Inecuaciones. Ejercicios resueltos.

Inecuaciones de $\odn{1}{er}$ grado:

Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas con una o varias incógnitas. Los signos de desigualdad posibles son: $<, \leq, >$ y $\geq$. Veamos algunos ejemplos:

• $x - 2 > 1$
• $3 - x \geq 2$
• $x - 2 < 10 + 3x $
• $11 - 5x \leq 4x - 7$

En las inecuaciones se puede aplicar la regla de la suma: si sumo o resto cualquier número o expresión algebraica a ambos miembros de la desigualdad, se convierte en otra equivalente, con la misma solución.

En las inecuaciones se puede aplicar la regla del producto, pero aquí es donde hemos de tener cuidado:

• Si multiplicamos los dos miembros de la desigualdad por un número positivo, obtenemos una desigualdad equivalente.
• Pero, si multiplicamos los dos miembros de la desigualdad por un número negativo, está cambia de sentido, es decir: $$ \begin{array}{ccc} \fbox{$<$} \Longleftrightarrow \fbox{$>$} & & \fbox{$\leq$} \Longleftrightarrow \fbox{$\geq$} \cr \cr \fbox{$>$} \Longleftrightarrow \fbox{$<$} & & \fbox{$\geq$} \Longleftrightarrow \fbox{$\leq$} \end{array}$$

La solución de una inecuación es una semirrecta, intervalo infinito. Una inecuación puede «NO» tener solución. En algunos casos la solución puede ser todos los números reales. Dejamos un enlace a la entrada de intervalos.

Veamos algunos ejemplos:

• Regla de la suma: $3x + 5 > 2x - 10 \Rightarrow 3x + 5 - 2x > 2x - 10 - 2x \Rightarrow x + 5 > - 10$
  
• Regla de la suma: $x + 5 > - 10 \Rightarrow x + 5 - 5 > - 10 - 5 \Rightarrow x > - 15$
• Regla del producto ($c > 0, c \geq $): $15 \cdot x < 30 \Rightarrow x < \dfrac{\ 30\ }{15} \Rightarrow x < 2 $
• Regla del producto ($d < 0, d \leq 0 $): $-7x > 49 \Rightarrow x < \dfrac{\ 49\ }{-7} \Rightarrow x < - 7$

¿Cómo se resuelven las inecuaciones? Exactamente igual que las ecuaciones:

• Quitar denominadores si los tiene.
• Si tiene paréntesis, aplicar la propiedad distributiva.
• Agrupar términos en cada miembro de la desigualdad.
• Transponer términos, es decir, dejar las «$x$» a un lado y los números al otro.
• Despejar la $x$.

Veamos un ejemplo:

$$ \dfrac{\ x\ }{3} - \dfrac{\ 2x + 1\ }{8} - \dfrac{\ 8 - 10x\ }{45} > 0 $$
Quitamos los denominadores multiplicando por el mcm(3, 8, 45) = 360

$$ 360 \left ( \dfrac{\ x\ }{3} - \dfrac{\ 2x + 1\ }{8} - \dfrac{\ 8 - 10x\ }{45} \right ) > 0 \Rightarrow 360 \cdot \dfrac{\ x\ }{3} - 360 \cdot \dfrac{\ 2x + 1\ }{8} - 360 \cdot \dfrac{\ 8 - 10x\ }{45} > 0 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 120x - 45(2x + 1) - 8 (8 - 10x ) > 0 $$
Quitamos paréntesis, agrupamos y despejamos la $x$:
$$ 120x - 90x - 45 - 64 + 80x > 0 \Rightarrow 110x - 109 > 0 \Rightarrow 110 x > 109 \Rightarrow x > \dfrac{109}{110} $$

$ x \in \left ( \dfrac{109}{110}, +\infty \right ) = \left \{ x \in \R \ \bigg | \ x > \dfrac{109}{110} \right \} $   

