Elementos circulares. Fórmulas. Alguna demostración.

Dentro de los elemenots circulares, vamos a ver los siguientes elementos y vamos a calcular sus áreas y/o longitudes:

1. Segmento circular: Un segmento circular es la porción de un círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente que la cuerda subtiende.
2. Sector circular: es la porción delimitada por dos radios y un arco.
3. Triángulo en un círculo: tiene un vértice en el centro del círculo y los otros dos en la circunferencia que lo delimita.
4. Cuerda: es un segmento de línea recta cuyos dos extremos están ubicados en la circunferencia de un círculo.
5. Arco circular: Un arco circular, o arco de circunferencia, es una porción de la circunferencia que une dos puntos sobre ella.

Aquí tienes un applet donde puedes ver otros tipos de regiones del círculo:

Área de un sector circular:

Con una sencilla regla de tres, podemos calcular el área de un sector circular y la longitud de un arco de circunferencia: Si el área del círculo completo es $\pi r^2$, entonces la región de ángulo $theta$ será $A_s$, vamos a las cuentas: \[ \begin{array}{ccc} 2\pi & \longrightarrow & \pi r^2 \\ \\ \theta & \longrightarrow & A_s \end{array} \Rightarrow A_s \cdot 2 \pi = \theta \pi r^2 \Rightarrow A_s = \mfrac{ \theta \pi r^2 }{2 \pi } = \mfrac{ \theta r^2 }{ 2 } \]

Si la longitud del círculo, un arco completo, es $2 \pi r$, entonces la región de ángulo $theta$ será $A_s$, vamos a las cuentas: \[ \begin{array}{ccc} 2\pi & \longrightarrow & 2 \pi r \\ \\ \theta & \longrightarrow & l_a \end{array} \Rightarrow l_a \cdot 2 \pi = \theta 2 \pi r \Rightarrow l_a = \mfrac{ \theta 2 \pi r }{2 \pi } = \theta r \]

El área de un triángulo es $A_t = \dfrac{1}{2} \cdot b \cdot h$. La base es $r$, lo apoyamos sobre un radio y la altura es $r \cdot \sen \theta $ luego el área es: \[ A_t = \mfrac{1}{2} r^2 \sen \theta \]

Para calcular el área de un segmento circular, como sabemos el área de un sector y el área de un triánngulo, entonces el área del segmento es la diferencia: \[ A_{sg} = A_s - A_t = \mfrac{ \theta r^2 }{ 2 } - \mfrac{1}{2} r^2 \sen \theta = \mfrac{1}{2} r^2 (\theta - \sen \theta) \]

Longitud de una cuerda: Si aplicamos el teoremos del coseno sobre el triángulo que define la cuerda y los dos radios, sabemos el ángulo comprendido entre los dos radios, tenemos: \[ (l_c)^2 = r^2 + r^2 - 2 r \cdot r \cdot \cos \theta \Rightarrow (l_c)^2 = 2r^2 - 2 r^2 \cos \theta \Rightarrow (l_c)^2 = 2r^2 (1 - \cos \theta ) \Rightarrow (*) \] \[ \mfrac{1 - cos \theta}{ 2 } = \sen^2 \left ( \mfrac{\theta}{2} \right ) \] Entonces: \[ (*) \Rightarrow (l_c)^2 = 4r^2 \sen^2 \left ( \mfrac{\theta}{2} \right ) \Rightarrow l_c = 2r \sen \left ( \mfrac{\theta}{2} \right ) \]

Estas fórmulas te puede venir para este tipo de ejercicios:

Calcula el área de la superficie roja.