Resolución de sistemas de ecuaciones lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

Según la existencia y la unicidad de las soluciones, los sistemas de ecuaciones se clasifican:

$$ \large \matrix{ \text{ Sistemas } \cr \text{de} \cr \text{ecuaciones} } = \cases{ \textbf{Compatible} \text{, el sistema tiene solución } \large \cases{ \textbf{Determinado} \text{: solución única. } \cr \cr \textbf{Indeterminado} \text{, infinitas soluciones } } \cr \cr \textbf{Incompatible} \text{, el sistema no tiene solución. } \cr } $$

Vamos a resolver varios sistemas de ecuaciones usando los cuatro métodos.

$$\huge \fbox{ Método de Sustitución} $$

«Consiste en despejar una incógnita de una ecuación y sustituirla en la otra.»

Lo que nos da cuatro opciones: 

• Despejar la $x$ en la primera ecuación y sustituirla en la segunda;
• Despejar la $x$ en la segunda ecuación y sustituirla en la primera;
• Despejar la $y$ en la primera ecuación y sustituirla en la segunda;
• Despejar la $y$ en la segunda ecuación y sustituirla en la primera.

Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$$ \large \color{blue} \cases{ 5x + 2y = 11 \cr \cr 2x - 3y = 12 } $$

Vamos a despejar la $x$ en la primera ecuación, así $x = \dfrac{11 - 2y}{5}$; Y ahora sustituimos en la segunda ecuación:

$$2\left ( \dfrac{11 - 2y}{5} \right ) - 3y = 12 \text{ Multiplicando por 5 ambos lados de la ecuación tenemos } $$

$$2\left ( 11 - 2y \right ) - 15y = 60 \Leftrightarrow 22 - 4y - 15y = 60 \Leftrightarrow -19y = 38 \Leftrightarrow y = - 2$$

Sabiendo el valor de $y$, calculemos el de $x, x  = \dfrac{11 - 2(-2)}{5} = \dfrac{15}{5} = 3$. 

Vamos a comprobar el sistema: 

$$ \large \cases{ 5 \cdot 3 + 2 \cdot (-2) = 15 - 4 = 11 \checkmark \cr \cr 2\cdot 3 - 3 \cdot (-2) = 6 + 6 = 12 \checkmark \cr } $$

Siempre hay que comprobar las soluciones.

En todas y cada una de las ecuaciones que forman el sistema.

$$\huge \fbox{ Método de Igualación} $$

«Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualarlas.»

Lo que nos da dos opciones: 

• Despejar la $x$ en las dos ecuaciones e igualarlas;
• Despejar la $y$ en las dos ecuaciones e igualarlas.

Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$$ \large \color{blue} \cases{ 3x + 2y = 7 \cr 2x - 3y = 9 } $$

De la $\odn{1}{a}$ ecuación despejamos $y$, $ 3x + 2y = 7 \Rightarrow 2y = 7 - 3x \Rightarrow y = \dfrac{\ 7 - 3x\ }{2}$ (1)

De la $\odn{2}{a}$ ecuación despejamos también $y$, $2x - 3y = 9 \Rightarrow - 3y = 9 - 2x \Rightarrow 3y = -9 + 2x \Rightarrow y = \dfrac{\ -9 + 2x\ }{3} $ (2)

Igualamos ambas expresiones de $y$ en (1) y (2):

$$ \dfrac{\ 7 - 3x\ }{2} = \dfrac{\ -9 + 2x\ }{3} \Leftrightarrow 3 \cdot \left ( 7 - 3x \right ) = 2 \cdot \left ( -9 + 2x \right )$$

$$ 21 - 9x = - 18 + 4x \Leftrightarrow 39 = 13 x \Leftrightarrow x = \dfrac{\ 39\ }{13} = 3 $$

Sustituyendo en cualquiera de las dos expresiones (1) o (2) donde tenemos despejada la $y$ tenemos:

$$ y = \dfrac{\ 7 - 3x\ }{2} = \dfrac{\ 7 - 3 \cdot 3 \ }{2} = \dfrac{\ 7 - 9\ }{2} = \dfrac{\ - 2\ }{2} = -1 $$

Ya hemos solucionado el sistema. Vamos con la comprobación:

$$ \left \{ \begin{array}{l} 3 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) = 9 - 2 = 7 \checkmark \cr \cr 2 \cdot 3 - 3 \cdot (-1) = 6 + 3 = 9 \checkmark \cr \end{array} \right . $$

$$\huge \fbox{ Método de Reducción} $$

«Consiste en conseguir un sistema equivalente donde alguna de las incógnitas tengan el mismo coeficiente (o su opuesto), que será el mínimo común múltiplo de los coeficientes de la incógnita elegida. Para ello vamos a multiplicar una de las ecuaciones o ambas ecuaciones por algún(os) número(s) para que los coeficientes de la $x$ o los de la $y$ sean iguales (u opuestos). A continuación se suman (o restan) las ecuaciones del sistema para obtener una sola ecuación de primer grado con una incógnita.»

1. Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario,
2. Se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior.
3. Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta

Para este paso hay dos opciones:

• Se repite el proceso con la otra incógnita.
• Se sustituye la incógnita ya hallada en una de las ecuaciones del sistema y se despeja la otra.

Vamos a despejar la $y$, para ellos queremos conseguir el mismo coeficiente (o el opuesto) en las $x$. Para ello multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por -5:
$$ \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 5x + 2y = 11 \xrightarrow{\ \ \ \ 2\ \ \ } \cr \cr 2x - 3y = 12 \xrightarrow {\ \ \ -5\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 10x + \ 4y \ = \ 22 \cr \cr -10x + 15y = -60 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 19y = -38 \Rightarrow y = -2 \end{array} $$

Ahora tenemos dos opciones:

1.- Aplicando el método de reducción para despejar la $x$, para ello multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2:
$$ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{ 5x + 2y = 11 \xrightarrow{\ \ \ 3\ \ \ } \cr \cr 2x - 3y = 12 \xrightarrow{\ \ \ 2\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{15x + \ 6y \ = \ 33 \cr \cr \ \ 4x \ - 6y \ = \ 24 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ 19x \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \ 57 \Rightarrow x = 3 \end{array} $$

2.- Sustituir en alguna de las ecuaciones la $y$ por -2 y calcular el valor de $x$. 

$$ 5x + 2 \cdot (-2) = 11 \Leftrightarrow 5x = 15 \Leftrightarrow x = 3 $$

Ya hemos solucionado el sistema. La comprobación la tenemos hecha en el método de sustitución. 

$$\huge \fbox{ Método Gráfico } $$

Consiste en representar las gráficas de las rectas asociadas a cada una de las ecuaciones del sistema para deducir su solución.
Recordemos que dos rectas en el plano tienen tres posibilidades:

1. Rectas secantes, se cortan en un único punto, la solución es única. Sistema compatible determinado.
2. Rectas coincidentes, infinitas soluciones. Sistema compatible indeterminado.
3. Rectas paralelas, no se cortan,  no existe solución. Sistema incompatible.

Para dibujar cada una de las rectas del sistema, seguimos los siguientes pasos:

• Despejamos una incógnita, normalmente la $y$;
• Damos valores y calculamos dos puntos de la recta (de los infinitos que tiene);
• Dibujamos en un sistema de referencia cartesiana los dos puntos obtenidos y trazamos la recta que pasa por ambos puntos.

De la $\odn{1}{a}$ ecuación $ \qquad y = \dfrac{11 - 5x}{2} \qquad \begin{array}{c|c} \ \ x\ \ & \ \ y\ \ \cr \hline 1 & 3 \cr 3 & -2 \end{array} \qquad \qquad$ De la $\odn{2}{a}$ ecuación $ \qquad y = \dfrac{2x - 12}{3} \qquad \begin{array}{c|c} \ \ x\ \ & \ \ y\ \ \cr \hline 6 & 0 \cr 3 & -2 \end{array} $

Veamos la gráfica:

     Truco - Coordenadas enteras     

     A la hora de buscar puntos para dibujarlos, siempre que podamos escogeremos puntos con las coordenadas $x$ e $y$ enteras. Para ello lo primero que haremos será despejar una variable (dependiente) en función de la otra (independiente). Si no hay denominador ya trabajamos con coordeadas enteras; si lo hubiera, a la variable independiente le sumamos un múltiplo cualquiera del denominador y ya tendríamos un punto cualquiera de la recta con coordenadas enteras.

