-
El signo de la división $\large { \div } $ se llama «óbelo». Recordemos que para la división se pueden utiliar además la fracción, los dos puntos «:» o la barra diagonal «/».
$$ \Large { \dfrac{\ a \ }{b} = a:b = a/b = a \div b } $$
-
La división en «caja», que no es caja sino galera entrada 8 del diccionario de la «RAE».
-
Elementos de la resta:
$$ \begin{array}{rcl} \quad \ \ \ a & \longrightarrow & \text{ minuendo } \cr & & \cr \quad - \ \ b & \longrightarrow & \text{ sustraendo } \cr \hline \cr \quad \ \ \ c & \longrightarrow & \text{ resta o diferencia } \cr \end{array} \qquad \qquad \begin{array}{rcl} \quad \ \ \ 342 & \longrightarrow & \text{ minuendo } \cr & & \cr \quad - \ \ 145 & \longrightarrow & \text{ sustraendo } \cr \hline \cr \quad \ \ \ 197 & \longrightarrow & \text{ resta o diferencia } \cr \end{array} $$
-
Del «Centro virtual Cervantes»:
Se dice que cierto fraile mendicante entró en una huevería para comprar una docena de huevos. Pero como eran para distintas personas, le dijo así a la huevera:
—Como son para distintas personas, póngamelos separados de la siguiente manera: media docena, para el padre prior; un tercio de docena, para el padre guardián, y para mí que soy más pobre, un cuarto de docena.
Es decir, que separó la mitad de doce, o sea, seis huevos; después un tercio de doce, cuatro huevos; y finalmente un cuarto de doce, tres huevos. En total sumaban, como se puede ver, trece huevos: 6 + 4 + 3 = 13.
-
Billón español y billón americano
Hay dos escalas para el uso de las potencias de 10, la escala corta (billón americano) y la escala larga (billón español):
Diferencia entre millones, billones y trillón en escalas numéricas Larga y Corta $$ \begin{array}{|r|l|l|} \hline \text{ Valor } & \text{ Escala corta (anglosajona) } & \text{ Escala larga } \cr \hline 1 & uno & \text{uno} \\ \hline 1\,000 & mil & \text{mil} \\ \hline 1\,000\,000 & millón & \text{millón} \\ \hline 1\,000\,000\,000 & billón & \text{mil millones o millardo} \\ \hline 1\,000\,000\,000\,000 & trillón & \text{billón } \\ \hline 1\,000\,000\,000\,000\,000 & cuatrillón & \text{mil billones} \\ \hline 1\,000\,000\,000\,000\,000\,000 & quintillón & \text{trillón} \\ \hline \end{array}$$ $\bullet \ $ En el siglo XVII una corriente de matemáticos anglosajones adoptó la denominación de Billón, para el número 1.000.000.000 o 10 elevado a la novena potencia. Lo que en otros idiomas sería un millardo.
Este concepto se ha mantenido en el inglés, aunque no ha sido oficialmente aceptado en el Reino Unido hasta 1.974, cuando el gobierno británico aceptaba oficialmente 1.000.000.000 como Billón.
$\bullet \ $ Otra teoría dice que en el siglo XVII matemáticos de Francia e Italia que decidieron adoptar el concepto billón para llamar a los mil millones, cuando para el resto del mundo era millardo.
En Italia, 1 Billón son 1.000 millones = 1.000.000.000
En Francia, 1 billón son un millón de millones. Aunque no ha sido hasta el siglo XX cuando gracias al matemático Nicolás Chuquet se impuso de nuevo el billón español. En 1961 se formalizó el uso de la escala larga.
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Un acre son 4046,86 $m^2$ = 40% de una hectarea.
Una hectarea son 10.000$ m^2$.
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- \[ |e^{i\pi}| = |\pi^{ie}| = |i^{\pi e}| = 1 \] \[ e^{i\pi} = - 1 \Rightarrow |e^{i\pi}| = |- 1| = 1 \] \[ \pi^{i e} \Rightarrow \text{ Para potencias de base real } a \text{ y exponente imaginario } b, |a^b| = |a^{Re(b)}| \text{ en este caso } |\pi^{ie}| = |\pi^0| = 1 \] \[ i^{\pi e}, i = e^{i\pi / 2} \Rightarrow i^{\pi e} = e^{i\pi / 2} \pi e = e^{i \pi^2 e /2 } \text{ que es número de módulo 1, luego } |i^{\pi e}| = 1 \]
-
\[ \log_{3}{5} \text{ es un número irracional. } \]
Por contradicción, supongamos que $\log_{3}{5} \in \Q$, entonces $\log_{3}{5} = \mfrac{a}{b}, a, b \in \N$ y el mínimo común múltiplo de $a$ y $b$ es 1.
Entonces: \[ 3^{a/b} = 5 \Rightarrow 3^a = 5 ^b , \text{ lo que no es posible. Contradicción y } \log_{3}{5} \text{ es irracional.} \] - Un ejemplo de límites no comuntativos: \[ \large{ \milmt{n}{\infty}{ \ \ \milmt{m}{\infty}\mfrac{n}{m + n} } \neq \milmt{m}{\infty}{ \ \ \milmt{n}{\infty}\mfrac{n}{m + n} } } \]
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El símbolo "=" fue inventado en 1.557 por Robert Recorde, que estaba cansado de escribir "es igual a" repetidamente. @PhysInHistory
Tabla de símbolos Matemáticos:
La Conjetura de Goldbach: Cada número natural par mayor que 2 es la suma de dos números primos.
4 = 1 + 3
6 = 1 + 5
8 = 1 + 7
10 = 7 + 3
12 = 7 + 5 ...
Si combinas los invariantes de una matriz con las relaciones de Cardano-Vieta puedes obtener directamente el polinomio característico coeficiente a coeficiente.
Aquí vemos el caso 2x2 (el más conocido) mostrado con un ejemplo:
Sea la matriz \( A = \begin{pmatrix} \ 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \), entonces el polinomio característico sale de hacer: \[ p(x) = | A - x \cdot I_2 | = \left | \begin{pmatrix} \ 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} - x \cdot \begin{pmatrix} \ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right | = \begin{vmatrix} 1 - x & 3 \\ -2 & 1 - x \end{vmatrix} = (1 - x)^2 + 6 = x^2 - 2x + 1 + 6 = x^2 - 2x + 7 \] Sabemos que:
Traza(A) = 1 + 1 = 2 y que \( |A| = \begin{vmatrix} \ 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - (-2) \cdot 3 = 1 + 6 = 7 \). Entonces: \[ p(x) = x^2 - \text{traza(A)} \cdot x + |A| \Rightarrow p(x) = x^2 - 2x + 7 \] Ahora vemos el caso 3x3 mostrado con otro ejemplo:
Sea la matriz \( A = \begin{pmatrix} \ 1 & 3 & 0 \\ \ 2 & 1 & -1 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \), entonces el polinomio característico sale de hacer: \[ p(x) = | A - x \cdot I_3 | = \left | \begin{pmatrix} \ 1 & 3 & 0 \\ \ 2 & 1 & -1 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix} - x \cdot \begin{pmatrix} \ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right | = \begin{vmatrix} 1 - x & 3 & 0 \\ 2 & 1 - x & -1 \\ -2 & 1 & 3 - x \end{vmatrix} = \] \[ = (1 - x)[(1 - x)(3 - x) + 1] + (-1) \cdot 3 \cdot [2(3 - x) - 2] = (1 - x) [3 - x - 3x + x^2 + 1] - 3[6 - 2x - 2] = \] \[ = (1 - x) [4 - 4x + x^2] - 3[4 - 2x] = 4 - 4x + x^2 - 4x + 4x^2 - x^3 - 12 + 6x = -x^3 + 5x^2 - 2x - 8 \] Sabemos que:
Traza(A) = 1 + 1 + 3 = 5
SMP2(A) es la suma de los menores principales de orden 2,
SMP2(A) \( = \begin{vmatrix} \ 1 & -1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \ 1 & 0 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \ 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 4 + 3 - 5 = 2 \)
y que \( |A| = \begin{vmatrix} \ 1 & 3 & 0 \\ \ 2 & 1 & -1 \\ -2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 + (-1) \cdot (3) \cdot [2 \cdot 3 - (-2)\cdot (-1) ] = 4 - 12 = -8 \).
Entonces: \[ p(x) = -x^3 + \text{traza(A)} \cdot x^2 - SMP2(A) \cdot x + |A| \Rightarrow p(x) = -x^3 + 5x^2 - 2x - 8 \]
$ \large{ \ \text{ Autor del blog } \ \mathbb{R}a\!\!\int\!\!{\alpha}{\varepsilon}\ell \ \ {\rm I\!R}{\acute{\textrm{a}}}\pi\partial{\in} z \ \ \mathbf{G}a\tau\varsigma\acute{\iota}@} \quad \mathbb{R}^2 \mathbb{G} $
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Intervalos Definición: Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: $a$ y $... -
Un Ángulo Un ángulo es una figura geométrica formada por dos semirrectas que parten de un mismo punto, llamado vértice. Estas s... -
Teorema de Weiersttrass (Weierstraß) : Sea $f$ una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$, entonces alcanza sus valores m...
martes, 14 de septiembre de 2021
Curiosidades
domingo, 12 de septiembre de 2021
Binomio de Newton. Desarrollo. Ejercicios.
El binomio de Newton, llamada así en honor al matemático
Sir Isaac Newton (*), es una fórmula para desarrollar la potencia natural de cualquier binomio, es
decir, algo de la forma:
$$ \Large{ ( a + b )^n \quad \text{ o } \quad (a - b)^n } $$ Para ello tenemos que manejar con soltura los factoriales y los números combinatorios.
$$ \Large{ ( a + b )^n = \sum_{i = 0}^{n} \binom{n}{i} \cdot a^{n - i} \cdot b^{i} } $$
$$ \Large{ ( a - b )^n = ( a + [-b] )^n = \sum_{i = 0}^{n} \binom{n}{i} \cdot a^{n - i} \cdot (-b)^{i} } $$
Si queremos calcular directamente un término del desarrollo sin necesidad de hacer el desarrollo completo usaremos la siguiente fórmula: $$ \text{Si es } \Large { (a + b)^n \Rightarrow T_{k} = \binom{n}{k - 1} \cdot a^{n - (k - 1)} \cdot b^{k - 1} = \binom{n}{k - 1} \cdot a^{n - k + 1} \cdot b^{k - 1} } $$
$$ \text{Si es } \Large { (a - b)^n \Rightarrow T_{k} = \binom{n}{k - 1} \cdot a^{n - (k - 1)} \cdot (-b)^{k - 1} = \binom{n}{k - 1} \cdot a^{n - k + 1} \cdot (-b)^{k - 1} } $$
Otra forma de sacar los números combinatorios es con el Triángulo de Pascal o Triángulo de Tartaglia.
Ejercicios, desarrolla los siguientes binomios: $\large $
$ \displaystyle \left ( 3x + 2 \right )^4 = \sum_{i = 0}^{4} \binom{4}{i} \cdot \left ( 3x \right )^{4 - i} \cdot (2 )^i = $
$ \displaystyle = \binom{4}{0} \cdot \left ( 3x \right )^4 + \binom{4}{1} \cdot \left ( 3x \right )^3 \cdot (2) + \binom{4}{2} \cdot \left ( 3x \right )^2 \cdot (2)^2 + \binom{4}{3} \cdot \left ( 3x \right ) \cdot (2)^3 + \binom{4}{4} \cdot (2)^4 = $
$ = 81x^4 + 216x^3 + 216x^2 + 96x + 16 $
$ \displaystyle \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } - x \right )^5 = \sum_{i = 0}^{5} \binom{5}{i} \cdot \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } \right )^{5- i} \cdot (- x)^i = $
$ \displaystyle = \binom{5}{0} \cdot \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } \right )^5 + \binom{5}{1} \cdot \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } \right )^4 \cdot (- x) + \binom{5}{2} \cdot \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } \right )^3 \cdot (- x)^2 + \binom{5}{3} \cdot \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } \right )^2 \cdot (- x)^3 + $
$\displaystyle + \binom{5}{4} \cdot \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } \right ) \cdot (- x)^4 + \binom{5}{5} \cdot (- x)^5 = \dfrac{ \ \sqrt{x} \ }{ x^3 } - 5 \cdot \dfrac{1}{ \ x \ } + 10 \cdot \sqrt{x} - 10 \cdot x^2 + 5 \cdot \sqrt{x} \cdot x^3 - x^5 $
El desarrollo tiene 5 términos, lo que nos pide este ejercicio es el término 3º, ya que es el término central. Aplicamos la fórmula y tenemos
$$ \displaystyle \large {T_{3} = \binom{4}{2} \cdot \left ( \dfrac{\ x^{2}\ }{9} \right )^{2} \cdot \left ( \dfrac{1}{\ x^{3}\ } \right)^{2} = \binom{4}{2} \cdot \dfrac{\ x^4\ }{81} \cdot \dfrac{1}{\ x^6 \ } } $$
Calaculamos el número combinatorio
$$ \displaystyle \large { \binom{4}{2} = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2! } = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot \cancel{2!} }{\cancel{2!} \cdot 2! } =\dfrac{4 \cdot 3 }{ 2 } = \dfrac{12}{2} = 6 } $$
Luego el término central será $$ \displaystyle \large {T_{3} = 6 \cdot \dfrac{\ x^4\ }{81} \cdot \dfrac{1}{\ x^6 \ } = \dfrac{6}{81 \cdot x^2} } $$
El desarrollo tiene 13 términos, lo que nos pide este ejercicio es el término 7º, ya que es el término central. Aplicamos la fórmula y tenemos
$$ \displaystyle \large {T_{7} = \binom{12}{6} \cdot (3x^2)^{6} \cdot (-5x^4)^{6} = \binom{12}{6} \cdot 3^6 \cdot 5^6 \cdot x^{12} \cdot x^{24} = \binom{12}{6} \cdot 15^6 \cdot x^{36} } $$
Si calculamos el número combinatorio
$ \displaystyle \large { \binom{12}{6} = \dfrac{12!}{6! \cdot 6!} = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 } = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cancel{6!}}{\cancel{6!} \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 } = \dfrac{ \cancel{12} \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 }{ 6 \cdot 5 \cdot \cancel{4 \cdot 3 } \cdot 2 } = } $
$ \displaystyle \large {= \dfrac{ 11 \cdot \cancel{10} \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 }{ 6 \cdot \cancel{5 \cdot \cdot 2} } = \dfrac{ 11 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 }{ 3 \cdot 2 } = \dfrac{ 11 \cdot 3 \cdot \cancel{3 \cdot 2} \cdot 4 \cdot 7 }{ \cancel{3 \cdot 2} } = 11 \cdot 12 \cdot 7 = 11 \cdot 84 = 924} $
y haciendo el resto de operaciones $ \displaystyle \large { 924 \cdot 15^6 = 10.524.937.500 } $
$$ \displaystyle \large {T_{7} = 10.524.937.500 \cdot x^{36} } $$
Para saber si existe un término de grado 13 voy a ver si existe tal término, es decir, voy a ver si existe el término k-ésimo de grado 13 $T_{k} = x^{13}$
$$ \displaystyle \large { \binom{8}{k - 1} \cdot (3x)^{8 -k + 1} \cdot (x^2)^{k - 1} = x^{13} } $$
Para calcular el valor de $k$ no nos hace falta el número combinatorio y podemos quitar el $3$ de $3x$, así nos quedará algo más sencillo
$$ \displaystyle \large { (x)^{9 - k} \cdot (x^2)^{k - 1} = x^{13} } $$ Esto es un ecuación exponencial y tenemos que calcular el valor de $k$, recordemos que $k$ tiene que ser un «número natural», si no lo fuera el problema no tendría solución y además sabemos que es menor o igual que 13.