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 3) = 6:

$$ 6 \cdot \left ( \dfrac{\ x - 1\ }{2} - \dfrac{\ x - 4\ }{3} \right ) < 6 \cdot 1 \Rightarrow 3 \cdot (x - 1) - 2 (x - 4) < 6 \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos los paréntesis aplicando la propiedad distributiva y resolvemos:
$$ \Rightarrow 3x - 3 - 2x + 8 < 6 \Rightarrow x + 5 < 6 \Rightarrow x < 1 $$ $ x \in \left ( -\infty, 1 \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x < 1 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 3, 6) = 6:

$$ 6 \cdot \left ( \dfrac{\ x\ }{3} + \dfrac{\ x\ }{2} \right ) > 6 \cdot \left ( 5 - \dfrac{\ x\ }{6} \right ) \Rightarrow 2x + 3x > 6 \cdot 5 - x \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ resolvemos:
$$ \Rightarrow 5x > 30 - x \Rightarrow 6x > 30 \Rightarrow x > \dfrac{\ 30\ }{6} \Rightarrow x > 5 $$ $ x \in \left (5, +\infty \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x > 5 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 7) = 14:

$$ 14 \cdot \left ( \dfrac{\ x\ }{2} + \dfrac{\ x + 1\ }{7} - x + 2 \right ) < 0 \Rightarrow 7x + 2 \cdot (x + 1) - 14x + 28 < 0 \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 7x + 2x + 2 - 14x + 28 < 0 \Rightarrow -5x + 30 < 0 \Rightarrow -5x < - 30 \Rightarrow 5x > 30 \Rightarrow x > \dfrac{\ 30\ }{5} \Rightarrow x > 6 $$ $ x \in \left (6, +\infty \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x > 6 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(3, 12) = 12:

$$ 12 \cdot \left ( \dfrac{\ 2x - 4\ }{3} + \dfrac{\ 3x + 1\ }{3} \right) < 12 \cdot \left ( \dfrac{\ 2x - 5\ }{12} \right ) \Rightarrow 4 \cdot (2x - 4) + 4 \cdot (3x + 1) < 2x - 5 \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 8x - 16 + 12x + 4 < 2x - 5 \Rightarrow 20x - 12 < 2x - 5 \Rightarrow 18x < 7 \Rightarrow x < \dfrac{ 7 }{\ 18\ } $$ $ x \in \left (-\infty, \dfrac{ 7 }{\ 18\ } \right ) = \left \{ x \in \R \ \bigg | x < \dfrac{ 7 }{\ 18\ } \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(3, 4, 12) = 12:

$$ 12 \cdot \left ( 4x - \dfrac{\ 3 - 2x\ }{4} \right ) < 12 \cdot \left ( \dfrac{\ 3x - 1\ }{3} + \dfrac{\ 37\ }{12}\right) \Rightarrow 48x - 3 \cdot (3 - 2x) < 4 \cdot (3x - 1) + 37 \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 48x - 9 + 6x < 12x - 4 + 37 \Rightarrow 54x - 9 < 12x + 33 \Rightarrow 42x < 42 \Rightarrow x < \dfrac{ 42 }{\ 42\ } \Rightarrow x < 1 $$ $ x \in \left (-\infty, 1 \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x < 1 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 7) = 14:

$$ 14 \cdot \left ( \dfrac{\ x\ }{2} + \dfrac{\ x + 1\ }{7} \right) > 14 \cdot \left ( x - 2 \right ) \Rightarrow 7x + 2 \cdot (x + 1) > 14 \cdot (x - 2) \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 7x + 2x + 2 > 14x - 28 \Rightarrow 9x + 2 > 14x - 28 \Rightarrow -5x > -30 \Rightarrow 5x < 30 \Rightarrow x < \dfrac{\ 30\ }{ 5 } \Rightarrow x < 6 $$ $ x \in \left (-\infty, 6 \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x < 6 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 4) = 4:

$$ 4 \cdot \left ( \dfrac{\ 2x + 3\ }{4} \right ) > 4 \cdot \left ( \dfrac{\ x + 1\ }{2} + 3 \right ) \Rightarrow 2x + 3 > 2 \cdot (x + 1) + 12 \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 2x + 3 > 2x + 2 + 12 \Rightarrow 2x + 3 > 2x + 14 \Rightarrow 0 > 11 \text{ ✗ } $$ Esta inecuación nunca se cumple, luego la inecuación original no tiene solución.

