En esta tabla mostramos las potencias de diez, sus prefijos, símbolos y la equivalencia decimal de las potencias de diez.
Estos prefijos se revisan cada cuatro años, aquí tenemos el enlace a una notica de los prefijos decimales.
$10^n$
Prefijo
Símbolo
Número decimal
Fecha
Evento
$10^{30}$
quetta
Q
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
2022
27.ª CGPM
$10^{27}$
ronna
R
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000
2022
27.ª CGPM
$10^{24}$
yotta
Y
1 000 000 000 000 000 000 000 000
1991
19.ª CGPM
$10^{21}$
zetta
Z
1 000 000 000 000 000 000 000
1991
19.ª CGPM
$10^{18}$
exa
E
1 000 000 000 000 000 000
1975
15.ª CGPM
$10^{15}$
peta
P
1 000 000 000 000 000
1975
15.ª CGPM
$10^{12}$
tera
T
1 000 000 000 000
1960
11.ª CGPM
$10^9$
giga
G
1 000 000 000
1960
11.ª CGPM
$10^6$
mega
M
1 000 000
1960
11.ª CGPM
103
kilo
K
1 000
1795 / 1889
Prefijo original
$10^2$
hecto
h
100
1795 / 1889
Prefijo original
$10^1$
deca
da
10
1795 / 1889
Prefijo original
$10^0$
-
-
1
1795 / 1889
Prefijo original
$10^{-1}$
deci
d
0,1
1795 / 1889
Prefijo original
$10^{-2}$
centi
c
0,01
1795 / 1889
Prefijo original
$10^{-3}$
mili
m
0,001
1795 / 1889
Prefijo original
$10^{-6}$
micro
$\mu$
0,000 001
1960
11.ª CGPM
$10^{-9}$
nano
n
0,000 000 001
1960
11.ª CGPM
$10^{-12}$
pico
p
0,000 000 000 001
1960
11.ª CGPM
$10^{-15}$
femto
f
0,000 000 000 000 001
1964
12.ª CGPM
$10^{-18}$
atto
a
0,000 000 000 000 000 001
1964
12.ª CGPM
$10^{-21}$
zepto
z
0,000 000 000 000 000 000 001
1991
19.ª CGPM
$10^{-24}$
yocto
y
0,000 000 000 000 000 000 000 001
1991
19.ª CGPM
$10^{-27}$
ronto
r
0,000 000 000 000 000 000 000 000 001
2022
27.ª CGPM
$10^{-30}$
quecto
q
0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 001
2022
27.ª CGPM
La Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM) es el órgano de toma de decisiones de la Convención del Metro y se encarga de establecer las normas del Sistema Internacional de Unidades (SI). Se reúne cada cuatro años en Francia y sus decisiones abarcan la metrología y la mejora y ampliación del SI. Sus resoluciones se basan en los informes del Comité Internacional de Pesas y Medidas (CIPM).
Año
Acontecimiento
1795
Francia establece el sistema métrico con ocho prefijos básicos: deca, hecto, kilo, myria, deci, centi, milli, myrio.
1889
La 1.ª CGPM formaliza los prefijos clásicos del sistema métrico.
1960
La 11.ª CGPM crea oficialmente el Sistema Internacional de Unidades (SI) y amplía los prefijos con micro, nano, pico, mega, giga y tera.
1964
La 12.ª CGPM se añaden los prefijos femto y atto.
1975
La 15.ª CGPM se añaden los prefijos peta y exa.
1991
La 19.ª CGPM se incorporan zepto, yocto, zetta y yotta.
2022
La 27.ª CGPM aprueba los prefijos más recientes: ronto, quecto, ronna y quetta.
$\newcommand{\encomi}[1]{\ll#1\gg}$
La importancia de los números romanos es que fue uno de los primeros sistemas de numeración que se usaron para sumar y llevar cuentas. Ahora su uso es simbólico y se suelen emplear en:
Los papas y reyes se escriben con números romanos y se leen como ordinales hasta el 9, el 10 ordinal o cardinal; a partir del 11 se leen siempre como cardinales:
«Pablo VI» se lee «Pablo sexto», pero no ✘ «Pablo seis».
