Errores absoluto y relativo. Ejemplo.

Error absoluto:
$$ \quad E_{a} = | Medida_{exacta} - Media_{aproximada}| $$

Error relativo:
$$ \quad E_{r} = \dfrac{ \ E_{a} \ }{ Medida_{exacta} } = $$

$$ = \dfrac{ | Medida_{exacta} - Media_{aproximada}| }{ Medida_{exacta} } $$ Se quiere evaluar la precisión de dos callbres.

1. Con el calibre A se mide un clllndro de diámetro 3,256 cm y el calibre da una medición de 3,28 cm.
2. Con el calibre B se mide un tornillo de diámetro 0,458 cm y su medición es de 0,47 cm.

¿Qué calibre es más preciso? Calcula los errores relativos y compáralos.

Criterios de divisibilidad: «Otro criterios de divisibilidad ... » del 7, del 11 y del 13.

Criterio de divisibilidad del 11:

Siempre viene en los libros de texto el siguiente criterio, que lía mucho a los discentes:
«Un número es divisible entre 11 cuando la suma de los números que ocupan la posición par menos la suma de los números que ocupan la posición impar es igual a 0 o a un número múltiplo de 11»

En lugar de usar este criterio, vamos a probar con este:

1. Agrupamos las cifras por parejas empezando por la derecha, si el número tiene un número impar de cifras nos quedará una cifra suelta, da igual;
2. Sumamos todos los grupos de cifras que se han formado;
3. - Si el resultado es un número de dos cifras iguales, el número es divisible por 11;
   - Si el resultado es un número de dos cifras diferentes, el número no es divisible por 11;
   - Si el resultado de esta suma es un número de 3 cifras o más se repite el proceso con la suma obtenida.

Veamos unos ejemplos:

1. Número 32.505
   1. Hacemos los grupos de dos cifras empezando por la derecha: 05, 25 y 3
   2. Los sumamos: 05 + 25 + 3 = 33
   3. Tiene las dos cifras iguales luego es divisible por 11.
   Hacemos la división para comprobarlo:

2. Número 873.147
   1. Hacemos los grupos de dos cifras empezando por la derecha: 47, 31, 87;
   2. Los sumamos: 47 + 31 + 87 = 165
   Como el número es de 3 cifras, repetimos el proceso:
   1. Hacemos grupos de dos cifras empezando por la derecha: 65, 1;
   2. Los sumamos: 65 + 1 = 66;
   3. Como el número tiene las dos cifras iguales es múltiplo de 11.
   Hacemos la división para comprobarlo:

3. Número 1.341
   1. Hacemos los grupos de dos cifras empezando por la derecha: 13, 41;
   2. Los sumamos: 13 + 41 = 54
   3. Como el número tiene las dos cifras diferentes, no es divisible por 11.
   Vamos a hacer la división para ver que no es divisible:

Criterio de divisibilidad del 7:

Cogemos el número quitándole la cifra de las unidades y le restamos la cifra de las unidades multiplicada por 2, si el número es múlitplo de 7 ya está, si no sabemos si es múltiplo de 7 porque el número es bastante grande, podemos reiterar el proceso las veces que sea necesario:

Veamos el ejemplo con el número $ 3269 \Rightarrow 326 - 9 \cdot 2 = 326 - 18 = 308$, no lo vemos claro. Reiteramos el proceso y tenemos:

Seguimos con el número $ 308 \Rightarrow 30 - 8 \cdot 2 = 30 - 16 = 14$, que es múltiplo de 7, entonces el número 3269 es múltiplo de 7 y finalizamos el proceso. Hagamos la división para comprobarlo.

Ejercicio 1: Comprobar que 3.748 NO es múltiplo de 7.

Ejercicio 2: Comprobar que 4.221 SÍ es múltiplo de 7.

Criterio de divisibilidad del 13:

Para saber si un número es divisible entre 13, al número que resulta de quitarle la cifra de las unidades le restamos las unidades por 9. Si esa resta tiene como resultado 0 múltiplo de 13 entonces el número es divisible entre 13. Si no vemos con claridad que dicho número es múltiplo de 13 podemos reiterar el proceso.

Ejemplo: Veamos si 1.430 es divisible por 13:

Restamos $ 143 - 9 \cdot 0 = 143 $, reiteramos el proceso y nos queda: $ 14 - 3 \cdot 9 = 14 - 27 = -13 $ que claramente es múltiplo de 13.

Ejercicio 3: Comprobar que 3.748 NO es múltiplo de 13.

Ejercicio 4: Comprobar que 4.238 SÍ es múltiplo de 13.

