Identidades trigonométricas I - Ejercicios con soluciones

Para resolver identidades trigonométricas utilizaremos bastantes cosas. Identidades notables, amplificar y simplificar fracciones, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones. La Relación Fundamental de la Trigonometría (RFT) $ \fcolorbox{blue}{white}{ $ \color{blue}{ \cos^2 a + \sen^2 a = 1} $ } $ y las siguientes fórmulas: $$ \tg a = \dfrac{\ \ \sen a \ \ }{ \cos a } \qquad \cotg a = \dfrac{ \cos a }{\ \ \sen a \ \ } = \dfrac{ 1 }{ \ \ \tg a \ \ } $$ $$ \sec a = \dfrac{ 1 }{ \ \ \cos a \ \ } \qquad \cosec a = \dfrac{ 1 }{ \ \ \sen a \ \ } $$ $$ \tg a \cdot \cotg a = 1 \qquad \sec a \cdot \cos a = 1 \qquad \cosec a \cdot \sen a = 1 $$ De la Relación Fundamental de la Trigonometría se deducen dos fórmulas más:

Si dividimos la RFT por $\cos^2 a$ tendremos: $$ \cos^2 a + \sen^2 a = 1 \Rightarrow \dfrac{\ \ \cos^2 a \ \ }{ \cos^2 a } + \dfrac{\ \ \sen^2 a \ \ }{ \cos^2 a } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 a \ \ } \Rightarrow 1 + \tg^2 a = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 a \ \ } \Rightarrow 1 + \tg^2 a = sec^2 a $$ Si dividimos la RFT por $\sen^2 a$ tendremos: $$ \cos^2 a + \sen^2 a = 1 \Rightarrow \dfrac{\ \ \cos^2 a \ \ }{ \sen^2 a } + \dfrac{\ \ \sen^2 a \ \ }{ \sen^2 a } = \dfrac{ 1 }{\ \ \sen^2 a \ \ } \Rightarrow \cotg^2 a + 1 = \dfrac{ 1 }{\ \ \sen^2 a \ \ } \Rightarrow \cotg^2 a + 1 = cosec^2 a $$ Un ejercicio que podemos hacer es poner cada razón trigonométrica en función de las demás, como vemos en el ejemplo, En la primera fila vemos que podemos poner el seno de $\theta$, en función del coseno, de la tangente, de la cosecante, de la secante y de la cotangente. ¿Te animas a llenar la tabla? (Si haces click sobre la imagen la veras en tamaño original).

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda sustituyendo $\tg \alpha$ y $\cotg \alpha$ por su definición de $\sen \alpha$ y $\cos \alpha$:

$$ \tg \alpha + \dfrac{ 1 }{\ \ \tg \alpha \ \ } = \dfrac{ \sen \alpha }{\ \ \cos \alpha \ \ } + \dfrac{\ \cos \alpha }{\ \ \sen \alpha \ \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \ \sen \alpha \cdot \cos \alpha \ \ } + \dfrac{\ \cos^2 \alpha }{\ \ \cos \alpha \cdot \sen \alpha \ \ } = \dfrac{\ \ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos \alpha \cdot \sen \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos \alpha \cdot \sen \alpha \ \ } \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, sustituyendo en el numerador 1 por la Relación Fundamental de la Trigonometría:

$$ \dfrac{ 1 }{\ \ \tg^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha }{\ \ \tg^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \ \tg^2 \alpha \ \ } + \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \ \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } \ \ } = \left ( \dfrac{ \cos \alpha }{ \ \tg \alpha \ } \right )^2 + \dfrac{ \cancel{\sen^2 \alpha} }{\ \ \dfrac{ \cancel{\sen^2 \alpha} }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } \ \ } = $$
$$ = \left ( \dfrac{ \cos \alpha }{ \ \tg \alpha \ } \right )^2 + \dfrac{ 1 }{\ \ \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } \ \ } = \left ( \dfrac{ \cos \alpha }{ \ \tg \alpha \ } \right )^2 + \cos^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, sustituyendo $\tg \alpha$ por su definición de $\sen \alpha$ y $\cos \alpha$:

$$ \dfrac{ 1 }{\ \ \tg \alpha \ \ } \cdot \dfrac{ 1 }{\ \ \cos \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \dfrac{ \sen \alpha }{\ \ \cos \alpha \ \ } \ \ } \cdot \dfrac{ 1 }{\ \ \cos \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \dfrac{ \sen \alpha }{\ \ \cancel{\cos \alpha} \ \ } \ \ } \cdot \dfrac{ 1 }{\ \ \cancel{\cos \alpha} \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \sen \alpha \ \ } \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda:

$$ \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } + \dfrac{ 1 }{\ \ \sen^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha \ \ } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{\ \ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha \ \ } \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la derecha sacando factor común a $\cos^2 \alpha $:

$$ \cos^4 \alpha + \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha \cdot (\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha) = \cos^2 \alpha \text{ ✓} $$

Otra forma, esta ve empezando por la izquierda: $$ \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha \cdot 1 = \cos^2 \alpha \cdot (\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha) = \cos^4 + \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda:

$$ \dfrac{ (1 - \cos \alpha) \cdot (1 + \cos \alpha) }{\ \ (\sen \alpha \cdot \cos \alpha)^2 \ \ } = \dfrac{ 1 - \cos^2 \alpha }{\ \ (\sen \alpha \cdot \cos \alpha)^2 \ \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \ \sen^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \cancel{\sen^2 \alpha} }{\ \ \cancel{\sen^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } = \sec^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, sustituyendo $\tg \alpha$ por su definición de $\sen \alpha$ y $\cos \alpha$:

$$ \dfrac{ \ \ \sen \alpha \cdot \cos \alpha \ \ }{\ \ \tg \alpha \ \ } = \dfrac{\ \ \sen \alpha \cdot \cos \alpha \ \ }{\ \ \dfrac{ \sen \alpha }{\ \ \cos \alpha \ \ } \ \ } = \dfrac{\ \ \sen \alpha \cdot \cos^2 \alpha \ \ }{\ \ \sen \alpha \ \ } = \dfrac{\ \ \cancel{\sen \alpha} \cdot \cos^2 \alpha \ \ }{\ \ \cancel{\sen \alpha} \ \ } = \cos^2 \alpha = 1 - \sen^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, empezamos por el paréntesis:

$$ 1 + \tg^2 \alpha = 1 + \dfrac{ \ \ \sen^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \ \ \cos^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } + \dfrac{ \ \ \sen^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } = \dfrac{\ \ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } $$ Seguimos con la identidad, con la parte izquierda y nos queda: $$ (1 + \tg^2 \alpha) \cdot \cos^2 \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } \cdot \cos^2 \alpha = 1 \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, sustituyendo $\tg \alpha$ por su definición de $\sen \alpha$ y $\cos \alpha$ y aplicando la Relación Fundamental de la Trigonometría:

$$ \tg^2 \alpha \cdot (1 - \sen^2 \alpha) = \dfrac{ \ \ \sen^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } \cdot \cos^2 \alpha = \dfrac{ \ \ \sen^2 \alpha \ \ }{\ \ \cancel{\cos^2 \alpha} \ \ } \cdot \cancel{\cos^2 \alpha} = \sen^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, aplicando la RFT, es decir que $-\cos^2 \alpha + 1 = \sen^2 \alpha$:

$$ \dfrac{\ \ \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha + 1 \ \ }{ 2 } = \dfrac{\ \ \sen^2 \alpha + \sen^2 \alpha \ \ }{ 2 } = \dfrac{ \ \ 2 \cdot \sen^2 \alpha \ \ }{ 2 } = \sen^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio haciendo el producto en cruz, ya que podremos usar la identidad notable «suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados»:

$$ \dfrac{ \cotg \alpha - \cosec \alpha }{\ \tg \alpha - \sec \alpha \ } = \dfrac{\ \tg \alpha + \sec \alpha \ }{ \cotg \alpha + \cosec \alpha } \Rightarrow (\cotg \alpha - \cosec \alpha) \cdot (\cotg \alpha + \cosec \alpha) = (\tg \alpha - \sec \alpha) \cdot (\tg \alpha + \sec \alpha) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \cotg^2 \alpha - \cosec^2 \alpha = \tg^2 \alpha - \sec^2 \alpha \Rightarrow $$ Ahora sustituimos las expresiones en función de $\cos \alpha$ y $\sen \alpha$: $$ \Rightarrow \cotg^2 \alpha - \cosec^2 \alpha = \tg^2 \alpha - \sec^2 \alpha \Rightarrow \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } - \dfrac{\ 1\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha\ } - \dfrac{\ 1\ }{ \cos^2 \alpha } \Rightarrow \dfrac{\ \cos^2 \alpha - 1\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha - 1 }{\ \cos^2 \alpha\ } \Rightarrow $$ De la Relación Fundamental de la Trigonometría tenemos que $\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha - 1 = -\sen^2 \alpha$ y simétricamente tenemos que $\sen^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$, sustituimos en la expresión y nos queda: $$ \Rightarrow \dfrac{\ - \sen^2 \alpha \ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{ -\cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha\ } \Rightarrow -1 = -1 \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda sustituyendo $\sec \alpha$ y $\cosec \alpha$ por $\cos \alpha$ y $\sen \alpha$ respectivamente:

$$ 1 + \dfrac{ \sec \alpha }{\ \cosec^2 \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) \ } = 1 + \dfrac{\ \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha \ }\ }{\ \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } \cdot (1 + \cos \alpha) \ } = 1 + \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \cos \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) \ } = 1 + \dfrac{ 1 - \cos^2 \alpha }{\ \cos \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) \ } = $$ $$ = 1 + \dfrac{ (1 - \cos \alpha) \cdot (1 + \cos \alpha) }{\ \cos \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) \ } = 1 + \dfrac{ (1 - \cos \alpha) \cdot \cancel{(1 + \cos \alpha)} }{\ \cos \alpha \cdot \cancel{(1 + \cos \alpha)} \ } = 1 + \dfrac{\ \ 1 - \cos \alpha \ \ }{\ \cos \alpha \ } = $$ $$ = 1 + \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha \ } - 1 = \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha \ } = \sec \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda. Vamos a por el numerador y las identidades notables:

$$ \cos^4 \alpha - \sen^4 \alpha = (\cos^2 \alpha)^2 - (\sen^2 \alpha)^2 = (\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha) \cdot (\cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha) = $$ $$ = \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha = (\cos \alpha + \sen \alpha) \cdot (\cos \alpha - \sen \alpha) $$ Vamos a ver que nos queda: $$ \dfrac{ \cos^4 \alpha - \sen^4 \alpha }{\ \sen \alpha \cos \alpha \ } = \dfrac{ (\cos \alpha + \sen \alpha) \cdot (\cos \alpha - \sen \alpha) }{\ \cos \alpha \sen \alpha \ } = \dfrac{ \cos \alpha - \sen \alpha }{ \cos \alpha } \cdot \dfrac{\ \cos \alpha + \sen \alpha \ }{\ \sen \alpha } = (1 - \tg \alpha) \cdot (1 + \cotg \alpha) \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda. Vamos a por el numerador:

$$(1 + \cos \alpha)^2 + (1 - \cos \alpha)^2 = 1 + 2 \cos \alpha + \cos^2 \alpha + 1 - 2 \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 2 + 2\cos^2 \alpha = 2(1 + \cos^2 \alpha) $$ Ahora a por el denominador: $$ \sec^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \dfrac{1}{\ \cos^2 \alpha \ } - \cos^2 \alpha = \dfrac{1}{\ \cos^2 \alpha \ } - \dfrac{ \cos^4 \alpha}{\ \cos^2 \alpha \ } = \dfrac{ 1 - \cos^4 \alpha}{\ \cos^2 \alpha \ } = \dfrac{ (1 - \cos^2 \alpha) \cdot (1 + \cos^2 \alpha) }{\ \cos^2 \alpha \ } $$ Vamos a ver que nos queda juntándolo todo: $$ \dfrac{ (1 + \cos \alpha)^2 + (1 - \cos \alpha)^2 }{\ \sec^2 \alpha - \cos^2 \alpha\ } = \dfrac{ 2(1 + \cos^2 \alpha) }{ \dfrac{ (1 - \cos^2 \alpha) \cdot (1 + \cos^2 \alpha) }{\ \cos^2 \alpha \ } } = \dfrac{ 2 \cancel{(1 + \cos^2 \alpha)} }{ \dfrac{ \ (1 - \cos^2 \alpha) \cdot \cancel{(1 + \cos^2 \alpha)} \ }{\ \cos^2 \alpha \ } } = \dfrac{ 2 }{ \dfrac{ 1 - \cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \ } } = $$ $$ = \dfrac{ 2 \cos^2 \alpha }{\ 1 - \cos^2 \alpha \ } = \dfrac{ 2 \cos^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = 2 \cotg^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, pero antes pondremos $\tg \alpha$ y $\cotg \alpha$ en función del $\sen \alpha$ y del $\cos \alpha$. Vamos a por el denominador:

$$1 + \tg^2 \alpha = 1 + \dfrac{\ \sen^2 \alpha \ }{ \cos^2 \alpha } = \dfrac{\ \cos^2 \alpha \ }{ \cos^2 \alpha } + \dfrac{\ \sen^2 \alpha \ }{ \cos^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \ } = \dfrac{ 1 }{ \ \cos^2 \alpha \ } $$ Vamos a ver que nos queda: $$ \dfrac{ \cotg \alpha }{\ 1 + \tg^2 \alpha\ } = \dfrac{ \dfrac{\ \cos \alpha \ }{ \sen \alpha } }{\ \ \dfrac{ 1 }{ \ \cos^2 \alpha } \ \ } = \dfrac{\ \cos \alpha \ }{\ \ \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos^2 \alpha } \ \ } = \dfrac{ \cos \alpha }{\ \ \dfrac{ \tg \alpha }{ \cos \alpha } \ \ } = \dfrac{\ \cos^2 \alpha \ }{\ \tg \alpha \ } \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, pero antes pondremos $\tg \alpha$ y $\cotg \alpha$ en función del $\sen \alpha$ y del $\cos \alpha$:

$$\tg \alpha + \cotg \alpha = \dfrac{\ \sen \alpha \ }{ \cos \alpha } + \dfrac{ \cos \alpha }{\ \sen \alpha \ } = \dfrac{\ \sen^2 \alpha \ }{ \sen \alpha \cos \alpha } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \sen \alpha \cos \alpha \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{\ \sen \alpha \cos \alpha \ } = \dfrac{ 1 }{ \ \sen \alpha \cos \alpha \ } $$ Ahora elevamos al cuadrado: $$ (\tg \alpha + \cotg \alpha)^2 = \left ( \dfrac{ 1 }{ \ \sen \alpha \cos \alpha \ } \right)^2 = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha } = $$ $$ = \dfrac{ \cancel{\sen^2 \alpha} }{\ \cos^2 \alpha \cdot \cancel{\sen^2 \alpha} } + \dfrac{ \cancel{\cos^2 \alpha} }{\ \cancel{\cos^2 \alpha} \cdot \sen^2 \alpha } = \dfrac{ 1 }{\ \cos^2 \alpha } + \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } = \sec^2 \alpha + \cosec^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, empezando por el numerador:

$$\sen \alpha + \tg \alpha = \sen \alpha + \dfrac{\ \sen \alpha \ }{ \cos \alpha } = \dfrac{\ \sen \alpha \cdot \cos \alpha \ }{ \cos \alpha } + \dfrac{\ \sen \alpha \ }{ \cos \alpha } = \dfrac{ \sen \alpha \cdot \cos \alpha + \sen \alpha }{\ \cos \alpha \ } = \dfrac{\ \sen \alpha (\cos \alpha + 1)\ }{\ \cos \alpha \ } $$ Ahora el denominador: $$\cotg \alpha + \cosec \alpha = \dfrac{ \cos \alpha }{\ \sen \alpha \ } + \dfrac{1}{\ \sen \alpha \ } = \dfrac{\ 1 + \cos \alpha \ }{ \sen \alpha } $$ Juntamos todo y nos queda: $$ \dfrac{ \sen \alpha + \tg \alpha }{\ \cotg \alpha + \cosec \alpha \ } = \dfrac{ \dfrac{\ \sen \alpha (\cos \alpha + 1)\ }{\ \cos \alpha \ } }{ \dfrac{\ 1 + \cos \alpha \ }{ \sen \alpha } } = \dfrac{ \tg \alpha (\cos \alpha + 1)\ }{ \dfrac{\ 1 + \cos \alpha \ }{ \sen \alpha } } = \dfrac{ \tg \alpha \cancel{(\cos \alpha + 1)}\ }{ \dfrac{\ \cancel{1 + \cos \alpha} \ }{ \sen \alpha } } = \dfrac{\ \tg \alpha }{ \dfrac{1}{\ \sen \alpha\ } } = \sen \alpha \cdot \tg \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, empezando por el denominador:

$$1 + \cotg^2 \alpha = 1 + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } $$ Así nos queda: $$ \dfrac{ \sec^2 \alpha \ }{\ 1 + \cotg^2 \alpha \ } = \dfrac{\ \ \ \dfrac{ 1 }{\ \cos^2 \alpha\ } \ \ \ }{\ \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \ } = \tg^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, empezando por el denominador:

$$1 + \cotg^2 \alpha = 1 + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } $$ Así nos queda: $$ \dfrac{ \sen \alpha }{\ 1 + \cotg^2 \alpha \ } = \dfrac{ \sen \alpha }{\ \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } \ } = \sen^3 \alpha \text{ ✓} $$

Sacamos factor común en el denominador a $\sen \alpha$

$\dfrac{ 1 }{\ \sen^3 \alpha + \sen \alpha \cdot \cos^2 \alpha\ } = \dfrac{ 1 }{\ \sen \alpha \cdot (\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha ) \ } = \dfrac{ 1 }{\ \sen \alpha \ } = \cosec \alpha $ ✓

