He aquí una de las herramientas más poderosas de las matemáticas: el principio del camello.
Esto es, cómo funciona y por qué es esencial, pero primero, la historia:
- Un hombre fallece, dejando la mitad de su fortuna a su hijo mayor, la tercera parte a su hijo mediano y la novena al más pequeño.
- Al abrir el establo, se dan cuenta de que el padre tenía 17 camellos.
- Esto es un problema, ya que no pueden dividir 17 camellos en 1/2, 1/3 y 1/9 sin cortar algunos a trozos.
- Entonces recurren a un vecino sabio en busca de consejo. El hombre sabio dice: "sostened mi camello" y resuelve el problema prestándoles uno a los muchachos.
- Ahora el establo tiene 18. El hijo mayor se lleva 9 a casa, mientras que el hijo del medio y el más pequeño se va con 6 y 2 respectivamente, como deseaba su padre.
- El hombre sabio recupera su camello y todos están contentos.
Así nace el principio del camello: sumar y restar la misma cantidad no cambia la igualdad, pero puede ayudar en el cálculo.
En matemáticas no se puede vivir sin este principio.
Te mostraré dos ejemplos.
$$ x = (x + y) - y $$
La primera es la ecuación cuadrática.
Esta fórmula se deriva del principio del camello. ¡Te mostraré cómo!
$$ ax^2 + bx + c = 0 $$
Como $a \ne 0$, podemos multiplicar por $4a$:
$$ 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 $$
AHora aplicamos el pricipio del camello sumando y restando $b^2$ para completar el cuadrado de $4a^2x^2 + 4abx$:
$$ 4a^2x^2 + 4abx = -4ac $$
$$ 4a^2x^2 + 4abx + b^2 - b^2 = -4ac $$
$$ 4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac $$
$$ (2abx + b)^2 = b^2 - 4ac $$
Despejamos $2ax + b$:
$$ 2ax + b = \pm \msqrt{b^2 - 4ac} $$
Ahora despejamos $x$:
$$ 2ax = - b \pm \msqrt{b^2 - 4ac} \Rightarrow x = -\mfrac{ -b \pm \msqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a } $$
Existe una versión alternativa del principio del camello, que realiza una hazaña similar: multiplicar y dividir por la misma cantidad.
Esto tampoco cambia la igualdad.
$$ x = x \cdot \mfrac{y}{y} $$
Para ilustrarlo, veamos las derivadas, el motor principal detrás de las matemáticas, la física y la optimización.
(Y muchos otros campos que permitieron que la tecnología llegara a donde está ahora).
¿Cómo calcularías la derivada de una función compuesta?
Esta es una pregunta esencial. Sin ella, no hay retropropagación, descenso de gradiente ni, por ende, redes neuronales.
(Al menos hasta que alguien invente una alternativa inteligente. Pero eso llevará un tiempo.)
La definición de derivada:
\[ f'(a) = \milmt{x}{a}{ \mfrac{f(x) - f(a) }{ x - a} } \]
Lo adivinaste bien: ¡el principio del camello!
(Al menos la segunda versión, donde se multiplica y divide con la misma cantidad.)
Una vez aplicado el principio del camello, el límite se puede llevar a cabo término por término. Veámoslo en la derivada de la función compuesto:
\[ (f \circ g)'(a) = \milmt{x}{a}{ \mfrac{f(g(x)) - f(g(a)) }{ x - a} } \]
\[ (f \circ g)'(a) = \milmt{x}{a}{ \mfrac{f(g(x)) - f(g(a)) }{ x - a} } = \]
\[ = \milmt{x}{a}{ \mfrac{ f(g(x)) - f(g(a)) }{ x - a} \cdot \mfrac{g(x) - g(a)}{g(x) - g(a) } } = \]
\[ = \milmt{x}{a}{ \mfrac{f(g(x)) - f(g(a)) } {g(x) - g(a)} \cdot \mfrac{g(x) - g(a)}{ x - a} } = \]
\[ = \milmt{x}{a}{ \mfrac{f(g(x)) - f(g(a)) } {g(x) - g(a)} \cdot \mfrac{g(x) - g(a)}{ x - a} } = \]
\[ = \milmt{x}{a}{ \mfrac{f(g(x)) - f(g(a)) } {g(x) - g(a)} } \cdot \milmt{x}{a}{ \mfrac{g(x) - g(a)}{ x - a} } = f'(g(a)) \cdot g'(a) \]
La lección que debemos sacar de esto es que las pequeñas curiosidades matemáticas, como el principio del camello, suelen descartarse por "no tener ninguna aplicación".
Sin embargo, esta miopía a menudo conduce al mal camino.
Al comprender los átomos, se pueden construir rascacielos.
$ \large{ \ \text{ Autor del blog } \ \mathbb{R}a\!\!\int\!\!{\alpha}{\varepsilon}\ell \ \ {\rm I\!R}{\acute{\textrm{a}}}\pi\partial{\in} z \ \ \mathbf{G}a\tau\varsigma\acute{\iota}@} \quad \mathbb{R}^2 \mathbb{G} $
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domingo, 17 de agosto de 2025
sábado, 16 de agosto de 2025
martes, 4 de marzo de 2025
Identidades notables. Sacar factor común (Propiedad distributiva). Ejercicios con soluciones.
Empezaremos por definir lo que es una expresión algebraica, es una combinación de números, variables (letras) y operaciones matemáticas (+, -, $\times$, $\div$).
Ejemplos de expresiones algebraicas:
Una identidad notable es una igualdad de dos expresiones algebraicas que se cumple para cualquier valor de las variables involucradas. Se llaman «notables» porque aparecen con frecuencia, facilitan el cálculo y la factorización de expresiones algebraicas.
Ejemplos de expresiones algebraicas:
- \( 3x + 5 \)
- \( a^2 - 4b \)
- \( \dfrac{2x + 1}{x - 3} \)
- \( 5xyz - 2y^2 + 7 \)
- Números: Se llaman coeficientes si están multiplicando una variable (por ejemplo, en \( 3x \), el número 3 es el coeficiente).
- Variables: Representan valores desconocidos y suelen ser letras (como \( x, y, z, \alpha, ... \)).
- Exponentes: Indican cuántas veces se multiplica una variable por sí misma (por ejemplo, en \( x^2 \), el exponente es 2).
- Operaciones: Son las sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, etc.
Una identidad notable es una igualdad de dos expresiones algebraicas que se cumple para cualquier valor de las variables involucradas. Se llaman «notables» porque aparecen con frecuencia, facilitan el cálculo y la factorización de expresiones algebraicas.
- La propiedad conmutativa de la suma y del producto: \[ a + b = b + a \qquad \qquad a \times b = b \times a \]
- La propiedad asociativa de la suma (resta) y del producto: \[ a + (b + c) = (a + b) + c \qquad \qquad a \times (b \times c) = (a \times b) \times c \]
- La propiedad distributiva del producto respecto de la suma: \[ a \times (b + c) = a \times c + b \times c \] \[ a \times (b - c) = a \times c - b \times c \]
- Cuadrado de una suma: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
- Cuadrado de una diferencia: \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]
- Diferencia de cuadrados \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
- Cubo de una suma: \[ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]
- Cubo de una diferencia: \[ (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \]
- Suma y diferencia de cubos: \[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \] \[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \]
Vamos con unos ejercicios de desarrollar identidades notables, el cuadrado de una suma, el cuadrado de una resta y suma por diferencia, para ver la solución de los ejercicios pasa el cursor por encima del ejercicio:
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \qquad \qquad a^2 - b^2 = (a + b) \cdot (a - b)$
- \( (x + 5y)^2 \)
- $(2x + y)^2$
- $(3x + 4y)^2$
- $(x^2 + 1)^2$
- $(2x + 3x^2)^2$
- $ (x - 5y)^2$
- $(2x - y)^2$
- $(3x - 4y)^2$
- $(x^2 - 1)^2 $
- $(2x - 3x^2)^2$
- $(x + 5y)(x - 5y)$
- $ (2x + y)(2x - y) $
- $ (3x + 4y)(3x - 4y) $
- $ (x^2 + 1)(x^2 - 1) $
- $ (2x + 3x^2)(2x - 3x^2) $
- $ (-x + 2y)^2 $
- $ (- s - 2z)^2 $
- $ (-s + 2t)(-s - 2t) $
- $ \left(x + \dfrac{1}{2}y \right)^2 $
- $ - \left ( \dfrac{3x}{5} + 7 \right )^2 $
- $ \left ( \dfrac{\ 2\ }{ 3 } - x \right )^2 $
- $ \left (3ab - 4 \right )^2 $
Ahora vamos con otro tipo de ejercicios, vamos a hacer justo lo contrario, convertir expresiones en cuadrados o productos, para ver la solución de los ejercicios pasa el cursor por encima del ejercicio:
Ahora vamos con ejercicios de sacar factor común, para ver la solución de los ejercicios pasa el cursor por encima del ejercicio. Veamos unos ejemplos:
Para sacar factor común de una expresión algebraica seguiremos los siguientes pasos:
$a^4 + 2a^3 - 3a^2 = a^2 \cdot (a^2 + 2a - 3)$
$12x^4 - 6x^3 + 15x^2 = 3x^3 \cdot (4x^2 - 2x + 5)$
$1x^3y^3z - 6x^2y^2z^4 + 4x^3yz = 2x^2yz \cdot (5xy^2 - 3yz^3 + x)$
Para sacar factor común de una expresión algebraica seguiremos los siguientes pasos:
- Sacar el Máximo común divisor de los coeficientes de cada uno de los términos que forman la expresión algebraica.
- Determinar las variables con el menor exponente.
- Para comprobar si hemos hecho correctamente el ejercicio podemos aplicar la propiedad distributiva al resultado obtenido y nos dará por resultado la expresión inicial.