Curiosidades

1. El signo de la división $\large { \div } $ se llama «óbelo». Recordemos que para la división se pueden utiliar además la fracción, los dos puntos «:» o la barra diagonal «/». $$ \Large { \dfrac{\ a \ }{b} = a:b = a/b = a \div b } $$
   
   
   
2. La división en «caja», que no es caja sino galera entrada 8 del diccionario de la «RAE».
   
   
   
   
   
   
3. Elementos de la resta:
   $$ \begin{array}{rcl} \quad \ \ \ a & \longrightarrow & \text{ minuendo } \cr & & \cr \quad - \ \ b & \longrightarrow & \text{ sustraendo } \cr \hline \cr \quad \ \ \ c & \longrightarrow & \text{ resta o diferencia } \cr \end{array} \qquad \qquad \begin{array}{rcl} \quad \ \ \ 342 & \longrightarrow & \text{ minuendo } \cr & & \cr \quad - \ \ 145 & \longrightarrow & \text{ sustraendo } \cr \hline \cr \quad \ \ \ 197 & \longrightarrow & \text{ resta o diferencia } \cr \end{array} $$
   
   
4. Del «Centro virtual Cervantes»:
   
   Se dice que cierto fraile mendicante entró en una huevería para comprar una docena de huevos. Pero como eran para distintas personas, le dijo así a la huevera:
   
   —Como son para distintas personas, póngamelos separados de la siguiente manera: media docena, para el padre prior; un tercio de docena, para el padre guardián, y para mí que soy más pobre, un cuarto de docena.
   
   Es decir, que separó la mitad de doce, o sea, seis huevos; después un tercio de doce, cuatro huevos; y finalmente un cuarto de doce, tres huevos. En total sumaban, como se puede ver, trece huevos: 6 + 4 + 3 = 13.
   
   
   
   
5. Billón español y billón americano
   
   Hay dos escalas para el uso de las potencias de 10, la escala corta (billón americano) y la escala larga (billón español):
   
   Diferencia entre millones, billones y trillón en escalas numéricas Larga y Corta $$ \begin{array}{|r|l|l|} \hline \text{ Valor } & \text{ Escala corta (anglosajona) } & \text{ Escala larga } \cr \hline 1 & uno & \text{uno} \\ \hline 1\,000 & mil & \text{mil} \\ \hline 1\,000\,000 & millón & \text{millón} \\ \hline 1\,000\,000\,000 & billón & \text{mil millones o millardo} \\ \hline 1\,000\,000\,000\,000 & trillón & \text{billón } \\ \hline 1\,000\,000\,000\,000\,000 & cuatrillón & \text{mil billones} \\ \hline 1\,000\,000\,000\,000\,000\,000 & quintillón & \text{trillón} \\ \hline \end{array}$$ $\bullet \ $ En el siglo XVII una corriente de matemáticos anglosajones adoptó la denominación de Billón, para el número 1.000.000.000 o 10 elevado a la novena potencia. Lo que en otros idiomas sería un millardo.
   
   Este concepto se ha mantenido en el inglés, aunque no ha sido oficialmente aceptado en el Reino Unido hasta 1.974, cuando el gobierno británico aceptaba oficialmente 1.000.000.000 como Billón.
   
   $\bullet \ $ Otra teoría dice que en el siglo XVII matemáticos de Francia e Italia que decidieron adoptar el concepto billón para llamar a los mil millones, cuando para el resto del mundo era millardo.
   
   En Italia, 1 Billón son 1.000 millones = 1.000.000.000
   
   En Francia, 1 billón son un millón de millones. Aunque no ha sido hasta el siglo XX cuando gracias al matemático Nicolás Chuquet se impuso de nuevo el billón español. En 1961 se formalizó el uso de la escala larga.
   
   
6. Un acre son 4046,86 $m^2$ = 40% de una hectarea.
   
   Una hectarea son 10000$m^2$.
   
   

Binomio de Newton. Desarrollo. Ejercicios.

El binomio de Newton, llamada así en honor al matemático Sir Isaac Newton (*), es una fórmula para desarrollar la potencia natural de cualquier binomio, es decir, algo de la forma:

$$ \Large{ ( a + b )^n \quad \text{ o } \quad (a - b)^n } $$ Para ello tenemos que manejar con soltura los factoriales y los números combinatorios.

$$ \Large{ ( a + b )^n = \sum_{i = 0}^{n} \binom{n}{i} \cdot a^{n - i} \cdot b^{i} } $$

$$ \Large{ ( a - b )^n = ( a + [-b] )^n = \sum_{i = 0}^{n} \binom{n}{i} \cdot a^{n - i} \cdot (-b)^{i} } $$

Si queremos calcular directamente un término del desarrollo sin necesidad de hacer el desarrollo completo usaremos la siguiente fórmula: $$ \text{Si es } \Large { (a + b)^n \Rightarrow T_{k} = \binom{n}{k - 1} \cdot a^{n - (k - 1)} \cdot b^{k - 1} = \binom{n}{k - 1} \cdot a^{n - k + 1} \cdot b^{k - 1} } $$

$$ \text{Si es } \Large { (a - b)^n \Rightarrow T_{k} = \binom{n}{k - 1} \cdot a^{n - (k - 1)} \cdot (-b)^{k - 1} = \binom{n}{k - 1} \cdot a^{n - k + 1} \cdot (-b)^{k - 1} } $$

                                                                                    
Binomio a desarrollar $(a \ $ + - $b)^2$                           1 2 3
                                                                                    

Otra forma de sacar los números combinatorios es con el Triángulo de Pascal o Triángulo de Tartaglia.