Sabemos por la relación fundamental de la trigonometría que $1 - \sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha$

$\dfrac{\ 1 - \sen^2 \alpha\ }{ \cos \alpha } = \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{\cos \alpha } = \cos \alpha $ ✓

Desarrollamos la parte derecha de la igualdad, sustituimos $1$ por $\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha$ y en el denominador $1 - \cos^2 \alpha$ por $ \sen^2 \alpha$ y tenemos que

$ \tg \alpha \cdot \dfrac{1}{\ 1 - \cos^2 \alpha\ } = \tg \alpha \cdot \dfrac{\ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha\ }{\sen^2 \alpha} = \tg \alpha \cdot \left ( \dfrac{1}{\ \tg^2 \alpha \ } + 1 \right ) = \dfrac{1}{\ \tg \alpha \ } + \tg \alpha $ ✓

Desarrollamos la parte izquierda de la igualdad, empezamos con el denominador

$ 1 + \cotg^2 \alpha = 1 + \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ \sen^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } + \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha \ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ 1\ }{\ \sen^2 \alpha \ } $

Sustituimos en el denominador y nos queda

$ \dfrac{\ \sen \alpha \ }{\ 1 + \cotg^2 \alpha \ } = \dfrac{\ \ \ \ \ \ \ \ \sen \alpha \ \ \ \ \ \ \ \ }{\ \dfrac{\ 1\ }{\ \sen^2 \alpha \ } \ } = \sen^3 \alpha $ ✓

Desarrollamos la parte izquierda de la igualdad, empezamos con el denominador

$ 1 + \cotg^2 \alpha = 1 + \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ \sen^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } + \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha \ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ 1\ }{\ \sen^2 \alpha \ } $

Sustituimos en el denominador y nos queda

$ \dfrac{\ \sec^2 \alpha \ }{\ 1 + \cotg^2 \alpha \ } = \dfrac{\ \ \ \ \ \ \ \ \dfrac{\ 1\ }{\ \cos^2 \alpha \ } \ \ \ \ \ \ \ \ }{\ \dfrac{\ 1\ }{\ \sen^2 \alpha \ } \ } = \dfrac{\ \sen^2 \alpha \ }{\ \cos^2 \alpha \ } = \tg^2 \alpha $ ✓

Desarrollamos la parte izquierda de la igualdad, sabemos por la relación fundamental de la trigonometría que $1 = \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha $ y la $\tg \alpha = \dfrac{\sen \alpha}{\cos \alpha} $

$ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha + \tg^2 \alpha = 1 + \dfrac{\sen^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \dfrac{\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha} $ ✓

Hacemos el producto en cruz y tenemos

$ ( 1 - \sen \alpha ) \cdot (1 + \sen \alpha) = \cos \alpha \Rightarrow 1 - \sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha \Rightarrow 1 = \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha $ ✓

Empezamos por la derecha, sustituimos $\tg \alpha = \dfrac{\sen \alpha}{\cos \alpha} $ y multiplicamos numerador y denominador por $\cos^2 \alpha$

$ \dfrac{ \dfrac{\sen \alpha}{\cos \alpha} }{ \dfrac{\sen^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - 1 } = \dfrac{ \cos^2 \alpha \cdot \dfrac{\sen \alpha}{\cos \alpha} }{ \cos^2 \alpha \cdot \left ( \dfrac{\sen^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - 1 \right ) } $

en el numerador simplificamos un $\cos \alpha$ y en el denominador aplicamos la propiedad distributiva

$ = \dfrac{ \cos \alpha \cdot \sen \alpha }{ \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha } $ ✓

Empezamos por la izquierda desarrollando ambas identidades notables

$ \sen^2 \alpha - 2 \cdot \cos \alpha \cdot \cos \alpha + \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha + 2 \cdot \cos \alpha \cdot \cos \alpha + \cos^2 \alpha = $

Se cancela el doble producto y aplicamos la relación fundamental de la trigonometría $\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = 1$

$ = \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha$ = 1 + 1 = 2 $ ✓

Desarrollamos por la izquierda y nos damos cuenta que el numerador es diferencia de cuadrados y si aplicamos la relación fundamental de la trigonometría $\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = 1$ tenemos

$( \sen^2 \alpha)^2 - ( \cos^2 \alpha )^2 = ( \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha ) \cdot ( \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha ) = 1 \cdot ( \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha ) $

$\dfrac{ \sen^4 \alpha - \cos^4 \alpha }{ \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha } = 1 $ ✓

Empezamos por $ \dfrac{\ \ 1 + \tg \alpha \ \ }{\sec \alpha} $

Sustituimos $\sec \alpha = \dfrac{1}{\cos \alpha} $ y $\tg \alpha = \dfrac{\ \ \sen \alpha \ \ }{\cos \alpha} $

$ = \dfrac{ \ \ 1 + \dfrac{ \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \dfrac{1}{ \cos \alpha} } = $

operamos en el numerador

$ = \dfrac{ \ \ \dfrac{ \cos \alpha + \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \dfrac{1}{ \cos \alpha} } = $

Se cancelan en el numerador y en el denominador el $\dfrac{ 1 }{ \ \ \cos \alpha \ \ } $ y nos queda

$ = \cos \alpha + \sen \alpha $ ✓

Desarrollamos por la izquierda, sabemos que $\sec \alpha = \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha}$, $\cosec \alpha = \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha}$ y $\cotg \alpha = \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } $

Sustituimos $\tg \alpha = \dfrac{\ \ \sen \alpha \ \ }{\cos \alpha} $

$ \dfrac{\sec^{2} \alpha}{\cosec^2 \alpha -\sec^2 \alpha} + \dfrac{\cotg^2 \alpha}{\cotg^2 \alpha - 1} = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha} }{ \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha} - \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha} } + \dfrac{ \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha } }{ \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha } - 1} = $

operamos en los dos denominadores y tenemos

$ = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha} }{ \dfrac{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha} } + \dfrac{ \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha } }{ \dfrac{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha} } = $

En la $1^{\underline{a}}$ fracción se simplifica el $\cos^2 \alpha$ y en la $2^{\underline{a}}$ se simplifica el $\sen^2 \alpha$ ambos dividen al numerador y denominador de cada fracción

$ = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = $

sumamos ambas fracciones y aplicando la relación fundamental de la trigonometría nos queda

$ = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } $ ✓

Simplifica la siguiente expresión trigonométrica:

Vamos a sustituir $\sen^2 \alpha$ por $1 - \cos^2 \alpha$ en el numerador

$ \dfrac{ \sen^{2} \alpha \cdot ( 1 + \cos \alpha)}{ 1 - \cos \alpha} = \dfrac{(1 - \cos^2 \alpha) \cdot ( 1 + \cos \alpha)}{ 1 - \cos \alpha} = $

Vemos que $1 - \cos^2 \alpha$ es una identidad notable $ 1 - \cos^2 \alpha = (1 + \cos \alpha ) \cdot (1 - \cos \alpha ) $ y simplificamos con el factor del denominador

$ \dfrac{(1 + \cos \alpha ) \cdot (1 - \cos \alpha ) \cdot ( 1 + \cos \alpha)}{ 1 - \cos \alpha} = (1 + \cos \alpha )^2 $

Simplifica la siguiente expresión trigonométrica:

Sabemos que $ \tg \alpha = \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha} $ sustituimos y tenemos

$ \dfrac{ \cos \alpha }{ \tg \alpha \cdot ( 1 - \sen \alpha )} = \dfrac{ \cos \alpha }{ \left ( \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha} \right ) \cdot ( 1 - \sen \alpha )} = \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \sen \alpha \cdot ( 1 - \sen \alpha ) } = $

Sabemos que $ \cos^2 \alpha = 1 - \sen^2 \alpha$ y esto es una identidad notable $ 1 - \sen^2 \alpha = (1 - \sen \alpha) \cdot ( 1 + \sen \alpha ) $ $ = \dfrac{ (1 - \sen \alpha) \cdot ( 1 + \sen \alpha ) }{ \sen \alpha \cdot ( 1 - \sen \alpha ) } = $

simplificamos $ 1 - \sen \alpha $ en el numerador y en el denominador

$ = \dfrac{ 1 + \sen \alpha }{ \sen \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha } + \dfrac{ \sen \alpha }{ \sen \alpha } = \cosec \alpha + 1 $

Empezamos desarrollando la parte izquierda de la igualdad sabemos que $ \cotg \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{ \sen \alpha } $

$ \tg \alpha \cdot \cotg \alpha - \dfrac{2 \cdot \sen \alpha }{ \sqrt{ 1 + \cotg^2 \alpha } } = 1 - \dfrac{2 \cdot \sen \alpha }{ \sqrt{ 1 + \dfrac{\cos^2 \alpha}{ \sen^2 \alpha } } } = $

operamos dentro de la raíz, aplicamos la relación fundamental de la trigonometría

