Resolución de los problemas de proporcionalidad
En todos estos problemas aparecen 2 o más magnitudes y se resuelven planteando una regla de tres COMPUESTA (sigue estos pasos):
- 1.- Escribimos todas las magnitudes que aparecen con la unidad en que las vamos a medir.
- 2.- Leemos el problema y colocamos las cantidades en la magnitud correspondiente. Recuerda que si no están en la misma unidad hay que pasarlas a la misma unidad. Llamamos «$x$» a la cantidad que tenemos que calcular.
- 3.- Comparamos cada magnitud con la magnitud en la que está la «$x$» para saber si es directa o inversa: utilizamos las letras «d» e «i». Recuerda que es muy importante hacerse un esquema. Tenemos que buscar siempre la relación de la magnitud que nos piden con el resto.
- Será Directa, si al aumentar/disminuir una magnitud la otra también aumenta/disminuye;
- Será Inversa, si al aumentar/disminuir una magnitud la otra también disminuye/aumenta.
- 4.- Escribimos primero la fracción de la magnitud en la que está la «$x$» seguida del signo «=» , después escribimos el producto de las fracciones de las otras magnitudes teniendo en cuenta que:
- Si es Directa formamos la fracción números igual que aparecen en la regla de tres.
- Si es Inversa escribimos la fracción inversa.
- 5.- Resolvemos la proporción y tenemos la solución del problema.
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1: Dos magnitudes directamente proporcionales
Un grupo de 8 amigos pagó 960€ por su estancia de 3 días en un hotel.
¿Cuánto costaba la estancia diaria de cada amigo?
Veamos el esquema
Con la regla de 3 compuesta:
$$ \dfrac{8}{1} \cdot \dfrac{3}{1} = \dfrac{960}{x} \Leftrightarrow 8
\cdot 3 \cdot x = 960 \Leftrightarrow x = \dfrac{ 960 }{ 8 \cdot 3 }
= \dfrac{ 120 }{ 3 } = 40 \ \text{€ costará la estancia diaria
de cada amigo} $$
Por reducción a la unidad:
$$ \begin{array}{ccc} Amigos & \text{Días} & \text{€} \cr 8 & 3 &
960 \cr \hline \cr \text{Dividimimos entre 8} & \qquad \qquad &
\text{Dividimimos entre 8} \cr 1 & 3 & 120 \cr \hline \cr \qquad
\qquad & \text{Dividimimos entre 3} & \text{Dividimimos entre 3}
\cr 1 & 1 & \ 40 \cr \end{array} $$
Un amigo paga por un día 40€.
Ejemplo 2: Dos magnitudes una directa y otra inversamente proporcional
En 7 días, 8 máquinas han cavado una zanja de 1.400 m de largo. ¿Cuántas
máquinas serán necesarias para cavar 300 m. de zanja en 6 días?
Veamos el esquema que hemos de hacer
Con la regla de 3 compuesta:
$$ \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{1.400}{300} = \dfrac{8}{x} \ \ \
\text{Simplificando}$$
$$ \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{14}{3} = \dfrac{8}{x} \Leftrightarrow 6 \cdot 14
\cdot x = 8 \cdot 3 \cdot 7 \Leftrightarrow x = \dfrac{ 8 \cdot 3 \cdot 7 }{ 6
\cdot 14 } = \dfrac{ 8 \cdot 3 }{ 6 \cdot 2 } = 2 \ \
\text{máquinas serán necesarias} $$
Por reducción a la unidad:
$$ \begin{array}{ccc} \text{Días} & Metros & \text{Máquinas} \cr 7
& 1400 & \ 8 \cr \hline \cr \qquad \qquad &
\text{Dividimos entre 2} &\text{Dividimos entre 2} \cr 7 & 700
& \ 4 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 7} &\qquad \qquad
& \text{Multiplicamos por 7} \cr 1 & 700 & 28 \cr \hline
\cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 7} &\text{Dividimos
entre 7} \cr 1 & 100 & \ 4 \cr \hline \cr \qquad \qquad &
\text{Multiplicamos por 3} &\text{Multiplicamos por 3} \cr 1 & 300
& \ 12 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 6} &\qquad \qquad
& \text{Dividimos entre 6} \cr 6 & 300 & 2 \cr
\end{array} $$
Serán necesarias 2 máquinas.