Veamos un ejemplo:

    En la primera ecuación, despejamos la coordenada $y$, tenemos $y = \dfrac{\ \ 11 - 5x \ \ }{2}$; hemos obtenido el punto $(x, y) = (1, 3)$. Si ahora a la coordenada $x = 1$ de este punto, le sumamos un múltiplo del denominador de la $y$ en este caso 2, obtendremos otro punto con coordenadas enteras. Así un múltiplo del denominador puede ser $..., -8, -6 , -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, ... $, tomamos por ejemplo 4, si $x = 1 + 4 = 5$, tenemos que $y = -7$, es decir, hemos obtnido otro punto con coordenadas enteras $(x, y) = (5, -7)$. Lo mismo ocurrirá, si $ x = 1 - 4 = -3$, tenemos que $ y = 13$, etc.


    En la 1ª ecuación, si en lugar de despejar $y$, despejamos $x = \dfrac{\ \ 11 - 2y\ \ }{5}$, tenemos que buscar un punto con coordenadas enteras, es lo que más cuesta. En este caso, si $y = -2$ tenemos que $x = 3$, el punto sería el $(x, y) = (3, -2)$. Si ahora sumamos a la coordenada $y$ un múltiplo del denominador 5, tenemos que $y = -2 + 10 = 8$ y así $x = -1$.

    Si cogemos la segunda ecuación tenemos $ y = \dfrac{\ \ 2x - 12\ \ }{3} $ y hemos obtenido el punto $(, y) = (0, -4)$. Si ahora a la coordenada $x$ le sumamos un múltiplo del denominador, que en este caso 3, tenemos $x = 0 + 9 = 9$ así $y = 2$. Otros puntos los obtendríamos para valores de $x = -3, y = -6$.

    Si cogemos la 2ª ecuación y despejamos $ x = \dfrac{\ \ 12 + 3y\ \ }{2} $ y obtenemos el punto $(x, y) = (6, 0)$, ahora a la coordenada $y$ le sumamos cualquier múltiplo de 2 y obtenemos puntos de la recta con coordenadas enteras, por ejemplo, $y = 4$, nos da el valor de $x = 12$.

     Comprueba el sistema     

Aquí os dejo un enlace donde podéis comprobar por el método gráfico la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:





Aquí tienes unos sistemas de ecuaciones resueltos por los métodos sustitución, igualación y reducción. Vamos a ello:

Veamos el método de sustitución, despejamos en la $\odn{1}{a}$ ecuación la variable $x$ y tenemos que: $$ 9x = 2y - 3 \Rightarrow x = \dfrac{\ 2y - 3\ }{9} (1) $$ sustituimos este valor de $x$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación y nos queda:

$$ 7y - 12 \cdot \left ( \dfrac{\ 2y - 3\ }{9} \right ) = 17 \Rightarrow 7y - \dfrac{\ 12\ }{9} \cdot \left ( 2y - 3 \right ) = 17 \Rightarrow 7y - \dfrac{\ 4\ }{3} \cdot \left ( 2y - 3 \right ) = 17 \Rightarrow $$ Multiplicando por 3: $$ 3 \cdot 7y - 3 \cdot \dfrac{\ 4\ }{3} \cdot \left ( 2y - 3 \right ) = 3 \cdot 17 \Rightarrow 21y - 4 \cdot \left ( 2y - 3 \right ) = 51 \Rightarrow $$ $$ 21y - 8y + 12 = 51 \Rightarrow 13y = 39 \Rightarrow y = \dfrac{\ 39\ }{ 13 } = 3 $$ Sustituimos en (1) y tenemos que: $$ x = \dfrac{\ 2 \cdot 3 - 3\ }{9} = \dfrac{\ 6 - 3\ }{9} = \dfrac{\ 3\ }{9} = \dfrac{\ 1\ }{3} $$

Veamos el método de igualación. Vamos a despejar $y$ en las dos ecuaciones. De la $\odn{1}{a}$ ecuación tenemos: $9x + 3 = 2y \Rightarrow y = \dfrac{\ 9x + 3\ }{2} $

Ahora vamos a despejar $y$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación: $7y = 12x + 17 \Rightarrow y = \dfrac{\ 12x + 17\ }{7} $

Igualamos las variables: $$ \dfrac{\ 9x + 3\ }{2} = \dfrac{\ 12x + 17\ }{7} $$ Multiplicamos por 14 y nos quedará: $$ 14 \cdot \dfrac{\ 9x + 3\ }{2} = 14 \cdot \dfrac{\ 12x + 17\ }{7} \Rightarrow 7 \cdot (9x + 3) = 2 \cdot (12x + 17) \Rightarrow 63x + 21 = 24x + 34 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 39x = 13 \Rightarrow x = \dfrac{\ 13\ }{ 39 } = \dfrac{\ 1\ }{3} $$ Sustituyendo la $x$ por su valor en cualquiera de las dos expresiones de $y$ obtenemos su valor: $$ y = \dfrac{\ 12 \cdot \dfrac{\ 1\ }{3} + 17\ }{7} = \dfrac{\ 4 + 17\ }{7} = \dfrac{\ 21\ }{7} = 3 $$

Ahora aplicamos el método de reducción para calcular $x$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 7 y la $\odn{2}{a}$ por 2:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 9x - 2y = -3 \xrightarrow{\ \ \ \ 7\ \ \ } \cr \cr -12x + 7y = 17 \xrightarrow {\ \ \ 2\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 63x - 14y \ = \ -21 \cr \cr -24x + 14y = 34 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ 39x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 13 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow x = \dfrac{\ 13\ }{39} = \dfrac{\ 1\ }{3} \end{array} $$

Volvemos a aplicar el método de reducción para calcular $y$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 4 y la $\odn{2}{a}$ por 3:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 9x - 2y = -3 \xrightarrow{\ \ \ \ 4\ \ \ } \cr \cr -12x + 7y = 17 \xrightarrow {\ \ \ 3\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 36x - 8y \ = \ -12 \cr \cr -36x + 21y = 51 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 13y\ \ \ = 39 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow y = \dfrac{39}{\ 13\ } = 3 \end{array} $$

Veamos el método de sustitución, despejamos en la $\odn{2}{a}$ ecuación la variable $n$ y tenemos que: $$ 2n = -23 - 5m \Rightarrow n = \dfrac{\ -23 - 5m\ }{2} (1) $$ sustituimos este valor de $n$ en la $\odn{1}{a}$ ecuación y nos queda:

$$ 2m - 5 \cdot \left ( \dfrac{\ -23 - 5m\ }{2} \right ) = 14 \Rightarrow 2m - \dfrac{\ 5\ }{2} \cdot \left ( -23 - 5m \right ) = 14 \Rightarrow $$ Multiplicando por 2: $$ 2 \cdot 2m - 2 \cdot \dfrac{\ 5\ }{2} \cdot \left ( -23 - 5m \right ) = 2 \cdot 14 \Rightarrow 4m - 5 \cdot \left ( -23 - 5m \right ) = 28 \Rightarrow 4m + 5 \cdot (23 + 5m) = 28 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 4m + 115 + 25m = 28 \Rightarrow 29m = -87 \Rightarrow m = \dfrac{\ -87\ }{29} = -3 $$ Sustituimos en (1) y tenemos que: $$ n = \dfrac{\ -23 - 5 \cdot (-3)\ }{2} = \dfrac{\ -23 + 15\ }{2} = \dfrac{\ -8\ }{2} = -4 $$

Veamos el método de igualación.

