Evolución «histórica» de la tabla periódica.

Inecuaciones o desigualdades. Ejercicios resueltos.

Inecuaciones de $\odn{1}{er}$ grado:

Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas con una o varias incógnitas. Los signos de desigualdad posibles son: $<, \leq, >$ y $\geq$. Veamos algunos ejemplos:

• $x - 2 > 1$
• $3 - x \geq 2$
• $x - 2 < 10 + 3x $
• $11 - 5x \leq 4x - 7$

En las inecuaciones se puede aplicar la regla de la suma: si sumo o resto cualquier número o expresión algebraica a ambos miembros de la desigualdad, se convierte en otra equivalente, con la misma solución.

En las inecuaciones se puede aplicar la regla del producto, pero aquí es donde hemos de tener cuidado:

• Si multiplicamos los dos miembros de la desigualdad por un número positivo, obtenemos una desigualdad equivalente.
• Pero, si multiplicamos los dos miembros de la desigualdad por un número negativo, está cambia de sentido, es decir: $$ \begin{array}{ccc} \fbox{$<$} \Longleftrightarrow \fbox{$>$} & & \fbox{$\leq$} \Longleftrightarrow \fbox{$\geq$} \cr \cr \fbox{$>$} \Longleftrightarrow \fbox{$<$} & & \fbox{$\geq$} \Longleftrightarrow \fbox{$\leq$} \end{array}$$

La solución de una inecuación es una semirrecta, intervalo infinito. Una inecuación puede «NO» tener solución. En algunos casos la solución puede ser todos los números reales. Dejamos un enlace a la entrada de intervalos.

Veamos algunos ejemplos:

• Regla de la suma: $3x + 5 > 2x - 10 \Rightarrow 3x + 5 - 2x > 2x - 10 - 2x \Rightarrow x + 5 > - 10$
  
• Regla de la suma: $x + 5 > - 10 \Rightarrow x + 5 - 5 > - 10 - 5 \Rightarrow x > - 15$
• Regla del producto ($c > 0, c \geq $): $15 \cdot x < 30 \Rightarrow x < \dfrac{\ 30\ }{15} \Rightarrow x < 2 $
• Regla del producto ($d < 0, d \leq 0 $): $-7x > 49 \Rightarrow x < \dfrac{\ 49\ }{-7} \Rightarrow x < - 7$

¿Cómo se resuelven las inecuaciones? Exactamente igual que las ecuaciones:

• Quitar denominadores si los tiene.
• Si tiene paréntesis, aplicar la propiedad distributiva.
• Agrupar términos en cada miembro de la desigualdad.
• Transponer términos, es decir, dejar las «$x$» a un lado y los números al otro.
• Despejar la $x$.

Veamos un ejemplo:

$$ \dfrac{\ x\ }{3} - \dfrac{\ 2x + 1\ }{8} - \dfrac{\ 8 - 10x\ }{45} > 0 $$
Quitamos los denominadores multiplicando por el mcm(3, 8, 45) = 360

$$ 360 \left ( \dfrac{\ x\ }{3} - \dfrac{\ 2x + 1\ }{8} - \dfrac{\ 8 - 10x\ }{45} \right ) > 0 \Rightarrow 360 \cdot \dfrac{\ x\ }{3} - 360 \cdot \dfrac{\ 2x + 1\ }{8} - 360 \cdot \dfrac{\ 8 - 10x\ }{45} > 0 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 120x - 45(2x + 1) - 8 (8 - 10x ) > 0 $$
Quitamos paréntesis, agrupamos y despejamos la $x$:
$$ 120x - 90x - 45 - 64 + 80x > 0 \Rightarrow 110x - 109 > 0 \Rightarrow 110 x > 109 \Rightarrow x > \dfrac{109}{110} $$

$ x \in \left ( \dfrac{109}{110}, +\infty \right ) = \left \{ x \in \R \ \bigg | \ x > \dfrac{109}{110} \right \} $   

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos los paréntesis:

$$ 2(x + 1) - 3x < 0 \implies 2x + 2 - 3x < 0 \implies 2 - x < 0 \implies 2 < x $$ $ x \in \left (2, +\infty \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x > 2 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos los paréntesis:

$$ x - 2(x - 3) - 8 < 2 \implies x - 2x + 6 - 8 < 2 \implies -x - 2 < 2 \implies -x < 4 \implies x > -4 $$ $ x \in \left (-4, +\infty \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x > -4 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos los paréntesis:

$$ 3(x - 3) + 12 \le 5x \implies 3x - 9 + 12 \le 5x \implies 3x + 3 \le 5x \implies -2x \le -3 \implies 2x \geq 3 \implies x \geq \mfrac{3}{2} $$ $ x \in \left (\mfrac{3}{2}, +\infty \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x > \mfrac{3}{2} \right \} $

