Matemáticas e Inglés. Inglés y Matemáticas.

Hola,

 En este enlace os dejo el podcast "Breve historia de las Matemáticas" a través de la vida de varios matemáticos. Estos podcast son obra del matemático y divulgador Marcus du Satoy. Espero que lo disfrutéis, merece la pena.


Salu2.

Mis vídeos relacionados con las Matemáticas

Hola,

    Aquí voy a compartir algunos de los vídeos que me gustan, muchos de ellos tienen relación con las Matemáticas, espero que os gusten:

1. Vídeo de $\pi$ girando generado por I. A.
   
2. Este vídeo es un oco largo pero merece la pena. Tiene un montón de Matemáticas.Animation vs Math. ¡¡¡No os lo podéis perder!!!
   
   
   
3. Este me gusta mucho, está en inglés, pero se entiende bastante bien The magic moment. De un ingeniero que hace maquetas de papel que se pueden «plegar». Geometría en movimiento.
   
   
   
4. En este vídeo publicitario de Honda, un claro ejemplo de anamorfosis. 



5. En este vídeo podemos ver como las Matemáticas han ayudado a Disney/Pixar una de sus películas BRAVE, si no la habéis visto os recomiendo que lo hagáis.  
   
   
   
6. En este vídeo vemos como fabrican una bicicleta con cartón reciclado, ¡¡¡alucinante!!!
   
   
   
7. Este otro vídeo es una maravilla, seis demostraciones gráficas del Teorema de Pitágoras. 
   
   
   
8. Y aquí un vídeo del Teorema de Pitágoras en 3D:  
   
   
   
   
   
9. En este vídeo conocemos a Troncho y Poncho, una pareja que nos va a explicar muchas cosas de Matemáticas, en este vídeo nos hablan de «áreas de polígonos». Podéis seguir a Poncho y Troncho en twitter o en su web http://www.angelitoons.com/ o en su calnal de youtube www.youtube.com/user/angelitoons.
10. Punto y aparte merecen los vídeos de Cristóbal Vilá. A destacar:
    • Inspitarions, viene muy bien explicado aquí.
      
      
      
    • Nature by numbers, explicado muy bien aquí.
    
    
    
    
    • ARS QUBICA, que plantea transmitir la presencia de la geometría y las matemáticas en el arte. Para ello se utiliza la figura de un cubo como hilo conductor.
    
    
    
    
    • El último vídeo de Cristóbal Vila, Infinite Patterns:
      
      
      

11. Este vídeo también es muy interesante, nos muestra como se hace el mosaico marroquí o zellig.

    
    
    
12. Este vídeo también gusta mucho a algunos alumnos, sobre como se hacen las muñecas japonesas Kokeshi.
    
    
    
13. En este vídeo se presenta  ℼ  de forma rápida y visual:
 



14. ¿Es la rueda siempre circular?
    
    
    
15.  ¿Es siempre el camino más corto el camino más rápido?
    
    
    
    
    

Seguiremos actualizando esta sección. Cualquier sugerencia Aquí el texto que quieras

Resolver ecuaciones de 2º grado completas e incompletas. Bicuadradas.

Fórmula para resolver ecuaciones de $2^{\underline{\circ}}$ grado \(ax^2 + bx + c = 0 \)

Our beloved Quadratic Formula ❤https://t.co/RCzdeln7Qj#math #science #iteachmath #mtbos #visualization #elearning #algebra pic.twitter.com/NbRA1RLNeu

— Tungsteno (@74WTungsteno) July 7, 2021

— Infinite Logiz (@Infinite_Logiz) ver publicación

Veamos «otra fórmula» para resolver ecuaciones de $2^{\underline{\circ}}$ grado, pero $C$ tiene que ser distinto de cero: $$\Large{ \begin{aligned} a x^2+b x+c & =0 \\ 4 a c x^2+4 b c x+4 c^2 & =0 \\ 4 b c x+4 c^2 & =-4 a c x^2 \\ b^2 x^2+4 b c x+4 c^2 & =b^2 x^2-4 a c x^2 \\ (b x+2 c)^2 & =x^2\left(b^2-4 a c\right) \\ b x+2 c & = \pm x \sqrt{b^2-4 a c} \\ 2 c & =-b x \pm x \sqrt{b^2-4 a c} \\ 2 c & = x\left(-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}\right) \\ x\left(-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}\right) & =2 c \\ x & =\dfrac{2 c}{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}} \end{aligned} } $$

Completas

Una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado es completa si $a \neq 0$, $b \neq 0$ y $c \neq 0$. Para ello tenemos que ver cuanto vale \(a, \ b \ y \ c\) y aplicar dicha fórmula: $$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$$ Lo primero que tenemos que hacer es estudiar el discriminante \( \Delta = \sqrt{b^2 - 4ac} \)

 

$$ \large \cases{ \text{ Si }  \Delta > 0 \ \text{ tendremos 2 soluciones diferentes;} \cr \cr \text{ Si }\  \Delta = 0 \ \text{tendremos 1 solución «doble» (es la misma), es una identidad notable, y} \cr \cr \text{ Si } \ \Delta < 0 \ \text{ no tendremos ninguna solución «real».} } $$

Veamos algunos ejemplos:
1.- Para la ecuación: \(x^2 + 6x + 5 = 0 \), entonces \(a = 1\), \(b = 6\) y \(c = 5\).