Vamos a despejar $m$ en las dos ecuaciones. De la $\odn{1}{a}$ ecuación tenemos: $2m - 5n = 14 \Rightarrow 2m = 14 + 5n \Rightarrow m = \dfrac{\ 14 + 5n\ }{2} $

Ahora vamos a despejar $m$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación: $5m = -23 - 2n \Rightarrow m = \dfrac{\ -23 - 2n\ }{5} $

Igualamos las variables: $$ \dfrac{\ 14 + 5n\ }{2} = \dfrac{\ -23 - 2n\ }{5} $$ Multiplicamos por 10 y nos quedará: $$ 10 \cdot \dfrac{\ 14 + 5n\ }{2} = 10 \cdot \dfrac{\ -23 - 2n\ }{5} \Rightarrow 5 \cdot (14 + 5n) = 2 \cdot (-23 - 2n) \Rightarrow 70 + 25n = -46 - 4n \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 29n = -116 \Rightarrow n = \dfrac{\ -116\ }{ 29 } = -4 $$ Sustituyendo la $n$ por su valor en cualquiera de las dos expresiones de $m$ obtenemos su valor: $$ m = \dfrac{\ 14 + 5 \cdot (-4)\ }{2} = \dfrac{\ 14 - 20\ }{2} = \dfrac{\ -6\ }{2} = -3 $$

Ahora aplicamos el método de reducción para calcular $n$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 5 y la $\odn{2}{a}$ por 2:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 2m - 5n = 14 \xrightarrow{\ \ \ \ 5\ \ \ } \cr \cr 5m + 2n = -23 \xrightarrow {\ \ \ -2\ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 10m - 25n \ = \ 70 \cr \cr -10m - 4n = 46 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -29n \ \ \ \ \ \ \ = 116 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow n = \dfrac{\ -116\ }{29} = -4 \end{array} $$

Volvemos a aplicar el método de reducción para calcular $m$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 2 y la $\odn{2}{a}$ por 5:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 2m - 5n = 14 \xrightarrow{\ \ \ \ 2\ \ \ } \cr \cr 5m + 2n = -23 \xrightarrow {\ \ \ 5\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 4m - 10n \ = \ 28 \cr \cr 25m + 10n = -115 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ 29m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = -87 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow m = \dfrac{\ -87\ }{ 29 } = - 3 \end{array} $$

Veamos el método de sustitución, despejamos en la $\odn{2}{a}$ ecuación la variable $q$ y tenemos que: $$ 5q = 27 - 7p \Rightarrow q = \dfrac{\ 27 - 7p\ }{5} (1) $$ sustituimos este valor de $q$ en la $\odn{1}{a}$ ecuación y nos queda:

$$ 2p - 3 \cdot \left ( \dfrac{\ 27 - 7p\ }{5} \right ) = 21 \Rightarrow 2p - \dfrac{\ 3\ }{5} \cdot \left ( 27 - 7p \right ) = 21 \Rightarrow $$ Multiplicando por 5: $$ 5 \cdot 2p - 5 \cdot \dfrac{\ 3\ }{5} \cdot \left ( 27 - 7p \right ) = 5 \cdot 21 \Rightarrow 10p - 3 \cdot \left ( 27 - 7p \right ) = 105 \Rightarrow 10p - 81 + 21p = 105 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 31p = 186 \Rightarrow p = \dfrac{\ 186\ }{ 31 } = 6 $$ Sustituimos en (1) y tenemos que: $$ q = \dfrac{\ 27 - 7 \cdot 6\ }{5} = \dfrac{\ 27 - 42\ }{5} = \dfrac{\ -15\ }{ 5 } = -3 $$

Veamos el método de igualación.

Vamos a despejar $p$ en las dos ecuaciones. De la $\odn{1}{a}$ ecuación tenemos: $2p - 3q = 21 \Rightarrow 2p = 21 + 3q \Rightarrow p = \dfrac{\ 21 + 3q\ }{2} $

Ahora vamos a despejar $p$ en la $\odn{2}{a}$ ecuación: $7p = 27 - 5q \Rightarrow p = \dfrac{\ 27 - 5q\ }{7} $

Igualamos las variables: $$ \dfrac{\ 21 + 3q\ }{2} = \dfrac{\ 27 - 5q\ }{7} $$ Multiplicamos por 14 y nos quedará: $$ 14 \cdot \dfrac{\ 21 + 3q\ }{2} = 14 \cdot \dfrac{\ 27 - 5q\ }{7} \Rightarrow 7 \cdot (21 + 3q) = 2 \cdot (27 - 5q) \Rightarrow 147 + 21q = 54 - 10q \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 93 = -31q \Rightarrow q = \dfrac{\ -93\ }{ 31 } = -3 $$ Sustituyendo la $q$ por su valor en cualquiera de las dos expresiones de $p$ obtenemos su valor: $$ p = \dfrac{\ 21 + 3 \cdot (-3)\ }{2} = \dfrac{\ 21 - 9\ }{2} = \dfrac{\ 12\ }{2} = 6 $$

Ahora aplicamos el método de reducción para calcular $p$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 5 y la $\odn{2}{a}$ por -3:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 2p - 3q = 21 \xrightarrow{\ \ \ \ 5\ \ \ } \cr \cr 7p + 5q = 27 \xrightarrow {\ \ \ -3\ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 10p - 15q \ = 100 \cr \cr 21p + 15q = 81 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ 31p\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 186 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow p = \dfrac{\ 186\ }{ 31 } = 6 \end{array} $$

Volvemos a aplicar el método de reducción para calcular $q$, multiplicamos la $\odn{1}{a}$ ecuación por 7 y la $\odn{2}{a}$ por -2:

$$ \begin{array}{ll} \begin{array}{l} \begin{array}{l}\cases{ 2p - 3q = 21 \xrightarrow{\ \ \ \ 7\ \ \ } \cr \cr 7p + 5q = 27 \xrightarrow {\ \ \ -7\ \ \ } } \cr \end{array} \cr \cr \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \begin{array}{l} \cases{\ \ \ 14p - 21q \ = 147 \cr \cr -14p - 10q = -54 \cr \hline } \cr \end{array} \cr \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -31q\ \ \ \ \ \ \ \ \ = 93 \Rightarrow \end{array} & \Rightarrow q = \dfrac{\ -93\ }{ 31 } = - 3 \end{array} $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Vectores: combinación lineal e interpretación geométrica del producto escalar. Propiedades del producto escalar.

Segmento: Trozo de recta limitado por dos puntos.

Vector: Es un segmento (de extremos A y B) orientado, \(\overrightarrow{AB}\) o \(\overrightarrow{BA}\), con origen y final, tiene dirección, sentido y longitud.

Escalar: es una magnitud representada por número real cualquiera.

Combinación lineal

 Combinación lineal: Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar dichos vectores multiplicados por escalares (números).

El vector $\vec{w}$ es combinación lineal de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$:

$$ \Large \fbox{ $ \vec{w} = \alpha \cdot \vec{u} + \beta \cdot \vec{v} \quad \alpha, \beta \in \R $ } $$

Ejemplo:
El vector \( \vec{w} = (11, 1) \) se puede expresar como combinación lineal de los vectores \( \vec{u} = (1, 2) \) y \( \vec{v} = (3, -1) \), es decir: \[ \vec{w} = 2 \cdot \vec{u} + 3 \cdot \vec{u} = 2 \cdot (1, 2) + 3 \cdot (3, -1) = (11, 1) \] Dado un vector cualquiera $\vec{p}$, de componentes $\vec{p} = (p_x, p_y)$, se define el módulo del vector $\vec{p}$ y se denota $|\vec{p}|$ como:

$$ \Large \fbox{ $ |\vec{p}| = |(p_x, p_y) | = \sqrt{ p_x^2 + p_y^2 } $ } $$

Producto escalar

Producto escalar de dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ viene dado por la siguiente fórmula:

$$ \Large \fbox{ $ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha = \sqrt{ u_x^2 + u_y^2 } \cdot \sqrt{ v_x^2 + v_y^2 } \cdot \cos \alpha $ } \quad (1) $$

donde $|\vec{u}|$ el módulo o la longitud del vector $\vec{u}$, $|\vec{v}|$ la del vector $\vec{u}$ y $\alpha$ es el ángulo, el menor ángulo que forman los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

Ejemplos:

Propiedades del producto escalar

• \( \vec{u} \cdot \vec{u} \geq 0 \)
  
• \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} \) Cumple la propiedad conmutativa.
  
• \( \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = ( \vec{u} \cdot \vec{v} ) +(\vec{u} \cdot \vec{w}) \) Distributiva de la suma respecto del producto
  
• \( \alpha (\vec{u} \cdot \vec{v}) = ( \alpha \vec{u} ) \cdot \vec{v} ) = \vec{u} \cdot ( \alpha \vec{v}) \) Asociativa respecto de un escar
  

Vector unitario

Vector unitario: Aquel vector cuyo módulo o longitud vale 1. Por ejemplo, el vector $ \vec{i} = (1, 0)$ tiene módulo 1: $$ |\vec{i}| = |(1, 0) | = \sqrt{ 1^2 + 0^2 } = \sqrt{ 1 } = 1 $$ Lo mismo ocurre con el vector $\vec{j}$.

