Teorema del Factor y del Resto. Factorización de polinomios.

Lo primero de todo vamos a repasar los términos que usaremos en esta entrada:

• Resto: es el número o expresión algebraica que sobra después de realizar una división no exacta. Por ejemplo, si dividimos 11 entre 3 obtenemos de resto 2.
• Factor: es un número o expresión algebraica que divide completamente a otro número o expresión algebraica sin dar resto. Por ejemplo, 5 es factor de 35 ya que si dividimos 35 entre 5 el resto es cero.

Esta es una entrada de polinomios, luego factor y resto se puede aplicar con número o polinomio.

RAÍZ DE UN POLINOMIO
Se dice que $a$ es una raíz del polinomio $p(x)$ si se cumple que $p(a) = 0$, es decir, al evaluar el polinomio en $x = a$ nos da 0.
Ejemplo: Comprueba si 2 y 5 son raíces del polinomio $p(x) = x^2 - 6x + 8$ $$ p(2) = 2^2 - 6 \cdot 2 + 8 = 4 - 12 + 8 = 0 \rightarrow \text{2 Es raíz del polinomio} $$ $$ p(5) = 5^2 - 6 \cdot 5 + 8 = 25 - 30 + 8 = 3 \rightarrow \text{5 No es raíz del polinomio} $$ $$ \fbox{ 2 es raíz del polinomio y 5 no es raíz del polinomio } $$ División de polinomios:
Para dividir dos polinomios se tiene que cumplir que el grado del polinomio dividendo sea mayor o igual que el grado del polinomio divisor y dividiremos hasta que el grado del polinomio resto sea menor que el grado del polinomio divisor.

La división puede ser en «galera» o en caja:

Podemos usar la regla de Ruffini, siempre que el polinomio divisor sea de $\odn{1}{er}$ grado y de la forma $x - a$, si $ a = 2$ será $ x - 2$ y si $ a = -4$ será $ x - (-4) = x + 4$:

TEOREMA DEL RESTO
Teorema del resto: El resto de la división de un polinomio entre el binomio $x - a$ es igual al valor numérico del polinomio para $x = a$.
Si dividimos el polinomio $q(x) = 3x^3 - 5x^2 - 8$ entre $x - 2$, y lo hacemos por Ruffini el resto es -4.
$$ \begin{array}{c|rrrr} & 3 & -5 & 0 & -8 \\ 2 & & 6 & 2 & 4 \\ \hline & 3 & 1 & 2 & \big | \underline{ -4 } \\ \end{array} $$ Si hallamos el valor numérico del polinomio $q(x) = 3x^3 - 5x^2 - 8$ tomando como valor de $x = 2$, obtenemos $q(2) = -4$.
$$ q(2) = 3 \cdot (2)^3 - 5 \cdot (2)^2 - 8 = 24 - 20 - 8 = -4 $$ El resto de la división de $q(x)$ entre $x - 2$ es el valor numérico de $q(x)$ en $x = 2$: $$ q(x) = (x -2) \cdot (3x^2 + x + 2) + (-4) $$ TEOREMA DEL FACTOR
Teorema del factor: Un polinomio $p(x)$ tiene como factor el término $x - a$ si el valor numérico del polinomio $p(x)$ para $x = a$ es 0.

Si dividimos el polinomio $p(x) = 3x^3 - 5x^2 - 4$ entre $x - 2$, haciéndolo por Ruffini vemos que el resto es 0.
Utilizando la comprobación de la división tenemos que: $$ d(x) = c(x) \cdot d(x) + r(x) $$ al ser el resto $r(x) = 0$ tenemos que $$p(x) = c(x) \cdot d(x)$$ por lo tanto: $ 3x^3 - 5x^2 - 4 = \left(3x^2 + x + 2 \right) \cdot (x - 2) $, y por lo tanto $ x - 2$ es un factor de $p(x)$.

Podemos concluir que el Teorema de factor es el Teorema del resto cuando el resto es cero.