Inecuaciones de $\odn{1}{er}$ grado con denominadores

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 3) = 6:

$$ 6 \cdot \left ( \dfrac{\ x - 1\ }{2} - \dfrac{\ x - 4\ }{3} \right ) < 6 \cdot 1 \Rightarrow 3 \cdot (x - 1) - 2 (x - 4) < 6 \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos los paréntesis aplicando la propiedad distributiva y resolvemos:
$$ \Rightarrow 3x - 3 - 2x + 8 < 6 \Rightarrow x + 5 < 6 \Rightarrow x < 1 $$ $ x \in \left ( -\infty, 1 \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x < 1 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 3, 6) = 6:

$$ 6 \cdot \left ( \dfrac{\ x\ }{3} + \dfrac{\ x\ }{2} \right ) > 6 \cdot \left ( 5 - \dfrac{\ x\ }{6} \right ) \Rightarrow 2x + 3x > 6 \cdot 5 - x \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ resolvemos:
$$ \Rightarrow 5x > 30 - x \Rightarrow 6x > 30 \Rightarrow x > \dfrac{\ 30\ }{6} \Rightarrow x > 5 $$ $ x \in \left (5, +\infty \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x > 5 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 7) = 14:

$$ 14 \cdot \left ( \dfrac{\ x\ }{2} + \dfrac{\ x + 1\ }{7} - x + 2 \right ) < 0 \Rightarrow 7x + 2 \cdot (x + 1) - 14x + 28 < 0 \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 7x + 2x + 2 - 14x + 28 < 0 \Rightarrow -5x + 30 < 0 \Rightarrow -5x < - 30 \Rightarrow 5x > 30 \Rightarrow x > \dfrac{\ 30\ }{5} \Rightarrow x > 6 $$ $ x \in \left (6, +\infty \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x > 6 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(3, 12) = 12:

$$ 12 \cdot \left ( \dfrac{\ 2x - 4\ }{3} + \dfrac{\ 3x + 1\ }{3} \right) < 12 \cdot \left ( \dfrac{\ 2x - 5\ }{12} \right ) \Rightarrow 4 \cdot (2x - 4) + 4 \cdot (3x + 1) < 2x - 5 \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 8x - 16 + 12x + 4 < 2x - 5 \Rightarrow 20x - 12 < 2x - 5 \Rightarrow 18x < 7 \Rightarrow x < \dfrac{ 7 }{\ 18\ } $$ $ x \in \left (-\infty, \dfrac{ 7 }{\ 18\ } \right ) = \left \{ x \in \R \ \bigg | x < \dfrac{ 7 }{\ 18\ } \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(3, 4, 12) = 12:

$$ 12 \cdot \left ( 4x - \dfrac{\ 3 - 2x\ }{4} \right ) < 12 \cdot \left ( \dfrac{\ 3x - 1\ }{3} + \dfrac{\ 37\ }{12}\right) \Rightarrow 48x - 3 \cdot (3 - 2x) < 4 \cdot (3x - 1) + 37 \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 48x - 9 + 6x < 12x - 4 + 37 \Rightarrow 54x - 9 < 12x + 33 \Rightarrow 42x < 42 \Rightarrow x < \dfrac{ 42 }{\ 42\ } \Rightarrow x < 1 $$ $ x \in \left (-\infty, 1 \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x < 1 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 7) = 14:

$$ 14 \cdot \left ( \dfrac{\ x\ }{2} + \dfrac{\ x + 1\ }{7} \right) > 14 \cdot \left ( x - 2 \right ) \Rightarrow 7x + 2 \cdot (x + 1) > 14 \cdot (x - 2) \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 7x + 2x + 2 > 14x - 28 \Rightarrow 9x + 2 > 14x - 28 \Rightarrow -5x > -30 \Rightarrow 5x < 30 \Rightarrow x < \dfrac{\ 30\ }{ 5 } \Rightarrow x < 6 $$ $ x \in \left (-\infty, 6 \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x < 6 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 4) = 4:

$$ 4 \cdot \left ( \dfrac{\ 2x + 3\ }{4} \right ) > 4 \cdot \left ( \dfrac{\ x + 1\ }{2} + 3 \right ) \Rightarrow 2x + 3 > 2 \cdot (x + 1) + 12 \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 2x + 3 > 2x + 2 + 12 \Rightarrow 2x + 3 > 2x + 14 \Rightarrow 0 > 11 \text{ ✗ } $$ Esta inecuación nunca se cumple, luego la inecuación original no tiene solución.

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 3, 4) = 12:

$$ 12 \cdot \left ( \dfrac{\ 5x - 2\ }{3} - \dfrac{\ x - 8\ }{4} \right ) > 12 \cdot \left ( \dfrac{\ x + 14\ }{2} - 2 \right ) \Rightarrow 4 \cdot (5x - 2) - 3 \cdot (x - 8) > 6 \cdot (x + 14) - 24 \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 20x - 8 - 3x + 24 > 6x + 84 - 24 \Rightarrow 17x + 16 > 6x + 60 \Rightarrow 11x > 44 \Rightarrow x > \dfrac{\ 44\ }{11} \Rightarrow x > 4 $$ $ x \in \left (4, +\infty \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x > 4 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 3, 4) = 12:

$$ 12 \cdot \left ( \dfrac{\ x - 2\ }{3} - \dfrac{\ 12 - x\ }{2} \right ) > 12 \cdot \left ( \dfrac{\ 5x - 36\ }{4} - 1 \right ) \Rightarrow 4 \cdot (x - 2) - 6 \cdot (12 - x) > 3 \cdot (5x - 36) - 12 \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 4x - 8 - 72 + 6x > 15x - 108 - 12 \Rightarrow 10x - 80 > 15x - 120 \Rightarrow -5x > -40 \Rightarrow 5x < 40 \Rightarrow x < \dfrac{\ 40\ }{5} \Rightarrow x < 8 $$ $ x \in \left (-\infty, 8 \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x < 8 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(3, 5, 15) = 15:

$$ 15 \cdot \left ( \dfrac{\ x + 4\ }{3} - \dfrac{\ x - 4\ }{5} \right ) > 15 \cdot \left ( 2 + \dfrac{\ 3x - 1\ }{15} \right ) \Rightarrow 5 \cdot (x + 4) - 3 \cdot (x - 4) > 30 + 3x - 1 \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 5x + 20 - 3x + 12 > 29 + 3x \Rightarrow 2x + 32 > 29 + 3x \Rightarrow 3 > x \Rightarrow x < 3 $$ $ x \in \left (-\infty, 3 \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x < 3 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(12, 18, 24) = 72:

$$ 72 \cdot \left ( \dfrac{x}{\ 18\ } - \dfrac{\ 2x + 1\ }{12} \right ) \geq 72 \cdot \left ( \dfrac{\ 2 - 4x\ }{24} \right ) \Rightarrow 4x - 6 \cdot (2x + 1) \geq 3 \cdot (2 - 4x) \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 4x - 12x - 6 \geq 6 - 12x \Rightarrow -8x - 6 \geq 6 - 12x \Rightarrow 4x \geq 12 \Rightarrow x \geq \dfrac{\ 12\ }{4} \Rightarrow x \geq 3 $$ $ x \in \left [3, +\infty \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x \geq 3 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 4, 5) = 20:

$$ 20 \cdot \left ( \dfrac{\ 3x - 3\ }{5} - \dfrac{\ 4x + 8\ }{2} \right ) < 20 \cdot \left ( \dfrac{\ x\ }{4} - 3x \right ) \Rightarrow 4 \cdot (3x - 3) - 10 \cdot (4x + 8) < 5x - 60x \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 12x - 12 - 40x - 80 < - 55x \Rightarrow -28x - 92 < - 55x \Rightarrow 27x < 92 \Rightarrow x < \dfrac{\ 92\ }{27} $$ $ x \in \left (-\infty, \dfrac{\ 92\ }{27} \right ) = \left \{ x \in \R \ \bigg | x < \dfrac{\ 92\ }{27} \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(3, 5, 15) = 15:

$$ 15 \cdot \left ( 1 - \dfrac{\ 3x - 7\ }{5} \right ) > 15 \cdot \left ( \dfrac{\ 5x + 4\ }{15} - \dfrac{\ x - 1\ }{3} \right ) \Rightarrow 15 - 3 \cdot (3x - 7) > 5x + 4 - 5 \cdot (x - 1) \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 15 - 9x + 21 > 5x + 4 - 5x + 5 \Rightarrow 36 - 9x > 9 \Rightarrow -9x > -27 \Rightarrow 9x < 27 \Rightarrow x < \dfrac{\ 27\ }{9} \Rightarrow x < 3 $$ $ x \in \left (-\infty, 3 \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x < 3 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 4) = 4:

$$ 4 \cdot \left ( \dfrac{\ x - 1\ }{2} - x \right ) < 4 \cdot \left ( \dfrac{\ 1 - x\ }{4} - 3 \right ) \Rightarrow 2 \cdot (x - 1) - 4x < 1 - x - 12 \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 2x - 2 - 4x < 1 - x - 12 \Rightarrow -2 - 2x < -x - 11 \Rightarrow 9 < x \Rightarrow x > 9 $$ $ x \in \left (9, +\infty \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x > 9 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 6) = 2:

$$ 6 \cdot \left ( x + \dfrac{\ 22 - x\ }{6} \right ) < 6 \cdot \left ( 2 - \dfrac{\ 2 + x\ }{2} \right ) \Rightarrow 6x + 22 - x < 12 - 3 \cdot (2 + x) \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 5x + 22 < 12 - 6 - 3x \Rightarrow 5x + 22 < 6 - 3x \Rightarrow 8x < -16 \Rightarrow x < \dfrac{\ -16\ }{ 8 } \Rightarrow x < -2 $$ $ x \in \left (-\infty, -2 \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x < - 2 \right \} $

Inecuaciones de $\odn{2}{o}$ grado o superior:

Pueden ser de la siguiente forma:

$$ ax^2 + bx + c > 0 \qquad \qquad ax^2 + bx + c \geq 0 \qquad \qquad ax^2 + bx + c < 0 \qquad \qquad ax^2 + bx + c \leq 0 $$ $\bullet \ $ Ejemplo $ x (x + 3) - 2x > 4 + 4x $

RESOLUCIÓN:

1. Agrupar todos los términos semejantes y llegar a una desigualdad $P(x) \leq 0$. Puede ser $P(x) < 0$, $P(x) > 0$ o $P(x) \geq 0$

$$x^2 + 3x - 2x - 4x - 4 >0 \Rightarrow x^2 - 3x - 4 > 0 $$
2. Resolver la ecuación asociada $P(x) = 0$

$$ x^2 - 3x - 4 = 0 $$
3. Factorizar $P(x)$, es decir, calcular las raices de $P(x)$.

$$ x^2 - 3x - 4 = x^2 + x - 4x - 4 = x(x - 1) - 4(x + 1) = (x + 1)(x - 4) \Rightarrow \text{Las raíces son -1 y 4.} $$
4. Dividir la recta numérica en los intervalos que marcan las raíces para estudiar el signo de los factores en dichos intervalos.

$$ (x + 1) \cdot (x - 4) > 0 $$ Si $x < -1 \Rightarrow x + 1 < 0$ y si $x < 4 \Rightarrow x - 4 < 0$



5. Resolver la desigualdad:

Ahora vamos a ver cuando $ (x + 1) \cdot (x - 4) > 0 $

$$ \left \{ \begin{array}{l} \text{ si } x < -1 \Rightarrow x + 1 < 0 \text{ y } x - 4 < 0 \implies (x + 1) \cdot (x - 4) > 0 \cr \cr \text{ si } x > -1 \text{ y } x < 4 \Rightarrow x + 1 > 0 \text{ y } x - 4 < 0 \implies (x + 1) \cdot (x - 4) < 0 \cr \cr \text{ si } x > 4 \Rightarrow x + 1 > 0 \text{ y } x - 4 > 0 \implies (x + 1) \cdot (x - 4) > 0 \cr \cr \end{array} \right . $$

Luego la solución es: $ (-\infty, -1) \cup (4, +\infty) $

Si una inecuación es de de $\odn{2}{o}$ grado, también se puede estudiar graficamente la funcion cuadratica.

Inecuaciones con fracciones algebraicas:

Son de la forma: $$ \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} < 0 \qquad \qquad \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} \leq 0 \qquad \qquad \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} > 0 \qquad \qquad \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} \geq 0 $$

Ejemplos:



$\bullet \ \mfrac{\ 2\ }{ x − 2} > 0 $

Como el numerador es positivo, tenemos que ver cuando el denominador es positivo también y entonces tendremos la solución:
\[ x - 2 > 0 \implies x > 2 \implies x \in (2, +\infty) \] \[ \mfrac{\ 2\ }{ x − 2} > 0 \text{ si } x \in (2, +\infty) \] $\bullet \ \mfrac{\ x + 1\ }{ x − 2} < 0 $

Al ser una fracción (algebraica) el signo de la fracción es negativo cuando numerador y denominador tengan signos opuestos. Es decir, estudiar el signo de $\mfrac{\ x + 1\ }{ x − 2} < 0$ y de $(x + 1) \cdot (x − 2) < 0$ es lo mismo (Hay que tener cuidado con los valores que anulen el denominador, esos hay que descartalos, no se puede dividir por cero). Ya tenemos los valores que nos marcan los intervalos en la recta numérica -1 y 2. Veamos el signo en los intervalos determinados por dichos números:

$$ \left \{ \begin{array}{l} \text{ si } x < -1 \Rightarrow x + 1 < 0 \text{ y } x - 2 < 0 \implies \mfrac{\ x + 1\ }{ x − 2} > 0 \cr \cr \text{ si } x > -1 \text{ y } x < 2 \Rightarrow x + 1 > 0 \text{ y } x - 4 < 0 \implies \mfrac{\ x + 1\ }{ x − 2} < 0 \cr \cr \text{ si } x > 2 \Rightarrow x + 1 > 0 \text{ y } x - 2 > 0 \implies \mfrac{\ x + 1\ }{ x − 2} > 0 \cr \cr \end{array} \right . $$ \[ \text{La solución es } \mfrac{\ x + 1\ }{ x − 2} < 0 \text{ si } x \in (-1, 2) \]

¿Qué ocurre cuando tenemos lo siguiente? $$ \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} < a \qquad \qquad \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} \leq a \qquad \qquad \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} > a \qquad \qquad \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} \geq a, \qquad \text{ con } a \neq 0 $$ o $$ \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} < r(x) \qquad \qquad \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} \leq r(x) \qquad \qquad \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} > r(x) \qquad \qquad \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} \geq r(x), \qquad \text{ con } r(x) \neq 0 $$ Pasaremos «a» o «r(x)» restando y tendremos: $$ \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} - a < 0 \qquad \qquad \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} -a \leq 0 \qquad \qquad \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} -a > 0 \qquad \qquad \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} -a \geq 0 $$ o $$ \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} - r(x) < 0 \qquad \qquad \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} - r(x) \leq 0 \qquad \qquad \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} - r(x) > 0 \qquad \qquad \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} - r(x) \geq 0 $$ Es decir, estaremos en el caso inicial de fracciones algebraicas.

$\bullet \ \mfrac{\ x + 3\ }{ x − 2} < 2 $

¡¡¡ Muy importante !!!! No podemos pasar el $x - 2$ del denominador multiplicando ya que $x - 2$ puede ser positivo (si $x > 2$), pero también puede ser negativo (si $x < 2$) en este caso habría que cambiar el signo de la desigualdad. Por eso es mejor pasar el 2 en este caso o la expresión algebraica que hubiera al otro lado de la desigualdad.

1. Expresar de la forma $ \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x) } ><0 $

$$ \dfrac{\ x + 3\ }{ x − 2} - 2 < 0 \Rightarrow \dfrac{\ x + 3\ }{ x − 2} - \dfrac{\ 2(x - 2)\ }{ x − 2 } < 0 \Rightarrow \dfrac{\ x + 3 - 2x + 4\ }{ x − 2} < 0 \Rightarrow \dfrac{\ 7 - x\ }{ x − 2} < 0 $$
2. Factorizar $P(x)$ y $Q(x)$. Calcular las raices de $P(x)$ y $Q(x)$

En este caso ya están factorizados.


3. Dividir la recta en intervalos. Estudiar el signo de los factores en los intervalos.

Si $x < 7 \Rightarrow 7 - x > 0$ y si $x < 2 \Rightarrow x - 2 < 0$


4. Resolver $P(x) > < 0$

$$ \left \{ \begin{array}{l} \text{ si } x < 2 \Rightarrow \dfrac{\ 7 - x\ }{ x − 2} < 0 \cr \cr \text{ si } x > 2 \text{ y } x < 7 \Rightarrow \dfrac{\ 7 - x\ }{ x − 2} > 0 \cr \cr \text{ si } x > 7 \Rightarrow \dfrac{\ 7 - x\ }{ x − 2} < 0 \cr \cr \end{array} \right . $$ Luego la solución es: $ (-\infty, 2) \cup (7, +\infty) $

En el lado derecho de la desigualdad ya tenemos un cero. Y para saber si la fracción algebraica es negativa, como el numerador es positivo, basta con ver que el denominador es negativo, es decir, $x + 3 < 0$. Esta desigualdad es muy sencilla:

$$ x + 3 < 0 \Leftrightarrow x < -3 $$ $$ \text{ Luego la solución es: } ( -\infty, 3 ) $$

En el lado derecho de la desigualdad no tenemos un cero, lo que tenemos que hacer es pasar el cero al otro lado.

¡¡¡ Muy importante !!! No podemos pasar el denominador mutiplicando, ya que $x - 3$ no tiene el signo constante, puede ser negativo y tendríamos que cambiar el signo de la desigualdad.

Pasamos el 4 restando y nos queda:

$$ \dfrac{\ 5x - 8\ }{ x - 3} \leq 4 \Leftrightarrow \dfrac{\ 5x - 8\ }{ x - 3 } - 4 \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{\ 5x - 8\ }{ x - 3 } - \dfrac{\ 4(x - 3)\ }{ x - 3 } \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{\ 5x - 8 - 4x + 12\ }{ x - 3 } \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{\ x + 4\ }{ x - 3 } \leq 0 $$ La fracción algeraica será negativa cuando numerador y denominador tengan distinto signo. El valor de $x$ que marca el signo del numerador es -4;y el valor que marca el signo del denominador es 3. Tenemos que tener cuidado ya que la $x$ no puede tomar el valor 3, porque anula el denominador y no podemos calcular su valor. Tenemos que calcular el valor de la fracción en los trozos de recta en que -4 y 3 dividen a la recta numérica:

$$ \left \{ \begin{array}{l} \text{ si } x < -4 \Rightarrow \dfrac{\ x + 4\ }{ x − 3 } > 0 ✗ \cr \cr \text{ si } x = -4 \Rightarrow \dfrac{\ 0 \ }{ x − 3 } \leq 0 \checkmark \cr \cr \text{ si } - 4 < x < 3 \text{ (está entre -4 y 3) } \Rightarrow \dfrac{\ x + 4\ }{ x − 3 } > 0 \checkmark \cr \cr \text{ si } x > 3 \Rightarrow \dfrac{\ x + 4\ }{ x − 3} < 0 ✗ \cr \cr \end{array} \right . $$

$$ \text{ Luego la solución es: } [ -4, 3 ) $$

Sistemas de inecuaciones de $\odn{1}{er}$ grado con una incógnita

En construcción

Sistemas de inecuaciones de $\odn{1}{er}$ grado con dos incógnitas

Si quieres repasar como se dibujan rectas en el método gráfico de resolución de sistemas 2x2 aquí te dejo este enlace.


Toda recta $ax + by + c = 0$ divide al plano en tres regiones:

El conjunto de puntos $(x, y)$ del plano para los que $ax + by + c = 0$;

El conjunto de puntos $(x, y)$ del plano para los que $ax + by + c > 0$;

El conjunto de puntos $(x, y)$ del plano para los que $ax + by + c < 0$.

A la parte del plano que es solución de una inecuación se le llama \textbf{región factible} de la inecuación. \\ \\ Por ejemplo, la recta $x - y + 1 = 0$ divide al plano en las siguientes \textbf{\emph{tres}} regiones:

Para resolver sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas seguiremos los siguientes pasos:

1. Replesenta en el plano cartesiano cada una de las rectas asociadas a las desigualdades del sistema.


2. Determina el semiplano solución para cada inecuación. (Cogiendo el punto más sencillo posible, por ejemplo, el origen de coordenadas (0, 0), si la recta pasa por el origen de coordenadas elegimos otro punto lo más sencillo posible.)
• Sustituye las coordenadas del punto en la inecuación original. Si la desigualdad es verdadera: El semiplano donde está ese punto es la solución. Márcalo con flechas o un sombreado suave.
• Si la desigualdad es falsa: La solución es el semiplano contrario (donde no está el punto).
3. Encuentra la solución. (región común o región factible)
• La solución del sistema completo es la intersección de todos los semiplanos que has hallado en el paso anterior.
• Busca la zona del gráfico donde coinciden todos los sombreados o hacia donde apuntan todas las flechas.
• Colorea con mayor intensidad esta región. Puede ser una zona acotada (un polígono cerrado) o no acotada (abierta hacia el infinito).

Dibuja la recta $2x + y = 2 \Rightarrow y = 2 - 2x \Rightarrow \begin{array}{c|c} \ \ x\ \ & \ \ y\ \ \cr \hline 0 & 2 \cr 1 & 0 \end{array} $
El punto $(0, 0)$ está en la región que cumple la desigualdad: $$ 2 \cdot 0 + 0 \leq 2 \checkmark $$
Dibuja la recta $x + y = -3 \Rightarrow y = -3 - x \Rightarrow \begin{array}{c|c} \ \ x\ \ & \ \ y\ \ \cr \hline 0 & -3 \cr -3 & 0 \end{array} $
El punto $(0, 0)$ está en la región que cumple la desigualdad: $$ 0 + 0 \geq -3 \checkmark $$
Dibuja la recta $x - y = 2 \Rightarrow y = x - 2 \Rightarrow \begin{array}{c|c} \ \ x\ \ & \ \ y\ \ \cr \hline 0 & -2 \cr 2 & 0 \end{array} $
El punto $(0, 0)$ está en la región que cumple la desigualdad: $$ 0 + 0 \leq 2 $$
Dibuja la recta $2x - 3y = -6 \Rightarrow y = \mfrac{2x + 6}{ 3 } \Rightarrow \begin{array}{c|c} \ \ x\ \ & \ \ y\ \ \cr \hline 0 & 2 \cr -3 & 0 \end{array} $
El punto $(0, 0)$ está en la región que cumple la desigualdad: $$ 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 \leq -6 $$ Si lo juntamos todo tenemos la solución representada en negro.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Curiosidades no matemáticas.

