El Principio del Camello.

He aquí una de las herramientas más poderosas de las matemáticas: el principio del camello.

Esto es, cómo funciona y por qué es esencial, pero primero, la historia:

- Un hombre fallece, dejando la mitad de su fortuna a su hijo mayor, la tercera parte a su hijo mediano y la novena al más pequeño.
- Al abrir el establo, se dan cuenta de que el padre tenía 17 camellos.
- Esto es un problema, ya que no pueden dividir 17 camellos en 1/2, 1/3 y 1/9 sin cortar algunos a trozos.
- Entonces recurren a un vecino sabio en busca de consejo. El hombre sabio dice: "sostened mi camello" y resuelve el problema prestándoles uno a los muchachos.
- Ahora el establo tiene 18. El hijo mayor se lleva 9 a casa, mientras que el hijo del medio y el más pequeño se va con 6 y 2 respectivamente, como deseaba su padre.
- El hombre sabio recupera su camello y todos están contentos.
Así nace el principio del camello: sumar y restar la misma cantidad no cambia la igualdad, pero puede ayudar en el cálculo. En matemáticas no se puede vivir sin este principio. Te mostraré dos ejemplos. $$ x = (x + y) - y $$ La primera es la ecuación cuadrática. Esta fórmula se deriva del principio del camello. ¡Te mostraré cómo! $$ ax^2 + bx + c = 0 $$ Como $a \ne 0$, podemos multiplicar por $4a$:
$$ 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 $$ AHora aplicamos el pricipio del camello sumando y restando $b^2$ para completar el cuadrado de $4a^2x^2 + 4abx$: $$ 4a^2x^2 + 4abx = -4ac $$ $$ 4a^2x^2 + 4abx + b^2 - b^2 = -4ac $$ $$ 4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac $$ $$ (2abx + b)^2 = b^2 - 4ac $$ Despejamos $2ax + b$: $$ 2ax + b = \pm \msqrt{b^2 - 4ac} $$ Ahora despejamos $x$: $$ 2ax = - b \pm \msqrt{b^2 - 4ac} \Rightarrow x = -\mfrac{ -b \pm \msqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a } $$ Existe una versión alternativa del principio del camello, que realiza una hazaña similar: multiplicar y dividir por la misma cantidad. Esto tampoco cambia la igualdad. $$ x = x \cdot \mfrac{y}{y} $$ Para ilustrarlo, veamos las derivadas, el motor principal detrás de las matemáticas, la física y la optimización. (Y muchos otros campos que permitieron que la tecnología llegara a donde está ahora). ¿Cómo calcularías la derivada de una función compuesta? Esta es una pregunta esencial. Sin ella, no hay retropropagación, descenso de gradiente ni, por ende, redes neuronales. (Al menos hasta que alguien invente una alternativa inteligente. Pero eso llevará un tiempo.) La definición de derivada: \[ f'(a) = \milmt{x}{a}{ \mfrac{f(x) - f(a) }{ x - a} } \] Lo adivinaste bien: ¡el principio del camello! (Al menos la segunda versión, donde se multiplica y divide con la misma cantidad.) Una vez aplicado el principio del camello, el límite se puede llevar a cabo término por término. Veámoslo en la derivada de la función compuesto: \[ (f \circ g)'(a) = \milmt{x}{a}{ \mfrac{f(g(x)) - f(g(a)) }{ x - a} } \] \[ (f \circ g)'(a) = \milmt{x}{a}{ \mfrac{f(g(x)) - f(g(a)) }{ x - a} } = \] \[ = \milmt{x}{a}{ \mfrac{ f(g(x)) - f(g(a)) }{ x - a} \cdot \mfrac{g(x) - g(a)}{g(x) - g(a) } } = \] \[ = \milmt{x}{a}{ \mfrac{f(g(x)) - f(g(a)) } {g(x) - g(a)} \cdot \mfrac{g(x) - g(a)}{ x - a} } = \] \[ = \milmt{x}{a}{ \mfrac{f(g(x)) - f(g(a)) } {g(x) - g(a)} \cdot \mfrac{g(x) - g(a)}{ x - a} } = \] \[ = \milmt{x}{a}{ \mfrac{f(g(x)) - f(g(a)) } {g(x) - g(a)} } \cdot \milmt{x}{a}{ \mfrac{g(x) - g(a)}{ x - a} } = f'(g(a)) \cdot g'(a) \] La lección que debemos sacar de esto es que las pequeñas curiosidades matemáticas, como el principio del camello, suelen descartarse por "no tener ninguna aplicación". Sin embargo, esta miopía a menudo conduce al mal camino. Al comprender los átomos, se pueden construir rascacielos.