Siempre viene en los libros de texto el siguiente criterio, que lía mucho a los discentes:
«Un número es divisible entre 11 cuando la suma de los números que ocupan la posición par menos la suma de los números que ocupan la posición impar es igual a 0 o a un número múltiplo de 11»
En lugar de usar este criterio, vamos a probar con este:
Agrupamos las cifras por parejas empezando por la derecha, si el número tiene un número impar de cifras nos quedará una cifra suelta, da igual;
Sumamos todos los grupos de cifras que se han formado;
- Si el resultado es un número de dos cifras iguales, el número es divisible por 11;
- Si el resultado es un número de dos cifras diferentes, el número no es divisible por 11;
- Si el resultado de esta suma es un número de 3 cifras o más se repite el proceso con la suma obtenida.
Veamos unos ejemplos:
Número 32.505
Hacemos los grupos de dos cifras empezando por la derecha: 05, 25 y 3
Los sumamos: 05 + 25 + 3 = 33
Tiene las dos cifras iguales luego es divisible por 11.
Hacemos la división para comprobarlo:
Número 873.147
Hacemos los grupos de dos cifras empezando por la derecha: 47, 31, 87;
Los sumamos: 47 + 31 + 87 = 165
Como el número es de 3 cifras, repetimos el proceso:
Hacemos grupos de dos cifras empezando por la derecha: 65, 1;
Los sumamos: 65 + 1 = 66;
Como el número tiene las dos cifras iguales es múltiplo de 11.
Hacemos la división para comprobarlo:
Número 1.341
Hacemos los grupos de dos cifras empezando por la derecha: 13, 41;
Los sumamos: 13 + 41 = 54
Como el número tiene las dos cifras diferentes, no es divisible por 11.
Vamos a hacer la división para ver que no es divisible:
Criterio de divisibilidad del 7:
Cogemos el número quitándole la cifra de las unidades y le restamos la cifra de las unidades multiplicada por 2, si el número es múlitplo de 7 ya está, si no sabemos si es múltiplo de 7 porque el número es bastante grande, podemos reiterar el proceso las veces que sea necesario:
Veamos el ejemplo con el número , no lo vemos claro. Reiteramos el proceso y tenemos:
Seguimos con el número , que es múltiplo de 7, entonces el número 3269 es múltiplo de 7 y finalizamos el proceso. Hagamos la división para comprobarlo.
Ejercicio 1: Comprobar que 3.748 NO es múltiplo de 7.
Ejercicio 2: Comprobar que 4.221 SÍ es múltiplo de 7.
Criterio de divisibilidad del 13:
Para saber si un número es divisible entre 13, al número que resulta de quitarle la cifra de las unidades le restamos las unidades por 9. Si esa resta tiene como resultado 0 múltiplo de 13 entonces el número es divisible entre 13. Si no vemos con claridad que dicho número es múltiplo de 13 podemos reiterar el proceso.
Ejemplo: Veamos si 1.430 es divisible por 13:
Restamos , reiteramos el proceso y nos queda: que claramente es múltiplo de 13.
Ejercicio 3: Comprobar que 3.748 NO es múltiplo de 13.
Ejercicio 4: Comprobar que 4.238 SÍ es múltiplo de 13.
El signo de la división se llama «óbelo». Recordemos que para la división se pueden utiliar además la fracción, los dos puntos «:» o la barra diagonal «/».
La división en «caja», que no es caja sino galera entrada 8 del diccionario de la «RAE».
Se dice que cierto fraile mendicante entró en una huevería para comprar una docena de huevos. Pero como eran para distintas personas, le dijo así a la huevera:
—Como son para distintas personas, póngamelos separados de la siguiente manera: media docena, para el padre prior; un tercio de docena, para el padre guardián, y para mí que soy más pobre, un cuarto de docena.
Es decir, que separó la mitad de doce, o sea, seis huevos; después un tercio de doce, cuatro huevos; y finalmente un cuarto de doce, tres huevos. En total sumaban, como se puede ver, trece huevos: 6 + 4 + 3 = 13.
Billón español y billón americano
Hay dos escalas para el uso de las potencias de 10, la escala corta (billón americano) y la escala larga (billón español):
Diferencia entre millones, billones y trillón en escalas numéricas Larga y Corta
óóóóóóóó En el siglo XVII una corriente de matemáticos anglosajones adoptó la denominación de Billón, para el número 1.000.000.000 o 10 elevado a la novena potencia. Lo que en otros idiomas sería un millardo.
Este concepto se ha mantenido en el inglés, aunque no ha sido oficialmente aceptado en el Reino Unido hasta 1.974, cuando el gobierno británico aceptaba oficialmente 1.000.000.000 como Billón.
Otra teoría dice que en el siglo XVII matemáticos de Francia e Italia que decidieron adoptar el concepto billón para llamar a los mil millones, cuando para el resto del mundo era millardo.
En Italia, 1 Billón son 1.000 millones = 1.000.000.000
En Francia, 1 billón son un millón de millones. Aunque no ha sido hasta el siglo XX cuando gracias al matemático Nicolás Chuquet se impuso de nuevo el billón español. En 1961 se formalizó el uso de la escala larga.
El binomio de Newton, llamada así en honor al matemático
Sir Isaac Newton (*), es una fórmula para desarrollar la potencia natural de cualquier binomio, es
decir, algo de la forma:
Para ello tenemos
que manejar con soltura los factoriales y los números combinatorios.