$\bullet$ ¿Sabes dónde deja Google las fotos de tu blog? https://get.google.com/albumarchive/

Alfabeto griego

El alfabeto griego se usa de forma habitual en el mundo de la ciencia y las Matemáticas no son una excepción. Aquí tenemos el alfabeto griego con sus letra mayúsculas, minúsculas y su nombre en español.

Letra mayúscula	Letra minúscula	Nombre en español
A	$\alpha$	alfa
B	$\beta$	beta
$\Gamma$	$\gamma$	gamma
$\Delta$	$\delta$	delta
E	$\epsilon, \varepsilon$	épsilon
Z	$\zeta$	dseta
H	$\eta$	eta
$\Theta$	$\theta, \vartheta$	zeta
I	$\iota$	iota
K	$\kappa$	kappa/cappa
$\Lambda$	$\lambda$	lambda
M	$\mu$	mi
N	$\nu$	ni/nu/ny*
$\Xi$	$\xi$	xi
O	o	ómicron
$\Pi$	$\pi$	pi
P	$\rho, \varrho$	ro
$\Sigma$	$\sigma$	sigma
T	$\tau$	tau
$\Upsilon$	$\upsilon$	ípsilon
$\Phi$	$\phi, \varphi$	fi
X	$\chi$	ji
$\Psi$	$\psi$	psi
$\Omega$	$\omega$	omega

ny* para leer la N.

Alfabeto NATO-OTAN

Letra y sonido	Palabra	Letra y sonido	Palabra
A [eI]	Alfa	N [єn]	November
B [bi:]	Bravo	O [әʊ]	Oscar
C [si:]	Charlie	P [pi:]	Pappa
D [di:]	Delta	Q [kju:]	Quebeq
E [i:]	Echo	R [ɒ:]	Romeo
F [єf]	Foxtrot	S [єs]	Sierra
G [ʤi:]	Golf	T [ti:]	Tango
H [eIt∫]	Hotel	U [ju:]	Uniform
G [ʤi:]	Golf	T [ti:]	Tango
H [eIt∫]	Hotel	U [ju:]	Uniform
I [aI]	India	V [vi:]	Victor
J [ʤeI]	Juliet	W [‘dʌbәl,ju:]	Whisky
K [keI]	Kilo	X [єks]	X_ray
L [єl]	Lima	Y [waI]	Yankee
M [єm]	Mike	Z [zєd/zi:]	Zulu
H [eIt∫]	Hotel	U [ju:]	Uniform

Teorema del Factor y del Resto. Factorización de polinomios.

Lo primero de todo vamos a repasar los términos que usaremos en esta entrada:

• Resto: es el número o expresión algebraica que sobra después de realizar una división no exacta. Por ejemplo, si dividimos 11 entre 3 obtenemos de resto 2.
• Factor: es un número o expresión algebraica que divide completamente a otro número o expresión algebraica sin dar resto. Por ejemplo, 5 es factor de 35 ya que si dividimos 35 entre 5 el resto es cero.

Esta es una entrada de polinomios, luego factor y resto se puede aplicar con número o polinomio.

RAÍZ DE UN POLINOMIO
Se dice que $a$ es una raíz del polinomio $p(x)$ si se cumple que $p(a) = 0$, es decir, al evaluar el polinomio en $x = a$ nos da 0.
Ejemplo: Comprueba si 2 y 5 son raíces del polinomio $p(x) = x^2 - 6x + 8$ $$ p(2) = 2^2 - 6 \cdot 2 + 8 = 4 - 12 + 8 = 0 \rightarrow \text{2 Es raíz del polinomio} $$ $$ p(5) = 5^2 - 6 \cdot 5 + 8 = 25 - 30 + 8 = 3 \rightarrow \text{5 No es raíz del polinomio} $$ $$ \fbox{ 2 es raíz del polinomio y 5 no es raíz del polinomio } $$ División de polinomios:
Para dividir dos polinomios se tiene que cumplir que el grado del polinomio dividendo sea mayor o igual que el grado del polinomio divisor y dividiremos hasta que el grado del polinomio resto sea menor que el grado del polinomio divisor.

La división puede ser en «galera» o en caja:

Podemos usar la regla de Ruffini, siempre que el polinomio divisor sea de $\odn{1}{er}$ grado y de la forma $x - a$ o $x + a$. Recordemos que para saber el valor que tenemos que poner en el divisor resolveremos la ecuación que sale de igualar el cociente a cero. Veamos un par de ejemplo:

$\ \bullet$ Si el divisor es $x - 2$, resolveremos la ecuación $x - 2 = 0$. La resolvemos $x = 2$, entonces 2 es el valor que hay que poner en el divisor.
$\ \bullet$ Si el divisor es $x + 4$, resolveremos la ecuación $x + 4 = 0$. La resolvemos $x = -4$, entonces -4 es el valor que hay que poner en el divisor.

