{ \dfrac{1}{f(x) - 1} } \right )^{g(x)} $$

Necesitamos que el exponente coincida con el denominador de la fracción de la base, como no coincide, multiplicamos y dividimos el exponente por el denominador de la fracción de la base:

$$\displaystyle =  \lim_{x \to +\infty} \left (1 + \dfrac{ 1 }{ \dfrac{1}{f(x) - 1} } \right )^{\dfrac{1}{f(x) - 1} \cdot (f(x) - 1) \cdot g(x)} = \lim_{x \to +\infty} \left [ \left (1 + \dfrac{ 1 }{ \dfrac{1}{f(x) - 1} } \right )^{\dfrac{1}{f(x) - 1} } \right ]^{ (f(x) - 1) \cdot g(x)} = $$

Lo de los corchetes es el número $e$ que ahora está elevado a una expresión cuyo límite queremos calcular:

$$ = e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty}  (f(x) - 1) \cdot g(x) } $$

Resumiendo

$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)^{g(x)} = \left \{  1^{+\infty} \right \} = e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty}  (f(x) - 1) \cdot g(x) } $$

Si lo aplicamos al ejemplo anterior tenemos: 

$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (\dfrac{x + 3}{x + 1} \right )^{x + 5} = \left \{  1^{+\infty} \right \} =  e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (\dfrac{x + 3}{x + 1} - 1 \right ) \cdot \left ( x + 5 \right ) } =  e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (\dfrac{x + 3}{x + 1} - \dfrac{x + 1}{x + 1} \right ) \cdot \left ( x + 5 \right ) } = $$ 

$$ = e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left (\dfrac{x + 3 - x - 1}{x + 1} \right ) \cdot \left ( x + 5 \right ) } = e^{ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2 \cdot \left ( x + 5 \right )}{x + 1}  } =  e^{ \displaystyle \dfrac{\infty}{\infty} } = e^{ \displaystyle 2} $$  

Para terminar, los errores más típicos en este tipo de indeterminaciones es creer que la base tiende a 1 cuando no lo hace o que el exponente tiende a infinito cuando no es así. Veamos algunos ejemplos:

 $\bullet$ La base no tiende a 1:
$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left ( \dfrac{3x + 2}{6x + 3} \right )^{x} = \left ( \dfrac{1}{2} \right)^{+\infty} = 0 $$

 $\bullet$ El exponente no tiende a $\infty$:
 $$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left ( 1 + \dfrac{1}{x^2} \right )^{\dfrac{3x}{2x + 1}} = {\Large 1}^{ \displaystyle \normalsize 3/2 } = {\Large 1} $$

\[ \milmt{x}{\infty}{ \left( 1 - \mfrac{ 1 }{ x } \right )^x } = 1^{\infty} = e^{ \milmt{x}{0}{\ x \cdot \left( 1 - \mfrac{ 1 }{ x } - 1 \right ) }  } = e^{ \milmt{x}{0}{\ x \cdot \left( - \mfrac{ 1 }{ x } \right ) }  } = e^{-1} = \mfrac{1}{e} \]

\[ \milmt{x}{1}{ \left( \mfrac{ 1 }{ x } \right )^{\mfrac{1}{x^2 - 1}} } = 1^{\infty} = e^{ \milmt{x}{1}{\mfrac{1}{x^2 - 1} \cdot \left( \mfrac{ 1 }{ x } - 1 \right ) }  } = e^{ \milmt{x}{1}{\ \mfrac{-1}{1 - x^2} \cdot \left( \mfrac{ 1 - x }{ x } \right ) }  } = \]  \[ = e^{ \milmt{x}{1}{\ \mfrac{-1}{(1 - x)(1 + x)} \cdot \left( \mfrac{ 1 - x }{ x } \right ) }  } = e^{ \milmt{x}{1}{\ \left( \mfrac{ -1 }{ x(1 + x) } \right ) }  } = e^{-1/2} = \mfrac{1}{ \msqrt{e} } = \mfrac{ \msqrt{e} }{e} \]

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Razones trigonométricas de los ángulos notables entre 0 y 2$\pi$ [0º, 360º]. Conversiones varias.

