El alfabeto griego se usa de forma habitual en el mundo de la ciencia y las Matemáticas no son una excepción. Aquí tenemos el alfabeto griego con sus letra mayúsculas, minúsculas y su nombre en español.
Lo primero de todo vamos a repasar los términos que usaremos en esta entrada:
Resto: es el número o expresión algebraica que sobra después de realizar una división no exacta. Por ejemplo, si dividimos 11 entre 3 obtenemos de resto 2.
Factor: es un número o expresión algebraica que divide completamente a otro número o expresión algebraica sin dar resto. Por ejemplo, 5 es factor de 35 ya que si dividimos 35 entre 5 el resto es cero.
Esta es una entrada de polinomios, luego factor y resto se puede aplicar con número o polinomio.
RAÍZ DE UN POLINOMIO
Se dice que $a$ es una raíz del polinomio $p(x)$ si se cumple que $p(a) = 0$, es decir, al evaluar el polinomio en $x = a$ nos da 0. Ejemplo: Comprueba si 2 y 5 son raíces del polinomio $p(x) = x^2 - 6x + 8$
$$ p(2) = 2^2 - 6 \cdot 2 + 8 = 4 - 12 + 8 = 0 \rightarrow \text{2 Es raíz del polinomio} $$
$$ p(5) = 5^2 - 6 \cdot 5 + 8 = 25 - 30 + 8 = 3 \rightarrow \text{5 No es raíz del polinomio} $$
$$ \fbox{ 2 es raíz del polinomio y 5 no es raíz del polinomio } $$
División de polinomios:
Para dividir dos polinomios se tiene que cumplir que el grado del polinomio dividendo sea mayor o igual que el grado del polinomio divisor y dividiremos hasta que el grado del polinomio resto sea menor que el grado del polinomio divisor.
La división puede ser en «galera» o en caja:
Podemos usar la regla de Ruffini, siempre que el polinomio divisor sea de $\odn{1}{er}$ grado y de la forma $x - a$ o $x + a$. Recordemos que para saber el valor que tenemos que poner en el divisor resolveremos la ecuación que sale de igualar el cociente a cero. Veamos un par de ejemplo:
$\ \bullet$ Si el divisor es $x - 2$, resolveremos la ecuación $x - 2 = 0$. La resolvemos $x = 2$, entonces 2 es el valor que hay que poner en el divisor.
$\ \bullet$ Si el divisor es $x + 4$, resolveremos la ecuación $x + 4 = 0$. La resolvemos $x = -4$, entonces -4 es el valor que hay que poner en el divisor.
TEOREMA DEL RESTO Teorema del resto: El resto de la división de un polinomio entre el binomio $x - a$ es igual al valor numérico del polinomio para $x = a$.
Si dividimos el polinomio $q(x) = 3x^3 - 5x^2 - 8$ entre $x - 2$, y lo hacemos por Ruffini el resto es -4.
$$ \begin{array}{c|rrrr}
& 3 & -5 & 0 & -8 \\
2 & & 6 & 2 & 4 \\
\hline & 3 & 1 & 2 & \big | \underline{ -4 } \\
\end{array} $$
Si hallamos el valor numérico del polinomio $q(x) = 3x^3 - 5x^2 - 8$ tomando como valor de $x = 2$, obtenemos $q(2) = -4$.
$$ q(2) = 3 \cdot (2)^3 - 5 \cdot (2)^2 - 8 = 24 - 20 - 8 = -4 $$
El resto de la división de $q(x)$ entre $x - 2$ es el valor numérico de $q(x)$ en $x = 2$:
$$ q(x) = (x -2) \cdot (3x^2 + x + 2) + (-4) $$
TEOREMA DEL FACTOR Teorema del factor: Un polinomio $p(x)$ tiene como factor el término $x - a$ si el valor numérico del polinomio $p(x)$ para $x = a$ es 0.
Si dividimos el polinomio $p(x) = 3x^3 - 5x^2 - 4$ entre $x - 2$, haciéndolo por Ruffini vemos que el resto es 0.
Utilizando la comprobación de la división tenemos que:
$$ d(x) = c(x) \cdot d(x) + r(x) $$
al ser el resto $r(x) = 0$ tenemos que
$$p(x) = c(x) \cdot d(x)$$
por lo tanto:
$ 3x^3 - 5x^2 - 4 = \left(3x^2 + x + 2 \right) \cdot (x - 2) $, y por lo tanto $ x - 2$ es un factor de $p(x)$.
Podemos concluir que el Teorema de factor es el Teorema del resto cuando el resto es cero.
Este ejercicio se puede hacer de dos formas:
$\odn{1}{a}$ forma: evaluando el polinomio $p(x)$ en -2 y que nos de -3 $ \Rightarrow p(-2) = -3 \Rightarrow $
$ (-2)^4 - 4 \cdot (-2)^2 + 3 \cdot (-2) + m = -3 \Rightarrow 16 - 16 - 6 + m = -3 \Rightarrow -6 + m = -3 \Rightarrow m = 3 $
$\odn{2}{a}$ forma: aplicando Ruffini:
El resto sabemos que tiene que ser -3, de la última columna tenemos que $-6 + m = 3 \Rightarrow m = 3$.
De la última columna tenemos que $$ -1 + 12n = 0 \Rightarrow 12n = 1 \Rightarrow n = \dfrac{1}{12} $$
Como nos indica «sin hacer la división» usaremos el Teorema del Resto y comprobaremos si en dichos polinomios al evaluar $ x = 2$ nos da cero.
$a(2) = 2^2 + 3 \cdot 2 + 5 = 4 + 6 + 5 = 15 \neq 0$, luego no es raíz de $a(x)$.
$b(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$, luego sí es raíz de $b(x)$.
$c(2) = 2^3 - 20 = 8 - 20 = -12$, luego no es raíz de $c(x)$.
$a) \ $
Comprobación:
$$ (x^2 + x - 3) \cdot (3x - 5) = 3x^3 - 5x^2 + 3x^2 - 5x - 9x + 15 = 3x^3 - 2x^2 - 14x + 15 \checkmark $$
Este apartado también se puede hacer por Ruffini, el número que tenemos que poner es $ x = \dfrac{5}{3}$ que es cuando se anula $3x - 5 = 0$:
¿Qué es factorizar un polinomio? Factorizar un polinomio es descomponerlo en un producto de polinomios «irreducibles». Los polinomios irreducibles son los polinomios de grado cero (números), los de $\odn{1}{er}$ grado y los de $\odn{2}{o}$ grado que no tienen raíces reales.
Ahora vemos que las raíces solamente pueden ser negativas, si fueran positivas nunca sería cero y vemos fácilmente que -1 es raíz, volvemos a aplicar Ruffini:
Tenemos un conversor de grados Celsius a grados Kelvin y Farenheit. Moviendo el deslizador nos calcula automáticamente los grados en las otras dos escalas:
Para pasar de grados Celsius a Kelvin, sumar 273,15 $^{\circ} K = ^{\circ} C + 273,15$
Para pasar de grados Kelvin a Celsius, restar 273,15 $^{\circ} C = ^{\circ} K - 273,15$
Para pasar de grados Celsius a Fahrenheit, multiplicar por $\dfrac{\ 9\ }{5}$ y sumar 32. $^{\circ} F = ^{\circ} C \cdot \dfrac{\ 9\ }{5} + 32$
Para pasar de grados Fahrenheit a Celsius, restar 32 y al resultado se le multiplicar por $\dfrac{\ 5\ }{9}$ $^{\circ} C = (^{\circ} F - 32 ) \cdot \dfrac{\ 5\ }{9} $.
$\textbf{¿Qué es un radical?}$ Es aquel número que no puede ser simplificado para extraer su raíz, es decir, que no es una raíz exacta y por ello el signo del radical aparece, es decir, una potencia cuyo exponente es una fracción irreducible. Ejemplos:
$\bullet$ Para sacar factores de un radical, por ejemplo: $\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ ¿Cómo se hace? ¿Cómo se sacan?
Factorizamos el radicando en producto de primos, para cada primo cogemos el exponente, si no es mayor que el índice, no podemos sacar factores de ese primo, si el exponente es mayor, hacemos la división entera, se sacan tantos factores como dice el cociente y se quedan tantos factores como indique el resto.
Veamos el ejemplo de $\sqrt{8},$ y sabemos que $8 = 2^3$, como el exponente 3 es mayor 2, hacemos la división entera y sale cociente 1 y resto 1, eso quiere decir que se saca un $\color{blue}{2}$ y se queda otro $\color{green}{2}$, es decir, $\sqrt{8} = \sqrt{2^3} = \color{blue}{2} \color{black} \sqrt{\ \color{green}{2}\ }$.