TEOREMA DEL RESTO
Teorema del resto: El resto de la división de un polinomio entre el binomio $x - a$ es igual al valor numérico del polinomio para $x = a$.
Si dividimos el polinomio $q(x) = 3x^3 - 5x^2 - 8$ entre $x - 2$, y lo hacemos por Ruffini el resto es -4.
$$ \begin{array}{c|rrrr} & 3 & -5 & 0 & -8 \\ 2 & & 6 & 2 & 4 \\ \hline & 3 & 1 & 2 & \big | \underline{ -4 } \\ \end{array} $$ Si hallamos el valor numérico del polinomio $q(x) = 3x^3 - 5x^2 - 8$ tomando como valor de $x = 2$, obtenemos $q(2) = -4$.
$$ q(2) = 3 \cdot (2)^3 - 5 \cdot (2)^2 - 8 = 24 - 20 - 8 = -4 $$ El resto de la división de $q(x)$ entre $x - 2$ es el valor numérico de $q(x)$ en $x = 2$: $$ q(x) = (x -2) \cdot (3x^2 + x + 2) + (-4) $$ TEOREMA DEL FACTOR
Teorema del factor: Un polinomio $p(x)$ tiene como factor el término $x - a$ si el valor numérico del polinomio $p(x)$ para $x = a$ es 0.

Si dividimos el polinomio $p(x) = 3x^3 - 5x^2 - 4$ entre $x - 2$, haciéndolo por Ruffini vemos que el resto es 0.
Utilizando la comprobación de la división tenemos que: $$ d(x) = c(x) \cdot d(x) + r(x) $$ al ser el resto $r(x) = 0$ tenemos que $$p(x) = c(x) \cdot d(x)$$ por lo tanto: $ 3x^3 - 5x^2 - 4 = \left(3x^2 + x + 2 \right) \cdot (x - 2) $, y por lo tanto $ x - 2$ es un factor de $p(x)$.

Podemos concluir que el Teorema de factor es el Teorema del resto cuando el resto es cero.

Este ejercicio se puede hacer de dos formas:

$\odn{1}{a}$ forma: evaluando el polinomio $p(x)$ en -2 y que nos de -3 $ \Rightarrow p(-2) = -3 \Rightarrow $

$ (-2)^4 - 4 \cdot (-2)^2 + 3 \cdot (-2) + m = -3 \Rightarrow 16 - 16 - 6 + m = -3 \Rightarrow -6 + m = -3 \Rightarrow m = 3 $

$\odn{2}{a}$ forma: aplicando Ruffini:

El resto sabemos que tiene que ser -3, de la última columna tenemos que $-6 + m = 3 \Rightarrow m = 3$.

$ a)\ t(x) = x^4 - 4x^3 - 125 \Rightarrow ¿t(5)? $ Aplicamos Ruffini y tenemos:

Tenemos que $t(5) = 0$


$b)\ u(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \Rightarrow ¿u(-1)?$ Aplicamos Ruffini y tenemos:

Tenemos que $u(-1) = - 8$

Este ejercicio se puede hacer de dos formas:

$\odn{1}{a}$ forma: evaluando el polinomio $p(x)$ en 3 y que nos de 0 $ \Rightarrow p(3) = 0 \Rightarrow $

$ 4 \cdot (3)^2 - 6 \cdot 3 + a = 0 \Rightarrow 36 - 18 + a = 0 \Rightarrow 18 + a = 0 \Rightarrow a = -18 $

$\odn{2}{a}$ forma: aplicando Ruffini:

De la última columna tenemos que $$ 18 + a = 0 \Rightarrow a = -18 $$

Este ejercicio se puede hacer de dos formas:

$\odn{1}{a}$ forma: evaluando el polinomio $q(x)$ en 6 y que nos de 0$ \Rightarrow q(6) = 0 \Rightarrow $

$ 6^3 - 6 \cdot 6^2 + 2 \cdot 6 \cdot n - 1 = 0 \Rightarrow 6^3 - 6^3 + 12n - 1 = 0 \Rightarrow 12n = 1 \Rightarrow n = \dfrac{1}{12} $

$\odn{2}{a}$ forma: aplicando Ruffini:

De la última columna tenemos que $$ -1 + 12n = 0 \Rightarrow 12n = 1 \Rightarrow n = \dfrac{1}{12} $$

Como nos indica «sin hacer la división» usaremos el Teorema del Resto y comprobaremos si en dichos polinomios al evaluar $ x = 2$ nos da cero.

$a(2) = 2^2 + 3 \cdot 2 + 5 = 4 + 6 + 5 = 15 \neq 0$, luego no es raíz de $a(x)$. $b(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$, luego sí es raíz de $b(x)$. $c(2) = 2^3 - 20 = 8 - 20 = -12$, luego no es raíz de $c(x)$.