Resolvamos la ecuación:
Primero veamos el \( \Delta = \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5} = \sqrt{36 - 20} = \sqrt{16} = 4 \) como el determinante es positivo, tiene dos raíces reales diferentes:

$$ x = \dfrac{ -6 \pm 4 }{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ -2 }{ 2 } = -1  \Rightarrow x_1 = -1 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -10 }{ 2 } = -5 \Rightarrow x_2 = -5 \end{array}. $$

La pregunta que nos hacemos ahora: ¿hemos terminado? No, tenemos que comprobar las soluciones obtenidas:
La primera solución \(x_1 = -1\), donde pone \(x\) tenemos que poner -1: \[ (-1)^2 + 6(-1) + 5 = 1 - 6 + 5 = 0\]
La primera solución \(x_2 = -5\), donde pone \(x\) tenemos que poner -5: \[ (-5)^2 + 6(-5) + 5 = 25 - 30 + 5 = 0\]

Si factorizamos, tenemos que $$0 = x^2 + 6x + 5 = (x + 5) \cdot (x + 1) $$ 

2.- Para la ecuación: \(x^2 - 5x + 6 = 0 \), entonces \(a = 1\), \(b = -5\) y \(c = 6\). Si no lo veis claro, podéis poner \(x^2 + (-5)x + 6 = 0 \) y así es más sencillo sacar los valores de \(a, \ b \ y \ c\).

Resolvamos la ecuación:
Primero veamos el \( \Delta = \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6} = \sqrt{25 - 24} = \sqrt{1 } = 1 \) como el determinante es positivo, tiene dos raíces reales diferentes:
$$ x = \dfrac{ 5 \pm 1 }{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 6 }{ 2 } = 3  \Rightarrow x_1 = 3 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 4 }{ 2 } = 2 \Rightarrow x_2 = 2 \end{array}. $$

La pregunta que nos hacemos ahora: ¿hemos terminado? No, tenemos que comprobar las soluciones obtenidas:
La primera solución \(x_1 = 3\), donde pone \(x\) tenemos que poner 3: \[ 3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\]
La primera solución \(x_2 = 2\), donde pone \(x\) tenemos que poner 2: \[ 2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\]

Si factorizamos, tenemos que $$0 = x^2 - 5x + 6 = (x - 2) \cdot (x - 3) $$

3.- Para la ecuación: \(2x^2 - 5x - 3 = 0 \), entonces \(a = 2\), \(b = -5\) y \(c = -3\). Si no lo veis claro, podéis poner \(2x^2 + (-5)x + (-3) = 0 \) y así es más sencillo sacar los valores de \(a, \ b \ y \ c\).

Resolvamos la ecuación:
Primero veamos el \( \Delta = \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)} = \sqrt{25 + 24} = \sqrt{49} = 7 \) como el determinante es positivo, tiene dos raíces reales diferentes:
$$ x = {5 \pm 7 \over 4} $$ Una raíz sería \(x_1 = 3\) y la otra \(x_2 = {-1 \over 2} \).
$$ x = \dfrac{ 5 \pm 7 }{4} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 12 }{ 4 } = 3  \Rightarrow x_1 = 3 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -2 }{ 4 } = \dfrac{-1}{2} \Rightarrow x_2 = \dfrac{-1}{2} \end{array}. $$

La pregunta que nos hacemos ahora: ¿hemos terminado? No, tenemos que comprobar las soluciones obtenidas:
La primera solución \(x_1 = 3 \), donde pone \(x\) tenemos que poner 3: \[ 2 \cdot 3^2 - 5 \cdot 3 - 3 = 18 - 15 - 3 = 0\]
La primera solución \(x_2 = {-1 \over 2} \), donde pone \(x\) tenemos que poner \( {-1 \over 2} \) : \[ 2 \cdot \Bigg ( {-1 \over 2} \Bigg )^2 - 5 \cdot \Bigg ( {-1 \over 2} \Bigg ) - 3 = {1 \over 2} + {5 \over 2} - 3 = {6 \over 2} - 3 = 3 -3 = 0 \]

Si factorizamos, tenemos que $$0 = x^2 - 5x + 6 = (x - 3) \cdot (2x + 1) $$

4.- Ejemplo de una ecuación con una única solución, es decir, solución doble. Sea la ecuación $x^2 - 18x + 81 = 0$ 

Resolvamos la ecuación:
Primero veamos el determinante \( \Delta = \sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (81)} = \sqrt{324 - 324} = \sqrt{0} = 0 \) como el determinante es cero, tiene una raíz «doble»:

$$ x = \dfrac{ 18 \pm 0 }{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 18 }{ 2 } = 9  \Rightarrow x_1 = 9 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 18 }{ 2 } = 9 \Rightarrow x_2 = 9 \end{array}. $$

Si factorizamos el polinomio, nos queda 

$$ x^2 - 18x + 81 = 0 \Leftrightarrow (x -9)^2 = 0 $$

5.- Ejemplo de una ecuación que no tiene solución. Sea la ecuación $x^2 + x + 12 = 0$ 

Resolvamos la ecuación:
Primero veamos el determinante \( \Delta = \sqrt{\ (1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (12)\ } = \sqrt{\ 1 - 48\ } = \sqrt{\ -47\ } \) como el determinante es negativo, eso quiere decir que no tienen «solución», solución real.

Como no tiene soluciones reales, no se puede factorizar. 

Fórmulas de Cardano-Vieta

Si $\alpha$ y $\beta$ son las raíces de la ecuación de $\odn{2}{o}$ grado entonces se cumple que: $$ \alpha + \beta = - \dfrac{\ b\ }{a} \quad \text{ y } \quad \alpha \cdot \beta = \dfrac{\ c\ }{a} $$ Si $a = 1$ entonces tenemos que: $$ \alpha + \beta = - b \quad \text{ y } \quad \alpha \cdot \beta = c $$

¿De dónde salen estas fórmulas?