El vector $\left ( \dfrac{ \sqrt{2} }{2}, \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \right )$ tiene módulo 1. Veámoslo: $$ \left | \left ( \dfrac{ \sqrt{2} }{2}, \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \right ) \right | = \sqrt{ \left ( \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \right )^2 + \left ( \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \right )^2 } = \sqrt{ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} } = \sqrt{ 1 } = 1 $$

Dado un vector cualquiera, siempre podemos calcular un vector unitario proporcional a él. Veámoslo: Utilizamos la siguiente propiedad: $$ | \lambda \cdot \vec{u} | = |\lambda | \cdot |\vec{u}| $$ Por un lado tenemos que $\lambda \cdot \vec{u} = \lambda \cdot (u_x, u_y) = (\lambda \cdot u_x, \lambda \cdot u_y) $, si calculamos el módulo de este vector: $$ | \lambda \cdot \vec{u} | = |(\lambda \cdot u_x, \lambda \cdot u_y)| = \msqrt{(\lambda \cdot u_x)^2 + (\lambda \cdot u_y)^2 } = \msqrt{ \lambda^2 \cdot u_x^2 + \lambda^2 \cdot u_y^2 } = \msqrt{ \lambda^2 \cdot ( u_x^2 + u_y^2) } = \msqrt{ \lambda^2 } \cdot \msqrt{ u_x^2 + u_y^2 } = |\lambda| \cdot |\vec{u}| $$ Ahora es tan fácil como que el nuevo vector $\lambda \cdot \vec{u}$ tenga de módulo 1: $$ | \lambda \cdot \vec{u} | = | \lambda | \cdot | \vec{u} | = 1 \Rightarrow | \lambda | \cdot | \vec{u} | = 1 \Rightarrow |\lambda| = \mfrac{ 1 }{ | \vec{u} | } \Rightarrow \lambda = \mfrac{ \pm 1 }{ | \vec{u} | } $$ Ejemplo: Sea $\vec{u} = (4, -7)$, el módulo de $|\vec{u}| = \msqrt{ 4^2 + (-7)^2} = \msqrt{16 + 49} = \msqrt{65} $ luego el escalar buscado puede ser $\lambda = \mfrac{ \pm 1 }{ \msqrt{65} } = \pm \mfrac{ \msqrt{65} }{ 65 }$

Así tenemos los vectores $\mfrac{ \msqrt{65} }{ 65 } (4, -7)$ y $\mfrac{ -\msqrt{65} }{ 65 } (4, -7)$. Vamos a comprobar que son unitarios: $$ \left | \mfrac{ \msqrt{65} }{ 65 } (4, -7) \right | = \left | \left ( \mfrac{ 4\msqrt{65} }{ 65 } , \mfrac{ -7\msqrt{65} }{ 65 } \right ) \right | = \msqrt{ \left ( \mfrac{ 4\msqrt{65} }{ 65 } \right)^2 + \left ( \mfrac{ -7\msqrt{65} }{ 65 } \right)^2 } = \msqrt{ \mfrac{ 16 \cdot 65 }{ 65^2 } + \mfrac{ 49 \cdot 65 }{ 65^2 } } = $$ $$ = \msqrt{ \mfrac{ 16 \cdot \cancel{65} }{ 65^{\cancel{2}} } + \mfrac{ 49 \cdot \cancel{65} }{ 65^{\cancel{2}} } } = \msqrt{ \mfrac{ 16 }{ 65 } + \mfrac{ 49 }{ 65 } } = \msqrt{ \mfrac{ 65 }{ 65 } } = \msqrt{1} = 1 \checkmark $$ Lo mismo con el vector $\mfrac{ -\msqrt{65} }{ 65 } (4, -7)$: $$ \left | \mfrac{ -\msqrt{65} }{ 65 } (4, -7) \right | = \left | \left ( \mfrac{ -4\msqrt{65} }{ 65 } , \mfrac{ 7\msqrt{65} }{ 65 } \right ) \right | = \msqrt{ \left ( \mfrac{ -4\msqrt{65} }{ 65 } \right)^2 + \left ( \mfrac{ 7\msqrt{65} }{ 65 } \right)^2 } = \msqrt{ \mfrac{ 16 \cdot 65 }{ 65^2 } + \mfrac{ 49 \cdot 65 }{ 65^2 } } = $$ $$ = \msqrt{ \mfrac{ 16 \cdot \cancel{65} }{ 65^{\cancel{2}} } + \mfrac{ 49 \cdot \cancel{65} }{ 65^{\cancel{2}} } } = \msqrt{ \mfrac{ 16 }{ 65 } + \mfrac{ 49 }{ 65 } } = \msqrt{ \mfrac{ 65 }{ 65 } } = \msqrt{1} = 1 \checkmark $$

Los vectores $\vec{i} = (1, 0)$ y $\vec{j} = (0, 1)$ son unitarios. Vamos a calcular su producto escalar: $$ \vec{i} \cdot \vec{j} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \left ( \dfrac{\pi}{2} \right ) = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos (\gss{90}) = 0 $$ Es decir, si dos vectores son perpendiculares su producto escalar es cero, y respectivamente, si el producto escalar de dos vectores (no nulos) es cero, entonces son perpendiculares.

El producto escalar de un vector por si mismo es igual al módulo del vector al cuadrado: $\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2 $ $$ \vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|\cdot |\vec{u}|\cdot \cos 0 = |\vec{u}|^2 $$

Expresión analítica del producto escalar

$ \vec{i} = (1,0) $ y $\vec{j} = (0, 1) $ Estos vectores forman un sistema generador, es decir, cualquier vector $\vec{u}$ se puede escribir como combinación lineal de los vectores $\vec{i}$ y $\vec{j}$: $$ \vec{u} = (u_x, u_y) = u_x \cdot \vec{i} + u_y \cdot \vec{j} $$ $$ \vec{v} = (v_x, v_y) = v_x \cdot \vec{i} + v_y \cdot \vec{j} $$ Entonces el producto escalar de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ es: $$ \vec{u} \cdot \vec{v} = (u_x \cdot \vec{i} + u_y \cdot \vec{j} ) \cdot (v_x \cdot \vec{i} + v_y \cdot \vec{j} ) = u_x \cdot v_x \cdot \vec{i} \cdot \vec{i} + u_x \cdot v_y \cdot \vec{i} \cdot \vec{j} + u_y \cdot v_x \cdot \vec{j} \cdot \vec{i} + u_y \cdot v_y \cdot \vec{j} \cdot \vec{j} = (1) $$ Sabemos que $\vec{j} \cdot \vec{i} = \vec{i} \cdot \vec{j} = 0$ por ser perpendiculares; y $|\vec{i}|^2 = \vec{i} \cdot \vec{i} = 1 = \vec{j} \cdot \vec{j} = |\vec{j}|^2 = 1$ $$ (1) = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y $$

$$ \Large \fbox{ $ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y $ } \quad (2) $$

Cálculo del ángulo que forman dos vectores

Para calcular el ángulo $\alpha$ que forman los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$, podemos calcular el coseno del ángulo que forman si juntamos las ecuaciones $(1)$ y $(2)$ tenemos: $$ u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha = \mfrac{ u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y }{ | \vec{u}| \cdot |\vec{v}| } \Rightarrow \cos \alpha = \mfrac{ u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y }{ \sqrt{ u_x^2 + u_y^2 } \cdot \sqrt{ v_x^2 + v_y^2 } } $$

$$ \Large \fbox{ $ \alpha = \arccos \left ( \mfrac{ u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y }{ \sqrt{ u_x^2 + u_y^2 } \cdot \sqrt{ v_x^2 + v_y^2 } }\right )$ } \quad \alpha \in \left (0, \pi \right )$$

 Interpretación geométrica del producto escalar: El producto escalar de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Intervalos: finitos e infinitos. Entorno de centro c y radio r. Distancias.

Intervalos

Definición: Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: $a$ y $b$ que se llaman extremos del intervalo, $a$ es el extremo inferior y $b$ es el extremo superior ($a \leq b$). La representación de un intervalo finito en la recta numérica es un segmento (trozo de recta limitado por dos puntos).

La idea principal que debemos asociar al concepto de intervalo es la de un conjunto de números.

Definición: Se llama amplitud o longitud del intervalo a la diferencia del extremo superior y el extremo inferior:

 $$ \text{ amplitud del intervalo, longitud del intervalo} = d(a, b) = b - a $$.

Si los extremos del intervalo abierto coinciden, el intervalo representa al conjunto vacío: $(a, a) = \emptyset $


Si los extremos del intervalo cerrado coinciden, el intervalo representa al punto $a$: $[a, a] = \{ a \} $


Siempre $ a \leq b$. No tiene sentido hablar del intervalo $[5, -3]$ ya que no existen números que sean mayores que 5 y a la vez menores que -3.