Ahora lo que hay que hacer es calcular los números combinatorios y sustituir $a$ y $b$ por las expresiones que tengas en tu ejercicio. Veamos un par de ejemplos:

1.- Con la suma, $ \left (x + \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^5 $, el binomio de una suma elevado a 5: $$ \displaystyle \large{ \left ( a + b \right )^{5} = \sum_{i = 0}^{5} \binom{5}{i} a^{5 - i} \cdot b^{i} = } $$ $$ = \displaystyle \large{ \binom{5}{0} \cdot a^{5} + \binom{5}{1} \cdot a^{4} \cdot b + \binom{5}{2} \cdot a^{3} \cdot b^{2} + \binom{5}{3} \cdot a^{2} \cdot b^{3} + \binom{5}{4} \cdot a \cdot b^{4} + \binom{5}{5} \cdot b^{5} } = $$ $$ = \displaystyle \large { a^{5} + 5 \cdot a^{4} \cdot b + 10 \cdot a^{3} \cdot b^{2} + 10 \cdot a^{2} \cdot b^{3} + 5 \cdot a \cdot b^{4} + b^{5} } $$ Ahora sustituimos $ a $ por $x$, $b$ por $\dfrac{\ 1 \ }{x}$ y los números combinatorios por su valor $ \displaystyle \binom{5}{5} = \binom{5}{5} = 1$, $ \displaystyle \binom{5}{1} = \binom{5}{4} = 5$ y $ \displaystyle \binom{5}{2} = \binom{5}{3} = \dfrac{5!}{2! \cdot 3!} = \dfrac{5 \cdot 4 }{2} = 10 $

Luego $ \left (x + \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^5 = x^{5} + 5 \cdot x^{4} \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{x} \right ) + 10 \cdot x^{3} \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^{2} + 10 \cdot x^{2} \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^{3} + 5 \cdot x \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^{4} + \left ( \dfrac{\ 1 \ }{x} \right )^{5} = $

$ = x^{5} + 5 \cdot x^3 + 10 \cdot x + \dfrac{\ 10 \ }{x} + \dfrac{\ 5 \ }{x^3} + \dfrac{\ 1 \ }{x^5}$


2.- Con la resta, $ \left (xy - \dfrac{\ 1 \ }{xy} \right )^4 $, el binomio de una resta elevado a 4: $$ \displaystyle \large{ \left ( a - b \right )^{4} = \sum_{i = 0}^{4} \binom{4}{i} a^{4 - i} \cdot (-b)^{i} = } $$ $$ = \displaystyle \large{ \binom{4}{0} \cdot a^{4} - \binom{4}{1} \cdot a^{3} \cdot b + \binom{4}{2} \cdot a^{2} \cdot b^{2} - \binom{4}{3} \cdot a \cdot b^{3} + \binom{4}{4} \cdot b^{4} } $$ $$ = \displaystyle \large { a^{4} - 4 \cdot a^{3} \cdot b + 6 \cdot a^{2} \cdot b^{2} - 4 \cdot a \cdot b^{3} + b^{4} } $$ Ahora sustituimos $ a $ por $xy$, $b$ por $\dfrac{\ 1 \ }{xy}$ y los números combinatorios por su valor $ \displaystyle \binom{4}{0} = \binom{4}{4} = 1$, $ \displaystyle \binom{4}{1} = \binom{4}{3} = 4$ y $ \displaystyle \binom{4}{2} = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = \dfrac{4 \cdot 3 }{2} = 6 $

Luego $ \left (xy - \dfrac{\ 1 \ }{xy} \right )^4 = (xy)^{4} - 4 \cdot (xy)^{3} \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{xy} \right ) + 6 \cdot (xy)^{2} \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{xy} \right )^{2} - 4 \cdot (xy) \cdot \left ( \dfrac{\ 1 \ }{xy} \right )^{3} + \left ( \dfrac{\ 1 \ }{xy} \right )^{4} = $

$ = (xy)^{4} - 4 \cdot (xy)^{2} + 6 - \dfrac{\ 4 \ }{(xy)^3} + \dfrac{\ 1 \ }{(xy)^4} $

Ejercicios, desarrolla los siguientes binomios: $\large $

1. $(3x - 2)^{4} $
2. $\left(2x^{3} + 5x \right)^{3} $
3. $ (\sqrt{2} + \sqrt{3})^{5} $
4. $(\sqrt{5} - 2)^{4} $
5. $\left(x - \dfrac{2}{x} \right)^{4}$
6. $\left(2x + \dfrac{y}{3} \right)^{4} $

$\normalsize $

$ \displaystyle \left ( 3x + 2 \right )^4 = \sum_{i = 0}^{4} \binom{4}{i} \cdot \left ( 3x \right )^{4 - i} \cdot (2 )^i = $

$ \displaystyle = \binom{4}{0} \cdot \left ( 3x \right )^4 + \binom{4}{1} \cdot \left ( 3x \right )^3 \cdot (2) + \binom{4}{2} \cdot \left ( 3x \right )^2 \cdot (2)^2 + \binom{4}{3} \cdot \left ( 3x \right ) \cdot (2)^3 + \binom{4}{4} \cdot (2)^4 = $

$ = 81x^4 + 216x^3 + 216x^2 + 96x + 16 $

$ \displaystyle \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } - x \right )^5 = \sum_{i = 0}^{5} \binom{5}{i} \cdot \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } \right )^{5- i} \cdot (- x)^i = $

$ \displaystyle = \binom{5}{0} \cdot \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } \right )^5 + \binom{5}{1} \cdot \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } \right )^4 \cdot (- x) + \binom{5}{2} \cdot \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } \right )^3 \cdot (- x)^2 + \binom{5}{3} \cdot \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } \right )^2 \cdot (- x)^3 + $

$\displaystyle + \binom{5}{4} \cdot \left ( \dfrac{1}{\sqrt{x} \ } \right ) \cdot (- x)^4 + \binom{5}{5} \cdot (- x)^5 = \dfrac{ \ \sqrt{x} \ }{ x^3 } - 5 \cdot \dfrac{1}{ \ x \ } + 10 \cdot \sqrt{x} - 10 \cdot x^2 + 5 \cdot \sqrt{x} \cdot x^3 - x^5 $

El desarrollo tiene 5 términos, lo que nos pide este ejercicio es el término 3º, ya que es el término central. Aplicamos la fórmula y tenemos
$$ \displaystyle \large {T_{3} = \binom{4}{2} \cdot \left ( \dfrac{\ x^{2}\ }{9} \right )^{2} \cdot \left ( \dfrac{1}{\ x^{3}\ } \right)^{2} = \binom{4}{2} \cdot \dfrac{\ x^4\ }{81} \cdot \dfrac{1}{\ x^6 \ } } $$

Calaculamos el número combinatorio
$$ \displaystyle \large { \binom{4}{2} = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2! } = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot \cancel{2!} }{\cancel{2!} \cdot 2! } =\dfrac{4 \cdot 3 }{ 2 } = \dfrac{12}{2} = 6 } $$
Luego el término central será $$ \displaystyle \large {T_{3} = 6 \cdot \dfrac{\ x^4\ }{81} \cdot \dfrac{1}{\ x^6 \ } = \dfrac{6}{81 \cdot x^2} } $$

El desarrollo tiene 13 términos, lo que nos pide este ejercicio es el término 7º, ya que es el término central. Aplicamos la fórmula y tenemos
$$ \displaystyle \large {T_{7} = \binom{12}{6} \cdot (3x^2)^{6} \cdot (-5x^4)^{6} = \binom{12}{6} \cdot 3^6 \cdot 5^6 \cdot x^{12} \cdot x^{24} = \binom{12}{6} \cdot 15^6 \cdot x^{36} } $$

Si calculamos el número combinatorio

$ \displaystyle \large { \binom{12}{6} = \dfrac{12!}{6! \cdot 6!} = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 } = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cancel{6!}}{\cancel{6!} \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 } = \dfrac{ \cancel{12} \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 }{ 6 \cdot 5 \cdot \cancel{4 \cdot 3 } \cdot 2 } = } $
$ \displaystyle \large {= \dfrac{ 11 \cdot \cancel{10} \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 }{ 6 \cdot \cancel{5 \cdot \cdot 2} } = \dfrac{ 11 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 }{ 3 \cdot 2 } = \dfrac{ 11 \cdot 3 \cdot \cancel{3 \cdot 2} \cdot 4 \cdot 7 }{ \cancel{3 \cdot 2} } = 11 \cdot 12 \cdot 7 = 11 \cdot 84 = 924} $

y haciendo el resto de operaciones $ \displaystyle \large { 924 \cdot 15^6 = 10.524.937.500 } $

$$ \displaystyle \large {T_{7} = 10.524.937.500 \cdot x^{36} } $$

Para saber si existe un término de grado 13 voy a ver si existe tal término, es decir, voy a ver si existe el término k-ésimo de grado 13 $T_{k} = x^{13}$
$$ \displaystyle \large { \binom{8}{k - 1} \cdot (3x)^{8 -k + 1} \cdot (x^2)^{k - 1} = x^{13} } $$

Para calcular el valor de $k$ no nos hace falta el número combinatorio y podemos quitar el $3$ de $3x$, así nos quedará algo más sencillo
$$ \displaystyle \large { (x)^{9 - k} \cdot (x^2)^{k - 1} = x^{13} } $$ Esto es un ecuación exponencial y tenemos que calcular el valor de $k$, recordemos que $k$ tiene que ser un «número natural», si no lo fuera el problema no tendría solución y además sabemos que es menor o igual que 13.