Ejemplo 3: Las dos magnitudes inversamente proporcionales
Para limpiar un monte en 5 días se necesitan 8 personas trabajando 6 horas al
día. ¿Cuántos días tardarán 6 personas si trabajan 5 h al día?
Veamos el esquema
Usando la regla de 3 compuesta:
$$ \dfrac{6}{8} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{x} \Leftrightarrow 6
\cdot 5 \cdot x = 8 \cdot 6 \cdot 5 \Leftrightarrow x = \dfrac{ 8 \cdot
6 \cdot 5 }{ 6 \cdot 5 } = 8 \ \ \text{días tardarán} $$
Por reducción a la unidad:
$$ \begin{array}{ccc} Personas & Horas & \text{Días} \cr 8 & 6
& \ 5 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 4} & \qquad \qquad
& \text{Multiplicamos por 4} \cr 2 & 6 & 20 \cr \hline \cr
\qquad \qquad & \text{Dividimos entre 6} & \text{Multiplicamos por
6} \cr 2 & 1 & 120 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 3} &
\qquad \qquad & \text{Dividimos entre 3} \cr 6 & 1 & 40 \cr
\hline \cr \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 5}
&\text{Dividimos entre 5} \cr 6 & 5 & \ 8 \cr \end{array} $$
Tardarán 8 días.
Ejemplo 4: Intervienen cuatro magnitudes en el problema
Veinte obreros han tendido 400 m de cable durante 6 días, trabajando 8 horas
diarias. ¿Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros durante 14
días para tender 700 m de cable?
Veamos el esquema
Usando la regla de 3 compuesta:
$$ \dfrac{24}{20} \cdot \dfrac{400}{700} \cdot \dfrac{14}{6} =
\dfrac{8}{x} \ \ \ \text{Simplificando}$$
$$ \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{7}{3} = \dfrac{8}{x}
\Leftrightarrow 6 \cdot 4 \cdot 7 \cdot x = 5 \cdot 7
\cdot 3 \cdot 8 \Leftrightarrow x = \dfrac{ 5 \cdot 7 \cdot
3 \cdot 8 }{ 6 \cdot 4 \cdot 7 } = \dfrac{ 5
\cdot 3 \cdot 8 }{ 6 \cdot 4 } = 5 \ \ \text{horas días serán necesarias}
$$
Por reducción a la unidad:
$$ \begin{array}{cccc} Obreros & Metros & \text{Días} & Horas \cr
20 & 400 & 6 & 8 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 5} &
\qquad \qquad & \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 5} \cr 4
& 400 & 6 & 40 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos
entre 4} & & \text{Dividimos entre 4} \cr 4 & 100 & 6 & 10
\cr \hline \cr \qquad \qquad & & \text{Dividimos entre 3} &
\text{Multipicamos por 3} \cr 4 & 100 & 2 & 30 \cr \hline
\cr \text{Multiplicamos por 6} & \qquad \qquad & \qquad \qquad &
\text{Dividimos entre 6} \cr 24 & 100 & 2 & 5 \cr \hline \cr
\qquad \qquad & \text{Multipicamos por 7} & & \text{Multipicamos
por 7} \cr 24 & 700 & 2 & 35 \cr \hline \cr \qquad \qquad
& & \text{Multipicamos por 7} & \text{Dividimos entre 7} \cr
24 & 700 & 14 & 5 \cr \end{array} $$
5 horas serían necesarias.
Variable incógnita: horas.
Relación entre las magnitudes:
- Mangueras-Horas: Cuantas más mangueras, menos horas se necesitan. Es una proporcionalidad inversa.