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 3, 4) = 12:

$$ 12 \cdot \left ( \dfrac{\ 5x - 2\ }{3} - \dfrac{\ x - 8\ }{4} \right ) > 12 \cdot \left ( \dfrac{\ x + 14\ }{2} - 2 \right ) \Rightarrow 4 \cdot (5x - 2) - 3 \cdot (x - 8) > 6 \cdot (x + 14) - 24 \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 20x - 8 - 3x + 24 > 6x + 84 - 24 \Rightarrow 17x + 16 > 6x + 60 \Rightarrow 11x > 44 \Rightarrow x > \dfrac{\ 44\ }{11} \Rightarrow x > 4 $$ $ x \in \left (4, +\infty \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x > 4 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 3, 4) = 12:

$$ 12 \cdot \left ( \dfrac{\ x - 2\ }{3} - \dfrac{\ 12 - x\ }{2} \right ) > 12 \cdot \left ( \dfrac{\ 5x - 36\ }{4} - 1 \right ) \Rightarrow 4 \cdot (x - 2) - 6 \cdot (12 - x) > 3 \cdot (5x - 36) - 12 \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 4x - 8 - 72 + 6x > 15x - 108 - 12 \Rightarrow 10x - 80 > 15x - 120 \Rightarrow -5x > -40 \Rightarrow 5x < 40 \Rightarrow x < \dfrac{\ 40\ }{5} \Rightarrow x < 8 $$ $ x \in \left (-\infty, 8 \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x < 8 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(3, 5, 15) = 15:

$$ 15 \cdot \left ( \dfrac{\ x + 4\ }{3} - \dfrac{\ x - 4\ }{5} \right ) > 15 \cdot \left ( 2 + \dfrac{\ 3x - 1\ }{15} \right ) \Rightarrow 5 \cdot (x + 4) - 3 \cdot (x - 4) > 30 + 3x - 1 \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 5x + 20 - 3x + 12 > 29 + 3x \Rightarrow 2x + 32 > 29 + 3x \Rightarrow 3 > x \Rightarrow x < 3 $$ $ x \in \left (-\infty, 3 \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x < 3 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(12, 18, 24) = 72:

$$ 72 \cdot \left ( \dfrac{x}{\ 18\ } - \dfrac{\ 2x + 1\ }{12} \right ) \geq 72 \cdot \left ( \dfrac{\ 2 - 4x\ }{24} \right ) \Rightarrow 4x - 6 \cdot (2x + 1) \geq 3 \cdot (2 - 4x) \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 4x - 12x - 6 \geq 6 - 12x \Rightarrow -8x - 6 \geq 6 - 12x \Rightarrow 4x \geq 12 \Rightarrow x \geq \dfrac{\ 12\ }{4} \Rightarrow x \geq 3 $$ $ x \in \left [3, +\infty \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x \geq 3 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 4, 5) = 20:

$$ 20 \cdot \left ( \dfrac{\ 3x - 3\ }{5} - \dfrac{\ 4x + 8\ }{2} \right ) < 20 \cdot \left ( \dfrac{\ x\ }{4} - 3x \right ) \Rightarrow 4 \cdot (3x - 3) - 10 \cdot (4x + 8) < 5x - 60x \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 12x - 12 - 40x - 80 < - 55x \Rightarrow -28x - 92 < - 55x \Rightarrow 27x < 92 \Rightarrow x < \dfrac{\ 92\ }{27} $$ $ x \in \left (-\infty, \dfrac{\ 92\ }{27} \right ) = \left \{ x \in \R \ \bigg | x < \dfrac{\ 92\ }{27} \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(3, 5, 15) = 15:

$$ 15 \cdot \left ( 1 - \dfrac{\ 3x - 7\ }{5} \right ) > 15 \cdot \left ( \dfrac{\ 5x + 4\ }{15} - \dfrac{\ x - 1\ }{3} \right ) \Rightarrow 15 - 3 \cdot (3x - 7) > 5x + 4 - 5 \cdot (x - 1) \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 15 - 9x + 21 > 5x + 4 - 5x + 5 \Rightarrow 36 - 9x > 9 \Rightarrow -9x > -27 \Rightarrow 9x < 27 \Rightarrow x < \dfrac{\ 27\ }{9} \Rightarrow x < 3 $$ $ x \in \left (-\infty, 3 \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x < 3 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 4) = 4:

$$ 4 \cdot \left ( \dfrac{\ x - 1\ }{2} - x \right ) < 4 \cdot \left ( \dfrac{\ 1 - x\ }{4} - 3 \right ) \Rightarrow 2 \cdot (x - 1) - 4x < 1 - x - 12 \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 2x - 2 - 4x < 1 - x - 12 \Rightarrow -2 - 2x < -x - 11 \Rightarrow 9 < x \Rightarrow x > 9 $$ $ x \in \left (9, +\infty \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x > 9 \right \} $

Lo $\odn{1}{o}$ quitamos denominadores multiplicando por el mcm(2, 6) = 2:

$$ 6 \cdot \left ( x + \dfrac{\ 22 - x\ }{6} \right ) < 6 \cdot \left ( 2 - \dfrac{\ 2 + x\ }{2} \right ) \Rightarrow 6x + 22 - x < 12 - 3 \cdot (2 + x) \Rightarrow $$ $\odn{2}{o}$ quitamos paréntesis y resolvemos:
$$ \Rightarrow 5x + 22 < 12 - 6 - 3x \Rightarrow 5x + 22 < 6 - 3x \Rightarrow 8x < -16 \Rightarrow x < \dfrac{\ -16\ }{ 8 } \Rightarrow x < -2 $$ $ x \in \left (-\infty, -2 \right ) = \left \{ x \in \R \ \big | x < - 2 \right \} $

Inecuaciones de $\odn{2}{o}$ grado o superior:

Pueden ser de la siguiente forma:

$$ ax^2 + bx + c > 0 \qquad \qquad ax^2 + bx + c \geq 0 \qquad \qquad ax^2 + bx + c < 0 \qquad \qquad ax^2 + bx + c \leq 0 $$ $\bullet \ $ Ejemplo $ x (x + 3) - 2x > 4 + 4x $

RESOLUCIóN:

1. Expresar de la forma $P(x) > 0, P(x) \geq 0, P(x) < 0, P(x) \leq 0$

$$x^2 + 3x - 2x - 4x - 4 = x^2 - 3x - 4 $$
2. Factorizar $P(x)$, calcular las raices de $P(x)$.

$$ x^2 - 3x - 4 = x^2 + x - 4x - 4 = x(x - 1) - 4(x + 1) = (x + 1)(x - 4) \Rightarrow \text{Las raíces son -1 y 4.} $$
3. Dividir la recta en intervalos para estudiar el signo de los factores en los intervalos.

$$ (x + 1) \cdot (x - 4) > 0 $$ Si $x < -1 \Rightarrow x + 1 < 0$ y si $x < 4 \Rightarrow x - 4 < 0$


4. Resolver $P(x) >< 0$

Ahora resolvemos $ (x + 1) \cdot (x - 4) > 0 $

$$ \left \{ \begin{array}{l} \text{ si } x < -1 \Rightarrow (x + 1) \cdot (x - 4) > 0 \cr \cr \text{ si } x > -1 \text{ y } x < 4 \Rightarrow (x + 1) \cdot (x - 4) < 0 \cr \cr \text{ si } x > 4 \Rightarrow (x + 1) \cdot (x - 4) > 0 \cr \cr \end{array} \right . $$ Luego la solución es: $ (-\infty, -1) \cup (4, +\infty) $

Si a inecuación es de de $\odn{2}{o}$ grado, también se puede estudiar graficamente la funcion cuadratica, el signo del coeficiente de $x^2$ para averiguar las soluciones de $P(X) > < 0$.

Inecuaciones con fracciones algebraicas:

Son de la forma: $$ \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} < 0 \qquad \qquad \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} \leq 0 \qquad \qquad \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} > 0 \qquad \qquad \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x)} \geq 0 $$ $\bullet\ $ Ejemplo: $\dfrac{\ x + 3\ }{ x − 2} < 2 $

RESOLUCIÓN: ¡¡¡ Muy importante !!!! No podemos pasar el $x - 2$ del denominador multiplicando ya que $x - 2$ puede ser positivo ($x > 2$), pero también puede ser negativo ($x < 2$) en este caso habría que cambiar el signo de la desigualdad. Por eso es mejor pasar el 2 en este caso o la expresión algebraica que hubiera al otro lado de la desigualdad.

1. Expresar de la forma $ \dfrac{\ P(x)\ }{ Q(x) } ><0 $

$$ \dfrac{\ x + 3\ }{ x − 2} - 2 < 0 \Rightarrow \dfrac{\ x + 3\ }{ x − 2} - \dfrac{\ 2(x - 2)\ }{ x − 2 } < 0 \Rightarrow \dfrac{\ x + 3 - 2x + 4\ }{ x − 2} < 0 \Rightarrow \dfrac{\ 7 - x\ }{ x − 2} < 0 $$
2. Factorizar $P(x)$ y $Q(x)$. Calcular las raices de $P(x)$ y $Q(x)$

En este caso ya están factorizados.


3. Dividir la recta en intervalos. Estudiar el signo de los factores en los intervalos.

Si $x < 7 \Rightarrow 7 - x > 0$ y si $x < 2 \Rightarrow x - 2 < 0$


4. Resolver $P(x) > < 0$

$$ \left \{ \begin{array}{l} \text{ si } x < 2 \Rightarrow \dfrac{\ 7 - x\ }{ x − 2} < 0 \cr \cr \text{ si } x > 2 \text{ y } x < 7 \Rightarrow \dfrac{\ 7 - x\ }{ x − 2} > 0 \cr \cr \text{ si } x > 7 \Rightarrow \dfrac{\ 7 - x\ }{ x − 2} < 0 \cr \cr \end{array} \right . $$ Luego la solución es: $ (-\infty, 2) \cup (7, +\infty) $

En el lado derecho de la desigualdad ya tenemos un cero. Y para saber si la fracción algebraica es negativa, como el numerador es positivo, basta con ver que el denominador es negativo, es decir, $x + 3 < 0$. Esta desigualdad es muy sencilla:

$$ x + 3 < 0 \Leftrightarrow x < -3 $$ $$ \text{ Luego la solución es: } ( -\infty, 3 ) $$

En el lado derecho de la desigualdad no tenemos un cero, lo que tenemos que hacer es pasar el cero al otro lado.

¡¡¡ Muy importante !!! No podemos pasar el denominador mutiplicando, ya que $x - 3$ no tiene el signo constante, puede ser negativo y tendríamos que cambiar el signo de la desigualdad.

Pasamos el 4 restando y nos queda:

$$ \dfrac{\ 5x - 8\ }{ x - 3} \leq 4 \Leftrightarrow \dfrac{\ 5x - 8\ }{ x - 3 } - 4 \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{\ 5x - 8\ }{ x - 3 } - \dfrac{\ 4(x - 3)\ }{ x - 3 } \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{\ 5x - 8 - 4x + 12\ }{ x - 3 } \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{\ x + 4\ }{ x - 3 } \leq 0 $$ La fracción algeraica será negativa cuando numerador y denominador tengan distinto signo. El valor de $x$ que marca el signo del numerador es -4;y el valor que marca el signo del denominador es 3. Tenemos que tener cuidado ya que la $x$ no puede tomar el valor 3, porque anula el denominador y no podemos calcular su valor. Tenemos que calcular el valor de la fracción en los trozos de recta en que -4 y 3 dividen a la recta numérica:

$$ \left \{ \begin{array}{l} \text{ si } x < -4 \Rightarrow \dfrac{\ x + 4\ }{ x − 3 } > 0 ✗ \cr \cr \text{ si } x = -4 \Rightarrow \dfrac{\ 0 \ }{ x − 3 } \leq 0 \checkmark \cr \cr \text{ si } - 4 < x < 3 \text{ (está entre -4 y 3) } \Rightarrow \dfrac{\ x + 4\ }{ x − 3 } > 0 \checkmark \cr \cr \text{ si } x > 3 \Rightarrow \dfrac{\ x + 4\ }{ x − 3} < 0 ✗ \cr \cr \end{array} \right . $$

$$ \text{ Luego la solución es: } [ -4, 3 ) $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com