Una ecuación polinómica de $\odn{2}{o}$ grado $ax^2 + bx + c = 0$ tiene como mucho 2 raíces, si suponemos que son $\alpha$ y $\beta$ entonces el polinomio lo podemos poner de esta forma:
$$ ax^2 + bx + c = 0 \Leftrightarrow a \cdot \left (x^2 + \dfrac{\ bx\ }{a} + \dfrac{\ c\ }{a} \right ) = 0 \Leftrightarrow x^2 + \dfrac{\ bx\ }{a} + \dfrac{\ c\ }{a} = 0 $$ Así: $$ x^2 + \dfrac{\ bx\ }{a} + \dfrac{\ c\ }{a} = (x - \alpha) \cdot (x - \beta) $$ Y si desarrollamos el producto de la derecha tenemos que:
$$ (x - \alpha) \cdot (x - \beta) = x^2 - \alpha x - \beta x + \alpha \beta $$ Luego tenemos:
$$ x^2 + \dfrac{\ bx\ }{a} + \dfrac{\ c\ }{a} = x^2 - \left ( \alpha + \beta \right) x + \alpha \beta $$ Y dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y los coeficientes correspondientes de las potencias de x son iguales:

Es decir:

$$ \cases{ \alpha + \beta = - \dfrac{\ b\ }{a} \cr \cr \alpha \beta = \dfrac{\ c\ }{a} \cr } $$

Veamos los ejemplos resueltos anteriormente:

1.- Para la ecuación: \(x^2 + 6x + 5 = 0 \) las soluciones han sido $x_1 = -1$ y $x_2 = -5$.

$\quad$ Si sumamos las raíces y hacemos el opuesto tenemos: $ - (-1 + (-5) ) = - (-6) = 6$ el coeficiente de la $x \checkmark $

$\quad$ Si multiplicamos las raíces tenemos: $ (-1) \cdot (-5) = 5$ el término independiente $\checkmark$



2.- Para la ecuación: \(x^2 - 5x + 6 = 0 \) las soluciones han sido $x_1 = 2$ y $x_2 = 3$.

$\quad$ Si sumamos las raíces y hacemos el opuesto tenemos: $ - (2 + 3 ) = - (5) = -5$ el coeficiente de la $x \checkmark $

$\quad$ Si multiplicamos las raíces tenemos: $ 2 \cdot 3 = 6$ el término independiente $\checkmark$

Os dejo el enlace de este applet de resolver ecuaciones de $\odn{2}{o}$ grado sin aplicar la fórmula:

Resolver ecuaciones $\odn{2}{\circ}$ grado «completando cuadrados»

Completar cuadrados es un recurso de álgebra que me permite poner una expresión como una identidad notable. Veamos unos ejemplos:

• $ x^2 + 10x $ no es un cuadrado perfecto, pero si le sumo y le resto 25, es el cuadrado de la mitad del coeficiente de $x$, tengo: $$ x^2 + 10x + 25 - 25 = (x + 5)^2 - 25 $$
• Pero no siempre es tan fácil: $x^2 + 3x$ $$ x^2 + 3x + \dfrac{\ 3^2\ }{2^2} - \dfrac{\ 3^2\ }{2^2} = \left (x + \dfrac{\ 3\ }{2} \right )^2 - \dfrac{\ 9\ }{4} $$

Esta es la técnica que vamos a usar para resolver ecuaciones de $\odn{2}{\circ}$ grado: $$ x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow x^2 - 5x = - 6 \Rightarrow x^2 - 5x + \dfrac{\ 25\ }{4} = -6 + \dfrac{\ 25\ }{4} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \left ( x - \dfrac{\ 5\ }{2} \right )^2 = \dfrac{\ -24\ }{4} + \dfrac{\ 25\ }{4} \Rightarrow \left ( x - \dfrac{\ 5\ }{2} \right )^2 = \dfrac{\ 1 }{4} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow x - \dfrac{\ 5\ }{2} = \pm \sqrt{\ \dfrac{\ 1 }{4} } \Rightarrow x - \dfrac{\ 5\ }{2} = \pm \dfrac{\ 1 }{2} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow x = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{\ -1}{ 2 } + \dfrac{\ 5\ }{2} = \dfrac{\ 4\ }{2} = 2 \Rightarrow x_1 = 2 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{\ 1\ }{ 2 } + \dfrac{\ 5\ }{2} = \dfrac{\ 6\ }{2} = 3 \Rightarrow x_2 = 3 \end{array}. $$

Resolver ecuaciones $\odn{2}{\circ}$ grado «sacando factor común»

También se pueden resolver las ecuaciones de $\odn{2}{\circ}$ grado, sacando factor común. El término de la $x$ hay que ponerlo como suma o resta de algún factor del término independiente y/o del coeficiente director. Veamos algunos ejemplos:

• $ x^2 -5x + 6 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 3x + 6 = 0 \Rightarrow x(x - 2) - 3(x - 2) = 0 \Rightarrow (x - 2) \cdot (x -3) = 0 $
  
  Las soluciones son $x = 2$ y $x = 3$
• $ x^2 + 6x + 5 = 0 \Rightarrow x^2 + 5x + x + 5 = 0 \Rightarrow x(x + 5) + (x + 5) = 0 \Rightarrow (x + 5) \cdot (x + 1) = 0 $
  
  Las soluciones son $x = -5$ y $x = -1$
• $ 2x^2 + 5x - 7 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 2x + 7x - 7 = 0 \Rightarrow 2x(x - 1) + 7(x - 1) = 0 \Rightarrow (x - 1) \cdot (2x + 7) = 0 $
  
  Las soluciones son $x = 1$ y $x = \dfrac{\ -7\ }{2}$
• $ 2x^2 + 5x + 3 = 0 \Rightarrow 2x^2 + 2x + 3x + 3 = 0 \Rightarrow 2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0 \Rightarrow (x + 1) \cdot (2x + 3) = 0 $
  
  Las soluciones son $x = -1$ y $x = \dfrac{\ -3\ }{2}$

Incompletas

En una ecuación de segundo grado \(ax^2 + bx + c = 0 \) está claro que $a$, el coeficiente de $x^2$ no puede ser cero, ya que entonces sería una ecuación de primer grado. Luego cuando estamos con ecuaciones de segundo grado incompletas es que los coeficientes que pueden ser cero son $b$ y/o $c$.