$ = 1 - \dfrac{2 \cdot \sen \alpha }{ \sqrt{ \dfrac{\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{ \sen^2 \alpha } } } = 1 - \dfrac{2 \cdot \sen \alpha }{ \sqrt{ \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha } } } = 1 - 2 \cdot \sen^2 \alpha = $

aplicamos la relación fundamental de la trigonometría de nuevo $1 = \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha $

$ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha - 2 \cdot \sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha = $

esto es una identidad notable $ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = ( \cos \alpha + \sen \alpha) \cdot ( \cos \alpha -\sen \alpha) $ y además $\cos \alpha = \dfrac{1}{\sec \alpha} $ y $\sen \alpha = \dfrac{1}{\cosec \alpha} $

$ = ( \cos \alpha + \sen \alpha) \cdot ( \cos \alpha -\sen \alpha) = ( \cos \alpha + \sen \alpha) \cdot \left ( \dfrac{1}{\sec \alpha} - \dfrac{1}{\cosec \alpha} \right ) $ ✓

Empezamos por la parte izquierda de la identidad, sabemos que $ \tg \alpha = \dfrac{\sen \alpha}{ \cos \alpha} $ y que $ \sec \alpha = \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha} $ sustituimos

$ \dfrac{2 \cdot \sen \alpha + 3}{2 \cdot \tg \alpha + 3 \sec \alpha } = \dfrac{2 \cdot \sen \alpha + 3}{2 \cdot \left ( \dfrac{\sen \alpha}{ \cos \alpha} \right ) + 3 \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha} } = $

sumamos las dos fracciones del denominador que tienen el mismo denominador y el denominador de las mismas pasa al numerador multiplicando

$ = \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha + 3 \ \ }{ \dfrac{ 2 \cdot \sen \alpha + 3 }{ \cos \alpha} } = \dfrac{ \cos \alpha \cdot \left ( 2 \cdot \sen \alpha + 3 \right )}{ 2 \cdot \sen \alpha + 3 } = $

simplificamos en el numerador y el denominador el factor $ 2 \cdot \sen \alpha + 3 $ y tenemos

$ = \cos \alpha $ ✓

Este ejercicio se resuelve sacando factor común:

$$ \dfrac{\sen \alpha - \cos \alpha}{\tg \alpha - 1} = \dfrac{\cos \alpha \left ( \tg \alpha - 1 \right ) }{\tg \alpha - 1} = \dfrac{\cos \alpha \cancel{ \left ( \tg \alpha - 1 \right )} }{ \cancel{ \tg \alpha - 1} }= \cos \alpha ✓ $$

Otra forma, sacando factor común $\sen \alpha$: $$ \dfrac{\sen \alpha - \cos \alpha}{\tg \alpha - 1} = \dfrac{\sen \alpha \left ( 1 - \cotg \alpha \right ) }{\tg \alpha - 1} = \dfrac{\ \sen \alpha \left (1 - \dfrac{\ 1 \ }{ \tg \alpha} \right ) }{\tg \alpha - 1} = $$ $$ = \dfrac{\ \sen \alpha \left ( \dfrac{\ \tg \alpha - 1 }{ \tg \alpha} \right ) }{\tg \alpha - 1} = \dfrac{\ \sen \alpha \left ( \tg \alpha - 1 \right ) }{\ \tg \alpha (\tg \alpha - 1) \ } = \dfrac{\ \sen \alpha \cancel{ \left ( \tg \alpha - 1 \right ) } \ }{\ \tg \alpha \cancel{ (\tg \alpha - 1) }\ } = \dfrac{\ \sen \alpha \ }{\ \tg \alpha \ } = \dfrac{\ \sen \alpha \ }{\ \dfrac{\ \sen \alpha \ }{\ \cos \alpha \ } \ } = \dfrac{\ \sen \alpha \cdot \cos \alpha \ }{\ \sen \alpha \ } = $$ $$ = \dfrac{\ \cancel{\sen \alpha } \cdot \cos \alpha \ }{\ \cancel{\sen \alpha } \ } = \cos \alpha ✓ $$

Este ejercicio se resuelve sacando factor común:

$$ \tg^{2} \alpha - \sen^{2} \alpha = \sen^{2} \alpha \cdot \left ( \dfrac{1}{\ \cos^2 \alpha \ } - 1 \right ) = \sen^{2} \alpha \cdot \left ( \dfrac{1 - \cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \ } \right ) = \sen^{2} \alpha \cdot \left ( \dfrac{\sen^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \ } \right ) = \sen^2 \alpha \cdot \tg^2 \alpha ✓ $$

Este ejercicio se resuelve sacando factor común:

$$ \dfrac{1 + \cotg \alpha}{\sen \alpha + \cos \alpha} = \dfrac{1 + \cotg \alpha}{\sen \alpha \cdot ( 1 + \cotg \alpha) } = \dfrac{1}{\ \sen \alpha \ } = \cosec \alpha ✓ $$

Este ejercicio se resuelve fácilmente:

$$ \sec^{2} \alpha - 1 = \tg^{2} \alpha \Rightarrow \sec^{2} \alpha = 1 + \tg^{2} \alpha = 1 + \dfrac{\ \sen^{2} \alpha \ }{ \cos^{2} \alpha } = \dfrac{\ \cos^{2} \alpha + \sen^{2} \alpha \ }{ \cos^{2} \alpha } = \dfrac{1}{ \cos^{2} \ \alpha \ } ✓ $$

En este ejercicio haremos uso de la herramienta «sacar factor común», en este caso lo haremos con $\sen^{2} \alpha $:

$$ \sen^{4} \alpha + \cos^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha \cdot \sen^{2} \alpha = \sen^{2} \alpha \cdot (\cos^{2} \alpha + \sen^{2} \alpha ) + \cos^{2} \alpha = \sen^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1 ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la derecha sustituyendo $1 = \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha $

$$ \dfrac{1 + 2 \cdot \sen \alpha \cos \alpha}{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = \dfrac{\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha + 2 \cdot \sen \alpha \cos \alpha}{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = $$ Aplicamos identidades notables en el numerador, cuadrado de una suma; y en el denominador, suma por diferencia es diferencia de cuadrados: $$ \dfrac{ (\cos \alpha + \sen \alpha)^2 }{ (\cos \alpha - \sen \alpha) \cdot (\cos \alpha - \sen \alpha) } = $$ Simplificando $(\cos \alpha + \sen \alpha)$ nos queda $$ = \dfrac{ \cos \alpha + \sen \alpha }{ \cos \alpha - \sen \alpha } = $$ Sacamos factor común $\cos \alpha $ en el numerador y en el denominador y simplificando $\cos \alpha$ nos queda: $$ = \dfrac{ \cos \alpha ( 1 + \tg \alpha) }{ \cos \alpha ( 1 - \tg \alpha) } = \dfrac{ 1 + \tg \alpha }{ 1 - \tg \alpha } ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda

$$ \cotg \alpha - \dfrac{ \cotg^2 \alpha - 1 }{ \cotg \alpha } = \dfrac{ \cotg^2 \alpha - \cotg^2 \alpha + 1 }{ \cotg \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \cotg \alpha } = $$ $$ = \tg \alpha = \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha } }{ \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha } } = \dfrac{ \sec \alpha }{ \cosec \alpha } ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda

$$ \sec^2 \alpha + \cosec^2 \alpha = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha } + \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha \sen^2 \alpha } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha \sen^2 \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha \sen^2 \alpha } = $$ $$ = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha } \cdot \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha } = \sec^2 \alpha \cdot \cosec^2 \alpha ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda

$$ \tg \alpha + \cotg \alpha = \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } + \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha \sen \alpha } = $$ $$ = \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha } \cdot \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha } = \sec \alpha \cdot \cosec \alpha ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda, sacando factor común a $\cos^2 \alpha$

$$ \dfrac{ \cos^2 \alpha \cdot \dfrac{\ \ \sen \alpha \ \ }{ \cos \alpha} }{\ \ \cos^2 \alpha \left ( 1 - \dfrac{ \sen^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \right ) \ \ } = \dfrac{ \cos^2 \alpha \tg \alpha }{\ \ \cos^2 \alpha ( 1 - \tg^2 \alpha) \ \ } = \dfrac{ \cancel{\cos^2 \alpha} \tg \alpha }{\ \ \cancel{\cos^2 \alpha} ( 1 - \tg^2 \alpha) \ \ } = \dfrac{ \tg \alpha }{\ \ 1 - \tg^2 \alpha \ \ } ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda, sustituyendo $\tg \alpha$ y $\cotg \alpha$ por su equivalente:

$$ \dfrac{ \ \ \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } + \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } \ \ }{ \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } - \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } } (1) $$ Trabajamos con el numerador y nos queda: $$ \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } + \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } + \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha \cos \alpha } $$ Ahora con el denominador: $$ \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } - \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } - \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } $$ Sustityuyendo en $(1)$ nos queda: $$ = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha \cos \alpha } }{ \dfrac{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } } = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \cancel{ \sen \alpha \cos \alpha} } }{ \dfrac{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha }{ \cancel{ \sen \alpha \cos \alpha} } } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha \ \ } ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda, sustituyendo $\tg \alpha$, $\cosec \alpha$ y $\cotg \alpha$ por su equivalente:

$$ \dfrac{ \ \ \sen \alpha + \cotg \alpha \ \ }{ \tg \alpha + \cosec \alpha } = \dfrac{ \ \ \sen \alpha + \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } \ \ }{ \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } + \dfrac{1}{ \sen \alpha } } (2) $$ Trabajamos con el numerador y nos queda: $$ \sen \alpha + \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha } + \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos \alpha }{ \sen \alpha } $$ Ahora con el denominador: $$ \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } + \dfrac{1}{ \sen \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } + \dfrac{ \cos \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } $$ Sustityuyendo en $(2)$ nos queda: $$ = \dfrac{ \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos \alpha }{ \sen \alpha } }{ \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } } = \dfrac{ \dfrac{ \cancel{ \sen^2 \alpha + \cos \alpha} }{ \sen \alpha } }{ \dfrac{ \cancel{\sen^2 \alpha + \cos \alpha} }{ \cos \alpha \sen \alpha } } = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha } }{ \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha \sen \alpha } } = $$ $$ = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \cancel{\sen \alpha} } }{ \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha \cancel{\sen \alpha} } } = \dfrac{ 1 }{ \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha } } = \cos \alpha ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la derecha, sustituyendo $\cosec \alpha$ y $\cotg \alpha$ por su equivalente:

$$ \cosec \alpha - \cotg \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \ \sen \alpha \ \ } - \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } = \dfrac{ 1 - \cos \alpha }{ \sen \alpha } = $$ Ahora amplificamos la fracción por $1 + \cos \alpha$ $$ = \dfrac{ (1 - \cos \alpha) \cdot (1 + \cos \alpha) }{ \sen \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) } = \dfrac{ 1 - \cos^2 \alpha }{ \sen \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) } = \dfrac{ \sen^{ \cancel{2} } \alpha }{ \cancel{\sen \alpha} \cdot (1 + \cos \alpha) } = $$ $$ = \dfrac{ \sen \alpha }{ 1 + \cos \alpha } ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda, poniendo común denominador:

$$ \dfrac{ \ \ 2 - \cosec^2 \alpha \ \ }{ \tg \alpha - 1 } - \cosec^2 \alpha + 1 = \dfrac{ \ \ 2 - \cosec^2 \alpha - \cosec^2 \alpha (\tg \alpha - 1) + \tg \alpha - 1 }{ \tg \alpha - 1 } = \dfrac{ \ \ 2 - \cosec^2 \alpha - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \cosec^2 \alpha + \tg \alpha - 1 }{ \tg \alpha - 1 } = \dfrac{ \ \ 1 - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha }{ \tg \alpha - 1 } $$ Volvemos a igualar $\cotg \alpha$ y hacemos el producto en cruz: $$ \dfrac{ \ \ 1 - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha }{ \tg \alpha - 1 } = \cotg \alpha \Rightarrow 1 - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha = (\tg \alpha - 1) \cdot \cotg \alpha \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 1 - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha = 1 - \cotg \alpha \Rightarrow - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha = - \cotg \alpha $$ Desarrollando la expresión de la izquierda tenemos: $$ - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha = \tg \alpha (1 - \cosec^2 \alpha) = \tg \alpha \left ( 1 - \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha } \right ) = \tg \alpha \left ( \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha } - \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha } \right ) = \tg \alpha \left ( \dfrac{ \sen^2 \alpha - 1 }{ \sen^2 \alpha } \right ) = $$ $$ = \tg \alpha \left ( \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha } \right ) = \tg \alpha \cdot \cotg^2 \alpha = \left (\tg \alpha \cdot \cotg \alpha \right ) \cdot \cotg \alpha = (1) \cdot \cotg \alpha = \cotg \alpha ✓ $$

Vamos a calcular la identidad:

\( \mfrac{\cos x}{1 - \sen x} - \mfrac{\cos x}{1 + \sen x} = \mfrac{\cos x(1 + \sen x)}{(1 - \sen x)(1 + \sen x)} - \mfrac{\cos x(1 - \sen x)}{(1 + \sen x)(1 - \sen x)} = \)

\( = \mfrac{\cos x + \cos x \cdot \sen x - \cos x + \cos x \cdot \sen x}{(1 + \sen x)(1 - \sen x)} = \mfrac{2\cos x \cdot \sen x }{1 - \sen^2 x} = \mfrac{2\cos x \cdot \sen x }{\cos^2 x} = \mfrac{2 \sen x }{\cos x} = (*) \)

Aprovechando la relación que nos dan y tomando logaritmos nos queda:

\( 2^{\cos x} = 3^{\sen x} \Rightarrow \log 2^{\cos x} = \log 3^{\sen x} \Rightarrow (\cos x) \cdot \log 2 = (\sen x) \cdot \log 3 \Rightarrow \mfrac{\sen x}{\cos x} = \mfrac{\log 2}{ \log 3} \)

Si sustituimos en (*) tenemos:

\( (*) = \mfrac{2 \sen x }{\cos x} = \mfrac{2 \log 2}{\log 3} = \mfrac{\log 4}{\log 3} \)

Aguí tienes otra entrada de ejercicios de identidades trigonométricas para profundizar en este tipo de ejercicios.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Algunas derivadas - Ejercicios con soluciones

Deriva las siguientes funciones

Es la derivada del producto de dos funciones:

$a'(x) = 3 \cdot (2x - 3)^2 \cdot 2 \cdot (3x - 1)^{2} + (2x - 3)^{3} \cdot 2 \cdot (3x - 1) \cdot 3 = $

$ = 6 \cdot (2x - 3)^2 \cdot (3x - 1)^{2} + 6 \cdot (2x - 3)^{3} \cdot (3x - 1) = $

Sacamos factor común $6 \cdot (2x - 3)^2 \cdot (3x - 1) $

$ = 6 \cdot (2x - 3)^2 \cdot (3x - 1) \cdot \left ( 3x - 1 + 2x - 3 \right ) = 6 \cdot (2x - 3)^2 \cdot (3x - 1) \cdot ( 5x - 4 ) $

Es la derivada de un cociente de dos polinomios:

$ b'(x) = \dfrac{ 3x^2 \cdot ( x^3 + 1 ) - (x^3 - 1) \cdot 3x^2 }{ (x^3 + 1)^2 } = $

hacemos cuentas en el numerador

$ = \dfrac{ 3x^5 + 3x^2 - 3x^5 + 3x^2 }{ (x^3 + 1)^2 } = \dfrac{ 6x^2 }{ (x^3 + 1)^2 } $

Esta función también se puede poner de esta otra forma $c(x) = 2 \cdot \sqrt[8]{x^{4} - 1} = 2 \cdot (x^4 - 1 )^{\frac{1}{8} } $
$c'(x) = 2 \cdot \dfrac{1}{8} \cdot (x^4 - 1 )^{\dfrac{-7}{8} } \cdot 4x^3 = \dfrac{x^3}{ \sqrt[8]{ \left (x^{4} - 1 \right )^7 } }$

La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas

$d'(x) = \dfrac{2x}{1 + x^2} + 2 \cdot \dfrac{1}{1 + x^2} = \dfrac{2x + 2}{1 + x^2} $

La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas y además cada una de esas funciones es producto de dos funciones:

$ e'(x) = 3x^2 \cdot e^{x} + x^3 \cdot e^{x} + 2x \cdot e^{x} + x^2 \cdot e^{x} = $

sabemos factor común a $e^x$ y agrupamos términos semjantes:

$ = e^{x} \cdot (3x^2 + x^3 + 2x + x^2) = e^{x} \cdot ( x^3 + 4x^2 + 2x ) $

$ f'(x) = \dfrac{\cos x \cdot (1 + \cos x ) - \sen x \cdot (- \sen x) }{ (1 + \cos x )^2 } = $

quitamos paréntesis y operamos en el numerador

$ = \dfrac{\cos x + \cos^2 x + \sen^2 x }{ (1 + \cos x )^2 } = $

aplicamos la relación fundamental de la trigonometría $\cos^2 x + \sen^2 x = 1$

$ = \dfrac{\cos x + 1 }{ (1 + \cos x )^2 } = \dfrac{ 1 }{ 1 + \cos x } $

La derivada del logaritmo de un función es la derivada de lafunción dividido por la función

$ g'(x) = \dfrac{ 1 + \dfrac{ 2x }{ 2 \sqrt{x^{2} - 1}} }{ x + \sqrt{x^{2} - 1} } = $

simplificamos 2 en el numerador y operamos en el numerador

$ = \dfrac{ \dfrac{\sqrt{x^{2} - 1} + x }{ \sqrt{x^{2} - 1}} }{ x + \sqrt{x^{2} - 1} } = $

Simplificamos en el numerador y en el denominador $ x + \sqrt{x^{2} - 1} $

$ = \dfrac{ 1 }{ \sqrt{x^{2} - 1} } = $

racionalizamos y nos queda

$ = \dfrac{ \sqrt{x^{2} - 1} }{ x^{2} - 1 } $

$h'(x) = 2 \cdot \left ( x - \sqrt{ 1 - x^{2} } \right) \cdot \left ( 1 - \dfrac{-2x}{2 \cdot \sqrt{ 1 - x^{2} }} \right ) $

Simplificamos en el tercer término el 2, que está multiplicando y dividiendo en la fracción, cambiamos el signo y operamos

$ = 2 \cdot \left ( x - \sqrt{ 1 - x^{2} } \right) \cdot \left ( 1 + \dfrac{x}{ \sqrt{ 1 - x^{2} } } \right ) = $

$ = 2 \cdot \left ( x - \sqrt{ 1 - x^{2} } \right) \cdot \left ( \dfrac{ \sqrt{ 1 - x^{2} } + x}{ \sqrt{ 1 - x^{2} } } \right ) = $

aplicamos suma por diferencia igual a diferencia de cuadrados

$ = 2 \cdot \left ( \dfrac{ x^2 - 1 + x^2 }{ \sqrt{ 1 - x^{2} } } \right ) = 2 \cdot \left ( \dfrac{ 2x^2 - 1 }{ \sqrt{ 1 - x^{2} } } \right ) $

La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas:

$ i'(x) = \dfrac{ \ \ \ \dfrac{1}{\sqrt{1 -x^2} \ \ \ } }{\arcsen x} + \dfrac{ \dfrac{1}{x} }{\sqrt{ 1 - \left ( \ln x \right )^2} } = \dfrac{1}{\sqrt{ 1 -x^2 } \cdot \arcsen x} + \dfrac{ 1 }{ x \cdot \sqrt{1 - \left ( \ln x \right )^2} } $

Este ejercicio es un ejemplo de derivación usando la regla de la cadena. En el primer paso derivamos el primer logaritmo

$ j'(x) = \dfrac{ \left ( \ln \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right ) \right )' }{ \ln \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right ) } = $

Ahora derivamos ek numerador y volvemos a aplicar la regla de la cadena por $2^{\underline{a}}$ vez

$ = \dfrac{ 1 }{ \ln \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right ) } \cdot \dfrac{ \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right )' }{ \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) } = $

Aplicamos las propiedades del logaritmo y volvemos a aplicar la regla de la cadena por $3^{\underline{a}}$ vez

$ = \dfrac{ 1 }{ \ln \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right ) } \cdot \dfrac{ \left( \ln \left( 1 - x \right ) - \ln \left( 1 + x \right ) \right )' }{ \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) } = $

Hacemos cuentas y dejamos la expresión de la derivada lo más sencilla posible

$ = \dfrac{ 1 }{ \ln \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right ) \cdot \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) } \cdot \left( \dfrac{ -1}{ 1 - x } - \dfrac{1}{ 1 + x } \right ) = \dfrac{ 1 }{ \ln \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right ) \cdot \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) } \cdot \left( \dfrac{ - 1 - x - 1 + x }{ 1 - x^2 } \right ) = $

$ = \dfrac{ 1 }{ \ln \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right ) \cdot \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) } \cdot \left( \dfrac{ - 2 }{ 1 - x^2 } \right ) = \dfrac{ 1 }{ \ln \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right ) \cdot \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) } \cdot \left( \dfrac{ 2 }{ x^2 - 1 } \right ) = $

$ = \dfrac{ 2 }{ \ln \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right ) \cdot \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \cdot \left( x^2 - 1 \right ) } $

Cuando vamos a derivar un logaritmo que NO es neperiano, tenemos que hacer un cambio de base al número $e$ y la función quedará así

$ k(x) = 5x \log_{5}\left ( x^4 \right ) = 5x \dfrac{ \ln \left ( x^4 \right ) }{ \ln 5 } = \dfrac{20}{ \ln 5 } \cdot x \cdot \ln x $

Ahora derivamos una constante $\dfrac{20}{ \ln 5 }$ por el producto de dos funciones

$ k'(x) = \dfrac{20}{ \ln 5 } \cdot \left ( \ln x + x \cdot \dfrac{ 1 }{ x } \right ) = \dfrac{20}{ \ln 5 } \cdot \left ( \ln x + 1 \right ) $

Ahora vamos a hacer unos ejercicios de derivación logarítmica o la derivación de la función potencial-exponencial. Para ello tenemos dos opciones:

$1^{\underline{a}}$ opción: Aprendernos esta fórmula ( lo que no es aconsejable para la salud )

Derivada de la función potencial-exponencial:

Si $\displaystyle f(x) = b(x)^{a(x)} \Rightarrow f'(x) = b(x)^{a(x)} \cdot a'(x)\cdot \ln b(x) + b(x)^{(a(x) - 1)} \cdot a(x) \cdot b'(x) $

$2^{\underline{a}}$ opción:

Hacer el siguiente procedimiento:

$1^{\underline{o}}$ Tomar logaritmos neperianos en ambos lados de la función

$2^{\underline{o}}$ Aplicar las propiedades de los logaritmos

$3^{\underline{o}}$ Derivar en ambos lados de la igualdad

$4^{\underline{o}}$ Despejar la derivada de la función.

Veamos unos ejemplos:

$1^{\underline{o}}$ Tomar logaritmos neperianos en ambos lados de la función

$ \ln l(x) = \ln (x^2 + 3x)^{x^3 + 5x^2} $

$2^{\underline{o}}$ Aplicar las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es el exponente por el logaritmo de la base

$\ln l(x) = (x^3 + 5x^2) \cdot \ln (x^2 + 3x) $

$3^{\underline{o}}$ Derivar en ambos lados de la igualdad

$ \dfrac{l'(x)}{ l(x) } = (3x^2 + 10x) \cdot \ln (x^2 + 3x) + (x^3 + 5x^2) \cdot \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x} $

$4^{\underline{o}}$ Despejar la derivada de la función.

$ l'(x) = l(x) \cdot \left [ (3x^2 + 10x) \cdot \ln (x^2 + 3x) + (x^3 + 5x^2) \cdot \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x} \right ] $

sustituimos $l(x)$ por su valor y tenemos

$ l'(x) = (x^2 + 3x)^{x^3 + 5x^2} \cdot \left [ (3x^2 + 10x) \cdot \ln (x^2 + 3x) + (x^3 + 5x^2) \cdot \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x} \right ] $

$1^{\underline{o}}$ Tomar logaritmos neperianos en ambos lados de la función

$ \ln m(x) = \ln ( \arctg x )^{ \ln x } $

$2^{\underline{o}}$ Aplicar las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es el exponente por el logaritmo de la base

$\ln m(x) = \ln x \cdot \ln (\arctg x) $

$3^{\underline{o}}$ Derivar en ambos lados de la igualdad

$ \dfrac{m'(x)}{ m(x) } = \dfrac{1}{x} \cdot \ln (\arctg x) + \ln x \cdot \dfrac{ \dfrac{1}{1 + x^2} }{ \arctg x } $

$ \dfrac{m'(x)}{ m(x) } = \dfrac{\ln (\arctg x)}{x} + \dfrac{ \ln x }{ (1 + x^2) \cdot \arctg x } $

$4^{\underline{o}}$ Despejar la derivada de la función.

$ m'(x) = m(x) \cdot \left [ \dfrac{\ln (\arctg x)}{x} + \dfrac{ \ln x }{ (1 + x^2) \cdot \arctg x } \right ] $

sustituimos $m(x)$ por su valor y tenemos

$ m'(x) = ( \arctg x )^{ \ln x } \cdot \left [ \dfrac{\ln (\arctg x)}{x} + \dfrac{ \ln x }{ (1 + x^2) \cdot \arctg x } \right ] $

Vamos a seguir derivando

Aplicamos la regla de la cadena, es decir, derivamos el arco tangente y la multiplicamos por la derivada de la función sobre la que calculamos el arco tangente y tenemos que manipular algebraicamente la expresión que obtenemos

$ \require{cancel} n'(x) = \dfrac{1}{1 + \left( \dfrac{x + 3}{1 - 3 x} \right )^{2}} \cdot \left [ \dfrac{x + 3}{1 - 3 x } \right ]^{\prime} = $

$ = \dfrac{(1 - 3 x)^2 }{(1 - 3 x)^{2} + (x + 3)^{2}} \cdot \dfrac{[x + 3]^{\prime}(1 - 3 x) -(x + 3)[1 - 3 x]^{\prime}}{(1 - 3 x)^2 } = $

$ = \dfrac{ \cancel{(1 - 3 x)^2} }{(1 - 3 x)^{2} + (x + 3)^{2}} \cdot \dfrac{(1 - 3 x) - (x + 3) \cdot ( - 3 ) }{ \cancel{(1 - 3 x)^2} } = \dfrac{ 1 - 3x + 3x + 3^2 }{(1 - 3 x)^{2} + (x + 3)^{2}} = $

$ = \dfrac{1 + 3^2}{1 - 6 x + 3^2 x^2 + x^2 + 6x + 3^2 } = \dfrac{1 + 3^2 }{1 + 3^2 x^2 + x^2 +3^2 } = \dfrac{1 + 3^2 }{ 1 + 3^2 + (1 + 3^2) \cdot x^2 } = $