Veamos otro ejemplo: $$\sqrt[3]{972} = \sqrt[3]{\ 2^2 \cdot 3^5\ }$$
Cogemos el primer factor que es $2^2$, como el exponente es 2, que es menor que 3, no hacemos nada. Ahora cogemos el otro factor $3^5$, y hacemos la divisón entera entre el exponente 5 y el índice 3, nos da cociente 1 y resto 2, es decir, sacamos un 3 y se quedan dos 3. Es decir: $$\sqrt[3]{972} = \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^5} = 3 \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^2} $$
Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales:
Veamos si hay algo más que se pueda factorizar en el radicando
$$ \sqrt{\ 9 \cdot a^4 \cdot b \cdot c^5\ } = \sqrt{\ 3^2 \cdot a^4 \cdot b \cdot c^5\ } = (*) $$
Ahora revisamos los factores primos y vemos que el exponente del $b$ es menor que 1, luego de ese factor no podemos sacar nada. Del resto, tienen los exponentes mayor o igual que 2 y podemos sacar algún factor. De 3, sale 1 y queda 0; de $a$ salen 2 y ninguno se queda; y de $c$ salen 2 y se queda 1:
$$ (*) = 3 \cdot a^2 \cdot c^2 \cdot \sqrt{\ b c\ } $$
Veamos si hay algo más que se pueda factorizar en el radicando
$$ \sqrt{\ 18 \cdot a^{12} \cdot b^9 \cdot c^7\ } = \sqrt{\ 2 \cdot 3^2 \cdot a^{12} \cdot b^9 \cdot c^7\ } = (*) $$
Ahora revisamos los factores primos y vemos que el exponente del $2$ es menor que 1, luego de ese factor no podemos sacar nada. Del resto, tienen los exponentes mayor o igual que 2 y podemos sacar algún factor. De 3, sale 1 y queda 0; de $a$ salen 6 y ninguno se queda; de $b$ salen 4 y se queda 1; y de $c$ salen 3 y se queda 1:
$$ (*) = 3 \cdot a^6 \cdot b^4 \cdot c^3 \sqrt{\ 2 \cdot b \cdot c\ } $$
En este caso es una raíz cúbica, de índice 3. Veamos si hay algo más que se pueda factorizar en el radicando:
$$ \sqrt[3]{\ 864 \cdot a^4 \cdot b^9 \cdot c^{24}\ } = \sqrt[3]{\ 2^5 \cdot 3^3 \cdot a^4 \cdot b^9 \cdot c^{24}\ } = (*) $$
Ahora revisamos los factores primos y vemos que todos los exponentes son mayores que 3, luego podemos sacar algún factor de todos los primos. Del 2, salen 1 y se quedan 2; del 3, sale 1 y queda 0; de $a$ salen 1 y se queda 1; de $b$ salen 3 y se queda 0; y de $c$ salen 8 y se queda 0:
$$ (*) = 2 \cdot 3 \cdot a \cdot b^3 \cdot c^8 \sqrt{\ 2^2 \cdot a\ } $$
En este caso es una raíz de índice 7. Veamos si hay algo más que se pueda factorizar en el radicando:
$$ \sqrt[7]{\ 3072 \cdot a^{12} \cdot b^{14} \cdot c^{26}\ } = \sqrt[7]{\ 2^{10} \cdot 3 \cdot a^{12} \cdot b^{14} \cdot c^{26}\ } = (*) $$
Ahora revisamos los factores primos y vemos que el exponente del $3$ es menor que 7, luego de ese factor no podemos sacar nada. Del resto, tienen los exponentes mayor o igual que 7 y podemos sacar algún factor. De 2, sale 1 y queda 3; de $a$ sale 1 y se quedan 5; de $b$ salen 2 y no se queda ninguno; y de $c$ salen 3 y se queda 5:
$$ (*) = 2 \cdot a \cdot b^2 \cdot c^3 \sqrt[7]{\ 2^3 \cdot 3 \cdot a^5 \cdot c^5\ } $$
En este caso es una raíz cuadrada, de índice 2. Tenemos una fracción dentro de la raíz, revisamos si podemos simplificar algo y luego tenemos dos ejercicios, sacar factores del numerador y del denominador. Veamos si hay algo más que se pueda factorizar en el radicando:
$$ \sqrt{\ \dfrac{\ 8 \cdot x^3 \cdot y\ }{ 125 \cdot z^9 }\ } = \sqrt{\ \dfrac{\ 2^3 \cdot x^3 \cdot y\ }{ 5^3 \cdot z^9 }\ } = (*) $$
Ahora revisamos los factores primos y vemos que el exponente del $y$ es menor que 2, luego de ese factor no podemos sacar nada. Del resto, tienen los exponentes mayor o igual que 2 y podemos sacar algún factor. De 2, sale 1 y queda 1; de $x$ sale 1 y se quedan 1; de $5$ salen 1 y se queda uno; y de $z$ salen 4 y se queda 1:
$$ (*) = \dfrac{\ 2 \cdot x\ }{ 5 \cdot z^4 } \sqrt{\ \dfrac{\ 2 \cdot x \cdot y\ }{ 5 \cdot z }\ } $$
En este caso es una raíz cúbica, de índice 3. Tenemos una fracción dentro de la raíz, revisamos si podemos simplificar algo y luego tenemos dos ejercicios, sacar factores del numerador y del denominador. Veamos si hay algo más que se pueda factorizar en el radicando:
$$ \sqrt[3]{\ \dfrac{\ 108 \cdot a^9 \cdot b \cdot c^{16}\ }{ 875 \cdot d^4 \cdot e }\ } = \sqrt[3]{\ \dfrac{\ 2^4 \cdot 3^3 \cdot a^9 \cdot b \cdot c^{16}\ }{ 5^3 \cdot 7 \cdot d^4 \cdot e }\ } = (*) $$
Ahora revisamos los factores primos y vemos que el exponente del $b$, del 7 y de la $e$ ,son menor que 2, luego de esos factores no podemos sacar nada. Del resto, tienen los exponentes mayor o igual que 3 y podemos sacar algún factor. De 2, sale 1 y queda 1; de $3$ sale 1 y no se queda ninguno; de $a$ salen 3 y no se queda ninguno; y de $c$ salen 5 y se queda 1; del 5 sale uno y no se queda ninguno y del $d$ sale y se queda uno:
$$ (*) = \dfrac{\ 2 \cdot 3 \cdot a^3 \cdot c^5\ }{ 5 \cdot d } \sqrt[3]{\ \dfrac{\ 2 \cdot b \cdot c\ }{ 7 \cdot d \cdot e }\ } $$
En este caso es una raíz cuadrada, de índice 2. Tenemos una fracción dentro de la raíz, revisamos si podemos simplificar algo y luego tenemos dos ejercicios, sacar factores del numerador y del denominador. Veamos si hay algo más que se pueda factorizar en el radicando:
$$ \sqrt{\ \dfrac{\ 16 \cdot a^4\ }{27 \cdot b \cdot c^6}\ } = \sqrt{\ \dfrac{\ 2^4 \cdot a^4\ }{ 3^3 \cdot b \cdot c^6 }\ } = (*) $$
Ahora revisamos los factores primos y vemos que el exponente del $b$ es menor que 2, luego de ese factor no podemos sacar nada. Del resto, tienen los exponentes mayor o igual que 2 y podemos sacar algún factor. De 2, sale 2 y no se queda ninguno; de $a$ sale 2 y no se queda ninguno; de $3$ salen 1 y se queda uno; y de $c$ salen 3 y no se queda ninguno:
$$ (*) = \dfrac{\ 2^2 \cdot a^2\ }{ 3 \cdot c^3 } \sqrt{\ \dfrac{ 1 }{\ 3 \cdot b\ }\ } = \dfrac{\ 2^2 \cdot a^2\ }{ 3 \cdot c^3 \cdot \sqrt{\ 3 \cdot b\ }\ } $$
En este caso es una raíz cúbica, de índice 3. Tenemos una fracción dentro de la raíz, revisamos si podemos simplificar algo y luego tenemos dos ejercicios, sacar factores del numerador y del denominador. Veamos si hay algo más que se pueda factorizar en el radicando:
$$ \sqrt[3]{\ \dfrac{\ 8 \cdot a^9 \cdot c^{10}\ }{\ 125 \cdot d^3 \cdot e^9\ }\ } = \sqrt[3]{\ \dfrac{\ 2^3 \cdot a^9 \cdot c^{10}\ }{\ 5^3 \cdot d^3 \cdot e^9\ }\ } = (*) $$
