Continuidad y tipos de discontinuidad de funciones

Vemos explicado gráficamente los diferentes tipos de discontinuidades que se pueden dar. Gráfico obtenido de la siguiente web. 

  

Para que una función sea continua en $x = a$ tiene que cumplirse: 

1. $ \exists \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a} f(x)  \Leftrightarrow  \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a^+} f(x) = \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a^-} f(x)$ 
2. $ \exists f(a)$
3. $ \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a} f(x) = f(a) $ 

Si la condición 2 no se cumple, se dice que la función tiene una discontinuidad evitable, ya que podemos definir una nueva función cuyo valor en $x = a$ sea el $\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a} f(x)$. 

Por ejemplo, la función $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ cuyo dominio son todos los reales excepto el 1. $Dom f(x) = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. En esta función no existe f(1), pero el límite cuando x tiende a 1 sí que existe: 

$$  \displaystyle \lim_{ x \rightarrow 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = \dfrac{0}{0} =  \displaystyle \lim_{ x \rightarrow 1} \dfrac{(x - 1) \cdot (x + 1)}{x - 1} = \displaystyle \lim_{ x \rightarrow 1} (x + 1) = 2 $$

Definimos $F(x) = \left \{ \begin{array}{l}  \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} \ \text{ si } \ x \neq 2 \cr \cr 2 \quad \text{ si } \ x = 2 \end{array} \right. $ 

$F(x)$ es una función continua, cumple las 3 condiciones que hemos comentado anteriormente. 

Las discontinuidades que no son evitables se dividen en tipos, de primera especie o de segunda. Las de primera especie o de primer orden si los límites laterales son distintos o uno de ellos es infinito. Las de segunda especie o de segundo orden si al menos en uno de los lados del punto, la función no existe o no tienen límite.

Discontinuidades de $1^{\underline{a}}$ especie o de $1^{\underline{er}}$ orden:

$$  \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a^+} f(x) \neq \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a^-} f(x) $$

$$ \text{ salto } \ = \left | \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a^+} f(x) - \displaystyle \lim_{ x \rightarrow a^-} f(x)  \right | $$

Nota: $f(a)$ puede estar definida o no y puede coincidir o no con alguno de los límites laterales si es finito.

Ejemplo de funciones de $1^{\underline{a}}$ especie o de $1^{\underline{er}}$ orden: 

• de salto finito: $f(x) = \dfrac{|x|}{x}$ y $\displaystyle \lim_{ x \rightarrow 1^-} \dfrac{|x|}{x} = -1$ y $\displaystyle \lim_{ x \rightarrow 1^+}  \dfrac{|x|}{x} = 1$ 
• de salto infinito: $ f(x) = \left \{ \begin{array}{l}  \dfrac{\ \ 1 \ \ }{x} \ \text{ si } \ x < 0  \displaystyle \lim_{ x \rightarrow 0^-} \dfrac{ \ \ 1 \ \ }{x} = - \infty \cr \cr x \quad \text{ si } \ x \geq 0 \displaystyle \lim_{ x \rightarrow 0^+} x = 0 \end{array} \right. $ 
• asintótica: $f(x) = \dfrac{\ \ 1 \ \ }{x}$ con los límites laterales $\displaystyle \lim_{ x \rightarrow 0^-} \dfrac{ \ \ 1 \ \ }{x} = - \infty$ y $\displaystyle \lim_{ x \rightarrow 0^+} \dfrac{ \ \ 1 \ \ }{x} = + \infty$

Discontinuidades de $2^{\underline{a}}$ especie o de $2^{\underline{er}}$ orden:

Una función $f(x)$ tiene una discontinuidad de este tipo si no existe alguno de los límites laterales o la función no está definida. 

Nota: $f(a)$ puede estar definida o no.

Ejemplo: $f(x) = \sin \left ( \dfrac{\ \ 1 \ \ }{x} \right )$