$ = \dfrac{1 + 3^2}{\left ( 1 + x^2 \right ) \left(1 + 3^2 \right ) } = \dfrac{1}{1 + x^2 } $

Aplicamos la regla de la cadena, es decir, derivamos el arco tangente y la multiplicamos por la derivada de la función sobre la que calculamos el arco tangente y tenemos que manipular algebraicamente la expresión que obtenemos

Hay que tratar $a$ como una constante $ \require{cancel} ñ'(x) = \dfrac{1}{1 + \left( \dfrac{x + a}{1 - a x} \right )^{2}} \cdot \left [ \dfrac{x + a}{1 - a x } \right ]^{\prime} = $

$ = \dfrac{(1 - a x)^2 }{(1 - a x)^{2} + (x + a)^{2}} \cdot \dfrac{[x + a]^{\prime}(1 - a x) -(x + a)[1 - a x]^{\prime}}{(1 - a x)^2 } = $

$ = \dfrac{ \cancel{(1 - a x)^2} }{(1 - a x)^{2} + (x + a)^{2}} \cdot \dfrac{(1 - a x) - (x + a) \cdot ( - a ) }{ \cancel{(1 - a x)^2} } = \dfrac{ 1 - ax + ax + a^2 }{(1 - a x)^{2} + (x + a)^{2}} = $

$ = \dfrac{1 + a^2}{1 - 2 a x + a^2 x^2 + x^2 + 2 a x + a^2 } = \dfrac{1 + a^2 }{1 + a^2 x^2 + x^2 + a^2 } = \dfrac{1 + a^2 }{ 1 + a^2 + (1 + a^2) \cdot x^2 } = $

$ = \dfrac{1 + a^2}{\left ( 1 + x^2 \right ) \left(1 + a^2 \right ) } = \dfrac{1}{1 + x^2 } $

$ o(x) = \sqrt{\ 2x + 1\ } \cdot \tg \sqrt{\ 2x + 1\ } + \ln( \cos \sqrt{\ 2x + 1\ } ) $

La derivada de la suma es la suma de las derivadas:

$ y' = \left (\sqrt{\ 2x + 1\ } \cdot \tg \sqrt{\ 2x + 1\ } \right )' + (\ln( \cos \sqrt{\ 2x + 1\ } ) )' = $

La primera es la derivada de un producto y la $\odn{2}{a}$ es la derivada de un logaritmo de un coseno, cuidado al aplicar la regla de la cadena:

$ = \left (\sqrt{\ 2x + 1\ } \right)' \cdot \tg \sqrt{\ 2x + 1\ } + \sqrt{\ 2x + 1\ } \cdot \left ( \tg \sqrt{\ 2x + 1\ } \right )' + \left (\ln( \cos \sqrt{\ 2x + 1\ } ) \right )' = $

$ = \dfrac{2}{\ 2 \cdot \sqrt{\ 2x + 1\ }\ } \tg \sqrt{\ 2x + 1\ } + \sqrt{\ 2x + 1\ } \left (1 + \tg^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } \right ) \dfrac{ 2 } {\ 2\cdot \sqrt{\ 2x + 1\ } } + \dfrac{\ - \sen \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{ \cos \sqrt{\ 2x + 1\ } } \left ( \sqrt{\ 2x + 1\ } \right )' = $

$ = \dfrac{2}{\ 2 \cdot \sqrt{\ 2x + 1\ }\ } \tg \sqrt{\ 2x + 1\ } + \sqrt{\ 2x + 1\ } \left (1 + \tg^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } \right ) \dfrac{ 2 } {\ 2\cdot \sqrt{\ 2x + 1\ } } + \dfrac{\ - \sen \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{ \cos \sqrt{\ 2x + 1\ } } \dfrac{2}{\ 2 \cdot \sqrt{\ 2x + 1\ }\ } = $

$ = \dfrac{ \cancelto{1}{2} }{\ \cancel{2} \cdot \sqrt{\ 2x + 1\ }\ } \tg \sqrt{\ 2x + 1\ } + \left (1 + \tg^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } \right ) \dfrac{ \cancel{2 \cdot \sqrt{\ 2x + 1\ } } } {\ \cancel{2\cdot \sqrt{\ 2x + 1\ } } } - \dfrac{\ \cancelto{1}{2} \tg \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{\ \cancel{2} \sqrt{\ 2x + 1\ }\ } = $

$ = \dfrac{\ \tg \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{\ \sqrt{\ 2x + 1\ }\ } + 1 + \tg^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } - \dfrac{\ \tg \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{\ \sqrt{\ 2x + 1\ }\ } = $

$ = \cancel{ \dfrac{\ \tg \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{\ \sqrt{\ 2x + 1\ }\ } } + 1 + \tg^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } \cancel{ - \dfrac{\ \tg \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{\ \sqrt{\ 2x + 1\ }\ } } = $

$= 1 + \tg^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } = \dfrac{\ \cos^2 \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{ \cos^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } } + \dfrac{\ \sen^2 \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{ \cos^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } } = \dfrac{\ \cos^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } + \sen^2 \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{ \cos^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } } = $

$ = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } } = \sec^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } $

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Identidades trigonométricas II - Ejercicios con soluciones

Aguí tienes otra entrada de ejercicios de identidades trigonométricas por si los ejercicios de esta entrada te han parecido difíciles.

Sustituimos $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha$

$ = \dfrac{1 - \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha}{\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = $

Sustituimos $1 - \cos^2 \alpha = \sen^2 \alpha$ y en el denominador los $\sen^2 \alpha$ se cancelan; $\tg \alpha = \dfrac{\sen \alpha}{\cos \alpha}$

$ = \dfrac{2 \sen^2 \alpha}{ \cos^2 \alpha } = 2 \tg^2 \alpha $ ✓

Sustituimos $\sen 2\alpha = 2 \cdot \sen \alpha \cdot \cos \alpha $ y $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha$

$ = 2 \cdot \sen \alpha \cdot \cos^2 \alpha - \sen \alpha \cdot \cos^2 \alpha + \sen^3 \alpha = $

agrupamos los términos semejantes y nos queda

$ = \sen \alpha \cdot \cos^2 \alpha + \sen^3 \alpha = $

sacamos factor común a $\sen \alpha $ y nos queda

$ = \sen \alpha \cdot \left ( \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha \right ) = $

aplicamos la relación fundamental de la trigonometría $ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = 1$

$ = \sen \alpha $ ✓

Sustituimos $\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sen \alpha \cdot \sen \beta$ y $ \sen(\alpha - \beta) = \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta$

$ = \cos \alpha \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sen \alpha \cdot \sen \beta) + \sen \alpha \cdot ( \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta ) = $

desarrollamos y nos queda

$ = \cos^2 \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sen \alpha \cdot \sen \beta + \sen^2 \alpha \cdot \cos \beta - \sen \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \sen \beta = $

se cancelan los términos $\cos \alpha \cdot \sen \alpha \cdot \sen \beta$ y sacamos factor común a $\cos \beta$ y tenemos

$ = \cos \beta \cdot \left ( \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha \right ) = $

aplicamos la relación fundamental de la trigonometría $ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = 1$

$ = \cos \beta $ ✓

Desarrollamos $\cos \left ( \dfrac{\pi}{4} - \alpha \right ) = \cos \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) \cdot \cos \alpha + \sen \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) \cdot \sen \alpha$

$ = \sqrt{2} \cdot \left [ \cos \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) \cdot \cos \alpha + \sen \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) \cdot \sen \alpha \right ] = $

sabemos que $ \cos \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) = \sen \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) = \dfrac{ \sqrt{2} }{2}$

$ = \sqrt{2} \cdot \left [ \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \cos \alpha + \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \sen \alpha \right ] = $

hacemos cuentas y

$ = \sqrt{2} \cdot \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \cos \alpha + \sqrt{2} \cdot \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \sen \alpha = $

simplificamos y nos queda

$ = \sen \alpha + \cos \alpha $ ✓

sustituimos la $\sec A = \dfrac{1}{ \cos A}$ y la $\tg A = \dfrac{\sen A}{\cos A} $

$ = \dfrac{1}{ \cos^2 A} - \dfrac{\sen^2 A}{\cos^2 A} = \dfrac{1 - \sen^2 A}{\cos^2 A} $

sabemos que $ 1 - \sen^2 A = \cos^2 A$ luego

$ = \dfrac{\cos^2 A}{\cos^2 A} = 1 $ ✓

Sustituimos $\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sen \alpha \cdot \sen \beta$ y $ \sen(\alpha - \beta) = \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta$

y $\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sen \alpha \cdot \sen \beta$ y $ \sen(\alpha + \beta) = \sen \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sen \beta$

$ = \dfrac{ \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta - (\sen \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sen \beta) }{ \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sen \alpha \cdot \sen \beta - (\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sen \alpha \cdot \sen \beta) } = $

quitamos paréntesis y operamos

$ = \dfrac{ \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta - \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta }{ \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sen \alpha \cdot \sen \beta - \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sen \alpha \cdot \sen \beta } = $