«Alfonso X» se lee «Alfonso décimo» o «Alfonso 10».
«Alfonso XII» se lee «Alfonso doce», pero no ✘« Alfonso duodécimo».
En monumentos, edificios singulares y placas conmemorativas para indicar el año de contrucción.
En el nombre de congresos, campeonatos, festivales, etc. Ejemplo: LXX Festival de cine de San Sebastián.
En los diseño de algunos relojes.*
En los relojes (ya sean de pulsera o en grandes construcciones). Veamos algunos ejemplos:
Reloj de la fachada de la Colegiata de San Miguel Arcángel de Alfaro, La Rioja, en su torre derecha vista desde de frente, el relog marca las cuatro con IIII:
Para numerar volúmenes, tomos, anexos, partes, libros, capítulos o cualquier otra división de una obra. Ejemplo: Anexo XI, tomo III, libro II, capítulo IV.
Para la numeración de actos, cuadros o escenas en las piezas teatrales o cinematográficas. Ejemplos: Escena VI, Star wars episodio IV.
Para numerar páginas en algunas secciones de una obra, para distinguirlas del cuerpo principal. Ejemplos: prólogo, introducción, etc.
Para enumerar y hacer referencia a los siglos en historia. Ejemplo: Siglo XXI.
Tabla siglos y años correspondientes, recordemos que no hay «año cero»:
A veces, en la fecha para indicar el mes. Ejemplo: 07-XII-1970.
Para escribir los números romanos utilizaremos las letras $I, V, X, L, C, D$ y $M$, en esta foto podemos ver las letras con su equivalente en números arábigos:
Para convertir correctamente los números arábigos a números romanos, debemos cumplir las siguientes reglas:
$\bullet $ Si a la derecha de una cifra romana se escribe otra igual o menor, el valor de ésta se suma a la anterior.
$ Ejemplo: \textbf{VI} = 6; \qquad \textbf{XXI} = 21; \qquad \textbf{LXVII} = 67 $
$\bullet $ Si está seguido de otro de mayor valor, ambos números forman un conjunto en el cual debe restarse el valor del primero al valor del siguiente.
$ Ejemplos: \textbf{XIX} = 19; \qquad \textbf{LIV} = 54; \qquad \textbf{CXXIX} = 129 $
$\bullet $ Los números «$\textbf{V}$», «$\textbf{L}$» y «$\textbf{D}$» no pueden utilizarse para restar. (45 se escribe $\textbf{XLV}$ y no $\cancel{\textbf{VL}}$). Además:
$\ \ \ \ \ \ \diamond$ el número «$\textbf{I}$» sólo resta a «$\textbf{V}$» y a «$\textbf{X}$».
$\ \ \ \ \ \ \diamond$ el número «$\textbf{X}$» sólo resta a «$\textbf{L}$» y a «$\textbf{C}$».
$\ \ \ \ \ \ \diamond$ el número «$\textbf{C}$» sólo resta a «$\textbf{D}$» y a «$\textbf{M}$».
Ejemplos: $\textbf{IV} = 4; \, \, \textbf{IX} = 9; \, \, \textbf{XL} = 40; \, \, \textbf{XC} = 90; \, \, \textbf{CD} = 400; \, \, \textbf{CM} = 900$
$\bullet $ En ningún número se puede poner una misma letra más de tres veces seguidas.*
Ejemplos: $\textbf{XIII} = 13; \qquad \textbf{XIV} = 14; \qquad \textbf{XXXIII} = 33; \qquad \textbf{XXXIV} = 34$
$\bullet$ La «$\textbf{V}$», la «$\textbf{L}$» y la «$\textbf{D}$» no pueden duplicarse porque hay otras letras «$\textbf{X}$», «$\textbf{C}$» y «$\textbf{M}$» que representan su valor duplicado.
Ejemplos: $\textbf{X (no VV)} = 10 ; \qquad \textbf{C (no LL)} = 100 ; \qquad \textbf{M (no DD)} = 1.000$
$\bullet$ La unidad «$\textbf{I}$» y los números «$\textbf{X}$», «$\textbf{C}$» y «$\textbf{M}$» pueden repetirse hasta 3 veces consecutivas como sumandos. En el caso de estar restando, no pueden repetirse. (3 $= \textbf{III}$, pero no $\cancel{\textbf{IIV}}; \, \, 4 = \textbf{IV}$, pero no $\cancel{\textbf{IIII}}; \, \,$)
$\bullet$ El valor de los números romanos queda multiplicado por mil tantas veces como rayas horizontales se coloquen encima de los mismos.