- \( 3x + 12 \)
- \( mx + m \)
- $ a^2 + ab$
- \( 8m^2 + 12m \)
- \( 3am^3 + 6a^3m \)
- \( 3x^4 - 15x^3 \)
- $t^3 - 8t^2 + t$
- $6a^2b - 12ab^2 + 3a^3b^3$
- $15abc^2 + 45a^2bc$
- $15abx - 9b^2x$
- $x^5 + 2x^3 - 5x^2$
- $ 16x^3 - 4x^2 $
- $ am^2 - an^2 + a^2mn $
- $ 2a^2b + 4ab^2 - 10a^3b^3$
- $ 9a^3 - 6a^2 $
- $21a^5 + 49a^3$
- $ 14acd - 7cd + 21c^2d^2 $
- $ 3a^3 - 6a^2 + 9a $
- $ 8q^4t + 2q^3t^2 - 6q^2t^4 $
- $ 5x^2y^2 - 15xy + 20xyz $
- $ 17m^3n^3 - 51m^2n^2 + 85mn $
- $ 12m^3n^3 - 18m^2n^2 - 24m^4n^4 $
- $ x^4 + x^3 - x^2 + x $
- $ m^2n^2 + mn^2 - 2m^2n^4 $
Ahora vamos con ejercicios de sacar factor común agrupando por términos, para ver la solución de los ejercicios pasa el cursor por encima del ejercicio. Veamos unos ejemplos:
Para sacar factor común agrupando por términos de una expresión algebraica seguiremos los siguientes pasos:
\[ 3m^2 - 6mn + 4m - 8n = (3m^2 - 6mn) + (4m - 8n) = \] \[ 3m(m - 2n) + 4(m - 2n) = (3m + 4)(m - 2n) \] $\bullet $ Veamos otro ejemplo: $ax - 2bx - 2ay + 4by$
\[ ax - 2ay - 2bx + 4by = a(x - 2y) - 2b(x - 2y) = \] \[ (a - 2b)(x - 2y) \]
$ ax + bx + ay + by = (a + b) \cdot (x + y)$
Para sacar factor común agrupando por términos de una expresión algebraica seguiremos los siguientes pasos:
- Agrupar términos que tienen factor común: \[ ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by) \]
- Sacamos factor común a los términos agrupados: \[ = x (a + b) + y(a + b) = \]
- Formamos factores: uno con los términos con factor común y otros con los términos no comunes, que es la solución. \[ = (a + b)(x + y) \]
\[ 3m^2 - 6mn + 4m - 8n = (3m^2 - 6mn) + (4m - 8n) = \] \[ 3m(m - 2n) + 4(m - 2n) = (3m + 4)(m - 2n) \] $\bullet $ Veamos otro ejemplo: $ax - 2bx - 2ay + 4by$
\[ ax - 2ay - 2bx + 4by = a(x - 2y) - 2b(x - 2y) = \] \[ (a - 2b)(x - 2y) \]
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com
viernes, 21 de febrero de 2025
Matemáticas y sellos. Sellos y Matemáticas.
En marzo de 2025 sale a la venta esta colección de sellos China:
sábado, 18 de enero de 2025
Divisiones de polinomios. Ejercicios resueltos.
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com
sábado, 11 de enero de 2025
lunes, 27 de mayo de 2024
Operaciones con fracciones algebraicas. Ejercicios resueltos.
Vamos a repasar una serie de cosas antes de entrar en materia con las fracciones algebraicas:
Vocabulario:
Factorizamos el denominador y nos queda: $x^2 + x - 6 = (x - 2) \cdot (x + 3) $
En la fracción algebraica sustituimos, simplificamos y nos queda: $$ \dfrac{ x - 2 }{\ x^2 + x - 6\ } = \dfrac{ x - 2 }{\ (x - 2) \cdot (x + 3) \ } = \dfrac{ \cancel{x - 2} }{\ \cancel{(x - 2)} \cdot (x + 3) \ } = \dfrac{ 1 }{\ x + 3 \ } $$
Factorizamos el denominador, lo podemos hacer por Ruffini o con la fórmula cuadrática o también de esta forma:
$$ 2x^2 - 3x + 1 = 2x^2 - 2x - x + 1 = 2x(x - 1) - 1(x - 1) = (2x - 1)(x - 1) $$
En la fracción algebraica sustituimos, simplificamos y nos queda: $$ \dfrac{ x - 1 }{\ 2x^2 - 3x + 1\ } = \dfrac{x - 1}{\ (2x - 1) \cdot (x - 1)\ } = \dfrac{ \cancel{x - 1} }{\ (2x - 1) \cdot \cancel{(x - 1)}\ } = \dfrac{ 1 }{\ 2x - 1 \ } $$
Factorizamos el numerador, en este caso ya lo hemos hecho antes:
$$ x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3) $$
Factorizamos el denominador, es una identidad notable:
$$ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) $$
En la fracción algebraica sustituimos, simplificamos y nos queda: $$ \dfrac{\ x^2 + x - 6\ }{\ x^2 - 4\ } = \dfrac{ (x - 2)(x + 3) }{\ (x - 2)(x + 2)\ } = \dfrac{ \cancel{(x - 2)} (x + 3) }{\ \cancel{(x - 2)} \cdot (x + 2)\ } = \dfrac{ x + 3 }{\ x + 2 \ } $$
Factorizamos el numerador, es una identidad notable:
$$ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $$
Factorizamos el denominador, vamos a calcular sus raíces: Está claro que 1 es raíz, ¿cómo sacamos la otra?
$$ 5x^2 + 4x - 9 = 5 \cdot (x^2 + \dfrac{4}{5}x - \dfrac{9}{5}) $$
Las raíces de $5x^2 + 4x - 9$ y $x^2 + \dfrac{4}{5}x - \dfrac{9}{5}$ son las mismas. Como 1 es raíz de ambos polinomios y el producto de las raíces es $- \dfrac{9}{5}$, entonces la otra ráiz es $- \dfrac{9}{5}$ y el factor se indica así: $(x - 1)(5x + 9)$ En la fracción algebraica sustituimos, simplificamos y nos queda: $$ \dfrac{\ x^2 - 1\ }{\ 5x^2 + 4x - 9\ } = \dfrac{ (x - 1)(x + 1) }{\ (x - 1)(5x + 9)\ } = \dfrac{ \cancel{(x - 1)} (x + 1) }{\ \cancel{(x - 1)} \cdot (5x + 9)\ } = \dfrac{ x + 1 }{\ 5x + 9 \ } $$
Factorizamos el denominador, es una identidad notable:
$$ x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1) $$
El numerador es irreducible. Luego no podemos simplificar nada, se queda igual $ \dfrac{ x + 2 }{\ x^2 - 1\ } $
El denominador es irreducible.
En el numerador vemos que -2 es raíz, luego como el polinomio es mónico (coeficiente de la mayor potencia de $x$ es 1) y el producto de las raíces es -2, entonces a la fuerza la otra raíz es 1. Luego $x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$ En la fracción algebraica sustituimos, simplificamos y nos queda: $$ \dfrac{ (x + 2)(x - 1) }{\ x + 2\ } = \dfrac{ \cancel{(x + 2)} (x - 1) }{\ \cancel{x + 2}\ } = x - 1 $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, es el producto de los denominadores $b(a - b)(a + b)$. Así la primera fracción la amplificamos por $b(a + b)$, la segunda por $b(a - b)$ y la tercera $(a + b)(a - b)$: $$ \dfrac{ a + b }{\ a - b\ } - \dfrac{ a - b }{\ a + b\ } - \dfrac{ a }{\ b\ } = \dfrac{ b(a + b)^2 }{\ b(a - b)(a + b)\ } - \dfrac{ b(a - b)^2 }{\ b(a - b)(a + b)\ } - \dfrac{ a(a^2 - b^2) }{\ b(a - b)(a + b)\ } = $$ $$ = \dfrac{ b(a + b)^2 - b(a - b)^2 - a(a^2 - b^2) }{\ b(a - b)(a + b)\ } = \dfrac{ b(a^2 + 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2) - a^3 + ab^2 }{\ b(a - b)(a + b)\ } = $$ $$ = \dfrac{ \cancel{a^2b} + 2ab^2 + \xcancel{b^3} \cancel{- a^2b} + 2ab^2 - \xcancel{b^3} - a^3 + ab^2 }{\ b(a - b)(a + b)\ } = \dfrac{ 5ab^2 - a^3 }{\ b(a - b)(a + b)\ } = \dfrac{ a(5b^2 - a^2) }{\ b(a - b)(a + b)\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, es $xyzt$. Así la primera fracción la amplificamos por $xzt$, la segunda por $xyt$, la tercera $xyt$ y la cuarta $yzt$: $$ \dfrac{ x }{\ y\ } - \dfrac{ y }{\ z\ } + \dfrac{ z }{\ t\ } - \dfrac{ t }{\ x\ } = \dfrac{ x^2zt }{\ xyzt\ } - \dfrac{ xy^2t }{\ xyzt\ } + \dfrac{ xyz^2 }{\ xyzt\ } - \dfrac{ yzt^2 }{\ xyzt\ } = \dfrac{ x^2zt - xy^2t + xyz^2 - yzt^2 }{\ xyzt\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, el denominador de la primera fracción es $2(x + 2)$ y el de la segunda fracción es $(x + 2)(x - 2)$, luego el común denominador es $2(x -2)(x + 2)$. Así la primera fracción la amplificamos por $x - 2$ y la segunda por 2: $$ \dfrac{ 3 }{\ 2x + 4\ } + \dfrac{ 2x }{\ x^2 - 4\ } = \dfrac{ 3 }{\ 2(x + 2)\ } + \dfrac{ 2x }{\ (x - 2)(x + 2)\ } = \dfrac{ 3(x - 2) }{\ 2(x + 2)(x - 2)\ } + \dfrac{ 2 \cdot 2x }{\ 2(x - 2)(x + 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{ 3x - 6 + 4x }{\ 2(x - 2)(x + 2)\ } = \dfrac{ 7x - 6 }{\ 2(x - 2)(x + 2)\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, el denominador de la primera fracción es $x^3$ que no se puede factorizar más y el de la segunda fracción es $x^2 + 7)$ que también es irreducible, luego el común denominador es $x^3(x^2 + 7)$. Así la primera fracción la amplificamos por $x^2 + 7$ y la segunda por $x^3$: $$ \dfrac{ x^2 - 1 }{\ x^3\ } - \dfrac{ 2x }{\ x^2 + 7\ } = \dfrac{\ (x^2 - 1)(x^2 + 7)\ }{\ x^3(x^2 + 7)\ } - \dfrac{ 2x \cdot x^3 }{\ x^3(x^2 + 7)\ } = \dfrac{\ x^4 + 7x^2 - x^2 - 7\ }{\ x^3(x^2 + 7)\ } - \dfrac{ 2x^4 }{\ x^3(x^2 + 7)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^4 + 6x^2 - 7 - 2x^4\ }{\ x^3(x^2 + 7)\ } = \dfrac{\ -x^4 + 6x^2 - 7\ }{\ x^3(x^2 + 7)\ } = $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, que es $(x -2)(x + 2)$. Así la primera fracción la amplificamos por $x - 2$ y la segunda por $x + 2$: $$ \dfrac{\ x - 2\ }{\ x + 2 \ } + \dfrac{ x + 2 }{\ x - 2\ } = \dfrac{\ (x - 2)^2\ }{\ (x -2)(x + 2) \ } + \dfrac{ (x + 2)^2 }{\ (x -2)(x + 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^2 - 4x + 4 + x^2 + 4x + 4 }{\ (x -2)(x + 2)\ } = \dfrac{\ x^2 \cancel{- 4x} + 4 + x^2 \cancel{+ 4x} + 4 }{\ (x -2)(x + 2)\ } = \dfrac{\ 2 x^2 + 8 }{\ (x -2)(x + 2)\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, el denominador de la primera fracción es $4(x - 2)(x + 2)$, el de la segunda es $4(x -2)$, luego el común denominador es $4(x -2)(x + 2)$. Así la primera fracción la amplificamos por 4 y la segunda por $x + 2$: $$ \dfrac{\ 2x\ }{\ x^2 - 4 \ } + \dfrac{ x + 1 }{\ 4x - 8\ } = \dfrac{\ 8x\ }{\ 4(x -2)(x + 2) \ } + \dfrac{\ (x + 2)(x + 1)\ }{\ 4(x -2)(x + 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ 8 + x^2 + x + 2x + 2 }{\ (x -2)(x + 2)\ } = \dfrac{\ x^2 + 3x + 10\ }{\ 4(x -2)(x + 2)\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, que es $(x - 1)(x + 1)$. Así la primera fracción la amplificamos por $x + 1$ y la segunda por $x - 1$: $$ \dfrac{\ x + 1 \ }{\ x - 1\ } - \dfrac{ x - 1 }{\ x + 1\ } = \dfrac{\ (x + 1)^2\ }{\ (x - 1)(x + 1) \ } - \dfrac{ (x - 1)^2 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^2 + 2x + 1 - (x^2 - 2x + 1) }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{\ x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{\ \xcancel{x^2} + 2x \cancel{+ 1} \xcancel{- x^2} + 2x \cancel{- 1} }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{\ 4x\ }{\ (x - 1)(x + 1)\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, que es $y$. Así la primera fracción la podemos poner $1 = \dfrac{\ y \ }{y}$: $$ 1 - \dfrac{\ x \ }{\ y\ } = \dfrac{\ y \ }{\ y\ } - \dfrac{\ x \ }{\ y\ } = \dfrac{\ y - x \ }{\ y\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, que es $x$. Así la primera fracción la podemos poner $x = \dfrac{\ x^2 \ }{x}$: $$ x - \dfrac{\ x^2 - 1 \ }{\ x\ } = \dfrac{\ x^2 \ }{\ x\ } - \dfrac{\ x^2 - 1 \ }{\ x\ } = \dfrac{\ x^2 - x^2 + 1 \ }{\ x\ } = \dfrac{\ 1 \ }{\ x\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, que es $(x - 1)(x + 1)$. Así la primera fracción la dejamos como está y la segunda la amplificamos por $x + 1$: $$ \dfrac{\ 3x - 2 \ }{\ x^2 - 1\ } + \dfrac{ x + 2 }{\ x - 1\ } = \dfrac{\ 3x - 2 \ }{\ (x - 1)(x + 1)\ } + \dfrac{ (x + 2)(x + 1) }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ 3x - 2 + x^2 + x + 2x + 2 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{\ 3x \cancel{- 2} + x^2 + x + 2x \cancel{+ 2} }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{\ x^2 + 6x }{\ (x - 1)(x + 1)\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, para ello factorizamos los denominadores. Así la primera fracción es $6(x + 2)$ y la segunda fracción es $2(x + 2)(x - 2)$, luego el común denominador es $6(x - 2)(x + 2)$. Tendremos que amplificar la primera fracción por $(x - 2)$ y la segunda por 3: $$ \dfrac{\ 7x\ }{\ 6x + 12 \ } - \dfrac{ x + 5 }{\ 2x^2 - 8\ } = \dfrac{\ 7x(x - 2)\ }{\ 6(x - 2)(x + 2) \ } - \dfrac{ 3(x + 5) }{\ 6(x - 2)(x + 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ 7x^2 - 14x - 3x - 15 }{\ 6(x - 2)(x + 2)\ } = \dfrac{\ 7x^2 - 17x - 15 }{\ 6(x - 2)(x + 2)\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, para ello factorizamos los denominadores. Los denominadores de estas fracciones son irreducibles, luego el común denominador es $(x^2 + 1)(x - 3)$. Tendremos que amplificar la primera fracción por $(x - 3)$ y la segunda por $x^2 + 1$: $$ \dfrac{\ x + 3\ }{\ x^2 + 1 \ } - \dfrac{ 2x }{\ x - 3\ } = \dfrac{\ (x + 3)(x - 3)\ }{\ (x^2 + 1)(x - 3) \ } - \dfrac{ 2x(x^2 + 1) }{\ (x^2 + 1)(x - 3)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^2 - 9 - (2x^3 + 2x)\ }{\ (x^2 + 1)(x - 3) \ } = \dfrac{ - 2x^3 + x^2 - 2x - 9 }{\ (x^2 + 1)(x - 3)\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, para ello antes de nada simplificamos las fracciones y para ello factorizamos. Vamos por la primera fracción: $ \dfrac{\ x - x^2\ }{\ 1 - x^2 \ } = \dfrac{\ x(1 - x)\ }{\ (1 - x)(1 + x) \ } = \dfrac{\ x\cancel{(1 - x)}\ }{\ \cancel{(1 - x)}(1 + x) \ } = \dfrac{\ x\ }{\ 1 + x\ }$
Ahora con la segunda fracción: $ \dfrac{\ 1 + x\ }{\ x^2 + 2x + 1\ } = \dfrac{\ 1 + x\ }{\ (1 + x)^2 \ } = \dfrac{\ \cancel{1 + x}\ }{\ \cancel{(1 + x)}(1 + x) \ } = \dfrac{\ 1\ }{\ 1 + x\ }$
Y con la tercera fracción no podemos simplificar nada, no comparten ningún factor.
Ya tienen las tres fracciones el mismo denominador, vamos a realizar la suma y la resta: $$ \dfrac{\ x - x^2\ }{\ 1 - x^2 \ } + \dfrac{\ 1 + x\ }{\ x^2 + 2x + 1\ } - \dfrac{ 1 - 2x }{\ 1 + x\ } = \dfrac{\ x\ }{\ 1 + x\ } + \dfrac{\ 1\ }{\ 1 + x\ } - \dfrac{ 1 - 2x }{\ 1 + x\ } = \dfrac{\ x + 1 - 1 + 2x \ }{\ 1 + x \ } = \dfrac{ 3x }{\ 1 + x\ } $$
Podemos simplificar el factor $x + 1$, ya que multiplica al numerador y denominador: $$ \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ x + 1 }{\ x + 2\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x + 1 }{\ x + 3\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{\cancel{x + 1}}{\ x + 2\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{\cancel{x + 1}}{\ x + 3\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ 1 }{\ x + 2\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ 1 }{\ x + 3\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ x + 3\ }{ x + 2 } $$
Factorizamos los denominadores de la fracciones y nos queda: $$ \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ 3x + 1 }{\ x^2 - 4\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x }{\ x^2 - 4x + 4\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ 3x + 1 }{\ (x - 2)(x + 2)\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x }{\ (x - 2)^2\ }\ \ \ \ } = $$ Podemos simplificar el factor $x - 2$ de los denominadores, ya que divide al numerador y denominador: $$ = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ 3x + 1 }{\ \cancel{(x - 2)}(x + 2)\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x }{\ (x - 2)^{\cancel{2}}\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ 3x + 1 }{\ x + 2\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x }{\ x - 2\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ (3x + 1)(x - 2) }{\ x(x + 2)\ } = \dfrac{\ 3x^2 - 6x + x - 2 }{\ x(x + 2)\ } = \dfrac{\ 3x^2 - 5x - 2 }{\ x(x + 2)\ } $$
Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores entre ellos y luego los denominadores: $$ \dfrac{ 3x + 1 }{\ x^2\ } \cdot \dfrac{ x + 1 }{\ x^5\ } = \dfrac{ (3x + 1)(x + 1) }{\ x^2 \cdot x^5\ } = \dfrac{\ 3x^2 + 3x + x + 1\ }{\ x^2 \cdot x^5\ } = \dfrac{\ 3x^2 + 4x + 1\ }{\ x^7\ } $$
En este caso, no factorizamos los denominadores ya que no podemos simplificar nada: $$ \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ x + 1 }{\ x^2 - 2\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x - 1 }{\ x^2 + 2\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ (x + 1)(x^2 + 2)\ }{\ (x - 1)(x^2 - 2)\ } = \dfrac{\ x^3 + 2x + x^2 + 2\ }{\ (x - 1)(x^2 - 2)\ } = \dfrac{\ x^3 + x^2 + 2x + 2\ }{\ (x - 1)(x^2 - 2)\ } $$
En este caso lo que tenemos es una identidad notable, diferencia de cuadrados. Podemos aplicar que es igual a suma por diferencia: $$ \left ( \dfrac{ m^2 + 1 }{\ 2\ } \right )^2 - \left ( \dfrac{ m^2 - 1 }{\ 2\ } \right )^2 = \left ( \dfrac{ m^2 + 1 }{\ 2\ } + \dfrac{ m^2 - 1 }{\ 2\ } \right ) \cdot \left ( \dfrac{ m^2 + 1 }{\ 2\ } - \dfrac{ m^2 - 1 }{\ 2\ } \right ) = $$ $$ = \left ( \dfrac{ m^2 + 1 + m^2 - 1 }{\ 2\ } \right ) \cdot \left ( \dfrac{ m^2 + 1 - m^2 + 1 }{\ 2\ } \right ) = \left ( \dfrac{ 2m^2 }{\ 2\ } \right ) \cdot \left ( \dfrac{ 2 }{\ 2\ } \right ) = m^2 \cdot 1 = m^2 $$
Vamos a simplificar las fracciones del numerador y de nominador por separado. Empezamos por el numerador viendo que el denominador es una identidad notable $x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$:
$ \dfrac{ x - 1 }{\ x^2 - 1\ } = \dfrac{ x - 1 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{ \cancel{x - 1} }{\ \cancel{(x - 1)}(x + 1)\ } = \dfrac{ 1 }{\ x + 1\ } $
Ahora el denominador, viendo que $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$:
$ \dfrac{ x + 1 }{\ x^2 + 2x + 1\ } = \dfrac{ x + 1 }{\ (x + 1)^2\ } = \dfrac{ \cancel{x + 1} }{\ (x + 1)^{\cancel{2}}\ } = \dfrac{ 1 }{\ x + 1\ } $
Ahora lo juntamos todo y tenemos: $$ \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ x - 1 }{\ x^2 - 1\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x + 1 }{\ x^2 + 2x + 1\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ 1 }{\ x + 1\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ 1 }{\ x + 1\ }\ \ \ \ } = 1 $$
$$ \dfrac{ 3x^3yz^4 }{\ 5a^2b^3c^6\ } \cdot \dfrac{ 6a^3b^4c^2 }{\ 4x^2y^3z^7\ } = \dfrac{ 3x^3yz^4 6a^3b^4c^2\ }{\ 5a^2b^3c^6 4x^2y^3z^7\ } =\dfrac{ 3 \cdot 6 a^3 b^4 c^2 x^3 y z^4 \ }{\ 4 \cdot 5a^2 b^3 c^6 x^2 y^3 z^7\ } = \dfrac{ 9 a b x \ }{\ 10 c^4 y^2 z^3\ } $$
En la primera fracción, sacamos factor común al numerador y el denominador lo factorizamos, Con la segunda fracción no hacemos nada: $$ \dfrac{ x^2 - xy }{\ x^2 - y^2\ } \cdot \dfrac{ xy }{\ x + y\ } = \dfrac{ x(x - y) }{\ (x - y)(x + y)\ } \cdot \dfrac{ xy }{\ x + y\ } = \dfrac{ x^2y(x - y) }{\ (x + y)^2(x - y)\ } = $$ $$ = \dfrac{ x^2y\cancel{(x - y)} }{\ (x + y)^2\cancel{(x - y)}\ } = \dfrac{ x^2y }{\ (x + y)^2\ } $$
En la primera fracción, factorizamos el denminador y sacamos factor común al denominador. Con la segunda fracción no hacemos nada: $$ \dfrac{ x^2 - y^2 }{\ 4a - 4b\ } \cdot \dfrac{ a - b }{\ x + y\ } = \dfrac{\ (x - y)(x + y)\ }{\ 4(a - 4)\ } \cdot \dfrac{ a - b }{\ x + y\ } = \dfrac{\ (x - y)(x + y)(a - b)\ }{\ 4(a - b)(x + y)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ (x - y) \xcancel{(x + y)} \cancel{(a - b)}\ }{\ 4 \cancel{(a - b)} \xcancel{(x + y)}\ } = \dfrac{\ x - y\ }{ 4 } $$
Aplicamos las identidades notables siguientes: $ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) $ y $ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) $ Sustituimos en las fracciones y nos queda:
$$ \dfrac{ x^3 - y^3 }{\ x - y\ } \cdot \dfrac{ x + y }{\ x^3 + y^3 + 2xy(x + y)\ } = \dfrac{ (x - y)(x^2 + xy + y^2) }{\ x - y\ } \cdot \dfrac{ x + y }{\ (x + y)(x^2 - xy + y^2) + 2xy(x + y)\ } = $$ Sacamos factor común a $(x + y)$ en el denominador de la segunda fracción: $$ = \dfrac{ (x - y)(x^2 + xy + y^2) }{\ x - y\ } \cdot \dfrac{ x + y }{\ (x + y)(x^2 - xy + y^2 + 2xy)\ } = \dfrac{ (x - y)(x^2 + xy + y^2) }{\ x - y\ } \cdot \dfrac{ x + y }{\ (x + y)(x^2 + xy + y^2)\ } = $$ $$ = \dfrac{ \cancel{(x - y)} (x^2 + xy + y^2) }{\ \cancel{x - y}\ } \cdot \dfrac{ x + y }{\ (x + y)(x^2 + xy + y^2)\ } = (x^2 + xy + y^2) \cdot \dfrac{ \cancel{x + y} }{\ \cancel{(x + y)} (x^2 - xy + y^2 + 2xy)\ } = $$ $$ = (x^2 + xy + y^2) \cdot \dfrac{ 1 }{\ x^2 + xy + y^2\ } = 1 $$
Factorizamos los polinomios de los numeradores de la dos primeras fraciones y aplicamos identidades notables en el numerador y denominador de la tercera fracción.
Vamos con el numerador de la primera fracción: $ x^2 - x - 2 $ Está claro que 2 es raíz, y como el producto de las raíces es -2, -1 es la otra raíz, luego $ x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)$
Ahora el numerador de la segunda fracción: $x^2 + 2x - 3$ Está claro que 1 es un raíz ya que la suma de los coeficientes es cero y como el producto de las raíces es -3 la otra raíz es -3, luego $x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$
En la trecera fracción aplicamos identidades notables, en el numerador $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 $ y en el denominador $x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$.
Sustituyendo los polinomios por sus factores tenemos:
$$ \dfrac{ x^2 - x - 2 }{\ x + 3\ } \cdot \dfrac{ x^2 + 2x - 3 }{\ (x - 2)^3\ } \cdot \dfrac{ x^2 - 4x + 4 }{\ x^2 - 1\ } = \dfrac{ (x + 1)(x - 2) }{\ x + 3\ } \cdot \dfrac{ (x - 1)(x + 3) }{\ (x - 2)^3\ } \cdot \dfrac{ (x - 2)^2 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = $$ $$ = \dfrac{ (x + 1)(x - 2)(x - 1)(x + 3)(x - 2)^2 }{\ (x + 3)(x - 2)^3 (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{ (x + 1)(x - 1)(x + 3)(x - 2)^3 }{\ (x + 1)(x - 1)(x + 3)(x - 2)^3 \ } = 1 $$
Vamos a hacer los paréntesis por separado y por orden. Vamos con el $\odn{1}{o}$: $$ 1 - \dfrac{ 1 }{\ x\ } = \dfrac{ x }{\ x\ } - \dfrac{ 1 }{\ x\ } = \dfrac{ x - 1 }{\ x\ } $$ Vamos con el $\odn{2}{o}$ paréntesis: $$ \dfrac{2 x}{\ x^2 - 1\ } - \dfrac{ 1 }{\ x + 1\ } = \dfrac{2 x}{\ (x - 1)(x + 1)\ } - \dfrac{ x - 1 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{ 2x - x + 1 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{ x + 1 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{ \cancel{x + 1} }{\ (x - 1)\cancel{(x + 1)}\ } = \dfrac{ 1 }{\ x - 1 \ } $$ Juntamos los paréntesis y nos queda: $$ \left ( 1 - \dfrac{1}{\ x\ } \right) \cdot \left ( \dfrac{2 x}{\ x^2 - 1\ } - \dfrac{ 1 }{\ x + 1\ } \right ) = \dfrac{ x - 1 }{\ x\ } \cdot \dfrac{ 1 }{\ x - 1 \ } = \dfrac{ x - 1 }{\ x(x - 1)\ } = \dfrac{ \cancel{x - 1} }{\ x\cancel{(x - 1)} \ } = \dfrac{ 1 }{\ x\ } $$
Para poder hacer la suma tenemos que tener el mismo denominador, el denominador de la segunda fracción ya está factorizada, y el denominador de la primera es una identidad notable: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Luego el mínimo común múltiplo es $(x - 1)(x + 1)(x - 2)$. Amplificamos la primera fracción por $x -2$ y la segunda por $x - 1$: $$ \dfrac{\ x^2 + 1\ }{\ x^2 - 1\ } + \dfrac{\ x + 2\ }{\ x - 2\ } \dfrac{\ x - 1\ }{\ x + 1\ } = \dfrac{\ x^2 + 1\ }{\ (x - 1)(x + 1)\ } + \dfrac{\ (x + 2)(x - 1)\ }{\ (x + 1)(x - 2)\ } = \dfrac{\ (x^2 + 1)(x -2)\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } + \dfrac{\ (x +2)(x - 1)^2\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^3 - 2x^2 + x - 2\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } + \dfrac{\ x^3 - 2x^2 + x + 2x^2 - 4x + 2\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^3 - 2x^2 + x - 2\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } + \dfrac{\ x^3 - 3x + 2\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^3 - 2x^2 + x - 2 + x^3 - 3x + 2\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } = \dfrac{\ 2x^3 - 2x^2 - 2x\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } $$
Hacemos primero el paréntesis, es una resta, la primera fracción tiene por denominador una identidad notable: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$. Para hacer la resta amplifico la segunda fracción por $a + b$: $$ \dfrac{\ a^2 + b^2\ }{ a^2 - b^2 } - \dfrac{\ a + b\ }{ a - b } = \dfrac{\ a^2 + b^2\ }{ (a + b)(a - b) } - \dfrac{\ (a + b)^2\ }{ (a + b)(a - b) } = \dfrac{\ a^2 + b^2\ }{ (a + b)(a - b) } - \dfrac{\ a^2 + 2ab + b^2\ }{ (a + b)(a - b) } = $$ $$ = \dfrac{\ a^2 + b^2 - a^2 - 2ab - b^2\ }{ (a + b)(a - b) } = \dfrac{\ - 2ab\ }{ (a + b)(a - b) } $$ Sustituimos el paréntesis por su resultado: $$ \left ( \dfrac{\ a^2 + b^2\ }{ a^2 - b^2 } - \dfrac{\ a + b\ }{ a - b } \right ) \cdot \dfrac{\ a + b\ }{ ab } = \dfrac{\ - 2ab\ }{ (a + b)(a - b) } \cdot \dfrac{\ a + b\ }{ ab } = $$ Para el producto de fracciones no tienen que tener el mismo denominador, luego: $$ = \dfrac{\ - 2ab(a + b)\ }{ ab(a + b)(a - b) } = \dfrac{\ - 2\cancel{ab}\xcancel{(a + b)}\ }{ \cancel{ab}\xcancel{(a + b)}(a - b) } = \dfrac{\ - 2\ }{\ a - b\ } = \dfrac{\ 2\ }{\ b - a\ } $$
Tenemos que hacer primero la división, que no han de tener el mismo denominador y después la suma. Vamos con la división: $$ $\dfrac{ xy }{\ x^2 - y^2\ } : \dfrac{ y }{\ x - y\ } = \dfrac{ xy }{\ x^2 - y^2\ } \cdot \dfrac{\ x - y\ }{ y } = \dfrac{ xy(x - y) }{\ y(x - y)(x + y)\ } = \dfrac{ x(x - y) }{\ (x - y)(x + y)\ } $$ No simplificamos, ya que al hacer la suma el mínimo común múltiplo es $ (x - y)(x + y)$: $$\dfrac{ xy }{\ x^2 - y^2\ } : \dfrac{ y }{\ x - y\ } + \dfrac{ y }{\ x - y\ } = \dfrac{ x(x - y) }{\ (x - y)(x + y)\ } + \dfrac{ y }{\ x - y\ } = \dfrac{ x(x - y) }{\ (x - y)(x + y)\ } + \dfrac{ y(x + y) }{\ (x - y)(x + y)\ } = $$ $$ = \dfrac{ x(x - y) + y(x + y) }{\ (x - y)(x + y)\ } = \dfrac{ x^2 - xy + yx + y^2 }{\ (x - y)(x + y)\ } = \dfrac{ x^2 + y^2 }{\ (x - y)(x + y)\ } $$
$$\frac{ \bbox[2px,border:2px solid red]{ \dfrac{a^2 - 1}{a^2 + 1} - \dfrac{a^2 + 1}{a^2 - 1} } }{ \bbox[2px,border:2px solid green]{ \dfrac{a - 1}{a + 1} - \dfrac{a + 1}{a - 1} } } :\, \bbox[2px,border:2px solid blue]{ \left( \dfrac{a^2 + 1}{a^2 - 2a + 1} : \dfrac{a}{(a - 1)^2} \right) }$$
Primero haremos el numerador de la fracción de la izquierda (está en rojo), después el denominador (está en el cuadrado verde) y por último el paréntesis (en azul). Veámoslo:
\( \mfrac{a^2 - 1}{a^2 + 1} - \mfrac{a^2 + 1}{a^2 - 1} = \mfrac{(a^2 - 1)^2}{(a^2 + 1)(a^2 - 1)} - \mfrac{(a^2 + 1)^2}{(a^2 + 1)(a^2 - 1)} = \mfrac{(a^2 - 1)^2 - (a^2 + 1)^2}{(a^2 + 1)(a^2 - 1)} = \)
\( = \mfrac{(a^2 - 1 + a^2 + 1)(a^2 - 1 - a^2 - 1)}{(a^2 + 1)(a^2 - 1)} = \mfrac{(2a^2)(-2)}{(a^2 + 1)(a^2 - 1)} = \mfrac{-4a^2}{(a^2 + 1)(a^2 - 1)}\)
Vocabulario:
- Amplificar: Multiplicar numerador y denominador por el mismo número o expresión algebraica.
- Polinomio irreducible: Es el polinomio que ya no se puede factorizar más, puede ser de grado 1 o de grado 2. Ejemplos: $x^2 + 1 + 12$, $x^2 + 3$, $x + 7$, $x - 3$, $2x + 3$ o $2x - 1$.
- El correcto uso de paréntesis:
\[ \text{No es lo mismo} (a + b) \cdot a - b \text{ que } (a + b) \cdot (a - b) \]
Veámoslo:
\( (a + b) \cdot a - b = a^2 + ab - b \)
Mientras que \( (a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2 \) es una identidad notable.
- Las identidades notables:
- $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
- $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
- $ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $
- $ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $
- $ (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $
- $ a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2) $
- $ a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2) $
- TEOREMA DEL FACTOR (Ruffini)
Teorema del factor: Un polinomio $p(x)$ tiene como factor el término $x - a$ si el valor numérico del polinomio $p(x)$ para $x = a$ es 0.
Si dividimos el polinomio $p(x) = 3x^3 - 5x^2 - 4$ entre $x - 2$, haciéndolo por Ruffini vemos que el resto es 0.
Utilizando la comprobación de la división tenemos que: $$ d(x) = c(x) \cdot d(x) + r(x) $$ al ser el resto $r(x) = 0$ tenemos que $$p(x) = c(x) \cdot d(x)$$ por lo tanto:
$ 3x^3 - 5x^2 - 4 = \left(3x^2 + x + 2 \right) \cdot (x - 2) $, y por lo tanto $ x - 2$ es un factor de $p(x)$.
- Fórmula cuadrática: Factorizar $x^2 + x - 6$ es lo mismo que resolver la ecuación $x^2 + x - 6 = 0$
$$ x = \dfrac{\ -b \pm \sqrt{\ b^2 - 4ac\ }\ }{ 2a } = \dfrac{\ -1 \pm \sqrt{\ 1 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)\ }\ }{ 2 } = \dfrac{\ -1 \pm \sqrt{\ 1 + 24\ }\ }{ 2 } = \dfrac{\ -1 \pm \sqrt{\ 25\ }\ }{ 2 } = \dfrac{\ -1 \pm 5\ }{ 2 } = $$
$$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 4 }{ 2 } = 2 \Rightarrow x_1 = 2 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -6 }{ 2 } = -3 \Rightarrow x_2 = -3 \end{array}. $$ Luego $$ x^2 + x - 6 = (x - 2) \cdot (x + 3) $$ - Sacando factor común:
$$ x^2 + 5x - 6 = x^2 + 5x + x - x - 6 = x^2 + 6x - x - 6 = x(x + 6) - (x + 6) = (x - 1)(x + 6) $$
Así las raíces de este polinomio son 1 y -6.
$$ x^2 - x - 2 = x^2 - 2x + x - 2 = x(x - 2) - (x - 2) = (x - 1)(x - 2) $$ Las raíces del polinomio son 1 y 2.
$$ 2x^2 - x - 15 = 2x^2 - 6x + 5x - 15 = 2x(x - 3) + 5(x - 3) = (2x + 5)(x -3) $$ Las raíces del polinomio son 3 y $\dfrac{\ -5\ }{ 2 }$.
$$ x^2 - 7x + 12 = x^2 - 3x - 4x - 12 = x(x - 3) - 4(x - 3) = (x - 4)(x -3) $$ Las raíces del polinomio son 3 y 4.
$$ 7x^2 + 33x - 10 = 7x^2 + 35x - 2x - 10 = 7x(x + 5) - 2(x + 5) = (7x - 2)(x + 5) $$ Las raíces del polinomio son -5 y $\dfrac{\ 2\ }{ 7 }$.
$$ x^2 + 2x - 15 = x^2 + 5x - 3x -15 = x(x + 5) - 3(x + 5) = (x - 3)(x + 5) $$ Las raíces del polinomio son 3 y -5.
$$ 3x^2 + 7x - 26 = 3x^2 - 6x + 13x - 26 = 3x(x - 2) + 13(x - 2) = (3x + 13)(x - 2) $$ Las raíces del polinomio son 2 y $\dfrac{\ -13\ }{ 3 }$.
- Aplicando las fórmulas de Cardano-Vieta para un polinomio de $\odn{2}{o}$ grado:
Un polinomio de $\odn{2}{o}$ grado es de la forma $ax^2 + bx + c = 0$ con $a \neq 0$. Las dos raíces del polinomio $x_1$ y $x_2$ cumplen lo siguiente, si divido el polinomio por $a$, tengo $x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}$ y como he calculado sus ráices tengo que:
$$ x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = (x - x_1)(x - x_2)$$
Desarrollando $ (x - x_1)(x - x_2)$ me queda:
$$(x - x_1)(x - x_2) = x^2 - x_1 x - x_2 x + x_1 x_2 = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2$$
Como los dos polinomios han de ser iguales, sus coeficientes han de ser iguales, igualando coeficientes, el de $x^2$ está claro, ya que es 1:
$$ \left \{ \begin{array}{l} \dfrac{b}{a} = -(x_1 + x_2) \cr \cr
\dfrac{c}{a} = x_1 x_2 \end{array} \right . $$
Para el caso particular de $a = 1$ las condiciones son lasa siguientes:
$$ \left \{ \begin{array}{l} b = -(x_1 + x_2) \cr \cr
c = x_1 \cdot x_2 \end{array} \right . $$
Veamos unos ejemplos:
$\bullet \ x^2 - 11x + 28$
$$ \left \{ \begin{array}{l} -11 = -(x_1 + x_2) \Rightarrow 11 = x_1 + x_2 \cr \cr 28 = x_1 \cdot x_2 \end{array} \right . $$ Es decir, dos números cuya suma sea 11 y su producto sea 28, son 4 y 7, que claramente cumplen las condiciones de Cardano-Vieta.
$\bullet \ $ Otro ejemplo: $ x^2 + 6x - 7$
A veces sólo con la condición de que el producto de las raíces es el término independiente podemos sacar las raíces.
En este polinomio se ve fácilmente que 1 es raíz, la suma de los coeficientes da 0. Como el producto de las raíces es -7 y una raíz es 1, la otra es -7. Ya hemos calculado las dos raíces sin problemas.
Vamos a comprobar que cumplen las fórmulas de Cardano-Vieta: $$ \left \{ \begin{array}{l} 6 = -(1 - 7) = -(-6) \checkmark \cr \cr -7 = 1 \cdot (-7) \checkmark \end{array} \right . $$ Así las raíces de este polinomio son 1 y -7.
$\bullet \ $ Otro ejemplo: $ 5x^2 - 7x - 12$
En este ejemplo $a \neq 1$, las relaciones nos dicen que: $$ \left \{ \begin{array}{l} \dfrac{7}{5} = -(x_1 + x_2) \cr \cr \dfrac{ -12 }{5} = x_1 x_2 \end{array} \right . $$ En este caso vemos que -1 es raíz. Como el producto de las raíces es $\dfrac{ -12 }{5}$ y una raíz es -1, la otra es $\dfrac{ 12 }{5}$. Ya hemos calculado las dos raíces sin problemas.
Vamos a comprobar que cumplen las fórmulas de Cardano-Vieta: $$ \left \{ \begin{array}{l} \dfrac{- 7}{5} = - \left (- 1 + \dfrac{12}{5} \right ) = - \left (- \dfrac{5}{5} + \dfrac{12}{5} \right ) = - \dfrac{7}{5} \checkmark \cr \cr \dfrac{ -12 }{5} = - 1 \cdot \dfrac{ 12 }{5} \checkmark \end{array} \right . $$ Así las raíces de este polinomio son -1 y $\dfrac{ -12 }{5}$.
Te doy unos ejemplos para que practiques:
$$x^2 - 2x - 8 \qquad \qquad x^2 + x - 12 \qquad \qquad 5x^2 + 4x - 9 \qquad \qquad 3x^2 - 4x - 7 $$
Vamos con algunos ejercicios de simplificación de F. A.:
Factorizamos el denominador y nos queda: $x^2 + x - 6 = (x - 2) \cdot (x + 3) $
En la fracción algebraica sustituimos, simplificamos y nos queda: $$ \dfrac{ x - 2 }{\ x^2 + x - 6\ } = \dfrac{ x - 2 }{\ (x - 2) \cdot (x + 3) \ } = \dfrac{ \cancel{x - 2} }{\ \cancel{(x - 2)} \cdot (x + 3) \ } = \dfrac{ 1 }{\ x + 3 \ } $$
Factorizamos el denominador, lo podemos hacer por Ruffini o con la fórmula cuadrática o también de esta forma:
$$ 2x^2 - 3x + 1 = 2x^2 - 2x - x + 1 = 2x(x - 1) - 1(x - 1) = (2x - 1)(x - 1) $$
En la fracción algebraica sustituimos, simplificamos y nos queda: $$ \dfrac{ x - 1 }{\ 2x^2 - 3x + 1\ } = \dfrac{x - 1}{\ (2x - 1) \cdot (x - 1)\ } = \dfrac{ \cancel{x - 1} }{\ (2x - 1) \cdot \cancel{(x - 1)}\ } = \dfrac{ 1 }{\ 2x - 1 \ } $$
Factorizamos el numerador, en este caso ya lo hemos hecho antes:
$$ x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3) $$
Factorizamos el denominador, es una identidad notable:
$$ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) $$
En la fracción algebraica sustituimos, simplificamos y nos queda: $$ \dfrac{\ x^2 + x - 6\ }{\ x^2 - 4\ } = \dfrac{ (x - 2)(x + 3) }{\ (x - 2)(x + 2)\ } = \dfrac{ \cancel{(x - 2)} (x + 3) }{\ \cancel{(x - 2)} \cdot (x + 2)\ } = \dfrac{ x + 3 }{\ x + 2 \ } $$
Factorizamos el numerador, es una identidad notable:
$$ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $$
Factorizamos el denominador, vamos a calcular sus raíces: Está claro que 1 es raíz, ¿cómo sacamos la otra?
$$ 5x^2 + 4x - 9 = 5 \cdot (x^2 + \dfrac{4}{5}x - \dfrac{9}{5}) $$
Las raíces de $5x^2 + 4x - 9$ y $x^2 + \dfrac{4}{5}x - \dfrac{9}{5}$ son las mismas. Como 1 es raíz de ambos polinomios y el producto de las raíces es $- \dfrac{9}{5}$, entonces la otra ráiz es $- \dfrac{9}{5}$ y el factor se indica así: $(x - 1)(5x + 9)$ En la fracción algebraica sustituimos, simplificamos y nos queda: $$ \dfrac{\ x^2 - 1\ }{\ 5x^2 + 4x - 9\ } = \dfrac{ (x - 1)(x + 1) }{\ (x - 1)(5x + 9)\ } = \dfrac{ \cancel{(x - 1)} (x + 1) }{\ \cancel{(x - 1)} \cdot (5x + 9)\ } = \dfrac{ x + 1 }{\ 5x + 9 \ } $$
Factorizamos el denominador, es una identidad notable:
$$ x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1) $$
El numerador es irreducible. Luego no podemos simplificar nada, se queda igual $ \dfrac{ x + 2 }{\ x^2 - 1\ } $
El denominador es irreducible.
En el numerador vemos que -2 es raíz, luego como el polinomio es mónico (coeficiente de la mayor potencia de $x$ es 1) y el producto de las raíces es -2, entonces a la fuerza la otra raíz es 1. Luego $x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$ En la fracción algebraica sustituimos, simplificamos y nos queda: $$ \dfrac{ (x + 2)(x - 1) }{\ x + 2\ } = \dfrac{ \cancel{(x + 2)} (x - 1) }{\ \cancel{x + 2}\ } = x - 1 $$
Vamos con algunos ejercicios de sumas y restas:
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, es el producto de los denominadores $b(a - b)(a + b)$. Así la primera fracción la amplificamos por $b(a + b)$, la segunda por $b(a - b)$ y la tercera $(a + b)(a - b)$: $$ \dfrac{ a + b }{\ a - b\ } - \dfrac{ a - b }{\ a + b\ } - \dfrac{ a }{\ b\ } = \dfrac{ b(a + b)^2 }{\ b(a - b)(a + b)\ } - \dfrac{ b(a - b)^2 }{\ b(a - b)(a + b)\ } - \dfrac{ a(a^2 - b^2) }{\ b(a - b)(a + b)\ } = $$ $$ = \dfrac{ b(a + b)^2 - b(a - b)^2 - a(a^2 - b^2) }{\ b(a - b)(a + b)\ } = \dfrac{ b(a^2 + 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2) - a^3 + ab^2 }{\ b(a - b)(a + b)\ } = $$ $$ = \dfrac{ \cancel{a^2b} + 2ab^2 + \xcancel{b^3} \cancel{- a^2b} + 2ab^2 - \xcancel{b^3} - a^3 + ab^2 }{\ b(a - b)(a + b)\ } = \dfrac{ 5ab^2 - a^3 }{\ b(a - b)(a + b)\ } = \dfrac{ a(5b^2 - a^2) }{\ b(a - b)(a + b)\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, es $xyzt$. Así la primera fracción la amplificamos por $xzt$, la segunda por $xyt$, la tercera $xyt$ y la cuarta $yzt$: $$ \dfrac{ x }{\ y\ } - \dfrac{ y }{\ z\ } + \dfrac{ z }{\ t\ } - \dfrac{ t }{\ x\ } = \dfrac{ x^2zt }{\ xyzt\ } - \dfrac{ xy^2t }{\ xyzt\ } + \dfrac{ xyz^2 }{\ xyzt\ } - \dfrac{ yzt^2 }{\ xyzt\ } = \dfrac{ x^2zt - xy^2t + xyz^2 - yzt^2 }{\ xyzt\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, el denominador de la primera fracción es $2(x + 2)$ y el de la segunda fracción es $(x + 2)(x - 2)$, luego el común denominador es $2(x -2)(x + 2)$. Así la primera fracción la amplificamos por $x - 2$ y la segunda por 2: $$ \dfrac{ 3 }{\ 2x + 4\ } + \dfrac{ 2x }{\ x^2 - 4\ } = \dfrac{ 3 }{\ 2(x + 2)\ } + \dfrac{ 2x }{\ (x - 2)(x + 2)\ } = \dfrac{ 3(x - 2) }{\ 2(x + 2)(x - 2)\ } + \dfrac{ 2 \cdot 2x }{\ 2(x - 2)(x + 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{ 3x - 6 + 4x }{\ 2(x - 2)(x + 2)\ } = \dfrac{ 7x - 6 }{\ 2(x - 2)(x + 2)\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, el denominador de la primera fracción es $x^3$ que no se puede factorizar más y el de la segunda fracción es $x^2 + 7)$ que también es irreducible, luego el común denominador es $x^3(x^2 + 7)$. Así la primera fracción la amplificamos por $x^2 + 7$ y la segunda por $x^3$: $$ \dfrac{ x^2 - 1 }{\ x^3\ } - \dfrac{ 2x }{\ x^2 + 7\ } = \dfrac{\ (x^2 - 1)(x^2 + 7)\ }{\ x^3(x^2 + 7)\ } - \dfrac{ 2x \cdot x^3 }{\ x^3(x^2 + 7)\ } = \dfrac{\ x^4 + 7x^2 - x^2 - 7\ }{\ x^3(x^2 + 7)\ } - \dfrac{ 2x^4 }{\ x^3(x^2 + 7)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^4 + 6x^2 - 7 - 2x^4\ }{\ x^3(x^2 + 7)\ } = \dfrac{\ -x^4 + 6x^2 - 7\ }{\ x^3(x^2 + 7)\ } = $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, que es $(x -2)(x + 2)$. Así la primera fracción la amplificamos por $x - 2$ y la segunda por $x + 2$: $$ \dfrac{\ x - 2\ }{\ x + 2 \ } + \dfrac{ x + 2 }{\ x - 2\ } = \dfrac{\ (x - 2)^2\ }{\ (x -2)(x + 2) \ } + \dfrac{ (x + 2)^2 }{\ (x -2)(x + 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^2 - 4x + 4 + x^2 + 4x + 4 }{\ (x -2)(x + 2)\ } = \dfrac{\ x^2 \cancel{- 4x} + 4 + x^2 \cancel{+ 4x} + 4 }{\ (x -2)(x + 2)\ } = \dfrac{\ 2 x^2 + 8 }{\ (x -2)(x + 2)\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, el denominador de la primera fracción es $4(x - 2)(x + 2)$, el de la segunda es $4(x -2)$, luego el común denominador es $4(x -2)(x + 2)$. Así la primera fracción la amplificamos por 4 y la segunda por $x + 2$: $$ \dfrac{\ 2x\ }{\ x^2 - 4 \ } + \dfrac{ x + 1 }{\ 4x - 8\ } = \dfrac{\ 8x\ }{\ 4(x -2)(x + 2) \ } + \dfrac{\ (x + 2)(x + 1)\ }{\ 4(x -2)(x + 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ 8 + x^2 + x + 2x + 2 }{\ (x -2)(x + 2)\ } = \dfrac{\ x^2 + 3x + 10\ }{\ 4(x -2)(x + 2)\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, que es $(x - 1)(x + 1)$. Así la primera fracción la amplificamos por $x + 1$ y la segunda por $x - 1$: $$ \dfrac{\ x + 1 \ }{\ x - 1\ } - \dfrac{ x - 1 }{\ x + 1\ } = \dfrac{\ (x + 1)^2\ }{\ (x - 1)(x + 1) \ } - \dfrac{ (x - 1)^2 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^2 + 2x + 1 - (x^2 - 2x + 1) }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{\ x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{\ \xcancel{x^2} + 2x \cancel{+ 1} \xcancel{- x^2} + 2x \cancel{- 1} }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{\ 4x\ }{\ (x - 1)(x + 1)\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, que es $y$. Así la primera fracción la podemos poner $1 = \dfrac{\ y \ }{y}$: $$ 1 - \dfrac{\ x \ }{\ y\ } = \dfrac{\ y \ }{\ y\ } - \dfrac{\ x \ }{\ y\ } = \dfrac{\ y - x \ }{\ y\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, que es $x$. Así la primera fracción la podemos poner $x = \dfrac{\ x^2 \ }{x}$: $$ x - \dfrac{\ x^2 - 1 \ }{\ x\ } = \dfrac{\ x^2 \ }{\ x\ } - \dfrac{\ x^2 - 1 \ }{\ x\ } = \dfrac{\ x^2 - x^2 + 1 \ }{\ x\ } = \dfrac{\ 1 \ }{\ x\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, que es $(x - 1)(x + 1)$. Así la primera fracción la dejamos como está y la segunda la amplificamos por $x + 1$: $$ \dfrac{\ 3x - 2 \ }{\ x^2 - 1\ } + \dfrac{ x + 2 }{\ x - 1\ } = \dfrac{\ 3x - 2 \ }{\ (x - 1)(x + 1)\ } + \dfrac{ (x + 2)(x + 1) }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ 3x - 2 + x^2 + x + 2x + 2 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{\ 3x \cancel{- 2} + x^2 + x + 2x \cancel{+ 2} }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{\ x^2 + 6x }{\ (x - 1)(x + 1)\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, para ello factorizamos los denominadores. Así la primera fracción es $6(x + 2)$ y la segunda fracción es $2(x + 2)(x - 2)$, luego el común denominador es $6(x - 2)(x + 2)$. Tendremos que amplificar la primera fracción por $(x - 2)$ y la segunda por 3: $$ \dfrac{\ 7x\ }{\ 6x + 12 \ } - \dfrac{ x + 5 }{\ 2x^2 - 8\ } = \dfrac{\ 7x(x - 2)\ }{\ 6(x - 2)(x + 2) \ } - \dfrac{ 3(x + 5) }{\ 6(x - 2)(x + 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ 7x^2 - 14x - 3x - 15 }{\ 6(x - 2)(x + 2)\ } = \dfrac{\ 7x^2 - 17x - 15 }{\ 6(x - 2)(x + 2)\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, para ello factorizamos los denominadores. Los denominadores de estas fracciones son irreducibles, luego el común denominador es $(x^2 + 1)(x - 3)$. Tendremos que amplificar la primera fracción por $(x - 3)$ y la segunda por $x^2 + 1$: $$ \dfrac{\ x + 3\ }{\ x^2 + 1 \ } - \dfrac{ 2x }{\ x - 3\ } = \dfrac{\ (x + 3)(x - 3)\ }{\ (x^2 + 1)(x - 3) \ } - \dfrac{ 2x(x^2 + 1) }{\ (x^2 + 1)(x - 3)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^2 - 9 - (2x^3 + 2x)\ }{\ (x^2 + 1)(x - 3) \ } = \dfrac{ - 2x^3 + x^2 - 2x - 9 }{\ (x^2 + 1)(x - 3)\ } $$
Calculamos el mínimo común múltiplo de las fracciones, para ello antes de nada simplificamos las fracciones y para ello factorizamos. Vamos por la primera fracción: $ \dfrac{\ x - x^2\ }{\ 1 - x^2 \ } = \dfrac{\ x(1 - x)\ }{\ (1 - x)(1 + x) \ } = \dfrac{\ x\cancel{(1 - x)}\ }{\ \cancel{(1 - x)}(1 + x) \ } = \dfrac{\ x\ }{\ 1 + x\ }$
Ahora con la segunda fracción: $ \dfrac{\ 1 + x\ }{\ x^2 + 2x + 1\ } = \dfrac{\ 1 + x\ }{\ (1 + x)^2 \ } = \dfrac{\ \cancel{1 + x}\ }{\ \cancel{(1 + x)}(1 + x) \ } = \dfrac{\ 1\ }{\ 1 + x\ }$
Y con la tercera fracción no podemos simplificar nada, no comparten ningún factor.
Ya tienen las tres fracciones el mismo denominador, vamos a realizar la suma y la resta: $$ \dfrac{\ x - x^2\ }{\ 1 - x^2 \ } + \dfrac{\ 1 + x\ }{\ x^2 + 2x + 1\ } - \dfrac{ 1 - 2x }{\ 1 + x\ } = \dfrac{\ x\ }{\ 1 + x\ } + \dfrac{\ 1\ }{\ 1 + x\ } - \dfrac{ 1 - 2x }{\ 1 + x\ } = \dfrac{\ x + 1 - 1 + 2x \ }{\ 1 + x \ } = \dfrac{ 3x }{\ 1 + x\ } $$
Vamos con algunos ejercicios de productos y divisiones de F. A.:
Podemos simplificar el factor $x + 1$, ya que multiplica al numerador y denominador: $$ \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ x + 1 }{\ x + 2\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x + 1 }{\ x + 3\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{\cancel{x + 1}}{\ x + 2\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{\cancel{x + 1}}{\ x + 3\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ 1 }{\ x + 2\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ 1 }{\ x + 3\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ x + 3\ }{ x + 2 } $$
Factorizamos los denominadores de la fracciones y nos queda: $$ \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ 3x + 1 }{\ x^2 - 4\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x }{\ x^2 - 4x + 4\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ 3x + 1 }{\ (x - 2)(x + 2)\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x }{\ (x - 2)^2\ }\ \ \ \ } = $$ Podemos simplificar el factor $x - 2$ de los denominadores, ya que divide al numerador y denominador: $$ = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ 3x + 1 }{\ \cancel{(x - 2)}(x + 2)\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x }{\ (x - 2)^{\cancel{2}}\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ 3x + 1 }{\ x + 2\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x }{\ x - 2\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ (3x + 1)(x - 2) }{\ x(x + 2)\ } = \dfrac{\ 3x^2 - 6x + x - 2 }{\ x(x + 2)\ } = \dfrac{\ 3x^2 - 5x - 2 }{\ x(x + 2)\ } $$
Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores entre ellos y luego los denominadores: $$ \dfrac{ 3x + 1 }{\ x^2\ } \cdot \dfrac{ x + 1 }{\ x^5\ } = \dfrac{ (3x + 1)(x + 1) }{\ x^2 \cdot x^5\ } = \dfrac{\ 3x^2 + 3x + x + 1\ }{\ x^2 \cdot x^5\ } = \dfrac{\ 3x^2 + 4x + 1\ }{\ x^7\ } $$
En este caso, no factorizamos los denominadores ya que no podemos simplificar nada: $$ \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ x + 1 }{\ x^2 - 2\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x - 1 }{\ x^2 + 2\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ (x + 1)(x^2 + 2)\ }{\ (x - 1)(x^2 - 2)\ } = \dfrac{\ x^3 + 2x + x^2 + 2\ }{\ (x - 1)(x^2 - 2)\ } = \dfrac{\ x^3 + x^2 + 2x + 2\ }{\ (x - 1)(x^2 - 2)\ } $$
En este caso lo que tenemos es una identidad notable, diferencia de cuadrados. Podemos aplicar que es igual a suma por diferencia: $$ \left ( \dfrac{ m^2 + 1 }{\ 2\ } \right )^2 - \left ( \dfrac{ m^2 - 1 }{\ 2\ } \right )^2 = \left ( \dfrac{ m^2 + 1 }{\ 2\ } + \dfrac{ m^2 - 1 }{\ 2\ } \right ) \cdot \left ( \dfrac{ m^2 + 1 }{\ 2\ } - \dfrac{ m^2 - 1 }{\ 2\ } \right ) = $$ $$ = \left ( \dfrac{ m^2 + 1 + m^2 - 1 }{\ 2\ } \right ) \cdot \left ( \dfrac{ m^2 + 1 - m^2 + 1 }{\ 2\ } \right ) = \left ( \dfrac{ 2m^2 }{\ 2\ } \right ) \cdot \left ( \dfrac{ 2 }{\ 2\ } \right ) = m^2 \cdot 1 = m^2 $$
Vamos a simplificar las fracciones del numerador y de nominador por separado. Empezamos por el numerador viendo que el denominador es una identidad notable $x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$:
$ \dfrac{ x - 1 }{\ x^2 - 1\ } = \dfrac{ x - 1 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{ \cancel{x - 1} }{\ \cancel{(x - 1)}(x + 1)\ } = \dfrac{ 1 }{\ x + 1\ } $
Ahora el denominador, viendo que $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$:
$ \dfrac{ x + 1 }{\ x^2 + 2x + 1\ } = \dfrac{ x + 1 }{\ (x + 1)^2\ } = \dfrac{ \cancel{x + 1} }{\ (x + 1)^{\cancel{2}}\ } = \dfrac{ 1 }{\ x + 1\ } $
Ahora lo juntamos todo y tenemos: $$ \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ x - 1 }{\ x^2 - 1\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ x + 1 }{\ x^2 + 2x + 1\ }\ \ \ \ } = \dfrac{\ \ \ \ \dfrac{ 1 }{\ x + 1\ }\ \ \ \ }{\ \ \ \ \dfrac{ 1 }{\ x + 1\ }\ \ \ \ } = 1 $$
$$ \dfrac{ 3x^3yz^4 }{\ 5a^2b^3c^6\ } \cdot \dfrac{ 6a^3b^4c^2 }{\ 4x^2y^3z^7\ } = \dfrac{ 3x^3yz^4 6a^3b^4c^2\ }{\ 5a^2b^3c^6 4x^2y^3z^7\ } =\dfrac{ 3 \cdot 6 a^3 b^4 c^2 x^3 y z^4 \ }{\ 4 \cdot 5a^2 b^3 c^6 x^2 y^3 z^7\ } = \dfrac{ 9 a b x \ }{\ 10 c^4 y^2 z^3\ } $$
En la primera fracción, sacamos factor común al numerador y el denominador lo factorizamos, Con la segunda fracción no hacemos nada: $$ \dfrac{ x^2 - xy }{\ x^2 - y^2\ } \cdot \dfrac{ xy }{\ x + y\ } = \dfrac{ x(x - y) }{\ (x - y)(x + y)\ } \cdot \dfrac{ xy }{\ x + y\ } = \dfrac{ x^2y(x - y) }{\ (x + y)^2(x - y)\ } = $$ $$ = \dfrac{ x^2y\cancel{(x - y)} }{\ (x + y)^2\cancel{(x - y)}\ } = \dfrac{ x^2y }{\ (x + y)^2\ } $$
En la primera fracción, factorizamos el denminador y sacamos factor común al denominador. Con la segunda fracción no hacemos nada: $$ \dfrac{ x^2 - y^2 }{\ 4a - 4b\ } \cdot \dfrac{ a - b }{\ x + y\ } = \dfrac{\ (x - y)(x + y)\ }{\ 4(a - 4)\ } \cdot \dfrac{ a - b }{\ x + y\ } = \dfrac{\ (x - y)(x + y)(a - b)\ }{\ 4(a - b)(x + y)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ (x - y) \xcancel{(x + y)} \cancel{(a - b)}\ }{\ 4 \cancel{(a - b)} \xcancel{(x + y)}\ } = \dfrac{\ x - y\ }{ 4 } $$
Aplicamos las identidades notables siguientes: $ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) $ y $ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) $ Sustituimos en las fracciones y nos queda:
$$ \dfrac{ x^3 - y^3 }{\ x - y\ } \cdot \dfrac{ x + y }{\ x^3 + y^3 + 2xy(x + y)\ } = \dfrac{ (x - y)(x^2 + xy + y^2) }{\ x - y\ } \cdot \dfrac{ x + y }{\ (x + y)(x^2 - xy + y^2) + 2xy(x + y)\ } = $$ Sacamos factor común a $(x + y)$ en el denominador de la segunda fracción: $$ = \dfrac{ (x - y)(x^2 + xy + y^2) }{\ x - y\ } \cdot \dfrac{ x + y }{\ (x + y)(x^2 - xy + y^2 + 2xy)\ } = \dfrac{ (x - y)(x^2 + xy + y^2) }{\ x - y\ } \cdot \dfrac{ x + y }{\ (x + y)(x^2 + xy + y^2)\ } = $$ $$ = \dfrac{ \cancel{(x - y)} (x^2 + xy + y^2) }{\ \cancel{x - y}\ } \cdot \dfrac{ x + y }{\ (x + y)(x^2 + xy + y^2)\ } = (x^2 + xy + y^2) \cdot \dfrac{ \cancel{x + y} }{\ \cancel{(x + y)} (x^2 - xy + y^2 + 2xy)\ } = $$ $$ = (x^2 + xy + y^2) \cdot \dfrac{ 1 }{\ x^2 + xy + y^2\ } = 1 $$
Factorizamos los polinomios de los numeradores de la dos primeras fraciones y aplicamos identidades notables en el numerador y denominador de la tercera fracción.
Vamos con el numerador de la primera fracción: $ x^2 - x - 2 $ Está claro que 2 es raíz, y como el producto de las raíces es -2, -1 es la otra raíz, luego $ x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)$
Ahora el numerador de la segunda fracción: $x^2 + 2x - 3$ Está claro que 1 es un raíz ya que la suma de los coeficientes es cero y como el producto de las raíces es -3 la otra raíz es -3, luego $x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$
En la trecera fracción aplicamos identidades notables, en el numerador $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 $ y en el denominador $x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$.
Sustituyendo los polinomios por sus factores tenemos:
$$ \dfrac{ x^2 - x - 2 }{\ x + 3\ } \cdot \dfrac{ x^2 + 2x - 3 }{\ (x - 2)^3\ } \cdot \dfrac{ x^2 - 4x + 4 }{\ x^2 - 1\ } = \dfrac{ (x + 1)(x - 2) }{\ x + 3\ } \cdot \dfrac{ (x - 1)(x + 3) }{\ (x - 2)^3\ } \cdot \dfrac{ (x - 2)^2 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = $$ $$ = \dfrac{ (x + 1)(x - 2)(x - 1)(x + 3)(x - 2)^2 }{\ (x + 3)(x - 2)^3 (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{ (x + 1)(x - 1)(x + 3)(x - 2)^3 }{\ (x + 1)(x - 1)(x + 3)(x - 2)^3 \ } = 1 $$
Vamos con algunos ejercicios de operaciones combinadas de F. A.:
Vamos a hacer los paréntesis por separado y por orden. Vamos con el $\odn{1}{o}$: $$ 1 - \dfrac{ 1 }{\ x\ } = \dfrac{ x }{\ x\ } - \dfrac{ 1 }{\ x\ } = \dfrac{ x - 1 }{\ x\ } $$ Vamos con el $\odn{2}{o}$ paréntesis: $$ \dfrac{2 x}{\ x^2 - 1\ } - \dfrac{ 1 }{\ x + 1\ } = \dfrac{2 x}{\ (x - 1)(x + 1)\ } - \dfrac{ x - 1 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{ 2x - x + 1 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{ x + 1 }{\ (x - 1)(x + 1)\ } = \dfrac{ \cancel{x + 1} }{\ (x - 1)\cancel{(x + 1)}\ } = \dfrac{ 1 }{\ x - 1 \ } $$ Juntamos los paréntesis y nos queda: $$ \left ( 1 - \dfrac{1}{\ x\ } \right) \cdot \left ( \dfrac{2 x}{\ x^2 - 1\ } - \dfrac{ 1 }{\ x + 1\ } \right ) = \dfrac{ x - 1 }{\ x\ } \cdot \dfrac{ 1 }{\ x - 1 \ } = \dfrac{ x - 1 }{\ x(x - 1)\ } = \dfrac{ \cancel{x - 1} }{\ x\cancel{(x - 1)} \ } = \dfrac{ 1 }{\ x\ } $$
Para poder hacer la suma tenemos que tener el mismo denominador, el denominador de la segunda fracción ya está factorizada, y el denominador de la primera es una identidad notable: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Luego el mínimo común múltiplo es $(x - 1)(x + 1)(x - 2)$. Amplificamos la primera fracción por $x -2$ y la segunda por $x - 1$: $$ \dfrac{\ x^2 + 1\ }{\ x^2 - 1\ } + \dfrac{\ x + 2\ }{\ x - 2\ } \dfrac{\ x - 1\ }{\ x + 1\ } = \dfrac{\ x^2 + 1\ }{\ (x - 1)(x + 1)\ } + \dfrac{\ (x + 2)(x - 1)\ }{\ (x + 1)(x - 2)\ } = \dfrac{\ (x^2 + 1)(x -2)\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } + \dfrac{\ (x +2)(x - 1)^2\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^3 - 2x^2 + x - 2\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } + \dfrac{\ x^3 - 2x^2 + x + 2x^2 - 4x + 2\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^3 - 2x^2 + x - 2\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } + \dfrac{\ x^3 - 3x + 2\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } = $$ $$ = \dfrac{\ x^3 - 2x^2 + x - 2 + x^3 - 3x + 2\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } = \dfrac{\ 2x^3 - 2x^2 - 2x\ }{\ (x - 1)(x + 1)(x - 2)\ } $$
Hacemos primero el paréntesis, es una resta, la primera fracción tiene por denominador una identidad notable: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$. Para hacer la resta amplifico la segunda fracción por $a + b$: $$ \dfrac{\ a^2 + b^2\ }{ a^2 - b^2 } - \dfrac{\ a + b\ }{ a - b } = \dfrac{\ a^2 + b^2\ }{ (a + b)(a - b) } - \dfrac{\ (a + b)^2\ }{ (a + b)(a - b) } = \dfrac{\ a^2 + b^2\ }{ (a + b)(a - b) } - \dfrac{\ a^2 + 2ab + b^2\ }{ (a + b)(a - b) } = $$ $$ = \dfrac{\ a^2 + b^2 - a^2 - 2ab - b^2\ }{ (a + b)(a - b) } = \dfrac{\ - 2ab\ }{ (a + b)(a - b) } $$ Sustituimos el paréntesis por su resultado: $$ \left ( \dfrac{\ a^2 + b^2\ }{ a^2 - b^2 } - \dfrac{\ a + b\ }{ a - b } \right ) \cdot \dfrac{\ a + b\ }{ ab } = \dfrac{\ - 2ab\ }{ (a + b)(a - b) } \cdot \dfrac{\ a + b\ }{ ab } = $$ Para el producto de fracciones no tienen que tener el mismo denominador, luego: $$ = \dfrac{\ - 2ab(a + b)\ }{ ab(a + b)(a - b) } = \dfrac{\ - 2\cancel{ab}\xcancel{(a + b)}\ }{ \cancel{ab}\xcancel{(a + b)}(a - b) } = \dfrac{\ - 2\ }{\ a - b\ } = \dfrac{\ 2\ }{\ b - a\ } $$
Tenemos que hacer primero la división, que no han de tener el mismo denominador y después la suma. Vamos con la división: $$ $\dfrac{ xy }{\ x^2 - y^2\ } : \dfrac{ y }{\ x - y\ } = \dfrac{ xy }{\ x^2 - y^2\ } \cdot \dfrac{\ x - y\ }{ y } = \dfrac{ xy(x - y) }{\ y(x - y)(x + y)\ } = \dfrac{ x(x - y) }{\ (x - y)(x + y)\ } $$ No simplificamos, ya que al hacer la suma el mínimo común múltiplo es $ (x - y)(x + y)$: $$\dfrac{ xy }{\ x^2 - y^2\ } : \dfrac{ y }{\ x - y\ } + \dfrac{ y }{\ x - y\ } = \dfrac{ x(x - y) }{\ (x - y)(x + y)\ } + \dfrac{ y }{\ x - y\ } = \dfrac{ x(x - y) }{\ (x - y)(x + y)\ } + \dfrac{ y(x + y) }{\ (x - y)(x + y)\ } = $$ $$ = \dfrac{ x(x - y) + y(x + y) }{\ (x - y)(x + y)\ } = \dfrac{ x^2 - xy + yx + y^2 }{\ (x - y)(x + y)\ } = \dfrac{ x^2 + y^2 }{\ (x - y)(x + y)\ } $$
$$\frac{ \bbox[2px,border:2px solid red]{ \dfrac{a^2 - 1}{a^2 + 1} - \dfrac{a^2 + 1}{a^2 - 1} } }{ \bbox[2px,border:2px solid green]{ \dfrac{a - 1}{a + 1} - \dfrac{a + 1}{a - 1} } } :\, \bbox[2px,border:2px solid blue]{ \left( \dfrac{a^2 + 1}{a^2 - 2a + 1} : \dfrac{a}{(a - 1)^2} \right) }$$
Primero haremos el numerador de la fracción de la izquierda (está en rojo), después el denominador (está en el cuadrado verde) y por último el paréntesis (en azul). Veámoslo:
\( \mfrac{a^2 - 1}{a^2 + 1} - \mfrac{a^2 + 1}{a^2 - 1} = \mfrac{(a^2 - 1)^2}{(a^2 + 1)(a^2 - 1)} - \mfrac{(a^2 + 1)^2}{(a^2 + 1)(a^2 - 1)} = \mfrac{(a^2 - 1)^2 - (a^2 + 1)^2}{(a^2 + 1)(a^2 - 1)} = \)
\( = \mfrac{(a^2 - 1 + a^2 + 1)(a^2 - 1 - a^2 - 1)}{(a^2 + 1)(a^2 - 1)} = \mfrac{(2a^2)(-2)}{(a^2 + 1)(a^2 - 1)} = \mfrac{-4a^2}{(a^2 + 1)(a^2 - 1)}\)
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com
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