• Si $b = c = 0$ tenemos $ax^2 = 0$ y la única solución es $x = 0$. Se dice que 0 es raíz doble o con multiplicidad 2, porque se repite dos veces. 
• Si $b = 0$ , entonces tenemos $ax^2 + c = 0 \Leftrightarrow x^2 = \dfrac{-c}{a} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{ \dfrac{-c}{a} } $ Luego tendrá solución si $\dfrac{-a}{c} \leq 0 $. 
• Si $c = 0$, entonces tenemos $ax^2 + bx = 0 \Leftrightarrow x \cdot \left ( ax + b \right ) = 0 $. Entonces sacamos factor común a $x$, puede que podamos sacar factor común a algo más que a $x$, eso quiere decir que cero es siempre solución. Y la otra solución la sacamos de resolver el otro paréntesis $ax + b = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{-b}{a} $.

Veamos algunos ejemplos: 

$\bullet$ Tenemos la ecuación $3x^2 = 0$ donde $ b = c = 0 \Rightarrow x = 0$.

$\bullet$ Tenemos la ecuación $x^2 - 9 = 0$ donde $ b = 0$. Así $ x^2 = 9 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{9} = \pm 3 $

Otra forma: Si factorizamos tenemos $$ x^2 - 9 = (x -3 ) \cdot (x + 3) = 0 $$ 

$\bullet$ Tenemos la ecuación $x^2 + 1 = 0$ si despejamos $x$ tenemos que $x^2 = - 1$ lo que es imposible, no tiene solución. 

$\bullet$ Tenemos la ecuación $3x^2 -  75x = 0$ donde c = 0. Sacamos factor común a $x$ y en este caso además a 3, nos quedará $3x^2 -  75x = 3x \cdot (x - 25) = 0$.

Tenemos que resolver lo siguiente $3 \cdot x \cdot (x - 25) = 0 $, es decir, ¿cuándo el producto de tres factores es cero? En este caso, sólo de dos, ya que 3 nunca será cero. El producto será cero si $x = 0 $ 0 si $x - 25 = 0 \Leftrightarrow x = 25$. 

Si factorizamos tenemos $$3x^2 -  75x = 3 \cdot x \cdot (x - 25 ) = 0 $$

Bicuadradas

Son ecuaciones de cuarto grado donde sólo aparecen las potencias pares

$$ ax^4 + bx^2 + c = 0 $$

Hacemos un cambio de variable $x^2 = t$, así la ecuación se transforma en otra que ya sabemos resolver

$$ at^2 + bt + c = 0 $$

en una ecuación de segundo grado completa. La que nos puede dar 2 soluciones de $t$, 1 solución de $t$ o ninguna. 

Si nos da alguna solución, después tenemos que deshacer el cambio y calcular los valores de $x$.

Así si tenemos dos soluciones $t_1$ y $t_2$ tendremos que $x^2 = t_1$ y $x^2 = t_2$ dos ecuaciones de segundo grado incompletas que sabemos resolver.

Si  sólo tenemos una raíz $t$, entonces tenemos $x^2 = t$ ecuación de segundo grado incompleta que sabemos resolver. 

Veamos un ejemplo, tenemos la ecuación $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ 

Hacemos el cambio de variable $x^2 = t$ y tenemos: 

$$ t^2 - 5t + 4 = 0 $$

Aplicamos la fórmula para resolver la ecuación 

$$ t = \dfrac{ 5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 } }{2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 - 16} }{2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{ 9 } }{2} = \dfrac{5 \pm 3 }{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 8 }{ 2 } = 4  \Rightarrow t = 4 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 2 }{ 2 } = 1 \Rightarrow t = 1 \end{array}. $$

Ahora deshacemos el campo: 

$x^2 = 1 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{1} = \pm 1 $ y 

$x^2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{4} = \pm 2 $ 

Si factorizamos tenemos que 

$$ 0 = x^4 - 5x^2 + 4 = (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x - 2) \cdot (x + 2) $$

Otro ejemplo, tenemos la ecuación $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$ 

Hacemos el cambio de variable $x^2 = t$ y tenemos: 

$$ t^2 - 8t - 9 = 0 $$

Aplicamos la fórmula para resolver la ecuación 

$$ t = \dfrac{ 8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) } }{2} = \dfrac{ 8 \pm \sqrt{64 + 36} }{2} = \dfrac{ 8 \pm \sqrt{ 100 } }{2} = \dfrac{8 \pm 10 }{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 18 }{ 2 } = 9  \Rightarrow t = 3 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -2 }{ 2 } = -1 \Rightarrow t = -1 \end{array}. $$

Ahora deshacemos el campo: 

$x^2 = -1 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{-1} \Rightarrow $ no tiene solución; y 

$x^2 = 9 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{9} = \pm 3 $ 

Si factorizamos tenemos que 

$$ 0 = x^4 - 8x^2 - 9 = (x^2 + 1) \cdot (x - 3) \cdot (x + 3) $$

Vamos con otro ejemplo, tenemos la ecuación $x^4 + 26x^2 + 25 = 0$ 

Hacemos el cambio de variable $x^2 = t$ y tenemos: 

$$ t^2 + 26t + 25 = 0 $$

Aplicamos la fórmula para resolver la ecuación 

$$ t = \dfrac{ -26 \pm \sqrt{26^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 } }{2} = \dfrac{ -26 \pm \sqrt{676 - 100} }{2} = \dfrac{ -26 \pm \sqrt{ 576 } }{2} = \dfrac{-26 \pm 24}{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ -2 }{ 2 } = -1  \Rightarrow t = -1 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -50 }{ 2 } = -25 \Rightarrow t = -25 \end{array}. $$

Ahora deshacemos el campo: 

$x^2 = -1 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{-1} \Rightarrow $ no tiene solución; y 

$x^2 = -25 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{-25} \Rightarrow $ no tiene solución. 

Si factorizamos tenemos que 

$$ 0 = x^4 + 26x^2 + 25 = (x^2 + 1) \cdot (x^2 + 25) $$

Comentario

Si tenemos una ecuación de este estilo 

$$ a \left ( x^n \right )^2 + b x^n + c = 0 $$ 

Tendríamos que hacer el cambio $x^n = t $ y nos quedaría 

$$ a  t^2 + b t + c = 0 $$ 

Veamos algunos ejemplos: 

1.- Tenemos la ecuación $ x^6 + 7x^3 - 8 = 0 $. Hacemos el cambio $x^3 = t$ nos queda 

$$ t^2 + 7t - 8 = 0 $$

$$ t = \dfrac{ -7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) } }{2} = \dfrac{ -7 \pm \sqrt{49 + 32} }{2} = \dfrac{ -7 \pm \sqrt{ 81 } }{2} = \dfrac{-7 \pm 9}{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 2 }{ 2 } = 1  \Rightarrow t = 1 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -16 }{ 2 } = -8 \Rightarrow t = -8 \end{array}. $$

Ahora deshacemos el cambio: 

$x^3 = 1 \Rightarrow x = \sqrt[3]{1} = 1 $ 

$x^3 = -8 \Rightarrow x = \sqrt[3]{-8} = -2 $ 

2.- Tenemos la ecuación $x^8 - 17x^4 + 16 = $. Hacemos el cambio $x^4 = t$ nos queda   

$$t^2 - 17t + 16 = 0 $$ 

$$ t = \dfrac{ 17 \pm \sqrt{(17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 } }{2} = \dfrac{ 17 \pm \sqrt{289 - 64} }{2} = \dfrac{ 17 \pm \sqrt{ 225 } }{2} = \dfrac{17 \pm 15}{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 32 }{ 2 } = 16  \Rightarrow t = 16 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 2 }{ 2 } = 1 \Rightarrow t = 1 \end{array}. $$

Ahora deshacemos el cambio: 

$x^4 = 16 \Rightarrow x = \pm \sqrt[4]{16} = \pm 2 $ 

$x^4 = 1 \Rightarrow x = \pm \sqrt[4]{1} = \pm 1 $ 

3.- Tenemos la ecuación $x^{10} + 31 x^5 - 32 = 0$. Hacemos el cambio $x^5 = t$ nos queda

$$t^2 + 31t - 32 = 0$$ 

$$ t = \dfrac{ -31 \pm \sqrt{(31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) } }{2} = \dfrac{ -31 \pm \sqrt{961 - 128} }{2} = \dfrac{ -31 \pm \sqrt{ 1.089 } }{2} = \dfrac{-31 \pm 33}{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 2 }{ 2 } = 1  \Rightarrow t = -1 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -64 }{ 2 } = -32 \Rightarrow t = -32 \end{array}. $$

Ahora deshacemos el cambio: 

$x^5 = 1 \Rightarrow x = \sqrt[5]{1} = 1 $ 

$x^5 = -32 \Rightarrow x = \sqrt[5]{-32} = -2 $ 

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Todos valemos para las Matemáticas

Todos valemos para las Matemáticas, esa es mi opinión, pero hay una serie de preguntas que nos tenemos que hacer:

   - ¿Estudio/trabajo lo suficiente para ello?
   - ¿Cómo estudio/trabajo la asignatura?

Seguramente si no vas bien con la asignatura es que la respuesta a alguna de estas preguntas no es la adecuada.  Normalmente la respuesta a la primera es «el día de antes a tope» y la respuesta de la segunda «estudio de memoria, como si fuera historia». Si tus respuestas son parecidas a estas, tienes que replantearte muchas cosas.

Os voy a mostrar una tabla que es bastante interesante:

Ahora que cada uno saque sus propias reflexiones.

Continuidad y tipos de discontinuidad de funciones

Vemos explicado gráficamente los diferentes tipos de discontinuidades que se pueden dar. Gráfico obtenido de la siguiente web. 

  

Para que una función sea continua en $x = a$ tiene que cumplirse: 

1. $ \exists \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a} f(x)  \Leftrightarrow  \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a^+} f(x) = \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a^-} f(x)$ 
2. $ \exists f(a)$
3. $ \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a} f(x) = f(a) $ 

Si la condición 2 no se cumple, se dice que la función tiene una discontinuidad evitable, ya que podemos definir una nueva función cuyo valor en $x = a$ sea el $\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a} f(x)$. 

