Máximo común divisor «MCD» y mínimo común múltiplo «mcm»

Recordemos varias cosas:

Un número es múltiplo de otro, cuando el primero contiene un número exacto de veces a otro. Ejemplo: 12 es múltiplo de 2; 25 es múltiplo de 5. Un número tiene infinitos múltiplos y se obtienen de multiplicar ese número por todos los números naturales. A los múltiplos de un número $a$ se le denota $\dot{a}$. $$ \dot{3} = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, \ldots \} $$

Un número es divisor de otro si al hacer la divisón el resto es cero, es decir, es exacta. Ejemplo: 2 es divisor de 12, 3 es divisor de 12. Un número cualquiera como mínimo siempre tiene dos divisores, que son el 1 y el propio número. Si sólo tiene estos dos divisores se dice que es un número primo. El número de divisores es siempre finito. En este enlace puedes recordar como se calculan los divisores de un número.

Mínimo común múltiplo de 2 (o más) números: es el menor número que es múltiplo a la vez de cada uno de los números. Por ejemplo: mcm(12, 42) = 84.

Máximo cómun divisor de 2 (o más) números: es el mayor número que es divisor a la vez de cada uno de los números. Por ejemplo : MCD(12, 42) = 6.

Muy importante:
«El máximo común divisor de dos o más números estará entre 1 y el menor de los números de los que voy a calcular dicho máximo común divisor.»

«El mínimo común múltiplo de dos o más números estará a partir del mayor de los números de los que voy a calculos dicho mínimo común múltiplo.»

Veamos como se calcula el Mínimo común múltiplo:

1. Descomponemos en producto de factores primos los números de los que queremos calcular el mcm.
2. Cogemos todos los factores primos diferentes con el mayor exponente.

Veamos el ejemplo anterior, mcm(12, 42) y MCD(12, 42): $$ \begin{array}{ccc} \begin{array}{{2}{c}|{2}{l}} 12 & 2 \\ \ 6 & 2 \Rightarrow 12 = 2^2 \cdot 3 \\ \ 3 & 3 \\ \ 1 & {} \\ \end{array} & \qquad \qquad & \begin{array}{{2}{c}|{2}{l}} 42 & 2 \\ 21 & 3 \Rightarrow 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7\\ \ 7 & 7 \\ \ 1 & {} \\ \end{array} \end{array} $$ Los factores diferentes que aparecen son el $2$, el $3$ y el $7$. El $2$ con exponente $2$, el $3$ con exponente $1$ y el $7$ con exponente $1$. Luego $$ mcm(12, 42) = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84 $$ Ahora vamos a calcular el MCD(12, 42):

Escribimos los dos números y buscamos el mayor número que los divide a la vez:

$$ \begin{array}{{4}{c}{2}{c}|{2}{l}} \ \ 12 & 84 & \color{red}{2} \ \ \\ \hline \\ \ \ \ 6 & 42 & \color{red}{2} \ \ \\ \hline \\ \ \ \ 3 & 21 & \color{red}{3} \ \ \\ \hline \\ \ \ \ 1 &\ 7 \\ \end{array} $$ Multiplicamos los número que están en rojo y obtenemos el $MCD(12, 84) = 2^2 \cdot 3 = 12 $.

Veamos otra forma de calcular el Máximo común divisor de dos o más números:

1. Descomponemos en producto de factores primos los números de los que queremos calcular el mcm.
2. Cogemos los factores primos comunes al menor exponente.

Ahora vamos a calcular el MCD(75, 60):
1) Descomponemos factorialmente los números:

$ \qquad 75 = 3 \cdot 5^2$ y $ 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

2) Cogemos los factores comunes al menor exponente: en este caso los factores comunes son 3 y 5, el menor exponente 1:

$\qquad MCD(60, 75) = 3 \cdot 5 $

Si calculamos el mcm y el MCD de dos números $a$ y $b$, sólo de dos números se cumple: $$ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \qquad mcm(a, b) \cdot MCD(a, b) = a \cdot b \qquad } $$ En el ejemplo que acabamos de hacer se cumple lo que acabamos de decir: $$ \bbox[6px,border:4px solid blue] { \qquad 42 \cdot 12 = 6 \cdot 84 \Leftrightarrow 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 2^2 \cdot 3 = 2 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \Leftrightarrow 504 = 504 } $$ Aquí dejo un applet de GeoGebra donde podemos calcular el MCD y el mcm de dos números cualesquiera comprendidos entre 2 y 200:

Potencias de base entera y exponente entero. Propiedades, signo y ejercicios.

Definición de potencia de número entero y exponente natural:

Es una forma abreviada de escribir un producto o multiplicación donde los factores son iguales. La base es el factor que se repite y el exponente el número de veces que se repite el factor.

Se escribe: $$ \Huge{ \ \ \ \ \ \boldsymbol{ \color{red}\textbf{base} \leftarrow \color{red}a^{\color{blue}n \rightarrow \color{blue}\textbf{exponente} } } }$$ Se lee «$a$ elevado a $n$»:
$$ \begin{split} \large{ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_\text{«n»-veces} } \end{split} $$
Veamos algunos ejemplos:

$$ 2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64 $$
$$ (-3)^5 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243 $$

Propiedades de las potencias:

$$ \large \begin{array}{|l|r|} \hline \ \ \ \ \ \ \ \qquad Propiedad & Ejemplos \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \ \ \ \ \ \\ \hline \text{ Si } \ a \neq 0 \Rightarrow a^0 = 1 & 5^0 = 1; (-3)^0 = 1 \\ \hline \text{ Para todo } \ a, a^1 = a & 4^1 = 4; (-7)^1 = -7 \\ \hline a^n \cdot a^m = a^{n + m} & 2^3 \cdot 2^6 = 2^{3 + 6} = 2^9 = 512 \\ \hline a^n : a^m = \dfrac{a^n}{a^m} = a^{n - m} & 23^{10} : 3^6 = 3^{10 - 6} = 3^4 = 81 \\ \hline a^p \cdot b^p = \left ( a \cdot b \right )^p & 2^6 \cdot 5^6 = (2 \cdot 5)^6 = 10^6 = 1.000.000 \\ \hline a^p : b^p = \dfrac{a^p}{b^p} = \left ( a : b \right )^p = \left ( \dfrac{a}{b} \right )^p & 15^5 : 5^5 = \dfrac{15^5}{5^5} = \left ( 15 : 5 \right )^5 = \left ( \dfrac{15}{5} \right )^5 = 3^5 = 243 \\ \hline \left ( a^s \right )^t = a^{s \cdot t} & \left ( 4^2 \right )^3 = 4^6 = 4.096 \\ \hline a^{-n} = \dfrac{ 1 }{\ a^n\ } & 3^{-2} = \dfrac{1}{\ 3^2\ } = \dfrac{ 1 }{\ 9\ } \\ \hline \end{array} $$

Signo de la potencia:

El signo de la potencia depende del signo de la base y de si el exponente es «par o impar»:

$$ \large \text{signo} \left (a^n \right ) = \begin{cases} \cr \begin{array}{c} \text{ Si } a < 0 \text{ y } \color{blue} n \text{ impar } \Rightarrow a^n < 0 \\ \color{blue} (n \textbf{ positivo o negativo } ) \end{array} \color{blue} \begin{cases} \cr (-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32 < 0 \cr \cr (-11)^{3} = (-11) \cdot (-11) \cdot (-11) = -1331 < 0 \cr \cr (-3)^{-3} = \dfrac{1}{\ (-3)^{3}\ } = -243 < 0 \cr \cr (-5)^{-5} = \dfrac{1}{\ (-5)^{5}\ } = -3125 < 0 \cr \cr \end{cases} \cr \cr \color{black} \text{ Si } a = 0 \text{ y } n > 0 \Rightarrow 0^n = 0 \cr \cr \text{ El resto de casos es positivo } a^n > 0 \begin{cases} \cr 5^2 = 5 \cdot 5 = 25 > 0 \cr \cr 3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 > 0 \cr \cr 3^{-5} = \dfrac{1}{\ 3^5\ } = \dfrac{1}{\ 243\ } > 0 \cr \cr 7^{-3} = \dfrac{1}{\ 7^3\ } = \dfrac{1}{\ 343\ } > 0 \cr \cr (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 > 0 \cr \cr (-5)^{4} = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 625 > 0 \cr \cr (-3)^{-4} = \dfrac{1}{\ (-3)^{4}\ } = \dfrac{1}{\ 81\ } > 0 \cr \cr (-2)^{-10} = \dfrac{1}{\ (-2)^{10}\ } = \dfrac{1}{\ 1024\ } > 0 \cr \cr \end{cases} \cr \cr \end{cases} $$


Vamos a ver las demostraciones de dos de las propiedades de potencias:
$$ \text{Si } a \neq 0, a^0 = a^{1 - 1} = a^{2 - 2} = \ldots = a^{n - n} = \dfrac{\ a^n \ }{\ a^n\ } = 1 $$ $$ a^{n - n} = 1 \Leftrightarrow a^n \cdot a^{-n} = 1 \Leftrightarrow a^{-n} = \dfrac{ 1 }{\ a^n\ } $$ Rellena los siguientes cuadrados en tu cuaderno:

$$ \bbox[6px,border:4px solid red] { \left ( n^{\underline{o}} \text{ negativo }\right)^{\text{par}} = \qquad \qquad \qquad } \qquad \bbox[6px,border:4px solid red] { \left ( n^{\underline{o}} \text{ negativo } \right)^{\text{impar}} = \qquad \qquad \qquad } $$ $$ \bbox[6px,border:4px solid red] { 1^{n} = \qquad \qquad } \qquad \bbox[6px,border:4px solid red] { \left (-1 \right)^{\text{par}} = \qquad \qquad } \qquad \bbox[6px,border:4px solid red] { \left (-1 \right )^{\text{impar}} = \qquad \qquad } $$

Expresa como una sola potencia, para ver la solución de los ejercicios pasa el cursor por encima del ejercicio:

1. $\mathtip{ 7^5 \cdot 7^3 }{ \huge { \bbox[Lavender]{\ \text{Solución: } 7^8, \text{ ya que } 5 + 3 = 8 } \ } }$
   
   
2. $\mathtip{ 7^5 : 7^3 }{ \huge { \bbox[Lavender]{\ \text{Solución: } 7^2, \text{ ya que } 5 - 3 = 2 } \ } }$
   
   
3. $\mathtip{ x^5 \cdot x^9 }{ \huge { \bbox[Lavender]{\ \text{Solución: } x^{14}, \text{ ya que } 5 + 9 = 14} \ } }$
   
   
4. $ p^{10} : p^6 $
   
   
5. $(3^4)^5$
   
   
6. $ (m^2)^3 $
   
   
7. $2^5 \cdot 2^3 \cdot 2^8$
   
   
8. $[(m^3)^2]^5$
   
   
9. $ 8^3 \cdot 5^3 $
   
   
10. $ 35^{4} : 7^4 $
    
    
11. $ (-2)^4 \cdot 7^4 $
    
    
12. $ (-18)^5 : (-9)^5 $
    
    
13. $ a^8 \cdot b^8 $
    
    
14. $ p^{10} : t^{10} $
    
    
15. $ 3^{10} \cdot(-2)^{10} \cdot(-5)^{10} $
    
    
16. $ (-4)^5 \cdot(-3)^5 \cdot(-10)^5 $
    
    

Calcula el número de cifras del número:

Base exponente

El número tiene cifras.

Operaciones combinadas de números enteros.

¿Qué es una operación combinada de números enteros? Es una combinación de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y raíces de número s enteros, en las que pueden aparecer paréntesis, corchetes y/o llaves. Veamos unos ejemplos:

$$ 3 \cdot (-9) + 12 \qquad \qquad 2 \cdot \left ( \sqrt[3]{-8} + 1^7 + 5 \cdot \sqrt{25} \right ) \cdot \left ( -8^2 + 5 \cdot \sqrt[3]{4^6} \right ) \cdot 3 - \sqrt[5]{1024} $$
¿Qué pasos seguir para calcular el resultado de una operación combinada? Para saber en que orden debemos realizar las operaciones debemos tener en cuenta la jerarquía de las operaciones:

$$ \begin{array}{|C{1.75cm}|C{14cm}|} \hline \ \ \ \ 1^{\underline {o}} \ \ \ \ & \ \ \ \ \ \ \ Par\acute{e}ntesis \ (\ ), corchetes \ [\ ] \ o \ llaves \ \{ \ \} \ \ \ \ \ \ \ \\ \hline 2^{\underline {o}} & Potencias \ y \ raíces \\ \hline 3^{\underline {o}} & Multiplicaciones \ y \ divisiones \\ \hline 4^{\underline {o}} & Sumas \ y \ restas \\ \hline \end{array} $$

Además, tenemos la posibilidad de quitar paréntesis, pero siempre que hayamos hecho las operaciones de dentro del paréntesis, corchete o llave:

$$ +(+a) = +a \qquad \Longrightarrow \qquad +(+7) = +7 $$ $$ +(-a) = -a \qquad \Longrightarrow \qquad +(-5) = -5 $$ $$ -(+a) = -a \qquad \Longrightarrow \qquad -(+11) = -11 $$ $$ -(-a) = +a \qquad \Longrightarrow \qquad -(-33) = +33 $$

$ 5 \cdot 4 - (1 + 2) = $

Hacemos el paréntesis, después el producto y para terminar la resta:

$ = 5 \cdot 4 - 3 = 20 - 3 = 17 $

$ 8 + (-2) + 3 + 5 \cdot(-3) + (-7) = $

Quitamos los paréntesis del $-2$ y del $-7$, hacemos el producto, después las sumas y restas de izquierda a derecha:

$ = 8 - 2 + 3 - 15 - 7 = 11 - 24 = -13 $

$ (12 + 15) - (3 + 2 + 1) - 4 - (1 + 2 - 6 + 7) = $

Hacemos los paréntesis y depués las sumas y restas de izquierda a derecha:

$ = 27 - 6 - 4 - 4 = 13 $

$ 6 - 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 - 5 + 13 - 8 : 4 - 9 \cdot 2 : 3 - 1 = $

Hacemos los productos y el producto-división, después las sumas y restas de izquierda a derecha:

$ = 6 - 6 + 4 - 5 + 13 - 2 - 6 - 1 = 12 - 9 = 3 $

$ 9 : 3 - (-12) : 2 - 13 : (-1) = $ Hacemos las divisiones:

$ = 3 - (-6) - (-13 ) = $

Quitamos los paréntesis y por último las sumas y restas de izquierda a derecha:

$ = 3 + 6 + 13 = 22 $

$ 10 : (-5) - (-18) : 9 - 1 + (-4) : (-2) = $

Hacemos las divisiones:

$ = -2 - (-2) - 1 + 2 = $

Quitamos los paréntesis y por último las sumas y restas de izquierda a derecha:

$ = -2 + 2 - 1 + 2 = 1 $

$ 18 - [(3 + 6 + 9) : (9 - 6)] = $ Hacemos los paréntesis:

$ = 18 - [18 : 3] = $ Ahora la división del corchete y por último la resta:

$= 18 - 6 = 12 $

$ 7 + [4 - (2 + 1)] + (12 + 4 \cdot 2) = $

En el corchete hacemos el paréntesis, en el último paréntesis el producto:

$ = 7 + [4 - 3] + (12 + 8) = $

HAcemos el corchete, el paréntesis y terminamos la operación:

$ = 7 + 1 + 20 = 28 $

$ [(55 - 10) - (3 \cdot 6 \cdot 9)] : (-3) = $

Dentro del corchete haremos los paréntesis:

$ = [45 - 162] : (-3) = $

Hacemos la resta del corchete y luego la división:

$ = - 117 : (-3) = 39 $

$ [14 - (-6) + (-6)] : [17 + (-7) - 3] = $

Dentro de cada corchete quitamos los paréntesis:

$ = [14 + 6 - 6] : [17 - 7 - 3] = $

Hacemos las operaciones de cada corchete y después finalizamos la operación:

$ = 14 : 7 = 2 $

$ 7 + (4 - 5) - (-89) = $

Hacemos el primer paréntesis y el segundo lo quitamos:

$ = 7 + (-1) + 89 = $

Quitamos el paréntesis y hacemos las operaciones que quedan:

$= 7 - 1 + 89 = 95 $

$\odn{1}{o}$ hacemos los paréntesis, el del corchete y el del producto, después la división del corchete y el producto, por último la suma:

$ [21 : (7 \cdot 3)] + 4 \cdot (5 - 1) = [21 : 21] + 4 \cdot 4 = 1 + 16 = 17 $

$ 27 - 7 - [(2 \cdot 3) : (3 \cdot 2)] = $

Hacemos la primera resta, depués los productos de los paréntesis (aunque se ve que es los mismo y el resultado es uno) y por último la resta:

$ = 20 - [6 : 6] = 20 - 1 = 19 $

$ 5 \cdot [3 - (2 - 3)] \cdot 6 - 1 = $

Hacemos la operación combinada del corchete, la resta del paréntesis y la resta:

$ = 5 \cdot [3 - (-1)] \cdot 6 - 1 = $

Hacemos la suma del corchete:

$ = 5 \cdot [3 + 1] \cdot 6 - 1 = $

Hacemos los dos productos y la resta final

$ = 5 \cdot 4 \cdot 6 - 1 = 120 - 1 = 119 $

$ 3 - [-5 \cdot 6 - 4 \cdot (12 : 4 - 5 \cdot 2) - 24 : 3] = $

Dentro del corchete, hacemos el primer producto, dentro del paréntesis, la división y el producto, después la última división del corchete:

$ = 3 - [-30 - 4 \cdot (3 - 10) - 8 ] = $

Hacemos la resta del corchete:

$ = 3 - [-30 - 4 \cdot (- 7) - 8 ] = $

Hacemos el producto del corchete:

$ = 3 - [-30 - (-28) - 8 ] = $

Quitamos el paréntesis del corchete:

$ = 3 - [-30 + 28 - 8 ] = $

Hacemos las operaciones del corchete, lo quitamos y terminamos la operación:

$ = 3 - [-10] = 3 + 10 = 13 $

$ - 7 - (2 - 6) \cdot (-4) = $

Hacemos el paréntesis:

$ = - 7 - (-4) \cdot (-4) = $

Hacemos el producto, quitamos paréntesis y al final la resta:

$ = - 7 - (+16) = - 7 - 16 = - 23 $

$ 2 - 3 \cdot [-2 + 10 - 4 \cdot (-1 + 3 : 3) - 8] - 2 = $

Dentro del corchete tenemos otra operación combinada, haciendo primero la suma y en el paréntesis, la división:

$ = 2 - 3 \cdot [8 - 4 \cdot (-1 + 1) - 8] - 2 = $

En el corchete hacemos el producto:

$ = 2 - 3 \cdot [8 - 4 \cdot 0 - 8] - 2 = $

Hacemos la resta del corchete:

$ = 2 - 3 \cdot [8 - 8] - 2 = $

Terminamos haciendo el producto y las operaciones que qudan:

$ = 2 - 3 \cdot 0 - 2 = 2 - 2 = 0 $

$9 \cdot (-1)^3 + 6 = $

Hacemos la potencia:

$ = 9 \cdot (-1) + 6 = $

Hacemos el producto y la suma:

$ -9 + 6 = -3 $

$ [-6 - (-2 + 4) - 5] - [-8 - (7 - 2) - 6] = $

Hacemos el paréntesis que hay en cada uno de los dos corchetes:

$ = [-6 - (+2) - 5] - [-8 - 5 - 6] = $

Quitamos paréntesis, hacemos las operaciones de cada unos de los corchetes y terminamos la operación:

$ = [- 13] - [-19] = -13 + 19 = 6$

$ [(-8) : (-2) - 6 : (2 - 5)] : [10 : (-2) - 3 : (1 - 2)] = $

En cada uno de los corchetes hacemos la primera divisón y el último de los paréntesis:

$ = [4 - 6:(-3)] : [- 5 - 3 : (-1)] = $

Hacemos las divisiones que hay en los dos corchetes:

$ = [4 - (-2)] : [-5 - (-3) ] = $

Quitamos los paréntesis, hago las operaciones de los corchetes y finalizamos la operación:

$ = [4 + 2] : [-5 + 3] = 6 : (-2) = - 3 $

$ 5 \cdot 3 + (-2) \cdot 2 - (-1) \cdot 6 = $

Hacemos los productos de las operaciones:

$ = 15 + (-4) - (-6) = $

Quitamos los paréntesis y terminamos la operación:

$ = 15 - 4 + 6 = 17 $

$ 12 : 2 - 4 : 2 - 42 : 7 - 20 : 4 = $

Hacemos las divisiones, las restas y terminamos la operación:

$ = 6 - 2 - 6 - 5 = - 7 $

$ 15 : (-5) - (-18) : (-2) + (-32) : (-8) = $

Hacemos las tres divisiones:

$ = -3 - (+9) + (+4) = $

Quitamos los paréntesis y hacemos la resta y la suma para terminar la operación:

$ = - 3 - 9 + 4 = - 8 $

$ (-3) \cdot (-4) - (-24) : 6 - 5 \cdot 3 = $

Hacemos los productos y las divisiones:

$ = 12 - (-4) - 15 = $

Quitamos el paréntesis, hacemos la suma y la resta y terminamos la operación:

$ = 12 + 4 - 15 = 1 $

$ 16 - 30 : [6 - 2 \cdot (3 - 1) + 3] = $

En un primer paso hago la resta del corchete:

$ = 16 - 30 : [6 - 2 \cdot 2 + 3 ] = $

Ahora el producto del corchete:

$ = 16 - 30 : [6 - 4 + 3] = $

Ahora la resta y la suma del corchete:

$ = 16 - 30 : 5 = $

Ahora la división, la resta y se termina la operación:

$ = 16 - 6 = 10 $

$[23 + (-5)] : [12 - 3 \cdot (-2)] = $

Quitamos el paréntesis del primer corchete y hacemos el producto del segundo corchete:

$ = [23 - 5] : [12 - (-6)] = $

Hacemos la resta del primer corchete y quitamos el paréntesis del segundo corchete:

$ = [18] : [12 + 6] = $

Hacemos la suma del segundo corchete, la división y terminamos la operación:

$ = [18] : [18] = 1 $

$ [-30 + (-18)] : (-6) + [125 - (-30)] : (-5) = $

Quitamos el paréntesis de cada uno de los corchetes:

$ = [-30 - 18] : (-6) + [125 + 30] : (-5) = $

Hacemos las operaciones de cada uno de los corchetes:

$ = [-48] : (-6) + [155] : (-5) = $

Hacemos las divisiones:

$ = 8 + [-31] = $

quitamos el corchete y operamos:

$ = 8 - 31 = - 23$

$[14 - (-6) + (-6)] : [17 + (-7) - 3] = $

En el primer corchete quitamos los paréntesis o si nos damos cuenta estamos sumando y restando el mismo número a 14, luego nos queda 14 y en el segundo corchete quitamos el paréntesis:

$ = 14 : [17 - 7 - 3] = $

Hacemos las restas del corchete y la división:

$ = 14 : 7 = 2 $

$ -4 : (-2) \cdot (-1) + (-2) = $

Hacemos la primera división y quitamos el último paréntesis:

$ = 2 \cdot (-1) - 2 = $

Hacemos el producto, la resta y terminamos la operación:

$ = -2 - 2 = -4 $

$ -4 - (-3)^2 + 9 = $

Hacemos primero la potencia, después la resta y la suma:

$ = -4 - 9 + 9 = - 4$

$ [3 \cdot (5 - 2) - 10 : 2] \cdot [5 \cdot (1 - 4) - (3 - 7)] = $

En el primer corchete hacemos el paréntesis y la división. En el segundo corchete hacemos los dos paréntesis:

$ = [3 \cdot 3 - 5] \cdot [5 \cdot (- 3) - (- 4)] = $

Hacemos los productos que hay en los corchetes, además en el segundo corchete quitamos el paréntesis:

$ = [9 - 5] \cdot [-15 + 4] = $

Hacemos las operaciones de los corchetes, el producto y terminamos la operación:

$ = 4 \cdot [- 11] = - 44$

$ - 4 - 3 \cdot 5 + 12 : 3 - 2 \cdot (5 - 2) = $

Hacemos el primer producto y el paréntesis:

$ = - 4 - 15 + 4 - 2 \cdot 3 = $

Hacemos la primera resta, la primera suma, el producto y terminamos la operación:

$ = - 15 - 6 = -21 $

$ [2 - (-5) - 10 + (-6) + 12]^3 = $

Quitamos los paréntesis:

$ = [2 + 5 - 10 - 6 + 12]^3 = $

Hacemos las operaciones del corchete, la potencia y acabamos la operación::

$ = 3^3 = 27 $

$ (-2)^3 + 3 \cdot (4 - 18 : 6) \cdot (6 - 2 - (-5) \cdot 2 \cdot 4) = $

Hacemos la potencia, la división del primer paréntesis, y los productos del segundo paréntesis: $ = -8 + 3 \cdot (4 - 3) \cdot (6 - 2 - (-40) ) = $

Hacemos las operaciones de los paréntesis, quitando en el segundo el paréntesis:

$ = -8 + 3 \cdot 1 \cdot (6 - 2 + 40) = $

Hacemos el primer producto y las operaciones del paréntesis:

$ = -8 + 3 \cdot 44 = $

Hacemos el producto y después la suma:

$ = -8 + 132 = 124 $

$ 2 - 3 \cdot [5 - 4 \cdot (4 - 6)] + 8^2 : 4 = $

Hacemos el paréntesis y la potencia:

$ = 2 - 3 \cdot [5 - 4 \cdot (- 2)] + 64 : 4 = $

En el corchete hago el producto y la división:

$ = 2 - 3 \cdot [5 - (- 8)] + 16 = $

Quitamos el paréntesi del corchete:

$ = 2 - 3 \cdot [5 + 8] + 16 = $

Hacemos el corchete, el producto y las operaciones que quedan para terminar la operación:

$ = 2 - 3 \cdot 13 + 16 = 2 - 39 + 16 = -21 $

$ 6 : 2 : 3 + 5 \cdot 2 \cdot 32 - 6 \cdot (5 - 2 + 4 - 32 \cdot 2) = $

Hacemos la primera división y el primer producto, dentro del paréntesis hacemos el producto:

$ = 3 : 3 + 10 \cdot 32 - 6 \cdot (5 - 2 + 4 - 64) = $

Hacemos la división, el producto y las operaciones del paréntesis:

$ = 1 + 320 - 6 \cdot (- 57) = $

Hacemos la suma y el producto:

$ = 321 - (- 342) = $

Quitamos el paréntesis y hacemos la operación que queda:

$ = 321 + 342 = 663$

$ 12 - [1 - (-22 + 57)] = $

Primero hacemos el paréntesis del corchete:

$ = 12 - [1 - (35)] = $

Quitamos el paréntesis del corchete y hacemos la resta:

$ = 12 - [-34] = $

Quitamos el corchete y hacemos la resta:

$ = 12 + 34 = 46 $

$ (6 - 2) \cdot [-5 + 2 - 8 : 4 - 3 \cdot (2 - 3 - 6 : 2)] = $

Hacemos la resta del primer paréntesis y dentro del corchete hacemos la suma, la división del corchete y la división del paréntesis del corchete:

$= 4 \cdot [-3 - 2 - 3 \cdot (2 - 3 - 3)] = $

En el corchete hacemos la resta y las restas del paréntesis:

$= 4 \cdot [-5 - (-12)] = $

Quitamos el paréntesis:

$= 4 \cdot [-5 + 12] = $

Hacemos la suma y el producto:

$= 4 \cdot 7 = 28 $

$ -3 - 2 \cdot [-9 \cdot (5 - 4) - (-6)] = $

Hacemos primero la resta del corchete y quitamos el último paréntesis del corchete:

$ = -3 - 2 \cdot [-9 \cdot 1 + 6] = $

Hacemos el producto y la suma:

$ = -3 - 2 \cdot [-3 ] = $

Hacemos el producto:

$ = -3 - (-6) = $

Quitamos el paréntesis y hacemos la operación que queda:

$ = -3 + 6 = 3 $

$ 13 - (4 + 8) - 3 \cdot 54 = $

Hacemos la suma del paréntesis el producto:

$ = 13 - (12) - 162 = $

Quitamos el paréntesis y hacemos las operaciones que queda:

$ = 13 - 12 - 162 = - 161 $

$ 5 - 3 \cdot [(1 - 4) \cdot (2 - 7 + 3) - 5 \cdot (-2 + 12 : 4)] = $

Hacemos los dos primeros paréntesis ya que son sumas y restas, del tercer paréntesis hacemos la divisón:

$ = 5 - 3 \cdot [-3 \cdot (-2) - 5 \cdot (-2 + 3)] = $

Hacemos el primer producto del corchete y el último paréntesis:

$ = 5 - 3 \cdot [6 - 5 \cdot 1] = $

Hacemos la operación del corchete:

$ = 5 - 3 \cdot 1 = $

Hacemos el producto y la resta:

$ = 5 - 3 = 2$

$ - 3 + 3 \cdot [5 - (-4)] = $

Quitamos el paréntesis del corchete:

$ = - 3 + 3 \cdot [5 + 4] = $

Hacemos la suma:

$ = - 3 + 3 \cdot 9 = $

Hacemos el producto y la suma:

$ = - 3 + 27 = 24 $

$ 4 \cdot [-10 - 2 \cdot (5 - 14 : 7) - 5 \cdot (4 - 7)] = $

Dentro del corchete hacemos la divisón del primer paréntesis y el segundo paréntesis:

$ = 4 \cdot [-10 - 2 \cdot (5 - 2) - 5 \cdot (- 3)] = $

Seguiemos dentro del corchete y hacemos el primer paréntesis y el último producto:

$ = 4 \cdot [-10 - 2 \cdot (3) - (- 15)] = $

Seguimos dentro del corchete haciendo el producto y quitando el último paréntesis:

$ = 4 \cdot [-10 - 6 + 15] = $

Hacemos la operación del corchete y el producto final:

$ = 4 \cdot [-1] = -4 $

$ [3 \cdot (2 \cdot 3 + 5 \cdot 4 - 3 \cdot 7) : (6 : 2 + 3 \cdot 4 - 10)] = $

En el primer paréntesis hacemos los tres productos que tiene, en el segundo hacemos la división y el producto:

$ = [3 \cdot (6 + 20 - 21) : (3 + 12 - 10)] = $

Hacemos las operaciones de los paréntesis y las operaciones que quedan:

$ = 3 \cdot 5 : 5 = 3 $

$ 150 - [18 + (5 - 3) + (6 - 6)] = $

Hacemos los dos paréntesis de la operación:

$ = 150 - [18 + 2] = $

Hacemos el corchete, luego la resta y terminamos a operación:

$ = 150 - 20 = 130 $

$ 50 - 4 \cdot 3 + 2 \cdot 5 - 14 : 7 = $

Hacemos los productos y la división:

$ = 50 - 12 + 10 - 2 = $

Hacemos las operaciones que quedan:

$ = 60 - 14 = 46 $

$ (-12 - 3 -6) : (4 - 3 + 2) : (15 + 4 - 12) = $

Hacemos las operaciones de cada uno de los paréntesis:

$ = (-21) : 3 : 7 = $

Hacemos las divisiones una a una y terminamos:

$ = -7 : 7 = -1 $

$ 5 - 5 \cdot [(1 - 6) \cdot (12 : 3) - 8 \cdot(-4 + 18 : 9)] = $

Dentro del corchete hacemos las operaciones de los dos primeros paréntesis y el producto del tercer paréntesis:

$ = 5 - 5 \cdot [- 5 \cdot 4 - 8 \cdot (-4 + 2)] = $

Seguimos en el corchete haciendo el primer producto y la operación del paréntesis:

$ = 5 - 5 \cdot [- 20 - 8 \cdot (-2)] = $

En el corchete hacemos el prodcuto:

$ = 5 - 5 \cdot [- 20 - (-16)] = $

Quitamos el paréntesis del corchete:

$ = 5 - 5 \cdot [- 20 + 16] = $

Hacemos la operación del corchete:

$ = 5 - 5 \cdot (- 4) = $

Multiplicamos, quitamos el paréntesis y termnamos la operación:

$ = 5 - (- 20) = 5 + 20 = 25 $

$ 9 \cdot [15 : (6 - 1) - (9 - 3) : 2] = $

Dentro del corchete hacemos las operaciones de los paréntesis:

$ = 9 \cdot [15 : 5 - 6 : 2] = $

Seguimos en el paréntesis y hacemos las dos divisiones:

$ = 9 \cdot [3 - 3] = $

Hacemos la resta y terminamos la operación:

$ = 9 \cdot 0 = 0 $

$ [5 - (-7 -1) \cdot (-2)] + (-3) = $

En el corchete hacemos la resta del paréntesis:

$ = [5 - (-8) \cdot (-2)] + (-3) = $

Ahora hacemos el producto del corchete:

$ = [5 - 16] + (-3) = $

Hacemos la operación del corchete, quitamos paréntesis y terminamos la operación:

$ = -11 - 3 = - 14 $

$ [-12 : (2 - 5) - 3 \cdot (8 : 2)] : [-8 : (5 - 7) - 16 : (2 - 6)] = $

Hacemos todas las operaciones que están entre paréntesis:

$ = [-12 : (- 3) - 3 \cdot 4] : [-8 : (- 2) - 16 : (- 4)] = $

Hacemos las divisiones y el producto que hay en los corchetes:

$ = [4 - 12] : [4 - (- 4)] = $

Hacemos las restas de los corchetes, la divisón y terminamos la operación:

$ = -8 : 8 = -1 $

$ [(19 - 14) : 5 + (30 - 22) : 4] \cdot 32 : (4 : 2 - 5) = $

Hacemos en el corchete los dos paréntesis y la división del último paréntesis:

$ = [5 : 5 + 8 : 4] \cdot 32 : (2 - 5) = $

Hacemos las dos divisiones del corchete y la operación del paréntesis:

$ = [1 + 2] \cdot 32 : (- 3) = $

Hacemos la suma del primer paréntesis y vemos que multiplicamos por $3$ y dividimos por $-3$ luego la solución es:

$ = 3 \cdot 32 : (- 3) = - 32 $

$ 2 + (-2) \cdot (-7) - \left [ 3 \cdot (-4) - \left ( 2 + (-8) : 2^2 \right ) \right ] = $

Hacemos el primer producto, dentro del corchete hacemos el primer producto también y la potencia del paréntesis:

$ = 2 + 14 - \left [ -12 - \left ( 2 + (-8) : 4 \right ) \right ] = $

Hacemos la primera suma y dentro del corchete la divisón:

$ = 16 - [ -12 - ( 2 + (-2)) ] = $

Hacemos la operación del paréntesis del corchete que da cero, quitamos el corchete y finalizamos la operación:

$ = 16 - [ -12 ] = 16 + 12 = 28 $

$ (7 - 10) \cdot (2 - 5) \cdot [(8 - 4) : (-3 + 5) - 2 \cdot (10 : 5)] = $

Hacemos las restas de los dos primeros paréntesis, dentro del corchete hacemos las operaciones de todos los paréntesis:

$ = - 3 \cdot (- 3) \cdot [4 : 2 - 2 \cdot 2] = $

Hacemos el primer producto y dentro del corchete la división y el producto:

$ = 9 \cdot [2 - 4] = $

Hacemos primero la resta y después del producto y terminamos la operación:

$ = 9 \cdot (-2) = - 18 $

$ -4 - 2 \cdot [-3 - 4 : (6 - 4 \cdot 2) - (8 - 2) : (8 - 5 \cdot 2)] = $

Dentro del corchete hacemos el producto del primer paréntesis, la resta del segndo y laoperación del tercero:

$ = -4 - 2 \cdot [-3 - 4 : (6 - 8) - 6 : (8 - 10)] = $

Hacemos las divisiones de dentro de los corchetes:

$ = -4 - 2 \cdot [-3 - 4 : (- 2) - 6 : (- 2)] = $

Quitamos los paréntesis de dentro de los corchetes:

$ = -4 - 2 \cdot [-3 - (- 2) - (-3)] = $

Hacemos las operaciones del corchete:

$ = -4 - 2 \cdot [-3 + 2 + 3] = $

Terminamos haciendo el producto y de la resta:

$ = -4 - 2 \cdot 2 = - 4 - 4 = - 8 $

$ [3 \cdot (7 - 2 \cdot 4) + 4 : (1 - 3)] : [(2 - 7) \cdot (4 - 7) : (-3)] = $

En el primer corchete, hacemos el producto del primer paréntesis y la resta del segundo. En el segundo corchete hacemos las restas de los dos primeros paréntesis:

$ = [3 \cdot (7 - 8) + 4 : (- 2)] : [(- 5) \cdot (- 3) : (-3)] = $

En el primer corchete, hacemos la resta del primer paréntesis y la división. En el segundo corchete, es más fácil ya que multiplicamos y dividimos por el mismo número, es decir, se queda como está:

$ = [3 \cdot (- 1) + (- 2)] : [(- 5) \cdot (- 3) : (-3)] = $

HAcemos el producto y la suma del primer corchete:

$ = [-3 + (- 2)] : (-5) = $ Hacemos la última operación:

$ = -5 : (- 5) = 1 $

$ [-6 \cdot (2 - 5) + 5 \cdot (4 - 7)] \cdot [(3 - 8) \cdot (2 - 5) : (1 - 4)] = $ Dentro del primer corchete hacemos las dos restas de los paréntesis. Del segundo corchete hacemos los tres paréntesis:

$ = [-6 \cdot (- 3) + 5 \cdot (- 3)] \cdot [- 5 \cdot (- 3) : (- 3)] = $ En el primero corchete sacamos factor común a $-3$, en el segundo corchete multiplicamos y dividimos por el mismo número, es decir, se queda como está:

$ = [ -3 \cdot (-6 + 5)] \cdot (-5) = $

Hacemos el paréntesis del primer corchete:

$ = [ -3 \cdot (-1) ] \cdot (-5) = $

Hacemos los dos productos y terminamos la operación:

$ = 3 \cdot (-5) = -15 $

$ [(3 \cdot 4 - 2 \cdot 5) \cdot (1 - 5)] : [-3 \cdot (5 - 7) - (1 - 3)] = $

Dentro del primer corchete hacemos los tres paréntesis. En el segundo corchete los dos paréntesis:

$ = [(12 - 10) \cdot (- 4)] : [-3 \cdot (- 2) - (- 2)] = $

En el primer corchete la resta. En el segundo corchete el producto y quitamos el paréntesis:

$ = [2 \cdot (- 4)] : [6 + 2] = $

Hacemos las operaciones de cada corchete y terminamos la operación:

$ = [- 8] : 8 = -1 $

$ 5 - 3 \cdot [2 \cdot (4 - 1) - 3 \cdot (-1 - 5) - 8 : 4 - 2] = $

Hacemos en el corchete las operaciones de los dos paréntesis y la división:

$= 5 - 3 \cdot [2 \cdot (3) - 3 \cdot (-6) - 2 - 2] = $

Hacemos en el corchete los dos productos:

$= 5 - 3 \cdot [6 - (-18) - 2 -2 ] = $

Quitamos el paréntesis del corchete:

$= 5 - 3 \cdot [6 + 18 - 4] = $

Hacemos las operaciones del corchete:

$= 5 - 3 \cdot 20 = $

Hacemos el producto y después la resta y termnamos la operación:

$= 5 - 60 = -55 $

$ - [3 - (2 - (-3))] - [4 - (-5 - (2 - 5) - 2)] = $

Dentro del primer corchete quitamos el paréntesis que hay en el paréntesis, del segundo corchete hago la operación del paréntesis:

$ = - [3 - (2 + 3)] - [4 - (-5 - (- 3) - 2)] = $

En el primer corchete hago el paréntesis y del segundo corchete quitaos el paréntesis que hay en el paréntesis:

$ = - [3 - 5] - [4 - (-5 + 3 - 2)] = $

Hacemos el primer corchete y en el segundo corchete hacemos el paréntesis:

$ = - [- 2] - [4 - (-4)] = $

Quitamos el corchete y el paréntesis:

$ = 2 - [4 + 4] = $

Hacemos el corchete y terminamos la operación:

$ = 2 - 8 = - 6 $

$ 4 - [2 \cdot (3 - 5) - (5 - 2) \cdot (- 7 + 4 : 2)] = $

En el corchete hacemos los dos primeros paréntesis y del último hago la división:

$ = 4 - [2 \cdot (- 2) - 3 \cdot (- 7 + 2)] = $

En el corchete hacemos el producto y la suma del paréntesis:

$ = 4 - [- 4 - 3 \cdot (- 5)] = $

En el corchete hacemos el producto:

$ = 4 - [- 4 - (- 15) ] = $

Quitamos el paréntesis del corchete:

$ = 4 - [- 4 + 15 ] = $

Hacemos la operación del corchete y finalizamos la operación:

$ = 4 - [ +11 ] = - 7 $

$ (7 - 5) \cdot [3 - 2 - 4 : 2 - 3 \cdot (6 - 2 - 8 : 4)] = $

Hacemos e primer paréntesis, en el corchete hacemos la primera división y después la división del paréntesis:

$ = 2 \cdot [3 - 2 - 2 - 3 \cdot (6 - 2 - 2)] = $

En el corchete hacemos las dos primeras restas y hacemos las operaciones del paréntesis:

$ = 2 \cdot [- 1 - 3 \cdot 2] = $

Hacemos la operación del corchete y finalizamos la operación:

$ = 2 \cdot [- 7] = -14 $

$ 4 - 3 \cdot [- 2 + 5 - 3 \cdot (-2 -3 : 3) - 10 : 2 + 3] = $

En el corchete hacemos la primera suma, después la divisón del paréntesis y la siguiente divisón:

$ = 4 - 3 \cdot [3 - 3 \cdot (-2 - 1) - 5 + 3] = $

En el corchete hacemos la resta del paréntesis:

$ = 4 - 3 \cdot [3 - 3 \cdot (-3) - 5 + 3] = $

Hacemos el producto que hay en el corchete:

$ = 4 - 3 \cdot [3 - (-9) - 5 + 3] = $

Quitamos el paréntesis del corchete:

$ = 4 - 3 \cdot [3 + 9 - 5 + 3] = $

Hacemos las operaciones del corchete y finalizamos la operación:

$ = 4 - 3 \cdot 10 = 4 - 30 = -26 $

$ 10 : [(3 - 5) \cdot (2 - 4) + 10 : (-3 - 2)] = $

En el corchete hago los tres paréntesis:

$ = 10 : [(- 2) \cdot (- 2) + 10 : (-5)] = $

Ahora hacemos el producto y la división del corchete:

$ = 10 : [4 + (-2)] = $

Hacemos la suma del corchete y después la divisón y finalizamos la operación:

$ = 10 : 2 = 5 $

$ 8 : (3 - 5) -2 \cdot [-3 \cdot (1 - 4) - 6 : (1 - 3)] = $

Hacemos el primer paréntesis. En el corchete hago los dos paréntesis:

$ = 8 : (- 2) - 2 \cdot [-3 \cdot (- 3) - 6 : (- 2)] = $

Hacemos la primera división. En el corchete hago el producto y la división:

$ = -4 - 2 \cdot [9 - (- 3)] = $

Quitamos el paréntesis del corchete:

$ = -4 - 2 \cdot [9 + 3] = $

Hacemos la suma del corchete:

$ = -4 - 2 \cdot 12 = $

Hacemos el producto, después la resta y finalizamos la operación:

$ = -4 - 24 = -28 $

$ 2 \cdot 3^2 - 4^2 : 2 + 3^2 - (-1)^4 = $

Hacemos primero las cuatro potencias que hay:

$ = 2 \cdot 9 - 16 : 2 + 9 - 1 = $

Después hacemos el producto, la división y terminamos la operación:

$ = 18 - 8 + 9 - 1 = 18 $

$ 20 + \left [3 \cdot 4 - \left (17 - 3 \cdot 2^2 \right ) \right ] \cdot 2 = $

En el corchete hacemos el primer producto, después la potencia del paréntesis:

$ = 20 + \left [12 - \left (17 - 3 \cdot 4 \right ) \right ] \cdot 2 = $

En el corchete hacemos el producto:

$ = 20 + \left [12 - \left (17 - 12 \right ) \right ] \cdot 2 = $

En el corchete hacemos la resta:

$ = 20 + \left [12 - 5 \right ] \cdot 2 = $

Hacemos la operación del corchete:

$ = 20 + 7 \cdot 2 = $

Hacemos el producto, la suma y terminamos la operación:

$ = 20 + 14 = 34 $

$ 10 + 8 \cdot 3^2 - 5 \cdot \left (27 - 2^3 \cdot 3 \right) = $

Hacemos las dos potencias de la òperación combinada:

$ = 10 + 8 \cdot 9 - 5 \cdot \left (27 - 8 \cdot 3 \right) = $

Hacemos el primer producto y el del paréntesis:

$ = 10 + 72 - 5 \cdot \left (27 - 24 \right) = $

Hacemos la suma y la resta del paréntesis:

$ = 82 - 5 \cdot 3 = $

Hacemos el producto, la resta y finalizamos la operación:

$ = 82 - 15 = 67 $

$ 19 - \left [2 \cdot \left ( 8 - \left ( 29 - 3 \cdot 2^3 \right ) \right ) - 4 \right] = $

Hacemos la potencia de la operación combinada:

$ = 19 - \left [2 \cdot \left ( 8 - \left ( 29 - 3 \cdot 8 \right ) \right ) - 4 \right] = $

Hacemos la resta que hay entre paréntesis en el corchete:

$ = 19 - \left [2 \cdot \left ( 8 - \left ( 29 - 24 \right ) \right ) - 4 \right] = $

Hacemos la resta que queda:

$ = 19 - \left [2 \cdot \left ( 8 - 5 \right ) - 4 \right] = $

Ahora hacemos el producto:

$ = 19 - \left [2 \cdot 3 - 4 \right] = $

Hacemos la operación del corchete, la resta que queda y terminamos la operación:

$ = 19 - \left [6 - 4 \right] = 19 - 2 = 17 $

$ 12 - \left (2^2 - 10^2 : 5 \right) + (-6)^2 : 4 = $

Hacemos las potencias de la operación combinada:

$ = 12 - \left (4 - 100 : 5 \right) + 36 : 4 = $

Hacemos las dos divisiones:

$ = 12 - \left (4 - 20 \right) + 9 = $

Hacemos la resta, quitamos el paréntesis y terminamos la operación:

$ = 12 - (- 16) + 9 = 12 + 16 + 9 = 37 $

$ 2 \cdot \left ( \sqrt[3]{-8} + 1^7 + 5 \cdot \sqrt{25} \right ) \cdot \left ( -8^2 + 5 \cdot \sqrt[3]{4^6} \right ) \cdot 3 - \sqrt[5]{1024} = $

Hacemos las raíces y las potencias de la operación combinada:

$ = 2 \cdot \left ( -2 + 1 + 5 \cdot 5 \right ) \cdot \left ( -64 + 5 \cdot 16 \right ) \cdot 3 - 4 = $

En el primer paréntesis hacemos la suma y el producto. En el segundo paréntesis el producto:

$ = 2 \cdot \left ( -1 + 25 \right ) \cdot \left ( -64 + 80 \right ) \cdot 3 - 4 = $

Hacemos las operaciones de los paréntesis:

$ = 2 \cdot 24 \cdot 16 \cdot 3 - 4 = $

Hacemos el producto y la resta:

$ = 48 \cdot 48 - 4 = 2304 - 4 = 2300$

$ \sqrt[3]{8} \cdot 3^3 - \left ( 6^2 - 6 \right ) : \left [ 7^2 - \left ( 11 - \sqrt[3]{27} \right )^2 \right ] = $

Hacemos las raíces y las potencias:

$ = 2 \cdot 27 - \left ( 36 - 6 \right ) : \left [ 49 - \left ( 11 - 3 \right )^2 \right ] = $

Hacemos el primer producto, la resta del primer paréntesis y en el corchete la resta del paréntesis:

$ = 54 - 30 : \left [ 49 - ( 8 )^2 \right ] = $

Hacemos la potencia del corchete:

$ = 54 - 30 : \left [ 49 - 64 \right ] = $

Hacemos la resta del corchete, la división y hacemos la resta:

$ = 54 - 30 : \left [ - 15 \right ] = 54 - (-2) = 54 + 2 = 56$

$ ( \sqrt{64} )^2 : 8^2 \cdot \left ( 4^3 - 9 \cdot 8 \right ) - 7^0 + \sqrt{\left ( 9^2 - 8 \cdot 7 \right )} : \left ( \sqrt{5} \right )^2 = $

Hacemos la primera raíz, del primer paréntesis la potencia y el producto, la siguiente potencia y dentro de la raíz lapotencia y el producto. Por último podemos hacer la última potncia de la raíz:

$ = 8^2 : 8^2 \cdot \left ( 64 - 72 \right ) - 1 + \sqrt{ 81 - 56 } : 5 = $

Hacemos la primera división, la resta del paréntesis y la resta de la raíz:

$ = 1 \cdot \left ( -8 \right ) - 1 + \sqrt{ 25 } : 5 = $

Hacemos el primer producto y la raíz:

$ = - 8 - 1 + 5 : 5 = $

Hacemos el cociente, la resta, la suma y terminamos la operación:

$ = -8 - 1 + 1 = - 8 $

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Cosas para clase

1. Un tipo entra a una tienda y le roba al dueño un billete de 100€ de la caja sin su consentimiento. Luego compra por valor de 70€ en productos de la tienda y el dueño le devuelve 30€. ¿cuánto dinero perdió el dueño de la tienda?
2. Rellenar los círculos del 1 al 9, de forma que cada triángulo sume quince.
   
3. 
   
   
4. Cuatro personas tienen que cruzar un puente, el cual soporta el peso de dos, cuentan con una linterna y una tiene que volver con ella para las otras. Si: la primera tarda 10 minutos en cruzar, la segunda tarda 5 minutos, la tercera tarda 2 minutos y, la cuarta tarda 1 minuto, ¿cuál el menor tiempo que tardan en cruzar las cuatro personas?
5. ¿Cuánto cuadrados ves en la figura?
   
6. ¿y ahora?
   


7. Coge un número al azar entre 1 y 9, multiplícalo por 9 y después por 123456789. ¿Qué pasa?


8. Número de Krapecar 6174
   
   
   1. Elige un número de 4 cifras que esté formado por al menos dos dígitos diferentes. Por ejemplo: 9876
   2. Ordena las cifras de forma descendente. En nuestro ejemplo anterior sería: Ejemplo: 9876.
   3. Ahora ordena las cifras de forma ascendente, es decir, de menor a mayor: Ejemplo: 6789.
   4. Resta al número mayor el más pequeño: Ejemplo: 9876 – 6789 = 3087.
   5. Con el número obtenido en el paso 4 repite los pasos del 2 al 4. Ejemplo: 8730 - 0378 = 8352
   6. Con el número obtenido en el paso 5 repite los pasos del 2 al 4. Ejemplo: 8532 - 2358 = 6174
   
   
9. Las fecha en el calendario gregoriano, arabe y chino:
   
   Calendario gregoriano
   Calendario árabe
10. Conjetura de Collatz: Aplicable a cualquier número entero positivo:
    • Si el número es par, se divide entre 2.
    • Si el número es impar, se multiplica por 3 y se suma 1.
    Ejemplo: Empezamos con el número 12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
    
    
    Serie de Collatz del número
    
    
    


11. Números de FRIEDMAN
Un número de Friedman es un número natural que se puede escribir de manera no trivial utilizando sus propias cifras junto con los paréntesis y las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potenciación.

Por ejemplo: $25 = 5^2$ y $126 = 21·6$


Si un número de Friedman tiene la propiedad adicional de que los dígitos en la fórmula se utilizan en el mismo orden en el que aparecen en el número, el número de Friedman se llama simpático.

Por ejemplo: $343 = (3 + 4)^3$.




Aquí tenéis la lista de los primeros 45 números de Friedman (en negritalos que son simpáticos):

25, 121, 125, 126, 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736, 1022, 1024, 1206, 1255, 1260, 1285, 1296, 1395, 1435, 1503, 1530, 1792, 1827, 2048, 2187, 2349, 2500, 2501, 2502, 2503, 2504, 2505, 2506, 2507, 2508, 2509, 2592, 2737, 2916, 3125 y 3159.






12. Hay que llenar las casillas en blanco con los números del 1 al 9, sin repetirlos, de manera que se obtenga el resultado indicado en cada fila y columna:
    


13. Hay que volver a llenar las casillas en blanco con los números del 1 al 9, sin repetirlos, de manera que se obtenga el resultado indicado en cada fila y columna:
    


14. Supongamos que tenemos 3 vasos y 10 monedas. Tenemos que colocar un número impar de monedas en cada vaso, es decir, cada vaso debe contener monedas y el número de monedas en cada vaso debe ser impar y el total de monedas que se utilizarán debe ser igual a 10.
    
15. Pensemos ...
    
16. A un rectángulo morado le hemos quitado un rectángulo como se observa en la figura:
    
    
    Dibuja una línea recta que divida la parte morada en dos partes iguales y una breve explicación sobre que dicha línea es la correcta.
    
    No puedes tomar medidas, sólo dibujar rectas y todo aquello que te ayude a encontrar la solución al ejercicio propuesto.
    
    
17. Completar este cuadrado mágico para que estén todos los números de 0 a 15, uno en cada casilla, y la suma de sus filas, columnas y diagonales sea igual. (Ayuda: (0+1+2+...+15)/4 es la suma de cada fila).
    
18. 
    
    ¿Ya te rindes? ¡¡¡ Inténtalo un poco más !!!
    
    Para saber la solución manda un correo a profesor.maties@gmail.com.
    
    


19. Número feliz: sumamos los cuadrados de las cifras que componen el número, si al reiterar este proceso obtenemos el número 1, dicho número es feliz.
    Veamos unos ejemplos:
    $\bullet\ $ ¿el 23 es un número feliz?
    $23 \Rightarrow 2^2 + 3^2 = 13 \Rightarrow 1^2 + 3^2 = 10 \Rightarrow 1^2 + 0^2 = 1$ luego el número 23 es feliz.
    $\bullet\ $ ¿el 4 es un número feliz?
    $ 4 \Rightarrow 4^2 = 16 \Rightarrow 1^2 + 6^2 = 37 \Rightarrow 3^2 + 7^2 = 9 + 49 = 58 \Rightarrow 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89 \Rightarrow 8^2 + 9^2 = 64 + 81 = 145 \Rightarrow $
    $1^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 16 + 25 = 42 \Rightarrow 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20 \Rightarrow 2^2 + 0^2 = 4$, así el 4 no es un número feliz. <
    • ¿Todos los números son felices o tristes?
    • ¿Hay un número finito de números felices? ¿y tristes?
    • ¿Hay más felices o tristes?
    • ¿Cómo se comportan?
    • ¿Entre los 100 primeros hay más tristes o felices?


20. Calcula el área total de los dos cuadrados.
    


21. Vamos a hacer un crucigrama diferente, sí de números:
    


22. De @aomatos, más cosas en su web hay muchas cosas buenas e interesantes.
    
    ¿Cuántos cuadrados pueden hacerse con los vértices en la trama de puntos?
    


23. Calcula el área de los dos cuadrados:
    
    
    


24. Seguiremos añadiendo cosas ...