Intervalos finitos: son los intervalos de amplitud finita.

Intervalo abierto ($a$, $b$), es el conjunto de todos los números reales mayores que $a$ y menores que $b$.

$$(a, b) = ]a, b[ = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a < x < b \}$$

Intervalo cerrado [$a$, $b$], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que $a$ y menores o iguales que $b$.

$$[a, b] = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a \le x \le b \} = (a, b) \ \bigcup \ \{ a, b \} $$

Intervalo semiabierto por la izquierda o semicerrado por la derecha, ($a$, $b$], es el conjunto de todos los números reales mayores que $a$ y menores o iguales que $b$.

$$(a, b] = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a < x \leq b \} = (a, b) \ \bigcup \ \{ b \} $$

Intervalo semiabierto por la derecha o semicerrado por la izquierda, [$a$, $b$), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que $a$ y menores que $b$.

$$[a, b) = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a \leq x < b \} = (a, b) \ \bigcup \ \{a\} $$

En este applet de GeoGebra podemos manejar los intervalos y los entornos:


Ejemplos:  

$ [1,7] \Rightarrow \text{ Amplitud de } [1,7] = 7 - 1 = 6 $


$ (-2, 5) \Rightarrow \text{ Amplitud de } (-2, 5) = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 $


$ [3, 10) \Rightarrow \text{ Amplitud de } [3, 10) = 10 - 3 = 7 $


$ (-12, 10] \Rightarrow \text{ Amplitud de } (-12, 10] = 10 - (-12) = 10 + 12 = 22 $


$ (-22, -13) \Rightarrow \text{ Amplitud de } (-22, -13) = -13 - (-22) = -13 + 22 = 9 $

Intervalos infinitos: son los intervalos de amplitud infinita.

Los extremos del intervalo también pueden ser infinito, en este caso, la representación de estos conjuntos en la recta numérica serían semirrectas.

Intervalo $(a, + \infty)$, es el conjunto de todos los números reales mayores que $a$.

$$(a, + \infty) = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a < x \}$$

Intervalo [$a$, $+ \infty$), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que $a$.

$$[a, + \infty) = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a \le x \}$$

Intervalo ($- \infty$, $b$), es el conjunto de todos los números reales menores que $b$.

$$(- \infty, b) = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | x < b  \}$$

Intervalo ($- \infty$, $b$], es el conjunto de todos los números reales menores o iguales que $b$.

$$(- \infty, b] = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | x \leq b \}$$

Ejemplos: ($- \infty$, 12]; ($- \infty$, -15); [3, $+ \infty$) y (-12, $+ \infty$). 

Los dos extremos del intervalo también pueden ser infinito, en este caso serían todos los reales, es decir, el intervalo, ($- \infty$, $+ \infty$), es el conjunto de todos los números reales, la recta numérica.

$$(- \infty, + \infty) = \mathbb{R}$$

En este applet de GeoGebra podemos manejar los intervalos infinitos:

Entornos

Se define el entorno abierto de centro $c$ y radio $r \geq 0$, se denota $E(c, r) = E_{r}(c)$ al intervalo abierto

$$ E_{r}(c) = (c - r, c + r) = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | c - r < x < c + r \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | -r < x - c < r \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | \mid x - c \mid < r \}$$

Se define el entorno cerrado centro de centro $c$ y radio $r$, se denota $E[c, r] = E_{r}[c]$ al intervalo cerrado

$$ E_{r}[c] = [c - r, c + r] = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | c - r \leq x \leq c + r \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | - r \leq x - c \leq r \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | \mid x - c \mid \leq r \}$$

¿Cómo pasamos de intervalo $(a, b)$ a entorno $E(c, r) = E_{r}(c)$?   Si igualamos los extremos del intervalo con los extremos del entorno formamos el siguiente sistema:

$$ \Large \cases{ a = c - r \cr \cr b = c + r } $$

Cuya solución es la siguiente: 

$$ a + b = 2c \Leftrightarrow c = \dfrac{a + b}{2} \ \text{el centro es el punto medio del intervalo;}$$ 

$$ b - a = 2r \Leftrightarrow r = \dfrac{b - a}{2} \ \text{el radio es la mitad de la amplitud del intervalo.} $$ 

Veamos un ejemplo, el intervalo abierto $(3,7)$ lo vamos a pasar a entorno: 

$$ c = \dfrac{a + b}{2} \Leftrightarrow c = \dfrac{3 + 7}{2} = 5$$ 

$$ r = \dfrac{b - a}{2} \Leftrightarrow c = \dfrac{7 - 3}{2} = 2$$  

Es decir el intervalo abierto $(3,7)$ es el entorno de centro 5 y radio 2 $E(5, 2) = E_{2}(5)$

$$(3,7) = E(5, 2)$$

Exactamente igual si fuera un intervalo cerrado $[3,7] = E[5, 2] = E_{2}[5]$

¿Cómo pasamos de entorno $E(c, r) = E_{r}(c)$ a intervalo $(a, b)$? Vamos a pasar de entorno abierto de centro -3 y radio 4 $E(-3, 4) = E_{4}(-3)$ a intervalo: 

El extremo inferior del intervalo es centro $-$ radio: $ a = c - r  \Leftrightarrow a = -3 - 4 = -7 $ 

El extremo superior del intervalo es centro $+$ radio: $ b = c + r  \Leftrightarrow a = -3 + 4 = 1 $ 

Luego entorno abierto de centro -3 y radio 4, $E(-3, 4) = E_{4}(-3)$, es el intervalo abierto $(-7, 1)$.

$$E(-3, 4) = (-7, 1)$$

Exactamente igual si fuera el entorno cerrado $E[-3, 4] = [-7, 1]$

Ejemplo: $E(0, 3) = (-3, 3) = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | -3 < x < 3 \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | \mid x \mid < 3 \}$ 

$E[0,3] = [-3, 3] = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | -3 \leq x \leq 3 \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | \mid x \mid \leq 3 \}$ 

Ejemplo: $E(1,5) = E_{5}(1) = (1 - 5, 1 + 5) = (-4, 6) = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | -5 < x - 1 < 5 \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | \mid x - 1 \mid < 5 \}$ 

$E[1, 5] = E_{5}[1] = [1 - 5, 1 + 5] = [-4, 6] = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | -5 \leq x - 1 \leq 5 \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | \mid x - 1 \mid \leq 5 \}$ 

Ejercicios:

1. Pasar de intervalo $(-11, 15)$ a entorno.



2. Pasar de intervalo $[-14, -4]$ a entorno.



3. Pasar de $E_7(-5)$ a intervalo.



4. Pasar de $E_{5}[10]$ a intervalo.

Para ponerlo como entorno necesitamos el punto medio y el radio. El punto medio:

Se calcula aplicando la fórmula $ c = \dfrac{\ a + b\ }{2}$, donde $a$ y $b$ son los extremos del intervalo: $$ c = \dfrac{\ -11 + 15\ }{2} = \dfrac{\ 4\ }{2} = 2 $$ Y el radio es la mitad de la amplitud del intervalo, es decir, $ r = \dfrac{\ b - c \ }{2} $ $$ r = \dfrac{\ 15 - (-11)\ }{2} = \dfrac{\ 15 + 11\ }{2} = \dfrac{\ 26\ }{2} = 13 $$ Luego el intervalo $(-11, 15) = E_{13}(2) $

Para ponerlo como entorno necesitamos el punto medio y el radio. El punto medio:

Se calcula aplicando la fórmula $ c = \dfrac{\ a + b\ }{2}$, donde $a$ y $b$ son los extremos del intervalo: $$ c = \dfrac{\ -14 + 4\ }{2} = \dfrac{\ -10\ }{2} = -5 $$ Y el radio es la mitad de la amplitud del intervalo, es decir, $ r = \dfrac{\ b - c \ }{2} $ $$ r = \dfrac{\ 4 - (-14)\ }{2} = \dfrac{\ 4 + 14\ }{2} = \dfrac{\ 18\ }{2} = 9 $$ Luego el intervalo $[-14, -4] = E_{9}(-5) $

Para ponerlo como intervlo necesitamos calcular el extremo inferior y superior del intervalo.

