Autor del blog  Raαε  IRa´πz  Gaτςι´@R2G


El aprendizaje ocurre cuando alquien quiere aprender, no cuando alguien quiere enseñar. «Roger Schanck»


Si quieres aprender enseña. «Cicerón»


Cuando uno enseña, dos aprenden. «Robert Heinlein»


Si la gente no cree que las matemáticas son sencillas, es sólo porque no se da cuenta de lo complicada que es la vida. «John Von Neumann»

«George Polya» dijo una vez: «Es mejor resolver un problema de 5 formas diferentes que resolver 5 problemas de la misma forma».

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El humor es importante.

Matemáticas, humor y +.

Hay que tomarse siempre las cosas con un poco de humor ... con mucho humor y más humor ¿Quién no ha pasado por estos estado...

sábado, 21 de mayo de 2022

Tabla de derivadas, ejemplos y ejercicios con solución.

Función Derivada
(1) Derivada de una contante por una función. F(x)=cf(x) F(x)=cf(x)
(2) Derivada de una suma o resta de funciones. F(x)=f(x)±g(x) F(x)=f(x)±g(x)
(3) Derivada de un producto de funciones.
F(x)=f(x)g(x) F(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)
(4) Derivada de un cociente de funciones. F(x)=  f(x)  g(x) F(x)=  f(x)g(x)f(x)g(x)[g(x)]2
(5) Regla de la cadena F(x)=f(g(x)) F(x)=f(g(x))g(x)


Linealidad de la derivada:

De las propiedades (1) y (2) podemos deducir que:

Sean c1,c2R[c1f(x)+c2g(x)]=c1f(x)+c2g(x)


Función Derivada Función compuesta Derivada Ejemplo
y=c,cR y=0
y=x y=1
y=x2 y=2x
y=xp,pR y=pxp1 F(x)=[f(x)]p F(x)=p[f(x)]p1f(x) Ej. 1
y=x y=1 2 x   F(x)= f(x)  F(x)=1 2 f(x)  f(x)=

=f(x) 2 f(x)  
Ej. 2
y=ex y=ex F(x)=ef(x) F(x)=ef(x)f(x) Ej. 3
y=ax y=axlna F(x)=af(x)=

=e lnaf(x) =

=e f(x)lna 
F(x)=af(x)lnaf(x) Ej. 4
y=lnx y=1 x  F(x)=lnf(x) F(x)=1 f(x) f(x)=

= f(x) f(x)
Ej. 5
y=logax y=1 x 1 lna  F(x)=logaf(x)

= lnf(x) lna
F(x)=1 f(x) 1 lna f(x)=

=f(x) f(x)lna 
Ej. 6
y=senx y=cosx F(x)=senf(x) F(x)=f(x)cosf(x) Ej. 7
y=cosx y=senx F(x)=cosf(x) F(x)=f(x)senf(x) Ej. 8
y=tgx=

=senx cosx 
y=1+tg2x=

=sec2x 
F(x)=tgf(x) F(x)=f(x)[1+tg2(f(x))]=

=f(x)sec2f(x)
Ej. 9
y=secx=
=1 cosx 
y=tgxsecx F(x)=secf(x) F(x)=f(x)tgf(x)secf(x) Ej. 10
y=cosecx
=1 senx 
y=cotgxcosecx F(x)=cosecf(x) F(x)=f(x)cotgf(x)senf(x) Ej. 11
y=cotgx

= cosx senx
y=(1+cotg2x)=

=cosec2x
F(x)=cotgf(x) F(x)=f(x)[1+cotg2(f(x))]=

=f(x)cosec2f(x)
Ej. 12
y=arcsenx y=1  1x2   F(x)=arcsenf(x) F(x)=f(x)  1[f(x)]2   Ej. 13
y=arccosx y=1  1x2   F(x)=arccosf(x) F(x)=f(x)  1[f(x)]2   Ej. 14
y=arctgx y=1  1+x2   F(x)=arctgf(x) F(x)=f(x)  1+[f(x)]2   Ej. 15
y=arcsecx y=1 x x21   F(x)=arcsecf(x) F(x)=f(x) f(x) [f(x)]21   Ej. 16
y=arccosecx y=1 x x21   F(x)=arccosecf(x) F(x)=f(x) f(x) [f(x)]21   Ej. 17
y=arccotgx y=1  1+x2   F(x)=arccotgf(x) F(x)=f(x)  1+[f(x)]2   Ej. 18
F(x)=g(x)h(x) F(x)=h(x)g(x)h(x)1g(x)+g(x)h(x)h(x)lng(x) Ej. 19
y=shx y=chx F(x)=shf(x) F(x)=f(x)shf(x)
y=chx y=shx F(x)=chf(x) F(x)=f(x)sh(f(x))
y=thx y=1 ch2x  =

=1th2x
F(x)=thf(x) F(x)=f(x)1 ch2f(x)  =

=f(x)(1th2f(x))
y=argshx y=1  x2+1   F(x)=argshf(x) F(x)=f(x)  [f(x)]2+1  
y=argchx y=1  x21   F(x)=argchf(x) F(x)=f(x)  [f(x)]21  
y=argthx y=1  1x2   F(x)=argthf(x) F(x)=f(x)  1[f(x)]2  




Derivada de la potencia de una función




f(x)=ln5(3x)=(ln(3x))5f(x)=5ln4(3x)3=15ln4(3x)




g(x)=tg3(e3x)g(x)=3tg2(e3x)(1+tg2(e3x))3=9tg2(3x)(1+tg2(3x))






Derivada de la función raíz cuadrada



f(x)=  1x 1+x f(x)= (  1x 1+x )  2  1x 1+x  =  (1+x)(1x)(1+x)2  2  1x 1+x  =  1x1+x(1+x)2  2  1x 1+x  = 2 (1+x)2  2  1x 1+x  =

= 1 (1+x)2    1x 1+x  =  1+x  (1+x)2  1x  =  1x2  (1x)(1+x)2 



g(x)= 1senx 1+senxg(x)= (1senx 1+senx) 2 1senx 1+senx = cosx(1+senx)cosx(1senx) (1+senx)2 2 1senx 1+senx =
= cosxcosxsenxcosx+cosxsenx (1+senx)2 2 1senx 1+senx = 2cosx (1+senx)2  2 1senx 1+senx = cosx (1+senx)2   1senx 1+senx = cosx 1+senx  (1+senx)2 1senx  =
= cosx 1sen2x  (1+senx)2(1senx) = cos2x  (1+senx)(1sen2x) = cos2x  (1+senx)cos2x = 1 1+senx 






Derivada de la función exponencial, base e



f(x)=esenx=⇒f(x)=cosxesenx



g(x)=excosxg(x)=(xcosx)excosx=(cosxxsenx)excosx






Derivada de la función exponencial, base ae



f(x)=2x=eln2x=exln2f(x)=ln2exln2=ln22x






Derivada de la función logaritmo neperiano


Para este tipo de derivadas hay que tener en cuenta las propiedades de los logartimos:

f(x)=ln(x+ 1+x2 )f(x)=(x+ 1+x2 ) x+ 1+x2  = 1+2x2( 1+x2  )  x+ 1+x2  = 1+x  1+x2   x+ 1+x2  =  x+ 1+x2    1+x2   x+ 1+x2  =
=  x+ 1+x2    1+x2   x+ 1+x2  =1  1+x2  =  1+x2   1+x2 

g(x)=ln(  a2+x2  x2)=ln( a2+x2 )lnx2= 1 2ln(a2+x2)2lnxf(x)= 1 2 2x  a2+x2  2 x=
= x  a2+x2  2 x= x22a22x2  x(a2+x2) = (x2+2a2)  x(a2+x2) 

h(x)=ln  1x 1+x =ln( 1x 1+x)12=12[ln(1x)ln(1+x)] h(x)=12[11x11+x]=12[1x (1x)(1+x) 1x (1x)(1+x) ]=12[1x1+x (1x)(1+x) ]= =122 (1x)(1+x) =122 (1x)(1+x) =1 1x2 =1 x21 

i(x)=ln(xtgx)2=2ln(xtgx)=2(lnx+lntgx) i(x)=2(1 x +1+tg2x tgx)=2 x +2cotgx+2tgx

j(x)=ln(1 x2  x21 3)=ln(1 x2 )+ln( x21 3)=lnx2+ln(x21)1/3=2lnx+ 1 3ln(x21) j(x)=2 x + 1 32x x21 =6x2+6+2x2 3x(x21) =64x2 3x(x21) 

k(x)=ln(1 (1+x)2 3)=ln(1 (1+x)2 )1/3=ln(1+x)2/3=2 3 ln(1+x) k(x)=2 3  1  1+x =2 3+3x 