Vamos a resolver laecuación:

$$ \displaystyle \large { (x)^{9 - k} \cdot (x^{2k - 2} = x^{13} \rightarrow 9 - k + 2k - 2 = 13 \Rightarrow 7 + k = 13 \Rightarrow k = 6 } $$ Una vez que sabemos el valor de $k$, vamos a calcular el término 6º:

$$ \displaystyle \large { T_{6} = \binom{8}{5} \cdot (3x)^3 \cdot (x^2)^5 = \binom{8}{5} \cdot 27 \cdot x^{13} } $$
Calculamos el valor de $ \displaystyle \large { \binom{8}{5} = \dfrac{ 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5! }{ 5!\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } = \dfrac{ 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!} }{ \cancel{5!} \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } = \dfrac{ 8 \cdot 7 \cdot \cancel{6} }{ \cancel{ 3 \cdot 2 } } } = 8 \cdot 7 = 56 $



$$ \displaystyle \large {T_{6} = 56 \cdot 27 \cdot x^{13} = 1.512 \cdot x^{13} } $$

$$ \displaystyle \large { T_{2} = x^{11} \Rightarrow \binom{n}{1} \cdot (x^2)^{n - 1} \cdot \left( \dfrac{-1}{\ x \ } \right)^{1} = x^{11} \Rightarrow } $$
Sólo nos dicen que el segundo término es de grado 2, luego no necesitamos el coeficiente de dicho término y podemos «prescindir» de él:

$$ \displaystyle \large { x^{2(n - 1)} \cdot ( x^{-1} ) = x^11 \Rightarrow x^{2n - 2} \cdot x^{-1} = x^{11} } $$
y ahora planteamos una ecuación exponencial:

$$ \large { 2n - 2 - 1 = 11 \Rightarrow 2n = 14 \Rightarrow n = 7 } $$ Tenemos que desarrollar $ \large { \left(x^{2} - \dfrac{1}{\ x \ } \right )^{7} } $

$$ \displaystyle \large { \left(x^{2} - \dfrac{1}{\ x \ } \right )^{7} = \sum_{i = 0}^{7} \binom{7}{i} \cdot (x^2)^{7 - i} \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^i = } $$
$$ \displaystyle \large { = \binom{7}{0} \cdot (x^2)^7 + \binom{7}{1} \cdot (x^2)^6 \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right ) + \binom{7}{2} \cdot (x^2)^5 \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^2 + \binom{7}{3} \cdot (x^2)^4 \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^3 + } $$
$$ \displaystyle \large { + \binom{7}{4} \cdot (x^2)^3 \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^4 + \binom{7}{5} \cdot (x^2)^2 \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^5 + \binom{7}{6} \cdot (x^2) \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^6 + \binom{7}{7} \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x \ } \right )^7 = (*) } $$
Vamos a calcular los número combinatorios:

Tenemos que $ \displaystyle \large { \binom{7}{0} = \binom{7}{7} = 1 \text{ y } \binom{7}{1} = \binom{7}{6} = 7 } $

Por otro lado tenemos que $ \displaystyle \large { \binom{7}{2} = \binom{7}{5} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 2!} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!} }{ \cancel{5!} \cdot 2!} = \dfrac{7 \cdot 6 }{ 2 } = \dfrac{42}{2} = 21 } $

Por otro lado tenemos que $ \displaystyle \large { \binom{7}{3} = \binom{7}{4} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 3!} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cancel{4!} }{ \cancel{4!} \cdot 3!} = \dfrac{7 \cdot \cancel{6} \cdot 5 }{ \cancel{6} } = 7 \cdot 5 = 35 } $

Seguimos con el desarrollo del binomio en $(*)$

$$ \displaystyle \large { = x^{14} - 7x^{11} + 21x^8 - 35x^5 + 35x^2 - \dfrac{21}{\ x \ } + \dfrac{7}{\ x^4 \ } - \dfrac{1}{\ x^7 \ } } $$

$$ \displaystyle \large { T_{3} = 90 \Rightarrow \binom{5}{2} \cdot \left( \dfrac{3}{\ x \ } \right)^3 \cdot (-x)^2 = 90 \Rightarrow } $$
$$ \displaystyle \large { \Rightarrow 10 \cdot \dfrac{27}{\ x^3 \ } \cdot x^2 = 90 \Rightarrow \dfrac{270}{\ \ x \ \ } = 90 \Rightarrow 270 = 90x \Rightarrow x = 3 } $$

$$ \displaystyle \large { T_{3} = x^2 \Rightarrow \binom{n}{2} \cdot (x^2)^{n - 2} \cdot \left( \dfrac{3}{\ x \ } \right)^2 = x^2 \Rightarrow } $$
Sólo nos dicen que el tercer término es de grado 2, luego no necesitamos el coeficiente de dicho término y podemos «prescindir» de él:

$$ \displaystyle \large { x^{2(n - 2)} \cdot ( x^{-1} )^2 = x^2 \Rightarrow x^{2n - 4} \cdot x^{-2} = x^2 } $$
y ahora planteamos una ecuación exponencial:

$$ \large { 2n - 4 - 2 = 2 \Rightarrow 2n = 8 \Rightarrow n = 4 } $$ Tenemos que desarrollar $ \large { \left( x^{2} + \dfrac{3}{\ x\ } \right)^4 } $

$$ \displaystyle \large { \left( x^{2} + \dfrac{3}{\ x\ } \right)^4 = \sum_{i = 0}^{4} \binom{4}{i} \cdot (x^2)^{4 - i} \cdot \left ( \dfrac{3}{\ x\ } \right )^i = } $$
$$ \displaystyle \large { = \binom{4}{0} \cdot (x^2)^4 + \binom{4}{1} \cdot (x^2)^3 \cdot \left ( \dfrac{3}{\ x\ } \right ) + \binom{4}{2} \cdot (x^2)^2 \cdot \left ( \dfrac{3}{\ x\ } \right )^2 + \binom{4}{3} \cdot x^2 \cdot \left ( \dfrac{3}{\ x\ } \right )^3 + } $$
$$ \displaystyle \large { + \binom{4}{4} \cdot \left ( \dfrac{3}{\ x\ } \right )^4 = (*) } $$
Vamos a calcular los número combinatorios:

Tenemos que $ \displaystyle \large { \binom{4}{0} = \binom{4}{4} = 1 \text{ y } \binom{4}{1} = \binom{4}{3} = 4 } $

Por otro lado tenemos que $ \displaystyle \large { \binom{4}{2} = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2!} = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot \cancel{2!} }{ \cancel{2!} \cdot 2!} = \dfrac{4 \cdot 3 }{ 2 } = \dfrac{12}{\ 2\ } = 6 } $

Seguimos con el desarrollo del binomio en $(*)$

$$ \displaystyle \large { = x^8 + 12x^5 + 54x^2 + \dfrac{\ 108 \ }{\ x \ } + \dfrac{81}{\ x^4 \ } } $$

$$ \displaystyle \large { 11^5 = (10 + 1)^5 = \sum_{i = 0}^{5} \binom{5}{i} \cdot 11^{5 - i} \cdot (1)^i = } $$
$$ \displaystyle \large { = \binom{5}{0} \cdot 10^5 + \binom{5}{1} \cdot 10^4 + \binom{5}{2} \cdot 10^3 + \binom{5}{3} \cdot 10^2 + \binom{5}{4} \cdot 10 + \binom{5}{5} = (*) } $$
Sabemos que

$ \displaystyle \large { \binom{5}{0} = \binom{5}{5} = 1 }$, que $ \displaystyle \large { \binom{5}{1} = \binom{5}{4} = 5 } $ y

$$ \displaystyle \large { \binom{5}{2} = \binom{5}{3} = \dfrac{5!}{\ 3! \cdot 2! \ } = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{\ 3! \cdot 2! \ } = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot \cancel{3!} }{\ \cancel{3!} \cdot 2! \ } = \dfrac{5 \cdot 4}{\ 2 \ } = \dfrac{20}{\ 10 \ } = 10 } $$
seguimos en $(*)$ y tenemos que

$$ \displaystyle \large { = 100.000 + 50.000 + 10.000 + 1.000 + 50 + 1 = 161.051} $$

$$ \large { (a + b + c)^{2} = \left ( \left [ a + b \right ] + c \right )^2 = [a + b]^2 + 2 \cdot [a + b] \cdot c + c^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 = } $$
$$ \large{ = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc }$$

Hacemos $a = 2; b = x y c = x^2$ y tenemos:

$$ \large { \left(2 + x + x^{2} \right)^{2} = 2^2 + x^2 + \left (x^2 \right )^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + 2 \cdot 2 \cdot x^2 + 2 \cdot x \cdot x^2 = } $$
$$ \large { = 4 + x^2 + x^4 + 4x + 4x^2 + 2x^3 = x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 4x + 4 } $$

$$ \large { (a + b + c)^{3} = \left ( \left [ a + b \right ] + c \right )^3 = [a + b]^3 + 3 \cdot [a + b]^2 \cdot c + 3 \cdot [a + b] \cdot c^2 + c^3 = } $$
$$ \large{ = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 + 3c \cdot (a^2 + 2ab + b^2) + 3ac^2 + 3bc^2 + c^3 = } $$
$$ \large{ = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 + 3a^2c + 6abc + 3b^2c + 3ac^2 + 3bc^2 + c^3 = } $$
$$ \large{ = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3a^2c + 3b^2a + 3b^2c + 3c^2a + 3c^2b + 6abc } $$

$$ \displaystyle \large { \binom{5}{2} \cdot (x^2)^3 \cdot \left ( \dfrac{3}{\ x\ } \right )^2 = \binom{5}{2} \cdot (x^3)^2 \cdot \left ( \dfrac{-1}{\ x\ } \right )^3 } $$
$$ \displaystyle \large { 10 \cdot x^6 \cdot \dfrac{9}{\ x^2\ } = 10 \cdot x^6 \cdot \dfrac{-1}{\ x^3\ } \Rightarrow \cancel{10} \cdot x^4 \cdot 9 = - \cancel{10} \cdot x^3 \Rightarrow 9x^4 + x^3 = 0 \Rightarrow x^3 \cdot (9x + 1) = 0 \Rightarrow } $$
$$ \large { \Rightarrow \cases { \text{ Si } x = 0 \text{ no puede ser solución, ya que está en el denominador} \cr \cr \text{ Si } x = \dfrac{-1}{\ 9\ } \text{ sí es solución.} } } $$

