Problemas de proporcionalidad compuesta

Resolución de los problemas de proporcionalidad

En todos estos problemas aparecen 2 o más magnitudes y se resuelven planteando una regla de tres COMPUESTA (sigue estos pasos):

• 1.- Escribimos todas las magnitudes que aparecen con la unidad en que las vamos a medir.
• 2.- Leemos el problema y colocamos las cantidades en la magnitud correspondiente. Recuerda que si no están en la misma unidad hay que pasarlas a la misma unidad. Llamamos «$x$» a la cantidad que tenemos que calcular.

• 3.- Comparamos cada magnitud con la magnitud en la que está la «$x$» para saber si es directa o inversa: utilizamos las letras «d» e «i». Recuerda que es muy importante hacerse un esquema. Tenemos que buscar siempre la relación de la magnitud que nos piden con el resto. 

• Será Directa, si al aumentar/disminuir una magnitud la otra también aumenta/disminuye; 

• Será Inversa, si al aumentar/disminuir una magnitud la otra también disminuye/aumenta.  

• 4.- Escribimos primero la fracción de la magnitud en la que está la «$x$» seguida del signo «=» , después escribimos el producto de las fracciones de las otras magnitudes teniendo en cuenta que:

• Si es Directa formamos la fracción números igual que aparecen en la regla de tres.

• Si es Inversa escribimos la fracción inversa.

• 5.- Resolvemos la proporción y tenemos la solución del problema.

Veamos algunos ejemplos: 

Ejemplo 1: Dos magnitudes directamente proporcionales

Un grupo de 8 amigos pagó 960€ por su estancia de 3 días en un hotel. ¿Cuánto costaba la estancia diaria de cada amigo?

Veamos el esquema

Con la regla de 3 compuesta: 

$$ \dfrac{8}{1} \cdot \dfrac{3}{1} = \dfrac{960}{x} \Leftrightarrow 8 \cdot 3 \cdot x = 960 \Leftrightarrow x = \dfrac{ 960 }{ 8 \cdot 3 } =  \dfrac{ 120 }{ 3 } = 40 \ \text{€ costará la estancia diaria de cada amigo} $$

Por reducción a la unidad:

$$ \begin{array}{ccc} Amigos & \text{Días} & \text{€} \cr 8 & 3 & 960 \cr \hline \cr \text{Dividimimos entre 8} & \qquad \qquad & \text{Dividimimos entre 8} \cr 1 & 3 & 120 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimimos entre 3} & \text{Dividimimos entre 3} \cr   1 & 1 & \ 40 \cr \end{array} $$

Un amigo paga por un día 40€.

Ejemplo 2: Dos magnitudes una directa y otra inversamente proporcional

En 7 días, 8 máquinas han cavado una zanja de 1.400 m de largo. ¿Cuántas máquinas serán necesarias para cavar 300 m. de zanja en 6 días?

Veamos el esquema que hemos de hacer

Con la regla de 3 compuesta: 

$$ \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{1.400}{300} = \dfrac{8}{x} \ \ \ \text{Simplificando}$$ 

$$ \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{14}{3} = \dfrac{8}{x} \Leftrightarrow 6 \cdot 14 \cdot x = 8 \cdot 3 \cdot 7 \Leftrightarrow x = \dfrac{ 8 \cdot 3 \cdot 7 }{ 6 \cdot 14 } =  \dfrac{ 8 \cdot 3 }{ 6 \cdot 2 } = 2 \ \ \text{máquinas serán necesarias} $$

Por reducción a la unidad:

$$ \begin{array}{ccc} \text{Días} & Metros & \text{Máquinas} \cr 7 & 1400 & \ 8 \cr \hline \cr  \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 2} &\text{Dividimos entre 2} \cr 7 & 700 & \ 4 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 7} &\qquad \qquad &  \text{Multiplicamos por 7} \cr 1 & 700 & 28 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 7} &\text{Dividimos entre 7} \cr 1 & 100 & \ 4 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 3} &\text{Multiplicamos por 3} \cr 1 & 300 & \ 12 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 6} &\qquad \qquad &  \text{Dividimos entre 6} \cr 6 & 300 & 2 \cr \end{array} $$

Serán necesarias 2 máquinas.

Ejemplo 3: Las dos magnitudes inversamente proporcionales

Para limpiar un monte en 5 días se necesitan 8 personas trabajando 6 horas al día. ¿Cuántos días tardarán 6 personas si trabajan 5 h al día? 

Veamos el esquema

Usando la regla de 3 compuesta: 

$$ \dfrac{6}{8} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{x} \Leftrightarrow 6 \cdot 5 \cdot x = 8 \cdot 6 \cdot 5 \Leftrightarrow x = \dfrac{ 8 \cdot 6 \cdot 5 }{ 6 \cdot 5 } =  8 \ \ \text{días tardarán} $$

Por reducción a la unidad:

$$ \begin{array}{ccc} Personas & Horas & \text{Días} \cr 8 & 6 & \ 5 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 4} & \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 4} \cr 2 & 6 & 20 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 6} & \text{Multiplicamos por 6} \cr 2 & 1 & 120 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 3} & \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 3} \cr 6 & 1 & 40 \cr \hline \cr  \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 5} &\text{Dividimos entre 5} \cr 6 & 5 & \ 8 \cr \end{array} $$

Tardarán 8 días.

Ejemplo 4: Intervienen cuatro magnitudes en el problema 

Veinte obreros han tendido 400 m de cable durante 6 días, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros durante 14 días para tender 700 m de cable?

Veamos el esquema

Usando la regla de 3 compuesta: 

$$ \dfrac{24}{20} \cdot \dfrac{400}{700} \cdot \dfrac{14}{6} = \dfrac{8}{x} \ \ \ \text{Simplificando}$$ 

$$ \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{7}{3} = \dfrac{8}{x} \Leftrightarrow 6 \cdot 4 \cdot 7  \cdot x = 5 \cdot 7 \cdot 3  \cdot 8 \Leftrightarrow x = \dfrac{ 5 \cdot 7 \cdot 3  \cdot 8 }{ 6 \cdot 4 \cdot 7 } =  \dfrac{ 5 \cdot 3 \cdot 8 }{ 6 \cdot 4 } = 5 \ \ \text{horas días serán necesarias} $$

Por reducción a la unidad:

$$ \begin{array}{cccc} Obreros & Metros & \text{Días} & Horas \cr 20 & 400 & 6 & 8 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 5} & \qquad \qquad & \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 5} \cr 4 & 400 & 6 & 40 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 4} & & \text{Dividimos entre 4} \cr 4 & 100 & 6 & 10 \cr \hline \cr \qquad \qquad &  & \text{Dividimos entre 3} & \text{Multipicamos por 3} \cr  4 & 100 & 2 & 30 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 6} & \qquad \qquad & \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 6} \cr 24 & 100 & 2 & 5 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Multipicamos por 7} & & \text{Multipicamos por 7} \cr 24 & 700 & 2 & 35 \cr \hline \cr \qquad \qquad &  & \text{Multipicamos por 7} & \text{Dividimos entre 7} \cr 24 & 700 & 14 & 5 \cr \end{array} $$

5 horas serían necesarias.

Variable incógnita: horas.
Relación entre las magnitudes:

• Mangueras-Horas: Cuantas más mangueras, menos horas se necesitan. Es una proporcionalidad inversa.
• Litros-Horas: Cuantos más litros de agua, más horas se necesitan. Es una proporcionalidad directa.

Por reducción a la unidad:
$$ \begin{array}{ccc} \text{Mangueras} & \text{Litros} & \text{Horas} \cr 6 & 18.000 & \ 3 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 6} & \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 6} \cr 1 & 18.000 & 18 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 18} & \text{Dividimos entre 18} \cr 1 & 1.000 & \ 1 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 128} &\text{Multiplicamos por 128} \cr 1 & 128.000 & 128 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 4} & \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 4} \cr 4 & 128.000 & 32\cr \end{array} $$ 32 horas tardarán.
Usando la regla de tres compuesta: $$ \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{18.000}{128.000} = \dfrac{3}{x} \ \ \text{ Simplificando }$$ $$ \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{9}{64} = \dfrac{3}{x} \Leftrightarrow 2 \cdot 9 \cdot x = 3 \cdot 64 \cdot 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{ 3 \cdot 3 \cdot 64 }{ 9 \cdot 2 } = \dfrac{ 64 }{ 2 } = 32 \ \ \text{horas son necesarias} $$

Variable incógnita: €
Relación entre las magnitudes:

• kg - €: Cuantos más kg, más €. Es una proporcionalidad directa.
• km - €: Cuantas más km, más €. Es una proporcionalidad directa.

Por reducción a la unidad:
$$ \begin{array}{ccc} \text{kg} & \text{km} & \text{ € } \cr 5 & 60 & \ 9 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 5} & \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 5} \cr 1 & 60 & \ 9/5 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 60} & \text{Dividimos entre 60} \cr 1 & 1 & 3/100 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 200} &\text{Multiplicamos por 200} \cr 1 & 200 & 6 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 50} & \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 50} \cr 50 & 200 & 300 \cr \end{array} $$ 300 € costará.
Usando la regla de tres compuesta: $$ \dfrac{\ 5\ }{50} \cdot \dfrac{\ 60\ }{200} = \dfrac{\ 9\ }{x} \ \ \text{ Simplificando }$$ $$ \dfrac{\ 1\ }{10} \cdot \dfrac{\ 3\ }{10} = \dfrac{\ 9\ }{x} \Leftrightarrow 3 \cdot x = 9 \cdot 10 \cdot 10 \Leftrightarrow x = \dfrac{\ 9 \cdot 10 \cdot 10\ }{ 3 } = \dfrac{\ 900\ }{ 3 } = 300 \ \ \text{ € costará} $$

Variable incógnita: Años.
Relación entre las magnitudes:

• Programadores - años: Cuantos más programadores, menos años. Es una proporcionalidad inversa.
• Horas - años: Cuantas más horas, menos años se necesitan. Es una proporcionalidad inversa.

Por reducción a la unidad:
$$ \begin{array}{ccc} \text{Programadores} & \text{Horas} & \text{Años} \cr 8 & 5 & \ 3 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 8} & \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 8} \cr 1 & 5 & \ 24 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 5} & \text{Multiplicamos por 5} \cr 1 & 1 & 120 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 6} &\text{Dividimos entre 6} \cr 1 & 6 & 20 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 10} & \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 10} \cr 10 & 6 & 2\cr \end{array} $$ 2 años tardarán.
Usando la regla de tres compuesta: $$ \dfrac{\ 10\ }{8} \cdot \dfrac{\ 5\ }{6} = \dfrac{\ 3\ }{x} \ \ \text{ Simplificando }$$ $$ \dfrac{\ 5\ }{4} \cdot \dfrac{\ 6\ }{5} = \dfrac{3}{x} \Leftrightarrow 5 \cdot 6 \cdot x = 4 \cdot 5 \cdot 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{\ 3 \cdot 4 \cdot 5\ }{ 5 \cdot 6 } = \dfrac{\ 12\ }{ 6 } = 2 \ \ \text{años tardarán} $$

Variable incógnita: Días.
Relación entre las magnitudes:

• Obreros - Días: Cuantos más obreros, menos días. Es una proporcionalidad inversa.
• Horas - Días: Cuantas más horas, menos días. Es una proporcionalidad inversa.
• Metros - Días: Cuantas más días, más metros. Es una proporcionalidad directa.

Por reducción a la unidad:
$$ \begin{array}{cccc} \text{Obreros} & \text{Horas} & \qquad \text{Metros} & \qquad \text{Días} \cr 12 & \ 8 & \ 50 & \ 25 \cr \hline \cr \div 12 & \qquad \qquad & \qquad \qquad & \times 12 \cr \ 1 & \ 8 & \ 50 & 300 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \div 8 \qquad \qquad & & \times 8 \cr \ 1 & \ 1 & \ 50 & 2400 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \qquad \qquad & \div 50 & \div 50 \cr \ 1 & \ 1 & \ 1 & 48 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \qquad \qquad & \times 100 & \times 100 \cr \ 1 & \ 1 & \ 100 & 4800 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \times 10 \qquad \qquad & & \div 10 \cr \ 1 & \ 10 & \ 100 & 480 \cr \hline \cr \times 5 & \qquad \qquad & \qquad \qquad & \div 5 \cr \ 5 & \ 10 & \ 100 & 96 \cr \end{array} $$ 96 días tardarán
Usando la regla de tres compuesta: $$ \dfrac{\ 5\ }{12} \cdot \dfrac{\ 10\ }{8} \cdot \dfrac{\ 50\ }{100} = \dfrac{\ 25\ }{x} \ \ \text{ Simplificando }$$ $$ \dfrac{\ 5\ }{12} \cdot \dfrac{\ 5\ }{4} \cdot \dfrac{\ 1\ }{2} = \dfrac{\ 25\ }{x} \Leftrightarrow 25 \cdot x = 96 \cdot 25 \Leftrightarrow x = \dfrac{\ 96 \cdot 25\ }{ 25 } = 96 \ \ \text{ días \ tardarán } $$

Variable incógnita: Días.
Relación entre las magnitudes:

• Caballos - Días: A más caballos, menos días y viceversa. Es una proporcionalidad inversa.
• Kg - Días: A más caballos, más kg y viceversa. Es una proporcionalidad directa.

Por reducción a la unidad:
$$ \begin{array}{ccc} \text{Caballos} & \text{Pienso} & \text{Días} \cr 5 & 60 & \ 4 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 5} & \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 5} \cr 1 & 60 & \ 20 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 60} & \text{Dividimos entre 60} \cr 1 & 1 & 1/3 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 360} &\text{Multiplicamos por 360} \cr 1 & 360 & 120 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 8} & \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 8} \cr 8 & 20 & 15 \cr \end{array} $$ 15 días podrá alimentar.
Usando la regla de tres compuesta: $$ \dfrac{\ 8\ }{5} \cdot \dfrac{\ 60\ }{360} = \dfrac{\ 4\ }{x} \ \ \text{ Simplificando }$$ $$ \dfrac{\ 8\ }{5} \cdot \dfrac{\ 1\ }{6} = \dfrac{\ 4\ }{x} \Leftrightarrow 8 \cdot 1 \cdot x = 5 \cdot 6 \cdot 4 \Leftrightarrow x = \dfrac{\ 4 \cdot 6 \cdot 5\ }{ 8 } = \dfrac{\ 3 \cdot 5\ }{ 1 } = 15 \ \ \text{ 15 días podrá alimentar} $$

Variable incógnita: Fuentes.
Relación entre las magnitudes:

• Horas - fuentes: A más horas, menos fuentes y viceversa. Es una proporcionalidad inversa.
• Litros - fuentes: A más litros.menos horas y viceversa. Es una proporcionalidad inversa.

Por reducción a la unidad:
$$ \begin{array}{ccc} \text{Horas} & \text{Litros} & \text{Fuentes} \cr 8 & 12 & \ 5 \cr \hline \cr \text{Dividimos entre 8} & \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 8} \cr 1 & 12 & \ 40 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 12} & \text{Multiplicamos por 12} \cr 1 & 1 & 480 \cr \hline \cr \qquad \qquad & \text{Multiplicamos por 20} &\text{Dividimos entre 20} \cr 1 & 20 & 24 \cr \hline \cr \text{Multiplicamos por 6} & \qquad \qquad & \text{Dividimos entre 6} \cr 6 & 20 & 4 \cr \end{array} $$ 4 fuentes abrirán.
Usando la regla de tres compuesta: $$ \dfrac{\ 6\ }{8} \cdot \dfrac{\ 20\ }{12} = \dfrac{\ 5\ }{x} \ \ \text{ Simplificando }$$ $$ \dfrac{\ 1\ }{2} \cdot \dfrac{\ 5\ }{2} = \dfrac{\ 5\ }{x} \Leftrightarrow 5 \cdot 1 \cdot x = 2 \cdot 2 \cdot 5 \Leftrightarrow x = \dfrac{\ 2 \cdot 2 \cdot 5\ }{ 5 } = \dfrac{\ 4\ }{ 1 } = 4 \ \ \text{ 4 fuentes abrirán} $$

Repartos directamente proporcionales e inversamente proporcionales.

Repartos directamente proporcionales
Consiste en repartir una cantidad en partes directamente proporcionales a otras cantidades.

Queremos repartir una cantidad $N$ de forma directamente proporcional a las cantidades $a, b, c, \cdots $. A cada cantidad le tocará la parte proporcional de forma que se cumplirá:

1. La razón de proporcionalidad $r = \dfrac{N}{\ a + b + c + \cdots \ }$
   
2. $p_a$ es lo que se lleva $a$, $p_b$ lo que se lleva $b \cdots $
   $p_a = a \cdot r$, $p_b = b \cdot r$, $p_c = c \cdot r \cdots $
3. La suma de todas las partes es la cantidad a repartir $p_a + p_b + p_c + \cdots = N $; y
4. $$ \dfrac{\ p_a \ }{a} = \dfrac{\ p_b \ }{b} = \ldots = \dfrac{\ p_a + p_b + p_c + \cdots \ }{ a + b + \cdots } = \dfrac{ \ N \ }{\ a + b + c + \cdots } = r \text{ donde } r \textrm{ es la constante de proporcionalidad } $$

Para saber la cantidad $p_a$ que se llevará el que le toca $c_a$, para cada uno tenemos que calcular:

$$ r = \dfrac{\ p_a \ }{a} \Rightarrow p_a = r \cdot a $$

$$ r = \dfrac{\ p_b \ }{b} \Rightarrow p_b = r \cdot b $$

$$ r = \dfrac{\ p_c \ }{c} \Rightarrow p_c = r \cdot c $$

$$ \ldots $$

Veamos un ejemplo: 

Entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad respectivamente, un abuelo reparte 450€ de forma directamente proporcional a sus edades. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

En este caso se reparte en 3 partes, es decir tenemos que repartir entre 3 la cantidad de 450€. Así $a = 8, b = 12$ y $c = 16$ y le tocarán las cantidades respectivamente $p_a, p_b$ y $p_c$ de forma que $p_a + p_b + p_c = 450$€

Vamos a calcular la constante de proporcionalidad $r$:

$$r = \dfrac{\ p_a \ }{8} = \dfrac{\ p_b \ }{12} = \dfrac{\ p_c \ }{ 16 } = \dfrac{ p_a + p_b + p_c }{ a + b + c } = \dfrac{ 450 }{ 36 } = \dfrac{\ 25\ }{2}$$

Así $ \dfrac{\ p_a \ }{ a } = r \Rightarrow p_a = r \cdot a $, $ \dfrac{\ p_b \ }{ b } = r \Rightarrow p_b = r \cdot b $ y $ \dfrac{\ p_c \ }{ c } = r \Rightarrow p_c = r \cdot c $

$$ \dfrac{\ p_a \ }{8} = \dfrac{25}{2} \Rightarrow p_a = \dfrac{25}{2} \cdot 8 = 25 \cdot 4 = 100 $$

$$ \dfrac{\ p_b \ }{12} = \dfrac{25}{2} \Rightarrow p_b = \dfrac{25}{2} \cdot 12 = 25 \cdot 6 = 150 $$

$$ \dfrac{\ p_c \ }{16} = \dfrac{25}{2} \Rightarrow p_c = \dfrac{25}{2} \cdot 16 = 25 \cdot 8 = 200 $$

Para terminar el ejercicio, sumamos todas las partes, es decir, $p_a + p_b + p_c = 100 + 150 + 200 = 450$ € $\checkmark$ y comprobamos que hemos repartido la cantidad que teníamos, ni más ni menos.

Repartos inversamente proporcionales

Queremos repartir una cantidad $N$ de forma inversamente proporcional a las cantidades $a, b, c, \cdots $. Y un reparto inversamente proporcional a las cantidades $a, b, c, \cdots $ es un reparto directamente proporcional a las cantidades de sus inversos $\dfrac{1}{\ a\ }, \dfrac{1}{\ b\ }, \dfrac{1}{\ c\ } \cdots $. Reducimos esos inversos a común denominador y hacemos un reparto directamente proporcional a los numeradores $n_a, n_b, n_c \ldots $

Veamos un ejemplo:

Repartir 420 €, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6.

Otra vez tenemos que repartir entre 3; Luego tenemos que hacer un reparto directamente proporcional a $\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{5}$ y $\dfrac{1}{6}$; Si ponemos común denominador tenemos que: $$ \dfrac{10}{30}, \dfrac{6}{30} \text{ y } \dfrac{5}{30}$$ Con lo que tenemos que hacer un reparto proporcional a 10 (3 años), 6 (5 años) y 5 (6 años):

Vamos a calcular la constante de proporcionalidad $r$:

$$ r = \dfrac{\ p_a \ }{ 10 } = \dfrac{\ p_b \ }{ 6 } = \dfrac{\ p_c \ }{ 5} = \dfrac{ \ p_1 + p_2 + p_3\ }{ 10 + 6 + 5 } = \dfrac{\ 420 \ }{ 21 } = 20 $$

Así $ \dfrac{\ p_a \ }{n_a} = r \Rightarrow p_a = r \cdot n_a $

$ \dfrac{\ p_b \ }{n_b} = r \Rightarrow p_b = r \cdot n_b $

$ \dfrac{\ p_c \ }{n_c} = r \Rightarrow p_c = r \cdot n_c $

$ \ldots $

$$ \dfrac{\ p_a \ }{ 10 } = 20 \Rightarrow p_a = 20 \cdot 10 = 200 $$

$$ \dfrac{\ p_b \ }{ 6 } = 20 \Rightarrow p_b = 20 \cdot 6 = 120 $$

$$ \dfrac{\ p_c \ }{ 5 } = 20 \Rightarrow p_c = 20 \cdot 5 = 100 $$

Sumamos las cantidades $p_a + p_b + p_c = 200 + 120 + 100 = 420 $ € $\checkmark $ y comprobamos que hemos repartido todo lo que teníamos que repartir.

Los repartos pueden ser entre 2, 3, 4, 5 ... etc. A más partes más cuentas habrá que hacer pero la idea del problema de repartos es siempre la misma.

1.- Reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser $ 9 + 6 + 3 = 22$, y cada parte debe de ser de $$k = \dfrac{\ 792\ }{\ 9 + 6 + 3\ } = \dfrac{\ 792\ }{\ 18\ } = 44 \text{€} $$ $$\begin{array}{lrc} \text{Así la hija de 9 años se lleva 9 partes de 44 € } & \Rightarrow 9 \times 44 = & 396 \text{€} \cr \text{Así la hija de 6 años se lleva 6 partes de 44 € } & \Rightarrow 6 \times 44 = & 264 \text{€} \cr \text{Así la hija de 3 años se lleva 3 partes de 44 € } & \Rightarrow 3 \times 44 = & 132 \text{€} \cr & total & 792 \text{€} \end{array}$$

2.- Reparto inversamente proporcional a 9, 6 y 3.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los inversos $\dfrac{\ 1\ }{9}$, $\dfrac{\ 1\ }{6}$ y $\dfrac{\ 1\ }{3}$.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los numeradores una vez puesto el mismo denominador a los inversos $\dfrac{\ 2\ }{18}$, $\dfrac{\ 3\ }{18}$ y $\dfrac{\ 6\ }{18}$, es decir, es un reparto directamente proporcional a 2, 3 y 6.

Reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser $ 2 + 3 + 6 = 11$, y cada parte debe de ser de $$k = \dfrac{\ 792\ }{\ 2 + 3 + 6\ } = \dfrac{\ 792\ }{\ 11\ } = 72 \text{€} $$ $$\begin{array}{lrc} \text{Así la hija de 9 años se lleva 2 partes de 72 € } & \Rightarrow 2 \times 72 = & 144 \text{€} \cr \text{Así la hija de 6 años se lleva 3 partes de 72 € } & \Rightarrow 3 \times 72 = & 216 \text{€} \cr \text{Así la hija de 3 años se lleva 6 partes de 72 € } & \Rightarrow 6 \times 72 = & 432 \text{€} \cr & total & 792 \text{€} \end{array}$$

1.- Reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser $ 6 + 8 + 12 + 18 = 44$, y cada parte debe de ser de $$k = \dfrac{\ 102.300\ }{\ 6 + 8 + 12 + 18\ } = \dfrac{\ 102.300\ }{\ 44\ } = 2.325 \text{€} $$ $$\begin{array}{lrc} \text{Así el hijo de 6 años se lleva 6 partes de 2.325 € } & \Rightarrow \ 6 \times 2.325 = & \ 13.950 \text{€} \cr \text{Así el hijo de 8 años se lleva 8 partes de 2.325 € } & \Rightarrow \ 8 \times 2.325 = & \ 18.600 \text{€} \cr \text{Así la hija de 12 años se lleva 12 partes de 2.325 € } & \Rightarrow 12 \times 2.325 = & \ 27.900 \text{€} \cr \text{Así la hija de 18 años se lleva 18 partes de 2.325 € } & \Rightarrow 18 \times 2.325 = & \ 41.850 \text{€} \cr & total & 102.300 \text{€} \end{array}$$

2.- Reparto inversamente proporcional a 6, 8, 12 y 18.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los inversos $\dfrac{\ 1\ }{6}$, $\dfrac{\ 1\ }{8}$, $\dfrac{\ 1\ }{12}$ y $\dfrac{\ 1\ }{18}$.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los numeradores una vez puesto el mismo denominador a los inversos $\dfrac{\ 12\ }{72}$, $\dfrac{\ 9\ }{72}$, $\dfrac{\ 6\ }{72}$ y $\dfrac{\ 4\ }{72}$, es decir, es un reparto directamente proporcional a 12, 9, 6 y 4.

Reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser $ 12 + 9 + 6 + 4 = 31$, y cada parte debe de ser de $$k = \dfrac{\ 102.300\ }{\ 12 + 9 + 6 + 4\ } = \dfrac{\ 102.300\ }{\ 31\ } = 3.300 \text{€} $$ $$\begin{array}{lrc} \text{Así el hijo de 6 años se lleva 12 partes de 3.300 € } & \Rightarrow 12 \times 3.300 = & \ 39.600 \text{€} \\ \text{Así el hijo de 8 años se lleva 9 partes de 3.300 € } & \Rightarrow \ 9 \times 3.300 = & \ 29.700 \text{€} \\ \text{Así la hija de 12 años se lleva 6 partes de 3.300 € } & \Rightarrow \ 6 \times 3.300 = & \ 19.800 \text{€} \\ \text{Así la hija de 18 años se lleva 4 partes de 3.300 € } & \Rightarrow 18 \times 3.300 = & \ 13.200 \text{€} \\ & total & 102.300 \text{€} \end{array}$$

Este es un reparto inversamente proporcional a los días que han faltado 3 y 5.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los inversos de los días faltados $\dfrac{\ 1\ }{3}$ y $\dfrac{\ 1\ }{5}$.
Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los numeradores de los inversos de los días faltados una vez puesto el mismo denominador $\dfrac{\ 5\ }{15}$ y $\dfrac{\ 3\ }{15}$.
Es un reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser $ 5 + 3 = 8$, y cada parte debe de ser de $$k = \dfrac{\ 186\ }{\ 5 + 3\ } = \dfrac{\ 136\ }{\ 8\ } = 17 \text{€} $$ $$\begin{array}{lrc} \text{Así el camarero} \ C_1\ \text{ se lleva 5 partes de 17 € } & \Rightarrow \ 5 \times 17 = & \ 85 \text{€} \cr \text{Así el camarero} \ C_2\ \text{ se lleva 3 partes de 17 € } & \Rightarrow \ 3 \times 17 = & \ 51 \text{€} \cr & total & 136 \text{€} \end{array}$$

Números complejos. Conjugado de un número complejo. Formas de un número complejo.

 Los conjuntos de números los podemos poner en un esquema de este estilo: 

Recordemos que: 

$$ \Huge \mathbb{I} \bigcap \mathbb{Q} = \varnothing $$ 

Esto quiere decir que no existe ningún número real que sea racional e irracional a la vez; si es racional, se puede poner en forma de fracción luego no es irracional y viceversa. 

$$ \Huge \mathbb{I} \bigcup \mathbb{Q} = \mathbb{R}$$ 

Esto quiere decir, que todo número real o es racional o es irracional. 

$$ \Huge \left . \begin{array}{r} \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \cr  \mathbb{I} \end{array}\right \}  \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} $$

Veamos ejemplos de números de distintos conjuntos: 

$1, 13, 1.000.000, 5^2, ... \in \mathbb{N} $ 

$1, 13, 1.000.000, 5^2, 13, 0, -12, 3^0, -2.222.222,  ... \in \mathbb{Z} $ 

$1, 13, 1.000.000, 5^2, 13, 0, -12, 3^0, -2.222.222, \dfrac{1}{2},  \dfrac{-11}{4}, \dfrac{23}{5} ... \in \mathbb{Q} $ 

$ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{p} \text{ siendo } p \text{ primo}, \log(2), \pi, e. \phi, ... \in \mathbb{I} $ 

Todos los números anteriores son números reales y por tanto son números complejo. 

$i$ es la unidad imaginaria $i = \sqrt{-1}$ y tal que $i^2 = -1$ Veamos las potencias de $i$ 

$$\Large i^1 = i \qquad i^2 = -1 \qquad i^3 = -i \qquad i^4 = 1$$ 

$$\Large i^5 = i \qquad i^6 = -1 \qquad i^7 = -i \qquad i^8 = 1$$ 

$$\Large i^9 = i \qquad i^{10} = -1 \qquad i^{11} = -i \qquad i^{12} = 1$$ y así sucesivamente. 

Para calcular cuanto vale cualquier potencia de $i, i^{75}$, lo que hacemos es la división entera del exponente entre 4 y nos quedaremos con el resto: 

$$ \Large 75 = 4 \times 18 + 3 \Rightarrow i^{75} = i^{4 \times 18 + 3} = (i^4)^{18} \cdot i^3 = 1 \cdot i^3 = i^3 = -i$$

Veamos una definición formal del conjunto de los números complejos:

$$\Huge \mathbb{C} = \{ \ a + bi \ | \ a, b \in \mathbb{R}; \ \ i^2 = -1 \} $$ 

Sea un número complejo cualquiera $z = a + bi $, se define el conjugado $\bar{z} = a - bi$, es decir, la misma parte real y parte imaginaria la opuesta. 

En esta animación de GeoGebra vamos a ver la representación del un número complejo $z$ (en la animación es el que forma el ángulo con la parte positiva del eje de abscisas $OX$), su conjugado $\bar{z}$, el opuesto $-z$ y el opuesto del conjugado $-\bar{z}$. Si cogemos el punto que determina dicho número complejo, el afijo, podemos mover dicho número y como se actualizan los 4 números según se desplaza.

Si un número complejo es $z = 3 + 5i$, su conjugado $\bar{z} = 3 - 5i$, su opuesto es $-z = -3 - 5i$; y el opuesto de su conjugado (es lo mismo el conjugado de su opuesto) es $- \bar{z} = - 3 + 5i$.

Otro ejemplo: $w = -6 - 7i$, su conjugado $\bar{w} = -6 + 7i$, su opuesto es $-w = 6 + 7i$ y el opuesto del conjugado $- \bar{w} = +6 - 7i$.

Distintas formas en las que podemos escribir un número complejo, siendo $r = | z | = \sqrt{a^2 + b^2}$ y $\alpha = Arg(z) = \arctg \left ( \dfrac{b}{a} \right )$. 

$$ \large z = \left (a, b \right ) = a + bi = r \cdot \left ( \cos \alpha + i \sen \alpha \right ) = r_{\alpha} = r \cdot e^{i \alpha}  $$

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \text{ Par ordenado }  \qquad z = \left (a, b \right ) $ } } $$

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \text{Forma binómica } \qquad  z = a + bi $ } } $$

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \text{Forma trigonométrica}  \qquad z = r \cdot \left ( \cos \alpha + i \cdot \sen \alpha \right ) $ } } $$ $$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \text{Forma polar}  \qquad  z = r_{ \alpha } $ } } $$

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \text{Forma exponencial}  \qquad  z = r \cdot e^{ i \alpha } $ } } $$

Propiedades de los módulos de los números complejos:

1. El módulo del producto de dos números complejos es el producto de sus módulos: $ |z_1 \cdot z_2 | = |z_1| \cdot |z_2|$
   
   Vamos a utilizar las propiedades $ z \cdot \bar{z} = |z|^{2} $ y $\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2} $ : $$ |z_1 \cdot z_2|^{2} = (z_1 \cdot z_2) \overline{ (z_1 \cdot z_2)} = z_1 \cdot z_2 \cdot \bar{z_1} \cdot \bar{z_2} = z_1 \cdot \bar{z_1} \cdot z_2 \cdot \bar{z_2}= |z_1|^{2}|z_2|^{2} $$ Sacamos raíces cuadradas tenemos: $$ |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| $$ Nota: Está propiedad se puede extender al producto de 3, 4, 5, .... módulos de números complejos.
   
   
   
   
2. Sea un número complejo distinto de cero $z \neq 0$, el módulo del inverso es el inverso del módulo de $z$: $ \left | z^{-1} \right | = |z|^{-1} $
   
   Usamos la propiedad anterior, $ |z_1 \cdot z_2 | = |z_1| \cdot |z_2|$
   
   Tenemos que $$1 = z \cdot z^{-1} \Rightarrow 1 = |1| = \left| z \cdot z^{-1} \right | = |z| \cdot \left|z^{-1}\right| $$ Si despejamos $ \left|z^{-1}\right| $ tenemos que
   
   $$ \left | z^{-1} \right| = \dfrac{\ \ 1 \ \ }{|z|} = |z|^{-1} $$
   
   
   
   
3. El módulo del cociente de dos complejos es el cociente de sus módulos: $\text{ Si } z_2 \neq 0 \Rightarrow \left| \dfrac{\ z_1\ }{z_2} \right | = \dfrac{\ |z_1|\ }{ |z_2| } $
   
   Usamos la dos propiedades anteriores: $ |z_1 \cdot z_2 | = |z_1| \cdot |z_2| $, $\left |z^{-1} \right | = |z|^{-1}$ y $|z_2| \neq 0$. Veamos: $$ \left | \dfrac{\ z_1\ }{z_2} \right | = \left |z_1 \cdot z_2^{-1} \right | = |z_1| \cdot \left|z_2^{-1} \right | = |z_1| \cdot |z_2|^{-1} = \dfrac{\ |z_1| \ }{|z_2|} $$
   
   
   
   

Fórmula de «DE Moivre»

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \left( \cos \alpha + i \sen \alpha \right )^n = \cos n\alpha + i \sen n\alpha$ } } $$

$\bullet \quad $ Usando está fórmula podemos obtener las fórmulas trigonométricas del ángulo doble, $n = 2$: 

Por un lado tenemos: $\left ( \cos \alpha + i \sen \alpha \right )^2 = \cos^2 \alpha + 2i\cos \alpha \sen \alpha - \sen^2 \alpha$

Por otro lado:  $\cos 2\alpha + i \sen 2\alpha$

Como es el mismo número complejo, las partes real e imaginaria han de coincidir, entonces:

$$ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha $$ $$ \sen 2 \alpha = 2\cos \alpha \sen \alpha $$ 

$\bullet \quad $ Veamos el caso $n = 3$, las fórmulas del ángulo triple:

Por un lado tenemos: $\left ( \cos \alpha + i \sen \alpha \right )^3 = \cos^3 \alpha + 3i\cos^2 \alpha \sen \alpha + 3 \cos \alpha (i \cdot \sen \alpha)^2 + (i \cdot \sen \alpha )^3 = $ $$ = \cos^3 \alpha + 3i\cos^2 \alpha \sen \alpha - 3 \cos \alpha \sen^2 \alpha - i \sen^3 \alpha $$

Por otro lado:  $\cos 3\alpha + i \sen 3\alpha$

Como es el mismo número complejo, las partes real e imaginaria han de coincidir, entonces:

$$ \cos 3 \alpha = \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha \sen^2 \alpha = \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha (1 - \cos^2 \alpha) = 4\cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha $$ $$ \sen 3 \alpha = 3\cos^2 \alpha \sen \alpha - \sen^3 \alpha = 3(1 - \sen^2 \alpha ) \sen \alpha - \sen^3 \alpha = 3 \sen \alpha - 3 \sen^3 \alpha - \sen^3 \alpha = 3 \sen \alpha - 4 \sen^3 \alpha $$

Operaciones con números complejos

    Las distintas expresiones utilizadas para representar un número complejo, nos deben hacer plantearnos cuál de ellas es la más adecuada para la realización de las distintas operaciones con números complejos.

Teorema: Sea $a(x)$ un polinomio con coeficientes reales, $a_i \in \R \ \forall i = 0, 1, 2, \ldots, n$: $$a(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots +a_{1} x+a_{0}$$ y sea $z \in \mathbb{C}$ es una raíz de $a(x)$, es decir $a(z) = 0 $, entonces $\bar{z}$ es también raíz de $a(x)$, es decir, $a(\bar{z}) = 0$.

Demo: Al ser $z$ raíz de $a(x)$ sabemos que $$ a(z) = a_{n} z^{n} + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_{1} z + a_{0} = 0 $$
Ahora bien, utilizando propiedades del conjugado de un número complejo y el hecho de que los coeficientes del polinomio son números reales, tenemos que:
$$\begin{aligned} a(\bar{z}) &=a_{n} \bar{z}^{n}+a_{n-1} \bar{z}^{n-1}+\cdots+a_{1} \bar{z}+ a_{0} = \\ & =\bar{a}_{n} \bar{z}^{n}+\bar{a}_{n-1} \bar{z}^{n-1}+\cdots+\bar{a}_{1} \bar{z}+a_{0} = \\ &=\overline{a_{n} z^{n}}+\overline{a_{n-1} z^{n-1}}+\dots+\overline{a_{1} z}+\overline{a_{0}} = \\ & =\overline{a_{n} z^{n}+a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_{1}z+a_{0} } = \overline{0} = 0 \end{aligned}$$

SM Ejercicio 141 de varias formas

 Vamos a resolver el siguiente ejercicio de tres formas diferentes a como lo hace el solucionario. 

El ejercicio dice lo siguiente: 

141. Del cuadrado ABCD, se conocen las coordenadas del punto $A(8, 7)$ y que los puntos $B$ y $C$ pertenecen a la recta de ecuación $3x - 4y =19$.

a) ¿Cuáles son las coordenadas de los otros tres vértices?

b) Halla el perímetro y el área del cuadrado.

Ver esquema del problema: 

1.- Con rectas y resolver sistemas asociados:

Podemos calcular la perpendicular a la recta $r$ que pasa por el punto $A$ que la llamaremos $s$ y la paralela a $r$ pasado por $A$ que la llamaremos $t$: 

- $s \perp r$ y $A \in s$ luego $s$ será de la forma $4x + 3y + K = 0$ y $K$ se calcula obligando a que $A \in s$: 

$$ 4 \cdot 8 + 3 \cdot 7 + K = 0 \Rightarrow K = -53 \Rightarrow s: 4x + 3y - 53 = 0 $$

- $t \parallel r$ y $A \in t$ luego $t$ será de la forma $3x - 4y + L = 0$ y $L$ se calcula obligando a que $A \in t$: 

$$ 3 \cdot 8 - 4 \cdot 7 + L = 0 \Rightarrow L = 4 \Rightarrow s: 3x - 4y + 4 = 0 $$

Y ahora tenemos que calcular una recta $p$ que esté a la misma distancia de $s$ que lo están el punto $A$ y la recta $r$. Dicha distancia es la longitud del lado y entonces podremos responder al apartado b) del ejercicio: 

$$d(A, r ) = \dfrac{ | 3 \cdot 8 - 4 \cdot 7 - 19}{ \sqrt{3^2 + (-4)^2} } = \dfrac{| -23 |}{ \sqrt{25} } = \dfrac{23}{5} $$ 

Luego el perímetro $p = 4 \cdot \dfrac{23}{5} = \dfrac{92}{5} $ y el área $ Área = \Bigg ( \dfrac{23}{5} \Bigg )^2 = \dfrac{529}{25} $ 

Volvemos al problema y tenemos que calcular una recta $p$ que esté a distancia $\dfrac{23}{5}$ de $s$. Lo que ya sabemos es que $p$ es paralela a $s$ y por tanto es de la forma $p: 4x + 3y + J = 0$ y para calcular $J$ tenemos que calcular la distancia entre dos restas: 

$$ d(p, s) = \dfrac{23}{5} \Rightarrow \dfrac{23}{5} = \dfrac{| J + 53 | }{\sqrt{4^2 + 3^2}} $$ 

Haciendo cuentas tenemos: 

$$ \dfrac{23}{5} =  \dfrac{| J + 53 | }{5} \Rightarrow 23 = | J + 53| $$ 

Lo que nos da dos ecuaciones para la recta $p$: 

• $23 = J + 53 \Rightarrow J = -30 \Rightarrow p_1: 4x + 3y  = 30$
• $-23 = J + 53 \Rightarrow J = -76 \Rightarrow p_2: 4x + 3y  = 76$ 

Eso quiere decir que tenemos dos soluciones: 

La 1ª con la recta $p_1$: 

Vamos a calcular los otros 3 vértices:

• El punto $B$ es la intersección de las rectas $r$ y $s, B = r \cap s $ tenemos que resolver el siguiente sistema: 

$$ \begin{array}{l} \cases{ 3x - 4y = 19 \xrightarrow 3 \cr \cr 4x + 3y = 53 \xrightarrow 4 } \\ \ \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \cases{9x - 12y \ = \ 57 \cr \cr  \underline{\ 16x + 12y \ = 212} } \\ \ \ \ \  25x  \ \ \ \ \ \ \ \  \ = \ 269 \Rightarrow x = \dfrac{269}{25} \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \cases{ 3x - 4y = 19 \xrightarrow {(-4)} \cr \cr 4x + 3y = 53 \xrightarrow 3 } \\ \ \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \cases{-12x +16y \ = \ -76 \cr \cr  \underline{\ 12x + 9y \ = 159} } \\ \ \ \ \  \ \ \ \ \ \ \ \ 25y  \ = \ 83 \Rightarrow y = \dfrac{83}{25} \end{array} $$

$$ B = \left ( \dfrac{269}{25}, \dfrac{83}{25} \right ) $$ 

• $C = r \cap p_1$ tenemos que resolver el siguiente sistema: 

$$ \begin{array}{l} \cases{ 3x - 4y = 19 \xrightarrow 3 \cr \cr 4x + 3y = 30 \xrightarrow 4 } \\ \ \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \cases{9x - 12y \ = \ 57 \cr \cr  \underline{\ 16x + 12y \ = 120} } \\ \ \ \ \  25x  \ \ \ \ \ \ \ \  \ = \ 177 \Rightarrow x = \dfrac{177}{25} \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \cases{ 3x - 4y = 19 \xrightarrow {(-4)} \cr \cr 4x + 3y = 53 \xrightarrow 3 } \\ \ \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \cases{-12x +16y \ = \ -76 \cr \cr  \underline{\ 12x + 9y \ = 90} } \\ \ \ \ \  \ \ \ \ \ \ \ \ 25y  \ = \ 14 \Rightarrow y = \dfrac{14}{25} \end{array} $$

$$ C = \left ( \dfrac{177}{25}, \dfrac{14}{25} \right ) $$ 

• $D = p_1 \cap t$ tenemos que resolver el siguiente sistema: 

$$ \begin{array}{l} \cases{ 3x - 4y = -4 \xrightarrow 3 \cr \cr 4x + 3y = 30 \xrightarrow 4 } \\ \ \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \cases{9x - 12y \ = -12 \cr \cr  \underline{\ 16x + 12y \ = 120} } \\ \ \ \ \  25x  \ \ \ \ \ \ \ \  \ = \ 108 \Rightarrow x = \dfrac{108}{25} \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \cases{ 3x - 4y = -4 \xrightarrow {(-4)} \cr \cr 4x + 3y = 53 \xrightarrow 3 } \\ \ \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \cases{-12x +16y \ = \ 16 \cr \cr  \underline{\ 12x + 9y \ = 90} } \\ \ \ \ \  \ \ \ \ \ \ \ \ 25y  \ = \ 106 \Rightarrow y = \dfrac{106}{25} \end{array} $$

$$ D = \left ( \dfrac{108}{25}, \dfrac{106}{25} \right ) $$ 

Veamos la resolución gráfica mediante GeoGebra: 

Resolver el ejercicio con la recta $p_2$ se hace de la misma forma. 

2.- Forma, con vectores: 

Lo primero calculamos el punto $B$, para ello trazamos la perpendicular $s$ a $r$ que pasa por el punto $A$ y el punto $B$ será la intersección de dichas rectas. Lo hacemos exactamente igual que en la primera forma eso no cambia. 

Ahora calculamos el vector  $\overrightarrow{AB} = \left ( \dfrac{269}{25} - 8, \dfrac{83}{25} - 7 \right ) = \left ( \dfrac{69}{25}, \dfrac{-92}{25} \right ) $ 

Ahora calculamos el vector $\vec{v} \perp \vec{u}$, en este caso tenemos dos posibilidades: 

• 1ª opción: $\vec{v} =  \left ( \dfrac{-92}{25}, \dfrac{-69}{25} \right ) $
• 2ª opción: $\vec{v} =  \left ( \dfrac{92}{25}, \dfrac{69}{25} \right ) $

Nosotros vamos a usar el vector $\vec{v} =  \left ( \dfrac{-92}{25}, \dfrac{-69}{25} \right ) $. Así ahora calculamos el punto $C$ 

$$C = B + \vec{v} = \left ( \dfrac{177}{25}, \dfrac{14}{25} \right )  + \left ( \dfrac{-92}{25}, \dfrac{-69}{25} \right ) = \left ( \dfrac{177}{25}, \dfrac{14}{25} \right ) $$

Ahora calculamos el punto $D$ 

$$D = C - \vec{u} = \left ( \dfrac{177}{25}, \dfrac{14}{25} \right ) - \left ( \dfrac{69}{25}, \dfrac{-92}{25} \right ) = \left ( \dfrac{108}{25}, \dfrac{106}{25} \right ) $$

Veamos la resolución gráfica mediante GeoGebra: 

3ª Forma, trazando la recta que pasa por el punto $A$ y forma un ángulo de ${45}^{\circ}$ con la recta $r$.

Recordemos que la pendiente de una recta $m = \tg (\alpha)$ siendo $\alpha$ el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje $OX$.

Así, la pendiente de la recta $r$ es $ m_r = \dfrac{3}{4}$ y tenemos que calcular la pendiente de la recta $s, \ m_s$ que formará un ángulo de ${45}^{\circ}$ con la recta $r$. 

Así 

$$ \tg \left ({45}^{\circ} \right ) = \Bigg | \dfrac{m_s - m_r}{1 + m_s \cdot m_r} \Bigg | $$ 

Es decir 

$$ 1 = \Bigg | \dfrac{m_s - \dfrac{3}{4} }{1 + m_s \cdot \dfrac{3}{4} } \Bigg | $$ 

Al ser un valor absoluto o módulo esto nos dará dos ecuaciones: 

1ª.-  Cogiendo el valor positivo de la igualdad 

$$ 1 =  \dfrac{m_s - \dfrac{3}{4} }{1 + m_s \cdot \dfrac{3}{4} } \Rightarrow 1 + m_s \cdot \dfrac{3}{4} = m_s - \dfrac{3}{4} \Rightarrow \dfrac{7}{4} =  \dfrac{m_s}{4} \Rightarrow m_s = 7 $$

La ecuación de la recta que forma un ángulo de ${45}^{\circ}$ con la recta $r$ es la recta:

$$y - 7 = 7 \cdot (x -8) \Rightarrow y - 7 = 7x - 56 \Rightarrow  s: 7x -y - 49 = 0 $

Ahora calculamos el punto $C$, que es el punto de intersección de la recta $r$ y $s$: 

$$ \begin{array}{l} \cases{ 3x - 4y = 19 \xrightarrow 1 \cr \cr 7x - \ y = 49 \xrightarrow {-4} } \\ \ \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \cases{3x - 4y \ = \ 19 \cr \cr  \underline{- 28x + \ 4y \ = -196} } \\ \ \ \ \  -25x  \ \ \ \ \ \ \ \  \ = \ -177 \Rightarrow x = \dfrac{177}{25} \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \cases{ 3x - 4y = 19 \xrightarrow {(7)} \cr \cr 7x  - \ y = 49 \xrightarrow {-3} } \\ \ \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} \cases{ 21x - 28y \ = \ 133 \cr \cr  \underline{ -21x + 3y \ = -147} } \\ \ \ \ \  \ \ \ \ \ \ \ \ -25y  \ = \ -14 \Rightarrow y = \dfrac{14}{25} \end{array} $$

$$ C = \left ( \dfrac{177}{25}, \dfrac{14}{25} \right ) $$ 

Tenemos el segmento $\overline{AC}$, calculamos el punto medio de dicho segmento $M$: 

$$M = \left ( \dfrac{8 + \dfrac{177}{25} }{2}, \dfrac{7 + \dfrac{14}{25} }{2} \right ) = \left ( \dfrac{ 377}{50}, \dfrac{189 }{50} \right ) $$

Ahora calcularemos el punto $D$ como el punto simétrico de $B$ respecto de $M$, así si $D = (d_1, d_2)$: 

$$M =  \left ( \dfrac{ 377}{50}, \dfrac{189 }{50} \right ) = \left ( \dfrac{d_1 + \dfrac{269}{25} }{2}, \dfrac{d_2 + \dfrac{83}{25} }{2} \right ) $$

Si despejamos $d_1$ y $d_2$ tenemos: 

$$d_1 =  \dfrac{ 377}{25} - \dfrac{269}{25} = \dfrac{108}{25}$$

$$d_2 =  \dfrac{ 189}{25} - \dfrac{83}{25} = \dfrac{106}{25}$$

El punto $D = \left ( \dfrac{108}{25},  \dfrac{106}{25} \right ) $

Veamos la resolución gráfica mediante GeoGebra: 

2ª.-  Cogiendo el valor negativo de la igualdad 

$$ -1 =  \dfrac{m_s - \dfrac{3}{4} }{1 + m_s \cdot \dfrac{3}{4} } \Rightarrow -1 - m_s \cdot \dfrac{3}{4} = m_s - \dfrac{3}{4} \Rightarrow \dfrac{-1}{4} =  \dfrac{7m_s}{4} \Rightarrow m_s = \dfrac{-1}{7} $$

El resto del proceso sería el mismo pero la recta $s$ sería el mismo, es decir: 

La ecuación de la recta que forma un ángulo de ${135}^{\circ}$ con la recta $r$ es la recta:

$$y - 7 =  \dfrac{-1}{7} \cdot (x -8) \Rightarrow 7y - 49 = -x + 8 \Rightarrow  s: x + 7y = 57 $

Y se termina el ejercicio. 

Vectores (libres y fijos). Ecuaciones de la recta vectorial, paramétricas, continua, general, punto pendiente y explícita.

Vamos a ver la definición de vector y sus componentes; y como calcular las diferentes ecuaciones de la recta.

Vector. Componentes de un vector. Vectores equipolentes. Vector libre y fijo.

Un vector es un segmento orientado en el plano. Los componentes de un vector son:

• Origen: Punto donde empieza el vector.
• Extremo: punto donde acaba el vector.
• Módulo: es la longitud del segmento.
• Dirección: es la misma que la de la recta que lo contiene.
• Sentido: el que va del del origen al extremo.

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Un vector fijo es un representante del vector libre.

Calcular las componentes de un vector.

Un vector $\vec{v}$ se define por sus coordenadas $\vec{v} = (v_{x}, v_{y})$.

Un vector viene definido por sus coordenadas $x$ e $y$. Si no sabemos las coordenadas del vector $\vec{v}$, pero sabemos las coordenadas de los puntos que lo definen, su origen $P$ y su extremo $Q$, podemos calcular las coordenadas del vector que serán las coordenadas del extremo menos las del origen:

$\overrightarrow{PQ}$ = coordenadas de $Q$ - coordenadas de $P$, o si elegimos el vector opuesto:

$\overrightarrow{QP}$ = coordenadas de $P$ - coordenadas de $Q$.

Ejemplo, sea el vector definido por los puntos $P(2, 3)$ y $Q(5, 1)$, entonces:

las coordenadas del vector $\vec{u} = \overrightarrow{PQ} = (5, 1) - (2, 3) = (3, -2)$, y

las coordenadas del vector $\vec{v} = \overrightarrow{QP} = (2, 3) - (5, 1) = (-3, 2)$.

Vector perpendicular a uno dado: 

Para calcular un vector perpendicular a uno dado, es muy fácil, se permuta la coordenada $x$ por la $y$ y después se cambia de signo a una de ellas. 

Veamos, sea $\vec{v} = (v_{x}, v_{y})$ un vector perpendicular a $ \vec{v}$ sería $ (v_{y}, - v_{x})$ o $ (- v_{y}, v_{x})$

Ejemplo: Calcula un vector perpendicular a $\vec{v} = (1, 3)$. Como hemos visto tenemos dos opciones: 

1. $\vec{w_1} = (3, -1)$
2. $\vec{w_2} = (-3, 1)$

Ambos vectores son perpendicular a $\vec{v}$ porque su producto escalar es cero. 

Vector unitario: es un vector de módulo 1.  Sea $\vec{v} = (v_{x}, v_{y})$ se dice unitario si 

$$ | \vec{v} | = \sqrt{v_{x}^2 + v_{y}^2} = 1 $$

Ejemplo: $\vec{v} = \left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2} \right )$

$$ | \vec{v} | = \sqrt{v_{x}^2 + v_{y}^2} = \sqrt{ \left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left ( \dfrac{1}{2} \right)^2 } = \sqrt{ \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} } = \sqrt{1} = 1 $$

Calculo de un vector unitario:

Siempre que tengamos un vector $\vec{a}$ es muy fácil calcular un vector proporcional a $\vec{a}$ y unitario. Para ello usaremos la siguiente propiedad: 

$$ |k \cdot \vec{u}| = |k| \cdot |\vec{u}| \ \forall k \in \mathbb{R}, \forall \ \vec{u} $$

Así, si queremos que el $ |k \cdot \vec{u}|  = 1 \Rightarrow |k| = \dfrac{1}{|\vec{u}|} \Rightarrow k =  \dfrac{\pm 1}{|\vec{u}|}$ 

Veamos un ejemplo: $\vec{a} = \left (12, 5 \right )$. Calculamos su módulo: 

$$ | \vec{a} | = \displaystyle \sqrt{ \strut {12}^2 + {5}^2} = \sqrt{ \strut 144 + 25 } = \sqrt{ 169 } = 13 $$

Ahora lo que hacemos es multiplicar el $\vec{a}$ por el inverso del módulo de $\vec{a}$: 

$$ \dfrac{1}{13} \cdot (12, 5) =  \left (\dfrac{12}{13}, \dfrac{5}{13} \right ) $$

y si calculamos su módulo tenemos: 

$$ | \vec{a} | = \sqrt{ \left ( \dfrac{12}{13} \right)^2 + \left ( \dfrac{5}{13} \right)^2 } = \sqrt{ \dfrac{144}{169} + \dfrac{25}{169} } = \sqrt{ \dfrac{169}{169} } = \sqrt{1} = 1 \checkmark $$

Otra opción sería coger el vector 

$$ \dfrac{-1}{13} \cdot (12, 5) =  \left (\dfrac{-12}{13}, \dfrac{-5}{13} \right ) \text{que también tienen módulo 1} $$

Ecuación de la recta que pasa por el punto $\mathbf{P}$ con vector director $\vec{v}$. Enlace del recurso en GeoGebra.
A partir de un punto y un vector podemos calcular las ecuaciones de la recta:
- Ecuación vectorial
- Ecuaciones paramétricas
- Ecuación continua
- Ecuación general
- Ecuación punto pendiente
- Ecuación explícita
- Ecuación segmentaria
El punto P se puede modificar, cambiando las coordenadas en la casilla de entrada o arrastrándolo en el plano.
El vector $\vec{u}$ también se puede modificar, cambiando las coordenadas en la casilla de entrada o arrastran el extremo final que lo define el plano.
El punto verde, es cualquier punto de la recta. Se puede desplazar con el ratón o le puedes dar al
botón de play.

La recta $r$ viene definida por el punto $\mathbf{P} = (x_{0}, y_{0})$ y el vector $\vec{v} = (a, b)$.

Un punto cualquiera $X = (x , y)$ de la recta $r$, se representa por el vector posición $\overrightarrow{OX} =\ (x,\ y)$ con las mismas componentes que el punto. Con el punto $P$ y su vector posición $\overrightarrow{OP}$ pasa lo mismo. El vector $\overrightarrow{OX}\ = \ \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PX} $. Además, el vector $\overrightarrow{PX}\ =\ t \cdot \vec{v}, \ t \in \mathbb{R}$.

$$ \overrightarrow{OX}\ = \ \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PX} \qquad \text{sustituyendo} \ \ \   \overrightarrow{PX} = t \cdot \vec{v}, \ t \in \mathbb{R} $$

nos queda la ecuación vectorial de la recta:

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $\qquad \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OP} + t \cdot \vec{v} , t \in \mathbb{R} \qquad $ } } $$

$$ \text{Por coordenadas tenemos las ecuaciones paramétricas de la recta} \qquad (x, y) = (x_{0}, y_{0}) + t \cdot (a, b), \ t \in \mathbb{R}  $$

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $\text{Ecuaciones paramétricas} \qquad \cases{ x = x_{0} + a \cdot t \cr \cr y = y_{0} + b \cdot t } , t \in \mathbb{R} $ } } $$

En las ecuaciones paramétricas, vemos que el vector $\overrightarrow{PX} = (x - x_0, y - y_0)$ es paralelo al vector $\vec{v}$. Así obtenemos la ecuación continua de la recta:

$$ \overrightarrow{PX} \parallel \vec{v} \Leftrightarrow \dfrac{x - x_0}{ a } =  \dfrac{y - y_0}{ b } \qquad \text{Entonces tenemos la} $$ $$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $\text{Ecuación continua} \qquad \large \dfrac{x - x_{0}}{a} = \dfrac{y - y_{0}}{b} $ } } $$

Si quitamos denominadores multiplicando en cruz tenemos:

$a \cdot (x - x_{0}) = b \cdot (y - y_{0})$, es decir, $ax - by + by_{0} - ax_{0} = 0$. Hacemos los siguientes cambios $A = a, B = -b$ y $C = by_{0} - ax_{0}$ para obtener la ecuación general de la recta:

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $\text{Ecuación general} \qquad \large Ax + By + C = 0 $ } } $$

Si en la ecuación continua de la recta, despejamos el término $y - y_{0}$ y hacemos que $m = \dfrac{b}{a}$, tenemos la ecuación punto pendiente de la recta, donde $m$ es la pendiente: 

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $\text{Ecuación punto pendiente} \qquad \large y - y_{0} = m \cdot (x - x_{0})$ } } $$

De la ecuación punto pendiente, si despejamos $y$ tendremos: 

$ y - y_{0} = m \cdot (x - x_{0})$, tenemos $ y = y_{0} + m(x - x_{0})$ y operando $y = mx + y_{0} - mx_{0}$, hacemos que $n = y_{0} - m \cdot x_{0} $, obtenemos la ecuación explícita de la recta, donde $n$ es la ordenada en el origen:

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $\text{Ecuación explícita} \qquad \large y = m \cdot x + n$ } } $$

Ejemplo: Vamos a calcular las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto  $P = (2, 3)$ y vector director $\vec{v} = (1, -2)$.

$$ \large \text{ Vamos con la ecuación vectorial: } \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OP} + t \cdot \vec{v}, \ t \in \mathbb{R}$$ 

$$ \large \boxed{   \text{Ecuación vectorial } \qquad \large (x, y) = (2, 3) + t \cdot (1, -2) , t \in \mathbb{R} \qquad } $$

Vamos a por las ecuaciones paramétricas:

$$ \large \boxed{   \qquad                     \text{Ecuaciones paramétricas} \qquad \large \cases{  x =  2 + t \cr \cr y = 3 - 2 \cdot t } , t \in \mathbb{R} } $$

Calculamos la ecuación continua, recordamos que un punto cualquiera de la recta $X = (x, y)$, junto con el punto $P$ forma el vector $\overrightarrow{PX}$ que es paralelo a $\vec{v}$. Así: 

$$ \large \boxed{   \qquad                     \text{Ecuación continua} \qquad \large x - 2 = \dfrac{y - 3}{-2} } $$

Vamos con la ecuación general:

$$ x - 2 = \dfrac{y - 3}{-2} \Leftrightarrow -2 \cdot (x - 2) = (y - 3) \Leftrightarrow -2x + 4 = y - 3 $$

$$ \large \boxed{   \qquad                     \text{Ecuación general} \qquad \large 2x + y - 7 = 0 } $$

Ahora con la ecuación punto pendiente: 

$$ x - 2 = \dfrac{y - 3}{-2} \Leftrightarrow y - 3 = -2 \cdot (x - 2), \text{la pendiente es -2 } $$

$$ \large \fbox{   $\qquad                \text{Ecuación punto pendiente} \qquad \large y - 3 = -2 \cdot (x - 2) $ } $$

Y por último la ecuación explícita: 

$$ y - 3 = -2 \cdot (x - 2) \Leftrightarrow y = -2x + 4 + 3 \Leftrightarrow y = -2x + 7 $$

La pendiente es -2 y la ordenada en el origen es 7.

$$ \large \boxed{   \qquad                     \text{Ecuación explícita} \qquad \large y = -2x + 7 } $$

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos $P$ y $Q$

Sean los puntos $P = (x_{0}, y_{0})$ y $Q = (x_{1}, y_{1})$, definimos el vector $\vec{v}$ que puede ser el vector $\overrightarrow{PQ} = (x_{1} - x_{0}, y_{1} - y_{0})$ o el vector $\overrightarrow{QP} =  (x_{0} - x_{1}, y_{0} - y_{1})$. Y ahora ya tenemos el vector $\vec{v}$ y podemos coger uno de los dos puntos $P$ ó $Q$.

Ecuación continua de la recta que pasa por $P$ y vector director $\overrightarrow{PQ}$ o 

$$ \large \boxed{   \qquad                     \text{Ecuación continua de la recta que pasa por dos puntos } \qquad \large \dfrac{x - x_{0}}{x_{1} - x_{0}} = \dfrac{y - y_{0}}{y_{1} - y_{0}} } $$

Ejemplo: Ecuaciones de la recta que pasa por los puntos $P = (3, -1)$ y $Q = (2, -4)$. 

El vector $\overrightarrow{PQ} = (2 - 3, -4 + 1) = (-1, -3)$ o el vector $\overrightarrow{QP} = (3 - 2, -1 + 4) = (1, 3)$ 

Ahora cogemos uno de los dos vectores y uno de los dos puntos $P$ o $Q$ y aplicamos el ejemplo anterior.