El extremo inferior: $ a = c - r$, el extremo superior $b = c + r$. Aplicando las fórmulas tenemos:

$ a = c - r = - 5 - 7 = -12 $ y $ b = c + r = - 5 + 7 = -2 $

Luego el entorno abierto de centro -5 y radio 7 es el intervalo abierto $(-12, -2) = E_{7}(-5)$

Para ponerlo como intervlo necesitamos calcular el extremo inferior y superior del intervalo.

El extremo inferior: $ a = c - r$, el extremo superior $b = c + r$. Aplicando las fórmulas tenemos:

$ a = c - r = 10 - 5 = 5 $ y $ b = c + r = 5 + 10 = 15 $

Luego el entorno cerrado de centro 10 y radio 5 es el intervalo cerrado $[5, 15] = E_{7}(-5)$

De distancias a intervalos.

El módulo o valor absoluto de un número es la distancia en la recta numérica de dicho valor al origen $O$. Es siempre mayor o igual que cero.

$$ \Big | x \Big | = d(x, O) = \cases{ \cr \ x \text{ si } x \geq 0 \cr \cr -x \text{ si } x \lt 0 \cr \cr } = máx \left \{ x, -x \right \} $$ Ejemplos:

$$ \Big | 0 \Big | = 0, \Big | -11 \Big | = 11 \text{ y } \Big | 34 \Big | = 34 $$ El valor absoluto de un número y su opuesto es el mismo, ya que los dos están a la misma distancia del origen: $$ \Big | -13 \Big | = \Big | 13 \Big | = 13 $$

$\bullet$ Si ahora cogemos $ \Big | x \Big | \lt 3 $, ¿qué sera? Podemos probar con algunos números, por ejemplo:
- ¿el 2 cumple esa condición? Sí; ¿y el -2? Sí; ¿y el 225? También; ¿y el 3? El 3 No, ya que la distancia debe ser menor que 3.

Así pues, $ \Big | x \Big | \lt 3 $ lo podemos poner como $(-3, 3)$ es decir, el conjunto de puntos que están a una distancia menor que 3 de 0.

$\bullet$ Si ahora cogemos $ \Big | x \Big | \leq 3 $, ¿qué sera? Podemos probar con algunos números, igual que antes, pero vemos que el 3 sí que está en dicho conjunto. Luego $ \Big | x \Big | \leq 3 \Longleftrightarrow x \in [-3, 3] $

$\bullet$ Si ahora cogemos $ \Big | x \Big | \gt 3 $, ¿Qué será? Los números que son mayores que 3 eso está claro, pero también los que son menores que -3. Probemos con el número -3,1; $ \Big | -3,1 \Big | = 3,1 \gt 3 $. Luego $ \Big | x \Big | \gt 3 = (-\infty, -3) \ \bigcup \ (3, +\infty)$

$\bullet$ Si cogemos el igual $ \Big | x \Big | \geq 3 $, ¿Qué será? Los números que son mayores o iguales que 3, eso vuelve a estar claro, pero también los que son menores o iguales que -3. Probemos con el número -3,1; $ \Big | -3,1 \Big | = 3,1 \geq 3 $. Luego $ \Big | x \Big | \geq 3 = (-\infty, -3] \ \bigcup \ [3, +\infty)$

Así, si cambiamos 0 por un número real cualquiera $a$ y $b$ es una, tenemos lo siguiente:
$$ d(x, a) = \Big | x - a \Big | = b $$ «Los puntos $x$ de la recta numérica que están a una distancia $b$ del punto $a$»
Los puntos que están a una distancia 5 de 3 $ \Rightarrow d(x, 3) = \Big | x - 3 \Big | = 5 \Rightarrow \cases{ \cr \ x - 3 = 5 \cr \cr x - 3 = -5 \cr \cr } \Rightarrow \cases{ \cr \ x = 5 + 3 = 8 \cr \cr x = -5 + 3 = - 2 \cr \cr } $

Los puntos que están a una distancia 10 de -4 $ \Rightarrow d(x, -4) = \Big | x - (-4) \Big | = \Big | x + 4 \Big | 10 \Rightarrow \cases{ \cr \ x + 4 = 10 \cr \cr x + 4 = -10 \cr \cr } \Rightarrow \cases{ \cr \ x = 10 - 4 = 6 \cr \cr x = - 10 - 4 = - 14 \cr \cr } $

• $ | x - a | = b $ es el conjunto de números a una distancia de $a$ igual a $b$. Son los puntos $ b + a$ y $-b +a$
  
  
• $ | x - a | \lt b $ es el conjunto de números a una distancia de $a$ menor que $b$. Son los puntos cuya distancia a $a$ es igual a $b$ y sería el intervalo abierto $(-b + a, a + b)$.
  
  
• $ | x - a | \leq b $ es el conjunto de números a una distancia de $a$ menor o igual que $b$. Son los puntos cuya distancia a $a$ es igual a $b$ y sería el intervalo cerrado $[-b + a, a + b ]$.
  
  
• $ | x - a | \gt b $ es el conjunto de números a una distancia de $a$ mayor que $b$. Sería la unión de los intervalos $(-\infty, -b + a)\ \bigcup \ ( a + b, \infty) $
  
  
• $ | x - a | \geq b $ es el conjunto de números a una distancia de $a$ mayor o igual que $b$. Sería la unión de los intervalos $(-\infty, -b + a ] \ \bigcup \ [ a + b , \infty) $
  
  

Veamos con este applet de GeoGebra como manejar las distancias:



Selecciona paréntesis o corchetes y verás el cambio:

(a [a (−∞ , b) b] +∞)

Teoremas del seno, coseno y de la tangente. Resolución de triángulos no rectángulos.

 Teorema del seno:

Para entender mejor el teorema del seno necesitamos 3 resultados geométricos: 

1.- Dos ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco son iguales. 

2.- Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. 

Teorema del seno: 

El teorema del seno es una proporción entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de sus correspondientes ángulos opuestos

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \array{ \cr \quad \mathbf{ \dfrac{a}{\sen \hat{A}} = \dfrac{b}{\sen \hat{B}} = \dfrac{c}{\sen \hat{C} } = 2R} \quad \cr \quad } $ } } $$

donde $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo $\triangle{ABC}$.

Teorema del coseno: 

Teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos. El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \array{ \cr \quad \mathbf{ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} } \quad \cr \quad \mathbf{ b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos \hat{B} } \quad \cr \quad \mathbf{ c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \hat{C} } \quad \cr \quad } $ } } $$

Veamos como podemos saber el tipo de triángulo según sus ángulos usando el Teorema del coseno:

• Si tiene una ángulo recto $\hat{A} = \dfrac{\ \pi \ }{2} \Rightarrow \cos \hat{A} = 0 $, triángulo rectángulo se cumple:
  $$ \mathbf{ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} \Rightarrow a^2 = b^2 + c^2 \qquad \text{ (Teorema de Pitágoras)} } $$
  
• Si tiene una ángulo obtuso $\hat{A} > \dfrac{\ \pi \ }{2} \Rightarrow \cos \hat{A} < 0 $, triángulo obtusángulo se cumple:
  $$ \mathbf{ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} \Rightarrow a^2 > b^2 + c^2 } $$
  
• Si tiene una ángulo agudo $\hat{A} < \dfrac{\ \pi \ }{2} \Rightarrow \cos \hat{A} > 0 $, triángulo acutángulo se cumple:
  $$ \mathbf{ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} \Rightarrow a^2 < b^2 + c^2 } $$
  

Ocurre lo mismo si cogemos el ángulo $\hat{B}$ o el ángulo $\hat{C}$.

Teorema del coseno (Usando el Producto Escalar) 

El teorma del coseno se puede demostrar también usando el producto escalar. Del dibujo tenemos:

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \Leftrightarrow  \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} $$ 

$$ \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BC} = \left ( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \right ) \cdot \left ( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \right ) = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} - 2 \cdot \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} $$

Recapitulando:

$$ |\overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{AB}|^2 - 2 |\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{AB}| \cdot \cos \hat{A}$$

Es decir

$$ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} $$

Ventajas e incovenientes de usar el teorema del seno o del coseno

	Teorema del seno	Teorema del coseno
Ventajas	Fácil de calcular	El coseno de un ángulo tiene un único valor entre 0 y $\pi$ radianes.
Incovenientes	El seno de un ángulo y su suplementario tienen el mismo valor. Dos posibles soluciones.	No es tan fácil de calcular como el Teorema del seno.

Teorema de la tangente es una fórmula que relaciona las longitudes de los tres lados de un triángulo y las tangentes de sus ángulos.

Para demostrar el teorema de la tangente tenemos que hacer uno de una propiedad de las proporciones:

$$ \dfrac{x}{y} = \dfrac{z}{t} \ \ \Longleftrightarrow \ \ x \cdot t = y \cdot z \ \ \ \  \text{entonces}  \ \ \Longrightarrow  \dfrac{x + y}{x - y} = \dfrac{z + t}{z - t}  $$

$$ \text{Tenemos } \ \  \dfrac{a}{\sen \hat{A}} = \dfrac{b}{\sen \hat{B}}  \ \ \Longleftrightarrow \ \ \dfrac{a}{b} = \dfrac{\sen \hat{A}}{\sen \hat{B}} $$ 

Aplicando esta propiedad al teorema del seno: 

$$ \dfrac{ a + b}{a - b} = \dfrac{\sen \hat{A} + \sen \hat{B}}{\sen \hat{A} - \sen \hat{B}} = \dfrac{2 \cdot \sen \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{B}}{2} \right ) \cdot \cos \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{B}}{2} \right ) }{2 \cdot \cos \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{B}}{2} \right ) \cdot \sen \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{B}}{2} \right ) } = \dfrac{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{B}}{2} \right ) }{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{B}}{2} \right ) } $$

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \array{ \cr \quad \mathbf{ \dfrac{ a + b}{a - b} = \dfrac{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{B}}{2} \right ) }{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{B}}{2} \right ) } = 2R} \quad \cr \quad \cr \mathbf{ \dfrac{ a + c}{a - c} = \dfrac{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{C}}{2} \right ) }{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{C}}{2} \right ) } = 2R} \quad \cr \quad \cr \mathbf{ \dfrac{ b + c}{b - c} = \dfrac{ \tg \left ( \dfrac{\hat{B} + \hat{C}}{2} \right ) }{ \tg \left ( \dfrac{\hat{B} - \hat{C}}{2} \right ) } = 2R} \cr \quad } $ } } $$

Entrada del blog donde se explican la interpretación geométrica de las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante, y el seno, coseno de la suma de ángulos.

Entrada del blog donde se indican las razones trigonométricas de los ángulos notables entre $[0, 2\pi]$ y las conversiones de grados a radianes, de radianes a grados, de grados decimales a sexagesimales y de grados sexagesimales a decimales.

Resolución de triángulos no rectángulos

Cosas a tener en cuenta:

1. La suma de los ángulos internos de un triángulo suma $\gss{180} = \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C}$.
   
   
2. Las longitudes de los Lados del Triángulo deben cumplir la condición de existencia del triángulo que establece, que la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera siempre debe ser mayor que la longitud del tercer lado. Este es un pilar fundamental en la definición de un triángulo.
   
   $$ \cases{ a + b > c \cr \cr a + c > b \cr \cr b + c > a \cr } $$
3. El lado más largo se encuentra frente al ángulo más grande y el lado más pequeño frente al ángulo más pequeño.
   
   

Casos

Tenemos 5 casos:

• $\odn{1}{er}$ CASO: Conocidos los 3 lados (Si existe la solución es única). $\rightarrow$ Teorema del coseno una vez para calcular un ángulo; después teorema del coseno para calcular el segundo ángulo. El tercer ángulo a partir de los dos anteriores.
  
  
• $\odn{2}{o}$ CASO: Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. (Si existe la solución es única) $\rightarrow$ Teorema del coseno para calcular el lado que falta. Después el teorema del coseno para calcular otro ángulo y después el tercer ángulo a partir de los dos anteriores.
  
  
• $\odn{3}{er}$ CASO: Conocidos dos lados y el $\underline{\underline{\textbf{ángulo agudo}}}$ no comprendido entre ellos. $\rightarrow$ Teorema del seno para calcular uno de los ángulos que falta. Geométricamente puede ocurrir lo siguiente:
  
  1. El triángulo no existe. Al aplicar el teorema del seno, se obtiene mayor que la unidad o menor que -1.
     
     
  2. Triángulo existe y es único: Uno de los ángulos del teorema del seno no cumplirá que la suma de los ángulos interiores es $\pi$ radianes. El tercer ángulo con la resta y el tercer lado con el teorema del seno.
     
     
  3. Dos posibles triángulos solución, con el teorema del seno, ambas soluciones son válidas. El tercer ángulo con la resta y el tercer lado con el teorema del seno.
     
     
• $\odn{4}{o}$ CASO: Conocidos dos lados y el «ángulo obtuso» no comprendido entre ellos (Si existe la solución es única). $\rightarrow$ Teorema del seno para calcular uno de los ángulos que faltan, el tercero restando. Teorema del seno para el lado que falta.
  
  
• $\odn{5}{o}$ CASO: Conocidos un lado y dos ángulos, es decir, los tres ángulos. (Si existe la solución es única). $\rightarrow$ Teorema del seno dos veces para calcular los dos lados que faltan.
  

Ejemplos

• $\odn{1}{er}$ CASO: $a = 15$km, $b = 22$km y $c = 17$km.
  Aplicamos el Teorem del coseno dos veces: $$ \cos \hat{A} = \mfrac{22^2 + 17^2 - 15^2 }{ 2 \cdot 17 \cdot 22 } = 0,73 \implies \hat{A} = \arccos(0,73) = cos^{-1} (0,73) = \gss{43} $$ $$ \cos \hat{B} = \mfrac{15^2 + 17^2 - 22^2 }{ 2 \cdot 17 \cdot 15 } = 0,06 \implies \hat{B} = \arccos(0,06) = cos^{-1} (0,06) = \gss{43} $$ $ \hat{C} = \gss{180} - \gss{43} - \gss{43} = \gss{50} $
  
  
• $\odn{2}{o}$ CASO:$a= 10$ dam, $b = 7$ dam y $\hat{C} = \gss{30}$.
  Aplicamos el teorema del coseno para calcular el lado $c$: $$ c = \msqrt{10^2 + 7^2 - 2 \cdot 10 \cdot 7 \cdot \cos (\gss{30} ) } = 5.27 \text{dam} $$ Aplicamos el teorema del coseno para calcular el ángulo $\hat{A}$: $$ \cos ( \hat{A}) = \mfrac{7^2 + (5,27)^2 - 10^2}{ 2 \cdot 7 \cdot 5,27} = -0,31 \implies \hat{A} = \arccos(-0,31) = \cos^{-1}(-0,31) = \gss{108} $$ $ \hat{C} = \gss{180} - \gss{108} - \gss{30} = \gss{42} $
  
  
• $\odn{3}{er}$ CASO:
  1. $a = 5$ m, $b = 8$ m y $\hat{A} = \gss{72}$ $$ \sen(\hat{B}) = \mfrac{8 \cdot \sen(\gss{72})}{5} = 1,52 \text{ No es posible} $$
     
     
  2. $a = 7,5$ cm, $b = 6,4$ cm y $\hat{A} = \gss{53}$. $$ \sen(\hat{B}) = \mfrac{6,4 \cdot \sen(\gss{53})}{7,5} = 0,81 \implies \hat{B} = \arcsen(0,81) = \sen^{-1} (0,81) \implies $$ $$ \implies \begin{cases} \hat{B_1} = \gss{43} \implies \hat{C_1} = \gss{180} - \gss{53} - \gss{43} = \gss{84} \implies c = \dfrac{7,5 \cdot \sen(\gss{84})}{ \sen( \gss{53} ) } = 9,34 \text{ cm} \\ \\ \hat{B_2} = \gss{137} \implies \hat{C_2} = \gss{180} - \gss{53} - \gss{137} = - \gss{10} \quad \nexists \text{ solución } \end{cases} $$
     
     
  3. $b = 6,5$ cm, $c = 7$ cm y $\hat{B} = \gss{67}$ $$ \sen(\hat{C}) = \mfrac{6,4 \cdot \sen(\gss{53})}{7,5} = 0,99 \implies \hat{B} = \arcsen(0,82) = \sen^{-1} (0,82) \implies $$ $$ \implies \begin{cases} \hat{C_1} = \gss{82} \implies \hat{A_1} = \gss{180} - \gss{67} - \gss{82} = \gss{31} \implies a_1 = \mfrac{6,5 \cdot \sen(\gss{31})}{ \sen(\gss{67}) } = 3,64 \\ \\ \hat{C_2} = \gss{98} \implies \hat{A_2} = \gss{180} - \gss{67} - \gss{98} = \gss{15} \implies a_2 = \mfrac{6,5 \cdot \sen(\gss{15})}{ \sen(\gss{67}) } = 1,83 \end{cases} $$
     
     
• $\odn{4}{o}$ CASO: $a= 12$ cm, $b = 8$ cm y $\hat{A} = \gss{150}$. $$ \sen(\hat{B}) = \mfrac{8 \cdot \sen(\gss{150})}{ 12 } = 0,33 \implies \hat{B} = \arcsen(0,33) = \sen^{-1} (0,33) \implies $$ $$ \implies \begin{cases} \hat{B_1} = \gss{19} \implies \hat{C_1} = \gss{180} - \gss{150} - \gss{19} = \gss{11} \implies c = \mfrac{12 \cdot \sen(\gss{22})}{ \sen(\gss{150}) } = 4,58 \text{ cm} \\ \\ \hat{B_2} = \gss{161} \implies \hat{C_2} = \gss{180} - \gss{150} - \gss{161} = - \gss{131} \quad \nexists \text{ solución } \end{cases} $$
  
  
• $\odn{5}{o}$ CASO: $b= \msqrt{2}$ m, $\hat{A} = \gss{30}$ y $\hat{B} = \gss{45}$. $$ \hat{C} = \gss{180} - \gss{30} - \gss{45} = \gss{105} $$ $$ a = \mfrac{b \cdot \sen(\gss{30})}{ \sen(\gss{45}) } = 1,04 \qquad \text{ y } \qquad c = \mfrac{b \cdot \sen(\gss{105})}{ \sen(\gss{45}) } = 3,65 $$
  
  

Otros ejercicios

Queremos calcular el lado $c$, para ello usaremos el Teorema del Coseno: $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2bc \cos \widehat{C} $$ Sustituyendo las variables por su valor, que $\cos \gss{120} = \dfrac{\ -1\ }{ 2 } $ tenemos que:
$$ c^2 = 5^2 + 3^2 - 2\cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos \gss{120} \Rightarrow c^2 = 25 + 9 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \left ( \dfrac{\ -1\ }{ 2 } \right) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow c^2 = 25 + 9 + 15 \Rightarrow c^2 = 49 \Rightarrow c= 7 $$ Ahora calculamos cualquiera de los ángulos que nos quedan $\widehat{A} $ o $\widehat{B}$, vamos con $\widehat{B}$: $$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \widehat{B} \Rightarrow 2ac \cos \widehat{B} = a^2 + c^2 - b^2 \Rightarrow \cos \widehat{B} = \dfrac{\ a^2 + c^2 - b^2\ }{ 2ac } $$ Sustituyendo los datos en las variables: $$ \cos \widehat{B} = \dfrac{\ a^2 + c^2 - b^2\ }{ 2ac } = \dfrac{\ 5^2 + 7^2 - 3^2\ }{ 2 \cdot 5 \cdot 7 } = \dfrac{\ 65\ }{ 70 } = \dfrac{\ 13\ }{ 14 } $$ Es decir: $$ \widehat{B} = \arccos \left ( \dfrac{\ 13\ }{ 14 } \right) = \gss{21,79} = \gss{21} 47' 24''$$ Y por tanto $$ \widehat{A} = \gss{38,21} = \gss{38} 12' 36'' $$

Al darnos dos de los tres ángulos, podemos calcular el tercer ángulo restando: \[ \hat{B} = \gss{180} - \gss{32} - \gss{93} = \gss{55} \] Aplicando el teorema del seno dos veces calculamos los lados que nos faltan:

\[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{b}{\sen \hat{B} } \implies a = \mfrac{b \cdot \sen \hat{A} }{ \sen \hat{B} } = \mfrac{9,5 \cdot \sen(\gss{32}) }{ \sen(\gss{55}) } = 6,15 \] \[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{c}{\sen \hat{C} } \implies c = \mfrac{a \cdot \sen \hat{C} }{ \sen \hat{A} } = \mfrac{6,15 \cdot \sen(\gss{93}) }{ \sen(\gss{32}) } = 11,59 m \] Ahora calculamos el área: $ \text{Área } = \mfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sen \hat{C} = \mfrac{1}{2} \cdot 6,15 \cdot 9,5 \cdot \sen (\gss{93}) = 29,17m^2 $

Aplicamos el teorema del seno: \[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{c}{\sen \hat{C} } \implies \sen \hat{A} = \mfrac{a \cdot \sen \hat{C} }{ a } = \mfrac{7 \cdot \sen(\gss{65}) }{ \sen(\gss{5}) } = 1,27 m \quad \nexists { solución.} \]

Este es un triángulo imposible ya que $5 + 10 < 20$.

Aplicamos el teorema del cateto para calcular $a$: \[ a = \msqrt{b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\gss{75})} = \msqrt{(9,2)^2 + (6,7)^2 - 2 \cdot 9,2 \cdot 6,7 \cdot \cos(\gss{75})} = 9,88m \] Aplicamos el teorema del cateto para calcular $\hat{B}$: \[ \cos \hat{B} = \mfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2 \cdot a \cdot c} = \mfrac{(9,88)^2 + (6,7)^2 - (9,2)^2}{2 \cdot 9,88 \cdot 6,7} = 0,44 \implies \hat{B} =\arccos (0,44) = \cos^{-1} (0,44) = \gss{64} \] \( \hat{C} = \gss{180} - \gss{75} - \gss{64} = \gss{41} \)

Área = \( \mfrac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sen \hat{A} = \mfrac{1}{2} \cdot 9,2 \cdot 6,7 \cdot \sen (\gss{75}) = 29,77m^2\)

Aplicamos el teorema del coseno para calcular $\hat{A}$: \[ \cos \hat{A} = \mfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2 \cdot b \cdot c} = \mfrac{(10,5)^2 + (8,2)^2 - (12,5)^2}{2 \cdot 10,5 \cdot 8,2} = 0,12 \implies \hat{A} =\arccos (0,12) = \cos^{-1} (0,12) = \gss{83} \] Aplicamos el teorema del coseno para calcular $\hat{A}$: \[ \cos \hat{B} = \mfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2 \cdot a \cdot c} = \mfrac{(12,5)^2 + (8,2)^2 - (10,5)^2}{2 \cdot 12,5 \cdot 8,2} = 0,55 \implies \hat{A} =\arccos (0,55) = \cos^{-1} (0,12) = \gss{57} \] \( \hat{C} = \gss{180} - \gss{83} - \gss{57} = \gss{40} \)

  Área = \( \mfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sen \hat{C} = \mfrac{1}{2} \cdot 12,5 \cdot 10,5 \cdot \sen (\gss{40}) = 42,72m^2\)

Aplicamos el teorema del seno: \[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{b}{\sen \hat{B} } \implies \sen \hat{B} = \mfrac{b \cdot \sen \hat{A} }{ b } = \mfrac{13,2 \cdot \sen(\gss{58}) }{ 11,5 } = 0,97 \implies \hat{B} = \arcsen(0,97) = \sen(0,97) = \gss{76} \] Pero su complementario tiene el mismo seno, es decir, $\hat{B_1} = \gss{76}$ y $\hat{B_1} = \gss{104}$. Ambos valores son compatibles con $\gss{58}$, luego tenemos dos posibles soluciones:

\( \bullet \ \text{Si } \hat{B_1} = \gss{76} \implies \hat{C_1} = \gss{180} - \gss{58} - \gss{76} = \gss{46} \) \[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{c}{\sen \hat{C} } \implies c_1 = \mfrac{a \cdot \sen \hat{C} }{ \sen \hat{A} } = \mfrac{11,5 \cdot \sen(\gss{46}) }{ \sen(\gss{58}) } = 9,75 m \] Área \( \triangle{AB_1C_1} = \mfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sen \hat{C_1} = \mfrac{1}{2} \cdot 11,5 \cdot 13,2 \cdot \sen (\gss{46}) = 54,6m^2 \)


\( \bullet \ \text{Si } \hat{B_2} = \gss{104} \implies \hat{C_2} = \gss{180} - \gss{58} - \gss{104} = \gss{18} \) \[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{c}{\sen \hat{C} } \implies c_2 = \mfrac{a \cdot \sen \hat{C} }{ \sen \hat{A} } = \mfrac{11,5 \cdot \sen(\gss{18}) }{ \sen(\gss{58}) } = 4,19 m \] Área \( \triangle{AB_2C_2} = \mfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sen \hat{C_2} = \mfrac{1}{2} \cdot 11,5 \cdot 13,2 \cdot \sen (\gss{18}) = 23,45 m^2 \)