Un Ángulo Un ángulo es una figura geométrica formada por dos semirrectas que parten de un mismo punto, llamado vértice. Estas semirrectas se conocen como los lados del ángulo, y la abertura o separación entre ellas determina su medida, que generalmente se expresa en grados sexagesimales radianes.

El sentido de un ángulo depende de cómo se mide, y sí, generalmente se sigue el criterio de medición en sentido contrario a las agujas del reloj. Esto es un convenio estándar en matemáticas y trigonometría.

Detalles sobre el sentido:

Sentido contrario a las agujas del reloj, se considera el sentido positivo. Comienza desde el lado inicial (habitualmente el eje $x$ positivo) y gira hacia el lado terminal. Por ejemplo, un ángulo de $\gss{90}$ positivo apunta hacia arriba desde el eje $x$.

Sentido en el mismo sentido de las agujas del reloj, se considera el sentido negativo. El giro comienza en el lado inicial y va hacia el lado terminal en dirección opuesta al sentido estándar. Por ejemplo, un ángulo de $\gss{-90}$ apunta hacia abajo desde el eje $x$.

En resumen:

1. Contrario a las agujas del reloj: positivo.
2. A favor de las agujas del reloj: negativo.

Este criterio es clave en sistemas como las coordenadas cartesianas y las funciones trigonométricas.

Partes de un ángulo:

1. Vértice: El punto común del cual parten las dos semirrectas.
2. Lados: Las dos semirrectas que forman el ángulo.
3. Amplitud: La medida de la abertura entre los lados del ángulo.

Cómo se mide:

1. En grados sexagesimales: Un círculo completo mide $\gss{360}$
2. En radianes: Un círculo completo equivale a $2\pi$ radianes.

Tipos de ángulos:

1. Ángulo agudo: Menor de $\gss{90}$.
2. Ángulo recto: Exactamente $\gss{90}$.
3. Ángulo obtuso: Mayor de $\gss{90}$ y menor de $\gss{180}$.
4. Ángulo llano o plano: Exactamente $\gss{180}$.
5. Ángulo convexo: Mayor de $\gss{0}$ y menor de $\gss{180}$. Un ángulo agudo, recto o llano son convexos.
6. Ángulo cóncavo: Mayor de $\gss{180}$ y menor de $\gss{360}$.
7. Ángulo completo: Exactamente $\gss{360}$.

En geometría y trigonometría, los ángulos son esenciales para describir la orientación y la relación entre líneas o planos.

Grado sexagesimal tiene como base el número 60. El grado sexagesimal se define como una de las 360 partes iguales en las que se divide una circunferencia. Cada grado sexagesimal se divide en 60 minutos, y cada minuto se divide en 60 segundos. Los grados, minutos y segundos se representan respectivamente como: $\gss{a}, b'$ y $c''$.

Un radián es el ángulo central de una circunferencia que abarca un arco de igual longitud que el radio de la misma.

2$\pi$ radianes = $\gss{360} \Rightarrow $ 1 radián $ = \dfrac{\ \gss{180} \ }{\ \pi \ } = 57,2957 ... = \gss{57} 17' 44,81''$ 

Circle radians, de Lucas V. Barbosa. Licencia bajo dominio público vía Wikimedia Commons.

¿Cómo pasar de grados a radianes?

Multiplicamos los grados por $\dfrac{\pi}{ \gss{180} }$ Ejemplo:

$$\gss{30} \Rightarrow \gss{30} \cdot \dfrac{\pi}{ \gss{180} } = \dfrac{\gss{30} \cdot \pi}{ \gss{180} } = \dfrac{\pi}{6} \text{ rad.}$$ 

¿Cómo pasar de radianes a grados?