$a) \ $

Comprobación: $$ (x^2 + x - 3) \cdot (3x - 5) = 3x^3 - 5x^2 + 3x^2 - 5x - 9x + 15 = 3x^3 - 2x^2 - 14x + 15 \checkmark $$
Este apartado también se puede hacer por Ruffini, el número que tenemos que poner es $ x = \dfrac{5}{3}$ que es cuando se anula $3x - 5 = 0$:

Comprobación: $$ (3x^2 + 3x - 9) \cdot \left (x - \dfrac{5}{3} \right) = 3x^3 - 5x^2 + 3x^2 - 5x - 9x + 15 = 3x^3 - 2x^2 - 14x + 15 \checkmark $$
$ b) \ $

Comprobación: $$ (x^3-5 x+2) \cdot (x^2-3 x+1) + 11 x = x^5 - 3x^4 + x^3 - 5x^3 + 15x^2 - 5x + 2x^2 - 6x + 2 + 11 x = $$ $$ = x^5 - 3x^4 - 4x^3 + 17x^2 + 2 \checkmark $$

Factorización de polinomios:

¿Qué es factorizar un polinomio? Factorizar un polinomio es descomponerlo en un producto de polinomios «irreducibles». Los polinomios irreducibles son los polinomios de grado cero (números), los de $\odn{1}{er}$ grado y los de $\odn{2}{o}$ grado que no tienen raíces reales.

Ejemplos:

• $3 x^4+3 x^3+6 x-12 = 3 \cdot \color{blue}{(x - 1)} \cdot \color{blue}{(x + 2)} \cdot \left (x^2 + 2 \right)$
• $x^4 + 4x^2 - x + 6 = \left ( x^2 + x + 3 \right ) \cdot \left ( x^2 - x + 2 \right ) $
• $2x^6 + 5x^5 - 8x^4 - 17 x^3 - 6x^2 = \color{blue}{(2x + 1)} \cdot \color{blue}{(x - 2)} \cdot \color{blue}{(x + 3)} \cdot \color{blue}{(x + 1)} \cdot x^2$

Los polinomios de grado uno nos dicen la raíz numérica de los polinomios.

Para factorizr polinomios usaremos:

• sacar factor común:
  
  $P(x) = x^4 + 3x^3 = x^3\left(x + 3 \right ) $
  
  $Q(x) = 2x^4 - 4x^3 = 2x^3(x - 2) $
  
  
• identidades notables:
  
  $P(x) = x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2 $
  
  $ Q(x) = x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)$
  
  
• Ruffini: $P(x) = x^3 - 3x^2 - 13x + 15$
  
  $$ P(x) = x^3 - 3x^2 - 13 x + 15 = (x - 1) \cdot (x + 3) \cdot(x - 5) $$
• O las tres técnicas anteriores: Factoriza el polinomio $R(x) = x^6 + 5x^5 + 3x^4 - 9x^3$
  
  Sacando factor común: $R(x) = x^3 \cdot (x^3 + 5x^2 + 3x - 9)$
  
  Vemos fácilmente que 1 es raíz, usando Ruffini:
  
  
  
  $$ R(x) = x^3 \cdot ( x - 1) \cdot (x^2 + 6x + 9) $$ Usando identidades notables vemos que $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$
  
  $$ R(x) = x^3 \cdot ( x - 1) \cdot (x^2 + 6x + 9) = x^3 \cdot (x - 1) \cdot (x + 3)^2 $$

En construcción.

Vemos que la suma de los coeficientes da cero luego 1 es raíz. Aplicamos Ruffini:

$B(x) = x^4 + 2x^2 - 3 = (x - 1) \cdot (x^3 + x^2 + 3x + 3) $ donde vemos claramente que -1 es raíz. Aplicamos de nuevo Ruffini:

$B(x) = x^4 + 2x^2 - 3 = (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x^2 + 3)$ y vemos que el término (x^2 + 3) no se anula nunca ya que siempre es mayor estricto que cero: $${ {0 \atop \bigwedge \backslash} \atop x^2 } {\phantom{s} \atop + } { {0 \atop \bigwedge} \atop 3 } {\phantom{s} \atop > 0 } $$

Vemos dos cosas: la 1ª que la suma de los coeficientes es cero, luego 1 es raíz y podemos además sacar 2 factor común:

$ C(x) = 2x^3 + 8x^2 - 2x - 8 = 2 (x^3 + 4x^2 - x - 4) $ Aplicamos Ruffini y tenemos que:

$ C(x) = 2x^3 + 8x^2 - 2x - 8 = 2 \cdot (x - 1) \cdot (x^2 + 5x + 4) $

Ahora vemos que las raíces solamente pueden ser negativas, si fueran positivas nunca sería cero y vemos fácilmente que -1 es raíz, volvemos a aplicar Ruffini:

$$ C(x) = 2x^3 + 8x^2 - 2x - 8 = 2 \cdot (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x + 4) $$ Las raíces son 1, -1 y -4 respectivamente.

En construcción.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

IES Manuel Esteban de Villegas

Conversión de temperaturas: Celsius, Kelvin y Fahrenheit

Tenemos un conversor de grados Celsius a grados Kelvin y Farenheit. Moviendo el deslizador nos calcula automáticamente los grados en las otras dos escalas:

Celsius	Valor: 50	$^{\circ}C$
Kelvin		$^{\circ} K$
Fahrenheit		$^{\circ} F$

1. Para pasar de grados Celsius a Kelvin, sumar 273,15 $^{\circ} K = ^{\circ} C + 273,15$
   
2. Para pasar de grados Kelvin a Celsius, restar 273,15 $^{\circ} C = ^{\circ} K - 273,15$
   
3. Para pasar de grados Celsius a Fahrenheit, multiplicar por $\dfrac{\ 9\ }{5}$ y sumar 32. $^{\circ} F = ^{\circ} C \cdot \dfrac{\ 9\ }{5} + 32$
   
4. Para pasar de grados Fahrenheit a Celsius, restar 32 y al resultado se le multiplicar por $\dfrac{\ 5\ }{9}$ $^{\circ} C = (^{\circ} F - 32 ) \cdot \dfrac{\ 5\ }{9} $.