La realidad de los profesores/maestros explicadas con obras de arte

 

Una imagen vale más que mil palabras ... 

 

Matemáticas y navidades. Navidades y matemáticas. ( Y ¡Feliz año nuevo! Y algo más ... )

Para navidades nos felicitamos las fiestas o el año nuevo de diversas formas, entre ellas usando las matemáticas. Veamos unos ejemplos:

Un árbol de Navidad:

  

Jugar con fórmulas en inglés: 

 

Jugar con las coordenadas x, y, z.

 

Más juegos de palabras en inglés: 

Jugar con ciertos tipos de números, según el año:

No puede faltar el «Teorema de Pitágoras»

 

O alguna versión del mismo:

Con las raíces:

Hacer un sencillo belén

Jugar con fórmulas varias:

Otro árbol:

Otro juego de palabras ...

No es de Navidad, pero San Valentín ... es otro clásico:

 

Números romanos.

$\newcommand{\encomi}[1]{\ll#1\gg}$ La importancia de los números romanos es que fue uno de los primeros sistemas de numeración que se usaron para sumar y llevar cuentas. Ahora su uso es simbólico y se suelen emplear en:

• Los papas y reyes se escriben con números romanos y se leen como ordinales hasta el 9, el 10 ordinal o cardinal; a partir del 11 se leen siempre como cardinales:
  • «Pablo VI» se lee «Pablo sexto», pero no ✘ «Pablo seis».
  • «Alfonso X» se lee «Alfonso décimo» o «Alfonso 10».
  • «Alfonso XII» se lee «Alfonso doce», pero no ✘« Alfonso duodécimo».
• En monumentos, edificios singulares y placas conmemorativas para indicar el año de contrucción.
• En el nombre de congresos, campeonatos, festivales, etc. Ejemplo: LXX Festival de cine de San Sebastián.
• En los diseño de algunos relojes.*
  
  En los relojes (ya sean de pulsera o en grandes construcciones). Veamos algunos ejemplos:
  
  
  1. Reloj de la fachada de la Colegiata de San Miguel Arcángel de Alfaro, La Rioja, en su torre derecha vista desde de frente, el relog marca las cuatro con IIII:
     
     Foto de wikipedia
  2. 
• Para numerar volúmenes, tomos, anexos, partes, libros, capítulos o cualquier otra división de una obra. Ejemplo: Anexo XI, tomo III, libro II, capítulo IV.
• Para la numeración de actos, cuadros o escenas en las piezas teatrales o cinematográficas. Ejemplos: Escena VI, Star wars episodio IV.
• Para numerar páginas en algunas secciones de una obra, para distinguirlas del cuerpo principal. Ejemplos: prólogo, introducción, etc.
• Para enumerar y hacer referencia a los siglos en historia. Ejemplo: Siglo XXI.

  x

  Tabla siglos y años correspondientes, recordemos que no hay «año cero»:

  
• A veces, en la fecha para indicar el mes. Ejemplo: 07-XII-1970.

Para escribir los números romanos utilizaremos las letras $I, V, X, L, C, D$ y $M$, en esta foto podemos ver las letras con su equivalente en números arábigos:

Para convertir correctamente los números arábigos a números romanos, debemos cumplir las siguientes reglas:

$\bullet $ Si a la derecha de una cifra romana se escribe otra igual o menor, el valor de ésta se suma a la anterior.
$ Ejemplo: \textbf{VI} = 6; \qquad \textbf{XXI} = 21; \qquad \textbf{LXVII} = 67 $

$\bullet $ Si está seguido de otro de mayor valor, ambos números forman un conjunto en el cual debe restarse el valor del primero al valor del siguiente.
$ Ejemplos: \textbf{XIX} = 19; \qquad \textbf{LIV} = 54; \qquad \textbf{CXXIX} = 129 $

$\bullet $ Los números «$\textbf{V}$», «$\textbf{L}$» y «$\textbf{D}$» no pueden utilizarse para restar. (45 se escribe $\textbf{XLV}$ y no $\cancel{\textbf{VL}}$). Además:
$\ \ \ \ \ \ \diamond$ el número «$\textbf{I}$» sólo resta a «$\textbf{V}$» y a «$\textbf{X}$».
$\ \ \ \ \ \ \diamond$ el número «$\textbf{X}$» sólo resta a «$\textbf{L}$» y a «$\textbf{C}$».
$\ \ \ \ \ \ \diamond$ el número «$\textbf{C}$» sólo resta a «$\textbf{D}$» y a «$\textbf{M}$».
Ejemplos: $\textbf{IV} = 4; \, \, \textbf{IX} = 9; \, \, \textbf{XL} = 40; \, \, \textbf{XC} = 90; \, \, \textbf{CD} = 400; \, \, \textbf{CM} = 900$

$\bullet $ En ningún número se puede poner una misma letra más de tres veces seguidas.*
Ejemplos: $\textbf{XIII} = 13; \qquad \textbf{XIV} = 14; \qquad \textbf{XXXIII} = 33; \qquad \textbf{XXXIV} = 34$

$\bullet$ La «$\textbf{V}$», la «$\textbf{L}$» y la «$\textbf{D}$» no pueden duplicarse porque hay otras letras «$\textbf{X}$», «$\textbf{C}$» y «$\textbf{M}$» que representan su valor duplicado.
Ejemplos: $\textbf{X (no VV)} = 10 ; \qquad \textbf{C (no LL)} = 100 ; \qquad \textbf{M (no DD)} = 1.000$

$\bullet$ La unidad «$\textbf{I}$» y los números «$\textbf{X}$», «$\textbf{C}$» y «$\textbf{M}$» pueden repetirse hasta 3 veces consecutivas como sumandos. En el caso de estar restando, no pueden repetirse. (3 $= \textbf{III}$, pero no $\cancel{\textbf{IIV}}; \, \, 4 = \textbf{IV}$, pero no $\cancel{\textbf{IIII}}; \, \,$)

$\bullet$ El valor de los números romanos queda multiplicado por mil tantas veces como rayas horizontales se coloquen encima de los mismos.
Ejemplos: $\overline{\textbf{VI}} = 6.000; \qquad \overline{\overline{\textbf{IX}}} = 9.000.000; \qquad \overline{\overline{\overline{\textbf{IV}}}} = 4.000.000.000;$

Veamos algunos ejemplos más:

$\ 45 = \textbf{XLV}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{VL}}. $
$\ 77 = \textbf{LXXVII}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{IIILXXX}}. $
$\ 80 = \textbf{LXXX}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{XXC}}. $
$\ 98 = \textbf{XCVIII}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{IIC}} o \cancel{\textbf{XCIIX}}. $
$\ 99 = \textbf{XCIX}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{IC}}. $
$ 450 = \textbf{CDL}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{LD}}. $
$ 399 = \textbf{CCCXCIX}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{ICD}}. $
$ 490 = \textbf{CDXC}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{XD}}. $
$ 499 = \textbf{CDXCIX}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{ID}}. $
$ 800 = \textbf{DCCC}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{CCM}}. $
$ 990 = \textbf{CMXC}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{XM}}. $
$ 999 = \textbf{CMXCIX}, \textrm{pero no } \cancel{\textbf{IM}}. $


Veamos algunos ejercicios con su solución:

Para pasar un número romano a decimal, miramos la 1ª letra, es una $\textbf{C}$ que está delante de una $\textbf{D}$ luego hay que restar 100 a 500 y nos da 400; la siguiente letra es una $\textbf{L}$ que va seguida de una $\textbf{I}$, luego estas dos letras se suman al número calculado anteriormente: $$ \textbf{CDLI} = 451 $$

Para pasar un número romano a decimal, miramos la 1ª letra, es una $\textbf{D}$ que está delante de tres $\textbf{CCC}$ luego hay que sumar 300 a 500 y nos da 800; seguimos por la letra $\textbf{L}$ que va seguida de una $\textbf{X}$, sumándolas dan 60, que con los 800 de antes nos dan 860; para terminar nos quedan las unidades $\textbf{VII}$, son un cinco y dos unidades en total 7, que con lo aneriormente nos da 867: $$ \textbf{DCCCLXVII} = 867 $$

Para pasar un número romano a decimal, miramos la 1ª letra, es una $\textbf{C}$ que está delante de una $\textbf{D}$ luego hay que restar 100 a 500 y nos da 400; seguimospor las letras $\textbf{XXX}$ sumándolas dan 30, que con los 400 de antes nos dan 430; para terminar nos quedan las unidades $\textbf{IV}$, son un cuatro, que con lo anteriormente nos da 434: $$ \textbf{CDXXXIV} = 434 $$

Siempre que queremos pasar un número romano a decimal, lo 1º que tenemos que comprobar es que esté bien escrito, ¿y este número $\textbf{DCCVLIII} $ lo está? La respuesta es que no, ya que una $\textbf{V} $ no puede restar a una $\textbf{L}$. ASí que este número no lo podemos pasar a decimal ya que no está bien escrito.

Luego este ejercicio no tiene solución.

$\textbf{DCCCLVII} = $

Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que son 5, luego sería la letra $\textbf{D}$; después por las decenas que son 4 y son las letras $\textbf{XL}$ y terminamos con las unidades que son cero y en los números romanos el cero no se representa. Luego tenemos que $$\textbf{540 = DXL}$$

Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que son 1, luego sería la letra $\textbf{C}$; después por las decenas que son 4 y son las letras $\textbf{XL}$ y terminamos con las unidades que son 9 que serían las letras $\textbf{IX}$, luego el número sería: $$ \textbf{149} = \textbf{CXLIX} $$

Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que son 9, luego serían las letras $\textbf{CM}$; después por las decenas que son 3 y son las letras $\textbf{XXX}$ y terminamos con las unidades que son 7 que serían las letras $\textbf{VII}$, luego el número sería: $$ \textbf{937} = \textbf{CMXXXVII} $$

Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que son 8, luego serían las letras $\textbf{DCCC}$; después por las decenas que son 3 y son las letras $\textbf{XXX}$ y terminamos con las unidades que son 5 que sería la letra $\textbf{V}$, luego el número sería: $$ \textbf{835} = \textbf{DCCCXXXV} $$

Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que son 9, luego serían las letras $\textbf{CM}$; después por las decenas que son 4 y son las letras $\textbf{XL}$ y terminamos con las unidades que son 9 que serían las letras $\textbf{IX}$, luego el número sería: $$ \textbf{949} = \textbf{CMXLIX} $$

Para pasar un número romano a decimal, miramos las primeras letras, que son $\textbf{CC}$ luego empezamos en 200; seguimos por las letras $\textbf{XL}$ que son 40, que con los 200 de antes nos dan 240; para terminar nos quedan las unidades $\textbf{II}$, son dos unidades, que con lo anteriormente sumado nos da 242: $$\textbf{CCXLII} = 242 $$

Para pasar un número romano a decimal, miramos la 1ª letra, es una $\textbf{D}$ que está delante de dos $\textbf{CC}$ luego hay que sumar 200 a 500 y nos da 700; seguimos por la letra $\textbf{L}$, sumándolas dan 50, que con los 700 de antes nos dan 750; para terminar nos quedan las unidades $\textbf{IV}$, son 4 unidades, que con lo anteriormente nos da 754: $$ \textbf{DCCLIV} = 754 $$

Para pasar un número romano a decimal, miramos la 1ª letra, es una $\textbf{D}$ luego hay que sumar 500; seguimos por la siguiente letra $\textbf{I}$ que es la unidad, sumándolas dan 501: $$ \textbf{DI} = 501 $$

Para pasar un número romano a decimal, miramos la 1ª letra, es una $\textbf{D}$ que está delante de dos $\textbf{CC}$ luego hay que sumar 200 a 500 y nos da 700; seguimos por la letra $\textbf{L}$ que va seguida de dos $\textbf{XX}$, sumándolas dan 70, que con los 700 de antes nos dan 770; para terminar nos quedan las unidades $\textbf{II}$, dos unidades en total 2, que con lo anteriormente nos da 772: $$ \textbf{DCCLXXII} = 772 $$

Siempre que queremos pasar un número romano a decimal, lo 1º que tenemos que comprobar es que esté bien escrito, ¿y este número $\textbf{CVLI} $ lo está? La respuesta es que no, ya que una $\textbf{V} $ no puede restar a una $\textbf{L}$. ASí que este número no lo podemos pasar a decimal ya que no está bien escrito.

Luego este ejercicio no tiene solución.

Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que es 1, luego es la letra $\textbf{C}$; después por las decenas que son 6 y serían las letras $\textbf{LX}$ y terminamos con las unidades que son 4 que serían las letras $\textbf{II}$, luego el número sería: $$ \textbf{162} = \textbf{CLXII} $$

Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que son 7, luego serían las letras $\textbf{DCC}$; después por las decenas que son 4 y serían las letras $\textbf{XL}$ y terminamos con las unidades que son 7 que serían las letras $\textbf{VII}$, luego el número sería: $$ \textbf{747} = \textbf{DCCXLVII} $$

Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que son 3, luego serían las letras $\textbf{CCC}$; después por las decenas que son 7 y serían las letras $\textbf{LXX}$ y terminamos con las unidades que son 8 que serían las letras $\textbf{VIII}$, luego el número sería: $$ \textbf{378} = \textbf{CCCLXXVIII} $$

Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que son 3, luego serían las letras $\textbf{CCC}$; después por las decenas que son 2 y serían las letras $\textbf{XX}$ y terminamos con las unidades que son 3 que serían las letras $\textbf{III}$, luego el número sería: $$ \textbf{323} = \textbf{CCCXXIII} $$

Para pasar un número decimal a romano, lo mejor es empezar leyendo el número, en este caso empezamos por las centenas que son 6, luego serían las letras $\textbf{DC}$; después por las decenas que son 0 y no se representa y terminamos con las unidades que son 4 que serían las letras $\textbf{IV}$, luego el número sería: $$ \textbf{604} = \textbf{DCIV} $$

Calculadora de números romanos
Para convertir de romanos a decimal el límite es 3999, Para convertir a romanos no hay límite.
Número romano
Número decimal

Operaciones combinadas de números naturales, enteros y racionales.

Operación combinada

Veamos la jerarquía de las operaciones combinadas:

$$ \begin{array}{|C{1.75cm}|C{14cm}|} \hline \ \ \ \ 1^{\underline {o}} \ \ \ \ & \ \ \ \ \ \ \ Par\acute{e}ntesis \ (\ ), corchetes \ [\ ] \ o \ llaves \ \{ \ \} \ \ \ \ \ \ \ \\ \hline 2^{\underline {o}} & Potencias \ y \ raíces \\ \hline 3^{\underline {o}} & Multiplicaciones \ y \ divisiones \\ \hline 4^{\underline {o}} & Sumas \ y \ restas \\ \hline \end{array} $$ Veamos algunos ejemplos sencillos de números naturales:


$\bullet \ 2 + 3 + 4 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 5 + 4 = 9$


$\bullet \ 2 + 3 - 4 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 5 - 4 = 1$


$\bullet \ 16 - 5 - 4 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 11 - 4 = 7$


$\bullet \ 12 \cdot 5 \cdot 3 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 60 \cdot 3 = 180$ (Recordemos que el producto cumple la propiedad asociativa)


$\bullet \ 60 : 10 : 3 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 6 : 3 = 2$ (Recordemos que la divisón NO cumple la propiedad asociativa)


$\bullet \ 90 \cdot 5 : 3 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Todas las operaciones que aparecen tienen la misma prioridad, las hacemos por orden de aparición de izquierda a derecha.
$ = 450 : 3 = 150$


$\bullet \ 2 + 3 \cdot 5 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Si miramos en la tabla, $1^{\underline {o}}$ haremos la multiplicación y después la suma.
$ = 2 + 15 = 17$


$\bullet \ 3 \cdot 7 - 2 = $ ¿Qué operación hacemos primero? Si miramos en la tabla, $1^{\underline {o}}$ haremos la división y después la resta.
$ = 21 - 2 = 19$


$\bullet \ 8 + 12 : 4 = $ Mirando en la tabla, $1^{\underline {o}}$ haremos la división y después la suma
$ = 8 + 3 = 11$


$\bullet \ 15 - 12 : 6 = $ Mirando en la tabla, $1^{\underline {o}}$ haremos la división y después la resta
$ = 15- 2 = 13$


$\bullet \ 18 \cdot 3 + 5 = $ Hacemos primero la multipicación y después la suma.
$ = 54 + 5 = 59$


$\bullet \ 3 \cdot 7 + 9 \cdot 5 = $ Vamos a pensar de otra forma. Antes de poder hacer la suma tendremos que hacer la multiplicación, ¿no?
$ = 21 + 45 = 66$


Veamos ahora como los paréntesis, corchetes y llaves cambian la forma en que realizamos las operaciones combinadas:

$\bullet \ \left( 2 + 3 \right ) \cdot 5 = $ Hemos añadido un paréntesis. ¿Qué operación hacemos primero? Si miramos en la tabla, $1^{\underline {o}}$ haremos la operación del paréntesis y después la multiplicación.
$ = 5 \cdot 5 = 25$


$\bullet \ \left ( 8 + 12 \right ) : 4 = $ Igual que antes hemos añadido un paréntesis. Ahora lo $1^{\underline {o}}$ es hacer la suma del paréntesis y después la división
$ = 20 : 4 = 5 $


$\bullet \ 3 \cdot \left ( 7 + 9 \right ) \cdot 5 = $ Ahora el paréntesis nos dice cual es la operación que hay que hacer antes, la suma. Después los productos.
$ = 3 \cdot 16 \cdot 5 = 240 $


$\bullet \ \left ( 2 \cdot 13 + 7 \right ) \cdot 5 + 12 = $ En este caso, lo $1^{\underline {o}}$ es hacer el paréntesis, que tiene otra operación combinada; y dentro del paréntesis $1^{\underline {o}}$ haremos el producto y luego la suma
$ = \left ( 26 + 7 \right ) \cdot 5 + 12 =$
$ = 33 \cdot 5 + 12 =$ Este tipo de operación ya la hemos comentado, $1^{\underline {o}}$ haremos el producto y después la suma.
$ = 165 + 12 = 177 $


$\bullet \ 7 + 3 \cdot \left [1 + 5 - \left ( 6 - 3 \right ) \right ] = ,1^{\underline {o}}$ tendremos que hacer el producto y después la suma, pero el producto es con un corchete, luego tenemos que hacemos la operación del corchete que es a su vez otra operación combinada. Dentro del corchete tenemos una suma y una resta, pero la resta tiene a su vez un paréntesis, luego hay que hacer antes ese paréntesis antes de hacer la resta. Veamos los pasos:
$ = 7 + 3 \cdot \left [6 - 3 \right ] = $
$ = 7 + 3 \cdot 3 = 7 + 9 = 16 $


Vamos ahora con operaciones combinadas que tienen también potencias y raíces:

$\bullet \ 5 \cdot \left ( \sqrt{16} - 2 \right)^{2} + \left ( 2^{3} - 5 \right)^{2} = $ Tenemos un producto y una suma, $1^{\underline {o}}$ el producto y luego la suma, pero uno de los factores del producto es una potencia, con una resta en la base, y el minuendo es una raíz cuadrada, así lo primero hacemos la raíz, luego la resta ya que está dentro del paréntesis y por último la potencia; para la suma lo mismo, tenemos que hacer una potencia, pero con una resta en la base y el minuendo es una potencia en este caso. Veamos los pasos:
$ = 5 \cdot \left ( 4 - 2 \right)^{2} + \left ( 8 - 5 \right)^{2} = $
$ = 5 \cdot \left ( 2 \right )^{2} + \left ( 3 \right)^{2} = $
$ = 5 \cdot 4 + 9 = 20 + 9 = 29 $


Veamos otro ejemplo un poquito más complicado:
$\bullet \ \left ( \sqrt{100} - 3 \right )^{2} + 2 \cdot \left [9 \cdot \sqrt{36} - \left( 3^{2} - \sqrt{4} \right )^{2} \right] = $ En este ejemplo la operación principal es la suma, para hacer la suma tengo que hacer las operaciones combinadas de cada uno de los sumandos. La $1^{\underline {a}}$ es una potencia, con una resta en la base y el minuendo es una raí cuadrada; la $2^{\underline {a}}$ es una operación combinada, tenemos que hacer una resta, donde el minuendo es un producto y el sustraendo una potencia, con una resta en la base, donde el minuendo vuelve a ser una potencia y el sustraendo una raíz cuadrada. Veamos los pasos:
$ = \left ( 10 - 3 \right )^{2} + 2 \cdot \left [9 \cdot 6 - \left( 9 - 2 \right )^{2} \right] = $
$ = \left ( 7 \right )^{2} + 2 \cdot \left [54 - \left( 7 \right )^{2} \right] = $
$ = 49 + 2 \cdot \left [54 - 49 \right] = 49 + 2 \cdot 5 = 49 + 10 = 59 $


La jerarquía de las operaciones se cumplen con todos los números, vamos a ver ahora ejemplos con números enteros y con números racionales.

Veamos algunos ejemplos de operaciones combinadas de números enteros:


$ \bullet \ 5 \cdot 4 - \left (1 + 2 \right ) = $ Tenemos un producto, una resta y un paréntesis; para hacer la resta, antes habrá que hacer el producto y el paréntesis, que tiene sólo una suma. Veamos los pasos a realizar:
$ = 20 - 3 = 17 $

$\bullet \ 50 - 4 \cdot 3 + 2 \cdot 5 - 14 : 7 = $ Antes de hacer las sumas y restas tenemos que hacer las multiplicaciones y la división, una vez hechas estas hacemos las sumas y restas; se puede hacer de dos formas: $1^{\underline {a}}$ haciendo sumas y restas en el orden que están; $2^{\underline {a}}$ sumamos por un lado todo lo que suma, por otro todo lo que resta y al final se restan las dos cantidades obtenidas. $ = 50 - 12 + 10 - 2 = 60 - 14 = 46 $

$\bullet \ \left ( -17 \right ) + \left [ \left (+11 \right ) + \left (-16 \right ) \right ] - \left [ \left ( - 2 + 7 \right ) \cdot \left (25 - 20 \right ) \right ] + 76 = $ Pasos a dar en esta operación combinada:
  $1^{\underline{o}}$ Quitar paréntesis;
  $2^{\underline{o}}$ Hacer las operaciones de los paréntesis, y después las de los corchetes;
  $3^{\underline{o}}$ Hacer las restas y la suma final.
$= -17 + \left [ 11 - 16 \right ] - \left [ 5 \cdot 5 \right ] + 76 = $
$= -17 + \left [ - 5 \right ] - \left [ +25 \right ] + 76 = $
$= -17 - 5 - 25 + 76 = $
$= -47 + 76 = 29 $


$\bullet \ (-20) - 2 \cdot [(-3) \cdot (-4) - (+17) + (- 3) \cdot (-2) \cdot (-4)] = $ Tenemos una resta y un producto, $1^{\underline{o}}$ el producto pero uno de los factores es un corchete que a su vez es una operación combinada. Primero quitaremos paréntesis y haremos los productos, para después hacer la resta y la suma. Después haremos el producto con el resultado del corchete y para terminar la resta.
$= -20 - 2 \cdot [ + 12 - 17 + (+6) \cdot (-4)] = $
$= -20 - 2 \cdot [ - 5 + (-24)] = $
$= -20 - 2 \cdot [ - 29] = $
$= -20 - [-58] = $
$= -20 + 58 = 38 $


$\bullet \ (- 27): ( - 3 ) ^ { 3 } + 4 ^ { 13 }: \left[ 4^4 \right] ^ { 3 } + \sqrt { 81 }: 3 = $ Este ejercicio tiene potencias (repasar las propiedades de las potencias) y raíces. Veamos como afecta esto, primero tenemos que hacer las raíces y/o las potencias, quitar los paréntesis, después las divisones y por último las sumas.
$= - 27: ( - 27 ) + 4 ^ { 13 } : ( 4 ) ^ { 12 } + 9 : 3 = $
$= 1 + 4 + 3 = 8 $


Dejo unos ejercicios de operaciones combinadas

Este ejercicio sólo tiene divisiones y restas, primero haremos las diviones y después las restas:

$ 9 : 3 - (-12) : 2 - 13 : (-1) = $

$ = 3 - (-6) - (-13) = $ Ahora quitamos los paréntesis

$ = 3 + 6 + 13 = 9 + 13 = 22 $

Este ejercicio es una división, pero tanto el dividendo como el divisor son operaciones combinadas de sumas y restas, habrá que quitar paréntesis:

$ [14 - (-6) + (-6) ] : [17 + (-7) - 3 ] = $ en el dividendo sumo y resto la misma cantidad

$ = [14 + 6 - 6 ] : [17 - 7 - 3 ] = $

$ = 14 : 7 = 2 $

Este ejercicio es una resta y el sustraendo es un corchete con una operación combinada, tenemos dos restas, para realizar las restas tenemos que calcular los términos, dos multiplicaciones y una división. el $2^{\underline {o}}$ término tiene otro factor que es otra operación combinada con una división, un producto y al final la resta. Veamos los pasos

$ 3 - [- 5 \cdot 6 - 4 \cdot (12 : 4 - 5 \cdot 2) - 24 : 3] = $

$ = 3 - [- 30 - 4 \cdot (3 - 10) - 8] = $

$ = 3 - [- 30 - 4 \cdot 7 - 8] = $

$ = 3 - [- 30 - 28 - 8] = $

$ = 3 - [- 66] = 3 + 66 = 69 $

$\textcolor{red}{\text{Un error típico en este tipo de ejercicios es hacer primero la resta y después la división.}}$

Este ejercicio tiene una resta y una división, el divisor es un corchete con una operación combinada, tenemos una resta y unasuma, para realizar la resta tenemos que calcular el sustraendo que es otra operación combinada con un producto y una resta. Veamos los pasos

$ 16 - 30 : [6 - 2 \cdot ( 3 - 1 ) + 3 ] = $

$ = 16 - 30 : [6 - 2 \cdot 2 + 3 ] = $

$ = 16 - 30 : [6 - 4 + 3 ] = $

$ = 16 - 30 : 5 = 16 - 6 = 10 $

Este ejercicio tiene potencias. Haremos primero las potencias, después la operación del paréntesis, la división del tercer término y luego la resta y la suma. Veamos los pasos

$ 12 - \left(2^2 - 10^2 : 5 \right) + (-6)^2 : 4 = $

$ = 12 - \left(4 - 100 : 5 \right) + 36 : 4 = $

$ = 12 - \left(4 - 20 \right) + 9 = $

$ = 12 - \left( - 16 \right) + 9 = 12 + 16 + 9 = 37$

Ahora unos ejemplos de operaciones combinadas con fracciones, recordar que para el producto y la división de fracciones no hace falta calcular común denominador. y algo que es muy importante es simplificar, siempre que se pueda.


$\bullet \ \ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{6}{5} = 1^{\underline {o}}$ haremos el producto y luego la suma

$ = \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{20} + \dfrac{8}{20} = \dfrac{13}{20} $

$\bullet \ \ \ \ 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{5} = 1^{\underline {o}}$ haremos el producto, depués la resta y la suma

$ = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{15} = \dfrac{15}{30} + \dfrac{4}{30} = \dfrac{19}{30} $

$\bullet \ \ \ \ \Big ( 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \Big ) \cdot \dfrac{2}{5} = 1^{\underline {o}}$ haremos el paréntesis, que es una resta y una suma; depués el producto,

$ = \Big ( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \Big ) \cdot \dfrac{2}{5} = $

$ = \Big ( \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} \Big ) \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} $

$\bullet \ \ 1 - \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{5} = 1^{\underline {o}}$ haremos el producto y luego la resta

$ = \dfrac{15}{15} - \dfrac{2}{15} = \dfrac{13}{15} $

$ \bullet \ \ \ - \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = 1^{\underline {o}}$ haremos el producto y luego la suma