Vamos a resolver laecuación:
$$ \displaystyle \large { (x)^{9 - k} \cdot x^{2k - 2} = x^{13} \rightarrow 9 - k + 2k - 2 = 13 \Rightarrow 7 + k = 13 \Rightarrow k = 6 } $$ Una vez que sabemos el valor de $k$, vamos a calcular el término 6º:
$$ \displaystyle \large { T_{6} = \binom{8}{5} \cdot (3x)^3 \cdot (-x^2)^5 = - \binom{8}{5} \cdot 27 \cdot x^{13} } $$
Calculamos el valor de $ \displaystyle \large { \binom{8}{5} = \dfrac{ 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5! }{ 5!\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } = \dfrac{ 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!} }{ \cancel{5!} \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } = \dfrac{ 8 \cdot 7 \cdot \cancel{6} }{ \cancel{ 3 \cdot 2 } } } = 8 \cdot 7 = 56 $
$$ \displaystyle \large {T_{6} = - 56 \cdot 27 \cdot x^{13} = - 1.512 \cdot x^{13} } $$
$$ \displaystyle \large { T_{2} = x^{11} \Rightarrow \binom{n}{1} \cdot (x^2)^{n - 1} \cdot \left( \dfrac{-1}{\ x \ } \right)^{1} = x^{11} \Rightarrow } $$
Sólo nos dicen que el segundo término es de grado 2, luego no necesitamos el coeficiente de dicho término y podemos «prescindir» de él:
$$ \displaystyle \large { x^{2(n - 1)} \cdot ( x^{-1} ) = x^11 \Rightarrow x^{2n - 2} \cdot x^{-1} = x^{11} } $$
y ahora planteamos una ecuación exponencial:
$$ \large { 2n - 2 - 1 = 11 \Rightarrow 2n = 14 \Rightarrow n = 7 } $$ Tenemos que desarrollar $ \large { \left(x^{2} - \dfrac{1}{\ x \ } \right )^{7} } $
$$ \displaystyle \large { \left(x^{2} - \dfrac{1}{\ x \ } \right )^{7} = \sum_{i = 0}^{7} \binom{7}{i} \cdot (x^2)^{7 - i} \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^i = } $$
$$ \displaystyle \large { = \binom{7}{0} \cdot (x^2)^7 + \binom{7}{1} \cdot (x^2)^6 \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right ) + \binom{7}{2} \cdot (x^2)^5 \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^2 + \binom{7}{3} \cdot (x^2)^4 \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^3 + } $$
$$ \displaystyle \large { + \binom{7}{4} \cdot (x^2)^3 \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^4 + \binom{7}{5} \cdot (x^2)^2 \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^5 + \binom{7}{6} \cdot (x^2) \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^6 + \binom{7}{7} \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^7 = (*) } $$
Vamos a calcular los número combinatorios:
Tenemos que $ \displaystyle \large { \binom{7}{0} = \binom{7}{7} = 1 \text{ y } \binom{7}{1} = \binom{7}{6} = 7 } $
Por otro lado tenemos que $ \displaystyle \large { \binom{7}{2} = \binom{7}{5} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 2!} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!} }{ \cancel{5!} \cdot 2!} = \dfrac{7 \cdot 6 }{ 2 } = \dfrac{42}{2} = 21 } $
Por otro lado tenemos que $ \displaystyle \large { \binom{7}{3} = \binom{7}{4} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 3!} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cancel{4!} }{ \cancel{4!} \cdot 3!} = \dfrac{7 \cdot \cancel{6} \cdot 5 }{ \cancel{6} } = 7 \cdot 5 = 35 } $
Seguimos con el desarrollo del binomio en $(*)$
$$ \displaystyle \large { = x^{14} - 7x^{11} + 21x^8 - 35x^5 + 35x^2 - \dfrac{21}{\ x \ } + \dfrac{7}{\ x^4 \ } - \dfrac{1}{\ x^7 \ } } $$
$$ \displaystyle \large { T_{3} = 90 \Rightarrow \binom{5}{2} \cdot \left( \dfrac{3}{\ x \ } \right)^3 \cdot (-x)^2 = 90 \Rightarrow } $$
$$ \displaystyle \large { \Rightarrow 10 \cdot \dfrac{27}{\ x^3 \ } \cdot x^2 = 90 \Rightarrow \dfrac{270}{\ \ x \ \ } = 90 \Rightarrow 270 = 90x \Rightarrow x = 3 } $$
$$ \displaystyle \large { T_{3} = x^2 \Rightarrow \binom{n}{2} \cdot (x^2)^{n - 2} \cdot \left( \dfrac{3}{\ x \ } \right)^2 = x^2 \Rightarrow } $$
Sólo nos dicen que el tercer término es de grado 2, luego no necesitamos el coeficiente de dicho término y podemos «prescindir» de él:
$$ \displaystyle \large { x^{2(n - 2)} \cdot ( x^{-1} )^2 = x^2 \Rightarrow x^{2n - 4} \cdot x^{-2} = x^2 } $$
y ahora planteamos una ecuación exponencial:
$$ \large { 2n - 4 - 2 = 2 \Rightarrow 2n = 8 \Rightarrow n = 4 } $$ Tenemos que desarrollar $ \large { \left( x^{2} + \dfrac{3}{\ x\ } \right)^4 } $
$$ \displaystyle \large { \left( x^{2} + \dfrac{3}{\ x\ } \right)^4 = \sum_{i = 0}^{4} \binom{4}{i} \cdot (x^2)^{4 - i} \cdot \left ( \dfrac{3}{\ x\ } \right )^i = } $$
$$ \displaystyle \large { = \binom{4}{0} \cdot (x^2)^4 + \binom{4}{1} \cdot (x^2)^3 \cdot \left ( \dfrac{3}{\ x\ } \right ) + \binom{4}{2} \cdot (x^2)^2 \cdot \left ( \dfrac{3}{\ x\ } \right )^2 + \binom{4}{3} \cdot x^2 \cdot \left ( \dfrac{3}{\ x\ } \right )^3 + } $$
$$ \displaystyle \large { + \binom{4}{4} \cdot \left ( \dfrac{3}{\ x\ } \right )^4 = (*) } $$
Vamos a calcular los número combinatorios:
Tenemos que $ \displaystyle \large { \binom{4}{0} = \binom{4}{4} = 1 \text{ y } \binom{4}{1} = \binom{4}{3} = 4 } $
Por otro lado tenemos que $ \displaystyle \large { \binom{4}{2} = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2!} = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot \cancel{2!} }{ \cancel{2!} \cdot 2!} = \dfrac{4 \cdot 3 }{ 2 } = \dfrac{12}{\ 2\ } = 6 } $
Seguimos con el desarrollo del binomio en $(*)$
$$ \displaystyle \large { = x^8 + 12x^5 + 54x^2 + \dfrac{\ 108 \ }{\ x \ } + \dfrac{81}{\ x^4 \ } } $$
$$ \displaystyle \large { 11^5 = (10 + 1)^5 = \sum_{i = 0}^{5} \binom{5}{i} \cdot 11^{5 - i} \cdot (1)^i = } $$
$$ \displaystyle \large { = \binom{5}{0} \cdot 10^5 + \binom{5}{1} \cdot 10^4 + \binom{5}{2} \cdot 10^3 + \binom{5}{3} \cdot 10^2 + \binom{5}{4} \cdot 10 + \binom{5}{5} = (*) } $$
Sabemos que
$ \displaystyle \large { \binom{5}{0} = \binom{5}{5} = 1 }$, que $ \displaystyle \large { \binom{5}{1} = \binom{5}{4} = 5 } $ y
$$ \displaystyle \large { \binom{5}{2} = \binom{5}{3} = \dfrac{5!}{\ 3! \cdot 2! \ } = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{\ 3! \cdot 2! \ } = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot \cancel{3!} }{\ \cancel{3!} \cdot 2! \ } = \dfrac{5 \cdot 4}{\ 2 \ } = \dfrac{20}{\ 10 \ } = 10 } $$
seguimos en $(*)$ y tenemos que
$$ \displaystyle \large { = 100.000 + 50.000 + 10.000 + 1.000 + 50 + 1 = 161.051} $$
$$ \large { (a + b + c)^{2} = \left ( \left [ a + b \right ] + c \right )^2 = [a + b]^2 + 2 \cdot [a + b] \cdot c + c^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 = } $$
$$ \large{ = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc }$$
Hacemos $a = 2; b = x y c = x^2$ y tenemos:
$$ \large { \left(2 + x + x^{2} \right)^{2} = 2^2 + x^2 + \left (x^2 \right )^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + 2 \cdot 2 \cdot x^2 + 2 \cdot x \cdot x^2 = } $$
$$ \large { = 4 + x^2 + x^4 + 4x + 4x^2 + 2x^3 = x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 4x + 4 } $$
$$ \large { (a + b + c)^{3} = \left ( \left [ a + b \right ] + c \right )^3 = [a + b]^3 + 3 \cdot [a + b]^2 \cdot c + 3 \cdot [a + b] \cdot c^2 + c^3 = } $$
$$ \large{ = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 + 3c \cdot (a^2 + 2ab + b^2) + 3ac^2 + 3bc^2 + c^3 = } $$
$$ \large{ = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 + 3a^2c + 6abc + 3b^2c + 3ac^2 + 3bc^2 + c^3 = } $$
$$ \large{ = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3a^2c + 3b^2a + 3b^2c + 3c^2a + 3c^2b + 6abc } $$
$$ \displaystyle \large { \binom{5}{2} \cdot (x^2)^3 \cdot \left ( \dfrac{3}{\ x\ } \right )^2 = \binom{5}{2} \cdot (x^3)^2 \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x\ } \right )^3 } $$
$$ \displaystyle \large { 10 \cdot x^6 \cdot \dfrac{9}{\ x^2\ } = 10 \cdot x^6 \cdot \dfrac{-1}{\ x^3\ } \Rightarrow \cancel{10} \cdot x^4 \cdot 9 = - \cancel{10} \cdot x^3 \Rightarrow 9x^4 + x^3 = 0 \Rightarrow x^3 \cdot (9x + 1) = 0 \Rightarrow } $$
$$ \large { \Rightarrow \cases { \text{ Si } x = 0 \text{ no puede ser solución, ya que está en el denominador} \cr \cr \text{ Si } x = \dfrac{-1}{\ 9\ } \text{ sí es solución.} } } $$
$\bullet$ Vamos con el cuarto término, pero antes calcularemos el número combinatorio asociado:
$ \displaystyle \large { \binom{9}{3} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 3!} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cancel{6!} }{ \cancel{6!} \cdot 3!} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 }{3 \cdot 2 } = \dfrac{3 \cdot \cancel{3} \cdot 8 \cdot 7 }{\cancel{3} \cdot 2 } = \dfrac{3 \cdot 4 \cdot \cancel{2} \cdot 7 }{ \cancel{ 2 } } = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84 } $
$$ \displaystyle \large { T_4 = \binom{9}{3} \cdot (x)^6 \cdot \left ( y \right )^3 = 84x^6y^3 } $$
$\bullet$ Vamos ahora con el quinto término, pero antes calcularemos el número combinatorio asociado:
$ \displaystyle \large { \binom{8}{4} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 4!} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cancel{4!} }{ \cancel{4!} \cdot 4!} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot \cancel{6} \cdot 5}{ 4 \cdot \cancel{3 \cdot 2} } = \dfrac{\cancel{4} \cdot 2 \cdot 7 \cdot 5 }{ \cancel{4} } = 2 \cdot 7 \cdot 5 = 70 } $
$$ \displaystyle \large { T_5 = \binom{8}{4} \cdot (2x)^4 \cdot \left ( -y \right )^4 = 70 \cdot 16 \cdot x^4y^4 = 1.120x^4y^4 } $$
Vamos con el término k-ésimo:
$ \displaystyle \large { T_k = \binom{7}{k - 1} \cdot ( 3x^2)^{8 - k} \cdot \left ( - \dfrac{1}{\ x\ } \right )^{k - 1} } $
Sólo nos dicen que el término k-ésimo es de grado 2, luego no necesitamos el coeficiente de dicho término y podemos «prescindir» de él:
$$ \displaystyle \large { (x^2)^{8 - k} \cdot \left ( x^{-1} \right )^{k - 1} = x^2 } $$
Y ahora planteamos una ecuación exponencial:
$$ \large { x^{16 - 2k} \cdot x^{-k + 1} = x^2 \Rightarrow 16 - 2k - k + 1 = 2 \Rightarrow 17 - 3k = 2 \Rightarrow 15 = 3k \Rightarrow k = 5 } $$
Vamos a comprobarlo, primero calculamos el número combinatorio:
$ \displaystyle \large { \binom{7}{4} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 3!} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cancel{4!} }{ \cancel{4!} \cdot 3!} = \dfrac{7 \cdot \cancel{6} \cdot 5 }{ \cancel{6} } = 7 \cdot 5 = 35 } $
Seguimos con el desarrollo del binomio en $(*)$
$ \displaystyle \large { T_5 = \binom{7}{4} \cdot ( 3x^2)^{3} \cdot \left ( - \dfrac{1}{\ x\ } \right )^{4} = 35 \cdot 27 x^6 x^{-4} = 945x^2 } $
Vamos con el sexto, pero antes calcularemos el número combinatorio asociado:
$ \displaystyle \large { \binom{9}{5} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 4!} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!} }{ \cancel{5!} \cdot 4!} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cancel{6} }{4 \cdot \cancel{6} } = \dfrac{9 \cdot 2 \cdot \cancel{4} \cdot 7 }{ \cancel{4} } = 9 \cdot 2 \cdot 7 = 126 } $
$$ \displaystyle \large { T_6 = \binom{9}{5} \cdot (3x)^4 \cdot \left ( -x \right )^5 = -126 \cdot 81 x^9 = -10.206 x^9} $$
$$ \Large{ ( a + b )^n \quad \text{ o } \quad (a - b)^n } $$ Para ello tenemos que manejar con soltura los factoriales y los números combinatorios.
$$ \Large{ ( a + b )^n = \sum_{i = 0}^{n} \binom{n}{i} \cdot a^{n - i} \cdot b^{i} } $$
$$ \Large{ ( a - b )^n = ( a + [-b] )^n = \sum_{i = 0}^{n} \binom{n}{i} \cdot a^{n - i} \cdot (-b)^{i} } $$
Si queremos calcular directamente un término del desarrollo sin necesidad de hacer el desarrollo completo usaremos la siguiente fórmula: $$ \text{Si es } \Large { (a + b)^n \Rightarrow T_{k} = \binom{n}{k - 1} \cdot a^{n - (k - 1)} \cdot b^{k - 1} = \binom{n}{k - 1} \cdot a^{n - k + 1} \cdot b^{k - 1} } $$
$$ \text{Si es } \Large { (a - b)^n \Rightarrow T_{k} = \binom{n}{k - 1} \cdot a^{n - (k - 1)} \cdot (-b)^{k - 1} = \binom{n}{k - 1} \cdot a^{n - k + 1} \cdot (-b)^{k - 1} } $$
Otra forma de sacar los números combinatorios es con el Triángulo de Pascal o Triángulo de Tartaglia.
Ahora lo que hay que hacer es calcular los números combinatorios y sustituir
$a$ y $b$ por las expresiones que tengas en tu ejercicio. Veamos un par de
ejemplos:
1.- Con la suma, $ \left (x + \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^5 $, el binomio de una suma elevado a 5: $$ \displaystyle \large{ \left ( a + b \right )^{5} = \sum_{i = 0}^{5} \binom{5}{i} a^{5 - i} \cdot b^{i} = } $$ $$ = \displaystyle \large{ \binom{5}{0} \cdot a^{5} + \binom{5}{1} \cdot a^{4} \cdot b + \binom{5}{2} \cdot a^{3} \cdot b^{2} + \binom{5}{3} \cdot a^{2} \cdot b^{3} + \binom{5}{4} \cdot a \cdot b^{4} + \binom{5}{5} \cdot b^{5} } = $$ $$ = \displaystyle \large { a^{5} + 5 \cdot a^{4} \cdot b + 10 \cdot a^{3} \cdot b^{2} + 10 \cdot a^{2} \cdot b^{3} + 5 \cdot a \cdot b^{4} + b^{5} } $$ Ahora sustituimos $ a $ por $x$, $b$ por $\dfrac{\ 1 \ }{x}$ y los números combinatorios por su valor $ \displaystyle \binom{5}{5} = \binom{5}{5} = 1$, $ \displaystyle \binom{5}{1} = \binom{5}{4} = 5$ y $ \displaystyle \binom{5}{2} = \binom{5}{3} = \dfrac{5!}{2! \cdot 3!} = \dfrac{5 \cdot 4 }{2} = 10 $
Luego $ \left (x + \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^5 = x^{5} + 5 \cdot x^{4} \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{x} \right ) + 10 \cdot x^{3} \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^{2} + 10 \cdot x^{2} \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^{3} + 5 \cdot x \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^{4} + \left ( \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^{5} = $
$ = x^{5} + 5 \cdot x^3 + 10 \cdot x + \dfrac{\ 10 \ }{x} + \dfrac{\ 5 \ }{x^3} + \dfrac{\ 1 \ }{x^5}$
2.- Con la resta, $ \left (xy - \dfrac{\ 1 \ }{xy} \right )^4 $, el binomio de una resta elevado a 4: $$ \displaystyle \large{ \left ( a - b \right )^{4} = \sum_{i = 0}^{4} \binom{4}{i} a^{4 - i} \cdot (-b)^{i} = } $$ $$ = \displaystyle \large{ \binom{4}{0} \cdot a^{4} - \binom{4}{1} \cdot a^{3} \cdot b + \binom{4}{2} \cdot a^{2} \cdot b^{2} - \binom{4}{3} \cdot a \cdot b^{3} + \binom{4}{4} \cdot b^{4} } $$ $$ = \displaystyle \large { a^{4} - 4 \cdot a^{3} \cdot b + 6 \cdot a^{2} \cdot b^{2} - 4 \cdot a \cdot b^{3} + b^{4} } $$ Ahora sustituimos $ a $ por $xy$, $b$ por $\dfrac{\ 1 \ }{xy}$ y los números combinatorios por su valor $ \displaystyle \binom{4}{0} = \binom{4}{4} = 1$, $ \displaystyle \binom{4}{1} = \binom{4}{3} = 4$ y $ \displaystyle \binom{4}{2} = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = \dfrac{4 \cdot 3 }{2} = 6 $
Luego $ \left (xy - \dfrac{\ 1 \ }{xy} \right )^4 = (xy)^{4} - 4 \cdot (xy)^{3} \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{xy} \right ) + 6 \cdot (xy)^{2} \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{xy} \right )^{2} - 4 \cdot (xy) \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{xy} \right )^{3} + \left ( \dfrac{\ 1 \ }{xy} \right )^{4} = $
$ = (xy)^{4} - 4 \cdot (xy)^{2} + 6 - \dfrac{\ 4 \ }{(xy)^3} + \dfrac{\ 1 \ }{(xy)^4} $
1.- Con la suma, $ \left (x + \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^5 $, el binomio de una suma elevado a 5: $$ \displaystyle \large{ \left ( a + b \right )^{5} = \sum_{i = 0}^{5} \binom{5}{i} a^{5 - i} \cdot b^{i} = } $$ $$ = \displaystyle \large{ \binom{5}{0} \cdot a^{5} + \binom{5}{1} \cdot a^{4} \cdot b + \binom{5}{2} \cdot a^{3} \cdot b^{2} + \binom{5}{3} \cdot a^{2} \cdot b^{3} + \binom{5}{4} \cdot a \cdot b^{4} + \binom{5}{5} \cdot b^{5} } = $$ $$ = \displaystyle \large { a^{5} + 5 \cdot a^{4} \cdot b + 10 \cdot a^{3} \cdot b^{2} + 10 \cdot a^{2} \cdot b^{3} + 5 \cdot a \cdot b^{4} + b^{5} } $$ Ahora sustituimos $ a $ por $x$, $b$ por $\dfrac{\ 1 \ }{x}$ y los números combinatorios por su valor $ \displaystyle \binom{5}{5} = \binom{5}{5} = 1$, $ \displaystyle \binom{5}{1} = \binom{5}{4} = 5$ y $ \displaystyle \binom{5}{2} = \binom{5}{3} = \dfrac{5!}{2! \cdot 3!} = \dfrac{5 \cdot 4 }{2} = 10 $
Luego $ \left (x + \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^5 = x^{5} + 5 \cdot x^{4} \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{x} \right ) + 10 \cdot x^{3} \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^{2} + 10 \cdot x^{2} \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^{3} + 5 \cdot x \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^{4} + \left ( \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^{5} = $
$ = x^{5} + 5 \cdot x^3 + 10 \cdot x + \dfrac{\ 10 \ }{x} + \dfrac{\ 5 \ }{x^3} + \dfrac{\ 1 \ }{x^5}$
2.- Con la resta, $ \left (xy - \dfrac{\ 1 \ }{xy} \right )^4 $, el binomio de una resta elevado a 4: $$ \displaystyle \large{ \left ( a - b \right )^{4} = \sum_{i = 0}^{4} \binom{4}{i} a^{4 - i} \cdot (-b)^{i} = } $$ $$ = \displaystyle \large{ \binom{4}{0} \cdot a^{4} - \binom{4}{1} \cdot a^{3} \cdot b + \binom{4}{2} \cdot a^{2} \cdot b^{2} - \binom{4}{3} \cdot a \cdot b^{3} + \binom{4}{4} \cdot b^{4} } $$ $$ = \displaystyle \large { a^{4} - 4 \cdot a^{3} \cdot b + 6 \cdot a^{2} \cdot b^{2} - 4 \cdot a \cdot b^{3} + b^{4} } $$ Ahora sustituimos $ a $ por $xy$, $b$ por $\dfrac{\ 1 \ }{xy}$ y los números combinatorios por su valor $ \displaystyle \binom{4}{0} = \binom{4}{4} = 1$, $ \displaystyle \binom{4}{1} = \binom{4}{3} = 4$ y $ \displaystyle \binom{4}{2} = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = \dfrac{4 \cdot 3 }{2} = 6 $
Luego $ \left (xy - \dfrac{\ 1 \ }{xy} \right )^4 = (xy)^{4} - 4 \cdot (xy)^{3} \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{xy} \right ) + 6 \cdot (xy)^{2} \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{xy} \right )^{2} - 4 \cdot (xy) \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{xy} \right )^{3} + \left ( \dfrac{\ 1 \ }{xy} \right )^{4} = $
$ = (xy)^{4} - 4 \cdot (xy)^{2} + 6 - \dfrac{\ 4 \ }{(xy)^3} + \dfrac{\ 1 \ }{(xy)^4} $
Ejercicios, desarrolla los siguientes binomios: $\large $
- $(3x - 2)^{4} $
- $\left(2x^{3} + 5x \right)^{3} $
- $ (\sqrt{2} + \sqrt{3})^{5} $
- $(\sqrt{5} - 2)^{4} $
- $\left(x - \dfrac{2}{x} \right)^{4}$
- $\left(2x + \dfrac{y}{3} \right)^{4} $
$ \displaystyle \left ( 3x + 2 \right )^4 = \sum_{i = 0}^{4} \binom{4}{i} \cdot \left ( 3x \right )^{4 - i} \cdot (2 )^i = $
$ \displaystyle = \binom{4}{0} \cdot \left ( 3x \right )^4 + \binom{4}{1} \cdot \left ( 3x \right )^3 \cdot (2) + \binom{4}{2} \cdot \left ( 3x \right )^2 \cdot (2)^2 + \binom{4}{3} \cdot \left ( 3x \right ) \cdot (2)^3 + \binom{4}{4} \cdot (2)^4 = $
$ = 81x^4 + 216x^3 + 216x^2 + 96x + 16 $
$ \displaystyle \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } - x \right )^5 = \sum_{i = 0}^{5} \binom{5}{i} \cdot \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } \right )^{5- i} \cdot (- x)^i = $
$ \displaystyle = \binom{5}{0} \cdot \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } \right )^5 + \binom{5}{1} \cdot \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } \right )^4 \cdot (- x) + \binom{5}{2} \cdot \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } \right )^3 \cdot (- x)^2 + \binom{5}{3} \cdot \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } \right )^2 \cdot (- x)^3 + $
$\displaystyle + \binom{5}{4} \cdot \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } \right ) \cdot (- x)^4 + \binom{5}{5} \cdot (- x)^5 = \dfrac{ \ \sqrt{x} \ }{ x^3 } - 5 \cdot \dfrac{1}{ \ x \ } + 10 \cdot \sqrt{x} - 10 \cdot x^2 + 5 \cdot \sqrt{x} \cdot x^3 - x^5 $
El desarrollo tiene 5 términos, lo que nos pide este ejercicio es el término 3º, ya que es el término central. Aplicamos la fórmula y tenemos
$$ \displaystyle \large {T_{3} = \binom{4}{2} \cdot \left ( \dfrac{\ x^{2}\ }{9} \right )^{2} \cdot \left ( \dfrac{1}{\ x^{3}\ } \right)^{2} = \binom{4}{2} \cdot \dfrac{\ x^4\ }{81} \cdot \dfrac{1}{\ x^6 \ } } $$
Calaculamos el número combinatorio
$$ \displaystyle \large { \binom{4}{2} = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2! } = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot \cancel{2!} }{\cancel{2!} \cdot 2! } =\dfrac{4 \cdot 3 }{ 2 } = \dfrac{12}{2} = 6 } $$
Luego el término central será $$ \displaystyle \large {T_{3} = 6 \cdot \dfrac{\ x^4\ }{81} \cdot \dfrac{1}{\ x^6 \ } = \dfrac{6}{81 \cdot x^2} } $$
El desarrollo tiene 13 términos, lo que nos pide este ejercicio es el término 7º, ya que es el término central. Aplicamos la fórmula y tenemos
$$ \displaystyle \large {T_{7} = \binom{12}{6} \cdot (3x^2)^{6} \cdot (-5x^4)^{6} = \binom{12}{6} \cdot 3^6 \cdot 5^6 \cdot x^{12} \cdot x^{24} = \binom{12}{6} \cdot 15^6 \cdot x^{36} } $$
Si calculamos el número combinatorio
$ \displaystyle \large { \binom{12}{6} = \dfrac{12!}{6! \cdot 6!} = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 } = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cancel{6!}}{\cancel{6!} \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 } = \dfrac{ \cancel{12} \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 }{ 6 \cdot 5 \cdot \cancel{4 \cdot 3 } \cdot 2 } = } $
$ \displaystyle \large {= \dfrac{ 11 \cdot \cancel{10} \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 }{ 6 \cdot \cancel{5 \cdot \cdot 2} } = \dfrac{ 11 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 }{ 3 \cdot 2 } = \dfrac{ 11 \cdot 3 \cdot \cancel{3 \cdot 2} \cdot 4 \cdot 7 }{ \cancel{3 \cdot 2} } = 11 \cdot 12 \cdot 7 = 11 \cdot 84 = 924} $
y haciendo el resto de operaciones $ \displaystyle \large { 924 \cdot 15^6 = 10.524.937.500 } $
$$ \displaystyle \large {T_{7} = 10.524.937.500 \cdot x^{36} } $$
Para saber si existe un término de grado 13 voy a ver si existe tal término, es decir, voy a ver si existe el término k-ésimo de grado 13 $T_{k} = x^{13}$
$$ \displaystyle \large { \binom{8}{k - 1} \cdot (3x)^{8 -k + 1} \cdot (x^2)^{k - 1} = x^{13} } $$
Para calcular el valor de $k$ no nos hace falta el número combinatorio y podemos quitar el $3$ de $3x$, así nos quedará algo más sencillo
$$ \displaystyle \large { (x)^{9 - k} \cdot (x^2)^{k - 1} = x^{13} } $$ Esto es un ecuación exponencial y tenemos que calcular el valor de $k$, recordemos que $k$ tiene que ser un «número natural», si no lo fuera el problema no tendría solución y además sabemos que es menor o igual que 13.
Vamos a resolver laecuación:
$$ \displaystyle \large { (x)^{9 - k} \cdot x^{2k - 2} = x^{13} \rightarrow 9 - k + 2k - 2 = 13 \Rightarrow 7 + k = 13 \Rightarrow k = 6 } $$ Una vez que sabemos el valor de $k$, vamos a calcular el término 6º:
$$ \displaystyle \large { T_{6} = \binom{8}{5} \cdot (3x)^3 \cdot (-x^2)^5 = - \binom{8}{5} \cdot 27 \cdot x^{13} } $$
Calculamos el valor de $ \displaystyle \large { \binom{8}{5} = \dfrac{ 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5! }{ 5!\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } = \dfrac{ 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!} }{ \cancel{5!} \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } = \dfrac{ 8 \cdot 7 \cdot \cancel{6} }{ \cancel{ 3 \cdot 2 } } } = 8 \cdot 7 = 56 $
$$ \displaystyle \large {T_{6} = - 56 \cdot 27 \cdot x^{13} = - 1.512 \cdot x^{13} } $$
$$ \displaystyle \large { T_{2} = x^{11} \Rightarrow \binom{n}{1} \cdot (x^2)^{n - 1} \cdot \left( \dfrac{-1}{\ x \ } \right)^{1} = x^{11} \Rightarrow } $$
Sólo nos dicen que el segundo término es de grado 2, luego no necesitamos el coeficiente de dicho término y podemos «prescindir» de él:
$$ \displaystyle \large { x^{2(n - 1)} \cdot ( x^{-1} ) = x^11 \Rightarrow x^{2n - 2} \cdot x^{-1} = x^{11} } $$
y ahora planteamos una ecuación exponencial:
$$ \large { 2n - 2 - 1 = 11 \Rightarrow 2n = 14 \Rightarrow n = 7 } $$ Tenemos que desarrollar $ \large { \left(x^{2} - \dfrac{1}{\ x \ } \right )^{7} } $
$$ \displaystyle \large { \left(x^{2} - \dfrac{1}{\ x \ } \right )^{7} = \sum_{i = 0}^{7} \binom{7}{i} \cdot (x^2)^{7 - i} \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^i = } $$
$$ \displaystyle \large { = \binom{7}{0} \cdot (x^2)^7 + \binom{7}{1} \cdot (x^2)^6 \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right ) + \binom{7}{2} \cdot (x^2)^5 \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^2 + \binom{7}{3} \cdot (x^2)^4 \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^3 + } $$
$$ \displaystyle \large { + \binom{7}{4} \cdot (x^2)^3 \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^4 + \binom{7}{5} \cdot (x^2)^2 \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^5 + \binom{7}{6} \cdot (x^2) \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^6 + \binom{7}{7} \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^7 = (*) } $$
Vamos a calcular los número combinatorios:
Tenemos que $ \displaystyle \large { \binom{7}{0} = \binom{7}{7} = 1 \text{ y } \binom{7}{1} = \binom{7}{6} = 7 } $
Por otro lado tenemos que $ \displaystyle \large { \binom{7}{2} = \binom{7}{5} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 2!} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!} }{ \cancel{5!} \cdot 2!} = \dfrac{7 \cdot 6 }{ 2 } = \dfrac{42}{2} = 21 } $
Por otro lado tenemos que $ \displaystyle \large { \binom{7}{3} = \binom{7}{4} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 3!} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cancel{4!} }{ \cancel{4!} \cdot 3!} = \dfrac{7 \cdot \cancel{6} \cdot 5 }{ \cancel{6} } = 7 \cdot 5 = 35 } $
Seguimos con el desarrollo del binomio en $(*)$
$$ \displaystyle \large { = x^{14} - 7x^{11} + 21x^8 - 35x^5 + 35x^2 - \dfrac{21}{\ x \ } + \dfrac{7}{\ x^4 \ } - \dfrac{1}{\ x^7 \ } } $$
$$ \displaystyle \large { T_{3} = 90 \Rightarrow \binom{5}{2} \cdot \left( \dfrac{3}{\ x \ } \right)^3 \cdot (-x)^2 = 90 \Rightarrow } $$
$$ \displaystyle \large { \Rightarrow 10 \cdot \dfrac{27}{\ x^3 \ } \cdot x^2 = 90 \Rightarrow \dfrac{270}{\ \ x \ \ } = 90 \Rightarrow 270 = 90x \Rightarrow x = 3 } $$
$$ \displaystyle \large { T_{3} = x^2 \Rightarrow \binom{n}{2} \cdot (x^2)^{n - 2} \cdot \left( \dfrac{3}{\ x \ } \right)^2 = x^2 \Rightarrow } $$
Sólo nos dicen que el tercer término es de grado 2, luego no necesitamos el coeficiente de dicho término y podemos «prescindir» de él:
$$ \displaystyle \large { x^{2(n - 2)} \cdot ( x^{-1} )^2 = x^2 \Rightarrow x^{2n - 4} \cdot x^{-2} = x^2 } $$
y ahora planteamos una ecuación exponencial:
$$ \large { 2n - 4 - 2 = 2 \Rightarrow 2n = 8 \Rightarrow n = 4 } $$ Tenemos que desarrollar $ \large { \left( x^{2} + \dfrac{3}{\ x\ } \right)^4 } $
$$ \displaystyle \large { \left( x^{2} + \dfrac{3}{\ x\ } \right)^4 = \sum_{i = 0}^{4} \binom{4}{i} \cdot (x^2)^{4 - i} \cdot \left ( \dfrac{3}{\ x\ } \right )^i = } $$
$$ \displaystyle \large { = \binom{4}{0} \cdot (x^2)^4 + \binom{4}{1} \cdot (x^2)^3 \cdot \left ( \dfrac{3}{\ x\ } \right ) + \binom{4}{2} \cdot (x^2)^2 \cdot \left ( \dfrac{3}{\ x\ } \right )^2 + \binom{4}{3} \cdot x^2 \cdot \left ( \dfrac{3}{\ x\ } \right )^3 + } $$
$$ \displaystyle \large { + \binom{4}{4} \cdot \left ( \dfrac{3}{\ x\ } \right )^4 = (*) } $$
Vamos a calcular los número combinatorios:
Tenemos que $ \displaystyle \large { \binom{4}{0} = \binom{4}{4} = 1 \text{ y } \binom{4}{1} = \binom{4}{3} = 4 } $
Por otro lado tenemos que $ \displaystyle \large { \binom{4}{2} = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2!} = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot \cancel{2!} }{ \cancel{2!} \cdot 2!} = \dfrac{4 \cdot 3 }{ 2 } = \dfrac{12}{\ 2\ } = 6 } $
Seguimos con el desarrollo del binomio en $(*)$
$$ \displaystyle \large { = x^8 + 12x^5 + 54x^2 + \dfrac{\ 108 \ }{\ x \ } + \dfrac{81}{\ x^4 \ } } $$
$$ \displaystyle \large { 11^5 = (10 + 1)^5 = \sum_{i = 0}^{5} \binom{5}{i} \cdot 11^{5 - i} \cdot (1)^i = } $$
$$ \displaystyle \large { = \binom{5}{0} \cdot 10^5 + \binom{5}{1} \cdot 10^4 + \binom{5}{2} \cdot 10^3 + \binom{5}{3} \cdot 10^2 + \binom{5}{4} \cdot 10 + \binom{5}{5} = (*) } $$
Sabemos que
$ \displaystyle \large { \binom{5}{0} = \binom{5}{5} = 1 }$, que $ \displaystyle \large { \binom{5}{1} = \binom{5}{4} = 5 } $ y
$$ \displaystyle \large { \binom{5}{2} = \binom{5}{3} = \dfrac{5!}{\ 3! \cdot 2! \ } = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{\ 3! \cdot 2! \ } = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot \cancel{3!} }{\ \cancel{3!} \cdot 2! \ } = \dfrac{5 \cdot 4}{\ 2 \ } = \dfrac{20}{\ 10 \ } = 10 } $$
seguimos en $(*)$ y tenemos que
$$ \displaystyle \large { = 100.000 + 50.000 + 10.000 + 1.000 + 50 + 1 = 161.051} $$
$$ \large { (a + b + c)^{2} = \left ( \left [ a + b \right ] + c \right )^2 = [a + b]^2 + 2 \cdot [a + b] \cdot c + c^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 = } $$
$$ \large{ = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc }$$
Hacemos $a = 2; b = x y c = x^2$ y tenemos:
$$ \large { \left(2 + x + x^{2} \right)^{2} = 2^2 + x^2 + \left (x^2 \right )^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + 2 \cdot 2 \cdot x^2 + 2 \cdot x \cdot x^2 = } $$
$$ \large { = 4 + x^2 + x^4 + 4x + 4x^2 + 2x^3 = x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 4x + 4 } $$
$$ \large { (a + b + c)^{3} = \left ( \left [ a + b \right ] + c \right )^3 = [a + b]^3 + 3 \cdot [a + b]^2 \cdot c + 3 \cdot [a + b] \cdot c^2 + c^3 = } $$
$$ \large{ = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 + 3c \cdot (a^2 + 2ab + b^2) + 3ac^2 + 3bc^2 + c^3 = } $$
$$ \large{ = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 + 3a^2c + 6abc + 3b^2c + 3ac^2 + 3bc^2 + c^3 = } $$
$$ \large{ = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3a^2c + 3b^2a + 3b^2c + 3c^2a + 3c^2b + 6abc } $$
$$ \displaystyle \large { \binom{5}{2} \cdot (x^2)^3 \cdot \left ( \dfrac{3}{\ x\ } \right )^2 = \binom{5}{2} \cdot (x^3)^2 \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x\ } \right )^3 } $$
$$ \displaystyle \large { 10 \cdot x^6 \cdot \dfrac{9}{\ x^2\ } = 10 \cdot x^6 \cdot \dfrac{-1}{\ x^3\ } \Rightarrow \cancel{10} \cdot x^4 \cdot 9 = - \cancel{10} \cdot x^3 \Rightarrow 9x^4 + x^3 = 0 \Rightarrow x^3 \cdot (9x + 1) = 0 \Rightarrow } $$
$$ \large { \Rightarrow \cases { \text{ Si } x = 0 \text{ no puede ser solución, ya que está en el denominador} \cr \cr \text{ Si } x = \dfrac{-1}{\ 9\ } \text{ sí es solución.} } } $$
$\bullet$ Vamos con el cuarto término, pero antes calcularemos el número combinatorio asociado:
$ \displaystyle \large { \binom{9}{3} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 3!} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cancel{6!} }{ \cancel{6!} \cdot 3!} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 }{3 \cdot 2 } = \dfrac{3 \cdot \cancel{3} \cdot 8 \cdot 7 }{\cancel{3} \cdot 2 } = \dfrac{3 \cdot 4 \cdot \cancel{2} \cdot 7 }{ \cancel{ 2 } } = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84 } $
$$ \displaystyle \large { T_4 = \binom{9}{3} \cdot (x)^6 \cdot \left ( y \right )^3 = 84x^6y^3 } $$
$\bullet$ Vamos ahora con el quinto término, pero antes calcularemos el número combinatorio asociado:
$ \displaystyle \large { \binom{8}{4} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 4!} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cancel{4!} }{ \cancel{4!} \cdot 4!} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot \cancel{6} \cdot 5}{ 4 \cdot \cancel{3 \cdot 2} } = \dfrac{\cancel{4} \cdot 2 \cdot 7 \cdot 5 }{ \cancel{4} } = 2 \cdot 7 \cdot 5 = 70 } $
$$ \displaystyle \large { T_5 = \binom{8}{4} \cdot (2x)^4 \cdot \left ( -y \right )^4 = 70 \cdot 16 \cdot x^4y^4 = 1.120x^4y^4 } $$
Vamos con el término k-ésimo:
$ \displaystyle \large { T_k = \binom{7}{k - 1} \cdot ( 3x^2)^{8 - k} \cdot \left ( - \dfrac{1}{\ x\ } \right )^{k - 1} } $
Sólo nos dicen que el término k-ésimo es de grado 2, luego no necesitamos el coeficiente de dicho término y podemos «prescindir» de él:
$$ \displaystyle \large { (x^2)^{8 - k} \cdot \left ( x^{-1} \right )^{k - 1} = x^2 } $$
Y ahora planteamos una ecuación exponencial:
$$ \large { x^{16 - 2k} \cdot x^{-k + 1} = x^2 \Rightarrow 16 - 2k - k + 1 = 2 \Rightarrow 17 - 3k = 2 \Rightarrow 15 = 3k \Rightarrow k = 5 } $$
Vamos a comprobarlo, primero calculamos el número combinatorio:
$ \displaystyle \large { \binom{7}{4} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 3!} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cancel{4!} }{ \cancel{4!} \cdot 3!} = \dfrac{7 \cdot \cancel{6} \cdot 5 }{ \cancel{6} } = 7 \cdot 5 = 35 } $
Seguimos con el desarrollo del binomio en $(*)$
$ \displaystyle \large { T_5 = \binom{7}{4} \cdot ( 3x^2)^{3} \cdot \left ( - \dfrac{1}{\ x\ } \right )^{4} = 35 \cdot 27 x^6 x^{-4} = 945x^2 } $
Vamos con el sexto, pero antes calcularemos el número combinatorio asociado:
$ \displaystyle \large { \binom{9}{5} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 4!} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!} }{ \cancel{5!} \cdot 4!} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cancel{6} }{4 \cdot \cancel{6} } = \dfrac{9 \cdot 2 \cdot \cancel{4} \cdot 7 }{ \cancel{4} } = 9 \cdot 2 \cdot 7 = 126 } $
$$ \displaystyle \large { T_6 = \binom{9}{5} \cdot (3x)^4 \cdot \left ( -x \right )^5 = -126 \cdot 81 x^9 = -10.206 x^9} $$
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello
podéis mandar un correo a
profesor.maties@gmail.com
miércoles, 8 de septiembre de 2021
Propiedad distributiva - Ejemplo gráfico
Hola,
Vamos a usar la página web graspablemath.com/ para revisar la propiedad distributiva en el siguiente enlace Propiedad Distributiva .
La propiedad distributiva nos dice
$$ a \cdot \left ( b + c \right ) = a \cdot b + a \cdot c $$ Multiplicar un número por la suma de dos número, es lo mismo que multiplicar ese número por cada uno de los sumandos y efectuar después la suma de esos dos productos.
Veamos algunos ejemplos:
1.- $ 12 \cdot 8 + 12 \cdot 42 $
Aquí $a = 12 $, $b = 8$ y $c = 42$ aplicamos la propiedad distributiva y tenemos:
$$ 12 \cdot 8 + 12 \cdot 42 = 12 \cdot ( 8 + 42 ) = 12 \cdot 50 = 600 $$ 2.- $ 23 \cdot 18 + 12 \cdot 23 $
Primero aplicamos la conmutativa al segundo producto y nos quedará $ 23 \cdot 18 + 23 \cdot 12 $ y ahora hacemos como en el apartado anterior, aquí $a = 23 $, $b = 18$ y $c = 12$ aplicamos la propiedad distributiva y tenemos:
$$ 23 \cdot 18 + 23 \cdot 12 = 23 \cdot ( 18 + 12 ) = 23 \cdot 30 = 690 $$ 3.- $55 \cdot (20 + 6)$
Si hacemos primero el paréntesis nos sale el producto $ 55 \cdot 26$ que no es sencillo, pero si aplicamos la distributiva con $a = 55$, $b=20$ y $c = 6$ tenemos dos productos más sencillos y una suma:
$$ 55 \cdot (20 + 6) = 55 \cdot 20 + 55 \cdot 6 = 1100 + 330 = 1430 $$ 4.- $77 \cdot 31$
Podemos hacer lo siguiente $ 77 \cdot (30 + 1) $ y ahora aplicaríamos la distributiva con $a = 77$, $b = 30$ y $c = 1$
$$ 77 \cdot (30 + 1) = 77 \cdot 30 + 77 \cdot 1 = 2410 + 77 = 2487 $$ Gráficamente lo podemos ver así:
La suma de las áreas de dos rectángulos de distinta base pero con la misma altura es la misma área que la de un rectángulo que tiene por base la suma de las bases de dichos rectángulos y la misma altura.
Veamos una imagen que vale más que mil palabras:
La propiedad distributiva se puede generalizar, usando la asociativa:
$$ a \cdot \left ( b + c + d \right ) = a \cdot \left ( \left [b + c \right ] + d \right ) = $$ Aplico la distributiva y tenemos
$$ = a \cdot \left ( \left [b + c \right ] + d \right ) = a \cdot \left [b + c \right ] + a \cdot d = $$ Vuelve a aplicar la distributiva en el primer termino y tenemos
$$ = a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d $$ $$ \require{bbox} \bbox[15px, border: 2px solid black]{a \cdot \left ( b + c + d \right ) = a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d} $$ Esta fórmula se puede usar con 2, 3, 4 o todos los sumandos que quieras dentro del paréntesis.
La propiedad distributiva también se puede usar con la resta:
$$ \require{bbox} \bbox[15px, border: 2px solid black]{a \cdot \left ( b - c \right ) = a \cdot b - a \cdot c } $$ Una explicación muy sencilla es la siguiente:
$$ a \cdot \left ( b - c \right ) = a \cdot \left [ b + ( - c ) \right ] = a \cdot b + a \cdot (-c) = a \cdot b - a \cdot c $$ Veamos algunos ejemplos:
1.- $ 12 \cdot 28 - 12 \cdot 18 $
Aquí $a = 12 $, $b = 28$ y $c = 18$ aplicamos la propiedad distributiva con la resta y tenemos:
$$ 12 \cdot 28 - 12 \cdot 18 = 12 \cdot ( 28 - 18 ) = 12 \cdot 10 = 120 $$ 2.- $ 25 \cdot 18 - 12 \cdot 25 $
Primero aplicamos la conmutativa al segundo producto y nos quedará $ 25 \cdot 18 - 25 \cdot 12 $ y ahora hacemos como en el apartado anterior, aquí $a = 25 $, $b = 18$ y $c = 12$ aplicamos la propiedad distributiva y tenemos:
$$ 25 \cdot 18 - 25 \cdot 12 = 25 \cdot ( 18 - 12 ) = 25 \cdot 6 = 150 $$ 3.- $35 \cdot (20 - 2)$
Si hacemos primero el paréntesis nos sale el producto $ 35 \cdot 18$ que no es sencillo, pero si aplicamos la distributiva con $a = 35$, $b = 20$ y $c = 2$ tenemos dos productos más sencillos y una resta:
$$ 35 \cdot (20 - 2) = 35 \cdot 20 - 35 \cdot 2 = 700 - 70 = 630 $$ 4.- $77 \cdot 29$
Podemos hacer lo siguiente $ 77 \cdot (30 - 1) $ y ahora aplicaríamos la distributiva con $a = 77$, $b = 30$ y $c = 1$
$$ 77 \cdot (30 - 1) = 77 \cdot 30 - 77 \cdot 1 = 2410 - 77 = 2333 $$ Gráficamente sería la resta de áreas:
Gifs modificados por la web iloveimg.com
Para terminar con la propiedad distributiva, dentro del paréntesis se pueden alternar sumas y restas:
$$ \bbox[15px, border: 2px solid black]{a \cdot \left ( b - c + d \right ) = a \cdot b - a \cdot c + a \cdot d} $$ Veamos un ejemplo:
$$ 12 \cdot \left ( 12 - 5 + 4 \right ) = 12 \cdot 12 - 12 \cdot 5 + 12 \cdot 4 = 144 - 60 + 48 = 132 $$
La propiedad distributiva nos dice
$$ a \cdot \left ( b + c \right ) = a \cdot b + a \cdot c $$ Multiplicar un número por la suma de dos número, es lo mismo que multiplicar ese número por cada uno de los sumandos y efectuar después la suma de esos dos productos.
Veamos algunos ejemplos:
1.- $ 12 \cdot 8 + 12 \cdot 42 $
Aquí $a = 12 $, $b = 8$ y $c = 42$ aplicamos la propiedad distributiva y tenemos:
$$ 12 \cdot 8 + 12 \cdot 42 = 12 \cdot ( 8 + 42 ) = 12 \cdot 50 = 600 $$ 2.- $ 23 \cdot 18 + 12 \cdot 23 $
Primero aplicamos la conmutativa al segundo producto y nos quedará $ 23 \cdot 18 + 23 \cdot 12 $ y ahora hacemos como en el apartado anterior, aquí $a = 23 $, $b = 18$ y $c = 12$ aplicamos la propiedad distributiva y tenemos:
$$ 23 \cdot 18 + 23 \cdot 12 = 23 \cdot ( 18 + 12 ) = 23 \cdot 30 = 690 $$ 3.- $55 \cdot (20 + 6)$
Si hacemos primero el paréntesis nos sale el producto $ 55 \cdot 26$ que no es sencillo, pero si aplicamos la distributiva con $a = 55$, $b=20$ y $c = 6$ tenemos dos productos más sencillos y una suma:
$$ 55 \cdot (20 + 6) = 55 \cdot 20 + 55 \cdot 6 = 1100 + 330 = 1430 $$ 4.- $77 \cdot 31$
Podemos hacer lo siguiente $ 77 \cdot (30 + 1) $ y ahora aplicaríamos la distributiva con $a = 77$, $b = 30$ y $c = 1$
$$ 77 \cdot (30 + 1) = 77 \cdot 30 + 77 \cdot 1 = 2410 + 77 = 2487 $$ Gráficamente lo podemos ver así:
La suma de las áreas de dos rectángulos de distinta base pero con la misma altura es la misma área que la de un rectángulo que tiene por base la suma de las bases de dichos rectángulos y la misma altura.
Veamos una imagen que vale más que mil palabras:
$$ a \cdot \left ( b + c + d \right ) = a \cdot \left ( \left [b + c \right ] + d \right ) = $$ Aplico la distributiva y tenemos
$$ = a \cdot \left ( \left [b + c \right ] + d \right ) = a \cdot \left [b + c \right ] + a \cdot d = $$ Vuelve a aplicar la distributiva en el primer termino y tenemos
$$ = a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d $$ $$ \require{bbox} \bbox[15px, border: 2px solid black]{a \cdot \left ( b + c + d \right ) = a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d} $$ Esta fórmula se puede usar con 2, 3, 4 o todos los sumandos que quieras dentro del paréntesis.
La propiedad distributiva también se puede usar con la resta:
$$ \require{bbox} \bbox[15px, border: 2px solid black]{a \cdot \left ( b - c \right ) = a \cdot b - a \cdot c } $$ Una explicación muy sencilla es la siguiente:
$$ a \cdot \left ( b - c \right ) = a \cdot \left [ b + ( - c ) \right ] = a \cdot b + a \cdot (-c) = a \cdot b - a \cdot c $$ Veamos algunos ejemplos:
1.- $ 12 \cdot 28 - 12 \cdot 18 $
Aquí $a = 12 $, $b = 28$ y $c = 18$ aplicamos la propiedad distributiva con la resta y tenemos:
$$ 12 \cdot 28 - 12 \cdot 18 = 12 \cdot ( 28 - 18 ) = 12 \cdot 10 = 120 $$ 2.- $ 25 \cdot 18 - 12 \cdot 25 $
Primero aplicamos la conmutativa al segundo producto y nos quedará $ 25 \cdot 18 - 25 \cdot 12 $ y ahora hacemos como en el apartado anterior, aquí $a = 25 $, $b = 18$ y $c = 12$ aplicamos la propiedad distributiva y tenemos:
$$ 25 \cdot 18 - 25 \cdot 12 = 25 \cdot ( 18 - 12 ) = 25 \cdot 6 = 150 $$ 3.- $35 \cdot (20 - 2)$
Si hacemos primero el paréntesis nos sale el producto $ 35 \cdot 18$ que no es sencillo, pero si aplicamos la distributiva con $a = 35$, $b = 20$ y $c = 2$ tenemos dos productos más sencillos y una resta:
$$ 35 \cdot (20 - 2) = 35 \cdot 20 - 35 \cdot 2 = 700 - 70 = 630 $$ 4.- $77 \cdot 29$
Podemos hacer lo siguiente $ 77 \cdot (30 - 1) $ y ahora aplicaríamos la distributiva con $a = 77$, $b = 30$ y $c = 1$
$$ 77 \cdot (30 - 1) = 77 \cdot 30 - 77 \cdot 1 = 2410 - 77 = 2333 $$ Gráficamente sería la resta de áreas:
Para terminar con la propiedad distributiva, dentro del paréntesis se pueden alternar sumas y restas:
$$ \bbox[15px, border: 2px solid black]{a \cdot \left ( b - c + d \right ) = a \cdot b - a \cdot c + a \cdot d} $$ Veamos un ejemplo:
$$ 12 \cdot \left ( 12 - 5 + 4 \right ) = 12 \cdot 12 - 12 \cdot 5 + 12 \cdot 4 = 144 - 60 + 48 = 132 $$
lunes, 30 de agosto de 2021
Logaritmos: Definición y propiedades. Ejercicios.
«Hay $4 \left ( \log_{25} 5 \right )$ clases de personas en el mundo: los que entienden los logaritmos y los que no.»
El número $e$
Si se invierte una cantidad de dinero inicial $C_i$ a un interés del 100% en $n$ periodos al año; entonces:
Si el periodo es único, es decir, $n = 1$, significa que los intereses se pagan al transcurrir el año, y el capital inicial $C_i$ se habrá multiplicado por 2, esto es $$C_f = 2 \cdot C_i$$.
Si los pagos se hacen en dos plazos ($n = 2$), es decir, dos veces al año; en el primer semestre el capital inicial se habrá incrementado un 50%, es decir, se ha multiplicado por (1,5) y en el segundo semestre se incrementará otro 50%, es decir, $C_f = C_i \cdot (1,5) \cdot (1,5)$, lo cual puede ser expresado como $$C_f = C_i \cdot (1,5)^2 = C_i \cdot (1 + 0,5)^2 = C_i (1 + 1/2)^2 = C_i (1,5)^2 = C_i \cdot 2,25$$
Si se paga en tres plazos al año $(n = 3)$, entonces el capital inicial en el primer cuatrimestre se incrementa en un 33,33% $C_i \cdot (1,3)$; en el segundo cuatrimestre el campital es $C_i \cdot (1,3) \cdot (1,3)$, y para último cuatrimestre es $$C_f = C_i \cdot (1,3) \cdot (1,3) \cdot (1,3) = C_i \cdot (1,3)^3 = C_i \cdot (1 + 0,3)^3 = C_i \cdot (1 + 1/3)^3 = 2,37 \cdot C_i$$
Si el pago se hace trimestral se deduce entonces el capital se convierte en $$C_f = C_i \cdot (1,25)^4 = C_i \cdot (1 + 1/4)^4 = 2,44 \cdot C_i$$
Y así sucesivamente: De tal forma que si los pagos son mensuales $(n = 12)$, y el capital final es $$C_f = C_i \cdot (1 + 1/12)^12 = 2,6130 \cdot C_i $$
Y a medida que $n$ va creciendo el valor de la expresión $\left (1 + \dfrac{\ 1\ }{ n } \right )^n$ se va aproximando a un valor que se puede expresar como el siguiente límite: $$ \milmt{n}{\infty}{ \left (1 + \dfrac{\ 1\ }{ n } \right )^n } $$ Como se habrán dado cuenta, al final de cada operación aparece un factor constante elevado a una potencia que se identifica con el número de periodos en que se capitaliza el capital a interés compuesto, la constante que multiplica al capital tiende a un valor que se aproxima al número irracional $e$.
Ese valor lo expresó Jacob Bernoulli como la constante que Euler llamó $e$, de manera que: $$ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \qquad e = \milmt{n}{\infty}{ \left (1 + \dfrac{\ 1\ }{ n } \right )^n } \qquad } $$ De tal forma que a través de este análisis económico se llegó: primero a la definición del número $e$ como un límite; y segundo, al gran aporte matemático a las ciencias económicas como lo es el interés compuesto.
Logaritmo: Definición y propiedades
Definición: Se define el logaritmo en base $M$ de un número real positivo $A$, al número real $a$, exponente, que hay que elevar la base $M$ para obtener el número $A$:
$$ \log_M A = a \Leftrightarrow M^a = A $$
Importante:
- La base $M$ ha de ser positiva y distinta de 1, $ M > 0 $ y $ M \neq 1$, es decir, $M \in \mathbb{R}^+ \setminus \left \{ 1 \right \} $;
- Sólo podemos calcular el logaritmo de números reales positivos, es decir, $ A \in \mathbb{R}^+, A > 0$;
- El logaritmo (exponente) $a$, no tiene restricción alguna, puede ser un número real cualquiera $a \in \mathbb{R}$.
- Si la base es positiva, nunca podremos calcular el logaritmo de un número menor o igual que cero.
Nota:
- Si no se indica la base, eso quiere decir que trabajamos en base $ 10 \Rightarrow \log 75 = \log_{10} 75$
- El logaritmo neperiano es el que está en base $e \simeq 2,718281828459 \ldots \Rightarrow \log_{e} 45 = \ln 45 $
Veamos algunos ejemplos para entender mejor la definición de logaritmo:
- $\log_2 8 = 3 \Leftrightarrow 2^3 = 8$;
- $\log_3 81 = 4 \Leftrightarrow 3^4 = 81$;
- $\log_{\frac{1}{5}} 125 = -3 \Leftrightarrow \left ( \dfrac{1}{5} \right )^{-3} = 5^3 = 125$
- $\log_7 1 = 0 \Leftrightarrow 7^0 = 1$;
- $\log_{11} \sqrt{11} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 11^{\frac{1}{2}} = \sqrt{11}$;
Propiedades:
Vamos a ver las propiedades y sus demostraciones, para ello usaremos las
propiedades de las potencias y los siguientes logaritmos:
$$ \log_M A = a \Leftrightarrow M^a = A \text{ y } \log_M B =
b \Leftrightarrow M^b = B $$
- $\log_M A + \log_M B = \log_M \left ( A \cdot B \right ) $ $$ A \cdot B = M^a \cdot M^b = M^{a + b} \Leftrightarrow \log_M \left ( A \cdot B \right ) = a + b = \log_M A + \log_M B $$
- $\log_M A - \log_M B = \log_M \left ( A / B \right ) $ $$ A / B = M^a / M^b = M^{a - b} \Leftrightarrow \log_M \left ( A / B \right ) = a - b = \log_M A - \log_M B $$
- $\log_M A^p = p \cdot \log_M A \quad \forall p \in \mathbb{R}$ $$ A^p = (M^a)^p = M ^{a \cdot p } \Leftrightarrow \log_M \left ( A \right ) ^p = p \cdot a = p \cdot \log_M A $$
- $\log_M 1 = 0 \Leftrightarrow M^0 = 1 $
- $\log_M M = 1 \Leftrightarrow M^1 = M $
-
Si \(P = Q \Leftrightarrow \log_M P = \log_M Q\).
¡¡¡Cuidado, los logaritmos no se simplifican!!!
Esta propiedad es consecuencia de la biyectividad de la función logarítmica. - De la propia definición de logaritmo podemos ver que: $$ M^{\log_M C} = C $$ Si no lo ves con la definición, se pueden tomar logaritmos en base $M$ tendremos: $$ M^{\log_M C} = C \Leftrightarrow \log_M M^{\log_M C} = \log_M C \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow \log_M C \cdot \log_M M = \log_M C \Leftrightarrow \log_M C \cdot 1 = \log_M C \Leftrightarrow \log_M C = \log_M C $$
- $ \log_M M^r = r $ $$ \log_M M^r = r \Leftrightarrow r \cdot \log_M M = r \Leftrightarrow r \cdot 1 = r \Leftrightarrow r = r $$
-
Cambio de base:
Podemos poner el número real positivo $Z$ como potencias de dos números diferentes. Tenemos que: $$Z = M^x \Leftrightarrow \log_{M} Z = x ; \text{ y por otro lado } Z = N^y \Leftrightarrow \log_{N} Z = y $$ $$ M^x = Z = N^y $$ Vamos a demostrar la fórmula del cambio de base de dos formas:
$1^{\underline{a}}$ Tomando logaritmos en base $N$ en $Z = M^x$ luego $$ \log_{N} Z = \log_{N} M^x $$ $$ \log_{N} Z = x \cdot \log_{N} M \text{ pero } x = \log_{M}Z $$ Así $ \log_{N} Z = \log_{M} Z \cdot \log_{N} M $ y depejando $\log_{M} Z $ obtenemos la fórmula del cambio de base: $$ \log_{M} Z = \dfrac{ \ \ \log_{N} Z \ \ }{ \log_{N} M } $$
$2^{\underline{a}}$ Tomando logaritmos en base $M$ en $Z = N^y$ luego $$ \log_{M} Z = \log_{M} N^y $$ $$ \log_{M} Z = y \cdot \log_{M} N \text{ pero } y = \log_{N} Z $$ Así $ \log_{M} Z = \log_{N} Z \cdot \log_{M} N $ y depejando $\log_{N} Z $ obtenemos la fórmula del cambio de base: $$ \log_{N} Z = \dfrac{ \ \ \log_{M} Z \ \ }{ \log_{M} N } $$
- \( \log_a x > 0 \Longleftrightarrow x > 1, a > 1 \text{ o } x \in (0, 1), a \in (0, 1) \)
\[ \log_2 8 = 3 \qquad \text{ o } \qquad \log_{\frac{1}{2}} \left ( \mfrac{1}{16} \right ) = 4 \] - \( \log_a x < 0 \Longleftrightarrow x > 1, a \in (0, 1) \text{ o } x \in (0, 1), a > 1 \)
\[ \log_{\frac{1}{2}} 8 = -3 \qquad \text{ o } \qquad \log_{2} \left ( \mfrac{1}{16} \right ) = -4 \]
Calcula aplicando la definición, «sólo la definición», el valor de los siguientes logaritmos, para ver la solución de los ejercicios pasa el cursor por encima del ejercicio:
Recordemos que $\log = \log_{10}$ y que $\ln = \log_{e}$
- $ \log_{3} 27 $
- $\log_{2} 128$
- $\log _{\frac{1}{2}} 64$
- $\log_{\sqrt{2}} 32$
- $\log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{9}$
- $ \log_{2 \sqrt{2}} 0,25$
- $\log_{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{2 \sqrt{8}}$
- $\log_{0,5} \sqrt[3]{16}$
- $\ln \sqrt[5]{ e^2 } $
- $\ln \dfrac{e^{2}}{ \sqrt{e} } $
- $\log 0,0001 $
- $ \log 0 $
- $ \log (-10)^{6} $
- $ \log \left(-10^{6}\right) $
- $ \log_{5} 5 \sqrt{5}$
- $ \log \sqrt{0,01} $
- $ \log_{6} \sqrt[5]{216^{-1}} $
- $ \log _{\sqrt{\frac{1}{5}}} 0,04 $
- $ \log _{4} \dfrac{1}{\sqrt[3]{1024}} $
- $ \log_{128} \sqrt[3]{2} $
- $ \log_{\frac{1}{9}} \frac{\sqrt[4]{3}}{9} $
- $ \log_{3} \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{27}} $
- $ \log_{2}(-16) $
- $ \ln \frac{1}{e^{3}} $
- $ \log_{-3} 81 $
- $ \log_{5} \frac{5^{-2}}{\sqrt[3]{25}} $
- $ \log_{\frac{1}{3}} \dfrac{9}{\sqrt[4]{3}} $
- $ \log_{\sqrt{2}} \dfrac{1-\sqrt{4^{-1}}}{\sqrt[3]{2}} $
- $\log _{\frac{1}{\sqrt{2}}} \dfrac{(0,5)^{2}}{\sqrt[3]{128}} $
- $ \log_{\sqrt{3}} \dfrac{\ \dfrac{1}{\ 3\ }\ }{\sqrt{27}} $
Calcula aplicando la definición y las propiedades el valor de las siguientes expresiones:
$\require{cancel}$
$$ \log_{2} \sqrt[6]{0,5} - \log_{49} \dfrac{1}{7} - \log_{216} 6 - \log_{4} \sqrt{2 \sqrt{2}} = $$
Tenemos que tener en cuenta que $2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ , luego $\sqrt{2\sqrt{2}} = \sqrt{\sqrt{8}} = \sqrt[4]{8}$ y como $8 = 4^{\frac{3}{2}}$ nos quedará que $\sqrt[4]{8} = 8^{\frac{1}{4}} = 4^{\frac{3}{8}}$ $$ = \log_{2} 2^{\frac{-1}{6}} - \log_{49} 49^{\frac{-1}{2}} - \log_{216} 216^{\frac{1}{3}} - \log_{4} 4^{\frac{3}{8}} = $$
$$ = \dfrac{\ -1\ }{6} + \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{\ -1\ }{6} + \dfrac{\ 3\ }{6} - \dfrac{2}{6} - \dfrac{3}{8} = \cancel{ \dfrac{\ -1\ }{6} + \dfrac{\ 3\ }{6} - \dfrac{2}{6} } - \dfrac{3}{8} = - \dfrac{3}{8} $$
$$ 3 \cdot \log _{4} \sqrt{128} + 2 \cdot \log _{8} 0,25 - 8 \cdot \log_{9} \frac{1}{\sqrt[4]{3}} = $$
$$ = 3 \cdot \log_{4} 2^{\frac{7}{2} } + 2 \cdot \log_{8} 4^{-1} - 8 \cdot \log_{9} 3^{ \frac{-1}{4} } = $$
$$ = 3 \cdot \dfrac{7}{2} \cdot \log_{4} 2 - 2 \cdot \log_{8} 4 + 8 \cdot \dfrac{\ 1\ }{4} \cdot \log_{9} 3 = $$
$$ = \dfrac{\ 21\ }{2} \cdot \log_{4} 2 - 2 \cdot \log_{8} 4 + 2 \cdot \log_{9} 3 = $$
$$ = \dfrac{\ 21\ }{2} \cdot \log_{4} 4^{ \frac{1}{2} } - 2 \cdot \log_{8} 8^{\frac{2}{3} } + 2 \cdot \log_{9} 9^{\frac{1}{2}} = $$
$$ = \dfrac{\ 21\ }{2} \cdot \dfrac{1}{2} - 2 \cdot \dfrac{2}{3} + 2 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\ 21\ }{4} - \dfrac{4}{3} + 1 = \dfrac{\ 21\ }{4} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{\ 63\ }{12} - \dfrac{4}{12} = \dfrac{59}{12} $$
$$ \dfrac{1}{4} \cdot \log_{3} \sqrt[3]{81} - \dfrac{1}{5} \cdot \log _{0,5} 32 + 12 \cdot \log _{25} \dfrac{1}{\sqrt[3]{5}} = $$
$$ = \dfrac{1}{4} \cdot \log_{3} 3^{\frac{4}{3}} - \dfrac{1}{5} \cdot \log_{0,5} (2^{-1})^{-5} + 12 \cdot \log_{25} 25^{\frac{-1}{6}} = $$
$$ = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{5} \cdot (-5) + 12 \cdot \dfrac{-1}{6} = \dfrac{1}{3} + 1 - 2 = \dfrac{1}{3} - 1 = \dfrac{-2}{3} $$
Veamos un ejemplo resuelto:
$ \log_{25} \frac{1}{\sqrt[5]{5}} - \log_{3} \sqrt{243} + \log_{16} \dfrac{\ 1\ }{4} = $
$ = \log_{25} 5^{ \frac{-1}{\ 5 \ } } - \log_{3} 3^{ \frac{5}{2} } + \log_{16} \sqrt{ \frac{1}{\ 16 \ } } = $
$ = \log_{25} 25^{ \frac{-1}{\ 10 \ } } - \log_{3} 3^{ \frac{5}{2} } + \log_{16} 16^{\frac{-1}{\ 2 \ } } = $
$ = \dfrac{-1}{\ 10 \ } - \dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{\ 2 \ } = \dfrac{-1}{\ 10 \ } - 3 = \dfrac{-1}{\ 10 \ } - \dfrac{30}{\ 10 \ } = \dfrac{-31}{\ 10 \ } $
$ = \log_{25} 5^{ \frac{-1}{\ 5 \ } } - \log_{3} 3^{ \frac{5}{2} } + \log_{16} \sqrt{ \frac{1}{\ 16 \ } } = $
$ = \log_{25} 25^{ \frac{-1}{\ 10 \ } } - \log_{3} 3^{ \frac{5}{2} } + \log_{16} 16^{\frac{-1}{\ 2 \ } } = $
$ = \dfrac{-1}{\ 10 \ } - \dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{\ 2 \ } = \dfrac{-1}{\ 10 \ } - 3 = \dfrac{-1}{\ 10 \ } - \dfrac{30}{\ 10 \ } = \dfrac{-31}{\ 10 \ } $
$\require{cancel}$
$$ \log_{2} \sqrt[6]{0,5} - \log_{49} \dfrac{1}{7} - \log_{216} 6 - \log_{4} \sqrt{2 \sqrt{2}} = $$
Tenemos que tener en cuenta que $2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ , luego $\sqrt{2\sqrt{2}} = \sqrt{\sqrt{8}} = \sqrt[4]{8}$ y como $8 = 4^{\frac{3}{2}}$ nos quedará que $\sqrt[4]{8} = 8^{\frac{1}{4}} = 4^{\frac{3}{8}}$ $$ = \log_{2} 2^{\frac{-1}{6}} - \log_{49} 49^{\frac{-1}{2}} - \log_{216} 216^{\frac{1}{3}} - \log_{4} 4^{\frac{3}{8}} = $$
$$ = \dfrac{\ -1\ }{6} + \dfrac{\ 1\ }{2} - \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{\ -1\ }{6} + \dfrac{\ 3\ }{6} - \dfrac{2}{6} - \dfrac{3}{8} = \cancel{ \dfrac{\ -1\ }{6} + \dfrac{\ 3\ }{6} - \dfrac{2}{6} } - \dfrac{3}{8} = - \dfrac{3}{8} $$
$$ 3 \cdot \log _{4} \sqrt{128} + 2 \cdot \log _{8} 0,25 - 8 \cdot \log_{9} \frac{1}{\sqrt[4]{3}} = $$
$$ = 3 \cdot \log_{4} 2^{\frac{7}{2} } + 2 \cdot \log_{8} 4^{-1} - 8 \cdot \log_{9} 3^{ \frac{-1}{4} } = $$
$$ = 3 \cdot \dfrac{7}{2} \cdot \log_{4} 2 - 2 \cdot \log_{8} 4 + 8 \cdot \dfrac{\ 1\ }{4} \cdot \log_{9} 3 = $$
$$ = \dfrac{\ 21\ }{2} \cdot \log_{4} 2 - 2 \cdot \log_{8} 4 + 2 \cdot \log_{9} 3 = $$
$$ = \dfrac{\ 21\ }{2} \cdot \log_{4} 4^{ \frac{1}{2} } - 2 \cdot \log_{8} 8^{\frac{2}{3} } + 2 \cdot \log_{9} 9^{\frac{1}{2}} = $$
$$ = \dfrac{\ 21\ }{2} \cdot \dfrac{1}{2} - 2 \cdot \dfrac{2}{3} + 2 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\ 21\ }{4} - \dfrac{4}{3} + 1 = \dfrac{\ 21\ }{4} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{\ 63\ }{12} - \dfrac{4}{12} = \dfrac{59}{12} $$
$$ \dfrac{1}{4} \cdot \log_{3} \sqrt[3]{81} - \dfrac{1}{5} \cdot \log _{0,5} 32 + 12 \cdot \log _{25} \dfrac{1}{\sqrt[3]{5}} = $$
$$ = \dfrac{1}{4} \cdot \log_{3} 3^{\frac{4}{3}} - \dfrac{1}{5} \cdot \log_{0,5} (2^{-1})^{-5} + 12 \cdot \log_{25} 25^{\frac{-1}{6}} = $$
$$ = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{5} \cdot (-5) + 12 \cdot \dfrac{-1}{6} = \dfrac{1}{3} + 1 - 2 = \dfrac{1}{3} - 1 = \dfrac{-2}{3} $$
Toma logaritmos en las siguientes expresiones y desarrolla aplicando las propiedades:
Tomamos logaritmos en ambas partes de la igualdad:
$$ s = \sqrt{x^{3} \cdot y^{5} \cdot z^{2}} \Rightarrow \log s = \log \sqrt{x^{3} \cdot y^{5} \cdot z^{2}} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log s = \log \left (x^{3} \cdot y^{5} \cdot z^{2} \right)^{\dfrac{1}{2} } \Rightarrow \log s = \dfrac{1}{2} \cdot \log x^{3} \cdot y^{5} \cdot z^{2} \Rightarrow \log s = \dfrac{1}{2} \cdot [ \log x^{3} + \log y^{5} \log z^{2} ] \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log s = \log \left (x^{3} \cdot y^{5} \cdot z^{2} \right)^{\dfrac{1}{2} } \Rightarrow \log s = \dfrac{1}{2} \cdot \log x^{3} \cdot y^{5} \cdot z^{2} \Rightarrow \log s = \dfrac{1}{2} \cdot \left [ \log x^{3} + \log y^{5} \log z^{2} \right ] \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log s = \dfrac{1}{2} \cdot \left [ 3\log x + 5\log y + 2\log z \right ] \Rightarrow \log s = \dfrac{3}{2} \log x + \dfrac{5}{2}\log y + \log z $$
Tomamos logaritmos:
$$ \log D = \log \dfrac{A^{4}}{B^{5} \cdot \sqrt{C}} \Rightarrow \log D = \log A^{4} -\log B^{5} \cdot \sqrt{C} \Rightarrow \log D = 4\log A - \left ( \log B^{5} + \ln \sqrt{C} \right ) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log D = 4\log A - \left ( 5\log B + \dfrac{\ 1\ }{2} \ln C \right ) \Rightarrow \log D = 4\log A - 5\log B - \dfrac{\ 1\ }{2} \ln C $$
Tomamos logaritmos:
$$ \ln E = \ln \sqrt{\dfrac{A}{B \cdot \sqrt[3]{C}}} \Rightarrow \ln E = \ln \left ( \dfrac{A}{B \cdot \sqrt[3]{C}} \right )^{\frac{1}{2}} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \ln E = \dfrac{1}{2} \left [ \ln A - \ln B \cdot \sqrt[3]{C} \right ] \Rightarrow \ln E = \dfrac{1}{2} \left [ \ln A - \left ( \ln B + \ln\sqrt[3]{C} \right ) \right ] \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \ln E = \dfrac{1}{2} \cdot \ln A - \dfrac{1}{2} \left ( \ln B + \dfrac{1}{3}\ln C \right ) \Rightarrow \ln E = \dfrac{1}{2} \cdot \ln A - \dfrac{1}{2} \cdot \ln B - \dfrac{1}{6} \cdot \ln C $$
Tomamos logaritmos
$$ E^{3} = \dfrac{A^{2} \cdot B}{C \cdot \sqrt{D}} \Rightarrow \ln E^{3} = \ln \dfrac{A^{2} \cdot B}{C \cdot \sqrt{D}} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 3 \ln E = \ln (A^{2} \cdot B) - \ln (C \cdot \sqrt{D} ) \Rightarrow 3\ln E = \ln A^{2} + \ln B - \left (\ln C + \ln \sqrt{D} \right ) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 3 \ln E = 2\ln A + \ln B - \left (\ln C + \dfrac{1}{2} \ln D \right ) \Rightarrow 3 \ln E = 2\ln A + \ln B - \ln C - \dfrac{1}{2} \ln D \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \ln E = \dfrac{\ 1\ }{3} \left ( 2\ln A + \ln B - \ln C - \dfrac{1}{2} \ln D \right ) $$
Tomando logaritmos:
$$ E = \sqrt[3]{\dfrac{A^{2}}{B \cdot \sqrt{C} \cdot D^{2}}} \Rightarrow \log E = \log \sqrt[3]{\dfrac{A^{2}}{B \cdot \sqrt{C} \cdot D^{2}}} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log E = \log \left ( \dfrac{A^2}{B \cdot \sqrt{C} \cdot D^2 } \right)^{\frac{1}{3}} \Rightarrow \log E = \dfrac{1}{3} \cdot \log \left ( \dfrac{A^2}{B \cdot \sqrt{C} \cdot D^2 } \right ) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log E = \dfrac{1}{3} \cdot \left ( \log A^2 - \ln B \cdot \sqrt{C} \cdot D^2 \right ) \Rightarrow \log E = \dfrac{1}{3} \cdot \left [ 2\log A - \left ( \log B + \log \sqrt{C} + \log D^2 \right ) \right ] \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log E = \dfrac{1}{3} \cdot \left ( 2\log A - \log B - \log C^{\frac{1}{2}} - 2\log D \right ) \Rightarrow \log E = \dfrac{1}{3} \cdot \left ( 2\log A - \log B - \dfrac{1}{2} \log C - 2 \log D \right ) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log E = \dfrac{2}{3} \log A - \dfrac{1}{3} \log B - \dfrac{1}{6} \log C - \dfrac{2}{3} \log D $$
Veamos un ejemplo resuelto: $ t = \dfrac{x^{3} \cdot y}{z^{5}} $
Si dos expresiones son iguales sus logaritmos son iguales.
Tomamos logaritmos $ \log t = \log \left ( \dfrac{x^{3} \cdot y}{z^{5}} \right ) \Rightarrow $
$ \log t = \log \left ( x^{3} \cdot y \right ) - \log z^5 \Rightarrow $
$ \log t = \log x^{3} + \log y - \log z^5 \Rightarrow $
$ \log t = 3 \cdot \log x + \log y - 5 \cdot \log z $
Si dos expresiones son iguales sus logaritmos son iguales.
Tomamos logaritmos $ \log t = \log \left ( \dfrac{x^{3} \cdot y}{z^{5}} \right ) \Rightarrow $
$ \log t = \log \left ( x^{3} \cdot y \right ) - \log z^5 \Rightarrow $
$ \log t = \log x^{3} + \log y - \log z^5 \Rightarrow $
$ \log t = 3 \cdot \log x + \log y - 5 \cdot \log z $
Tomamos logaritmos en ambas partes de la igualdad:
$$ s = \sqrt{x^{3} \cdot y^{5} \cdot z^{2}} \Rightarrow \log s = \log \sqrt{x^{3} \cdot y^{5} \cdot z^{2}} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log s = \log \left (x^{3} \cdot y^{5} \cdot z^{2} \right)^{\dfrac{1}{2} } \Rightarrow \log s = \dfrac{1}{2} \cdot \log x^{3} \cdot y^{5} \cdot z^{2} \Rightarrow \log s = \dfrac{1}{2} \cdot [ \log x^{3} + \log y^{5} \log z^{2} ] \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log s = \log \left (x^{3} \cdot y^{5} \cdot z^{2} \right)^{\dfrac{1}{2} } \Rightarrow \log s = \dfrac{1}{2} \cdot \log x^{3} \cdot y^{5} \cdot z^{2} \Rightarrow \log s = \dfrac{1}{2} \cdot \left [ \log x^{3} + \log y^{5} \log z^{2} \right ] \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log s = \dfrac{1}{2} \cdot \left [ 3\log x + 5\log y + 2\log z \right ] \Rightarrow \log s = \dfrac{3}{2} \log x + \dfrac{5}{2}\log y + \log z $$
Tomamos logaritmos:
$$ \log D = \log \dfrac{A^{4}}{B^{5} \cdot \sqrt{C}} \Rightarrow \log D = \log A^{4} -\log B^{5} \cdot \sqrt{C} \Rightarrow \log D = 4\log A - \left ( \log B^{5} + \ln \sqrt{C} \right ) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log D = 4\log A - \left ( 5\log B + \dfrac{\ 1\ }{2} \ln C \right ) \Rightarrow \log D = 4\log A - 5\log B - \dfrac{\ 1\ }{2} \ln C $$
Tomamos logaritmos:
$$ \ln E = \ln \sqrt{\dfrac{A}{B \cdot \sqrt[3]{C}}} \Rightarrow \ln E = \ln \left ( \dfrac{A}{B \cdot \sqrt[3]{C}} \right )^{\frac{1}{2}} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \ln E = \dfrac{1}{2} \left [ \ln A - \ln B \cdot \sqrt[3]{C} \right ] \Rightarrow \ln E = \dfrac{1}{2} \left [ \ln A - \left ( \ln B + \ln\sqrt[3]{C} \right ) \right ] \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \ln E = \dfrac{1}{2} \cdot \ln A - \dfrac{1}{2} \left ( \ln B + \dfrac{1}{3}\ln C \right ) \Rightarrow \ln E = \dfrac{1}{2} \cdot \ln A - \dfrac{1}{2} \cdot \ln B - \dfrac{1}{6} \cdot \ln C $$
Tomamos logaritmos
$$ E^{3} = \dfrac{A^{2} \cdot B}{C \cdot \sqrt{D}} \Rightarrow \ln E^{3} = \ln \dfrac{A^{2} \cdot B}{C \cdot \sqrt{D}} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 3 \ln E = \ln (A^{2} \cdot B) - \ln (C \cdot \sqrt{D} ) \Rightarrow 3\ln E = \ln A^{2} + \ln B - \left (\ln C + \ln \sqrt{D} \right ) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 3 \ln E = 2\ln A + \ln B - \left (\ln C + \dfrac{1}{2} \ln D \right ) \Rightarrow 3 \ln E = 2\ln A + \ln B - \ln C - \dfrac{1}{2} \ln D \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \ln E = \dfrac{\ 1\ }{3} \left ( 2\ln A + \ln B - \ln C - \dfrac{1}{2} \ln D \right ) $$
Tomando logaritmos:
$$ E = \sqrt[3]{\dfrac{A^{2}}{B \cdot \sqrt{C} \cdot D^{2}}} \Rightarrow \log E = \log \sqrt[3]{\dfrac{A^{2}}{B \cdot \sqrt{C} \cdot D^{2}}} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log E = \log \left ( \dfrac{A^2}{B \cdot \sqrt{C} \cdot D^2 } \right)^{\frac{1}{3}} \Rightarrow \log E = \dfrac{1}{3} \cdot \log \left ( \dfrac{A^2}{B \cdot \sqrt{C} \cdot D^2 } \right ) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log E = \dfrac{1}{3} \cdot \left ( \log A^2 - \ln B \cdot \sqrt{C} \cdot D^2 \right ) \Rightarrow \log E = \dfrac{1}{3} \cdot \left [ 2\log A - \left ( \log B + \log \sqrt{C} + \log D^2 \right ) \right ] \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log E = \dfrac{1}{3} \cdot \left ( 2\log A - \log B - \log C^{\frac{1}{2}} - 2\log D \right ) \Rightarrow \log E = \dfrac{1}{3} \cdot \left ( 2\log A - \log B - \dfrac{1}{2} \log C - 2 \log D \right ) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log E = \dfrac{2}{3} \log A - \dfrac{1}{3} \log B - \dfrac{1}{6} \log C - \dfrac{2}{3} \log D $$
Usando las propiedades de los logaritmos, calcula el valor de $A$ en las siguientes expresiones:
Vamos a despejar $\log A$:
$$ \dfrac{1}{3} \log A = \dfrac{2}{3} \log B - \log C + 3 \cdot \log D \Rightarrow \log A = 2 \log B - 3\log C + 9 \cdot \log D \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log A = \log B^2 - \log C^3 + \log D^9 \Rightarrow \log A = \log \dfrac{\ B\ }{ C^3 } + \log D^9 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log A = \log \dfrac{\ B \cdot D^9\ }{ C^3 } \Rightarrow A = \dfrac{\ B \cdot D^9\ }{ C^3 } $$
Despejamos $\log A$:
$$ 2 - \log D = 2 \cdot \log A - 3 \cdot \log B - 4 \cdot \log C \Rightarrow 2 \cdot \log A = 2 - \log D + 3 \cdot \log B + 4 \cdot \log C \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log A = 1 - \dfrac{1}{2} \log D + \dfrac{3}{2} \cdot \log B + 2 \cdot \log C \Rightarrow \log A = \log 10 - \log \sqrt{\ D\ } + \log \sqrt{\ B^3\ } + \log C^2 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log A = \log \dfrac{\ 10\ }{\ \sqrt{\ D\ }\ } + \log \sqrt{\ B^3\ } \cdot C^2 \Rightarrow \log A = \log \dfrac{\ 10 \cdot \sqrt{\ B^3\ } \cdot C^2\ }{ \sqrt{\ D\ } } \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow A = \dfrac{\ 10 \cdot \sqrt{\ B^3\ } \cdot C^2\ }{ \sqrt{\ D\ } } $$
En construcción