- Litros-Horas: Cuantos más litros de agua, más horas se necesitan. Es una proporcionalidad directa.
$$ \begin{array}{ccc} \text{Mangueras} & \text{Litros} & \text{Horas} \cr 6 & 18.000 & \ 3 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 6} & \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 6} \cr 1 & 18.000 & 18 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 18} & \text{Dividimos entre 18} \cr 1 & 1.000 & \ 1 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 128} &\text{Multiplicamos por 128} \cr 1 & 128.000 & 128 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 4} & \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 4} \cr 4 & 128.000 & 32\cr \end{array} $$
Usando la regla de tres compuesta: $$ \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{18.000}{128.000} = \dfrac{3}{x} \ \ \text{ Simplificando }$$ $$ \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{9}{64} = \dfrac{3}{x} \Leftrightarrow 2 \cdot 9 \cdot x = 3 \cdot 64 \cdot 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{ 3 \cdot 3 \cdot 64 }{ 9 \cdot 2 } = \dfrac{ 64 }{ 2 } = 32 \ \ \text{horas son necesarias} $$
Variable incógnita: €
Relación entre las magnitudes:
- kg - €: Cuantos más kg, más €. Es una proporcionalidad directa.
- km - €: Cuantas más km, más €. Es una proporcionalidad directa.
$$ \begin{array}{ccc} \text{kg} & \text{km} & \text{ € } \cr 5 & 60 & \ 9 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 5} & \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 5} \cr 1 & 60 & \ 9/5 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 60} & \text{Dividimos entre 60} \cr 1 & 1 & 3/100 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 200} &\text{Multiplicamos por 200} \cr 1 & 200 & 6 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 50} & \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 50} \cr 50 & 200 & 300 \cr \end{array} $$
Usando la regla de tres compuesta: $$ \dfrac{\ 5\ }{50} \cdot \dfrac{\ 60\ }{200} = \dfrac{\ 9\ }{x} \ \ \text{ Simplificando }$$ $$ \dfrac{\ 1\ }{10} \cdot \dfrac{\ 3\ }{10} = \dfrac{\ 9\ }{x} \Leftrightarrow 3 \cdot x = 9 \cdot 10 \cdot 10 \Leftrightarrow x = \dfrac{\ 9 \cdot 10 \cdot 10\ }{ 3 } = \dfrac{\ 900\ }{ 3 } = 300 \ \ \text{ € costará} $$
Variable incógnita: Años.
Relación entre las magnitudes:
- Programadores - años: Cuantos más programadores, menos años. Es una proporcionalidad inversa.
- Horas - años: Cuantas más horas, menos años se necesitan. Es una proporcionalidad inversa.
$$ \begin{array}{ccc} \text{Programadores} & \text{Horas} & \text{Años} \cr 8 & 5 & \ 3 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 8} & \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 8} \cr 1 & 5 & \ 24 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 5} & \text{Multiplicamos por 5} \cr 1 & 1 & 120 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 6} &\text{Dividimos entre 6} \cr 1 & 6 & 20 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 10} & \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 10} \cr 10 & 6 & 2\cr \end{array} $$
Usando la regla de tres compuesta: $$ \dfrac{\ 10\ }{8} \cdot \dfrac{\ 5\ }{6} = \dfrac{\ 3\ }{x} \ \ \text{ Simplificando }$$ $$ \dfrac{\ 5\ }{4} \cdot \dfrac{\ 6\ }{5} = \dfrac{3}{x} \Leftrightarrow 5 \cdot 6 \cdot x = 4 \cdot 5 \cdot 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{\ 3 \cdot 4 \cdot 5\ }{ 5 \cdot 6 } = \dfrac{\ 12\ }{ 6 } = 2 \ \ \text{años tardarán} $$
Variable incógnita: Días.
Relación entre las magnitudes:
- Obreros - Días: Cuantos más obreros, menos días. Es una proporcionalidad inversa.
- Horas - Días: Cuantas más horas, menos días. Es una proporcionalidad inversa.
- Metros - Días: Cuantas más días, más metros. Es una proporcionalidad directa.
$$ \begin{array}{cccc} \text{Obreros} & \text{Horas} & \qquad \text{Metros} & \qquad \text{Días} \cr 12 & \ 8 & \ 50 & \ 25 \cr \hline \cr \div 12 & \qquad \qquad & \qquad \qquad & \times 12 \cr \ 1 & \ 8 & \ 50 & 300 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \div 8 \qquad \qquad & & \times 8 \cr \ 1 & \ 1 & \ 50 & 2400 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \qquad \qquad & \div 50 & \div 50 \cr \ 1 & \ 1 & \ 1 & 48 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \qquad \qquad & \times 100 & \times 100 \cr \ 1 & \ 1 & \ 100 & 4800 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \times 10 \qquad \qquad & & \div 10 \cr \ 1 & \ 10 & \ 100 & 480 \cr \hline \cr \times 5 & \qquad \qquad & \qquad \qquad & \div 5 \cr \ 5 & \ 10 & \ 100 & 96 \cr \end{array} $$
Usando la regla de tres compuesta: $$ \dfrac{\ 5\ }{12} \cdot \dfrac{\ 10\ }{8} \cdot \dfrac{\ 50\ }{100} = \dfrac{\ 25\ }{x} \ \ \text{ Simplificando }$$ $$ \dfrac{\ 5\ }{12} \cdot \dfrac{\ 5\ }{4} \cdot \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 25\ }{x} \Leftrightarrow 25 \cdot x = 96 \cdot 25 \Leftrightarrow x = \dfrac{\ 96 \cdot 25\ }{ 25 } = 96 \ \ \text{ días \ tardarán } $$
Variable incógnita: Días.
Relación entre las magnitudes:
- Caballos - Días: A más caballos, menos días y viceversa. Es una proporcionalidad inversa.
- Kg - Días: A más caballos, más kg y viceversa. Es una proporcionalidad directa.
$$ \begin{array}{ccc} \text{Caballos} & \text{Pienso} & \text{Días} \cr 5 & 60 & \ 4 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 5} & \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 5} \cr 1 & 60 & \ 20 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 60} & \text{Dividimos entre 60} \cr 1 & 1 & 1/3 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 360} &\text{Multiplicamos por 360} \cr 1 & 360 & 120 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 8} & \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 8} \cr 8 & 20 & 15 \cr \end{array} $$
Usando la regla de tres compuesta: $$ \dfrac{\ 8\ }{5} \cdot \dfrac{\ 60\ }{360} = \dfrac{\ 4\ }{x} \ \ \text{ Simplificando }$$ $$ \dfrac{\ 8\ }{5} \cdot \dfrac{\ 1\ }{6} = \dfrac{\ 4\ }{x} \Leftrightarrow 8 \cdot 1 \cdot x = 5 \cdot 6 \cdot 4 \Leftrightarrow x = \dfrac{\ 4 \cdot 6 \cdot 5\ }{ 8 } = \dfrac{\ 3 \cdot 5\ }{ 1 } = 15 \ \ \text{ 15 días podrá alimentar} $$
Variable incógnita: Fuentes.
Relación entre las magnitudes:
- Horas - fuentes: A más horas, menos fuentes y viceversa. Es una proporcionalidad inversa.
- Litros - fuentes: A más litros.menos horas y viceversa. Es una proporcionalidad inversa.
$$ \begin{array}{ccc} \text{Horas} & \text{Litros} & \text{Fuentes} \cr 8 & 12 & \ 5 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 8} & \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 8} \cr 1 & 12 & \ 40 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 12} & \text{Multiplicamos por 12} \cr 1 & 1 & 480 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 20} &\text{Dividimos entre 20} \cr 1 & 20 & 24 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 6} & \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 6} \cr 6 & 20 & 4 \cr \end{array} $$
Usando la regla de tres compuesta: $$ \dfrac{\ 6\ }{8} \cdot \dfrac{\ 20\ }{12} = \dfrac{\ 5\ }{x} \ \ \text{ Simplificando }$$ $$ \dfrac{\ 1\ }{2} \cdot \dfrac{\ 5\ }{2} = \dfrac{\ 5\ }{x} \Leftrightarrow 5 \cdot 1 \cdot x = 2 \cdot 2 \cdot 5 \Leftrightarrow x = \dfrac{\ 2 \cdot 2 \cdot 5\ }{ 5 } = \dfrac{\ 4\ }{ 1 } = 4 \ \ \text{ 4 fuentes abrirán} $$