Ahora revisamos los factores primos y vemos que todos los exonentes son mayores que 3 y podemos sacar algún factor. De 2, sale 1 y no se queda ninguno; de $a$ salen 3 y no se queda ninguno; de $c$ salen 3 y se queda uno; de 5 sale 1 y no se queda ninguno; del $d$ sale uno y no se queda ninguno y del $e$ salen 3 y no se queda ninguno:
$$ (*) = \dfrac{\ 2 \cdot a^3 \cdot c^3\ }{ 5 \cdot d \cdot e^3 } \sqrt[3]{\ c\ } $$
Introducir factores en un radical
Para introducir un factor dentro de una raíz, multiplicamos el exponente del factor por el índice de la raíz, veamos unos ejemplos:
$$ 5 \cdot \sqrt{\ 2\ } = \sqrt{\ 5^2 \cdot 2\ } $$
$$ 7 \cdot \sqrt[3]{\ 2^2\ } = \sqrt[3]{\ 7^3 \cdot 2^2 \ } $$
$$ 3^2 \cdot \sqrt[5]{\ 2^2 \cdot 7\ } = \sqrt[5]{\ 2^2 \cdot 3^{10} \cdot 7 \ } $$
$$ 3 \cdot a \cdot \sqrt{\ 5 \cdot a \cdot x\ } = \sqrt{\ 5 \cdot a \cdot x \cdot (3 \cdot a)^2\ } = \sqrt{\ 5 \cdot a \cdot x \cdot \left (9 \cdot a^2 \right ) \ } = \sqrt{\ 45 \cdot a^3 x\ } $$
$$ 5 \cdot x^2 \cdot y \cdot \sqrt[3]{\ 4 \cdot x \cdot z\ } = \sqrt[3]{\ 4 \cdot x \cdot z \cdot \left(5 \cdot x^2 \cdot y \right)^3\ } = \sqrt[3]{\ 4 \cdot x \cdot z \cdot \left(125 \cdot x^6 \cdot y^3 \right )\ } = \sqrt[3]{\ 500 \cdot x^7 \cdot y^3 \cdot z\ }$$
$$ \dfrac{\ 2\ }{5} \cdot a^3 \cdot b \cdot \sqrt{\ 3 \cdot x\ } = \sqrt{3 \cdot x \cdot \left( \dfrac{\ 2\ }{5} \cdot a^3 \cdot b \right )^2 } = \sqrt{\ 3 \cdot x \cdot \left( \dfrac{4}{\ 25\ } \cdot a^6 \cdot b^2 \right )\ } = \sqrt{\ \dfrac{\ 12\ }{25} \cdot a^6 \cdot b^2 \cdot x\ } $$
Los ejercicios anteriores de sacar factores, si los leemos del final al principio tenemos ejercicios de introducir factores en el radical.
Para introducir factores lo que haremos será multiplicar el exponente de cada factor por el índice de la raíz:
$$ 2 \cdot a^3 \cdot b \cdot c \cdot \sqrt{\ 3 \cdot a \cdot c\ } = \sqrt{\ 2^2 \cdot 3 \cdot a^7 \cdot b^2 \cdot c^3\ } $$
Para introducir factores lo que haremos será multiplicar el exponente de cada factor por el índice de la raíz:
$$ 2 \cdot a^2 \cdot b \cdot c^3 \cdot \sqrt[3]{\ 5 \cdot a \cdot c^2\ } = \sqrt[3]{\ 2^3 \cdot 5 \cdot a^7 \cdot b^3 \cdot c^{11}\ } $$
Para introducir factores lo que haremos será multiplicar el exponente de cada factor por el índice de la raíz:
$$ 3 \cdot a^2 \cdot b^4 \cdot c \cdot \sqrt{\ 2 \cdot b \cdot c\ } = \sqrt{\ 2 \cdot 3^2 \cdot a^4 \cdot b^9 \cdot c^3\ } $$
Un número es múltiplo de otro, cuando el primero contiene un número exacto de veces a otro. Ejemplo: 12 es múltiplo de 2; 25 es múltiplo de 5. Un número tiene infinitos múltiplos y se obtienen de multiplicar ese número por todos los números naturales. A los múltiplos de un número $a$ se le denota $\dot{a}$.
$$ \dot{3} = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, \ldots \} $$
Un número es divisor de otro si al hacer la divisón el resto es cero, es decir, es exacta. Ejemplo: 2 es divisor de 12, 3 es divisor de 12. Un número cualquiera como mínimo siempre tiene dos divisores, que son el 1 y el propio número. Si sólo tiene estos dos divisores se dice que es un número primo. El número de divisores es siempre finito. En este enlace puedes recordar como se calculan los divisores de un número.
