Límites

f(x) =

Tipo de Límite: Límite Bilateral (x → x₀) Solo por la Derecha (x → x₀⁺) Solo por la Izquierda (x → x₀⁻) En el Infinito Positivo (x → +∞) En el Infinito Negativo (x → -∞) Punto x₀ =

Mostrar Asíntotas

Integral definida. Integral entre dos funciones.

Nº rectángulos

6

Arrastra los puntos a y b sobre el eje X para cambiar el intervalo; los deslizadores se mueven con ellos.

Funciones

f(x) =

Teclado matemático en pantalla

Intervalo [a, b]

Extremo a

Extremo b

Mostrar

Suma inferior Suma superior Área exacta bajo f

Resultados

Suma inferior

—

Suma superior

—

Integral (área neta)

—

Área total (positiva)

—

Superior − inferior

—

Cálculo de la integral

Sobre las calculadoras y su uso. Trucos de cálculo. Calculadoras de la PAU en La Rioja.

Consejos sobre las calculadoras: El uso de calculadoras en los exámenes, puede ser una gran aliada si se emplea correctamente. Aquí te ofrecemos algunos consejos prácticos para maximizar su utilidad sin comprometer el tiempo ni cometer errores.

• Familiarízate con tu calculadora: Practica con el modelo que has seleccionado y que usarás en el examen.
• Conocer atajos, funciones básicas y avanzadas te ahorrará tiempo y reducirá el estrés.
• No dependas exclusivamente de ella: Aunque es útil, la calculadora no sustituye tu comprensión del problema. Usa tu razonamiento para verificar que los resultados obtenidos tienen sentido. 
• Revisa las baterías: Asegúrate de que las baterías estén cargadas o lleva pilas de repuesto, si es necesario.
• Usar la calculadora sabiamente te dará una ventaja competitiva, pero recuerda que tu conocimiento es lo que realmente cuenta.

Sobre la calculadora en la PAU de La Rioja: Lo primero, conoce las normas del examen, antes del día de la prueba, asegúrate de que tu calculadora está permitida, esto ya lo has podido comprobar en el listado.

Pulsa aquí para ver el listado de las calculadoras permitidas en la PAU de La Rioja.

Listado de calculadoras permitidas en las pruebas de Matemáticas II y
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II de la PAU

• Auchan CS-08 plus, 08 plus B
  
• Auchan CS-12 plus, W
  
• Canon F-720i
  
• Canon F502G, F604, F710, 715SG, 718S Series, 718SGA, F719SG
  
• Casio FX-50, FT PLUS
  
• Casio FX-65
  
• Casio FX-82 MS, ES, ES PLUS, SX, SX PLUS, TL, SP, SP X, SP X II, SP X -S-EH, SP X II Iberia, SOLAR II, LA X, SUPER NSX, LB Fraction, SPX Iberia Classwiz y SPX II Iberia Classwiz
  
• Casio FX-83, ES, MS, GT PLUS, WA, SOLAR
  
• Casio FX-85 MS, ES, ES PLUS, WA, SX, SX PLUS, TL, TLG, SPXII, GT, GT PLUS
  
• Casio FX-86, 86 DE PLUS
  
• Casio FX-87, DE PLUS
  
• Casio FX-95 MS, ES PLUS
  
• Casio FC 100
  
• Casio FX-220, 220 PLUS
  
• Casio FX-300MS
  
• Casio FX-350 MS, ES, ES PLUS, TLG, TL, SP X, LA X, SPX Iberia Classwiz y SPX II Iberia Classwiz
  
• Casio FX-550
  
• Casio FX-590
  
• Casio FX-825 X fraction
  
• Casio FX-820 MS
  
• Casio FX-992S
  
• Casio FX-2600
  
• Citizen SR-135
  
• Citizen SR-260 Scientific Calculator
  
• Citizen SR-270x
  
• Elco ECF-4807
  
• Elco EC-545
  
• GENIE 701 SC
  
• HP 10S, 10 S +
  
• HP 30X IIS
  
• HP 35 S F2215AA
  
• HP 300 S + NW277 AA
  
• HP SMARTCALC 300S
  
• HP SMARTCALC 300S Scientific Calculator
  
• KENKO KK-82MS, b, d, 1, 2, 5, 5 (S.U.P.E.R.)
  