$ = - \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} = 0$

$ \bullet \ \ \ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{8}{3} = 1^{\underline {o}}$ haremos los productos, después las sumas y la resta

$ = \dfrac{\ 1\ }{2} + \dfrac{\ 4\ }{9} - \dfrac{\ 1\ }{12} + \dfrac{\ 10\ }{3} = $ calculamos el común denominador de 2, 9, 12 y 3, que es 30

$ = \dfrac{\ 18 \ }{36} + \dfrac{\ 16 \ }{36} - \dfrac{\ 3 \ }{36} + \dfrac{\ 120\ }{36} = \dfrac{ 18 + 16 - 3 + 120 }{36} = \dfrac{\ 151 \ }{36} $

$\bullet \ \ \ \ \Big ( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \Big ) \cdot \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{8}{3} = 1^{\underline {o}}$ haremos el paréntesis, después los productos y al final sumas y resta.

$ = \Big ( \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} \Big ) \cdot \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{10}{3} = $

$ = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{10}{3} = $

$ = \dfrac{10}{9} - \dfrac{1}{12} + \dfrac{10}{3} = \dfrac{40}{36} - \dfrac{3}{36} + \dfrac{120}{36} = \dfrac{157}{36} $

$\bullet \ \ \ \ - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{7} - \dfrac{2}{14} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{7} = 1^{\underline {o}}$ haremos los productos después la resta y la suma

$ = - \dfrac{4}{14} - \dfrac{2}{14} + \dfrac{5}{14} = - \dfrac{1}{14} $

$\bullet \ \ \ \ - \dfrac{1}{2} \cdot \Big ( \dfrac{4}{7} - \dfrac{2}{14} \Big ) + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{7} = 1^{\underline {o}}$ haremos el paréntesis, después el producto y al final la suma.

$ = - \dfrac{1}{2} \cdot \Big ( \dfrac{8}{14} - \dfrac{2}{14} \Big ) + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{7} = $

$ =- \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{14} + \dfrac{5}{14} = $

$ = - \dfrac{3}{14} + \dfrac{5}{14} = \dfrac{2}{14} = \dfrac{1}{7} $

Veamos unos ejemplos interactivos con la aplicación Graspablemath :

$ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{6}{5} $
$3^2 - 2^2 + \sqrt{81} \cdot \left ( \sqrt{49} - 3 \right )^2 $
$( \sqrt { 100 } - 3 ) ^ { 2 } + 2 \cdot \left[ 15 \cdot \sqrt { 36 } - \left( 3 ^ { 2 } - \sqrt { 4 } \right) ^ { 2 } \right]$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Universidad de La Rioja - Seminario de problemas para ESO y Bachillerato.

En la Universidad de La Rioja, en Logroño, se desarrolla este seminario que está destinado a todos los alumnos de enseñanza de Secundaria y Bachillerato. Consiste en la propuesta de problemas matemáticos de distinta dificultad que los mismos alumnos deben resolver y explicar. Se desarrolla con periodicidad semanal.

Toda la información en este enlace: Seminario de problemas

Retos matemáticos

Matemáticas, noticias en la prensa.

Muchas veces los alumnos me dicen «pero Profe, ¿las matemáticas para qué sirven?». Yo les intento explicar muchas cosas y la verdad es que me cuesta convencerles. Con esta entrada en el blog les intentaré dar una respuesta a sus dudas:

• Las matemáticas, clave para resolver los enigmas de la neurociencia
• El análisis matemático de imágenes tumorales explica por qué un cáncer puede ser más agresivo
• Las matemáticas que se esconden tras el patrimonio granadino
• Botín creará Santander Analytics: una división de gestión de riesgo con más de 100 matemáticos
• Matemáticas, de patito feo a titulación más deseada
• Muere Katherine Johnson, la matemática que llevó a la humanidad a la Luna
• Lucía, la matemática que hace que los camioneros duerman en casa: "Somos pocas chicas en big data"
  
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Seguiremos ampliando la sección.

Cualquier noticia(sugerencia) será bienvenida.