Ejemplos: $\overline{\textbf{VI}} = 6.000; \qquad \overline{\overline{\textbf{IX}}} = 9.000.000; \qquad \overline{\overline{\overline{\textbf{IV}}}} = 4.000.000.000;$
Veamos algunos ejemplos más:
$\ 45 = \textbf{XLV}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{VL}}. $
$\ 77 = \textbf{LXXVII}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{IIILXXX}}. $
$\ 80 = \textbf{LXXX}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{XXC}}. $
$\ 98 = \textbf{XCVIII}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{IIC}} o \cancel{\textbf{XCIIX}}. $
$\ 99 = \textbf{XCIX}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{IC}}. $
$ 450 = \textbf{CDL}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{LD}}. $
$ 399 = \textbf{CCCXCIX}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{ICD}}. $
$ 490 = \textbf{CDXC}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{XD}}. $
$ 499 = \textbf{CDXCIX}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{ID}}. $
$ 800 = \textbf{DCCC}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{CCM}}. $
$ 990 = \textbf{CMXC}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{XM}}. $
$ 999 = \textbf{CMXCIX}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{IM}}. $
Veamos algunos ejercicios con su solución:
Para pasar un número romano a decimal, miramos la 1ª letra, es una $\textbf{C}$ que está delante de una $\textbf{D}$ luego hay que restar 100 a 500 y nos da 400; la siguiente letra es una $\textbf{L}$ que va seguida de una $\textbf{I}$, luego estas dos letras se suman al número calculado anteriormente: $$ \textbf{CDLI} = 451 $$
Para pasar un número romano a decimal, miramos la 1ª letra, es una $\textbf{D}$ que está delante de tres $\textbf{CCC}$ luego hay que sumar 300 a 500 y nos da 800; seguimos por la letra $\textbf{L}$ que va seguida de una $\textbf{X}$, sumándolas dan 60, que con los 800 de antes nos dan 860; para terminar nos quedan las unidades $\textbf{VII}$, son un cinco y dos unidades en total 7, que con lo aneriormente nos da 867: $$ \textbf{DCCCLXVII} = 867 $$
Para pasar un número romano a decimal, miramos la 1ª letra, es una $\textbf{C}$ que está delante de una $\textbf{D}$ luego hay que restar 100 a 500 y nos da 400; seguimospor las letras $\textbf{XXX}$ sumándolas dan 30, que con los 400 de antes nos dan 430; para terminar nos quedan las unidades $\textbf{IV}$, son un cuatro, que con lo anteriormente nos da 434: $$ \textbf{CDXXXIV} = 434 $$
Siempre que queremos pasar un número romano a decimal, lo 1º que tenemos que comprobar es que esté bien escrito, ¿y este número $\textbf{DCCVLIII} $ lo está? La respuesta es que no, ya que una $\textbf{V} $ no puede restar a una $\textbf{L}$. ASí que este número no lo podemos pasar a decimal ya que no está bien escrito.
Luego este ejercicio no tiene solución.