$\bullet$ Vamos con el cuarto término, pero antes calcularemos el número combinatorio asociado:

$ \displaystyle \large { \binom{9}{3} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 3!} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cancel{6!} }{ \cancel{6!} \cdot 3!} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 }{3 \cdot 2 } = \dfrac{3 \cdot \cancel{3} \cdot 8 \cdot 7 }{\cancel{3} \cdot 2 } = \dfrac{3 \cdot 4 \cdot \cancel{2} \cdot 7 }{ \cancel{ 2 } } = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84 } $

$$ \displaystyle \large { T_4 = \binom{9}{3} \cdot (x)^6 \cdot \left ( y \right )^3 = 84x^6y^3 } $$


$\bullet$ Vamos ahora con el quinto término, pero antes calcularemos el número combinatorio asociado:

$ \displaystyle \large { \binom{8}{4} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 4!} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cancel{4!} }{ \cancel{4!} \cdot 4!} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot \cancel{6} \cdot 5}{ 4 \cdot \cancel{3 \cdot 2} } = \dfrac{\cancel{4} \cdot 2 \cdot 7 \cdot 5 }{ \cancel{4} } = 2 \cdot 7 \cdot 5 = 70 } $

$$ \displaystyle \large { T_5 = \binom{8}{4} \cdot (2x)^4 \cdot \left ( -y \right )^4 = 70 \cdot 16 \cdot x^4y^4 = 1.120x^4y^4 } $$

Vamos con el término k-ésimo:

$ \displaystyle \large { T_k = \binom{7}{k - 1} \cdot ( 3x^2)^{8 - k} \cdot \left ( - \dfrac{1}{\ x\ } \right )^{k - 1} } $

Sólo nos dicen que el término k-ésimo es de grado 2, luego no necesitamos el coeficiente de dicho término y podemos «prescindir» de él:

$$ \displaystyle \large { (x^2)^{8 - k} \cdot \left ( x^{-1} \right )^{k - 1} = x^2 } $$
Y ahora planteamos una ecuación exponencial:

$$ \large { x^{16 - 2k} \cdot x^{-k + 1} = x^2 \Rightarrow 16 - 2k - k + 1 = 2 \Rightarrow 17 - 3k = 2 \Rightarrow 15 = 3k \Rightarrow k = 5 } $$
Vamos a comprobarlo, primero calculamos el número combinatorio:
$ \displaystyle \large { \binom{7}{4} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 3!} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cancel{4!} }{ \cancel{4!} \cdot 3!} = \dfrac{7 \cdot \cancel{6} \cdot 5 }{ \cancel{6} } = 7 \cdot 5 = 35 } $

Seguimos con el desarrollo del binomio en $(*)$

$ \displaystyle \large { T_5 = \binom{7}{4} \cdot ( 3x^2)^{3} \cdot \left ( - \dfrac{1}{\ x\ } \right )^{4} = 35 \cdot 27 x^6 x^{-4} = 945x^2 } $

Vamos con el sexto, pero antes calcularemos el número combinatorio asociado:

$ \displaystyle \large { \binom{9}{5} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 4!} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!} }{ \cancel{5!} \cdot 4!} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cancel{6} }{4 \cdot \cancel{6} } = \dfrac{9 \cdot 2 \cdot \cancel{4} \cdot 7 }{ \cancel{4} } = 9 \cdot 2 \cdot 7 = 126 } $

$$ \displaystyle \large { T_6 = \binom{9}{5} \cdot (3x)^4 \cdot \left ( -x \right )^5 = -126 \cdot 81 x^9 = -10.206 x^9} $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Propiedad distributiva - Ejemplo gráfico

Hola, Vamos a usar la página web graspablemath.com/ para revisar la propiedad distributiva en el siguiente enlace Propiedad Distributiva .

La propiedad distributiva nos dice
$$ a \cdot \left ( b + c \right ) = a \cdot b + a \cdot c $$ Multiplicar un número por la suma de dos número, es lo mismo que multiplicar ese número por cada uno de los sumandos y efectuar después la suma de esos dos productos.

