Autor del blog  Raαε  IRa´πz  Gaτςι´@R2G


El aprendizaje ocurre cuando alquien quiere aprender, no cuando alguien quiere enseñar. «Roger Schanck»


Si quieres aprender enseña. «Cicerón»


Cuando uno enseña, dos aprenden. «Robert Heinlein»


Si la gente no cree que las matemáticas son sencillas, es sólo porque no se da cuenta de lo complicada que es la vida. «John Von Neumann»

«George Polya» dijo una vez: «Es mejor resolver un problema de 5 formas diferentes que resolver 5 problemas de la misma forma».

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El humor es importante.

Matemáticas, humor y +.

Hay que tomarse siempre las cosas con un poco de humor ... con mucho humor y más humor ¿Quién no ha pasado por estos estado...

sábado, 20 de febrero de 2021

Problemas de proporcionalidad compuesta

Resolución de los problemas de proporcionalidad

En todos estos problemas aparecen 2 o más magnitudes y se resuelven planteando una regla de tres COMPUESTA (sigue estos pasos):

  • 1.- Escribimos todas las magnitudes que aparecen con la unidad en que las vamos a medir.
  • 2.- Leemos el problema y colocamos las cantidades en la magnitud correspondiente. Recuerda que si no están en la misma unidad hay que pasarlas a la misma unidad. Llamamos «x» a la cantidad que tenemos que calcular.
    • 3.- Comparamos cada magnitud con la magnitud en la que está la «x» para saber si es directa o inversa: utilizamos las letras «d» e «i». Recuerda que es muy importante hacerse un esquema. Tenemos que buscar siempre la relación de la magnitud que nos piden con el resto. 
      • Será Directa, si al aumentar/disminuir una magnitud la otra también aumenta/disminuye; 

      • Será Inversa, si al aumentar/disminuir una magnitud la otra también disminuye/aumenta.  

    • 4.- Escribimos primero la fracción de la magnitud en la que está la «x» seguida del signo «=» , después escribimos el producto de las fracciones de las otras magnitudes teniendo en cuenta que:
      • Si es Directa formamos la fracción números igual que aparecen en la regla de tres.
      • Si es Inversa escribimos la fracción inversa.
    • 5.- Resolvemos la proporción y tenemos la solución del problema.
    Veamos algunos ejemplos: 

    Ejemplo 1: Dos magnitudes directamente proporcionales
    Un grupo de 8 amigos pagó 960€ por su estancia de 3 días en un hotel. ¿Cuánto costaba la estancia diaria de cada amigo?

    Veamos el esquema

    Con la regla de 3 compuesta: 
    8131=960x83x=960x=96083=1203=40 € costará la estancia diariade cada amigo

    Por reducción a la unidad:
    AmigosDías83960Dividimimos entre 8Dividimimos entre 813120Dividimimos entre 3Dividimimos entre 311 40
    Un amigo paga por un día 40€.

    Ejemplo 2: Dos magnitudes una directa y otra inversamente proporcional
    En 7 días, 8 máquinas han cavado una zanja de 1.400 m de largo. ¿Cuántas máquinas serán necesarias para cavar 300 m. de zanja en 6 días?

    Veamos el esquema que hemos de hacer


    Con la regla de 3 compuesta: 
    671.400300=8x   Simplificando 
    67143=8x614x=837x=837614=8362=2  máquinas serán necesarias
    Por reducción a la unidad:
    DíasMetrosMáquinas71400 8Dividimos entre 2Dividimos entre 27700 4Dividimos entre 7Multiplicamos por 7170028Dividimos entre 7Dividimosentre 71100 4Multiplicamos por 3Multiplicamos por 31300 12Multiplicamos por 6Dividimos entre 663002

    Serán necesarias 2 máquinas.

    Ejemplo 3: Las dos magnitudes inversamente proporcionales
    Para limpiar un monte en 5 días se necesitan 8 personas trabajando 6 horas al día. ¿Cuántos días tardarán 6 personas si trabajan 5 h al día? 

    Veamos el esquema


    Usando la regla de 3 compuesta: 
    6856=5x65x=865x=86565=8  días tardarán

    Por reducción a la unidad:
    PersonasHorasDías86 5Dividimos entre 4Multiplicamos por 42620Dividimos entre 6Multiplicamos por621120Multiplicamos por 3Dividimos entre 36140Multiplicamos por 5Dividimos entre 565 8

    Tardarán 8 días.

    Ejemplo 4: Intervienen cuatro magnitudes en el problema 
    Veinte obreros han tendido 400 m de cable durante 6 días, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros durante 14 días para tender 700 m de cable?

    Veamos el esquema


    Usando la regla de 3 compuesta: 
    2420400700146=8x   Simplificando 
    654773=8x647x=5738x=5738647=53864=5  horas días serán necesarias

    Por reducción a la unidad:
    ObrerosMetrosDíasHoras2040068Dividimos entre 5Multiplicamos por 54400640Dividimosentre 4Dividimos entre 44100610Dividimos entre 3Multipicamos por 34100230Multiplicamos por 6Dividimos entre 62410025Multipicamos por 7Multipicamospor 724700235Multipicamos por 7Dividimos entre 724700145

    5 horas serían necesarias.






    Variable incógnita: horas.
    Relación entre las magnitudes:
    • Mangueras-Horas: Cuantas más mangueras, menos horas se necesitan. Es una proporcionalidad inversa.
    • Litros-Horas: Cuantos más litros de agua, más horas se necesitan. Es una proporcionalidad directa.
    Por reducción a la unidad:
    ManguerasLitrosHoras618.000 3Dividimos entre 6Multiplicamos por 6118.00018Dividimos entre 18Dividimos entre 1811.000 1Multiplicamos por 128Multiplicamos por 1281128.000128Multiplicamos por 4Dividimos entre 44128.00032
    32 horas tardarán.

    Usando la regla de tres compuesta: 4618.000128.000=3x   Simplificando  23964=3x29x=3643x=336492=642=32  horas son necesarias






    Variable incógnita: €
    Relación entre las magnitudes:
    • kg - €: Cuantos más kg, más €. Es una proporcionalidad directa.
    • km - €: Cuantas más km, más €. Es una proporcionalidad directa.
    Por reducción a la unidad:
    kgkm € 560 9Dividimos entre 5Dividimos entre 5160 9/5Dividimos entre 60Dividimos entre 60113/100Multiplicamos por 200Multiplicamos por 20012006Multiplicamos por 50Multiplicamos por 5050200300
    300 € costará.

    Usando la regla de tres compuesta:  5 50 60 200= 9 x   Simplificando   1 10 3 10= 9 x3x=91010x= 91010 3= 900 3=300   € costará






    Variable incógnita: Años.
    Relación entre las magnitudes:
    • Programadores - años: Cuantos más programadores, menos años. Es una proporcionalidad inversa.
    • Horas - años: Cuantas más horas, menos años se necesitan. Es una proporcionalidad inversa.
    Por reducción a la unidad:
    ProgramadoresHorasAños85 3Dividimos entre 8Multiplicamos por 815 24Dividimos entre 5Multiplicamos por 511120Multiplicamos por 6Dividimos entre 61620Multiplicamos por 10Dividimos entre 101062
    2 años tardarán.

    Usando la regla de tres compuesta:  10 8 5 6= 3 x   Simplificando   5 4 6 5=3x56x=453x= 345 56= 12 6=2  años tardarán






    Variable incógnita: Días.
    Relación entre las magnitudes:
    • Obreros - Días: Cuantos más obreros, menos días. Es una proporcionalidad inversa.
    • Horas - Días: Cuantas más horas, menos días. Es una proporcionalidad inversa.
    • Metros - Días: Cuantas más días, más metros. Es una proporcionalidad directa.
    Por reducción a la unidad:
    ObrerosHorasMetrosDías12 8 50 25÷12×12 1 8 50300÷8×8 1 1 502400÷50÷50 1 1 148×100×100 1 1 1004800×10÷10 1 10 100480×5÷5 5 10 10096
    96 días tardarán

    Usando la regla de tres compuesta:  5 12 10 8 50 100= 25 x   Simplificando   5 12 5 4 1 2= 25 x25x=9625x= 9625 25=96   días \ tardarán 






    Variable incógnita: Días.
    Relación entre las magnitudes:
    • Caballos - Días: A más caballos, menos días y viceversa. Es una proporcionalidad inversa.
    • Kg - Días: A más caballos, más kg y viceversa. Es una proporcionalidad directa.
    Por reducción a la unidad:
    CaballosPiensoDías560 4Dividimos entre 5Multiplicamos por 5160 20Dividimos entre 60Dividimos entre 60111/3Multiplicamos por 360Multiplicamos por 3601360120Multiplicamos por 8Dividimos entre 882015
    15 días podrá alimentar.

    Usando la regla de tres compuesta:  8 5 60 360= 4 x   Simplificando   8 5 1 6= 4 x81x=564x= 465 8= 35 1=15   15 días podrá alimentar






    Variable incógnita: Fuentes.
    Relación entre las magnitudes:
    • Horas - fuentes: A más horas, menos fuentes y viceversa. Es una proporcionalidad inversa.
    • Litros - fuentes: A más litros.menos horas y viceversa. Es una proporcionalidad inversa.
    Por reducción a la unidad:
    HorasLitrosFuentes812 5Dividimos entre 8Multiplicamos por 8112 40Dividimos entre 12Multiplicamos por 1211480Multiplicamos por 20Dividimos entre 2012024Multiplicamos por 6Dividimos entre 66204
    4 fuentes abrirán.

    Usando la regla de tres compuesta:  6 8 20 12= 5 x   Simplificando   1 2 5 2= 5 x51x=225x= 225 5= 4 1=4   4 fuentes abrirán





    viernes, 19 de febrero de 2021

    Repartos directamente proporcionales e inversamente proporcionales.

    Repartos directamente proporcionales
    Consiste en repartir una cantidad en partes directamente proporcionales a otras cantidades.

    Queremos repartir una cantidad N de forma directamente proporcional a las cantidades a,b,c,. A cada cantidad le tocará la parte proporcional de forma que se cumplirá:

    1. La razón de proporcionalidad r=N a+b+c+ 
    2. pa es lo que se lleva a, pb lo que se lleva b
      pa=ar, pb=br, pc=cr
    3. La suma de todas las partes es la cantidad a repartir pa+pb+pc+=N; y
    4.  pa a= pb b== pa+pb+pc+ a+b+= N  a+b+c+=r donde r es la constante de proporcionalidad 
    Para saber la cantidad pa que se llevará el que le toca ca, para cada uno tenemos que calcular:

    r= pa apa=ra

    r= pb bpb=rb

    r= pc cpc=rc

    Veamos un ejemplo: 

    Entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad respectivamente, un abuelo reparte 450€ de forma directamente proporcional a sus edades. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

    En este caso se reparte en 3 partes, es decir tenemos que repartir entre 3 la cantidad de 450€. Así a=8,b=12 y c=16 y le tocarán las cantidades respectivamente pa,pb y pc de forma que pa+pb+pc=450

    Vamos a calcular la constante de proporcionalidad r:

    r= pa 8= pb 12= pc 16=pa+pb+pca+b+c=45036= 25 2

    Así  pa a=rpa=ra,  pb b=rpb=rb y  pc c=rpc=rc

     pa 8=252pa=2528=254=100

     pb 12=252pb=25212=256=150

     pc 16=252pc=25216=258=200

    Para terminar el ejercicio, sumamos todas las partes, es decir, pa+pb+pc=100+150+200=450 y comprobamos que hemos repartido la cantidad que teníamos, ni más ni menos.

    Repartos inversamente proporcionales

    Queremos repartir una cantidad N de forma inversamente proporcional a las cantidades a,b,c,. Y un reparto inversamente proporcional a las cantidades a,b,c, es un reparto directamente proporcional a las cantidades de sus inversos 1 a ,1 b ,1 c . Reducimos esos inversos a común denominador y hacemos un reparto directamente proporcional a los numeradores na,nb,nc

    Veamos un ejemplo:

    Repartir 420 €, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6.

    Otra vez tenemos que repartir entre 3; Luego tenemos que hacer un reparto directamente proporcional a 13,15 y 16; Si ponemos común denominador tenemos que: 1030,630 y 530 Con lo que tenemos que hacer un reparto proporcional a 10 (3 años), 6 (5 años) y 5 (6 años):

    Vamos a calcular la constante de proporcionalidad r:

    r= pa 10= pb 6= pc 5= p1+p2+p3 10+6+5= 420 21=20

    Así  pa na=rpa=rna

     pb nb=rpb=rnb

     pc nc=rpc=rnc

     pa 10=20pa=2010=200

     pb 6=20pb=206=120

     pc 5=20pc=205=100

    Sumamos las cantidades pa+pb+pc=200+120+100=420 y comprobamos que hemos repartido todo lo que teníamos que repartir.

    Los repartos pueden ser entre 2, 3, 4, 5 ... etc. A más partes más cuentas habrá que hacer pero la idea del problema de repartos es siempre la misma.




    1.- Reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser 9+6+3=22, y cada parte debe de ser de k= 792  9+6+3 = 792  18 =44 Así la hija de 9 años se lleva 9 partes de 44 € 9×44=396Así la hija de 6 años se lleva 6 partes de 44 € 6×44=264Así la hija de 3 años se lleva 3 partes de 44 € 3×44=132total792

    2.- Reparto inversamente proporcional a 9, 6 y 3.
    Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los inversos  1 9,  1 6 y  1 3.
    Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los numeradores una vez puesto el mismo denominador a los inversos  2 18,  3 18 y  6 18, es decir, es un reparto directamente proporcional a 2, 3 y 6.

    Reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser 2+3+6=11, y cada parte debe de ser de k= 792  2+3+6 = 792  11 =72 Así la hija de 9 años se lleva 2 partes de 72 € 2×72=144Así la hija de 6 años se lleva 3 partes de 72 € 3×72=216Así la hija de 3 años se lleva 6 partes de 72 € 6×72=432total792








    1.- Reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser 6+8+12+18=44, y cada parte debe de ser de k= 102.300  6+8+12+18 = 102.300  44 =2.325 Así el hijo de 6 años se lleva 6 partes de 2.325 €  6×2.325= 13.950Así el hijo de 8 años se lleva 8 partes de 2.325 €  8×2.325= 18.600Así la hija de 12 años se lleva 12 partes de 2.325 € 12×2.325= 27.900Así la hija de 18 años se lleva 18 partes de 2.325 € 18×2.325= 41.850total102.300

    2.- Reparto inversamente proporcional a 6, 8, 12 y 18.
    Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los inversos  1 6,  1 8,  1 12 y  1 18.
    Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los numeradores una vez puesto el mismo denominador a los inversos  12 72,  9 72,  6 72 y  4 72, es decir, es un reparto directamente proporcional a 12, 9, 6 y 4.

    Reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser 12+9+6+4=31, y cada parte debe de ser de k= 102.300  12+9+6+4 = 102.300  31 =3.300 Así el hijo de 6 años se lleva 12 partes de 3.300 € 12×3.300= 39.600Así el hijo de 8 años se lleva 9 partes de 3.300 €  9×3.300= 29.700Así la hija de 12 años se lleva 6 partes de 3.300 €  6×3.300= 19.800Así la hija de 18 años se lleva 4 partes de 3.300 € 18×3.300= 13.200total102.300








    Este es un reparto inversamente proporcional a los días que han faltado 3 y 5.
    Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los inversos de los días faltados  1 3 y  1 5.
    Es lo mismo que un reparto directamente proporcional a los numeradores de los inversos de los días faltados una vez puesto el mismo denominador  5 15 y  3 15.
    Es un reparto directamente proporcional, primero las partes han de ser 5+3=8, y cada parte debe de ser de k= 186  5+3 = 136  8 =17 Así el camarero C1  se lleva 5 partes de 17 €  5×17= 85Así el camarero C2  se lleva 3 partes de 17 €  3×17= 51total136





    martes, 16 de febrero de 2021

    Números complejos. Conjugado de un número complejo. Formas de un número complejo.

     Los conjuntos de números los podemos poner en un esquema de este estilo: 


    Recordemos que: 

    IQ= 

    Esto quiere decir que no existe ningún número real que sea racional e irracional a la vez; si es racional, se puede poner en forma de fracción luego no es irracional y viceversa. 

    IQ=R 

    Esto quiere decir, que todo número real o es racional o es irracional. 

    NZQI}RC

    Veamos ejemplos de números de distintos conjuntos: 

    1,13,1.000.000,52,...N 

    1,13,1.000.000,52,13,0,12,30,2.222.222,...Z 

    1,13,1.000.000,52,13,0,12,30,2.222.222,12,114,235...Q 

    2,3,p siendo p primo,log(2),π,e.ϕ,...I 

    Todos los números anteriores son números reales y por tanto son números complejo. 

    i es la unidad imaginaria i=1 y tal que i2=1 Veamos las potencias de i 

    i1=ii2=1i3=ii4=1 

    i5=ii6=1i7=ii8=1 

    i9=ii10=1i11=ii12=1 y así sucesivamente. 

    Para calcular cuanto vale cualquier potencia de i,i75, lo que hacemos es la división entera del exponente entre 4 y nos quedaremos con el resto: 

    75=4×18+3i75=i4×18+3=(i4)18i3=1i3=i3=i

    Veamos una definición formal del conjunto de los números complejos:

    C={ a+bi | a,bR;  i2=1} 

    Sea un número complejo cualquiera z=a+bi, se define el conjugado z¯=abi, es decir, la misma parte real y parte imaginaria la opuesta. 

    En esta animación de GeoGebra vamos a ver la representación del un número complejo z (en la animación es el que forma el ángulo con la parte positiva del eje de abscisas OX), su conjugado z¯, el opuesto z y el opuesto del conjugado z¯. Si cogemos el punto que determina dicho número complejo, el afijo, podemos mover dicho número y como se actualizan los 4 números según se desplaza.

    Si un número complejo es z=3+5i, su conjugado z¯=35i, su opuesto es z=35i; y el opuesto de su conjugado (es lo mismo el conjugado de su opuesto) es z¯=3+5i.

    Otro ejemplo: w=67i, su conjugado w¯=6+7i, su opuesto es w=6+7i y el opuesto del conjugado w¯=+67i.

    Distintas formas en las que podemos escribir un número complejo, siendo r=|z|=a2+b2 y α=Arg(z)=arctg(ba)

    z=(a,b)=a+bi=r(cosα+isenα)=rα=reiα

      Par ordenado z=(a,b) 

     Forma binómica z=a+bi 

     Forma trigonométricaz=r(cosα+isenα)   Forma polarz=rα 

     Forma exponencialz=reiα 


    Propiedades de los módulos de los números complejos:
    1. El módulo del producto de dos números complejos es el producto de sus módulos: |z1z2|=|z1||z2|

      Vamos a utilizar las propiedades zz¯=|z|2 y z1z2=z1¯z2¯ : |z1z2|2=(z1z2)(z1z2)=z1z2z1¯z2¯=z1z1¯z2z2¯=|z1|2|z2|2 Sacamos raíces cuadradas tenemos: |z1z2|=|z1||z2| Nota: Está propiedad se puede extender al producto de 3, 4, 5, .... módulos de números complejos.



    2. Sea un número complejo distinto de cero z0, el módulo del inverso es el inverso del módulo de z: |z1|=|z|1

      Usamos la propiedad anterior, |z1z2|=|z1||z2|

      Tenemos que 1=zz11=|1|=|zz1|=|z||z1| Si despejamos |z1| tenemos que

      |z1|=  1  |z|=|z|1



    3. El módulo del cociente de dos complejos es el cociente de sus módulos:  Si z20| z1 z2|= |z1| |z2|

      Usamos la dos propiedades anteriores: |z1z2|=|z1||z2|, |z1|=|z|1 y |z2|0. Veamos: | z1 z2|=|z1z21|=|z1||z21|=|z1||z2|1= |z1| |z2|



    Fórmula de «DE Moivre»

     (cosα+isenα)n=cosnα+isennα 




    Usando está fórmula podemos obtener las fórmulas trigonométricas del ángulo doble, n=2

    Por un lado tenemos: (cosα+isenα)2=cos2α+2icosαsenαsen2α

    Por otro lado:  cos2α+isen2α

    Como es el mismo número complejo, las partes real e imaginaria han de coincidir, entonces:

    cos2α=cos2αsen2α sen2α=2cosαsenα 

    Veamos el caso n=3, las fórmulas del ángulo triple:

    Por un lado tenemos: (cosα+isenα)3=cos3α+3icos2αsenα+3cosα(isenα)2+(isenα)3= =cos3α+3icos2αsenα3cosαsen2αisen3α

    Por otro lado:  cos3α+isen3α

    Como es el mismo número complejo, las partes real e imaginaria han de coincidir, entonces:

    cos3α=cos3α3cosαsen2α=cos3α3cosα(1cos2α)=4cos3α3cosα sen3α=3cos2αsenαsen3α=3(1sen2α)senαsen3α=3senα3sen3αsen3α=3senα4sen3α


    Operaciones con números complejos

        Las distintas expresiones utilizadas para representar un número complejo, nos deben hacer plantearnos cuál de ellas es la más adecuada para la realización de las distintas operaciones con números complejos.







    Teorema: Sea a(x) un polinomio con coeficientes reales, aiR i=0,1,2,,n: a(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0 y sea zC es una raíz de a(x), es decir a(z)=0, entonces z¯ es también raíz de a(x), es decir, a(z¯)=0.

    Demo: Al ser z raíz de a(x) sabemos que a(z)=anzn+an1zn1++a1z+a0=0
    Ahora bien, utilizando propiedades del conjugado de un número complejo y el hecho de que los coeficientes del polinomio son números reales, tenemos que:
    a(z¯)=anz¯n+an1z¯n1++a1z¯+a0==a¯nz¯n+a¯n1z¯n1++a¯1z¯+a0==anzn+an1zn1++a1z+a0==anzn+an1zn1++a1z+a0=0=0

    lunes, 8 de febrero de 2021

    SM Ejercicio 141 de varias formas

     Vamos a resolver el siguiente ejercicio de tres formas diferentes a como lo hace el solucionario. 

    El ejercicio dice lo siguiente: 

    141. Del cuadrado ABCD, se conocen las coordenadas del punto A(8,7) y que los puntos B y C pertenecen a la recta de ecuación 3x4y=19.

    a) ¿Cuáles son las coordenadas de los otros tres vértices?

    b) Halla el perímetro y el área del cuadrado.

    Ver esquema del problema: 


    1.- Con rectas y resolver sistemas asociados:

    Podemos calcular la perpendicular a la recta r que pasa por el punto A que la llamaremos s y la paralela a r pasado por A que la llamaremos t

    - sr y As luego s será de la forma 4x+3y+K=0 y K se calcula obligando a que As

    48+37+K=0K=53s:4x+3y53=0

    - tr y At luego t será de la forma 3x4y+L=0 y L se calcula obligando a que At

    3847+L=0L=4s:3x4y+4=0

    Y ahora tenemos que calcular una recta p que esté a la misma distancia de s que lo están el punto A y la recta r. Dicha distancia es la longitud del lado y entonces podremos responder al apartado b) del ejercicio: 

    d(A,r)=|38471932+(4)2=|23|25=235 

    Luego el perímetro p=4235=925 y el área Área=(235)2=52925 

    Volvemos al problema y tenemos que calcular una recta p que esté a distancia 235 de s. Lo que ya sabemos es que p es paralela a s y por tanto es de la forma p:4x+3y+J=0 y para calcular J tenemos que calcular la distancia entre dos restas: 

    d(p,s)=235235=|J+53|42+32 

    Haciendo cuentas tenemos: 

    235=|J+53|523=|J+53| 

    Lo que nos da dos ecuaciones para la recta p

    • 23=J+53J=30p1:4x+3y=30
    • 23=J+53J=76p2:4x+3y=76 
    Eso quiere decir que tenemos dos soluciones: 
    La 1ª con la recta p1
    Vamos a calcular los otros 3 vértices:
    • El punto B es la intersección de las rectas r y s,B=rs tenemos que resolver el siguiente sistema: 
    {3x4y=1934x+3y=534 {9x12y = 57 16x+12y =212    25x         = 269x=26925

    {3x4y=19(4)4x+3y=533 {12x+16y = 76 12x+9y =159            25y = 83y=8325

    B=(26925,8325) 
    • C=rp1 tenemos que resolver el siguiente sistema: 
    {3x4y=1934x+3y=304 {9x12y = 57 16x+12y =120    25x         = 177x=17725

    {3x4y=19(4)4x+3y=533 {12x+16y = 76 12x+9y =90            25y = 14y=1425

    C=(17725,1425) 
    • D=p1t tenemos que resolver el siguiente sistema: 
    {3x4y=434x+3y=304 {9x12y =12 16x+12y =120    25x         = 108x=10825

    {3x4y=4(4)4x+3y=533 {12x+16y = 16 12x+9y =90            25y = 106y=10625

    D=(10825,10625) 

    Veamos la resolución gráfica mediante GeoGebra




    Resolver el ejercicio con la recta p2 se hace de la misma forma. 

    2.- Forma, con vectores: 

    Lo primero calculamos el punto B, para ello trazamos la perpendicular s a r que pasa por el punto A y el punto B será la intersección de dichas rectas. Lo hacemos exactamente igual que en la primera forma eso no cambia. 

    Ahora calculamos el vector  AB=(269258,83257)=(6925,9225) 

    Ahora calculamos el vector vu, en este caso tenemos dos posibilidades: 

    • 1ª opción: v=(9225,6925)
    • 2ª opción: v=(9225,6925)
    Nosotros vamos a usar el vector v=(9225,6925). Así ahora calculamos el punto C 
    C=B+v=(17725,1425)+(9225,6925)=(17725,1425)

    Ahora calculamos el punto D 
    D=Cu=(17725,1425)(6925,9225)=(10825,10625)

    Veamos la resolución gráfica mediante GeoGebra


    3ª Forma, trazando la recta que pasa por el punto A y forma un ángulo de 45 con la recta r.

    Recordemos que la pendiente de una recta m=tg(α) siendo α el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX.

    Así, la pendiente de la recta r es mr=34 y tenemos que calcular la pendiente de la recta s, ms que formará un ángulo de 45 con la recta r

    Así 

    tg(45)=|msmr1+msmr| 

    Es decir 

    1=|ms341+ms34| 

    Al ser un valor absoluto o módulo esto nos dará dos ecuaciones: 
    1ª.-  Cogiendo el valor positivo de la igualdad 
    1=ms341+ms341+ms34=ms3474=ms4ms=7

    La ecuación de la recta que forma un ángulo de 45 con la recta r es la recta:
    $$y - 7 = 7 \cdot (x -8) \Rightarrow y - 7 = 7x - 56 \Rightarrow  s: 7x -y - 49 = 0 $

    Ahora calculamos el punto C, que es el punto de intersección de la recta r y s

    {3x4y=1917x y=494 {3x4y = 1928x+ 4y =196    25x         = 177x=17725

    {3x4y=19(7)7x y=493 {21x28y = 13321x+3y =147            25y = 14y=1425

    C=(17725,1425) 

    Tenemos el segmento AC, calculamos el punto medio de dicho segmento M

    M=(8+177252,7+14252)=(37750,18950)

    Ahora calcularemos el punto D como el punto simétrico de B respecto de M, así si D=(d1,d2)

    M=(37750,18950)=(d1+269252,d2+83252)

    Si despejamos d1 y d2 tenemos: 
    d1=3772526925=10825
    d2=189258325=10625

    El punto D=(10825,10625)

    Veamos la resolución gráfica mediante GeoGebra


    2ª.-  Cogiendo el valor negativo de la igualdad 
    1=ms341+ms341ms34=ms3414=7ms4ms=17

    El resto del proceso sería el mismo pero la recta s sería el mismo, es decir: 

    La ecuación de la recta que forma un ángulo de 135 con la recta r es la recta:
    $$y - 7 =  \dfrac{-1}{7} \cdot (x -8) \Rightarrow 7y - 49 = -x + 8 \Rightarrow  s: x + 7y = 57 $

    Y se termina el ejercicio. 

    martes, 2 de febrero de 2021

    Vectores (libres y fijos). Ecuaciones de la recta vectorial, paramétricas, continua, general, punto pendiente y explícita.

    Vamos a ver la definición de vector y sus componentes; y como calcular las diferentes ecuaciones de la recta.

    Vector. Componentes de un vector. Vectores equipolentes. Vector libre y fijo.

    Un vector es un segmento orientado en el plano. Los componentes de un vector son:

    • Origen: Punto donde empieza el vector.
    • Extremo: punto donde acaba el vector.
    • Módulo: es la longitud del segmento.
    • Dirección: es la misma que la de la recta que lo contiene.
    • Sentido: el que va del del origen al extremo.

    Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido

    El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Un vector fijo es un representante del vector libre.

    Calcular las componentes de un vector.

    Un vector v se define por sus coordenadas v=(vx,vy).

    Un vector viene definido por sus coordenadas x e y. Si no sabemos las coordenadas del vector v, pero sabemos las coordenadas de los puntos que lo definen, su origen P y su extremo Q, podemos calcular las coordenadas del vector que serán las coordenadas del extremo menos las del origen:

    PQ = coordenadas de Q - coordenadas de P, o si elegimos el vector opuesto:

    QP = coordenadas de P - coordenadas de Q.


    Ejemplo, sea el vector definido por los puntos P(2,3) y Q(5,1), entonces:

    las coordenadas del vector u=PQ=(5,1)(2,3)=(3,2), y

    las coordenadas del vector v=QP=(2,3)(5,1)=(3,2).


    Vector perpendicular a uno dado: 

    Para calcular un vector perpendicular a uno dado, es muy fácil, se permuta la coordenada x por la y y después se cambia de signo a una de ellas. 

    Veamos, sea v=(vx,vy) un vector perpendicular a v sería (vy,vx) o (vy,vx)

    Ejemplo: Calcula un vector perpendicular a v=(1,3). Como hemos visto tenemos dos opciones: 

    1. w1=(3,1)
    2. w2=(3,1)
    Ambos vectores son perpendicular a v porque su producto escalar es cero. 


    Vector unitario: es un vector de módulo 1.  Sea v=(vx,vy) se dice unitario si 

    |v|=vx2+vy2=1

    Ejemplo: v=(32,12)

    |v|=vx2+vy2=(32)2+(12)2=34+14=1=1

    Calculo de un vector unitario:

    Siempre que tengamos un vector a es muy fácil calcular un vector proporcional a a y unitario. Para ello usaremos la siguiente propiedad: 

    |ku|=|k||u| kR, u

    Así, si queremos que el |ku|=1|k|=1|u|k=±1|u| 

    Veamos un ejemplo: a=(12,5). Calculamos su módulo: 

    |a|=122+52=144+25=169=13

    Ahora lo que hacemos es multiplicar el a por el inverso del módulo de a

    113(12,5)=(1213,513)

    y si calculamos su módulo tenemos: 

    |a|=(1213)2+(513)2=144169+25169=169169=1=1

    Otra opción sería coger el vector 

    113(12,5)=(1213,513)que también tienen módulo 1

    Ecuación de la recta que pasa por el punto P con vector director v. Enlace del recurso en GeoGebra.
    A partir de un punto y un vector podemos calcular las ecuaciones de la recta:
    - Ecuación vectorial
    - Ecuaciones paramétricas
    - Ecuación continua
    - Ecuación general
    - Ecuación punto pendiente
    - Ecuación explícita
    - Ecuación segmentaria
    El punto P se puede modificar, cambiando las coordenadas en la casilla de entrada o arrastrándolo en el plano.
    El vector u también se puede modificar, cambiando las coordenadas en la casilla de entrada o arrastran el extremo final que lo define el plano.
    El punto verde, es cualquier punto de la recta. Se puede desplazar con el ratón o le puedes dar al
    botón de play.


    La recta r viene definida por el punto P=(x0,y0) y el vector v=(a,b).

    Un punto cualquiera X=(x,y) de la recta r, se representa por el vector posición OX= (x, y) con las mismas componentes que el punto. Con el punto P y su vector posición OP pasa lo mismo. El vector OX = OP+PX. Además, el vector PX = tv, tR.

    OX = OP+PXsustituyendo   PX=tv, tR

    nos queda la ecuación vectorial de la recta:

     OX=OP+tv,tR 

    Por coordenadas tenemos las ecuaciones paramétricas de la recta(x,y)=(x0,y0)+t(a,b), tR

     Ecuaciones paramétricas{x=x0+aty=y0+bt,tR 

    En las ecuaciones paramétricas, vemos que el vector PX=(xx0,yy0) es paralelo al vector v. Así obtenemos la ecuación continua de la recta:

    PXvxx0a=yy0bEntonces tenemos la  Ecuación continuaxx0a=yy0b 

    Si quitamos denominadores multiplicando en cruz tenemos:

    a(xx0)=b(yy0), es decir, axby+by0ax0=0. Hacemos los siguientes cambios A=a,B=b y C=by0ax0 para obtener la ecuación general de la recta:

     Ecuación generalAx+By+C=0 

    Si en la ecuación continua de la recta, despejamos el término yy0 y hacemos que m=ba, tenemos la ecuación punto pendiente de la recta, donde m es la pendiente: 

     Ecuación punto pendienteyy0=m(xx0) 

    De la ecuación punto pendiente, si despejamos y tendremos: 

    yy0=m(xx0), tenemos y=y0+m(xx0) y operando y=mx+y0mx0, hacemos que n=y0mx0, obtenemos la ecuación explícita de la recta, donde n es la ordenada en el origen:

     Ecuación explícitay=mx+n 

    Ejemplo: Vamos a calcular las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto  P=(2,3) y vector director v=(1,2).

     Vamos con la ecuación vectorial: OX=OP+tv, tR 

    Ecuación vectorial (x,y)=(2,3)+t(1,2),tR

    Vamos a por las ecuaciones paramétricas:

    Ecuaciones paramétricas{x=2+ty=32t,tR

    Calculamos la ecuación continua, recordamos que un punto cualquiera de la recta X=(x,y), junto con el punto P forma el vector PX que es paralelo a v. Así: 

    Ecuación continuax2=y32

    Vamos con la ecuación general:

    x2=y322(x2)=(y3)2x+4=y3

    Ecuación general2x+y7=0

    Ahora con la ecuación punto pendiente: 

    x2=y32y3=2(x2),la pendiente es -2 

     Ecuación punto pendientey3=2(x2) 

    Y por último la ecuación explícita: 

    y3=2(x2)y=2x+4+3y=2x+7

    La pendiente es -2 y la ordenada en el origen es 7.

    Ecuación explícitay=2x+7


    Ecuación de la recta que pasa por dos puntos P y Q

    Sean los puntos P=(x0,y0) y Q=(x1,y1), definimos el vector v que puede ser el vector PQ=(x1x0,y1y0) o el vector QP=(x0x1,y0y1). Y ahora ya tenemos el vector v y podemos coger uno de los dos puntos P ó Q.

    Ecuación continua de la recta que pasa por P y vector director PQ

    Ecuación continua de la recta que pasa pordos puntos xx0x1x0=yy0y1y0


    Ejemplo: Ecuaciones de la recta que pasa por los puntos P=(3,1) y Q=(2,4)

    El vector PQ=(23,4+1)=(1,3) o el vector QP=(32,1+4)=(1,3) 

    Ahora cogemos uno de los dos vectores y uno de los dos puntos P o Q y aplicamos el ejemplo anterior.