Se cancelan en el numerador los términos $\sen \alpha \cdot \cos \beta$ y en el denominador $\cos \alpha \cdot \cos \beta$

$ = \dfrac{ -2 \cos \alpha \cdot \sen \beta }{ -2 \sen \alpha \cdot \sen \beta } = $

se simplifica en el numerador y denominador $ \sen \beta$ y el $-2$

$ = \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } = \cotg \alpha = \dfrac{1}{ \tg \alpha } $ ✓

Simplifica todo lo que puedas la siguiente expresión:

Sustituimos $\cos (2\alpha - \beta) = \cos 2\alpha \cdot \cos \beta + \sen 2\alpha \cdot \sen \beta$ y $ \sen(2\alpha - \beta) = \sen 2\alpha \cdot \cos \beta - \cos 2\alpha \cdot \sen \beta$

y $\cos (2\alpha + \beta) = \cos 2\alpha \cdot \cos \beta - \sen 2\alpha \cdot \sen \beta$ y $ \sen(2\alpha + \beta) = \sen 2\alpha \cdot \cos \beta + \cos 2\alpha \cdot \sen \beta$

$ = \dfrac{ \cos 2\alpha \cdot \cos \beta + \sen 2\alpha \cdot \sen \beta - (\cos 2\alpha \cdot \cos \beta - \sen 2\alpha \cdot \sen \beta) }{ \sen 2\alpha \cdot \cos \beta - \cos 2\alpha \cdot \sen \beta + (\sen 2\alpha \cdot \cos \beta + \cos 2\alpha \cdot \sen \beta) } = $

quitamos paréntesis y operamos

$ = \dfrac{ \cos 2\alpha \cdot \cos \beta + \sen 2\alpha \cdot \sen \beta - \cos 2\alpha \cdot \cos \beta + \sen 2\alpha \cdot \sen \beta }{ \sen 2\alpha \cdot \cos \beta - \cos 2\alpha \cdot \sen \beta + \sen 2\alpha \cdot \cos \beta + \cos 2\alpha \cdot \sen \beta } = $

Se cancelan en el numerador los términos $\cos 2\alpha \cdot \cos \beta$ y en el denominador $\cos 2\alpha \cdot \sen \beta$

$ = \dfrac{ 2 \sen 2\alpha \cdot \sen \beta }{ 2 \sen 2\alpha \cdot \cos \beta } = $

se simplifica en el numerador y denominador $ \sen 2\alpha$ y el $2$

$ = \dfrac{ \sen \beta }{ \cos \beta } = \tg \beta $ ✓

Empezamos por $ \dfrac{\ \ 1 + \tg \alpha \ \ }{\sec \alpha} $

Sustituimos $\sec \alpha = \dfrac{1}{\cos \alpha} $ y $\tg \alpha = \dfrac{\ \ \sen \alpha \ \ }{\cos \alpha} $

$ = \dfrac{ \ \ 1 + \dfrac{ \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \dfrac{1}{ \cos \alpha} } = $

operamos en el numerador

$ = \dfrac{ \ \ \dfrac{ \cos \alpha + \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \dfrac{1}{ \cos \alpha} } = $

Se cancelan en el numerador y en el denominador el $\dfrac{ 1 }{ \ \ \cos \alpha \ \ } $ y nos queda

$ = \cos \alpha + \sen \alpha $ ✓

Empezamos por $ \dfrac{\ \ \cos \alpha + \tg \alpha \ \ }{\cos \alpha \cdot \tg \alpha} $

Sustituimos $\tg \alpha = \dfrac{\ \ \sen \alpha \ \ }{\cos \alpha} $

$ = \dfrac{ \ \ \cos \alpha + \dfrac{ \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \cos \alpha \cdot \dfrac{ \sen \alpha}{ \cos \alpha} } = $

operamos en el numerador y en el denominador

$ = \dfrac{ \ \ \dfrac{\cos^2 \alpha + \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \cos \alpha \cdot \dfrac{ \sen \alpha}{ \cos \alpha} } = $

Se cancelan en el numerador y en el denominador el término $\dfrac{ 1 }{ \ \ \cos \alpha \ \ } $ y nos queda

$ = \dfrac{ \ \ \cos^2 \alpha + \sen \alpha \ \ }{ \cos \alpha \cdot \sen \alpha } = $

separamos en dos fracciones y nos queda

$ = \dfrac{ \ \ \cos^2 \alpha \ \ }{ \cos \alpha \cdot \sen \alpha } + \dfrac{ \ \ \sen \alpha \ \ }{ \cos \alpha \cdot \sen \alpha } = $

simplificamos en la $1^{\underline{a}}$ fraccción $\cos \alpha$ y en la $2^{\underline{a}}$ el $\sen \alpha$

$ = \dfrac{ \ \ \cos \alpha \ \ }{ \sen \alpha } + \dfrac{ 1 }{ \ \ \cos \alpha \ \ } = \cotg \alpha + \sec \alpha $ ✓

Empezamos por $ \dfrac{1 - \sen^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} $

factorizamos $1 - \sen^4 \alpha = (1 - \sen^2 \alpha) \cdot ( 1 + \sen^2 \alpha ) = $ sustituimos $ 1 - \sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha $ y qnos queda $1 - \sen^4 \alpha = \cos^2 \alpha \cdot ( 1 + \sen^2 \alpha )$ sustituimos

$ = \dfrac{ \cos^2 \alpha \cdot ( 1 + \sen^2 \alpha )}{\cos^2 \alpha} = $

simplificamos $\cos^2 \alpha $ en el numerador y en el denominador y nos queda

$ = 1 + \sen^2 \alpha = $

sustituimos $ \sen^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $ y tenemos

$ = 1 + 1 - \cos^2 \alpha = 2 - \cos^2 \alpha $ ✓

Empezamos por $ \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha \ \ }{\tg 2\alpha} $

$$ \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha \ \ }{\tg 2\alpha} = \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha \ \ }{ \dfrac{ \sen 2 \alpha }{ \cos 2 \alpha} } = \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha \ \ }{ \dfrac{ 2 \sen \alpha \cos \alpha }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha} } = \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha \ \ }{ \ \ \dfrac{ 2 \sen \alpha \cos \alpha \ \ }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha} } = \dfrac{ \ \ 2 \sen \alpha \left ( \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha \right ) \ \ }{ 2 \sen \alpha \cos \alpha } = $$

$$ = \dfrac{ \ \ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha \ \ }{ \cos \alpha } = \cos \alpha - \dfrac{\ \ \sen^2 \alpha \ \ }{\cos \alpha} ✓ $$

Empezamos por $ \dfrac{ \tg (2 \alpha) }{1 + \sec (2 \alpha) } $

$$ \dfrac{ \tg (2 \alpha) }{1 + \sec (2 \alpha) } = \dfrac{ \dfrac{ \ \ \sen 2\alpha \ \ }{ \cos 2\alpha } }{1 + \dfrac{ \ \ 1 \ \ }{ \cos 2\alpha } } = \dfrac{ \dfrac{ \ \ \sen 2\alpha \ \ }{ \cos 2\alpha } }{\dfrac{ \ \ \cos 2\alpha + 1 \ \ }{ \cos 2\alpha } } = \dfrac{ \ \ \sen 2\alpha \ \ }{ \ \ \cos 2\alpha + 1 \ \ } = \dfrac{ \ \ 2 \sen \alpha \cos \alpha \ \ }{1 + \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha} = \dfrac{ \ \ 2 \sen \alpha \cos \alpha \ \ }{ 2 \cos^2 \alpha } = $$

$$ = \dfrac{ \ \ \sen \alpha \ \ }{ \cos \alpha } = \tg \alpha ✓ $$

Empezamos por transformar sumas y restas en productos, $\cos 5 \theta + \cos \theta = 2 \cdot \cos 3\theta \cdot \cos 2\theta $ y

en el denominador $ \sen 5 \theta - \sen \theta = 2 \cdot \cos 3\theta \cdot \sen 2\theta $ sustituimos

$ \dfrac{ \cos 2 \theta + \cos 5 \theta + \cos \theta }{\sen 2 \theta + \sen 5 \theta - \sen \theta } = \dfrac{ \cos 2 \theta + 2 \cdot \cos 3\theta \cdot \cos 2\theta }{\sen 2 \theta + 2 \cdot \cos 3\theta \cdot \sen 2\theta } $

sacamos factor común en el numerador a $\cos 2 \theta$ y en el denominador a $\cos 2 \theta$ nos queda

$ = \dfrac{ \cos 2 \theta \cdot ( 1 + 2 \cdot \cos 3\theta ) }{\sen 2 \theta \cdot (1 + 2 \cdot \cos 3\theta ) } $

simplificamos el factor $ 1 + 2 \cdot \cos 3\theta $ y tenemos

$ = \dfrac{ \ \ \cos 2 \theta \ \ }{ \sen 2 \theta } = \cotg 2\theta $ ✓

Aquí tienes el enlace a otra página con más ejercicios de identidades trigonométricas (III).

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com