Mínimo común múltiplo de 2 (o más) números: es el menor número que es múltiplo a la vez de cada uno de los números. Por ejemplo: mcm(12, 42) = 84.
Máximo cómun divisor de 2 (o más) números: es el mayor número que es divisor a la vez de cada uno de los números. Por ejemplo
: MCD(12, 42) = 6.
Muy importante:
«El máximo común divisor de dos o más números estará entre 1 y el menor de los números de los que voy a calcular dicho máximo común divisor.»
«El mínimo común múltiplo de dos o más números estará a partir del mayor de los números de los que voy a calculos dicho mínimo común múltiplo.»
Veamos como se calcula el Mínimo común múltiplo:
Descomponemos en producto de factores primos los números de los que queremos calcular el mcm.
Cogemos todos los factores primos diferentes con el mayor exponente.
Veamos el ejemplo anterior, mcm(12, 42) y MCD(12, 42):
$$ \begin{array}{ccc}
\begin{array}{{2}{c}|{2}{l}}
12 & 2 \\
\ 6 & 2 \Rightarrow 12 = 2^2 \cdot 3 \\
\ 3 & 3 \\
\ 1 & {} \\
\end{array}
&
\qquad \qquad
&
\begin{array}{{2}{c}|{2}{l}}
42 & 2 \\
21 & 3 \Rightarrow 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7\\
\ 7 & 7 \\
\ 1 & {} \\
\end{array}
\end{array} $$
Los factores diferentes que aparecen son el $2$, el $3$ y el $7$. El $2$ con exponente $2$, el $3$ con exponente $1$ y el $7$ con exponente $1$. Luego
$$ mcm(12, 42) = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84 $$
Ahora vamos a calcular el MCD(12, 42):
Escribimos los dos números y buscamos el mayor número que los divide a la vez:
$$
\begin{array}{{4}{c}{2}{c}|{2}{l}}
\ \ 12 & 84 & \color{red}{2} \ \ \\
\hline \\
\ \ \ 6 & 42 & \color{red}{2} \ \ \\
\hline \\
\ \ \ 3 & 21 & \color{red}{3} \ \ \\
\hline \\
\ \ \ 1 &\ 7 \\
\end{array}
$$
Multiplicamos los número que están en rojo y obtenemos el $MCD(12, 84) = 2^2 \cdot 3 = 12 $.
Veamos otra forma de calcular el Máximo común divisor de dos o más números:
Descomponemos en producto de factores primos los números de los que queremos calcular el mcm.
Cogemos los factores primos comunes al menor exponente.
Ahora vamos a calcular el MCD(75, 60):
1) Descomponemos factorialmente los números:
2) Cogemos los factores comunes al menor exponente: en este caso los factores comunes son 3 y 5, el menor exponente 1:
$\qquad MCD(60, 75) = 3 \cdot 5 $
Si calculamos el mcm y el MCD de dos números $a$ y $b$, sólo de dos números se cumple:
$$ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \qquad mcm(a, b) \cdot MCD(a, b) = a \cdot b \qquad } $$
En el ejemplo que acabamos de hacer se cumple lo que acabamos de decir:
$$ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \qquad 42 \cdot 12 = 6 \cdot 84 \Leftrightarrow 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 2^2 \cdot 3 = 2 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \Leftrightarrow 504 = 504 } $$
Aquí dejo un applet de GeoGebra donde podemos calcular el MCD y el mcm de dos números cualesquiera comprendidos entre 2 y 200:
Definición de potencia de número entero y exponente natural:
Es una forma abreviada de escribir un producto o multiplicación donde los factores son iguales. La base es el factor que se repite y el exponente el número de veces que se repite el factor.
Se escribe:
$$
\Huge{
\ \ \ \ \ \boldsymbol{ \color{red}\textbf{base} \leftarrow \color{red}a^{\color{blue}n \rightarrow \color{blue}\textbf{exponente} } } }$$
Se lee «$a$ elevado a $n$»:
$$ \begin{split} \large{ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_\text{«n»-veces} } \end{split} $$
Veamos algunos ejemplos:
