Tabla de derivadas, ejemplos y ejercicios con solución.

$ \require{cancel} $

	Función	Derivada
(1) Derivada de una contante por una función.	$ \require{cancel} F(x) = c \cdot f(x) $	$ F'(x) = c \cdot f('x)$
(2) Derivada de una suma o resta de funciones.	$ F(x) = f(x) \pm g(x)$	$ F'(x) = f^{\prime}(x) \pm g^{\prime}(x)$
(3) Derivada de un producto de funciones.	$ F(x) = f(x) \cdot g(x)$	$ F(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
(4) Derivada de un cociente de funciones.	$ F(x) = \dfrac{\ \ f(x) \ \ }{ g(x) } $	$ F'(x) = \dfrac{\ \ f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) }{ \left [ g(x) \right ]^2 } $
(5) Regla de la cadena	$F(x) = f( g(x) )$	$F'(x)=f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) $

Linealidad de la derivada:

De las propiedades (1) y (2) podemos deducir que:

$$ \Large{ \text{Sean } c_1, c_2 \in \R \Rightarrow \left [ c_1 \cdot f(x) + c_2 \cdot g(x) \right ]^{\prime} = c_1 \cdot f^{\prime}(x) + c_2 \cdot g^{\prime}(x) } $$

Función	Derivada	Función compuesta	Derivada	Ejemplo
$y = c, c \in \R $	$y' = 0 $
$y = x$	$y' = 1 $
$y = x^2$	$y' = 2x$
$y = x^p, p \in \R$	$y' = p \cdot x^{p - 1}$	$F(x) = [f(x)]^{p} $	$F^{\prime}(x) = p \cdot [f(x)]^{p - 1} \cdot f'(x) $	Ej. 1
$ y = \sqrt{x} $	$ y' = \dfrac{1}{\ 2 \sqrt{\ x\ }\ } $	$ F(x) = \sqrt{\ f(x)\ } $	$ F'(x) = \dfrac{1}{\ 2 \sqrt{\ f(x)\ }\ } \cdot f'(x) = $ $ = \dfrac{f'(x)}{\ 2 \sqrt{\ f(x)\ }\ } $	Ej. 2
$ y = e^{x} $	$ y' = e^{x} $	$ F(x) = e^{f(x)} $	$ F'(x) = e^{f(x)} \cdot f'(x) $	Ej. 3
$ y = a^{x} $	$ y' = a^{x} \cdot \ln a $	$ F(x) = a^{f(x)} = $ $= e^{\ \ln a^{f(x)}\ } = $ $= e^{\ f(x) \cdot \ln a\ } $	$ F'(x) = a^{f(x)} \cdot \ln a \cdot f^{\prime}(x) $	Ej. 4
$ y = \ln x $	$ y' = \dfrac{1}{\ x\ }$	$ F(x) = \ln f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{1}{\ f(x)\ } \cdot f'(x) = $ $ = \dfrac{\ f'(x)\ }{f(x)}$	Ej. 5
$ y = \log_{a} x $	$ y' = \dfrac{1}{\ x\ } \cdot \dfrac{1}{\ \ln a\ } $	$ F(x) = \log_{a} f(x) $ $= \dfrac{\ \ln f(x)\ }{ \ln a } $	$ F'(x) = \dfrac{1}{\ f(x)\ } \cdot \dfrac{1}{\ \ln a\ } \cdot f'(x) = $ $ = \dfrac{f'(x)}{\ f(x) \ln a\ }$	Ej. 6
$ y = \sen x$	$ y' = \cos x $	$ F(x) = \sen f(x)$	$ F'(x) = f'(x) \cos f(x) $	Ej. 7
$ y = \cos x$	$ y' = - \sen x $	$ F(x) = \cos f(x)$	$ F'(x) = - f'(x) \sen f(x) $	Ej. 8
$ y = \tg x = $ $ = \dfrac{\sen x}{\ \cos x\ }$	$ y' = 1 + \tg^{2} x = $ $ = \sec^2 x\ $	$ F(x) = \tg f(x) $	$ F'(x) = f'(x) \left [ 1 + \tg^{2}( f(x) ) \right ] = $ $ = f'(x) \cdot \sec^{2} f(x) $	Ej. 9
$ y = \sec x = $ $ = \dfrac{1}{\ \cos x \ }$	$ y' = \tg x \cdot \sec x $	$ F(x) = \sec f(x)$	$ F'(x) = f'(x) \cdot \tg f(x) \cdot \sec f(x) $	Ej. 10
$ y = \cosec x$ $ = \dfrac{1}{\ \sen x\ } $	$ y' = - \cotg x \cosec x $	$ F(x) = \cosec f(x)$	$ F'(x) = - f'(x) \cdot \cotg f(x) \cdot \sen f(x) $	Ej. 11
$ y = \cotg x $ $ = \dfrac{\ \cos x\ }{\sen x}$	$ y' = - (1 + \cotg^{2} x ) = $ $ = \cosec^2 x $	$ F(x) = \cotg f(x) $	$ F'(x) = -f'(x) \left [ 1 + \cotg^{2}( f(x) ) \right ] = $ $ = - f'(x) \cdot \cosec^{2} f(x) $	Ej. 12
$ y = \arcsen x $	$ y' = \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 - x^2\ }\ } $	$ F(x) = \arcsen f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{f'(x)}{\ \sqrt{\ 1 - [f(x)]^{2}\ }\ } $	Ej. 13
$ y = \arccos x $	$ y' = \dfrac{-1}{\ \sqrt{\ 1 - x^2\ }\ } $	$ F(x) = \arccos f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{- f'(x)}{\ \sqrt{\ 1 - [f(x)]^{2}\ }\ } $	Ej. 14
$ y = \arctg x $	$ y' = \dfrac{1}{\ \ 1 + x^2\ \ } $	$ F(x) = \arctg f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{ f'(x) }{\ \ 1 + [f(x)]^{2}\ \ } $	Ej. 15
$ y = \arcsec x $	$ y' = \dfrac{1}{\ x \cdot \sqrt{\ x^2 - 1\ }\ } $	$ F(x) = \arcsec f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{f'(x)}{\ f(x) \cdot \sqrt{\ [f(x)]^{2} - 1\ }\ } $	Ej. 16
$ y = \arccosec x $	$ y' = \dfrac{- 1}{\ x \cdot \sqrt{\ x^2 - 1\ }\ } $	$ F(x) = \arccosec f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{- f'(x)}{\ f(x) \cdot \sqrt{\ [f(x)]^{2} - 1\ }\ } $	Ej. 17
$ y = \arccotg x $	$ y' = \dfrac{- 1}{\ \ 1 + x^2\ \ } $	$ F(x) = \arccotg f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{ - f'(x) }{\ \ 1 + [f(x)]^{2}\ \ } $	Ej. 18
$ F(x) = g(x)^{h(x)} $	$ F'(x) = h(x) \cdot g(x)^{h(x) - 1} g'(x) + g(x)^{h(x)} \cdot h'(x) \cdot \ln g(x) $			Ej. 19
$ y = \sh x $	$ y' = \ch x $	$ F(x)= \sh f(x) $	$ F(x)= f'(x) \cdot \sh f(x) $
$ y = \ch x $	$ y' = \sh x $	$ F(x)= \ch f(x) $	$ F(x)= f'(x) \cdot \sh (f(x)) $
$ y = \th x $	$ y' = \dfrac{1}{\ \ch^{2} x\ \ } = $ $ = 1 - \th^{2} x $	$ F(x)= \th f(x) $	$ F(x)= f'(x) \cdot \dfrac{1}{\ \ch^{2} f(x)\ \ } = $ $ = f'(x) \cdot ( 1 - \th^{2} f(x) ) $
$ y = \argsh x $	$ y' = \dfrac{1}{\ \sqrt{\ x^2 + 1 \ }\ } $	$ F(x) = \argsh f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{f'(x)}{\ \sqrt{\ [f(x)]^{2} + 1 \ }\ } $
$ y = \argch x $	$ y' = \dfrac{1}{\ \sqrt{\ x^2 - 1\ }\ } $	$ F(x) = \argch f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{ f'(x) }{\ \sqrt{\ [f(x)]^{2} - 1 \ }\ } $
$ y = \argth x $	$ y' = \dfrac{1}{\ \ 1 - x^2\ \ } $	$ F(x) = \argth f(x) $	$ F'(x) = \dfrac{ f'(x) }{\ \ 1 - [f(x)]^{2}\ \ } $

Derivada de la potencia de una función

$$ f(x) = \ln^{5}(3 x) = \left ( \ln (3x) \right )^5 \Rightarrow f'(x) = 5 \cdot \ln^4(3x) \cdot 3 = 15 \cdot \ln^4(3x) $$

$$ g(x) = \tg^{3} \left(e^{3x} \right) \Rightarrow g'(x) = 3 \cdot \tg^{2} \left(e^{3x} \right) \cdot ( 1 + \tg^{2} \left(e^{3x} \right) ) \cdot 3 = 9 \tg^2(3x) ( 1 + \tg^2(3x) ) $$

Derivada de la función raíz cuadrada

$$ f(x) = \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ } \Rightarrow f'(x) = \dfrac{\ \left( \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ } \right )' \ }{\ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{\ -(1 + x) - (1 - x)}{(1 + x)^2} \ }{\ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{\ -1 - x - 1 + x }{(1 + x)^2} \ }{\ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{ -2 }{\ (1 + x)^2} \ }{\ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ }\ } = $$

$$ = \dfrac{\ \dfrac{ -1 }{\ (1 + x)^2} \ }{\ \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x}\ }\ } = \dfrac{\ - \sqrt{\ 1 + x\ } }{\ (1 + x)^2 \sqrt{\ \ 1 - x\ }\ } = \dfrac{\ - \sqrt{\ 1 - x^2\ } }{\ (1 - x)(1 + x)^2 \ }$$

$$ g(x) = \sqrt{\ \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } } \Rightarrow g'(x) = \dfrac{\ \left ( \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } \right )' \ }{ 2 \cdot \sqrt{ \ \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } \ } } = \dfrac{\ \dfrac{ - \cos x (1 + \sen x) - \cos x (1 - \sen x) \ }{ (1 + \sen x)^2 } \ }{ 2 \cdot \sqrt{ \ \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } \ } } = $$
$$ = \dfrac{\ \dfrac{ - \cos x - \cos x \sen x - \cos x + \cos x \sen x \ }{ (1 + \sen x)^2 } \ }{ 2 \cdot \sqrt{ \ \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } \ } } = \dfrac{\ \dfrac{ - 2\cos x }{\ (1 + \sen x)^2 \ } \ }{ 2 \cdot \sqrt{ \ \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } \ } } = \dfrac{\ \dfrac{ - \cos x }{\ (1 + \sen x)^2 \ } \ }{ \sqrt{ \ \dfrac{ 1 - \sen x\ }{ 1 + \sen x } \ } } = \dfrac{\ - \cos x \sqrt{ \ 1 + \sen x \ } }{\ (1 + \sen x)^2 \cdot \sqrt{ \ 1 - \sen x\ \ } } = $$
$$ = \dfrac{\ - \cos x \sqrt{ \ 1 - \sen^2 x \ } }{\ (1 + \sen x)^2 \cdot (1 - \sen x) \ } = \dfrac{\ - \cos^2 x\ }{\ (1 + \sen x) \cdot (1 - \sen^2 x) \ } = \dfrac{\ - \cos^2 x\ }{\ (1 + \sen x) \cdot \cos^2 x \ } = \dfrac{\ - 1 }{\ 1 + \sen x\ } $$

Derivada de la función exponencial, base $e$

$$ f(x) = e^{\sen x} = \Rightarrow f'(x) = \cos x \cdot e^{\sen x} $$

$$ g(x) = e^{x \cdot \cos x} \Rightarrow g'(x) = (x \cdot \cos x)' \cdot e^{x \cdot \cos x} = (\cos x - x \sen x) \cdot e^{x \cdot \cos x} $$

Derivada de la función exponencial, base $a \neq e$

$$ f(x) = 2^x = e^{\ln2^x} = e^{x \cdot \ln2} \Rightarrow f'(x) = \ln2 \cdot e^{x \cdot \ln2} = \ln2 \cdot 2^x $$

Derivada de la función logaritmo neperiano

Para este tipo de derivadas hay que tener en cuenta las propiedades de los logartimos:

$$ f(x) = \ln \left ( x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } \right ) \Rightarrow f'(x) = \dfrac{ ( x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } )'}{ \ x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } \ } = \dfrac{\ 1 + \dfrac{2x}{2 \cdot ( \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ ) }\ }{ \ x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } \ } = \dfrac{\ 1 + \dfrac{x}{ \ \sqrt{\ 1 + x^2\ } }\ }{ \ x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } \ } = \dfrac{\ \dfrac{\ x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } \ }{ \ \sqrt{\ 1 + x^2\ } }\ }{ \ x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } \ } = $$
$$ = \dfrac{\ \dfrac{\ \cancel{x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } } \ }{ \ \sqrt{\ 1 + x^2\ } } \ }{ \ \cancel{x + \sqrt{\ 1 + x^2\ } } \ } = \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } = \dfrac{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ }{\ 1 + x^2\ } $$

$$ g(x) = \ln \left ( \dfrac{\ \sqrt{\ a^2 + x^2\ }\ }{ x^2 }\right ) = \ln \left ( \sqrt{\ a^2 + x^2\ } \right ) - \ln x^2 = \dfrac{\ 1\ }{2} \ln (a^2 + x^2) - 2\ln x \Rightarrow f'(x) = \dfrac{\ 1\ }{2} \dfrac{\ 2x\ }{\ a^2 + x^2\ } - \dfrac{\ 2\ }{x} = $$
$$ = \dfrac{\ x\ }{\ a^2 + x^2\ } - \dfrac{\ 2\ }{x} = \dfrac{\ x^2 - 2a^2 - 2x^2\ }{\ x(a^2 + x^2)\ } = \dfrac{\ - (x^2 + 2a^2)\ }{\ x(a^2 + x^2)\ } $$

$$ h(x) = \ln \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x} \ } = \ln \left ( \dfrac{\ 1 - x\ }{1 + x} \right )^{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{2} \cdot \left [ \ln (1 - x ) - \ln (1 + x) \right ] \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow h'(x) = \dfrac{1}{2} \cdot \left [ \dfrac{- 1}{1 - x} - \dfrac{ 1}{1 + x} \right ] = \dfrac{1}{2} \cdot \left [ \dfrac{- 1 - x}{\ (1 - x)(1 + x)\ } - \dfrac{ 1 - x }{\ (1 - x)(1 + x)\ } \right ] = \dfrac{1}{2} \cdot \left [ \dfrac{- 1 - x - 1 + x }{\ (1 - x)(1 + x)\ } \right ] = $$ $$ = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{- 2 }{\ (1 - x)(1 + x)\ } = \dfrac{1}{ \cancel{2} } \cdot \dfrac{- \cancel{2} }{\ (1 - x)(1 + x)\ } = \dfrac{-1}{\ 1 - x^2\ } = \dfrac{1}{\ x^2 - 1\ } $$

$$i(x) = \ln \left (x \cdot \tg x \right )^2 = 2 \cdot \ln \left (x \cdot \tg x \right ) = 2 \cdot \left ( \ln x + \ln \tg x \right ) $$ $$i'(x) = 2 \cdot \left ( \dfrac{ 1}{\ x\ } + \dfrac{ 1 + \tg^2 x \ }{\tg x} \right ) = \dfrac{ 2 }{\ x\ } + 2 \cotg x + 2 \tg x $$

$$j(x) = \ln \left ( \dfrac{1}{\ x^2\ } \cdot \sqrt[3]{\ x^2 - 1 \ } \right ) = \ln \left ( \dfrac{1}{\ x^2\ } \right ) + \ln \left ( \sqrt[3]{\ x^2 - 1 \ } \right ) = \ln x^{-2} + \ln \left ( x^2 - 1 \right )^{1/3} = -2 \ln x + \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \ln (x^2 - 1) $$ $$j'(x) = \dfrac{ -2 }{\ x\ } + \dfrac{\ 1\ }{3} \cdot \dfrac{ 2x }{\ x^2 - 1\ } = \dfrac{ - 6x^2 + 6 + 2x^2 }{\ 3x (x^2 - 1)\ } = \dfrac{ 6 - 4x^2 }{\ 3x (x^2 - 1)\ } $$

$$k(x) = \ln \left ( \sqrt[3]{ \dfrac{1}{\ (1 + x)^2\ } }\right ) = \ln \left ( \dfrac{1}{\ (1 + x)^2\ } \right )^{1/3} = \ln (1 + x)^{-2/3} = \dfrac{ -2 }{\ 3\ } \cdot \ln (1 + x) $$ $$k'(x) = \dfrac{ -2 }{\ 3\ } \cdot \dfrac{\ 1\ }{\ 1 + x\ } = \dfrac{ - 2 }{\ 3 + 3x\ } $$

Derivada de la función logaritmo en base $a \neq e$

Hacemos un cambio de base y tenemos que derivar un logaritmo neperiano cuya derivada ya hemos visto: $$ F(x) = \log_{a} f(x) = \dfrac{\ln f(x)}{\ln a} \Rightarrow F'(x) = \dfrac{ 1 }{\ \ln a\ } \cdot \dfrac{\ f'(x)\ }{f(x)} $$

$$ g(x) = \log_{3} (x + 2 ) = \dfrac{\ \ln(x + 2) \ }{ \ln 3 } \Rightarrow g'(x) = \dfrac{\ 1 \ }{ \ln 3 \cdot (x + 2) } $$

Derivada de la función seno

$$ f(x) = \sen \left( e^{3x} \right) \Rightarrow f'(x) = (e^{3x})' \cdot \cos \left( e^{3x} \right) = 3 \cdot e^{3x} \cdot \cos \left( e^{3x} \right) $$

$$ g(x) = \sen( \ln x ) \Rightarrow g'(x) = (\ln x)' \cdot \cos( \ln x ) = \dfrac{1}{\ x \ } \cdot \cos( \ln x ) = \dfrac{\ \cos( \ln x ) \ }{\ x \ } $$

$$ h(x) = \sen(x \cdot \sen x) \Rightarrow h'(x) = (x \cdot \sen x)' \cos(x \cdot \sen x) = (\sen x + x \cdot \cos x) \cos(x \cdot \sen x) $$

Derivada de la función coseno

$$ f(x) = \cos \left( e^{5x} \right) \Rightarrow f'(x) = - 5 \cdot e^{5x} \cdot \sen \left( e^{5x} \right) $$

$$ g(x) = \cos \left ( \dfrac{\ e^{x}\ }{ 5x } \right) \Rightarrow g'(x) = - \left ( \dfrac{\ e^{x}\ }{ 5x } \right)' \cdot \sen \left ( \dfrac{\ e^{x}\ }{ 5x } \right) = - \dfrac{\ e^x \cdot 5x - 5 \cdot e^x \ }{ 25x^2 } \cdot \sen \left ( \dfrac{\ e^{x}\ }{ 5x } \right) = $$
$$ = \dfrac{\ 5 e^x ( 1 - x )\ }{ 25x^2 } \cdot \sen \left ( \dfrac{\ e^{x}\ }{ 5x } \right) = \dfrac{\ e^x ( 1 - x )\ }{ 5x^2 } \cdot \sen \left ( \dfrac{\ e^{x}\ }{ 5x } \right) $$

Derivada de la función exponencial, base distinta del número $e$

Tenemos que derivar $2^x$, si aplicamos las propiedades de los logaritmos vemos que $2^x = e^{\ln 2^x} = e^{x \ln 2} $ que ya sabemos derivar. $$ f(x) = \tg 2^x = \tg e^{\ln 2^x} = \tg e^{x \ln 2} \Rightarrow f'(x) = (2^x)' \cdot (1 + \tg^2 2^x) = \ln2 \cdot 2^x \cdot (1 + \tg^2 2^x) $$

$$ g(x) = \tg \left( \dfrac{\ 1 - e^x\ }{ 1 + e^x } \right ) \Rightarrow g'(x) = \left (\dfrac{\ 1 - e^x\ }{ 1 + e^x } \right )' \cdot \left ( 1 + \tg^2 \left( \dfrac{\ 1 - e^x\ }{ 1 + e^x } \right ) \right ) = $$
$$ = \left (\dfrac{\ - e^x(1 + e^x ) - e^x(1 - e^x) \ }{ 1 + e^x } \right ) \cdot \left ( 1 + \tg^2 \left( \dfrac{\ 1 - e^x\ }{ 1 + e^x } \right ) \right ) = \left (\dfrac{\ - e^x - e^{2x} - e^x + e^{2x} \ }{\ \left( 1 + e^x \right )^2 \ } \right ) \cdot \left ( 1 + \tg^2 \left( \dfrac{\ 1 - e^x\ }{ 1 + e^x } \right ) \right ) = $$
$$ = \dfrac{\ - 2e^x\ }{\ \left( 1 + e^x \right )^2 \ } \cdot \left ( 1 + \tg^2 \left( \dfrac{\ 1 - e^x\ }{ 1 + e^x } \right ) \right ) $$

Derivada de la función arco secante

$$ $$

$$ $$

Derivada de la función arco cosecante

$$ $$

$$ $$

Derivada de la función arco cotangente

$$ $$

$$ $$

Derivada de la función arco seno

$$ f(x) = \arcsen \left( x^2 - 4x \right ) \Rightarrow f'(x) = \dfrac{2x - 4}{\ \sqrt{\ 1 - (x^2 - 4x)^2\ } \ } $$ $$ g(x) = \arcsen \left( \log_{5}(3x) \right) = \arcsen \left( \dfrac{\ \ln 3x \ }{ \ln 5 } \right) \Rightarrow g'(x) = \dfrac{ \dfrac{1}{\ \ln 5\ } \cdot \dfrac{3}{3x} }{\ \sqrt{\ 1 - (\log_{5}(3x))^2\ } \ } = \dfrac{ 1 }{\ x \cdot \ln 5 \cdot \sqrt{\ 1 - (\log_{5}(3x))^2\ } \ } $$

Derivada de la función arco coseno

$$h(x) = \arccos (\ln x) \Rightarrow h'(x) = - \dfrac{ \dfrac{\ 1\ }{x} }{\ \sqrt{\ 1 - (\ln x)^2\ }\ } = \dfrac{- 1}{\ x \cdot \sqrt{\ 1 - \ln ^2 x\ }\ } $$ $$ $$

$$ f(x) = \arccos \left( \dfrac{x}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } \right ) \Rightarrow f'(x) = \dfrac{ \left( \dfrac{x}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } \right )' }{\ \sqrt{\ 1 - \left( \dfrac{x}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } \right )^2\ }\ } = \dfrac{ \ \dfrac{ \sqrt{\ 1 + x^2\ } - x \dfrac{2x}{\ 2 \cdot \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ }\ }{\ 1 + x^2\ } }{\ \sqrt{\ 1 - \dfrac{x^2}{\ 1 + x^2\ }\ } } = $$ $$ = \dfrac{ \ \dfrac{ \sqrt{\ 1 + x^2\ } - x \dfrac{x}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ }\ }{\ 1 + x^2\ } }{\ \sqrt{\ \dfrac{1 + x^2 - x^2}{\ 1 + x^2\ }\ } } = \dfrac{ \ \dfrac{ \dfrac{1 + x^2 - x^2}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ }\ }{\ 1 + x^2\ } }{\ \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } } = \dfrac{ \ \dfrac{\ \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } \ }{\ 1 + x^2\ } }{\ \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } } = \dfrac{ \ \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }( 1 + x^2)\ } }{\ \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ } } = \dfrac{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }\ }{\ \sqrt{\ 1 + x^2\ }( 1 + x^2)\ } = $$
$$ = \dfrac{1}{\ 1 + x^2\ } $$

Derivada de la función arco tangente

$$ F(x) = \arccotg \left(x^2\right) \longrightarrow F'(x) = \dfrac{\ - 2x\ }{1 + \left( x^2 \right)^{2} } = \dfrac{ - 2x}{\ 1 + x^4\ } $$

$$ g(x) = \arctg \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \Rightarrow g'(x) = \dfrac{\ \left ( \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \right )'}{ 1 + \left ( \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \right)^2 } = \dfrac{\ \dfrac{ \left ( \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ } \right )' }{ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \ } \ }{ 1 + \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{ \left ( \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ } \right )' }{ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \ } \ }{ \dfrac{\ 1 + \sen x + 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = $$
$$ = \dfrac{\ \dfrac{ \left ( \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ } \right )' }{ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \ } \ }{ \dfrac{\ 2\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{ \dfrac{\ - \cos x\ (1 + \sen x) - \cos x(1 - \sen x) }{\ (1 + \sen x)^2\ } }{ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \ } \ }{ \dfrac{\ 2\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{ \dfrac{\ - \cos x + \cos x \sen x - \cos x + \cos x \sen x }{\ (1 + \sen x)^2\ } }{ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \ } \ }{ \dfrac{\ 2\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = $$
$$ = \dfrac{\ \dfrac{ \dfrac{\ - 2\cos x }{\ (1 + \sen x)^2\ } }{ 2 \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ 1 - \sen x\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } \ } \ }{ \dfrac{\ 2\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{\ - 2\cos x ( \sqrt{\ 1 + \sen x \ } ) }{\ 2 \cdot \sqrt{\ 1 - \sen x\ } (1 + \sen x)^2\ } \ }{ \dfrac{\ 2\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = \dfrac{\ \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\ 1 + \sen x \ } ) }{\ \sqrt{\ 1 - \sen x\ } (1 + \sen x)^2\ } \ }{ \dfrac{\ 2\ }{\ 1 + \sen x\ }\ } = $$
$$ = \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\ 1 + \sen x \ } )(1 + \sen x) }{\ 2 \cdot \sqrt{\ 1 - \sen x\ } (1 + \sen x)^2\ } = \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\ 1 + \sen x \ } )\cancel{(1 + \sen x)} }{\ 2 \cdot \sqrt{\ 1 - \sen x\ } (1 + \sen x)^{\cancel{2}}\ } = \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\ 1 + \sen x \ } ) }{\ 2 \cdot \sqrt{\ 1 - \sen x\ } (1 + \sen x)\ } = $$
$$ = \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\ 1 - \sen^2 x \ } ) }{\ 2 \cdot (\ 1 - \sen x) (1 + \sen x)\ } = \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\ 1 - \sen^2 x \ } ) }{\ 2 \cdot (\ 1 - \sen x) (1 + \sen x)\ } = \dfrac{\ - \cos x ( \sqrt{\cos^2 x \ } ) }{\ 2 \cdot (\ 1 - \sen^2 x)\ } = \dfrac{\ - \cos^2 x\ }{\ 2 \cdot \cos^2 x\ } = \dfrac{\ -1\ }{2} $$

Derivada de la función arco secante

$$ f(x) = \arcsec (x^7) \Rightarrow f'(x) = \dfrac{ 7x^6 }{\ x^7 \cdot \sqrt{\ \left( x^7 \right)^2 - 1\ }\ } = \dfrac{ 7 }{\ x \cdot \sqrt{\ x^{14} - 1\ }\ } $$

$$ g(x) = (\arcsec x)^{9} \Rightarrow f'(x) = 9 \cdot (\arcsec x)^{8} \cdot (\arcsec x)' = 9 \cdot (\arcsec x)^{8} \cdot \dfrac{1}{\ x \cdot \sqrt{\ x^2 - 1\ }\ } $$

Derivada de la función arco cosecante

$$ f(x) = \arccosec \left( \dfrac{\ 1 + x\ }{1 - x} \right) \Rightarrow f'(x) = \dfrac{ - \dfrac{1 - x + 1 + x}{\ (1-x)^2\ } }{ \left( \dfrac{\ 1 + x\ }{1 - x} \right ) \cdot \sqrt{\ \left ( \dfrac{\ 1 + x\ }{1 - x} \right)^2 - 1\ }\ } = $$
$$ = \dfrac{-(1-x)+(1+x)}{(1-x) \cdot (1+x) \cdot \sqrt{\left( \dfrac{\ 1 + x\ }{1 - x} \right)^2 - 1\ }\ } = \dfrac{\ -2x\ }{\ (1 - x) \cdot (1+x) \cdot \sqrt{\left ( \dfrac{\ 1 + x\ }{1 - x} \right )^2 - 1\ }\ } = \dfrac{\ 2x\ }{(1-x) \cdot(1+x) \cdot \sqrt{\ \dfrac{\ (1+x)^2 - (1-x)^2\ }{ (1-x)^2 } } } = $$
$$ = \dfrac{2x}{(1+x) \cdot \sqrt{(1+x)^{2}-(1-x)^{2}}} = \dfrac{2x}{\ (1 + x) \cdot \sqrt{\ \left (1 + 2x + x^2 \right ) - \left( 1 - 2 x + x^2 \right )\ }\ } = $$
$$ = \dfrac{2 x}{\ (1+x) \cdot \sqrt{\ 4x\ }\ } = \dfrac{x}{\ (1 + x) \cdot \sqrt{\ x\ }\ } $$

$$ g(x) = \arccosec \left( \log _{5} 9 x \right) = \arccosec \left( \dfrac{ \ln 9x}{ \ln 5} \right) \Rightarrow g'(x) = \dfrac{- \dfrac{1}{ \ln5 } \cdot \dfrac{9}{\ 9x\ } }{\ \left( \log _{5} 9 x \right) \cdot \sqrt{\ \left( \log_{5} 9x \right)^2 - 1\ }\ } = $$
$$ = \dfrac{ - 1}{ \ln 5 \cdot x \cdot \left( \log_{5} 9x \right ) \cdot \sqrt{\ \left ( \log_{5} 9x \right )^2 - 1\ }\ } $$

Derivada de la función arco cotangente

$$ f(x) = \arccotg \left( 6x^8 + 8x^7 + 3x \right) \Rightarrow f'(x) = \dfrac{\ - \left( 48x^7 + 56x^6 + 3 \right) \ }{\ 1 + \left( 8x^7 + 6 x^8 + 3x \right )^2 } $$

Derivada de la función potencial-exponencial

Derivación logarítmica: Cuando tenemos una función potencial-exponencial, es decir, que tanto la base como el exponente son dos funciones no constantes, $ F(x) = g(x)^{h(x)} $ y la queremos derivar. Tenemos dos opciones:

1. Aprendernos esta fórmula de memoria $ F'(x) = h(x) \cdot g(x)^{h(x) - 1} g'(x) + g(x)^{h(x)} \cdot h'(x) \cdot \ln g(x) $
2. o saber deducirla (muy recomendable). Veamos como:
   
   Lo $\odn{1}{o}$ tomamos logaritmos neperianos: $$ \ln F(x) = \ln g(x)^{h(x)} $$ $$ \text{ usamos las propiedades de los logaritmos y nos queda } \ln F(x) = h(x) \cdot \ln g(x) $$ Tenemos dos expresiones iguales, luego sus funciones derivadas serán iguales: $$ \left (\ln F(x) \right )' = \left (h(x) \cdot \ln g(x) \right )' \Rightarrow \dfrac{\ F'(x)\ }{F(x)} = h'(x) \ln g(x) + h(x) \cdot \dfrac{\ g'(x)\ }{g(x)} $$ $$ \text{ pasamos } F(x) \text{ multiplicando y tenemos que } F'(x) = F(x) \cdot \left ( h'(x) \ln g(x) + h(x) \cdot \dfrac{\ g'(x)\ }{g(x)} \right ) $$ y sustituyendo $F(x)$ por su valor tenemos: $$ F'(x) = g(x)^{h(x)} \cdot \left ( h'(x) \ln g(x) + h(x) \cdot \dfrac{\ g'(x)\ }{g(x)} \right ) = g(x)^{h(x)} \cdot h'(x) \cdot \ln g(x) + g(x)^{h(x)} \cdot h(x) \cdot \dfrac{\ g'(x)\ }{g(x)} $$ y así tenemos: $$ F'(x) = g(x)^{h(x)} \cdot h'(x) \cdot \ln g(x) + g(x)^{h(x) - 1} \cdot h(x) \cdot g'(x) $$
Vamos con un par de ejemplos: $$ F(x) = (\tg x)^{\cotg x} $$ Tomamos logaritmos, aplicamos la propiedad de las potencias y derivamos: $$ \ln F(x) = \cotg x \cdot \ln \tg x \Rightarrow \dfrac{\ F'(x)\ }{F(x)} = -(1 + \cotg^2 x) \ln \tg x + \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 + \tg^2 x }{ \tg x} $$ Pasamos $F(x)$ multiplicando y la sustituimos por su valor: $$ F'(x) = (\tg x)^{\cotg x} \cdot \left ( -(1 + \cotg^2 x) \ln \tg x + \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 + \tg^2 x }{ \tg x} \right ) = $$

$$ = - (\tg x)^{\cotg x} \cdot (1 + \cotg^2 x) \ln \tg x + (\tg x)^{\cotg x} \cdot \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 + \tg^2 x }{ \tg x} = (*) $$ Vemos que $$ \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 + \tg^2 x }{ \tg x} = \cotg^2 x \cdot ( 1 + \tg^2 x ) = \cotg^2x + 1 $$ Sustituyendo en (*) tenemos y sacando factor común: $$ = - (\tg x)^{\cotg x} \cdot (1 + \cotg^2 x) \ln \tg x + (\tg x)^{\cotg x} \cdot ( 1 + \cotg^2 x ) = - (\tg x)^{\cotg x} \cdot (1 + \cotg^2 x) \cdot ( \ln \tg x - 1 ) $$

Vamos con otro ejemplo: $$ G(x) = \sqrt[\tg x]{x} = x^{ \dfrac{1}{\tg x} } = x^{ \cotg x} $$ Tomamos logaritmos, aplicamos la propiedad de las potencias y derivamos: $$ \ln G(x) = \cotg x \cdot \ln x \Rightarrow \dfrac{\ G'(x)\ }{G(x)} = -(1 + \cotg^2 x) \ln x + \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 \ }{ x} $$ Pasamos $G(x)$ multiplicando y la sustituimos por su valor: $$ G'(x) = \sqrt[\tg x]{x} \cdot \left ( -(1 + \cotg^2 x) \ln x + \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 \ }{ x} \right ) = - \sqrt[\tg x]{x} \cdot (1 + \cotg^2 x) \cdot \ln x + \sqrt[\tg x]{x} \cdot \cotg x \cdot \dfrac{\ 1 \ }{ x} $$ Agrupando nos queda: $$ G'(x) = \sqrt[\tg x]{x} \cdot (1 + \cotg^2 x) \cdot \ln x + \sqrt[\cotg x - 1]{x} \cdot \cotg x $$ Otra variante $$ G'(x) = \sqrt[\tg x]{x} \cdot \left ( \dfrac{1}{ \ x \cdot \tg x} - \dfrac{\ln x }{\ \sen^2 x\ } \right ) $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Ejercicios de límites con solución I - 1º Bachillerato

Vamos a resolver diferentes tipos de límites de funciones y algunas de las indeterminaciones de $\odn{1}{\circ}$ de bachillerato. Son las siguientes:

1. $\zdivz$


2. $\idivi$


3. $\imini$


4. $\uelei$ Explicados en esta entrada del blog.

$$ \milmt{x}{2}{ \dfrac{\ \ 2x^2 - 3x - 2\ \ }{ x^2 - 4 } } = \zdivz (*) $$

Esto quiere decir que 2 es raíz del polinomio del umerador y del polinomio del denominador, luego tenemos que factorizar ambos polinomios:

$ 2x^2 - 3x - 2 = (x - 2) \cdot (2x + 1 ) $ y $ x^2 - 4 = (x - 2) \cdot ( x + 2) $

Una vez factorizados los polinomios seguimos con el cálculo del límite:

$$(*) \ = \milmt{x}{2}{ \dfrac{\ (x - 2) \cdot (2x + 1 )}{ (x - 2) \cdot ( x + 2) } } = \milmt{x}{2}{ \dfrac{\ \cancel{(x - 2)} \cdot (2x + 1 )}{ \cancel{(x - 2)} \cdot ( x + 2) } } = \milmt{x}{2}{ \dfrac{\ \ (2x + 1)\ \ }{x + 2} } = \frac{5}{4} $$

$$ \milmt{x}{0}{ \dfrac{x}{\ 1 - \sqrt{\ 1 - x\ }\ } } = \zdivz (*) $$

En este caso 0 anula el numerador y el denominador, pero el denominador no es un polinomio. Como tiene una raíz cuadrada en el denominador, vamos a multiplicar numerador y denominador por el conjugado, en el denominador aplicaremos la identidad notable $(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2$

Seguimos con el límite:
$$(*) \ = \milmt{x}{0}{ \dfrac{x}{\ 1 - \sqrt{\ 1 - x\ }\ } } = \milmt{x}{0}{ \dfrac{x \cdot (\ 1 + \sqrt{\ 1 - x\ }\ ) }{\ \ (1 - \sqrt{\ 1 - x\ }) \cdot (\ 1 + \sqrt{\ 1 - x\ }\ ) \ \ } } = \milmt{x}{0}{\ \ \dfrac{x \cdot (\ 1 + \sqrt{\ 1 - x\ }\ ) \ \ }{1 - (\sqrt{\ 1 - x\ })^2} } = $$ $$ = \milmt{x}{0}{ \dfrac{x \cdot (\ 1 + \sqrt{\ 1 - x\ }\ ) }{x} } = \milmt{x}{0}{ \dfrac{\cancel{x} \cdot (\ 1 + \sqrt{\ 1 - x\ }\ ) }{\cancel{x}} } = \milmt{x}{0}{ \ 1 + \sqrt{\ 1 - x\ } } = 1 + 1 = 2 $$

$$ \milmt{x}{3}{ \dfrac{\ \sqrt{\ x + 1\ }- 2\ }{x - 3} } = \zdivz (*) $$ Volvemos a tener una indeterminación cero partido por cero y tenemos una raíz en el numerador, lo que tenemos que hacer es multiplicar numerador y denominador por el conjugado para aplicar en el numerador la identidad notable $(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2$

$$ (*) \ = \milmt{x}{3}{ \dfrac{\ (\sqrt{\ x + 1\ } - 2 )(\sqrt{\ x + 1\ } + 2 )\ }{(x - 3)(\sqrt{\ x + 1\ } + 2 ) } } = \milmt{x}{3}{ \dfrac{\ (\sqrt{\ x + 1\ })^2 - 2^2\ }{(x - 3)(\sqrt{\ x + 1\ } + 2 ) } } = \milmt{x}{3}{ \dfrac{\ x + 1 - 4\ }{ ( x - 3 )(\sqrt{\ x + 1\ } + 2 ) } } = $$ $$ = \milmt{x}{3}{ \dfrac{x - 3}{\ (x - 3)(\sqrt{\ x + 1\ } + 2 )\ } } = \milmt{x}{3}{ \dfrac{ \cancel{x - 3} }{\ \cancel{(x - 3)}(\sqrt{\ x + 1\ } + 2 )\ } } = \milmt{x}{3}{ \dfrac{1}{\ \sqrt{\ x + 1 \ } + 2 \ } } = \dfrac{1}{\ \sqrt{\ 3 + 1\ } + 2\ } = \dfrac{\ 1\ }{4} $$

$$\milmt{x}{8}{ \dfrac{\ x - 8 \ }{ \sqrt[3]{x} - 2 } } = \zdivz (*) $$ No podemos factorizar ya que el denominador no es un polinomio y además aparece una raíz cúbica, veamos como podemos «quitar» dicha raíz: $$ \text{Para ello usaremos la siguiente identidad notable } a^3 - a^3 = (a - b) \cdot (a^2 + ab + b^2) $$ Si hacemos que $a = \sqrt[3]{x}$ y $b = 2$, tenemos que $$x - 8 = (\sqrt[3]{x} - 2) \cdot (\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 2^2 )$$ $$(*) \ = \milmt{x}{8}{ \dfrac{ (\sqrt[3]{x} - 2) \cdot (\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 2^2 ) }{ \sqrt[3]{x} - 2 } } = \milmt{x}{8}{ \dfrac{ ( \cancel{ \sqrt[3]{x} - 2) } \cdot (\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 2^2 ) }{ \cancel{ \sqrt[3]{x} - 2} } }= $$ $$ = \milmt{x}{8}{ \left (\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 2^2 \right ) } = \sqrt[3]{8^2} + 2\sqrt[3]{8} + 2^2 = 4 + 2 \cdot 2 + 4 = 12 $$

$$\milmt{x}{+ \infty}{ \dfrac{\ \ 3x^2 + 4\ \ }{ 2x } } = \idivi (*) $$ Este límite es una indeterminación infinito partido por infinito, vemos que el polinomio de mayor grado es el del númerador, luego el límite será infinito. Otra forma de hacerlo es dividir cada término del numerador y del denominador por la mayor potencia de $x$ en este caso $x^2$:

$$(*) = \milmt{x}{\infty}{ \dfrac{\ \ \dfrac{\ 3x^{2}\ }{x^2} + \dfrac{\ 4\ }{x^2} \ \ }{ \dfrac{ 2x }{ x^2} } } = \milmt{x}{\infty}{ \dfrac{\ 3 + \dfrac{4}{x^2} }{ \dfrac{2}{x} } } = \dfrac{\ 3\ }{ 0 } = +\infty $$

Este límite es una indeterminación infinito partido por infinito, vemos que los polinomios del númerador y del denominador tienen el mismo grado, luego el límite será el cociente de los coeficiente directores de ambos polinomios. Otra forma de hacerlo es dividir cada término del numerador y del denominador por la mayor potencia de $x$ en este caso $x^3$:

$$ \milmt{x}{+ \infty}{ \dfrac{\ \ 3x^3 + 5}{ 2x^3 + 1 } } = \idivi (*) $$ $$ (*) = \milmt{x}{ + \infty}{ \dfrac{\ \ 3 \dfrac{\ x^3\ }{ x^3 } + \dfrac{5}{\ x^3\ }}{2 \dfrac{\ x^3\ }{x^3} + \dfrac{1}{\ x^3\ }} }= \milmt{x}{ + \infty }{ \dfrac{\ \ 3 + \dfrac{5}{\ x^3\ }\ \ }{ 2 + \dfrac{1}{\ x^3\ } } } = \dfrac{3}{2} $$

Este límite es una indeterminación infinito partido por infinito, vemos que el polinomio del denominador es el de mayor grado, luego el límite será 0. Otra forma de hacerlo es dividir cada término del numerador y del denominador por la mayor potencia de $x$ que está fuera de la raíz, en este caso $x^2$:

$$ \milmt{x}{ + \infty}{ \dfrac{x}{\ \ 3x^2 + \sqrt{\ x^4 + 4x\ }\ \ } } = \idivi (*) $$ $$ (*) \ = \milmt{x}{+ \infty }{ \dfrac{ \dfrac{x}{\ x^2\ } }{\ \ \dfrac{\ 3x^2\ }{x^2} + \sqrt{\ \dfrac{\ x^4\ }{x^4} + \dfrac{\ 4x\ }{x^4} } } } = \milmt{x}{+ \infty }{ \dfrac{\ \dfrac{\ 1\ }{x}\ }{\ 3 + \sqrt{\ 1 + \dfrac{4}{\ x^3\ } } } } = \dfrac{0}{ 3 + 1 } = \dfrac{0}{ 4 } = 0 $$

$$\milmt{x}{+ \infty }{\left( \dfrac{\ 1 + x\ }{x - 1} \right )^{x} } = \uelei (*) $$ Este límite es una indeterminación uno elevado a infinito y se puede hacer de dos formas:

• Aplicando esta fórmula: $$ 1^{\infty} = \milmt{x}{A}{ f(x)^{h(x)} } = e^{\milmt{x}{A}{ h(x) \cdot (f(x) - 1)} }$$ donde $A$ puede ser un número real cualquiera o $\pm \infty $
  Nos quedaría lo siguiente:
  $$ (*) = e^{ \milmt{x}{+\infty}{ x \cdot \left (\dfrac{\ 1 + x\ }{x - 1} - 1 \right )} } = e^{ \milmt{x}{+ \infty}{ x \cdot \left (\dfrac{\ 1 + x - x + 1\ }{x - 1} \right )} } = e^{ \milmt{x}{+ \infty}{\dfrac{\ 2x\ }{x - 1} } } = e^2 $$
• Aplicando los pasos siguientes:
  1. Sumar y restar 1 en la base;
  2. Poner la fracción de la base con un 1 en el numerador;
  3. Poner de exponente lo que tiene en el denominador de la fracción de la base, mutiplicando por esa expresión y su inverso el exponente que tenemos.
  $$ (*) \milmt{x}{+ \infty }{ \left( \dfrac{\ 1 + x\ }{x - 1} \right )^{x} } = \milmt{x}{+ \infty }{\left( 1 + \dfrac{\ 1 + x\ }{x - 1} - 1 \right )^{x} } = \milmt{x}{+ \infty }{\left( 1 + \dfrac{\ 1 + x - x + 1\ }{x - 1} \right )^{x} } = \milmt{x}{+ \infty }{\left( 1 + \dfrac{\ 2\ }{x - 1} \right )^{x} } = $$ $$ = \milmt{x}{+ \infty }{\left( 1 + \dfrac{\ 1\ }{ \dfrac{\ x - 1\ }{2} }\right )^{x} } = \milmt{x}{+ \infty }{\left [ \left( 1 + \dfrac{\ 1\ }{ \dfrac{\ x - 1\ }{2} }\right )^{ \dfrac{\ x - 1\ }{2} } \right ]^{x \cdot \dfrac{2}{\ x - 1\ } } } = e^{ \milmt{x}{+ \infty }{ \dfrac{2x}{\ x - 1\ } } } = e^2 $$

$$ \milmt{x}{+\infty}{\left(1 - \dfrac{\ 1\ }{x} \right )^{x} } = \uelei (*) $$ Tenemos una indeterminación $1^{\infty}$, aplicamos la fórmula y tenemos que:
$$ (*) \ = e^{\milmt{x}{+\infty}{ x \cdot \left ( 1 - \dfrac{\ - 1 \ }{x} - 1 \right ) } } = e^{\milmt{x}{+\infty}{ \dfrac{\ - x \ }{x} } } = e^{-1} = \dfrac{\ 1 \ }{e} $$

$$ \milmt{x}{1}{ \left ( \dfrac{\ 1\ }{x} \right)^{\dfrac{1}{\ x^2 - 1\ } } } = \uelei \ (*) $$ Tenemos una indeterminación $1^{\infty}$, aplicamos la fórmula y tenemos que:

$$ (*) \ = e^{ \milmt{x}{1}{ \dfrac{1}{\ x^2 - 1\ } \cdot \left ( \dfrac{\ 1\ }{x} - 1 \right) } } = e^{ \milmt{x}{1}{ \dfrac{1}{\ x^2 - 1\ } \cdot \dfrac{\ 1 - x\ }{x} } } = e^{ \milmt{x}{1}{ \dfrac{-1}{\ x(x + 1)\ } } } = e^{ \dfrac{\ -1 \ }{2} } = \dfrac{1}{\ e^{\dfrac{\ 1 \ }{2}}\ } = \dfrac{1}{\ \sqrt{e}\ } = \dfrac{\ \sqrt{e}\ }{e} $$

No tenemos una indeterminación $\uelei$, ya que el límite de la base es $\dfrac{\ 2\ }{3}$ que es menor que 1 y el límite del exponente es infinito, y por lo tanto:
$$ \milmt{x}{1}{ \left( \frac{\ 2x + 1\ }{ 3x - 3} \right )^{ \dfrac{x^2}{\ x - 4\ } } } = \left ( \dfrac{\ 2\ }{3} \right )^{+\infty} = 0 $$

No tenemos una indeterminación $\uelei$, ya que el límite de la base es 1 y el límite del exponente es $\frac{1}{2}$, y por lo tanto:
$$ \milmt{x}{1}{ \left( \dfrac{\ 3x + 1\ }{ 3x - 3} \right )^{ \dfrac{x}{\ 2x - 4\ } } } = 1^{ \frac{\ 1\ }{2} } = 1 $$

No tenemos una indeterminación $\uelei$, ya que el límite de la base es $\frac{\ 2\ }{3}$ y el límite del exponente es $\frac{\ 3\ }{2}$, y por lo tanto:
$$ \milmt{x}{1}{ \left( \dfrac{\ 2n + 3\ }{2 + 3n } \right)^{ \dfrac{3n}{\ 1 + 2n\ } } } = \left ( \frac{\ 2\ }{3} \right )^{ \frac{\ 3\ }{2} } $$

En principio parece que tenemos una indeterminación infinito menos infinito, pero los dos términos que restan NO son del mismo grado $x$ y $ \sqrt{\ x - 1\ } \simeq x^{ \frac{1}{2} }$, luego el término que crece mucho más rápido a infinito es $x$ y por tanto no es una indeterminación, si no que el límite es $ + \infty$. $$ \milmt{x}{+\infty}{(x - \sqrt{\ x - 1\ } ) } = +\infty $$

$$ \milmt{x}{+\infty}{ \left ( x - \sqrt{\ x^2 + 2x \ } \right ) } = \imini \ (*) $$ Tenemos una indeterminación infinito menos infinito, ya que los dos términos que restan son del mismo grado $x$ y $ \sqrt{\ x^2 + 2x \ } \simeq x$. Para resolver esta inteterminación vamos a multiplicar y dividir por el conjugado para aplicar la identidad notable $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$:

$$ (*) \ = \milmt{x}{+\infty}{ \dfrac{\ \left (x - \sqrt{\ x^2 + 2x \ } \right ) \cdot \left (x + \sqrt{\ x^2 + 2x \ } \right ) } }{ x + \sqrt{\ x^2 + 2x \ } } = \milmt{x}{+\infty}{ \dfrac{\ x^2 - x^2 - 2x \ }{ x + \sqrt{\ x^2 + 2x \ } } } = \milmt{x}{+\infty}{ \dfrac{\ - 2x \ }{ x + \sqrt{\ x^2 + 2x \ } } } = \dfrac{\ -2 \ }{2} = -1 $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Funciones recíprocas: arcocoseno, arcoseno y arcotangente.

Antes de empezar con este tema, es conveniente tener claro (repasar) la trigonometría.

En este enlace podemos ver las gráficas de las funciones trigonométricas $\cos(x)$, $\sen(x)$, $\tg(x)$, $\sec(x)$, $\cosec(x)$, $\cotg(x)$, las simetrías de las funciones $\cos(x)$, $\sen(x)$, $\tg(x)$ y las recíprocas de $\cos(x)$, $\sen(x)$, $\tg(x)$ que respectivamente son $\arccos(x)$, $\arcsen(x)$, $\arctg(x)$.

Función coseno

La función $ f(x) = \cos (x) $ es una función que cumple lo siguiente: $$ f: \R \longrightarrow \R $$ $$ \qquad \qquad \qquad x \hookrightarrow f(x) = \cos (x) $$

1. El $\cos (x)$ está definida en todo $\R$, para todos los números reales.
2. Es una función par $f(x) = f(-x)$, es decir, es simétrica respecto del eje Y, el eje de «ordenadas».
3. El recorrido o imagen de la función $\cos (x)$ es el intervalo $[-1, 1]$. Lo que nos dice que el $\cos (x)$ es una función acotada. Acotada superior e inferiormente.
4. La función $\cos (x)$ es una función periódica, de periodo $P = 2\pi$, basta estudiarla en un intervalo de longitud $2\pi$ cualquiera.
5. La función $\cos (x)$ presenta un máximo cuando $x = 2 \cdot k \cdot \pi, \ k \in \Z $
6. La función $\cos (x)$ presenta un mínimo cuando $x = (2 \cdot k + 1 ) \cdot \pi, \ k \in \Z $
7. La función $\cos (x)$ se anula en $ x \in \left \{ x \in \R \mid x = \dfrac{\ \pi\ }{2} + k \pi, \quad k \in \Z \right \}$

Función seno

La función $ g(x) = \sen (x) $ es una función que cumple lo siguiente: $$ g: \R \longrightarrow \R $$ $$ \qquad \qquad \qquad x \hookrightarrow f(x) = \sen (x) $$

1. El $\sen (x)$ está definida en todo $\R$, para todos los números reales.
2. Es una función impar $f(x) = -f(-x)$, es decir, es simétrica respecto del origen de coordenadas.
3. El recorrido o imagen de la función $\sen (x)$ es el intervalo $[-1, 1]$. Lo que nos dice que el $\sen (x)$ es una función acotada. Acotada superior e inferiormente.
4. La función $\sen (x)$ es una función periódica, de periodo $P = 2\pi$, basta estudiarla en un intervalo de longitud $2\pi$ cualquiera.
5. La función $\sen (x)$ presenta un máximo cuando $x = \dfrac{\ \pi\ }{2} + 2 \cdot k \cdot \pi, \ k \in \Z $
6. La función $\sen (x)$ presenta un mínimo cuando $x = \dfrac{\ 3\pi\ }{2} + 2 \cdot k \cdot \pi, \ k \in \Z $
7. La función $\sen (x)$ se anula en $ x \in \left \{ x \in \R \mid x = k \pi, \quad k \in \Z \right \}$

Función tangente

La función $ h(x) = \tg (x) $ es una función que cumple lo siguiente: $$ h: \R \longrightarrow \R \qquad $$ $$ \qquad \qquad \qquad \qquad x \hookrightarrow h(x) = \tg (x) = \dfrac{\ \sen (x) \ }{ \cos (x) } $$

1. La $\tg (x)$ está definida en $\R$, menos en los puntos que se anula el denominador, es decir el $\cos (x)$. Así $Dom \ h(x) = \R \setminus \left \{ x \in \R \mid x = \dfrac{\ \pi\ }{2} + k \pi, \quad k \in \Z \right \}. $
2. Para los elementos de este conjunto $ \left \{ x \in \R \mid x = \dfrac{\ \pi\ }{2} + k \pi, \quad k \in \Z \right \} $ la función $\tg(x)$ presenta asíntotas verticales.
3. Es una función impar $h(x) = -h(-x)$, es decir, es simétrica respecto del origen de coordenadas.
4. El recorrido o imagen de la función $\tg (x)$ son todos los números reales $\R$. Lo que nos dice que la $\tg(x)$ no es una función acotada.
5. La función $\tg (x)$ es una función periódica, de periodo $P = \pi$, basta estudiarla en un intervalo de longitud $\pi$ cualquiera.
6. La función $\tg(x)$ se anula cuando se anula la función $\sen (x)$, es decir, en $ x \in \left \{ x \in \R \mid x = k \pi, \quad k \in \Z \right \}$

Función secante

La función $ i(x) = \sec (x) $ es una función que cumple lo siguiente: $$ i: \R \longrightarrow \R \qquad \qquad $$ $$ \qquad \qquad \qquad x \hookrightarrow i(x) = \sec (x) = \dfrac{ 1 }{\ \cos (x)\ }$$

1. La $\sec (x)$ está definida en todo $\R$ menos en los valores que se anula el $\cos x$, es decir, $Dom i(x) = \R \setminus \left \{ x \in \R \mid x = \dfrac{\ \pi\ }{2} + k \pi, \quad k \in \Z \right \}.$.
2. Es una función par $i(x) = i(-x)$, es decir, es simétrica respecto del eje Y, el eje de «ordenadas».
3. El recorrido o imagen de la función $\sec (x)$ es el la unión de los intervalos $(-\infty, -1] \bigcup [1, -\infty)$. Lo que nos dice que la $\sec (x)$ no es una función acotada.
4. La función $\sec (x)$ es una función periódica, de periodo $P = 2\pi$, basta estudiarla en un intervalo de longitud $2\pi$ cualquiera.
5. La función $\sec (x)$ presenta un mínimo «relativo» cuando $x = 2 \cdot k \cdot \pi, \ k \in \Z $
6. La función $\sec (x)$ presenta un máximo «relativo» cuando $x = (2 \cdot k + 1 ) \cdot \pi, \ k \in \Z $
7. La función $\sec (x)$ no se anula para ningún valor de $ x \in \R $

Función cosecante

La función $ j(x) = \cosec (x) $ es una función que cumple lo siguiente: $$ j: \R \longrightarrow \R \qquad \qquad \qquad $$ $$ \qquad \qquad \qquad x \hookrightarrow j(x) = \cosec (x) = \dfrac{ 1 }{\ \sen (x)\ } $$

1. La $\cosec (x)$ está definida en todo $\R$ menos en los valores que se anula el $\sen x$, es decir, $Dom \ j(x) = \R \setminus \left \{ x \in \R \mid x = k \pi, \quad k \in \Z \right \}$ .
2. Es una función impar $j(x) = -j(-x)$, es decir, es simétrica respecto del origen de coordenadas.
3. El recorrido o imagen de la función $\cosec (x)$ es el la unión de los intervalos $(-\infty, -1] \bigcup [1, -\infty)$. Lo que nos dice que la $\cosec (x)$ no es una función acotada.
4. La función $\cosec (x)$ es una función periódica, de periodo $P = 2\pi$, basta estudiarla en un intervalo de longitud $2\pi$ cualquiera.
5. La función $\cosec (x)$ presenta un máximo «relativo» cuando $x = (2k + 1 ) \cdot \pi, \ k \in \Z $
6. La función $\cosec (x)$ presenta un mínimo «relativo» cuando $x = 2 \cdot k \cdot \pi, \ k \in \Z $
7. La función $\cosec (x)$ no se anula en $ x \in \R $.

Función cotangente

La función $ k(x) = \tg (x) $ es una función que cumple lo siguiente: $$ k: \R \longrightarrow \R \qquad \quad $$ $$ \qquad \qquad \qquad \qquad x \hookrightarrow k(x) = \cotg (x) = \dfrac{\ \cos (x) \ }{ \sen (x) } $$

1. La $\tg (x)$ está definida en $\R$, menos en los puntos que se anula el denominador, es decir el $\sen (x)$. Así $Dom \ k(x) = \R \setminus \left \{ x \in \R \mid x = k \pi, \quad k \in \Z \right \}. $
2. Para los elementos de este conjunto $ \left \{ x \in \R \mid x = k \pi, \quad k \in \Z \right \} $ la función $\cotg(x)$ presenta asíntotas verticales.
3. Es una función impar $k(x) = - k(-x)$, es decir, es simétrica respecto del origen de coordenadas.
4. El recorrido o imagen de la función $\cotg (x)$ son todos los números reales $\R$. Lo que nos dice que la $\cotg(x)$ no es una función acotada.
5. La función $\cotg (x)$ es una función periódica, de periodo $P = \pi$, basta estudiarla en un intervalo de longitud $\pi$ cualquiera.
6. La función $\cotg(x)$ se anula cuando se anula la función $\cos (x)$, es decir, en $ x \in \left \{ x \in \R \mid x = \dfrac{\ \pi \ }{2} + k \pi, \quad k \in \Z \right \}$

Funciones recíprocas o inversas de las trigonométricas

Una función es inyectiva si cumple: $ f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$, es decir, a elemntos diferentes, imágenes diferentes. Veamos un par de ejemplos:

1. $f(x) = \log_{a}(x) $ Si $\log(x_1) = \log(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 $ Luego el logaritmo es inyectiva.
   
2. $f(x) = x^2 $ Si $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1^2 = x_2^2 \Rightarrow x_1 = \pm x_2 $, luego la función que a cada número le asocia su cuadrado no es inyectiva.

Otra forma de comprobar la inyectividad, pero a partir de la gráfica, es trazando una línea recta paralela al eje X (de abscisas) y si corta a la función en más de un punto la función NO es inyectiva.

Función NO inyectiva

Función inyectiva

Recordemos que:

1. una función y su recíproca son simétricas respecto de la recta $ y = x $, la bisectriz del $\odn{1}{er}$-$\odn{3}{er}$ cuadrante.
   
2. $(f \circ f^{-1})(x) = (f^{-1} \circ f)(x) = x $

Función arcocoseno

Lo primero de todo hay que remarcar que la función $\cos (x)$ no es una función inyectiva, es decir, no cumple que a valores de $x$ diferentes le correspondan valores de la $f(x)$ diferentes, por ejemplo, tenemos $x = 0$ y $x=2\pi$ pero tenemos que $f(0) = f(2\pi) = 1$. Luego tenemos que restringir la función a un intervalo donde sea «inyectiva» y a su vez creciente o decreciente. Para ello restingrimos la función coseno al intervalo $[0, \pi]$ donde la función es inyectiva y decreciente.

La función $ p(x) = \arccos (x) $ es una función que cumple lo siguiente: $$ p: [-1, 1] \longrightarrow \left [ 0 , \pi\ \right ] $$ $$ \qquad \qquad \qquad \qquad x \hookrightarrow p(x) = \arccos (x) $$

1. El $\arccos (x)$ está definida en $[-1, 1]$.
2. El recorrido o imagen de la función $\arccos (x)$ es el intervalo $[0, \pi]$. Lo que nos dice que el $\arccos (x)$ es una función acotada. Acotada superior e inferiormente.
3. La función $\arccos (x)$ presenta un máximo cuando $x = -1$.
4. La función $\arccos (x)$ presenta un mínimo cuando $x = 1$ que es además cuando se anula.

Función arcoseno

Lo primero de todo hay que remarcar que la función $\sen (x)$ no es una función inyectiva, es decir, no cumple que a valores de $x$ diferentes le correspondan valores de la $f(x)$ diferentes, por ejemplo, tenemos $x = 0$ y $x = \pi $ pero tenemos que $\sen (0) = \sen (\pi) = 0$. Luego tenemos que restringir la función a un intervalo donde sea «inyectiva» y a su vez creciente o decreciente. Para ello restingrimos la función seno al intervalo $\left [ \dfrac{\ -\pi \ }{2}, \dfrac{\ \pi \ }{2} \right ]$ donde la función es inyectiva y creciente.

La función $ q(x) = \arcsen (x) $ es una función que cumple lo siguiente: $$ q: [-1, 1] \longrightarrow \left [ \dfrac{\ -\pi \ }{2}, \dfrac{\ \pi \ }{2} \right ] $$ $$ \qquad \qquad \qquad x \hookrightarrow q(x) = \arcsen (x) $$

1. El $\arcsen (x)$ está definida en $[-1, 1]$.
2. El recorrido o imagen de la función $\arcsen (x)$ es el intervalo $\left [ \dfrac{\ -\pi \ }{2}, \dfrac{\ \pi \ }{2} \right ]$. Lo que nos dice que el $\arcsen (x)$ es una función acotada. Acotada superior e inferiormente.
3. La función $\arcsen (x)$ presenta un máximo cuando $x = \dfrac{\ \pi \ }{2}$.
4. La función $\arcsen (x)$ presenta un mínimo cuando $x = \dfrac{\ -\pi \ }{2}$.
5. La función $\arcsen (x)$ se anula para $x = 0$.

Función arcotangente

Lo primero de todo hay que remarcar que la función $\tg (x)$ no es una función inyectiva, es decir, no cumple que a valores de $x$ diferentes le correspondan valores de la $f(x)$ diferentes, por ejemplo, tenemos $x = \dfrac{\ \pi \ }{4}$ y $x = \dfrac{\ 5\pi \ }{4} $ pero tenemos que $\tg \left ( \dfrac{\ \pi \ }{4} \right ) = \tg \left ( \dfrac{\ 5\pi \ }{4} \right ) = 0$. Luego tenemos que restringir la función a un intervalo donde sea «inyectiva» y a su vez creciente o decreciente. Para ello restingrimos la función seno al intervalo $\left ( \dfrac{\ -\pi \ }{2}, \dfrac{\ \pi \ }{2} \right )$ donde la función es inyectiva y creciente.

La función $ r(x) = \arctg (x) $ es una función que cumple lo siguiente: $$ r: \R \longrightarrow \left ( \dfrac{\ -\pi \ }{2}, \dfrac{\ \pi \ }{2} \right ) $$ $$ \qquad x \hookrightarrow r(x) = \arctg (x) $$

1. El $\arctg (x)$ está definida en $\R$.
2. El recorrido o imagen de la función $\arctg (x)$ es el intervalo $\left ( \dfrac{\ -\pi \ }{2}, \dfrac{\ \pi \ }{2} \right ) $. Lo que nos dice que el $\arctg (x)$ es una función acotada. Acotada superior e inferiormente.
3. La función $\arctg (x)$ no presenta ni máximo ni mínimo.
4. La función $\arctg (x)$ se anula para $x = 0$.