$\textbf{DCCCLVII} = $
Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que son 5, luego sería la letra $\textbf{D}$; después por las decenas que son 4 y son las letras $\textbf{XL}$ y terminamos con las unidades que son cero y en los números romanos el cero no se representa. Luego tenemos que $$\textbf{540 = DXL}$$
Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que son 1, luego sería la letra $\textbf{C}$; después por las decenas que son 4 y son las letras $\textbf{XL}$ y terminamos con las unidades que son 9 que serían las letras $\textbf{IX}$, luego el número sería: $$ \textbf{149} = \textbf{CXLIX} $$
Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que son 9, luego serían las letras $\textbf{CM}$; después por las decenas que son 3 y son las letras $\textbf{XXX}$ y terminamos con las unidades que son 7 que serían las letras $\textbf{VII}$, luego el número sería: $$ \textbf{937} = \textbf{CMXXXVII} $$
Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que son 8, luego serían las letras $\textbf{DCCC}$; después por las decenas que son 3 y son las letras $\textbf{XXX}$ y terminamos con las unidades que son 5 que sería la letra $\textbf{V}$, luego el número sería: $$ \textbf{835} = \textbf{DCCCXXXV} $$
Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que son 9, luego serían las letras $\textbf{CM}$; después por las decenas que son 4 y son las letras $\textbf{XL}$ y terminamos con las unidades que son 9 que serían las letras $\textbf{IX}$, luego el número sería: $$ \textbf{949} = \textbf{CMXLIX} $$
Para pasar un número romano a decimal, miramos las primeras letras, que son $\textbf{CC}$ luego empezamos en 200; seguimos por las letras $\textbf{XL}$ que son 40, que con los 200 de antes nos dan 240; para terminar nos quedan las unidades $\textbf{II}$, son dos unidades, que con lo anteriormente sumado nos da 242: $$\textbf{CCXLII} = 242 $$
Para pasar un número romano a decimal, miramos la 1ª letra, es una $\textbf{D}$ que está delante de dos $\textbf{CC}$ luego hay que sumar 200 a 500 y nos da 700; seguimos por la letra $\textbf{L}$, sumándolas dan 50, que con los 700 de antes nos dan 750; para terminar nos quedan las unidades $\textbf{IV}$, son 4 unidades, que con lo anteriormente nos da 754: $$ \textbf{DCCLIV} = 754 $$
Para pasar un número romano a decimal, miramos la 1ª letra, es una $\textbf{D}$ luego hay que sumar 500; seguimos por la siguiente letra $\textbf{I}$ que es la unidad, sumándolas dan 501: $$ \textbf{DI} = 501 $$
Para pasar un número romano a decimal, miramos la 1ª letra, es una $\textbf{D}$ que está delante de dos $\textbf{CC}$ luego hay que sumar 200 a 500 y nos da 700; seguimos por la letra $\textbf{L}$ que va seguida de dos $\textbf{XX}$, sumándolas dan 70, que con los 700 de antes nos dan 770; para terminar nos quedan las unidades $\textbf{II}$, dos unidades en total 2, que con lo anteriormente nos da 772: $$ \textbf{DCCLXXII} = 772 $$
Siempre que queremos pasar un número romano a decimal, lo 1º que tenemos que comprobar es que esté bien escrito, ¿y este número $\textbf{CVLI} $ lo está? La respuesta es que no, ya que una $\textbf{V} $ no puede restar a una $\textbf{L}$. ASí que este número no lo podemos pasar a decimal ya que no está bien escrito.
Luego este ejercicio no tiene solución.
Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que es 1, luego es la letra $\textbf{C}$; después por las decenas que son 6 y serían las letras $\textbf{LX}$ y terminamos con las unidades que son 4 que serían las letras $\textbf{II}$, luego el número sería: $$ \textbf{162} = \textbf{CLXII} $$
Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que son 7, luego serían las letras $\textbf{DCC}$; después por las decenas que son 4 y serían las letras $\textbf{XL}$ y terminamos con las unidades que son 7 que serían las letras $\textbf{VII}$, luego el número sería: $$ \textbf{747} = \textbf{DCCXLVII} $$
Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que son 3, luego serían las letras $\textbf{CCC}$; después por las decenas que son 7 y serían las letras $\textbf{LXX}$ y terminamos con las unidades que son 8 que serían las letras $\textbf{VIII}$, luego el número sería: $$ \textbf{378} = \textbf{CCCLXXVIII} $$
Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que son 3, luego serían las letras $\textbf{CCC}$; después por las decenas que son 2 y serían las letras $\textbf{XX}$ y terminamos con las unidades que son 3 que serían las letras $\textbf{III}$, luego el número sería: $$ \textbf{323} = \textbf{CCCXXIII} $$
Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que son 6, luego serían las letras $\textbf{DC}$; después por las decenas que son 0 y no se representa y terminamos con las unidades que son 4 que serían las letras $\textbf{IV}$, luego el número sería: $$ \textbf{604} = \textbf{DCIV} $$
Calculadora de números romanos
Para convertir de romanos a decimal el límite es 3999, Para convertir a romanos no hay límite.