Este ejercicio se puede hacer de dos formas:

$\odn{1}{a}$ forma: evaluando el polinomio $p(x)$ en -2 y que nos de -3 $ \Rightarrow p(-2) = -3 \Rightarrow $

$ (-2)^4 - 4 \cdot (-2)^2 + 3 \cdot (-2) + m = -3 \Rightarrow 16 - 16 - 6 + m = -3 \Rightarrow -6 + m = -3 \Rightarrow m = 3 $

$\odn{2}{a}$ forma: aplicando Ruffini:

El resto sabemos que tiene que ser -3, de la última columna tenemos que $-6 + m = 3 \Rightarrow m = 3$.

$ a)\ t(x) = x^4 - 4x^3 - 125 \Rightarrow ¿t(5)? $ Aplicamos Ruffini y tenemos:

Tenemos que $t(5) = 0$


$b)\ u(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \Rightarrow ¿u(-1)?$ Aplicamos Ruffini y tenemos:

Tenemos que $u(-1) = - 8$

Este ejercicio se puede hacer de dos formas:

$\odn{1}{a}$ forma: evaluando el polinomio $p(x)$ en 3 y que nos de 0 $ \Rightarrow p(3) = 0 \Rightarrow $

$ 4 \cdot (3)^2 - 6 \cdot 3 + a = 0 \Rightarrow 36 - 18 + a = 0 \Rightarrow 18 + a = 0 \Rightarrow a = -18 $

$\odn{2}{a}$ forma: aplicando Ruffini:

De la última columna tenemos que $$ 18 + a = 0 \Rightarrow a = -18 $$

Este ejercicio se puede hacer de dos formas:

$\odn{1}{a}$ forma: evaluando el polinomio $q(x)$ en 6 y que nos de 0$ \Rightarrow q(6) = 0 \Rightarrow $

$ 6^3 - 6 \cdot 6^2 + 2 \cdot 6 \cdot n - 1 = 0 \Rightarrow 6^3 - 6^3 + 12n - 1 = 0 \Rightarrow 12n = 1 \Rightarrow n = \dfrac{1}{12} $

$\odn{2}{a}$ forma: aplicando Ruffini:

De la última columna tenemos que $$ -1 + 12n = 0 \Rightarrow 12n = 1 \Rightarrow n = \dfrac{1}{12} $$

Como nos indica «sin hacer la división» usaremos el Teorema del Resto y comprobaremos si en dichos polinomios al evaluar $ x = 2$ nos da cero.

$a(2) = 2^2 + 3 \cdot 2 + 5 = 4 + 6 + 5 = 15 \neq 0$, luego no es raíz de $a(x)$. $b(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$, luego sí es raíz de $b(x)$. $c(2) = 2^3 - 20 = 8 - 20 = -12$, luego no es raíz de $c(x)$.

$a) \ $

Comprobación: $$ (x^2 + x - 3) \cdot (3x - 5) = 3x^3 - 5x^2 + 3x^2 - 5x - 9x + 15 = 3x^3 - 2x^2 - 14x + 15 \checkmark $$
Este apartado también se puede hacer por Ruffini, el número que tenemos que poner es $ x = \dfrac{5}{3}$ que es cuando se anula $3x - 5 = 0$:

Comprobación: $$ (3x^2 + 3x - 9) \cdot \left (x - \dfrac{5}{3} \right) = 3x^3 - 5x^2 + 3x^2 - 5x - 9x + 15 = 3x^3 - 2x^2 - 14x + 15 \checkmark $$
$ b) \ $

Comprobación: $$ (x^3-5 x+2) \cdot (x^2-3 x+1) + 11 x = x^5 - 3x^4 + x^3 - 5x^3 + 15x^2 - 5x + 2x^2 - 6x + 2 + 11 x = $$ $$ = x^5 - 3x^4 - 4x^3 + 17x^2 + 2 \checkmark $$

Factorización de polinomios:

¿Qué es factorizar un polinomio? Factorizar un polinomio es descomponerlo en un producto de polinomios «irreducibles». Los polinomios irreducibles son los polinomios de grado cero (números), los de $\odn{1}{er}$ grado y los de $\odn{2}{o}$ grado que no tienen raíces reales.

Ejemplos:

• $3 x^4+3 x^3+6 x-12 = 3 \cdot \color{blue}{(x - 1)} \cdot \color{blue}{(x + 2)} \cdot \left (x^2 + 2 \right)$
• $x^4 + 4x^2 - x + 6 = \left ( x^2 + x + 3 \right ) \cdot \left ( x^2 - x + 2 \right ) $
• $2x^6 + 5x^5 - 8x^4 - 17 x^3 - 6x^2 = \color{blue}{(2x + 1)} \cdot \color{blue}{(x - 2)} \cdot \color{blue}{(x + 3)} \cdot \color{blue}{(x + 1)} \cdot x^2$

Los polinomios de grado uno nos dicen la raíz numérica de los polinomios.

Para factorizr polinomios usaremos:

• sacar factor común:
  
  $P(x) = x^4 + 3x^3 = x^3\left(x + 3 \right ) $
  
  $Q(x) = 2x^4 - 4x^3 = 2x^3(x - 2) $
  
  
• identidades notables:
  
  $P(x) = x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2 $
  
  $ Q(x) = x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)$
  
  
• Ruffini: $P(x) = x^3 - 3x^2 - 13x + 15$
  
  $$ P(x) = x^3 - 3x^2 - 13 x + 15 = (x - 1) \cdot (x + 3) \cdot(x - 5) $$
• O las tres técnicas anteriores: Factoriza el polinomio $R(x) = x^6 + 5x^5 + 3x^4 - 9x^3$
  
  Sacando factor común: $R(x) = x^3 \cdot (x^3 + 5x^2 + 3x - 9)$
  
  Vemos fácilmente que 1 es raíz, usando Ruffini:
  
  
  
  $$ R(x) = x^3 \cdot ( x - 1) \cdot (x^2 + 6x + 9) $$ Usando identidades notables vemos que $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$
  
  $$ R(x) = x^3 \cdot ( x - 1) \cdot (x^2 + 6x + 9) = x^3 \cdot (x - 1) \cdot (x + 3)^2 $$

En construcción.

Vemos que la suma de los coeficientes da cero luego 1 es raíz. Aplicamos Ruffini:

$B(x) = x^4 + 2x^2 - 3 = (x - 1) \cdot (x^3 + x^2 + 3x + 3) $ donde vemos claramente que -1 es raíz. Aplicamos de nuevo Ruffini:

$B(x) = x^4 + 2x^2 - 3 = (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x^2 + 3)$ y vemos que el término (x^2 + 3) no se anula nunca ya que siempre es mayor estricto que cero: $${ {0 \atop \bigwedge \backslash} \atop x^2 } {\phantom{s} \atop + } { {0 \atop \bigwedge} \atop 3 } {\phantom{s} \atop > 0 } $$

Vemos dos cosas: la 1ª que la suma de los coeficientes es cero, luego 1 es raíz y podemos además sacar 2 factor común:

$ C(x) = 2x^3 + 8x^2 - 2x - 8 = 2 (x^3 + 4x^2 - x - 4) $ Aplicamos Ruffini y tenemos que:

$ C(x) = 2x^3 + 8x^2 - 2x - 8 = 2 \cdot (x - 1) \cdot (x^2 + 5x + 4) $

Ahora vemos que las raíces solamente pueden ser negativas, si fueran positivas nunca sería cero y vemos fácilmente que -1 es raíz, volvemos a aplicar Ruffini:

$$ C(x) = 2x^3 + 8x^2 - 2x - 8 = 2 \cdot (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x + 4) $$ Las raíces son 1, -1 y -4 respectivamente.

En construcción.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com