Multiplicamos los radianes por $\dfrac{ \gss{180} }{\pi}$. Ejemplo:

$$\dfrac{3\pi}{4} \text{ rad. }  \Rightarrow \dfrac{3\pi}{4} \cdot \dfrac{ \gss{180} }{\pi} = \dfrac{3 \pi \gss{180} }{ 4 \pi } = \dfrac{ 3 \cdot \gss{180} }{ 4 } = \dfrac{ \gss{540} }{ 4 } = \gss{135} $$ 

¿Cómo pasar de grados decimales a grados, minutos y segundos sexagesimales?

Los grados se quedan igual. La parte decimal la multiplicamos por 60, la parte entera del resultado serán los minutos; cogemos la parte decimal y la volvemos a multiplicar por 60, redondeamos y eso serán los segundos. 

Ejemplo: $130,646^{\circ}$ 

Los grados serán $130^{\circ}$ 

Ahora multiplicamos la parte decimal por 60 $ \Rightarrow  0,646 \times 60 = 38,76  \Rightarrow 38'$ 

Cogemos de nuevo la parte decimal y la volvemos a multiplicar por 60 $\Rightarrow 0,76 \times 60 = 45,6 \Rightarrow 46''$

 $$ 130,646^{\circ} = 130^{\circ} 38' 46'' $$

¿Cómo pasar de grados, minutos y segundos sexagesimales a grados decimales?

Los grados se quedan igual; cogemos los minutos y los dividimos por 60; cogemos los segundos y los dividimos por 3600; sumamos todas las cantidades anteriores y tendremos los grados decimales. 

Ejemplo: $130^{\circ} 38' 46''$ 

Los grados decimales serán $130^{\circ} + \dfrac{38}{60} + \dfrac{46}{3600} = 130^{\circ} + \dfrac{38 \times 60}{3600} + \dfrac{46}{3600} = 130^{\circ}.646111... $ 

$$ 130^{\circ} 38' 46'' = 130^{\circ},646111...$$

Demostración de las razones trigonométricas de \( \mfrac{\pi}{6} = \gss{30} \) y de \( \mfrac{\pi}{3} = \gss{60} \):

Demostración de las razones trigonométricas de \( \mfrac{\pi}{4} = \gss{45} \):

   Aquí dejo una tabla de las razones trigonométricas de los ángulos notables en los distintos cuadrantes. No hay que aprenderse esta tabla de memoria  «craso error».

N.D. es No definido.

Veamos una imagen que explica la interpretación geométrica de las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante:

Pongo este esquema, pero es más sencillo relacionar el eje X o de abscisas con el coseno y ele eje Y o de ordenadas con el seno, pero para gustos los colores.

A veces los alumn@s quieren algunos trucos para aprender de manera fácil las razones trigonométricas de los ángulos principales, veamos algunas: 

En esta imagen vemos que una forma fácil de aprender las razones trigonométricas de los ángulos principales del primer cuadrante:

Otra forma fácil, con los dedos de la mano, para calcular

• el seno, en azul, cuento los dedos que tengo por debajo;
• el coseno, en rojo, los dedos que tengo que tengo por arriba.

Curiosidades trigonométricas, gracias a Antonius Benedictus:

Sabiendo una razón trigonométrica, vamos a calcular el resto:

$ \dfrac{ 1 }{\ \sen \alpha\ } = 5 \Rightarrow \sen \alpha = \dfrac{ 1 }{\ 5\ } $

Ahora sustituimos en la RFT:

$$ \cos^2 \alpha = 1 - \sen^2 \alpha = 1 - \left ( \dfrac{ 1 }{\ 5\ } \right )^2 = 1 - \dfrac{ 1 }{\ 25\ } = \dfrac{ 24 }{\ 25\ } $$ $$ \cos \alpha = \pm \sqrt{\ \dfrac{ 24 }{\ 25\ }\ } = \pm \dfrac{ \sqrt{\ 24\ }\ }{\ \sqrt{\ 25\ }\ } = \pm \dfrac{ 2\sqrt{\ 6\ }\ }{\ 5\ } $$ Estamos en el $\odn{2}{o}$ cuadrante, el coseno es negativo, así $ \cos \alpha = \dfrac{ - 2\sqrt{\ 6\ }\ }{\ 5\ } $

Ahora calculamos la tangente:

$$ \tg \alpha = \dfrac{\ \sen \alpha\ }{ \cos \alpha } = \dfrac{\ \dfrac{ 1 }{\ 5\ }\ }{ \dfrac{ - 2\sqrt{\ 6\ }\ }{\ 5\ } } = \dfrac{\ \dfrac{ 1 }{\ \cancel{5}\ }\ }{ \dfrac{ - 2\sqrt{\ 6\ }\ }{\ \cancel{5}\ } } = \dfrac{ -1 }{ 2\sqrt{\ 6\ }\ } = \dfrac{ - \sqrt{\ 6\ } }{ 2 \cdot 6 \ } = \dfrac{ - \sqrt{\ 6\ } }{ 12 } $$ $$ \sec \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha\ } = \dfrac{\ -5\ }{\ 2\sqrt{\ 6\ }\ } = \dfrac{\ -5 \sqrt{\ 6\ }\ }{\ 2 \cdot 6\ } = \dfrac{\ -5 \sqrt{\ 6\ }\ }{\ 12\ } $$ $$ \cotg \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \tg \alpha\ } = \dfrac{ 1 }{\ \dfrac{ -1 }{ 2\sqrt{\ 6\ }\ }\ } = - 2\sqrt{\ 6\ } $$

Como $\tg \alpha = 2 \Rightarrow \cotg \alpha = \dfrac{\ 1\ }{ 2 }$

Como $\tg \alpha = 2 \Rightarrow \dfrac{\ \sen \alpha\ }{ \cos \alpha } = 2 \Rightarrow \sen \alpha = 2 \cdot \cos \alpha $

Sustituyendo en la RFT tenemos:
$$ \cos^2 \alpha + 4 \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow 5 \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = \dfrac{ 1 }{\ 5\ } \Rightarrow \cos \alpha = \pm \sqrt{\ \dfrac{ 1 }{\ 5\ }\ } = \pm \dfrac{ 1 }{\ \sqrt{\ 5\ }\ } = \pm \dfrac{\ \sqrt{\ 5\ }\ }{ 5 } $$ Como $\alpha$ está en el tercer cuadrante, el $\cos \alpha$ es negativo, luego $\cos \alpha = \dfrac{\ - \sqrt{\ 5\ }\ }{ 5 }$

Despejamos en $ \sen \alpha = 2 \cdot \cos \alpha = 2 \cdot \dfrac{\ - \sqrt{\ 5\ }\ }{ 5 } = \dfrac{\ - 2\sqrt{\ 5\ }\ }{ 5 } $

Ahora calculamos la secante $\sec \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha\ } = - \sqrt{\ 5\ }$

Y la cosecante $\cosec \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \sen \alpha\ } = \dfrac{ -5 }{\ 2\sqrt{\ 5\ }\ } = \dfrac{ -5\sqrt{\ 5\ } }{\ 2 \cdot 5 \ } = \dfrac{ - \sqrt{\ 5\ } }{\ 2 \ } $

Un ángulo agudo es aquel que es menor de $\gss{90}$, es lo mismo que decir que está en el primer cuadrante. Dicho esto vamos a calcular el resto de las rrtt de $\alpha$:
$\cos \alpha = 5 \Rightarrow \sec \alpha = \dfrac{\ 1\ }{ 5 }$
Sustituyendo en la RFT tenemos: $$ \sen^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left ( \dfrac{ 1 }{\ 5\ } \right )^2 = 1 - \dfrac{ 1 }{\ 25\ } = \dfrac{ 24 }{\ 25\ } $$ $$ \sen \alpha = \pm \sqrt{\ \dfrac{ 24 }{\ 25\ }\ } = \pm \dfrac{ \sqrt{\ 24\ }\ }{\ \sqrt{\ 25\ }\ } = \pm \dfrac{ 2\sqrt{\ 6\ }\ }{\ 5\ } $$ Estamos en el $\odn{1}{er}$ cuadrante, el seno positivo, así $\sen \alpha = \dfrac{\ 2\sqrt{\ 6\ }\ }{\ 5\ } $
$$ \tg \alpha = \dfrac{\ \sen \alpha\ }{ \cos \alpha } = \dfrac{ \dfrac{ 2\sqrt{\ 6\ }\ }{\ 5\ } }{\ \dfrac{ 1 }{\ 5\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{\ 2\sqrt{\ 6\ }\ }{\ \cancel{5}\ } }{\ \dfrac{ 1 }{\ \cancel{5}\ }\ } = 2\sqrt{\ 6\ } $$ % $$ \sec \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha\ } = \dfrac{ 1 }{\ \dfrac{\ 1\ }{ 5 }\ } = 5 $$ $$ \cosec \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \sen \alpha\ } = \dfrac{ 5 }{\ 2\sqrt{\ 6\ }\ } = \dfrac{\ 5\sqrt{\ 6\ }\ }{\ 2\cdot 6\ } = \dfrac{\ 5\sqrt{\ 6\ }\ }{\ 12\ } $$ $$ \cotg \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \tg \alpha\ } = \dfrac{ 1 }{\ 2\sqrt{\ 6\ }\ } = \dfrac{\ \sqrt{\ 6\ }\ }{\ 2 \cdot 6\ } = \dfrac{\ \sqrt{\ 6\ }\ }{ 12 } $$

Ahora sustituimos en la RFT:
$$ \cos^2 \alpha = 1 - \sen^2 \alpha = 1 - \left ( \dfrac{\ - \sqrt{7}\ }{ 3 } \right )^2 = 1 - \dfrac{ 7 }{\ 9\ } = \dfrac{ 2 }{\ 9\ } $$ $$ \cos \alpha = \pm \sqrt{\ \dfrac{ 2 }{\ 9\ }\ } = \pm \dfrac{ \sqrt{\ 2\ }\ }{\ \sqrt{\ 9\ }\ } = \pm \dfrac{ \sqrt{\ 2\ }\ }{\ 3\ } $$ Estamos en el $\odn{4}{o}$ cuadrante, el coseno es positivo, así $ \cos \alpha = \dfrac{\ \sqrt{\ 2\ }\ }{\ 3\ } $

Ahora calculamos la tangente:
$$ \tg \alpha = \dfrac{\ \sen \alpha\ }{ \cos \alpha } = \dfrac{\ \dfrac{\ - \sqrt{7}\ }{ 3 }\ }{ \dfrac{\ \sqrt{\ 2\ }\ }{\ 3\ } } = \dfrac{\ \dfrac{ - \sqrt{7} }{\ \cancel{3}\ }\ }{ \dfrac{\ \sqrt{\ 2\ }\ }{\ \cancel{3}\ } } = \dfrac{\ -\sqrt{7} }{\ \sqrt{\ 2\ }\ } = \dfrac{ - \sqrt{\ 14\ } }{\ 2\ } $$ Ahora calculamos el resto de razones trigonométricas: $$ \cotg \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \tg \alpha\ } = \dfrac{ -2 }{\ \sqrt{\ 14\ }\ } = \dfrac{\ -2\sqrt{\ 14\ }\ }{\ 14\ } = \dfrac{\ -\sqrt{\ 14\ }\ }{ 7 } $$ $$ \sec \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha\ } = \dfrac{ 1 }{\ \dfrac{\ \sqrt{\ 2\ }\ }{\ 3\ }\ } = \dfrac{\ 3\ }{\ \sqrt{\ 2\ }\ } = \dfrac{\ 3\sqrt{\ 2\ }\ }{\ 2\ } $$ $$ \cosec \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \sen \alpha\ } = \dfrac{ -3 }{\ \sqrt{\ 7\ }\ } = \dfrac{\ -3\sqrt{\ 7\ }\ }{\ 7\ }$$

$$ \tg \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \cotg \alpha\ } = \dfrac{ 1 }{\ \dfrac{\ - \sqrt{5}\ }{ 5 }\ } = \dfrac{\ -5\ }{\ \sqrt{5}\ } = -\sqrt{5} $$ Sabemos que: $$ 1 + \tg^2 \alpha = \cosec^2 \alpha \Rightarrow 1 + ( -\sqrt{5})^2 = \cosec^2 \alpha \Rightarrow 1 + 5 = \cosec^2 \alpha \Rightarrow 6 = \cosec^2 \alpha \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \cosec \alpha = \pm \sqrt{\ 6\ } $$ Estamos en el segundo cuadrante, la secante (la inversa del seno es positiva, luego \\ \\ $\cosec \alpha = \sqrt{\ 6\ }$

A partie de la cosecante calculamos el seno de $\alpha$: $$ \dfrac{ 1 }{\ \sen \alpha \ } = \sqrt{\ 6\ } \Rightarrow \sen \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \sqrt{\ 6\ } \ } = \dfrac{\ \sqrt{\ 6\ }\ }{\ 6 \ } $$ Usamos la tangente para calcular el coseno de $\alpha$: $$ \dfrac{\ \sen \alpha\ }{ \ \cos \alpha\ } = - \sqrt{\ 5\ } \Rightarrow \dfrac{\ \dfrac{\ \sqrt{\ 6\ }\ }{\ 6 \ }\ }{ \ \cos \alpha\ } = - \sqrt{\ 5\ } \Rightarrow \dfrac{\ \sqrt{\ 6\ }\ }{\ 6 \ } = - \sqrt{\ 5\ } \cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{\ - \sqrt{\ 6\ }\ }{\ 6 \sqrt{\ 5\ } \ } = $$ $$ = \dfrac{\ - \sqrt{\ 30\ }\ }{\ 6 \cdot 5 \ } = \dfrac{\ - \sqrt{\ 30\ }\ }{\ 30 \ } $$ $$ \sec \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha\ } = \dfrac{ -30 }{\ \sqrt{\ 30\ }\ } = - \sqrt{\ 30\ } $$

$$ \sec \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha\ } \Rightarrow \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha\ } = \dfrac{\ - 4\sqrt{7}\ }{ 7 } \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{ 7 }{\ - 4\sqrt{7}\ } = \dfrac{ - 7 \sqrt{7} }{\ 4 \cdot 7\ } = \dfrac{ - \cancel{7} \sqrt{7} }{\ 4 \cdot \cancel{7}\ } = \dfrac{ - \sqrt{7} }{\ 4\ } $$ Sabemos el valor del coseno y ahora sustituimos en la RFT: $$ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = 1 \Rightarrow \sen^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left ( \dfrac{ - \sqrt{7} }{\ 4\ } \right)^2 = 1- \dfrac{ 7 }{\ 16\ } = \dfrac{ 9 }{\ 16\ } \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \cos \alpha = \pm \sqrt{\ \dfrac{ 9 }{\ 16\ }\ }= \pm \dfrac{ \sqrt{\ 9\ } }{\ \sqrt{\ 16\ }\ } = \pm \dfrac{ 3 }{\ 4\ } $$ Estamos en el tercer cuadrante, el seno es negativo, luego $\sen \alpha = \dfrac{ -3 }{\ 4\ }$
Luego $\cosec \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \sen \alpha\ } = \dfrac{\ -4\ }{ 3 } $
$$ \tg \alpha = \dfrac{\ \sen \alpha\ }{\ \cos \alpha\ } = \dfrac{ \dfrac{ -3 }{\ 4\ } }{ \dfrac{ - \sqrt{7} }{\ 4\ } } = \dfrac{ \dfrac{ -3 }{\ \cancel{4}\ } }{ \dfrac{ - \sqrt{7} }{\ \cancel{4}\ } } = \dfrac{ -3 }{ - \sqrt{7} } = \dfrac{ 3\sqrt{7} }{ 7 } $$ $$ \cotg \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \tg \alpha\ } = \dfrac{ 7 }{\ 3 \sqrt{7} \ } = \dfrac{ \sqrt{7} }{\ 3 \ } $$

Entrada del blog donde se explican la interpretación geométrica de las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante, y el seno, coseno de la suma de ángulos.

Entrada del blog donde se explican los teoremas del seno, coseno y de la tangente.

Seguiremos actualizando.