Si queremos calcular directamente un término del desarrollo sin necesidad de
hacer el desarrollo completo usaremos la siguiente fórmula:
Otra forma de sacar los números combinatorios es con el Triángulo de Pascal o
Triángulo de Tartaglia.
Ahora lo que hay que hacer es calcular los números combinatorios y sustituir
y por las expresiones que tengas en tu ejercicio. Veamos un par de
ejemplos:
1.- Con la suma, , el binomio de
una suma elevado a 5: Ahora
sustituimos por , por y los números
combinatorios por su valor , y
Luego
2.- Con la resta, , el binomio de
una resta elevado a 4: Ahora sustituimos por , por y
los números combinatorios por su valor , y
Luego
Ejercicios, desarrolla los siguientes binomios:
El desarrollo tiene 5 términos, lo que nos pide este ejercicio es el término
3º, ya que es el término central. Aplicamos la fórmula y tenemos
Calaculamos el número combinatorio
Luego el término central será
El desarrollo tiene 13 términos, lo que nos pide este ejercicio es el término
7º, ya que es el término central. Aplicamos la fórmula y tenemos
Si calculamos el número combinatorio
y haciendo el resto de operaciones
Para saber si existe un término de grado 13 voy a ver si existe tal término,
es decir, voy a ver si existe el término k-ésimo de grado 13
Para calcular el valor de no nos hace falta el número combinatorio y
podemos quitar el de , así nos quedará algo más sencillo Esto
es un ecuación exponencial y tenemos que calcular el valor de , recordemos
que tiene que ser un «número natural», si no lo fuera el problema no
tendría solución y además sabemos que es menor o igual que 13.
Vamos a resolver laecuación:
Una vez que
sabemos el valor de , vamos a calcular el término 6º:
Calculamos el valor de
Sólo nos dicen que el segundo término es de grado 2, luego no necesitamos el
coeficiente de dicho término y podemos «prescindir» de él:
y ahora planteamos una ecuación exponencial:
Tenemos
que desarrollar
Vamos a calcular los número combinatorios:
Tenemos que
Por otro lado tenemos que
Por otro lado tenemos que
Seguimos con el desarrollo del binomio en
Sólo nos dicen que el tercer término es de grado 2, luego no necesitamos el
coeficiente de dicho término y podemos «prescindir» de él:
y ahora planteamos una ecuación exponencial:
Tenemos
que desarrollar
Vamos a calcular los número combinatorios:
Tenemos que
Por otro lado tenemos que
Seguimos con el desarrollo del binomio en
Sabemos que
, que y
seguimos en y tenemos que
Hacemos y tenemos:
óáíó
Vamos con el cuarto término, pero antes calcularemos el número
combinatorio asociado:
Vamos ahora con el quinto término, pero antes calcularemos el número
combinatorio asociado:
Vamos con el término k-ésimo:
Sólo nos dicen que el término k-ésimo es de grado 2, luego no necesitamos el
coeficiente de dicho término y podemos «prescindir» de él:
Y ahora planteamos una ecuación exponencial:
Vamos a comprobarlo, primero calculamos el número combinatorio:
Seguimos con el desarrollo del binomio en
Vamos con el sexto, pero antes calcularemos el número combinatorio asociado:
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello
podéis mandar un correo a
profesor.maties@gmail.com
La propiedad distributiva nos dice Multiplicar un número por la suma de dos número, es lo mismo que multiplicar ese número por cada uno de los sumandos y efectuar después la suma de esos dos productos.
Veamos algunos ejemplos:
1.-
Aquí , y aplicamos la propiedad distributiva y tenemos:
2.-
Primero aplicamos la conmutativa al segundo producto y nos quedará y ahora hacemos como en el apartado anterior, aquí , y aplicamos la propiedad distributiva y tenemos:
3.-
Si hacemos primero el paréntesis nos sale el producto que no es sencillo, pero si aplicamos la distributiva con , y tenemos dos productos más sencillos y una suma:
4.-
Podemos hacer lo siguiente y ahora aplicaríamos la distributiva con , y
Gráficamente lo podemos ver así:
La suma de las áreas de dos rectángulos de distinta base pero con la misma altura es la misma área que la de un rectángulo que tiene por base la suma de las bases de dichos rectángulos y la misma altura.
Veamos una imagen que vale más que mil palabras:
La propiedad distributiva se puede generalizar, usando la asociativa:
Aplico la distributiva y tenemos
Vuelve a aplicar la distributiva en el primer termino y tenemos Esta fórmula se puede usar con 2, 3, 4 o todos los sumandos que quieras dentro del paréntesis.
La propiedad distributiva también se puede usar con la resta:
Una explicación muy sencilla es la siguiente:
Veamos algunos ejemplos:
1.-
Aquí , y aplicamos la propiedad distributiva con la resta y tenemos:
2.-
Primero aplicamos la conmutativa al segundo producto y nos quedará y ahora hacemos como en el apartado anterior, aquí , y aplicamos la propiedad distributiva y tenemos:
3.-
Si hacemos primero el paréntesis nos sale el producto que no es sencillo, pero si aplicamos la distributiva con , y tenemos dos productos más sencillos y una resta:
4.-
Podemos hacer lo siguiente y ahora aplicaríamos la distributiva con , y
Gráficamente sería la resta de áreas: