Intervalos: finitos e infinitos. Entorno de centro c y radio r. Distancias.

Intervalos

Definición: Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: $a$ y $b$ que se llaman extremos del intervalo, $a$ es el extremo inferior y $b$ es el extremo superior ($a \leq b$). La representación de un intervalo finito en la recta numérica es un segmento (trozo de recta limitado por dos puntos).

La idea principal que debemos asociar al concepto de intervalo es la de un conjunto de números.

Definición: Se llama amplitud o longitud del intervalo a la diferencia del extremo superior y el extremo inferior:

 $$ \text{ amplitud del intervalo, longitud del intervalo} = d(a, b) = b - a $$.

Si los extremos del intervalo abierto coinciden, el intervalo representa al conjunto vacío: $(a, a) = \emptyset $


Si los extremos del intervalo cerrado coinciden, el intervalo representa al punto $a$: $[a, a] = \{ a \} $


Siempre $ a \leq b$. No tiene sentido hablar del intervalo $[5, -3]$ ya que no existen números que sean mayores que 5 y a la vez menores que -3.

Intervalos finitos: son los intervalos de amplitud finita.

Intervalo abierto ($a$, $b$), es el conjunto de todos los números reales mayores que $a$ y menores que $b$.

$$(a, b) = ]a, b[ = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a < x < b \}$$

Intervalo cerrado [$a$, $b$], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que $a$ y menores o iguales que $b$.

$$[a, b] = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a \le x \le b \} = (a, b) \ \bigcup \ \{ a, b \} $$

Intervalo semiabierto por la izquierda o semicerrado por la derecha, ($a$, $b$], es el conjunto de todos los números reales mayores que $a$ y menores o iguales que $b$.

$$(a, b] = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a < x \leq b \} = (a, b) \ \bigcup \ \{ b \} $$

Intervalo semiabierto por la derecha o semicerrado por la izquierda, [$a$, $b$), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que $a$ y menores que $b$.

$$[a, b) = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a \leq x < b \} = (a, b) \ \bigcup \ \{a\} $$

En este applet de GeoGebra podemos manejar los intervalos y los entornos:


Ejemplos:  

$ [1,7] \Rightarrow \text{ Amplitud de } [1,7] = 7 - 1 = 6 $


$ (-2, 5) \Rightarrow \text{ Amplitud de } (-2, 5) = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 $


$ [3, 10) \Rightarrow \text{ Amplitud de } [3, 10) = 10 - 3 = 7 $


$ (-12, 10] \Rightarrow \text{ Amplitud de } (-12, 10] = 10 - (-12) = 10 + 12 = 22 $


$ (-22, -13) \Rightarrow \text{ Amplitud de } (-22, -13) = -13 - (-22) = -13 + 22 = 9 $

Intervalos infinitos: son los intervalos de amplitud infinita.

Los extremos del intervalo también pueden ser infinito, en este caso, la representación de estos conjuntos en la recta numérica serían semirrectas.

Intervalo $(a, + \infty)$, es el conjunto de todos los números reales mayores que $a$.

$$(a, + \infty) = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a < x \}$$

Intervalo [$a$, $+ \infty$), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que $a$.

$$[a, + \infty) = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | a \le x \}$$

Intervalo ($- \infty$, $b$), es el conjunto de todos los números reales menores que $b$.

$$(- \infty, b) = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | x < b  \}$$

Intervalo ($- \infty$, $b$], es el conjunto de todos los números reales menores o iguales que $b$.

$$(- \infty, b] = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{R} \ \big | x \leq b \}$$

Ejemplos: ($- \infty$, 12]; ($- \infty$, -15); [3, $+ \infty$) y (-12, $+ \infty$). 

Los dos extremos del intervalo también pueden ser infinito, en este caso serían todos los reales, es decir, el intervalo, ($- \infty$, $+ \infty$), es el conjunto de todos los números reales, la recta numérica.

$$(- \infty, + \infty) = \mathbb{R}$$

En este applet de GeoGebra podemos manejar los intervalos infinitos:

Entornos

Se define el entorno abierto de centro $c$ y radio $r \geq 0$, se denota $E(c, r) = E_{r}(c)$ al intervalo abierto

$$ E_{r}(c) = (c - r, c + r) = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | c - r < x < c + r \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | -r < x - c < r \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | \mid x - c \mid < r \}$$

Se define el entorno cerrado centro de centro $c$ y radio $r$, se denota $E[c, r] = E_{r}[c]$ al intervalo cerrado

$$ E_{r}[c] = [c - r, c + r] = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | c - r \leq x \leq c + r \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | - r \leq x - c \leq r \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | \mid x - c \mid \leq r \}$$

¿Cómo pasamos de intervalo $(a, b)$ a entorno $E(c, r) = E_{r}(c)$?   Si igualamos los extremos del intervalo con los extremos del entorno formamos el siguiente sistema:

$$ \Large \cases{ a = c - r \cr \cr b = c + r } $$

Cuya solución es la siguiente: 

$$ a + b = 2c \Leftrightarrow c = \dfrac{a + b}{2} \ \text{el centro es el punto medio del intervalo;}$$ 

$$ b - a = 2r \Leftrightarrow r = \dfrac{b - a}{2} \ \text{el radio es la mitad de la amplitud del intervalo.} $$ 

Veamos un ejemplo, el intervalo abierto $(3,7)$ lo vamos a pasar a entorno: 

$$ c = \dfrac{a + b}{2} \Leftrightarrow c = \dfrac{3 + 7}{2} = 5$$ 

$$ r = \dfrac{b - a}{2} \Leftrightarrow c = \dfrac{7 - 3}{2} = 2$$  

Es decir el intervalo abierto $(3,7)$ es el entorno de centro 5 y radio 2 $E(5, 2) = E_{2}(5)$

$$(3,7) = E(5, 2)$$

Exactamente igual si fuera un intervalo cerrado $[3,7] = E[5, 2] = E_{2}[5]$

¿Cómo pasamos de entorno $E(c, r) = E_{r}(c)$ a intervalo $(a, b)$? Vamos a pasar de entorno abierto de centro -3 y radio 4 $E(-3, 4) = E_{4}(-3)$ a intervalo: 

El extremo inferior del intervalo es centro $-$ radio: $ a = c - r  \Leftrightarrow a = -3 - 4 = -7 $ 

El extremo superior del intervalo es centro $+$ radio: $ b = c + r  \Leftrightarrow a = -3 + 4 = 1 $ 

Luego entorno abierto de centro -3 y radio 4, $E(-3, 4) = E_{4}(-3)$, es el intervalo abierto $(-7, 1)$.

$$E(-3, 4) = (-7, 1)$$

Exactamente igual si fuera el entorno cerrado $E[-3, 4] = [-7, 1]$

Ejemplo: $E(0, 3) = (-3, 3) = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | -3 < x < 3 \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | \mid x \mid < 3 \}$ 

$E[0,3] = [-3, 3] = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | -3 \leq x \leq 3 \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | \mid x \mid \leq 3 \}$ 

Ejemplo: $E(1,5) = E_{5}(1) = (1 - 5, 1 + 5) = (-4, 6) = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | -5 < x - 1 < 5 \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | \mid x - 1 \mid < 5 \}$ 

$E[1, 5] = E_{5}[1] = [1 - 5, 1 + 5] = [-4, 6] = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | -5 \leq x - 1 \leq 5 \} = \{x \in \mathbb{R}  \ \big | \mid x - 1 \mid \leq 5 \}$ 

Ejercicios:

1. Pasar de intervalo $(-11, 15)$ a entorno.



2. Pasar de intervalo $[-14, -4]$ a entorno.



3. Pasar de $E_7(-5)$ a intervalo.



4. Pasar de $E_{5}[10]$ a intervalo.

Para ponerlo como entorno necesitamos el punto medio y el radio. El punto medio:

Se calcula aplicando la fórmula $ c = \dfrac{\ a + b\ }{2}$, donde $a$ y $b$ son los extremos del intervalo: $$ c = \dfrac{\ -11 + 15\ }{2} = \dfrac{\ 4\ }{2} = 2 $$ Y el radio es la mitad de la amplitud del intervalo, es decir, $ r = \dfrac{\ b - c \ }{2} $ $$ r = \dfrac{\ 15 - (-11)\ }{2} = \dfrac{\ 15 + 11\ }{2} = \dfrac{\ 26\ }{2} = 13 $$ Luego el intervalo $(-11, 15) = E_{13}(2) $

Para ponerlo como entorno necesitamos el punto medio y el radio. El punto medio:

Se calcula aplicando la fórmula $ c = \dfrac{\ a + b\ }{2}$, donde $a$ y $b$ son los extremos del intervalo: $$ c = \dfrac{\ -14 + 4\ }{2} = \dfrac{\ -10\ }{2} = -5 $$ Y el radio es la mitad de la amplitud del intervalo, es decir, $ r = \dfrac{\ b - c \ }{2} $ $$ r = \dfrac{\ 4 - (-14)\ }{2} = \dfrac{\ 4 + 14\ }{2} = \dfrac{\ 18\ }{2} = 9 $$ Luego el intervalo $[-14, -4] = E_{9}(-5) $

Para ponerlo como intervlo necesitamos calcular el extremo inferior y superior del intervalo.

El extremo inferior: $ a = c - r$, el extremo superior $b = c + r$. Aplicando las fórmulas tenemos:

$ a = c - r = - 5 - 7 = -12 $ y $ b = c + r = - 5 + 7 = -2 $

Luego el entorno abierto de centro -5 y radio 7 es el intervalo abierto $(-12, -2) = E_{7}(-5)$

Para ponerlo como intervlo necesitamos calcular el extremo inferior y superior del intervalo.

El extremo inferior: $ a = c - r$, el extremo superior $b = c + r$. Aplicando las fórmulas tenemos:

$ a = c - r = 10 - 5 = 5 $ y $ b = c + r = 5 + 10 = 15 $

Luego el entorno cerrado de centro 10 y radio 5 es el intervalo cerrado $[5, 15] = E_{7}(-5)$

De distancias a intervalos.

El módulo o valor absoluto de un número es la distancia en la recta numérica de dicho valor al origen $O$. Es siempre mayor o igual que cero.

$$ \Big | x \Big | = d(x, O) = \cases{ \cr \ x \text{ si } x \geq 0 \cr \cr -x \text{ si } x \lt 0 \cr \cr } = máx \left \{ x, -x \right \} $$ Ejemplos:

$$ \Big | 0 \Big | = 0, \Big | -11 \Big | = 11 \text{ y } \Big | 34 \Big | = 34 $$ El valor absoluto de un número y su opuesto es el mismo, ya que los dos están a la misma distancia del origen: $$ \Big | -13 \Big | = \Big | 13 \Big | = 13 $$

$\bullet$ Si ahora cogemos $ \Big | x \Big | \lt 3 $, ¿qué sera? Podemos probar con algunos números, por ejemplo:
- ¿el 2 cumple esa condición? Sí; ¿y el -2? Sí; ¿y el 225? También; ¿y el 3? El 3 No, ya que la distancia debe ser menor que 3.

Así pues, $ \Big | x \Big | \lt 3 $ lo podemos poner como $(-3, 3)$ es decir, el conjunto de puntos que están a una distancia menor que 3 de 0.

$\bullet$ Si ahora cogemos $ \Big | x \Big | \leq 3 $, ¿qué sera? Podemos probar con algunos números, igual que antes, pero vemos que el 3 sí que está en dicho conjunto. Luego $ \Big | x \Big | \leq 3 \Longleftrightarrow x \in [-3, 3] $

$\bullet$ Si ahora cogemos $ \Big | x \Big | \gt 3 $, ¿Qué será? Los números que son mayores que 3 eso está claro, pero también los que son menores que -3. Probemos con el número -3,1; $ \Big | -3,1 \Big | = 3,1 \gt 3 $. Luego $ \Big | x \Big | \gt 3 = (-\infty, -3) \ \bigcup \ (3, +\infty)$

$\bullet$ Si cogemos el igual $ \Big | x \Big | \geq 3 $, ¿Qué será? Los números que son mayores o iguales que 3, eso vuelve a estar claro, pero también los que son menores o iguales que -3. Probemos con el número -3,1; $ \Big | -3,1 \Big | = 3,1 \geq 3 $. Luego $ \Big | x \Big | \geq 3 = (-\infty, -3] \ \bigcup \ [3, +\infty)$

Así, si cambiamos 0 por un número real cualquiera $a$ y $b$ es una, tenemos lo siguiente:
$$ d(x, a) = \Big | x - a \Big | = b $$ «Los puntos $x$ de la recta numérica que están a una distancia $b$ del punto $a$»
Los puntos que están a una distancia 5 de 3 $ \Rightarrow d(x, 3) = \Big | x - 3 \Big | = 5 \Rightarrow \cases{ \cr \ x - 3 = 5 \cr \cr x - 3 = -5 \cr \cr } \Rightarrow \cases{ \cr \ x = 5 + 3 = 8 \cr \cr x = -5 + 3 = - 2 \cr \cr } $

Los puntos que están a una distancia 10 de -4 $ \Rightarrow d(x, -4) = \Big | x - (-4) \Big | = \Big | x + 4 \Big | 10 \Rightarrow \cases{ \cr \ x + 4 = 10 \cr \cr x + 4 = -10 \cr \cr } \Rightarrow \cases{ \cr \ x = 10 - 4 = 6 \cr \cr x = - 10 - 4 = - 14 \cr \cr } $

• $ | x - a | = b $ es el conjunto de números a una distancia de $a$ igual a $b$. Son los puntos $ b + a$ y $-b +a$
  
  
• $ | x - a | \lt b $ es el conjunto de números a una distancia de $a$ menor que $b$. Son los puntos cuya distancia a $a$ es igual a $b$ y sería el intervalo abierto $(-b + a, a + b)$.
  
  
• $ | x - a | \leq b $ es el conjunto de números a una distancia de $a$ menor o igual que $b$. Son los puntos cuya distancia a $a$ es igual a $b$ y sería el intervalo cerrado $[-b + a, a + b ]$.
  
  
• $ | x - a | \gt b $ es el conjunto de números a una distancia de $a$ mayor que $b$. Sería la unión de los intervalos $(-\infty, -b + a)\ \bigcup \ ( a + b, \infty) $
  
  
• $ | x - a | \geq b $ es el conjunto de números a una distancia de $a$ mayor o igual que $b$. Sería la unión de los intervalos $(-\infty, -b + a ] \ \bigcup \ [ a + b , \infty) $
  
  

Veamos con este applet de GeoGebra como manejar las distancias:



Selecciona paréntesis o corchetes y verás el cambio:

(a [a (−∞ , b) b] +∞)

Teoremas del seno, coseno y de la tangente. Resolución de triángulos no rectángulos.

 Teorema del seno:

Para entender mejor el teorema del seno necesitamos 3 resultados geométricos: 

1.- Dos ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco son iguales. 

2.- Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. 

Teorema del seno: 

El teorema del seno es una proporción entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de sus correspondientes ángulos opuestos

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \array{ \cr \quad \mathbf{ \dfrac{a}{\sen \hat{A}} = \dfrac{b}{\sen \hat{B}} = \dfrac{c}{\sen \hat{C} } = 2R} \quad \cr \quad } $ } } $$

donde $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo $\triangle{ABC}$.

Teorema del coseno: 

Teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos. El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \array{ \cr \quad \mathbf{ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} } \quad \cr \quad \mathbf{ b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos \hat{B} } \quad \cr \quad \mathbf{ c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \hat{C} } \quad \cr \quad } $ } } $$

Veamos como podemos saber el tipo de triángulo según sus ángulos usando el Teorema del coseno:

• Si tiene una ángulo recto $\hat{A} = \dfrac{\ \pi \ }{2} \Rightarrow \cos \hat{A} = 0 $, triángulo rectángulo se cumple:
  $$ \mathbf{ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} \Rightarrow a^2 = b^2 + c^2 \qquad \text{ (Teorema de Pitágoras)} } $$
  
• Si tiene una ángulo obtuso $\hat{A} > \dfrac{\ \pi \ }{2} \Rightarrow \cos \hat{A} < 0 $, triángulo obtusángulo se cumple:
  $$ \mathbf{ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} \Rightarrow a^2 > b^2 + c^2 } $$
  
• Si tiene una ángulo agudo $\hat{A} < \dfrac{\ \pi \ }{2} \Rightarrow \cos \hat{A} > 0 $, triángulo acutángulo se cumple:
  $$ \mathbf{ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} \Rightarrow a^2 < b^2 + c^2 } $$
  

Ocurre lo mismo si cogemos el ángulo $\hat{B}$ o el ángulo $\hat{C}$.

Teorema del coseno (Usando el Producto Escalar) 

El teorma del coseno se puede demostrar también usando el producto escalar. Del dibujo tenemos:

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \Leftrightarrow  \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} $$ 

$$ \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BC} = \left ( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \right ) \cdot \left ( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \right ) = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} - 2 \cdot \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} $$

Recapitulando:

$$ |\overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{AB}|^2 - 2 |\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{AB}| \cdot \cos \hat{A}$$

Es decir

$$ a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A} $$

Ventajas e incovenientes de usar el teorema del seno o del coseno

	Teorema del seno	Teorema del coseno
Ventajas	Fácil de calcular	El coseno de un ángulo tiene un único valor entre 0 y $\pi$ radianes.
Incovenientes	El seno de un ángulo y su suplementario tienen el mismo valor. Dos posibles soluciones.	No es tan fácil de calcular como el Teorema del seno.

Teorema de la tangente es una fórmula que relaciona las longitudes de los tres lados de un triángulo y las tangentes de sus ángulos.

Para demostrar el teorema de la tangente tenemos que hacer uno de una propiedad de las proporciones:

$$ \dfrac{x}{y} = \dfrac{z}{t} \ \ \Longleftrightarrow \ \ x \cdot t = y \cdot z \ \ \ \  \text{entonces}  \ \ \Longrightarrow  \dfrac{x + y}{x - y} = \dfrac{z + t}{z - t}  $$

$$ \text{Tenemos } \ \  \dfrac{a}{\sen \hat{A}} = \dfrac{b}{\sen \hat{B}}  \ \ \Longleftrightarrow \ \ \dfrac{a}{b} = \dfrac{\sen \hat{A}}{\sen \hat{B}} $$ 

Aplicando esta propiedad al teorema del seno: 

$$ \dfrac{ a + b}{a - b} = \dfrac{\sen \hat{A} + \sen \hat{B}}{\sen \hat{A} - \sen \hat{B}} = \dfrac{2 \cdot \sen \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{B}}{2} \right ) \cdot \cos \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{B}}{2} \right ) }{2 \cdot \cos \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{B}}{2} \right ) \cdot \sen \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{B}}{2} \right ) } = \dfrac{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{B}}{2} \right ) }{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{B}}{2} \right ) } $$

$$ \Large \textcolor{blue}{ \fbox{ $ \array{ \cr \quad \mathbf{ \dfrac{ a + b}{a - b} = \dfrac{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{B}}{2} \right ) }{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{B}}{2} \right ) } = 2R} \quad \cr \quad \cr \mathbf{ \dfrac{ a + c}{a - c} = \dfrac{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} + \hat{C}}{2} \right ) }{ \tg \left ( \dfrac{\hat{A} - \hat{C}}{2} \right ) } = 2R} \quad \cr \quad \cr \mathbf{ \dfrac{ b + c}{b - c} = \dfrac{ \tg \left ( \dfrac{\hat{B} + \hat{C}}{2} \right ) }{ \tg \left ( \dfrac{\hat{B} - \hat{C}}{2} \right ) } = 2R} \cr \quad } $ } } $$

Entrada del blog donde se explican la interpretación geométrica de las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante, y el seno, coseno de la suma de ángulos.

Entrada del blog donde se indican las razones trigonométricas de los ángulos notables entre $[0, 2\pi]$ y las conversiones de grados a radianes, de radianes a grados, de grados decimales a sexagesimales y de grados sexagesimales a decimales.

Resolución de triángulos no rectángulos

Cosas a tener en cuenta:

1. La suma de los ángulos internos de un triángulo suma $\gss{180} = \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C}$.
   
   
2. Las longitudes de los Lados del Triángulo deben cumplir la condición de existencia del triángulo que establece, que la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera siempre debe ser mayor que la longitud del tercer lado. Este es un pilar fundamental en la definición de un triángulo.
   
   $$ \cases{ a + b > c \cr \cr a + c > b \cr \cr b + c > a \cr } $$
3. El lado más largo se encuentra frente al ángulo más grande y el lado más pequeño frente al ángulo más pequeño.
   
   

Casos

Tenemos 5 casos:

• $\odn{1}{er}$ CASO: Conocidos los 3 lados (Si existe la solución es única). $\rightarrow$ Teorema del coseno una vez para calcular un ángulo; después teorema del coseno para calcular el segundo ángulo. El tercer ángulo a partir de los dos anteriores.
  
  
• $\odn{2}{o}$ CASO: Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. (Si existe la solución es única) $\rightarrow$ Teorema del coseno para calcular el lado que falta. Después el teorema del coseno para calcular otro ángulo y después el tercer ángulo a partir de los dos anteriores.
  
  
• $\odn{3}{er}$ CASO: Conocidos dos lados y el $\underline{\underline{\textbf{ángulo agudo}}}$ no comprendido entre ellos. $\rightarrow$ Teorema del seno para calcular uno de los ángulos que falta. Geométricamente puede ocurrir lo siguiente:
  
  1. El triángulo no existe. Al aplicar el teorema del seno, se obtiene mayor que la unidad o menor que -1.
     
     
  2. Triángulo existe y es único: Uno de los ángulos del teorema del seno no cumplirá que la suma de los ángulos interiores es $\pi$ radianes. El tercer ángulo con la resta y el tercer lado con el teorema del seno.
     
     
  3. Dos posibles triángulos solución, con el teorema del seno, ambas soluciones son válidas. El tercer ángulo con la resta y el tercer lado con el teorema del seno.
     
     
• $\odn{4}{o}$ CASO: Conocidos dos lados y el «ángulo obtuso» no comprendido entre ellos (Si existe la solución es única). $\rightarrow$ Teorema del seno para calcular uno de los ángulos que faltan, el tercero restando. Teorema del seno para el lado que falta.
  
  
• $\odn{5}{o}$ CASO: Conocidos un lado y dos ángulos, es decir, los tres ángulos. (Si existe la solución es única). $\rightarrow$ Teorema del seno dos veces para calcular los dos lados que faltan.
  

Ejemplos

• $\odn{1}{er}$ CASO: $a = 15$km, $b = 22$km y $c = 17$km.
  Aplicamos el Teorem del coseno dos veces: $$ \cos \hat{A} = \mfrac{22^2 + 17^2 - 15^2 }{ 2 \cdot 17 \cdot 22 } = 0,73 \implies \hat{A} = \arccos(0,73) = cos^{-1} (0,73) = \gss{43} $$ $$ \cos \hat{B} = \mfrac{15^2 + 17^2 - 22^2 }{ 2 \cdot 17 \cdot 15 } = 0,06 \implies \hat{B} = \arccos(0,06) = cos^{-1} (0,06) = \gss{43} $$ $ \hat{C} = \gss{180} - \gss{43} - \gss{43} = \gss{50} $
  
  
• $\odn{2}{o}$ CASO:$a= 10$ dam, $b = 7$ dam y $\hat{C} = \gss{30}$.
  Aplicamos el teorema del coseno para calcular el lado $c$: $$ c = \msqrt{10^2 + 7^2 - 2 \cdot 10 \cdot 7 \cdot \cos (\gss{30} ) } = 5.27 \text{dam} $$ Aplicamos el teorema del coseno para calcular el ángulo $\hat{A}$: $$ \cos ( \hat{A}) = \mfrac{7^2 + (5,27)^2 - 10^2}{ 2 \cdot 7 \cdot 5,27} = -0,31 \implies \hat{A} = \arccos(-0,31) = \cos^{-1}(-0,31) = \gss{108} $$ $ \hat{C} = \gss{180} - \gss{108} - \gss{30} = \gss{42} $
  
  
• $\odn{3}{er}$ CASO:
  1. $a = 5$ m, $b = 8$ m y $\hat{A} = \gss{72}$ $$ \sen(\hat{B}) = \mfrac{8 \cdot \sen(\gss{72})}{5} = 1,52 \text{ No es posible} $$
     
     
  2. $a = 7,5$ cm, $b = 6,4$ cm y $\hat{A} = \gss{53}$. $$ \sen(\hat{B}) = \mfrac{6,4 \cdot \sen(\gss{53})}{7,5} = 0,81 \implies \hat{B} = \arcsen(0,81) = \sen^{-1} (0,81) \implies $$ $$ \implies \begin{cases} \hat{B_1} = \gss{43} \implies \hat{C_1} = \gss{180} - \gss{53} - \gss{43} = \gss{84} \implies c = \dfrac{7,5 \cdot \sen(\gss{84})}{ \sen( \gss{53} ) } = 9,34 \text{ cm} \\ \\ \hat{B_2} = \gss{137} \implies \hat{C_2} = \gss{180} - \gss{53} - \gss{137} = - \gss{10} \quad \nexists \text{ solución } \end{cases} $$
     
     
  3. $b = 6,5$ cm, $c = 7$ cm y $\hat{B} = \gss{67}$ $$ \sen(\hat{C}) = \mfrac{6,4 \cdot \sen(\gss{53})}{7,5} = 0,99 \implies \hat{B} = \arcsen(0,82) = \sen^{-1} (0,82) \implies $$ $$ \implies \begin{cases} \hat{C_1} = \gss{82} \implies \hat{A_1} = \gss{180} - \gss{67} - \gss{82} = \gss{31} \implies a_1 = \mfrac{6,5 \cdot \sen(\gss{31})}{ \sen(\gss{67}) } = 3,64 \\ \\ \hat{C_2} = \gss{98} \implies \hat{A_2} = \gss{180} - \gss{67} - \gss{98} = \gss{15} \implies a_2 = \mfrac{6,5 \cdot \sen(\gss{15})}{ \sen(\gss{67}) } = 1,83 \end{cases} $$
     
     
• $\odn{4}{o}$ CASO: $a= 12$ cm, $b = 8$ cm y $\hat{A} = \gss{150}$. $$ \sen(\hat{B}) = \mfrac{8 \cdot \sen(\gss{150})}{ 12 } = 0,33 \implies \hat{B} = \arcsen(0,33) = \sen^{-1} (0,33) \implies $$ $$ \implies \begin{cases} \hat{B_1} = \gss{19} \implies \hat{C_1} = \gss{180} - \gss{150} - \gss{19} = \gss{11} \implies c = \mfrac{12 \cdot \sen(\gss{22})}{ \sen(\gss{150}) } = 4,58 \text{ cm} \\ \\ \hat{B_2} = \gss{161} \implies \hat{C_2} = \gss{180} - \gss{150} - \gss{161} = - \gss{131} \quad \nexists \text{ solución } \end{cases} $$
  
  
• $\odn{5}{o}$ CASO: $b= \msqrt{2}$ m, $\hat{A} = \gss{30}$ y $\hat{B} = \gss{45}$. $$ \hat{C} = \gss{180} - \gss{30} - \gss{45} = \gss{105} $$ $$ a = \mfrac{b \cdot \sen(\gss{30})}{ \sen(\gss{45}) } = 1,04 \qquad \text{ y } \qquad c = \mfrac{b \cdot \sen(\gss{105})}{ \sen(\gss{45}) } = 3,65 $$
  
  

Otros ejercicios

Queremos calcular el lado $c$, para ello usaremos el Teorema del Coseno: $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2bc \cos \widehat{C} $$ Sustituyendo las variables por su valor, que $\cos \gss{120} = \dfrac{\ -1\ }{ 2 } $ tenemos que:
$$ c^2 = 5^2 + 3^2 - 2\cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos \gss{120} \Rightarrow c^2 = 25 + 9 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \left ( \dfrac{\ -1\ }{ 2 } \right) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow c^2 = 25 + 9 + 15 \Rightarrow c^2 = 49 \Rightarrow c= 7 $$ Ahora calculamos cualquiera de los ángulos que nos quedan $\widehat{A} $ o $\widehat{B}$, vamos con $\widehat{B}$: $$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \widehat{B} \Rightarrow 2ac \cos \widehat{B} = a^2 + c^2 - b^2 \Rightarrow \cos \widehat{B} = \dfrac{\ a^2 + c^2 - b^2\ }{ 2ac } $$ Sustituyendo los datos en las variables: $$ \cos \widehat{B} = \dfrac{\ a^2 + c^2 - b^2\ }{ 2ac } = \dfrac{\ 5^2 + 7^2 - 3^2\ }{ 2 \cdot 5 \cdot 7 } = \dfrac{\ 65\ }{ 70 } = \dfrac{\ 13\ }{ 14 } $$ Es decir: $$ \widehat{B} = \arccos \left ( \dfrac{\ 13\ }{ 14 } \right) = \gss{21,79} = \gss{21} 47' 24''$$ Y por tanto $$ \widehat{A} = \gss{38,21} = \gss{38} 12' 36'' $$

Al darnos dos de los tres ángulos, podemos calcular el tercer ángulo restando: \[ \hat{B} = \gss{180} - \gss{32} - \gss{93} = \gss{55} \] Aplicando el teorema del seno dos veces calculamos los lados que nos faltan:

\[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{b}{\sen \hat{B} } \implies a = \mfrac{b \cdot \sen \hat{A} }{ \sen \hat{B} } = \mfrac{9,5 \cdot \sen(\gss{32}) }{ \sen(\gss{55}) } = 6,15 \] \[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{c}{\sen \hat{C} } \implies c = \mfrac{a \cdot \sen \hat{C} }{ \sen \hat{A} } = \mfrac{6,15 \cdot \sen(\gss{93}) }{ \sen(\gss{32}) } = 11,59 m \] Ahora calculamos el área: $ \text{Área } = \mfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sen \hat{C} = \mfrac{1}{2} \cdot 6,15 \cdot 9,5 \cdot \sen (\gss{93}) = 29,17m^2 $

Aplicamos el teorema del seno: \[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{c}{\sen \hat{C} } \implies \sen \hat{A} = \mfrac{a \cdot \sen \hat{C} }{ a } = \mfrac{7 \cdot \sen(\gss{65}) }{ \sen(\gss{5}) } = 1,27 m \quad \nexists { solución.} \]

Este es un triángulo imposible ya que $5 + 10 < 20$.

Aplicamos el teorema del cateto para calcular $a$: \[ a = \msqrt{b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\gss{75})} = \msqrt{(9,2)^2 + (6,7)^2 - 2 \cdot 9,2 \cdot 6,7 \cdot \cos(\gss{75})} = 9,88m \] Aplicamos el teorema del cateto para calcular $\hat{B}$: \[ \cos \hat{B} = \mfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2 \cdot a \cdot c} = \mfrac{(9,88)^2 + (6,7)^2 - (9,2)^2}{2 \cdot 9,88 \cdot 6,7} = 0,44 \implies \hat{B} =\arccos (0,44) = \cos^{-1} (0,44) = \gss{64} \] \( \hat{C} = \gss{180} - \gss{75} - \gss{64} = \gss{41} \)

Área = \( \mfrac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sen \hat{A} = \mfrac{1}{2} \cdot 9,2 \cdot 6,7 \cdot \sen (\gss{75}) = 29,77m^2\)

Aplicamos el teorema del coseno para calcular $\hat{A}$: \[ \cos \hat{A} = \mfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2 \cdot b \cdot c} = \mfrac{(10,5)^2 + (8,2)^2 - (12,5)^2}{2 \cdot 10,5 \cdot 8,2} = 0,12 \implies \hat{A} =\arccos (0,12) = \cos^{-1} (0,12) = \gss{83} \] Aplicamos el teorema del coseno para calcular $\hat{A}$: \[ \cos \hat{B} = \mfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2 \cdot a \cdot c} = \mfrac{(12,5)^2 + (8,2)^2 - (10,5)^2}{2 \cdot 12,5 \cdot 8,2} = 0,55 \implies \hat{A} =\arccos (0,55) = \cos^{-1} (0,12) = \gss{57} \] \( \hat{C} = \gss{180} - \gss{83} - \gss{57} = \gss{40} \)

  Área = \( \mfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sen \hat{C} = \mfrac{1}{2} \cdot 12,5 \cdot 10,5 \cdot \sen (\gss{40}) = 42,72m^2\)

Aplicamos el teorema del seno: \[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{b}{\sen \hat{B} } \implies \sen \hat{B} = \mfrac{b \cdot \sen \hat{A} }{ b } = \mfrac{13,2 \cdot \sen(\gss{58}) }{ 11,5 } = 0,97 \implies \hat{B} = \arcsen(0,97) = \sen(0,97) = \gss{76} \] Pero su complementario tiene el mismo seno, es decir, $\hat{B_1} = \gss{76}$ y $\hat{B_1} = \gss{104}$. Ambos valores son compatibles con $\gss{58}$, luego tenemos dos posibles soluciones:

\( \bullet \ \text{Si } \hat{B_1} = \gss{76} \implies \hat{C_1} = \gss{180} - \gss{58} - \gss{76} = \gss{46} \) \[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{c}{\sen \hat{C} } \implies c_1 = \mfrac{a \cdot \sen \hat{C} }{ \sen \hat{A} } = \mfrac{11,5 \cdot \sen(\gss{46}) }{ \sen(\gss{58}) } = 9,75 m \] Área \( \triangle{AB_1C_1} = \mfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sen \hat{C_1} = \mfrac{1}{2} \cdot 11,5 \cdot 13,2 \cdot \sen (\gss{46}) = 54,6m^2 \)


\( \bullet \ \text{Si } \hat{B_2} = \gss{104} \implies \hat{C_2} = \gss{180} - \gss{58} - \gss{104} = \gss{18} \) \[ \mfrac{a}{\sen \hat{A} } = \mfrac{c}{\sen \hat{C} } \implies c_2 = \mfrac{a \cdot \sen \hat{C} }{ \sen \hat{A} } = \mfrac{11,5 \cdot \sen(\gss{18}) }{ \sen(\gss{58}) } = 4,19 m \] Área \( \triangle{AB_2C_2} = \mfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sen \hat{C_2} = \mfrac{1}{2} \cdot 11,5 \cdot 13,2 \cdot \sen (\gss{18}) = 23,45 m^2 \)

Divisores naturales y enteros de un número entero.

 Vamos a ver como calcular los divisores naturales de un número entero. Vamos con un ejemplo.

Ejemplo 1: Calcular los divisores de 72:

1. Primero hacemos la descomposición factorial del número:

2. Tenemos el número como producto de potencias de números primos. Para calcular el número de divisores de un número, se multiplican los exponentes de los factores primos aumentados en una unidad. En este caso, los exponentes son 3 y 2, les sumamos 1 a cada uno de los exponentes y los multiplicamos. Así el número de divisores será:

$(3 + 1) \cdot (2 + 1) = 4 \cdot 3 = 12 $ divisores naturales

3. Para calcular los mismos, construimos una tabla, en la parte superior, ponemos los divisores de una de las dos potencias de primos, por ejemplo, los divisores de $2^3$, que son: 1, $2^1$, $2^2$ y $2^3$ y en el parte lateral, los divisores de la otra potencia, la de $3^2$, es decir, 1, $3^1$ y $3^2$.

Ahora rellenamos la tabla, multiplicando el 1 por 1, 2, 4 y 8. El 3 por 1, 2, 4 y 8 y así sucesivamente. Es decir,

En esta tabla tenemos los 12 divisores naturales del número 72. Si ahora, a cada divisor le asociamos el signo más y menos, tenemos los 24 divisores enteros del número 72. 

En este ejemplo, el número 72 es producto de dos potencias de números primos. Pero, ¿qué pasa si el número es potencia de tres o más números primos? Veamos otro ejemplo.

Ejercicios:

$ \begin{array}{{2}{c}|{2}{l}} 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ \ 9 & 3 \Rightarrow 36 = 2^\textcolor{red}{2} \cdot 3^\textcolor{blue}{2} \\ \ 3 & 3 \\ \ 3 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) = 3 \cdot 3 = 9 \qquad \begin{array}{{2}{c}|{2}{c}{2}{c}{2}{c}} \ & 1 & 2 & \ 4 \ \ \ \\ \hline 1 & 1 & \ 2 & \ 4 \\ 3 & 3 & \ 6 & 12 \\ 9 & 9 & 18 & 36 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{c}|{2}{l}} 75 & 3 \\ 25 & 5 \Rightarrow 75 = 3^\textcolor{red}{1} \cdot 5^\textcolor{blue}{2} \\ \ 5 & 5 \\ \ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{1} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) = 2 \cdot 3 = 6 \qquad \begin{array}{{2}{c}|{2}{c}{2}{c}{2}{c}} \ & 1 & \ 5 & \ 25 \ \ \ \\ \hline 1 & 1 & \ 5 & 25 \\ 3 & 3 & 15 & 75 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 108 & 2 \\ 54 & 2 \\ 27 & 3 \Rightarrow 108 = 3^\textcolor{red}{2} \cdot 3^\textcolor{blue}{3} \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{3} + 1) = 3 \cdot 4 = 12 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ \ 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 \\ 3 & 3 & 6 & 12 \\ 9 & 9 & 18 & 36 \\ 27 & 27 & 54 & 108 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 196 & 2 \\ 98 & 2 \\ 49 & 7 \Rightarrow 196 = 2^\textcolor{red}{2} \cdot 7^\textcolor{blue}{2} \\ 7 & 7 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) = 3 \cdot 3 = 9 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ \ 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 \\ 7 & 7 & 14 & 28 \\ 49 & 39 & 98 & 196 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 200 & 2 \\ 100 & 2 \\ 50 & 2 \Rightarrow 200 = 2^\textcolor{red}{3} \cdot 5^\textcolor{blue}{2} \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{3} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) = 4 \cdot 3 = 12 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 4 & \ \ 8 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ 5 & 5 & 10 & 20 & 40 \\ 25 & 25 & 50 & 100 & 200 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 225 & 3 \\ 75 & 3 \\ 25 & 5 \Rightarrow 225 = 3^\textcolor{red}{2} \cdot 5^\textcolor{blue}{2} \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) = 3 \cdot 3 = 9 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 5 & \ 25 \\ \hline 1 & 1 & 5 & 25 \\ 3 & 3 & 15 & 75 \\ 9 & 9 & 45 & 225 \\ \end{array} $

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 500 & 2 \\ 250 & 2 \\ 125 & 5 \Rightarrow 500 = 2^\textcolor{red}{3} \cdot 5^\textcolor{blue}{3} \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{3} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{3} + 1) = 4 \cdot 4 = 16 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ \ 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 \\ 5 & 5 & 10 & 20 \\ 25 & 25 & 50 & 100 \\ 125 & 125 & 250 & 200 \\ \end{array} $

Ejemplo 2: Vamos a calcular los divisores naturales de 1.400.

1. Primero hacemos la descomposición factorial del número:

2. Ahora calculamos el número de divisores. Cogemos los exponentes, les sumamos 1 y los multiplicamos. En este caso, los exponentes son 3, 2 y 1, les sumamos 1 a cada uno de los exponentes y los multiplicamos. Así el número de divisores será:

$(3 + 1) \cdot (2 + 1) \cdot (1 + 1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ divisores naturales

3. Como tenemos 3 potencias de números primos, cogemos dos de ellos y hacemos la tabla anterior. Después haremos otra tabla más, en la parte superior pondremos los divisores ordenados obtenidos en la primera tabla y en el lateral, los divisores de la potencia del primo que nos queda. Vamos paso a paso.

4. Construimos la tabla con los divisores del $2^3$ en la parte superior y los de $5^2$ en el lateral:

5. Cogemos ahora los divisores calculados en la tabla anterior y los ponemos ordenados de forma creciente en la parte superior y en el lateral los divisores de 7:

6. Así hemos calculado los 24 divisores naturales de 1.400. Si ahora, a cada divisor le asociamos el signo más y menos, tenemos los 48 divisores enteros del número 1.400. 

NOTA: Para calcular los divisores de un número, construiremos las tablas necesarias para ello, siempre será una tabla menos que el número de factores primos que aparecen en la descomposición del número que nos piden.

NOTA: Para calcular los divisores enteros de un número natural o entero, al calcular los divisores lo único que haremos será añadir el $\pm$ a cada uno de los divisores.

Ejercicios:

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 300 & 2 \\ 150 & 2 \\ 75 & 3 \Rightarrow 300 = 2^\textcolor{red}{2} \cdot 3^\textcolor{blue}{1} \cdot 5^\textcolor{green}{2} \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El número de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{1} + 1) \cdot (\textcolor{green}{2} + 1) = 3 \cdot 2 \cdot 3 = 18 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 \\ 3 & 3 & 6 & 12 \\ \end{array} $
Ahora necesitamos una $\odn{2}{a}$ tabla para terminar de calcular los divisores de 300:
$$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 3 & \ 4 & \ 6 & \ 12 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 12 \\ 5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 30 & 60 \\ 25 & 25 & 50 & 75 & 100 & 150 & 300 \\ \end{array} $$

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 360 & 2 \\ 180 & 2 \\ 90 & 2 \Rightarrow 360 = 2^\textcolor{red}{3} \cdot 3^\textcolor{blue}{2} \cdot 5^\textcolor{green}{1} \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El } n^{\underline{\circ}} \text{ de divisores es } (\textcolor{red}{3} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{2} + 1) \cdot (\textcolor{green}{1} + 1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 4 & \ 8 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ 3 & 3 & 6 & 12 & 24 \\ 9 & 9 & 18 & 36 & 72 \\ \end{array} $
Ahora necesitamos una $\odn{2}{a}$ tabla para terminar de calcular los divisores de 360:
$$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 3 & \ 4 & \ 6 & \ 8 & \ 9 & \ 12 & \ 18 & \ 24 & \ 36 & \ 72 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 8 & 9 & 12 & 18 & 24 & 36 & 72 \\ 5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 30 & 40 & 45 & 60 & 90 & 120 & 180 & 360 \\ \end{array} $$

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 600 & 2 \\ 300 & 2 \\ 150 & 2 \\ 75 & 3 \Rightarrow 600 = 2^\textcolor{red}{3} \cdot 3^\textcolor{blue}{1} \cdot 5^\textcolor{green}{2} \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El } n^{\underline{\circ}} \text{ de divisores es } (\textcolor{red}{3} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{1} + 1) \cdot (\textcolor{green}{2} + 1) = 4 \cdot 2 \cdot 3 = 24 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 4 & \ 8 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ 3 & 3 & 6 & 12 & 24 \\ \end{array} $
Ahora necesitamos una $\odn{2}{a}$ tabla para terminar de calcular los divisores de 600:
$$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 3 & \ 4 & \ 6 & \ 8 & \ 12 & \ 24 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 8 & 12 & 24 \\ 5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 30 & 40 & 60 & 120 \\ 25 & 25 & 50 & 75 & 100 & 150 & 200 & 300 & 600 \\ \end{array} $$

$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{l}} 980 & 2 \\ 490 & 2 \\ 245 & 5 \Rightarrow 980 = 2^\textcolor{red}{2} \cdot 5^\textcolor{blue}{1} \cdot 7^\textcolor{green}{2} \\ 49 & 7 \\ 7 & 7 \\ 1 & {} \\ \end{array} \qquad \text{El } n^{\underline{\circ}} \text{ de divisores es } (\textcolor{red}{2} + 1) \cdot (\textcolor{blue}{1} + 1) \cdot (\textcolor{green}{2} + 1) = 3 \cdot 2 \cdot 3 = 18 \qquad \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}} \ & 1 & \ 2 & \ 4 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 \\ 5 & 5 & 10 & 20 \\ \end{array} $
Ahora necesitamos una $\odn{2}{a}$ tabla para terminar de calcular los divisores de 980:
$$ \begin{array}{{2}{r}|{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}{2}{r}} \ & \ 1 & \ 2 & \ 4 & \ 5 & \ 10 & \ 20 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 4 & 5 & 10 & 20 \\ 7 & 7 & 14 & 28 & 35 & 70 & 140 \\ 49 & 49 & 98 & 196 & 245 & 490 & 980 \\ \end{array} $$

Ejercicio: calcula los divisores de 6300.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Calculadora de divisores
Calcula los divisores de un número.
Número

Trigonometría. Interpretación geométrica de las razones trigonométricas. Seno, coseno de la suma de ángulos.

Veamos una imagen que explica la interpretación geométrica de las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante:

El COSENO y la COTANGENTE de un ángulo $\alpha$ se llaman precisamente COseno y COtangente porque son, respectivamente, el seno y la tangente del ángulo COmplementario a $\alpha$ (que es $90^{\circ} - \alpha$ o en radianes $ \dfrac{\ \pi\ }{2} - \alpha$).

Un esquema con el signo de las razones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes: 

Veamos ahora en una simulación de GeoGebra: 

Si quieres, aquí tienes el enlace de Geogebra

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos: 

Si quieres, aquí tienes el enlace de Geogebra.

Entrada del blog donde se indican las razones trigonométricas de los ángulos notables entre $[0, 2\pi]$ y las conversiones de grados a radianes, de radianes a grados, de grados decimales a sexagesimales y de grados sexagesimales a decimales.

Entrada del blog donde se indican los teoremas del seno, coseno y de la tangente.

Demostraciones sin palabras.

 

Ortografía. Signos ortográficos. Rae: diccionario y preguntas frecuentes.

Entrada en la web de la RAE sobre la escritura de números decimales.

Una de las cosas que más me llama la atención en el instituto es cuando hablamos de la letra «ñ». Los alumnos no saben como se llama el símbolo que está sobre la letra «n». Personalmente el nombre me encanta y la mayoría de los alumnos ni llegan a imaginarse que tiene un nombre. Por internet vi está imagen que como dice el refrán «una imagen vale más que mil palabras». 

También me llama la atención la cantidad de faltas de ortografía que cometen los alumn@s. Tenemos el diccionario en internet y aplicación para el móvil de la Real Academia de la Lengua. Además la página web de la RAE tiene una sección de preguntas frecuentes.

Otra foto que sirve de ayuda a la hora de la puntuación

Truco: 

El truco para saber siempre si es «a ver» o «haber»

En la mayoría de los casos, la secuencia «a ver» puede reemplazarse por «veamos».

Espero que os sirva. Seguiremos actualizando esta sección.