$\bullet \ 2 + 3 + 4 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 5 + 4 = 9$
$\bullet \ 2 + 3 - 4 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 5 - 4 = 1$
$\bullet \ 16 - 5 - 4 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 11 - 4 = 7$
$\bullet \ 12 \cdot 5 \cdot 3 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 60 \cdot 3 = 180$ (Recordemos que el producto cumple la propiedad asociativa)
$\bullet \ 60 : 10 : 3 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 6 : 3 = 2$ (Recordemos que la divisón NO cumple la propiedad asociativa)
$\bullet \ 90 \cdot 5 : 3 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 450 : 3 = 150$
$\bullet \ 2 + 3 \cdot 5 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Si miramos en la tabla, $1^{\underline {o}}$ haremos la multiplicación y después la suma.
$ = 2 + 15 = 17$
$\bullet \ 3 \cdot 7 - 2 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Si miramos en la tabla, $1^{\underline {o}}$ haremos la división y después la resta.
$ = 21 - 2 = 19$
$\bullet \ 8 + 12 : 4 = $ Mirando en la tabla, $1^{\underline {o}}$ haremos la división y después la suma
$ = 8 + 3 = 11$
$\bullet \ 15 - 12 : 6 = $ Mirando en la tabla, $1^{\underline {o}}$ haremos la división y después la resta
$ = 15- 2 = 13$
$\bullet \ 18 \cdot 3 + 5 = $ Hacemos primero la multipicación y después la suma.
$ = 54 + 5 = 59$
$\bullet \ 3 \cdot 7 + 9 \cdot 5 = $ Vamos a pensar de otra forma. Antes de poder hacer la suma tendremos que hacer la multiplicación, ¿no?
$ = 21 + 45 = 66$
Veamos ahora como los paréntesis, corchetes y llaves cambian la forma en que realizamos las operaciones combinadas:
$\bullet \ \left( 2 + 3 \right ) \cdot 5 = $ Hemos añadido un paréntesis. ¿Qué operación hacemos primero? Si miramos en la tabla, $1^{\underline {o}}$ haremos la operación del paréntesis y después la multiplicación.
$ = 5 \cdot 5 = 25$
$\bullet \ \left ( 8 + 12 \right ) : 4 = $ Igual que antes hemos añadido un paréntesis. Ahora lo $1^{\underline {o}}$ es hacer la suma del paréntesis y después la división
$ = 20 : 4 = 5 $
$\bullet \ 3 \cdot \left ( 7 + 9 \right ) \cdot 5 = $ Ahora el paréntesis nos dice cual es la operación que hay que hacer antes, la suma. Después los productos.
$ = 3 \cdot 16 \cdot 5 = 240 $
$\bullet \ \left ( 2 \cdot 13 + 7 \right ) \cdot 5 + 12 = $ En este caso, lo $1^{\underline {o}}$ es hacer el paréntesis, que tiene otra operación combinada; y dentro del paréntesis $1^{\underline {o}}$ haremos el producto y luego la suma
$ = \left ( 26 + 7 \right ) \cdot 5 + 12 =$
$ = 33 \cdot 5 + 12 =$ Este tipo de operación ya la hemos comentado, $1^{\underline {o}}$ haremos el producto y después la suma.
$ = 165 + 12 = 177 $
$\bullet \ 7 + 3 \cdot \left [1 + 5 - \left ( 6 - 3 \right ) \right ] = ,1^{\underline {o}}$ tendremos que hacer el producto y después la suma, pero el producto es con un corchete, luego tenemos que hacemos la operación del corchete que es a su vez otra operación combinada. Dentro del corchete tenemos una suma y una resta, pero la resta tiene a su vez un paréntesis, luego hay que hacer antes ese paréntesis antes de hacer la resta. Veamos los pasos:
$ = 7 + 3 \cdot \left [6 - 3 \right ] = $
$ = 7 + 3 \cdot 3 = 7 + 9 = 16 $
Vamos ahora con operaciones combinadas que tienen también potencias y raíces:
$\bullet \ 5 \cdot \left ( \sqrt{16} - 2 \right)^{2} + \left ( 2^{3} - 5 \right)^{2} = $ Tenemos un producto y una suma, $1^{\underline {o}}$ el producto y luego la suma, pero uno de los factores del producto es una potencia, con una resta en la base, y el minuendo es una raíz cuadrada, así lo primero hacemos la raíz, luego la resta ya que está dentro del paréntesis y por último la potencia; para la suma lo mismo, tenemos que hacer una potencia, pero con una resta en la base y el minuendo es una potencia en este caso. Veamos los pasos:
$ = 5 \cdot \left ( 4 - 2 \right)^{2} + \left ( 8 - 5 \right)^{2} = $
$ = 5 \cdot \left ( 2 \right )^{2} + \left ( 3 \right)^{2} = $
$ = 5 \cdot 4 + 9 = 20 + 9 = 29 $
Veamos otro ejemplo un poquito más complicado:
$\bullet \ \left ( \sqrt{100} - 3 \right )^{2} + 2 \cdot \left [9 \cdot \sqrt{36} - \left( 3^{2} - \sqrt{4} \right )^{2} \right] = $ En este ejemplo la operación principal es la suma, para hacer la suma tengo que hacer las operaciones combinadas de cada uno de los sumandos. La $1^{\underline {a}}$ es una potencia, con una resta en la base y el minuendo es una raí cuadrada; la $2^{\underline {a}}$ es una operación combinada, tenemos que hacer una resta, donde el minuendo es un producto y el sustraendo una potencia, con una resta en la base, donde el minuendo vuelve a ser una potencia y el sustraendo una raíz cuadrada. Veamos los pasos:
$ = \left ( 10 - 3 \right )^{2} + 2 \cdot \left [9 \cdot 6 - \left( 9 - 2 \right )^{2} \right] = $
$ = \left ( 7 \right )^{2} + 2 \cdot \left [54 - \left( 7 \right )^{2} \right] = $
$ = 49 + 2 \cdot \left [54 - 49 \right] = 49 + 2 \cdot 5 = 49 + 10 = 59 $
La jerarquía de las operaciones se cumplen con todos los números, vamos a ver ahora ejemplos con números enteros y con números racionales.
Veamos algunos ejemplos de operaciones combinadas de números enteros:
$ \bullet \ 5 \cdot 4 - \left (1 + 2 \right ) = $ Tenemos un producto, una resta y un paréntesis; para hacer la resta, antes habrá que hacer el producto y el paréntesis, que tiene sólo una suma. Veamos los pasos a realizar:
$ = 20 - 3 = 17 $
$\bullet \ 50 - 4 \cdot 3 + 2 \cdot 5 - 14 : 7 = $ Antes de hacer las sumas y restas tenemos que hacer las multiplicaciones y la división, una vez hechas estas hacemos las sumas y restas; se puede hacer de dos formas:
$1^{\underline {a}}$ haciendo sumas y restas en el orden que están;
$2^{\underline {a}}$ sumamos por un lado todo lo que suma, por otro todo lo que resta y al final se restan las dos cantidades obtenidas.
$ = 50 - 12 + 10 - 2 = 60 - 14 = 46 $
$\bullet \ \left ( -17 \right ) + \left [ \left (+11 \right ) + \left (-16 \right ) \right ] - \left [ \left ( - 2 + 7 \right ) \cdot \left (25 - 20 \right ) \right ] + 76 = $ Pasos a dar en esta operación combinada:
$1^{\underline{o}}$ Quitar paréntesis;
$2^{\underline{o}}$ Hacer las operaciones de los paréntesis, y después las de los corchetes;
$3^{\underline{o}}$ Hacer las restas y la suma final.
$= -17 + \left [ 11 - 16 \right ] - \left [ 5 \cdot 5 \right ] + 76 = $
$= -17 + \left [ - 5 \right ] - \left [ +25 \right ] + 76 = $
$= -17 - 5 - 25 + 76 = $
$= -47 + 76 = 29 $
$\bullet \ (-20) - 2 \cdot [(-3) \cdot (-4) - (+17) + (- 3) \cdot (-2) \cdot (-4)] = $ Tenemos una resta y un producto, $1^{\underline{o}}$ el producto pero uno de los factores es un corchete que a su vez es una operación combinada. Primero quitaremos paréntesis y haremos los productos, para después hacer la resta y la suma. Después haremos el producto con el resultado del corchete y para terminar la resta.