Veamos algunos ejemplos:


1.- $ 12 \cdot 8 + 12 \cdot 42 $
Aquí $a = 12 $, $b = 8$ y $c = 42$ aplicamos la propiedad distributiva y tenemos:
$$ 12 \cdot 8 + 12 \cdot 42 = 12 \cdot ( 8 + 42 ) = 12 \cdot 50 = 600 $$ 2.- $ 23 \cdot 18 + 12 \cdot 23 $
Primero aplicamos la conmutativa al segundo producto y nos quedará $ 23 \cdot 18 + 23 \cdot 12 $ y ahora hacemos como en el apartado anterior, aquí $a = 23 $, $b = 18$ y $c = 12$ aplicamos la propiedad distributiva y tenemos:
$$ 23 \cdot 18 + 23 \cdot 12 = 23 \cdot ( 18 + 12 ) = 23 \cdot 30 = 690 $$ 3.- $55 \cdot (20 + 6)$
Si hacemos primero el paréntesis nos sale el producto $ 55 \cdot 26$ que no es sencillo, pero si aplicamos la distributiva con $a = 55$, $b=20$ y $c = 6$ tenemos dos productos más sencillos y una suma:
$$ 55 \cdot (20 + 6) = 55 \cdot 20 + 55 \cdot 6 = 1100 + 330 = 1430 $$ 4.- $77 \cdot 31$
Podemos hacer lo siguiente $ 77 \cdot (30 + 1) $ y ahora aplicaríamos la distributiva con $a = 77$, $b = 30$ y $c = 1$
$$ 77 \cdot (30 + 1) = 77 \cdot 30 + 77 \cdot 1 = 2410 + 77 = 2487 $$ Gráficamente lo podemos ver así:

La suma de las áreas de dos rectángulos de distinta base pero con la misma altura es la misma área que la de un rectángulo que tiene por base la suma de las bases de dichos rectángulos y la misma altura.

Veamos una imagen que vale más que mil palabras:

La propiedad distributiva se puede generalizar, usando la asociativa:

$$ a \cdot \left ( b + c + d \right ) = a \cdot \left ( \left [b + c \right ] + d \right ) = $$ Aplico la distributiva y tenemos
$$ = a \cdot \left ( \left [b + c \right ] + d \right ) = a \cdot \left [b + c \right ] + a \cdot d = $$ Vuelve a aplicar la distributiva en el primer termino y tenemos
$$ = a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d $$ $$ \require{bbox} \bbox[15px, border: 2px solid black]{a \cdot \left ( b + c + d \right ) = a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d} $$ Esta fórmula se puede usar con 2, 3, 4 o todos los sumandos que quieras dentro del paréntesis.


La propiedad distributiva también se puede usar con la resta:

$$ \require{bbox} \bbox[15px, border: 2px solid black]{a \cdot \left ( b - c \right ) = a \cdot b - a \cdot c } $$ Una explicación muy sencilla es la siguiente:

$$ a \cdot \left ( b - c \right ) = a \cdot \left [ b + ( - c ) \right ] = a \cdot b + a \cdot (-c) = a \cdot b - a \cdot c $$ Veamos algunos ejemplos:


1.- $ 12 \cdot 28 - 12 \cdot 18 $
Aquí $a = 12 $, $b = 28$ y $c = 18$ aplicamos la propiedad distributiva con la resta y tenemos:
$$ 12 \cdot 28 - 12 \cdot 18 = 12 \cdot ( 28 - 18 ) = 12 \cdot 10 = 120 $$ 2.- $ 25 \cdot 18 - 12 \cdot 25 $
Primero aplicamos la conmutativa al segundo producto y nos quedará $ 25 \cdot 18 - 25 \cdot 12 $ y ahora hacemos como en el apartado anterior, aquí $a = 25 $, $b = 18$ y $c = 12$ aplicamos la propiedad distributiva y tenemos:
$$ 25 \cdot 18 - 25 \cdot 12 = 25 \cdot ( 18 - 12 ) = 25 \cdot 6 = 150 $$ 3.- $35 \cdot (20 - 2)$
Si hacemos primero el paréntesis nos sale el producto $ 35 \cdot 18$ que no es sencillo, pero si aplicamos la distributiva con $a = 35$, $b = 20$ y $c = 2$ tenemos dos productos más sencillos y una resta:
$$ 35 \cdot (20 - 2) = 35 \cdot 20 - 35 \cdot 2 = 700 - 70 = 630 $$ 4.- $77 \cdot 29$
Podemos hacer lo siguiente $ 77 \cdot (30 - 1) $ y ahora aplicaríamos la distributiva con $a = 77$, $b = 30$ y $c = 1$
$$ 77 \cdot (30 - 1) = 77 \cdot 30 - 77 \cdot 1 = 2410 - 77 = 2333 $$ Gráficamente sería la resta de áreas:

Gifs modificados por la web iloveimg.com
Para terminar con la propiedad distributiva, dentro del paréntesis se pueden alternar sumas y restas:

$$ \bbox[15px, border: 2px solid black]{a \cdot \left ( b - c + d \right ) = a \cdot b - a \cdot c + a \cdot d} $$ Veamos un ejemplo:
$$ 12 \cdot \left ( 12 - 5 + 4 \right ) = 12 \cdot 12 - 12 \cdot 5 + 12 \cdot 4 = 144 - 60 + 48 = 132 $$