• Lexibook Sc100
  
• Milan M2, M139, M228, M240
  
• Olympia LCD 8110
  
• Plus Office FX224, FX283
  
• Sharp 501 W, XBWH
  
• Sharp 510 R, RN
  
• Sharp EL501, X
  
• Sharp EL 509, X, W, TS
  
• Sharp EL520 TS
  
• Sharp EL-521 VH
  
• Sharp EL-531X, XH, XG, VH, TH, TG, WH, 531V, 531TI, 531 30X
  
• Sharp EL-W531
  
• Sharp EL-738F
  
• Texas Instrument TI-30X, 30Xa, 30Xa solar, 30XS, 30X IIS, 30XS MultiView, eco RS
  
• Texas Instrument TI-34 MultiView
  
• Texas Instrument TI-36X, X I
  

Algunos trucos de cálculo:
El cuadrado de cualquier número terminado en 5
El cuadrado de cualquier número terminado en 5 acaba en 25 y para calcular dicho valor, lo que hacemos es lo siguiente, el número acaba en 25, cogemos el número y le quitamos el 5, de ese número resultante que nos queda, calculamos su siguiente y los multiplicamos, el número que teníamos sin el 5 y el siguiete, y dicho resultado lo ponemos delante del 25: Explicación: \[ x5^2 = (x \cdot 10 + 5)^2 = (x \cdot 10)^2 + 2 \cdot 5 \cdot (x \cdot 10) + 5^2 = x^2 \cdot 100 + x \cdot 100 + 25 = (x^2 + x) \cdot 100 + 25 = x \cdot (x + 1) \cdot 100 + 25 \] \[ 5^2 = 25 \text{ Está claro.} \] $ \bullet\ 15^2$, acaba en 25, le quitamos el 5 y nos queda el 1, el siguiente del 1 es el 2, multiplicamos 1 y 2, nos da 2 y lo ponemos delante del 25: 225. \[ 15^2 = (1 \cdot 2) \cdot 100 + 25 = 125 \] $ \bullet\ 25^2$, acaba en 25, le quitamos el 5 y nos queda el 2, el siguiente del 2 es el 3, multiplicamos 2 y 3, nos da 6 y lo ponemos delante del 25: 625. \[ 25^2 = (2 \cdot 3) \cdot 100 + 25 = 625 \] Y así sucesivamente: \[ 125^2 = (12 \cdot 13) \cdot 100 + 25 = 15625 \] Este truco también se puede usar para calcular unas pocas raíces:
Si tenemos la raíz cuadrada de un número que acaba en 25, y el número que queda es resultado del producto de dos números consecutivos podemos calcular su raíz: \[ \msqrt{9025} = \msqrt{9 \cdot 10 \cdot 100 + 25} = 95 \] \[ \msqrt{5625} = \msqrt{7 \cdot 8 \cdot 100 + 25} = 75 \] Multiplicar por 5
Para multiplicar por 5, podemos mutiplicar por 10 y dividir por 2, suele ser más sencillo.
\[ 234 \times 5 = \mfrac{ (234 \times 10) }{2} = \mfrac{ (2340) }{2} = 1170 \] \[ 121 \times 5 = \mfrac{ (121 \times 10) }{2} = \mfrac{ (1210) }{2} = 605 \] \[ 789 \times 5 = \mfrac{ (789 \times 10) }{2} = \mfrac{ (7890) }{2} = 3945 \] Multiplicar por 11
\[ 11 * 34 = 374 \] \[ 11 * 234 = 2574 \] Para mutiplicar por 11, un número de dos o más cifras lo que hacemos, dejar en el extremo de la derecha el número del factor que no es 11, y de ahí vamos sumando de dos en dos, empezando por el primer número de la derecha, si al sumar nos pasamos de decenas, al siguiente número se las sumamos las decenas superadas.
Ejemplos paso a paso:

Ejemplo 1:
Sin llevarse decenas ($243 \times 11$)
Extremo derecho: Escribimos el 3.
Primera suma: $3 + 4 = \mathbf{7}$.
Segunda suma: $4 + 2 = \mathbf{6}$.
Extremo izquierdo: Escribimos el 2.
Resultado: 2673

Ejemplo 2:
Llevándose decenas ($875 \times 11$)
Extremo derecho:
Escribimos el 5.
Primera suma: $5 + 7 = 12$ $\rightarrow$ Escribimos el 2 y nos llevamos 1.
Segunda suma: $7 + 8 = 15$, más $1$ que nos llevábamos $= 16$ $\rightarrow$ Escribimos el 6 y nos llevamos 1.
Extremo izquierdo: $8$, más $1$ que nos llevábamos $= \mathbf{9}$.
Resultado: 9625 \[ 11 * 74 = 814 \] \[ 11 * 894 = 9834 \] $$ \begin{array}{c} \begin{array}{r@{\quad}r} & 243 \\ \times & 11 \\ \hline & 243 \\ + & 243\phantom{0} \\ \hline & \mathbf{2673} \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{r@{\quad}r} & 875 \\ \times & 11 \\ \hline & 875 \\ + & 875\phantom{0} \\ \hline & \mathbf{9625} \end{array} \end{array} $$ \[ (10 + 1) * (10x + y) = 100x + 10x + 10y + y \] \[ (10 + 1) * (100x + 10y + z) = 1000x + 100x + 100y + 10y + 10z + z \] y así sucesivamente.

Transformación de funciones.

Veamos las transformaciones de las funciones: Si tenemos la gráfica de la función $f(x)$, entonces:

• Desplazamiento horizontal $c > 0$ unidades a la derecha $f(x - c)$
  Desplazamiento horizontal $c > 0$ unidades a la izquierda $f(x + c)$
  
• Desplazamiento vertical $c$ unidades hacia abajo $f(x) - c$
  Desplazamiento vertical $c$ unidades hacia arriba $f(x) + c$
  
• Reflexión (respecto al eje $X$) $-f(x)$
  
• Reflexión (respecto al eje $Y$) $ f(-x)$
  
• Dilatación vertical: $A \cdot f(x)$: «tiramos» de la gráfica hacia arriba o hacia abajo (afecta a la altura, las $y$).
• Dilatación horizontal: $f(B \cdot x)$: Es como apretar un acordeón o estirarlo hacia los lados (afecta al ancho, las $x$).

Lo que hace cada parámetro en $ g(x) = \pm A \cdot f(\pm B · (x − h)) + k$:

Parámetro	Efecto
$h$	traslación horizontal ($h > 0$ a la derecha)
$k$	traslación vertical ($k > 0$ hacia arriba)
$A$	dilatación vertical ($A > 1$) o contracción vertical ($A < 1$)
$B$	contracción horizontal ($B > 1$) o dilatación horizontal ($B < 1$)
refX	reflexión en el eje $X$, que cambia el signo de la función
refY	reflexión en el eje $Y$, que cambia el signo de la variable

f(x) =

Potencias con ^ · funciones: sqrt, abs, sen, cos, tan, ln, log, exp · constantes: pi, e · ejemplo: 2x^2-3x+1

Traslaciones

Horizontal h

Vertical k

Dilataciones y contracciones

Vertical A

Horizontal B

Reflexiones

En el eje Xcambia el signo de la función: −f En el eje Ycambia el signo de la variable: f(−x)

Mostrar f(x) Mostrar punto x₀

Representación gráfica de funciones

 Pasos para representar una función gráficamente: 

1. Dominio y signo de la función. 
2. Periodicidad y simetrías. (Periodo; Par e impar;) 
3. Puntos de corte con los ejes. ( Eje $OX$ cuando $y = 0$; eje $OY$ cuando $ x = 0 $ ) 
4. Asíntotas. (Vertical, horizontal y oblicua) 
   Importante:
   
   «Una función no puede tener una asíntota horizontal y otra oblicua por el mismo lado, por el mismo lado quiere decir, si  $ x \rightarrow +\infty$ o si $ x \rightarrow - \infty$ »
   
   
   Podemos tener una asíntota horizontal cuando $x \rightarrow + \infty$ y una asíntota oblicua cuando $x \rightarrow - \infty$ o viceversa. 
5. Primera derivada $f'(x)$:
   • Resolver $f'(x) = 0$ para hallar candidatos a puntos críticos. Nota 1
     
   • Estudiar el signo de $f'(x)$ en los intervalos $\rightarrow$ Determina crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos.
     
6. Segunda derivada ($f''$):
   • Resolver $f''(x) = 0$ para hallar candidatos a puntos de inflexión. Nota 2.
     
   • Estudiar el signo de $f''(x)$ $\rightarrow$ Determina concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
     Si $f^{\prime \prime}\left(x \right) > 0 \Rightarrow f(x)$ es cóncava hacia arriba. Si $f^{\prime \prime}\left(x \right) < 0 \Rightarrow f(x)$ es cóncava hacia abajo.
7. Dibujar la función y el recorrido de la misma.

Nota 1: Que la derivada de una función en un punto sea cero significa que se trata de un punto crítico, pero eso por sí solo no garantiza que sea un máximo ni un mínimo relativo (podría ser un punto de inflexión con tangente horizontal). Un ejemplo clásico y muy claro es la función cúbica: $$f(x) = x^3$$

Analicemos qué ocurre en el punto $x = 0$:
Calculamos la derivada, la derivada de la función es $f'(x) = 3x^2$. Evaluamos la derivada en $x = 0$, obtenemos $f'(0) = 3(0)^2 = 0$. Esto cumple la condición de que la derivada es cero. Comprobamos si es un extremo relativo, para que sea un extremo relativo, la función debería cambiar de crecimiento (pasar de crecer a decrecer, o viceversa) alrededor de $x = 0$. Sin embargo, si $x < 0$ (por ejemplo, $x = -1$), $f(-1) = (-1)^3 = -1$; y si $x > 0$ (por ejemplo, $x = 1$), $f(1) = (1)^3 = 1$. Dado que los valores de la función pasan de negativos a positivos de manera estrictamente creciente alrededor del cero, $x = 0$ no es ni un máximo ni un mínimo.

Nota 2: De la misma manera que la anulación de la primera derivada no garantiza un extremo, que la segunda derivada sea cero en un punto no es condición suficiente para asegurar que sea un punto de inflexión. Un ejemplo clásico de esto es la función: $$f(x) = x^4$$

Si analizamos qué ocurre en el origen $x = 0$:
Primera derivada: $f'(x) = 4x^3$, por lo que $f'(0) = 0$. Segunda derivada: $f''(x) = 12x^2$, por lo que $f''(0) = 0$. A pesar de que $f''(0) = 0$, $x = 0$ no es un punto de inflexión.

¿Por qué no es un punto de inflexión? Para que un punto sea de inflexión, la función debe cambiar de concavidad (pasar de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo, o viceversa). Sin embargo, si analizamos $f''(x) = 12x^2$ para cualquier $x \neq 0$, $x^2$ siempre es positivo, lo que significa que $f''(x) > 0$ a la izquierda y a la derecha de cero. La función es cóncava hacia arriba en todo su dominio. Por lo tanto, en $x = 0$ la gráfica no cruza su recta tangente de concavidad, sino que toca fondo y forma un mínimo relativo (y absoluto).

Estudio completo de una función

f(x) =

Analizar en [−L, L], L =

Use ^, sqrt(), abs(), sin(), cos(), tan(), exp(), ln(), pi, e. Multiplicación implícita admitida (2x).

Análisis numérico en el intervalo indicado (muestreo, bisección y límites en ±10⁷). Contrastar siempre con el estudio analítico.