$= -20 - 2 \cdot [ + 12 - 17 + (+6) \cdot (-4)] = $
$= -20 - 2 \cdot [ - 5 + (-24)] = $
$= -20 - 2 \cdot [ - 29] = $
$= -20 - [-58] = $
$= -20 + 58 = 38 $
$\bullet \ (- 27): ( - 3 ) ^ { 3 } + 4 ^ { 13 }: \left[ 4^4 \right] ^ { 3 } + \sqrt { 81 }: 3 = $ Este ejercicio tiene potencias (repasar las propiedades de las potencias) y raíces. Veamos como afecta esto, primero tenemos que hacer las raíces y/o las potencias, quitar los paréntesis, después las divisones y por último las sumas.
$= - 27: ( - 27 ) + 4 ^ { 13 } : ( 4 ) ^ { 12 } + 9 : 3 = $
$= 1 + 4 + 3 = 8 $
Dejo unos ejercicios de operaciones combinadas
Este ejercicio sólo tiene divisiones y restas, primero haremos las diviones y después las restas:
Este ejercicio es una división, pero tanto el dividendo como el divisor son operaciones combinadas de sumas y restas, habrá que quitar paréntesis:
$ [14 - (-6) + (-6) ] : [17 + (-7) - 3 ] = $ en el dividendo sumo y resto la misma cantidad
$ = [14 + 6 - 6 ] : [17 - 7 - 3 ] = $
$ = 14 : 7 = 2 $
Este ejercicio es una resta y el sustraendo es un corchete con una operación combinada, tenemos dos restas, para realizar las restas tenemos que calcular los términos, dos multiplicaciones y una división. el $2^{\underline {o}}$ término tiene otro factor que es otra operación combinada con una división, un producto y al final la resta. Veamos los pasos
$\textcolor{red}{\text{Un error típico en este tipo de ejercicios es hacer primero la resta y después la división.}}$
Este ejercicio tiene una resta y una división, el divisor es un corchete con una operación combinada, tenemos una resta y unasuma, para realizar la resta tenemos que calcular el sustraendo que es otra operación combinada con un producto y una resta. Veamos los pasos
$ 16 - 30 : [6 - 2 \cdot ( 3 - 1 ) + 3 ] = $
$ = 16 - 30 : [6 - 2 \cdot 2 + 3 ] = $
$ = 16 - 30 : [6 - 4 + 3 ] = $
$ = 16 - 30 : 5 = 16 - 6 = 10 $
Este ejercicio tiene potencias. Haremos primero las potencias, después la operación del paréntesis, la división del tercer término y luego la resta y la suma. Veamos los pasos
Ahora unos ejemplos de operaciones combinadas con fracciones, recordar que para el producto y la división de fracciones no hace falta calcular común denominador. y algo que es muy importante es simplificar, siempre que se pueda.
$\bullet \ \ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{6}{5} = 1^{\underline {o}}$ haremos el producto y luego la suma
$\bullet \ \ \ \ \Big ( 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \Big ) \cdot \dfrac{2}{5} = 1^{\underline {o}}$ haremos el paréntesis, que es una resta y una suma; depués el producto,
$\bullet \ \ \ \ \Big ( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \Big ) \cdot \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{8}{3} = 1^{\underline {o}}$ haremos el paréntesis, después los productos y al final sumas y resta.
$\bullet \ \ \ \ - \dfrac{1}{2} \cdot \Big ( \dfrac{4}{7} - \dfrac{2}{14} \Big ) + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{7} = 1^{\underline {o}}$ haremos el paréntesis, después el producto y al final la suma.
En la Universidad de La Rioja, en Logroño, se desarrolla este seminario que está destinado a todos los alumnos de enseñanza
de Secundaria y Bachillerato. Consiste en la propuesta de problemas
matemáticos de distinta
dificultad que los mismos alumnos deben
resolver y explicar. Se desarrolla con periodicidad semanal.