Derivada de la función logaritmo en base ae

Hacemos un cambio de base y tenemos que derivar un logaritmo neperiano cuya derivada ya hemos visto: F(x)=logaf(x)=lnf(x)lnaF(x)=1 lna  f(x) f(x)

g(x)=log3(x+2)= ln(x+2) ln3g(x)= 1 ln3(x+2)




Derivada de la función seno

f(x)=sen(e3x)f(x)=(e3x)cos(e3x)=3e3xcos(e3x)

g(x)=sen(lnx)g(x)=(lnx)cos(lnx)=1 x cos(lnx)= cos(lnx)  x 

h(x)=sen(xsenx)h(x)=(xsenx)cos(xsenx)=(senx+xcosx)cos(xsenx)





Derivada de la función coseno

f(x)=cos(e5x)f(x)=5e5xsen(e5x)

g(x)=cos( ex 5x)g(x)=( ex 5x)sen( ex 5x)= ex5x5ex 25x2sen( ex 5x)=
= 5ex(1x) 25x2sen( ex 5x)= ex(1x) 5x2sen( ex 5x)




Derivada de la función exponencial, base distinta del número e

Tenemos que derivar 2x, si aplicamos las propiedades de los logaritmos vemos que 2x=eln2x=exln2 que ya sabemos derivar. f(x)=tg2x=tgeln2x=tgexln2f(x)=(2x)(1+tg22x)=ln22x(1+tg22x)

g(x)=tg( 1ex 1+ex)g(x)=( 1ex 1+ex)(1+tg2( 1ex 1+ex))=
=( ex(1+ex)ex(1ex) 1+ex)(1+tg2( 1ex 1+ex))=( exe2xex+e2x  (1+ex)2 )(1+tg2( 1ex 1+ex))=
= 2ex  (1+ex)2 (1+tg2( 1ex 1+ex))




Derivada de la función arco secante







Derivada de la función arco cosecante







Derivada de la función arco cotangente







Derivada de la función arco seno

f(x)=arcsen(x24x)f(x)=2x4  1(x24x)2   g(x)=arcsen(log5(3x))=arcsen( ln3x ln5)g(x)=1 ln5 33x  1(log5(3x))2  =1 xln5 1(log5(3x))2  




Derivada de la función arco coseno

h(x)=arccos(lnx)h(x)= 1 x  1(lnx)2  =1 x 1ln2x  

f(x)=arccos(x  1+x2  )f(x)=(x  1+x2  )  1(x  1+x2  )2  =  1+x2 x2x 2 1+x2    1+x2   1x2 1+x2  = =  1+x2 xx  1+x2    1+x2   1+x2x2 1+x2  = 1+x2x2  1+x2    1+x2  1  1+x2  =  1  1+x2    1+x2  1  1+x2  = 1  1+x2 (1+x2)  1  1+x2  =  1+x2    1+x2 (1+x2) =
=1 1+x2 





Derivada de la función arco tangente

F(x)=arccotg(x2)F(x)= 2x 1+(x2)2=2x 1+x4 

g(x)=arctg  1senx  1+senx  g(x)= (  1senx  1+senx  )1+(  1senx  1+senx  )2= ( 1senx  1+senx )2  1senx  1+senx    1+ 1senx  1+senx  = ( 1senx  1+senx )2  1senx  1+senx     1+senx+1senx  1+senx  =
= ( 1senx  1+senx )2  1senx  1+senx     2  1+senx  =  cosx (1+senx)cosx(1senx) (1+senx)2 2  1senx  1+senx     2  1+senx  =  cosx+cosxsenxcosx+cosxsenx (1+senx)2 2  1senx  1+senx     2  1+senx  =
=  2cosx (1+senx)2 2  1senx  1+senx     2  1+senx  =  2cosx( 1+senx ) 2 1senx (1+senx)2   2  1+senx  =  cosx( 1+senx )  1senx (1+senx)2   2  1+senx  =
= cosx( 1+senx )(1+senx) 2 1senx (1+senx)2 = cosx( 1+senx )(1+senx) 2 1senx (1+senx)2 = cosx( 1+senx ) 2 1senx (1+senx) =
= cosx( 1sen2x ) 2( 1senx)(1+senx) = cosx( 1sen2x ) 2( 1senx)(1+senx) = cosx(cos2x ) 2( 1sen2x) = cos2x  2cos2x = 1 2




Derivada de la función arco secante

f(x)=arcsec(x7)f(x)=7x6 x7 (x7)21  =7 x x141  

g(x)=(arcsecx)9f(x)=9(arcsecx)8(arcsecx)=9(arcsecx)81 x x21  




Derivada de la función arco cosecante

f(x)=arccosec( 1+x 1x)f(x)=1x+1+x (1x)2 ( 1+x 1x) ( 1+x 1x)21  =
=(1x)+(1+x)(1x)(1+x)( 1+x 1x)21  = 2x  (1x)(1+x)( 1+x 1x)21  = 2x (1x)(1+x)  (1+x)2(1x)2 (1x)2=
=2x(1+x)(1+x)2(1x)2=2x (1+x) (1+2x+x2)(12x+x2)  =
=2x (1+x) 4x  =x (1+x) x  

g(x)=arccosec(log59x)=arccosec(ln9xln5)g(x)=1ln59 9x  (log59x) (log59x)21  =
=1ln5x(log59x) (log59x)21  




Derivada de la función arco cotangente

f(x)=arccotg(6x8+8x7+3x)f(x)= (48x7+56x6+3)  1+(8x7+6x8+3x)2





Derivada de la función potencial-exponencial

Derivación logarítmica: Cuando tenemos una función potencial-exponencial, es decir, que tanto la base como el exponente son dos funciones no constantes, F(x)=g(x)h(x) y la queremos derivar. Tenemos dos opciones:
  1. Aprendernos esta fórmula de memoria F(x)=h(x)g(x)h(x)1g(x)+g(x)h(x)h(x)lng(x)
  2. o saber deducirla (muy recomendable). Veamos como:

    Lo 1o tomamos logaritmos neperianos: lnF(x)=lng(x)h(x)  usamos las propiedades de los logaritmos y nos queda lnF(x)=h(x)lng(x) Tenemos dos expresiones iguales, luego sus funciones derivadas serán iguales: (lnF(x))=(h(x)lng(x)) F(x) F(x)=h(x)lng(x)+h(x) g(x) g(x)  pasamos F(x) multiplicando y tenemos que F(x)=F(x)(h(x)lng(x)+h(x) g(x) g(x)) y sustituyendo F(x) por su valor tenemos: F(x)=g(x)h(x)(h(x)lng(x)+h(x) g(x) g(x))=g(x)h(x)h(x)lng(x)+g(x)h(x)h(x) g(x) g(x) y así tenemos: F(x)=g(x)h(x)h(x)lng(x)+g(x)h(x)1h(x)g(x)
    1. Vamos con un par de ejemplos: F(x)=(tgx)cotgx Tomamos logaritmos, aplicamos la propiedad de las potencias y derivamos: lnF(x)=cotgxlntgx F(x) F(x)=(1+cotg2x)lntgx+cotgx 1+tg2xtgx Pasamos F(x) multiplicando y la sustituimos por su valor: F(x)=(tgx)cotgx((1+cotg2x)lntgx+cotgx 1+tg2xtgx)=

      =(tgx)cotgx(1+cotg2x)lntgx+(tgx)cotgxcotgx 1+tg2xtgx=() Vemos que cotgx 1+tg2xtgx=cotg2x(1+tg2x)=cotg2x+1 Sustituyendo en (*) tenemos y sacando factor común: =(tgx)cotgx(1+cotg2x)lntgx+(tgx)cotgx(1+cotg2x)=(tgx)cotgx(1+cotg2x)(lntgx1)

      Vamos con otro ejemplo: G(x)=xtgx=x1tgx=xcotgx Tomamos logaritmos, aplicamos la propiedad de las potencias y derivamos: lnG(x)=cotgxlnx G(x) G(x)=(1+cotg2x)lnx+cotgx 1 x Pasamos G(x) multiplicando y la sustituimos por su valor: G(x)=xtgx((1+cotg2x)lnx+cotgx 1 x)=xtgx(1+cotg2x)lnx+xtgxcotgx 1 x Agrupando nos queda: G(x)=xtgx(1+cotg2x)lnx+xcotgx1cotgx Otra variante G(x)=xtgx(1 xtgxlnx sen2x )




Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com


miércoles, 4 de mayo de 2022

Ejercicios de límites con solución I - 1º Bachillerato

Colección de 15 límites resueltos.



Vamos a resolver diferentes tipos de límites de funciones y algunas de las indeterminaciones de 1 de bachillerato. Son las siguientes:
  1. { 0 0}

  2. {  }

  3. {}

  4. {1  } Explicados en esta entrada del blog.


lı´mx2  2x23x2  x24={ 0 0}()

Esto quiere decir que 2 es raíz del polinomio del umerador y del polinomio del denominador, luego tenemos que factorizar ambos polinomios:

2x23x2=(x2)(2x+1) y x24=(x2)(x+2)

Una vez factorizados los polinomios seguimos con el cálculo del límite:

() =lı´mx2 (x2)(2x+1)(x2)(x+2)=lı´mx2 (x2)(2x+1)(x2)(x+2)=lı´mx2  (2x+1)  x+2=54







lı´mx0x 1 1x  ={ 0 0}()

En este caso 0 anula el numerador y el denominador, pero el denominador no es un polinomio. Como tiene una raíz cuadrada en el denominador, vamos a multiplicar numerador y denominador por el conjugado, en el denominador aplicaremos la identidad notable (a+b)(ab)=a2b2

Seguimos con el límite:
() =lı´mx0x 1 1x  =lı´mx0x( 1+ 1x  )  (1 1x )( 1+ 1x  )  =lı´mx0  x( 1+ 1x  )  1( 1x )2= =lı´mx0x( 1+ 1x  )x=lı´mx0x( 1+ 1x  )x=lı´mx0 1+ 1x =1+1=2






lı´mx3  x+1 2 x3={ 0 0}() Volvemos a tener una indeterminación cero partido por cero y tenemos una raíz en el numerador, lo que tenemos que hacer es multiplicar numerador y denominador por el conjugado para aplicar en el numerador la identidad notable (a+b)(ab)=a2b2

() =lı´mx3 ( x+1 2)( x+1 +2) (x3)( x+1 +2)=lı´mx3 ( x+1 )222 (x3)( x+1 +2)=lı´mx3 x+14 (x3)( x+1 +2)= =lı´mx3x3 (x3)( x+1 +2) =lı´mx3x3 (x3)( x+1 +2) =lı´mx31  x+1 +2 =1  3+1 +2 = 1 4






lı´mx8 x8 x32={ 0 0}() No podemos factorizar ya que el denominador no es un polinomio y además aparece una raíz cúbica, veamos como podemos «quitar» dicha raíz: Para ello usaremos la siguiente identidad notable a3a3=(ab)(a2+ab+b2) Si hacemos que a=x3 y b=2, tenemos que x8=(x32)(x23+2x3+22) () =lı´mx8(x32)(x23+2x3+22)x32=lı´mx8(x32)(x23+2x3+22)x32= =lı´mx8(x23+2x3+22)=823+283+22=4+22+4=12






lı´mx+  3x2+4  2x={  }() Este límite es una indeterminación infinito partido por infinito, vemos que el polinomio de mayor grado es el del númerador, luego el límite será infinito. Otra forma de hacerlo es dividir cada término del numerador y del denominador por la mayor potencia de x en este caso x2:

()=lı´mx   3x2 x2+ 4 x2  2xx2=lı´mx 3+4x22x= 3 0=+







Este límite es una indeterminación infinito partido por infinito, vemos que los polinomios del númerador y del denominador tienen el mismo grado, luego el límite será el cociente de los coeficiente directores de ambos polinomios. Otra forma de hacerlo es dividir cada término del numerador y del denominador por la mayor potencia de x en este caso x3:

lı´mx+  3x3+52x3+1={  }() ()=lı´mx+  3 x3 x3+5 x3 2 x3 x3+1 x3 =lı´mx+  3+5 x3   2+1 x3 =32







Este límite es una indeterminación infinito partido por infinito, vemos que el polinomio del denominador es el de mayor grado, luego el límite será 0. Otra forma de hacerlo es dividir cada término del numerador y del denominador por la mayor potencia de x que está fuera de la raíz, en este caso x2:

lı´mx+x  3x2+ x4+4x   ={  }() () =lı´mx+x x2    3x2 x2+  x4 x4+ 4x x4=lı´mx+  1 x  3+ 1+4 x3 =03+1=04=0






lı´mx+( 1+x x1)x={1  }() Este límite es una indeterminación uno elevado a infinito y se puede hacer de dos formas:
  • Aplicando esta fórmula: 1=lı´mxAf(x)h(x)=elı´mxAh(x)(f(x)1) donde A puede ser un número real cualquiera o ±
    Nos quedaría lo siguiente:
    ()=elı´mx+x( 1+x x11)=elı´mx+x( 1+xx+1 x1)=elı´mx+ 2x x1=e2
  • Aplicando los pasos siguientes:
    1. Sumar y restar 1 en la base;
    2. Poner la fracción de la base con un 1 en el numerador;
    3. Poner de exponente lo que tiene en el denominador de la fracción de la base, mutiplicando por esa expresión y su inverso el exponente que tenemos.
    ()lı´mx+( 1+x x1)x=lı´mx+(1+ 1+x x11)x=lı´mx+(1+ 1+xx+1 x1)x=lı´mx+(1+ 2 x1)x= =lı´mx+(1+ 1  x1 2)x=lı´mx+[(1+ 1  x1 2) x1 2]x2 x1 =elı´mx+2x x1 =e2







lı´mx+(1 1 x)x={1  }() Tenemos una indeterminación 1, aplicamos la fórmula y tenemos que:
() =elı´mx+x(1 1 x1)=elı´mx+ x x=e1= 1 e






lı´mx1( 1 x)1 x21 ={1  } () Tenemos una indeterminación 1, aplicamos la fórmula y tenemos que:

() =elı´mx11 x21 ( 1 x1)=elı´mx11 x21  1x x=elı´mx11 x(x+1) =e 1 2=1 e 1 2 =1 e = e e






No tenemos una indeterminación {1  }, ya que el límite de la base es  2 3 que es menor que 1 y el límite del exponente es infinito, y por lo tanto:
lı´mx1( 2x+1 3x3)x2 x4 =( 2 3)+=0






No tenemos una indeterminación {1  }, ya que el límite de la base es 1 y el límite del exponente es 12, y por lo tanto:
lı´mx1( 3x+1 3x3)x 2x4 =1 1 2=1






No tenemos una indeterminación {1  }, ya que el límite de la base es  2 3 y el límite del exponente es  3 2, y por lo tanto:
lı´mx1( 2n+3 2+3n)3n 1+2n =( 2 3) 3 2






En principio parece que tenemos una indeterminación infinito menos infinito, pero los dos términos que restan NO son del mismo grado x y  x1 x12, luego el término que crece mucho más rápido a infinito es x y por tanto no es una indeterminación, si no que el límite es +. lı´mx+(x x1 )=+






lı´mx+(x x2+2x )={} () Tenemos una indeterminación infinito menos infinito, ya que los dos términos que restan son del mismo grado x y  x2+2x x. Para resolver esta inteterminación vamos a multiplicar y dividir por el conjugado para aplicar la identidad notable (a+b)(ab)=a2b2:

() =lı´mx+ (x x2+2x )(x+ x2+2x )x+ x2+2x =lı´mx+ x2x22x x+ x2+2x =lı´mx+ 2x x+ x2+2x = 2 2=1





Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

lunes, 2 de mayo de 2022

Funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente.
Funciones recíprocas: arcocoseno, arcoseno y arcotangente.

Antes de empezar con este tema, es conveniente tener claro (repasar) la trigonometría.

En este enlace podemos ver las gráficas de las funciones trigonométricas cos(x), sen(x), tg(x), sec(x), cosec(x), cotg(x), las simetrías de las funciones cos(x), sen(x), tg(x) y las recíprocas de cos(x), sen(x), tg(x) que respectivamente son arccos(x), arcsen(x), arctg(x).



Función coseno



La función f(x)=cos(x) es una función que cumple lo siguiente: f:RR xf(x)=cos(x)
  1. El cos(x) está definida en todo R, para todos los números reales.
  2. Es una función par f(x)=f(x), es decir, es simétrica respecto del eje Y, el eje de «ordenadas».
  3. El recorrido o imagen de la función cos(x) es el intervalo [1,1]. Lo que nos dice que el cos(x) es una función acotada. Acotada superior e inferiormente.
  4. La función cos(x) es una función periódica, de periodo P=2π, basta estudiarla en un intervalo de longitud 2π cualquiera.
  5. La función cos(x) presenta un máximo cuando x=2kπ, kZ
  6. La función cos(x) presenta un mínimo cuando x=(2k+1)π, kZ
  7. La función cos(x) se anula en x{xRx= π 2+kπ,kZ}




Función seno



La función g(x)=sen(x) es una función que cumple lo siguiente: g:RR xf(x)=sen(x)
  1. El sen(x) está definida en todo R, para todos los números reales.
  2. Es una función impar f(x)=f(x), es decir, es simétrica respecto del origen de coordenadas.
  3. El recorrido o imagen de la función sen(x) es el intervalo [1,1]. Lo que nos dice que el sen(x) es una función acotada. Acotada superior e inferiormente.
  4. La función sen(x) es una función periódica, de periodo P=2π, basta estudiarla en un intervalo de longitud 2π cualquiera.
  5. La función sen(x) presenta un máximo cuando x= π 2+2kπ, kZ
  6. La función sen(x) presenta un mínimo cuando x= 3π 2+2kπ, kZ
  7. La función sen(x) se anula en x{xRx=kπ,kZ}




Función tangente



La función h(x)=tg(x) es una función que cumple lo siguiente: h:RR xh(x)=tg(x)= sen(x) cos(x)
  1. La tg(x) está definida en R, menos en los puntos que se anula el denominador, es decir el cos(x). Así Dom h(x)=R{xRx= π 2+kπ,kZ}.
  2. Para los elementos de este conjunto {xRx= π 2+kπ,kZ} la función tg(x) presenta asíntotas verticales.
  3. Es una función impar h(x)=h(x), es decir, es simétrica respecto del origen de coordenadas.
  4. El recorrido o imagen de la función tg(x) son todos los números reales R. Lo que nos dice que la tg(x) no es una función acotada.
  5. La función tg(x) es una función periódica, de periodo P=π, basta estudiarla en un intervalo de longitud π cualquiera.
  6. La función tg(x) se anula cuando se anula la función sen(x), es decir, en x{xRx=kπ,kZ}

Función secante



La función i(x)=sec(x) es una función que cumple lo siguiente: i:RR xi(x)=sec(x)=1 cos(x) 
  1. La sec(x) está definida en todo R menos en los valores que se anula el cosx, es decir, Domi(x)=R{xRx= π 2+kπ,kZ}..
  2. Es una función par i(x)=i(x), es decir, es simétrica respecto del eje Y, el eje de «ordenadas».
  3. El recorrido o imagen de la función sec(x) es el la unión de los intervalos (,1][1,). Lo que nos dice que la sec(x) no es una función acotada.
  4. La función sec(x) es una función periódica, de periodo P=2π, basta estudiarla en un intervalo de longitud 2π cualquiera.
  5. La función sec(x) presenta un mínimo «relativo» cuando x=2kπ, kZ
  6. La función sec(x) presenta un máximo «relativo» cuando x=(2k+1)π, kZ
  7. La función sec(x) no se anula para ningún valor de xR




Función cosecante



La función j(x)=cosec(x) es una función que cumple lo siguiente: j:RR xj(x)=cosec(x)=1 sen(x) 
  1. La cosec(x) está definida en todo R menos en los valores que se anula el senx, es decir, Dom j(x)=R{xRx=kπ,kZ} .
  2. Es una función impar j(x)=j(x), es decir, es simétrica respecto del origen de coordenadas.
  3. El recorrido o imagen de la función cosec(x) es el la unión de los intervalos (,1][1,). Lo que nos dice que la cosec(x) no es una función acotada.
  4. La función cosec(x) es una función periódica, de periodo P=2π, basta estudiarla en un intervalo de longitud 2π cualquiera.
  5. La función cosec(x) presenta un máximo «relativo» cuando x=(2k+1)π, kZ
  6. La función cosec(x) presenta un mínimo «relativo» cuando x=2kπ, kZ
  7. La función cosec(x) no se anula en xR.




Función cotangente



La función k(x)=tg(x) es una función que cumple lo siguiente: k:RR xk(x)=cotg(x)= cos(x) sen(x)
  1. La tg(x) está definida en R, menos en los puntos que se anula el denominador, es decir el sen(x). Así Dom k(x)=R{xRx=kπ,kZ}.
  2. Para los elementos de este conjunto {xRx=kπ,kZ} la función cotg(x) presenta asíntotas verticales.
  3. Es una función impar k(x)=k(x), es decir, es simétrica respecto del origen de coordenadas.
  4. El recorrido o imagen de la función cotg(x) son todos los números reales R. Lo que nos dice que la cotg(x) no es una función acotada.
  5. La función cotg(x) es una función periódica, de periodo P=π, basta estudiarla en un intervalo de longitud π cualquiera.
  6. La función cotg(x) se anula cuando se anula la función cos(x), es decir, en x{xRx= π 2+kπ,kZ}




Funciones recíprocas o inversas de las trigonométricas



Una función es inyectiva si cumple: f(x1)=f(x2)x1=x2, es decir, a elemntos diferentes, imágenes diferentes. Veamos un par de ejemplos:
  1. f(x)=loga(x) Si log(x1)=log(x2)x1=x2 Luego el logaritmo es inyectiva.
  2. f(x)=x2 Si f(x1)=f(x2)x12=x22x1=±x2, luego la función que a cada número le asocia su cuadrado no es inyectiva.
Otra forma de comprobar la inyectividad, pero a partir de la gráfica, es trazando una línea recta paralela al eje X (de abscisas) y si corta a la función en más de un punto la función NO es inyectiva.


Función NO inyectiva

Función inyectiva



Recordemos que:

  1. una función y su recíproca son simétricas respecto de la recta y=x, la bisectriz del 1er-3er cuadrante.
  2. (ff1)(x)=(f1f)(x)=x


Función arcocoseno



Lo primero de todo hay que remarcar que la función cos(x) no es una función inyectiva, es decir, no cumple que a valores de x diferentes le correspondan valores de la f(x) diferentes, por ejemplo, tenemos x=0 y x=2π pero tenemos que f(0)=f(2π)=1. Luego tenemos que restringir la función a un intervalo donde sea «inyectiva» y a su vez creciente o decreciente. Para ello restingrimos la función coseno al intervalo [0,π] donde la función es inyectiva y decreciente.

La función p(x)=arccos(x) es una función que cumple lo siguiente: p:[1,1][0,π ] xp(x)=arccos(x)
  1. El arccos(x) está definida en [1,1].
  2. El recorrido o imagen de la función arccos(x) es el intervalo [0,π]. Lo que nos dice que el arccos(x) es una función acotada. Acotada superior e inferiormente.
  3. La función arccos(x) presenta un máximo cuando x=1.
  4. La función arccos(x) presenta un mínimo cuando x=1 que es además cuando se anula.




Función arcoseno



Lo primero de todo hay que remarcar que la función sen(x) no es una función inyectiva, es decir, no cumple que a valores de x diferentes le correspondan valores de la f(x) diferentes, por ejemplo, tenemos x=0 y x=π pero tenemos que sen(0)=sen(π)=0. Luego tenemos que restringir la función a un intervalo donde sea «inyectiva» y a su vez creciente o decreciente. Para ello restingrimos la función seno al intervalo [ π 2, π 2] donde la función es inyectiva y creciente.

La función q(x)=arcsen(x) es una función que cumple lo siguiente: q:[1,1][ π 2, π 2] xq(x)=arcsen(x)
  1. El arcsen(x) está definida en [1,1].
  2. El recorrido o imagen de la función arcsen(x) es el intervalo [ π 2, π 2]. Lo que nos dice que el arcsen(x) es una función acotada. Acotada superior e inferiormente.
  3. La función arcsen(x) presenta un máximo cuando x= π 2.
  4. La función arcsen(x) presenta un mínimo cuando x= π 2.
  5. La función arcsen(x) se anula para x=0.




Función arcotangente



Lo primero de todo hay que remarcar que la función tg(x) no es una función inyectiva, es decir, no cumple que a valores de x diferentes le correspondan valores de la f(x) diferentes, por ejemplo, tenemos x= π 4 y x= 5π 4 pero tenemos que tg( π 4)=tg( 5π 4)=0. Luego tenemos que restringir la función a un intervalo donde sea «inyectiva» y a su vez creciente o decreciente. Para ello restingrimos la función seno al intervalo ( π 2, π 2) donde la función es inyectiva y creciente.

La función r(x)=arctg(x) es una función que cumple lo siguiente: r:R( π 2, π 2) xr(x)=arctg(x)
  1. El arctg(x) está definida en R.
  2. El recorrido o imagen de la función arctg(x) es el intervalo ( π 2, π 2). Lo que nos dice que el arctg(x) es una función acotada. Acotada superior e inferiormente.
  3. La función arctg(x) no presenta ni máximo ni mínimo.
  4. La función arctg(x) se anula para x=0.