Por ejemplo, la función $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ cuyo dominio son todos los reales excepto el 1. $Dom f(x) = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. En esta función no existe f(1), pero el límite cuando x tiende a 1 sí que existe: 

$$  \displaystyle \lim_{ x \rightarrow 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = \dfrac{0}{0} =  \displaystyle \lim_{ x \rightarrow 1} \dfrac{(x - 1) \cdot (x + 1)}{x - 1} = \displaystyle \lim_{ x \rightarrow 1} (x + 1) = 2 $$

Definimos $F(x) = \left \{ \begin{array}{l}  \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} \ \text{ si } \ x \neq 2 \cr \cr 2 \quad \text{ si } \ x = 2 \end{array} \right. $ 

$F(x)$ es una función continua, cumple las 3 condiciones que hemos comentado anteriormente. 

Las discontinuidades que no son evitables se dividen en tipos, de primera especie o de segunda. Las de primera especie o de primer orden si los límites laterales son distintos o uno de ellos es infinito. Las de segunda especie o de segundo orden si al menos en uno de los lados del punto, la función no existe o no tienen límite.

Discontinuidades de $1^{\underline{a}}$ especie o de $1^{\underline{er}}$ orden:

$$  \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a^+} f(x) \neq \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a^-} f(x) $$

$$ \text{ salto } \ = \left | \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a^+} f(x) - \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a^-} f(x)  \right | $$

Nota: $f(a)$ puede estar definida o no y puede coincidir o no con alguno de los límites laterales si es finito.

Ejemplo de funciones de $1^{\underline{a}}$ especie o de $1^{\underline{er}}$ orden: 

• de salto finito: $f(x) = \dfrac{|x|}{x}$ y $\displaystyle \lim_{ x \rightarrow 1^-} \dfrac{|x|}{x} = -1$ y $\displaystyle \lim_{ x \rightarrow 1^+}  \dfrac{|x|}{x} = 1$ 
• de salto infinito: $ f(x) = \left \{ \begin{array}{l}  \dfrac{\ \ 1 \ \ }{x} \ \text{ si } \ x < 0  \displaystyle \lim_{ x \rightarrow 0^-} \dfrac{ \ \ 1 \ \ }{x} = - \infty \cr \cr x \quad \text{ si } \ x \geq 0 \displaystyle \lim_{ x \rightarrow 0^+} x = 0 \end{array} \right. $ 
• asintótica: $f(x) = \dfrac{\ \ 1 \ \ }{x}$ con los límites laterales $\displaystyle \lim_{ x \rightarrow 0^-} \dfrac{ \ \ 1 \ \ }{x} = - \infty$ y $\displaystyle \lim_{ x \rightarrow 0^+} \dfrac{ \ \ 1 \ \ }{x} = + \infty$

Discontinuidades de $2^{\underline{a}}$ especie o de $2^{\underline{er}}$ orden:

Una función $f(x)$ tiene una discontinuidad de este tipo si no existe alguno de los límites laterales o la función no está definida. 

Nota: $f(a)$ puede estar definida o no.

Ejemplo: $f(x) = \sin \left ( \dfrac{\ \ 1 \ \ }{x} \right )$ 

Lecturas «Matemáticas» y lecturas en general.

Ni vemos ni nos damos cuenta de la importancia de algunas cosas cotidianas, por ejemplo, los libros. Por ello nunca viene mal escuchar un reflexión de Carl Sagan sobre los libros ... 

Uno de los puntos que tienen que trabajar los alumnos de la ESO y Bachillerato es la lectura comprensiva de textos. Cuántas veces a la hora de plantear problemas no nos han dicho: «¡No lo entiendo!»; «¿Qué tenemos que hacer?» o «¿De este tipo de ejercicios no pondrá en le examen?».

Veamos algunos de los libros que se les puede «recomendar» y no «obligar» a que los lean:

Primaria - 1º ESO:
- Ojalá no hubiera números. Esteban Serrano Marugán. Ed.: Nivola.

1º - 3º ESO: 

- El crimen de la Hipotenusa. Emili Teixidor. Ed.: Planeta
- Números pares, impares e idiotas. Juan José Millás y Anotio Fraguas «Forges». Ed.: Barco de Vapor.
- Malditas matemáticas: Alicia en el país de los números. Carlo Frabetti. Ed.: Alfaguara.
- El asesinato del profesor de Matemáticas. Jordi Sierrra i Fabra. Ed.: Anaya.
- El diablo de los números, Hans Magnus Enzensberger. Ediciones Siruela.

4º ESO - Bachillerato:
- La fórmula preferida del profesor. Yoko Ogawa. Ed.: Funambulista.
- El hombre que calculaba. Malba Tahan. Ed.: Plutó.
- El tío Petrus y la conjetura de Goldbach. Apóstolos Doxiadis. Ed.: B de bolsillo Ediciones B.

Colección de lecturas Matemáticas de la editorial catarata: «Miradas Matemáticas».

Otro libro muy interesante es: El salto del tigre: Las matemáticas de la vida cotidiana. Autor: John D. Barrow. Editorial Crítica.



Si quieres la lista de libros en pdf, pulsa este botón.

		Libro
	1	ALICIA A TRAVÉS DEL ESPEJO Autor: LEWIS CARROLL Editorial: ALIANZA
	2	ALICIA EN EL PAÍS DE LAS ADIVINANZAS Autor: SMULLYAN, RAYMOND Editorial: CÁTEDRA EDICIONES
	3	ANDRÉS Y EL DRAGÓN MATEMÁTICO Autor: MARIO CAMPOS PÉREZ Editorial: LAERTES S.A.
	4	APÍN, CAPÓN, ZAPÚN AMANICANO! Autor: PERE ROIG Y JORDI FONT Editorial: OCTAEDRO
	5	BRUNO Y LA CASA DEL ESPEJO Autor: RICARDO GÓMEZ Editorial: ALFAGUARA
	6	¿CÓMO SE LLAMA ESTE LIBRO? Autor: RAYMOND SMULLYAN Editorial: CÁTEDRA
	7	¡CUÁNTA GEOMETRÍA HAY EN TU VIDA! Autor: ROSA M. HERRERA MERINO Editorial: SM
	8	CONTAR BIEN PARA VIVIR MEJOR Autor: CLAUDI ALSINA Editorial: RUBES
	9	CUENTOS CON CUENTAS Autor: MIGUEL DE GUZMÁN Editorial: NIVOLA
	10	CUENTOS DE MATEMÁTICAS Autor: JUAN CARLOS HERVÁS Editorial: PROYECTO SUR
	11	CUENTOS DEL CERO Autor: LUIS BALBUENA Editorial: NIVOLA
	12	CUENTOS GEOMÉTRICOS Autor: TERESA FERNÁNDEZ BLANCO Editorial: PROYECTO SUR
	13	EL ASESINATO DEL PROFESOR DE MATEMÁTICAS Autor: JORDI SERRA I FABRA Editorial: DUENDE VERDE
	14	EL CRIMEN DE LA HIPOTENUSA Autor: JORDI SERRA I FABRA Editorial: PLANETA S.A.
	15	EL CRIMEN DEL TRIÁNGULO EQUILÁTERO Autor: EMILI TEIXIDOR Editorial: PLANETA OXFORD
	16	EL CURIOSO INCIDENTE DEL PERRO A MEDIANOCHE Autor: EMILI TEIXIDOR Editorial: SALAMANDRA
	17	EL DIABLO DE LOS NÚMEROS Autor: MARK HADDON Editorial: SIRUELA
	18	EL DIARIOMÁTICO Y EL MATECONCURSO Autor: ANDRÉS ENRIQUE CABANA GONZÁLEZ, CÉSAR DOCANTO VÁZQUEZ, RAQUEL RAMÍREZ GÓMEZ Editorial: NIVOLA
	19	EL ECLIPSE Autor: CARLOS OLALLA LINARES Editorial: NIVOLA
	20	EL ENIGMA AVERROES Autor: LUIS BLANCO LASERNA Editorial: NIVOLA
	21	EL ESCARABAJO DE ORO Autor: EDGAR ALLAN POE Editorial: NIVOLA
	22	EL GRAN JUEGO Autor: CARLO FRABETTI Editorial: ALFAGUARA
	23	EL HOMBRE QUE CALCULABA Autor: MALBA TAHAN Editorial: VERON EDITORES
	24	EL LABERINTO DE LOS NÚMEROS ROMANOS Autor: RAFAEL ORTEGA DE LA CRUZ Editoral: NIVOLA
	25	EL MISTERIO DE LOS MENSAJES GEOMÉTRICOS Autor: RAFAEL ORTEGA DE LA CRUZ Editorial: NIVOLA
	26	EL MUNDO SECRETO DE LOS NÚMEROS Autor: RICARDO GÓMEZ GIL Editorial: SM
	27	EL PAÍS DE LAS MATES Autor: MIGUEL CAPÓ DOLZ Editorial: EL ROMPECABEZAS
	28	EL PAÍS DE LAS MATES PARA EXPERTOS Autor: L. C. NORMAN Editorial: NIVOLA
	29	EL PAÍS DE LAS MATES PARA NOVATOS Autor: L. C. NORMAN Editorial: NIVOLA
	30	EL PALACIO DE LAS CIEN PUERTAS Autor: CARLOS FRABETTI Editorial: SM
	31	EL SEÑOR DEL CERO Autor: MARÍA ISABEL MOLINA Editorial: ALFAGUARA
	32	ERNESTO, EL APRENDIZ DE MATEMAGO Autor: JOSÉ MUÑOZ SANTOJA Editorial: NIVOLA
	33	ESAS ENDIABLADAS MATES: CÓMO SUMAR, RESTAR, MULTIPLICAR Y DIVIDIR Autor: KJARTAN POSKITT Editorial: MOLINO S.A.
	34	ESAS MORTÍFERAS MATES Autor: KJARTAN POSKITT Editorial: MOLINO S.A.
	35	FERMAT Y SU TEOREMA Autor: CARLOS DORCE POLO Editorial: EL ROMPECABEZAS
	36	HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS EN COMIC Autor: JOSÉ LUIS CARLAVILLA y GABRIEL FERNÁNDEZ Editorial: PROYECTO SUR
	37	LA FÓRMULA PREFERIDA DEL PROFESOR Autor: YOKO OWAVA Editorial: FUNAMBULISTA
	38	LA MALDICIÓN DEL ZODIACO Autor: CARLOS OLALLA LINARES Editorial: NIVOLA
	39	LA SERPIENTE DE AGUA Y OTROS EXPERIMENTOS ASOMBROSOS Autor: DAVID BLANCO LASERNA Editorial: NIVOLA
	40	LA SONRISA DE PITÁGORAS. MATEMÁTICAS PARA DILETANTES Autor: LAMBERTO GARCÍA DEL Editorial: DEBATE
	41	LA SORPRESA DE LOS NÚMEROS Auotr: ANNA CERASOLI Eitorial: MAEVA
	42	LAS MATES EN LA CIUDAD DE LAS TRES CULTURAS Autor: MARÍA ISABEL BUSTOS MOLINAR Editorial: PROYECTO SUR EDICIONES
	43	LEE A JULIO VERNE: EL AMOR EN TIEMPOS DE CRIPTOGRAFÍA Autor: SUSANA MATTAIX Editorial: RUBES EDITORIAL
	44	LIBERINTO Autor: CARLOS FRABETTI Editorial: SM
	45	LOS CONQUISTADORES DEL INFINITO Editorial: JEAN LEMIEUX Autor: EDELVIVES
	46	LOS CRÍMENES DE OXFORD Autor: GILLERMO MARTÍNEZ Editorial: DESTINO
	47	LOS DIEZ MAGNÍFICOS Autor: ANNA CERASOLI Editorial: MAEVA
	48	MALDITAS MATEMÁTICAS: ALICIA EN EL PAÍS DE LOS NÚMEROS Autor: CARLOS FRABETTI Editorial: ALFAGUARA
	49	MÁS MORTÍFERAS MATES Autor: KJARTAN POSKITT Editorial: MOLINO S.A.
	50	MATACUENTOS Autor: JOAQUÍN COLLANTES HERNÁEZ y ANTONIO PÉREZ SANZ Editorial: NIVOLA
	51	MATACUENTOS 2 Autor: JOAQUÍN COLLANTES HERNÁEZ y ANTONIO PÉREZ SANZ Editorial: NIVOLA
	52	MATACUENTOS 3 Autor: JOAQUÍN COLLANTES HERNÁEZ y ANTONIO PÉREZ SANZ Editorial: NIVOLA
	53	MISTER CUADRADO Autor: ANNA CERASOLI Editorial: MAEVA
	54	NINA Y EL MISTERIO DE LA OCTAVA NOTA Autor: MOONY WITCHER Editorial: SUSAETA
	55	NINA Y LA MALDICIÓN DE LA SERPIENTE EMPLUMADA Autor: MOONY WITCHER Editorial: SUSAETA
	56	NÚMEROS PARES, IMPARES E IDIOTAS Autor: JUAN JOSÉ MILLÁS – FORGES Editorial: SM
	57	ODIAS LAS MATEMÁTICAS? Autor: ALEJANDRA VALLEJO-NÁGERA Editorial: MARTÍNEZ ROCE
	58	¡OJALÁ NO HUBIERA NÚMEROS! Autor: ESTEBAN SERRANO MARUGÁN Editorial: NIVOLA
	59	PALILLOS, ACEITUNAS Y REFRESCOS MATEMÁTICOS Autor: LUIS BALBUENA Y OTROS Editorial: RUBES
	60	PÓNGAME UN KILO DE MATEMÁTICAS Autor: CARLOS ANDRADAS HERANZ Editorial: SM
	61	TALLER DE MATEMÁTICAS CON CALCULADORA Autor: ABEL MARTÍN Y OTROS Editorial: EDICIONES TREA
	62	TEATROMÁTICO Autor: ISMAEL ROLDÁN CASTRO Editorial: NIVOLA
	63	LOS MATEMÁTICOS NO SON GENTE SERIA Autor: CLAUDI ALSINA Y M. DE GUZMÁN Editorial: RUBES
	64	ULRICO Y LA FLECHA DE CRISTAL Autor: CARLO FRABETTI Editorial: ALFAGUARA
	65	ULRICO Y LA LLAVE DE ORO Autor: CARLOS FRABETTI Editorial: ALFAGUARA
	66	ULRICO Y LAS PUERTAS QUE HABLAN Autor: CARLOS FRABETTI Editorial: ALFAGUARA
	67	UN CUENTO ENMARAÑADO Autor: LEWIS CARROL Editorial: NIVOLA
	68	MATEMÁTICAS EN TU MUNDO Autor: JOSÉ MARÍA SORANDO MUZAS Editorial: ALMUZARA ISBN: 9788494778636
	69	CINE Y MATEMÁTICAS Autor: JOSÉ MARÍA SORANDO MUZAS Editorial: GUADALMAZAN ISBN: 9788494471797

Y ¿qué pasa si no leemos?

La otra opción es no leer y pasa lo que pasa ...

y sobre todo

Hay que elegir bien la sección donde están los libros que queremos leer ...

Aquí os dejo este enlace http://www.librosmaravillosos.com/grandesmatematicos/ a un libro que narra la vida de grandes matemáticos de la historia. Hay un enlace de descarga del libro electrónico.

La lista la iremos ampliando. 

Aplicaciones «útiles» en el móvil para aprender Matemáticas (y algunas en el ordenador)

Hola,

   La primera de todas es la GeoGebra Calculadora Gráfica (Apple & Android); Una calculadora gráfica muy potente, que permite «comprobar» una multitud de gráficas de funciones, ecuaciones, sistemas de ecuaciones, etc. GeoGebra tiene muchas más aplicaciones y ventajas. En las tiendas de aplicaciones hay varias aplicaciones de Geogebra (Geometría 2D, 3D, Realidad aumentada) y está la versión online y la versión gratuita e instalable en el ordenador. 

   Otra muy interesante es PhotoMath (Apple & Android), permite resolver ecuaciones, integrales, límites, etc., tomando una fotografía. Los problemas de enunciado, de momento, no los resuelve.

  Otra página web más que interesante es Graspablemath, sobre todo para las operaciones combinadas de naturales, enteros y fracciones para 1º y 2º de la ESO; y para manejar el álgebra en los cursos de 3º y 4º de la ESO. Estas aplicaciones no son las únicas, pero seguro que hay más.


GraphFree: Free Online Graphing Calculator es una página web que te permite hacer pequeños gráficos, entornos, funciones, etc.

   Poco a poco iremos añadiendo algunas aplicaciones.