$$ \log A = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} \log B + \log C - \dfrac{2}{3} \log D \Rightarrow \log A = \dfrac{1}{2} \log 10 - \dfrac{1}{3} \log B + \log C - \dfrac{2}{3} \log D \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log A = \log \sqrt{\ 10\ } - \log \sqrt[3]{\ B\ } + \log C - \log \sqrt[3]{\ D^2\ } \Rightarrow \log A = \log \dfrac{ \sqrt{\ 10\ } }{ \sqrt[3]{\ B\ } } + \log \dfrac{ C }{\ \sqrt[3]{\ D^2\ }\ } \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log A = \log \dfrac{ \sqrt{\ 10\ } \cdot C }{ \sqrt[3]{\ B\ } \cdot \sqrt[3]{\ D^2\ } } \Rightarrow \log A = \log \dfrac{ \sqrt{\ 10\ } \cdot C }{\ \sqrt[3]{\ B \cdot D^2\ }\ } \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow A = \dfrac{ \sqrt{\ 10\ } \cdot C }{\ \sqrt[3]{\ B \cdot D^2\ }\ } $$
Veamos un ejemplo resuelto: $ \dfrac{1}{2} \log C = 3 \cdot \log A - \log 2 + 2 \cdot \log B $
$ 3 \cdot \log A = \dfrac{1}{2} \log C + \log 2 - 2 \cdot \log B \Rightarrow $
$ \log A^3 = \log \sqrt{C} + \log 2 - \log B^2 \Rightarrow $
$ \log A^3 = \log \left ( \dfrac{2 \cdot \sqrt{C}}{ B^2 } \right ) \Leftrightarrow A^3 = \dfrac{2 \cdot \sqrt{C}}{ B^2 } \Leftrightarrow A = \sqrt[3]{ \dfrac{2 \cdot \sqrt{C}}{ B^2 } } $
$ 3 \cdot \log A = \dfrac{1}{2} \log C + \log 2 - 2 \cdot \log B \Rightarrow $
$ \log A^3 = \log \sqrt{C} + \log 2 - \log B^2 \Rightarrow $
$ \log A^3 = \log \left ( \dfrac{2 \cdot \sqrt{C}}{ B^2 } \right ) \Leftrightarrow A^3 = \dfrac{2 \cdot \sqrt{C}}{ B^2 } \Leftrightarrow A = \sqrt[3]{ \dfrac{2 \cdot \sqrt{C}}{ B^2 } } $
Vamos a despejar $\log A$:
$$ \dfrac{1}{3} \log A = \dfrac{2}{3} \log B - \log C + 3 \cdot \log D \Rightarrow \log A = 2 \log B - 3\log C + 9 \cdot \log D \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log A = \log B^2 - \log C^3 + \log D^9 \Rightarrow \log A = \log \dfrac{\ B\ }{ C^3 } + \log D^9 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log A = \log \dfrac{\ B \cdot D^9\ }{ C^3 } \Rightarrow A = \dfrac{\ B \cdot D^9\ }{ C^3 } $$
Despejamos $\log A$:
$$ 2 - \log D = 2 \cdot \log A - 3 \cdot \log B - 4 \cdot \log C \Rightarrow 2 \cdot \log A = 2 - \log D + 3 \cdot \log B + 4 \cdot \log C \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log A = 1 - \dfrac{1}{2} \log D + \dfrac{3}{2} \cdot \log B + 2 \cdot \log C \Rightarrow \log A = \log 10 - \log \sqrt{\ D\ } + \log \sqrt{\ B^3\ } + \log C^2 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log A = \log \dfrac{\ 10\ }{\ \sqrt{\ D\ }\ } + \log \sqrt{\ B^3\ } \cdot C^2 \Rightarrow \log A = \log \dfrac{\ 10 \cdot \sqrt{\ B^3\ } \cdot C^2\ }{ \sqrt{\ D\ } } \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow A = \dfrac{\ 10 \cdot \sqrt{\ B^3\ } \cdot C^2\ }{ \sqrt{\ D\ } } $$
En construcción
$$ \log A = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} \log B + \log C - \dfrac{2}{3} \log D \Rightarrow \log A = \dfrac{1}{2} \log 10 - \dfrac{1}{3} \log B + \log C - \dfrac{2}{3} \log D \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log A = \log \sqrt{\ 10\ } - \log \sqrt[3]{\ B\ } + \log C - \log \sqrt[3]{\ D^2\ } \Rightarrow \log A = \log \dfrac{ \sqrt{\ 10\ } }{ \sqrt[3]{\ B\ } } + \log \dfrac{ C }{\ \sqrt[3]{\ D^2\ }\ } \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \log A = \log \dfrac{ \sqrt{\ 10\ } \cdot C }{ \sqrt[3]{\ B\ } \cdot \sqrt[3]{\ D^2\ } } \Rightarrow \log A = \log \dfrac{ \sqrt{\ 10\ } \cdot C }{\ \sqrt[3]{\ B \cdot D^2\ }\ } \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow A = \dfrac{ \sqrt{\ 10\ } \cdot C }{\ \sqrt[3]{\ B \cdot D^2\ }\ } $$
Expresa los siguientes logaritmos en función de $\log 2$ y $\log 3$ («logaritmos en base 10») aplicando las propiedades de los logaritmos, para ver la solución pasa el cursor sobre el ejercicio:
Veamos un ejemplo resuelto: $ \log 0,0125 $
$ \log 0,0125 = \log \dfrac{\ 1\ }{80} = \log 1 - \log 80 = 0 - ( \log 10 + \log 8 ) = - 1 - 3 \cdot \log 2 $
$ \log 0,0125 = \log \dfrac{\ 1\ }{80} = \log 1 - \log 80 = 0 - ( \log 10 + \log 8 ) = - 1 - 3 \cdot \log 2 $
Veamos un ejemplo resuelto: $ \log _{\sqrt{2}} 27 $
$ \log _{\sqrt{2}} 27 = \dfrac{ \log_2 27 }{ \log_2 \sqrt{2} } = \dfrac{ 3 \cdot \log_2 3 }{ \dfrac{\ 1 \ }{2} \cdot \log_2 2 } = $
$ = \dfrac{ 3 \cdot \log_2 3 }{ \dfrac{\ 1 \ }{2} \cdot 1 } = 2 \cdot 3 \cdot \log_2 3 = 6 \cdot \log_2 3 = 6 \cdot \dfrac{\log 3}{ \log 2} $
$ \log _{\sqrt{2}} 27 = \dfrac{ \log_2 27 }{ \log_2 \sqrt{2} } = \dfrac{ 3 \cdot \log_2 3 }{ \dfrac{\ 1 \ }{2} \cdot \log_2 2 } = $
$ = \dfrac{ 3 \cdot \log_2 3 }{ \dfrac{\ 1 \ }{2} \cdot 1 } = 2 \cdot 3 \cdot \log_2 3 = 6 \cdot \log_2 3 = 6 \cdot \dfrac{\log 3}{ \log 2} $
- $ \log 12 $
- $ \log 0,0002 $
- $ \log \sqrt[5]{6} $
- $ \log 27000 $
- $ \log \dfrac{\sqrt{32}}{6} $
- $ \log \sqrt[5]{0,48} $
- $ \log \dfrac{1}{\sqrt[4]{0,6}} $
- $ \log 3,6 $
- $ \log 360 $
- $ \log (5 \cdot \sqrt[3]{9}) $
- $ \log (0,6 \cdot \sqrt[3]{4}) $
- $ \log_{3} 32 $
- $ \log_{2} 81 $
- $ \log_{4} 0,3 $
- $ \log_{8} 3 $
- $ \log_{\sqrt{3}} 8 $
- $ \log_{0,5} \sqrt[5]{3} $
- $ \log_{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} \sqrt[3]{0,03} $
Problemas de aplicación
1.- Se deja a temperatura ambiente una muestra de café, y se observa que su temperatura en ${ }^{\circ} C$ disminuye con el tiempo de acuerdo con la siguiente función: $$ T(t) = 24 + 51 \cdot e^{-0,106 \cdot t} \qquad \text{donde} \ \ t \ \ \text{viene dado en minutos.} $$ a) ¿Cuál es la temperatura inicial del café?
b) Si la temperatura óptima para tomar el café es de $56^{\circ} C$, entre qué minutos se deberá tomar el café. (Solución: entre 4' y 5')
c) Dibujar la gráfica de dicha función.
d) ¿En qué temperatura se estabilizará el café?
1.- Se deja a temperatura ambiente una muestra de café, y se observa que su temperatura en ${ }^{\circ} C$ disminuye con el tiempo de acuerdo con la siguiente función: $$ T(t) = 24 + 51 \cdot e^{-0,106 \cdot t} \qquad \text{donde} \ \ t \ \ \text{viene dado en minutos.} $$ a) ¿Cuál es la temperatura inicial del café?
b) Si la temperatura óptima para tomar el café es de $56^{\circ} C$, entre qué minutos se deberá tomar el café. (Solución: entre 4' y 5')
c) Dibujar la gráfica de dicha función.
d) ¿En qué temperatura se estabilizará el café?
2.- a) Demostrar que la función que permite calcular en cuánto se convierte un capital $C_0$ acumulado al cabo de $t$ años con un interés $i$ es:
$$ C(t) = C_0 \cdot \left ( 1 + \dfrac{\ \ i \ \ }{100} \right )^{t}, \text { en €} $$
donde: $C_0$ es el capital inicial, en € e $i$ es el interés anual, en %.
b) ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 6 años si colocamos a plazo fijo 20.000 € al 2%?
c) ¿Cuántos años debemos mantener 100.000 € en una entidad bancaria a una tasa del 2,5% si queremos duplicar el capital? ¿Es relevante el dato del capital inicial?
d) Una persona que tiene depositada en una caja de ahorros 30.000 € a una tasa del 3% quiere llegar a tener 40.000 € ¿Cuánto tiempo deberá mantener intacto el capital?
b) ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 6 años si colocamos a plazo fijo 20.000 € al 2%?
c) ¿Cuántos años debemos mantener 100.000 € en una entidad bancaria a una tasa del 2,5% si queremos duplicar el capital? ¿Es relevante el dato del capital inicial?
d) Una persona que tiene depositada en una caja de ahorros 30.000 € a una tasa del 3% quiere llegar a tener 40.000 € ¿Cuánto tiempo deberá mantener intacto el capital?
Aplicando las propiedades del logaritmo tenemos:
$$ \dfrac{ \log \dfrac{1}{a} + \log \sqrt{a} }{ \log a^3} = - \dfrac{1}{6} \Rightarrow \dfrac{ - \log a + \dfrac{1}{2} \log a }{ 3 \log a} = - \dfrac{1}{6} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \dfrac{ - \dfrac{1}{2} \log a }{ 3 \log a} = - \dfrac{1}{6} \Rightarrow \dfrac{ - \dfrac{1}{2} \cancel{ \log a } }{ 3 \cancel{ \log a } } = - \dfrac{1}{6} \Rightarrow \dfrac{ - \dfrac{1}{2} }{ 3 } = - \dfrac{1}{6} \checkmark $$ ¿Pero cuándo hemos usado que $a \neq 1$?
$a \neq 1$ para evitar que el denominador de la fracción sea cero.
Tomamos logaritmos en base 10:
$$ a^{\log b} = b^{\log a} \Rightarrow \log a^{\log b} = \log b^{\log a} \Rightarrow \log b \cdot \log a = \log a \cdot \log b $$ Luego $a, b \in (0, +\infty) $.
Veamos una ecuación «logarítmica» en la que aplicaremos la definición de logaritmo:
Aplicamos la definición de logaritmo:
$$ 9^{x - 1} = 3^x + 648 \Rightarrow \dfrac{9^x}{9} = 3^x + 648 \Rightarrow 9^x - 9 \cdot 3^x - 5832 = 0 \Rightarrow (3^x)^2 - 9\cdot 3^x - 5832 = 0 $$ Tenemos una ecuación de $\odn{2}{\circ}$ grado en $3^x$, haciendo el cambio $3^x = t$ tenemos: $$ t^2 - 9t - 5832 = 0 $$ Aplicamos la fórmula para resolver la ecuación de $\odn{2}{\circ}$ grado en $t$: $$ t = \dfrac{\ 9 \pm \sqrt{\ (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5832)\ }\ }{ 2 \cdot 1} = \dfrac{\ 9 \pm \sqrt{\ 81 + 23328\ }\ }{ 2 } = \dfrac{\ 9 \pm \sqrt{\ 23409\ }\ }{ 2 } = \dfrac{\ 9 \pm 153\ }{ 2 } = $$ $$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 162 }{ 2 } = 31 \Rightarrow t_1 = 31 \Rightarrow 3^x = 81 \rightarrow x = 4 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -144 }{ 2 } = -72 \Rightarrow t_2 = -72 \Rightarrow 3^x = -72 \text{ que es imposible }\end{array} $$ Luego la solución es $x = 4$, vamos a comprobarlo:
$$ \log_{9} \left ( 3^x + 648 \right ) = x - 1 \Rightarrow \log_{9} \left ( 3^4 + 648 \right ) = 4 - 1 \Rightarrow \log_{9} \left ( 81 + 648 \right ) = 3 \Rightarrow \log_{9} \left ( 729 \right ) = 3 \Rightarrow 9^3 = 729 \checkmark $$
Sabiendo que $ N^b = 16$ y que $ N = 2^{0,15}$, juntado ambas expresiones tenemos que:
$\left ( 2^{0,15} \right )^b = 16 \Rightarrow 2^{0,15b} = 2^4 \Rightarrow 0,15b = 4 \Rightarrow \dfrac{\ 4\ }{\ \dfrac{\ 15\ }{\ 100\ } } = \dfrac{\ 400\ }{ 15 } = \dfrac{\ 80\ }{3} $
Vamos a comprobarlo:
$ N^b = \left ( 2^{0,15} \right )^{\dfrac{\ 80\ }{3} } = 2^{ \dfrac{\ 12\ }{3} } = 2^4 = 16 \checkmark $
Despejamos $a$ y $b$ tomando logaritmos en base 3:
$ \log_3 3^a = \log_3 8 \Rightarrow a = \log_3 8 $
$ \log_3 3^b = \log_3 32 \Rightarrow b = \log_3 32 $
Sustituimos en la expresión $\dfrac{\ a + b\ }{a - b} $ y tenemos:
$ \dfrac{\ a + b\ }{a - b} = \dfrac{\ \log_3 8 + \log_3 32\ }{ \log_3 8 - \log_3 32 } = \dfrac{\ \log_3 246\ }{ \log_3 \dfrac{1}{4} } = \dfrac{\ \log_3 4^4\ }{ - \log_3 4 } = \dfrac{\ 4 \cdot \log_3 4\ }{ - \log_3 4 } = - 4 $
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com
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