Autor del blog  Raαε  IRa´πz  Gaτςι´@R2G


El aprendizaje ocurre cuando alquien quiere aprender, no cuando alguien quiere enseñar. «Roger Schanck»


Si quieres aprender enseña. «Cicerón»


Cuando uno enseña, dos aprenden. «Robert Heinlein»


Si la gente no cree que las matemáticas son sencillas, es sólo porque no se da cuenta de lo complicada que es la vida. «John Von Neumann»

«George Polya» dijo una vez: «Es mejor resolver un problema de 5 formas diferentes que resolver 5 problemas de la misma forma».

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El humor es importante.

Matemáticas, humor y +.

Hay que tomarse siempre las cosas con un poco de humor ... con mucho humor y más humor ¿Quién no ha pasado por estos estado...

jueves, 30 de septiembre de 2021

Errores absoluto y relativo. Ejemplo.

Error absoluto:
Ea=|MedidaexactaMediaaproximada|

Error relativo:
Er= Ea Medidaexacta=

=|MedidaexactaMediaaproximada|Medidaexacta Se quiere evaluar la precisión de dos callbres.
  1. Con el calibre A se mide un clllndro de diámetro 3,256 cm y el calibre da una medición de 3,28 cm.
  2. Con el calibre B se mide un tornillo de diámetro 0,458 cm y su medición es de 0,47 cm.
¿Qué calibre es más preciso? Calcula los errores relativos y compáralos.

miércoles, 15 de septiembre de 2021

Criterios de divisibilidad: «Otro criterios de divisibilidad ... » del 7, del 11 y del 13.

Criterio de divisibilidad del 11:

Siempre viene en los libros de texto el siguiente criterio, que lía mucho a los discentes:
«Un número es divisible entre 11 cuando la suma de los números que ocupan la posición par menos la suma de los números que ocupan la posición impar es igual a 0 o a un número múltiplo de 11»

En lugar de usar este criterio, vamos a probar con este:
  1. Agrupamos las cifras por parejas empezando por la derecha, si el número tiene un número impar de cifras nos quedará una cifra suelta, da igual;
  2. Sumamos todos los grupos de cifras que se han formado;
  3. - Si el resultado es un número de dos cifras iguales, el número es divisible por 11;
    - Si el resultado es un número de dos cifras diferentes, el número no es divisible por 11;
    - Si el resultado de esta suma es un número de 3 cifras o más se repite el proceso con la suma obtenida.
Veamos unos ejemplos:
  1. Número 32.505
    1. Hacemos los grupos de dos cifras empezando por la derecha: 05, 25 y 3
    2. Los sumamos: 05 + 25 + 3 = 33
    3. Tiene las dos cifras iguales luego es divisible por 11.
    4. Hacemos la división para comprobarlo:


  1. Número 873.147
    1. Hacemos los grupos de dos cifras empezando por la derecha: 47, 31, 87;
    2. Los sumamos: 47 + 31 + 87 = 165
    3. Como el número es de 3 cifras, repetimos el proceso:
    1. Hacemos grupos de dos cifras empezando por la derecha: 65, 1;
    2. Los sumamos: 65 + 1 = 66;
    3. Como el número tiene las dos cifras iguales es múltiplo de 11.
    4. Hacemos la división para comprobarlo:
  1. Número 1.341
    1. Hacemos los grupos de dos cifras empezando por la derecha: 13, 41;
    2. Los sumamos: 13 + 41 = 54
    3. Como el número tiene las dos cifras diferentes, no es divisible por 11.
    4. Vamos a hacer la división para ver que no es divisible:


Criterio de divisibilidad del 7:

Cogemos el número quitándole la cifra de las unidades y le restamos la cifra de las unidades multiplicada por 2, si el número es múlitplo de 7 ya está, si no sabemos si es múltiplo de 7 porque el número es bastante grande, podemos reiterar el proceso las veces que sea necesario:

Veamos el ejemplo con el número 326932692=32618=308, no lo vemos claro. Reiteramos el proceso y tenemos:

Seguimos con el número 3083082=3016=14, que es múltiplo de 7, entonces el número 3269 es múltiplo de 7 y finalizamos el proceso. Hagamos la división para comprobarlo.



Ejercicio 1: Comprobar que 3.748 NO es múltiplo de 7.

Ejercicio 2: Comprobar que 4.221 SÍ es múltiplo de 7.

Criterio de divisibilidad del 13:

Para saber si un número es divisible entre 13, al número que resulta de quitarle la cifra de las unidades le restamos las unidades por 9. Si esa resta tiene como resultado 0 múltiplo de 13 entonces el número es divisible entre 13. Si no vemos con claridad que dicho número es múltiplo de 13 podemos reiterar el proceso.

Ejemplo: Veamos si 1.430 es divisible por 13:

Restamos 14390=143, reiteramos el proceso y nos queda: 1439=1427=13 que claramente es múltiplo de 13.

Ejercicio 3: Comprobar que 3.748 NO es múltiplo de 13.

Ejercicio 4: Comprobar que 4.238 SÍ es múltiplo de 13.

martes, 14 de septiembre de 2021

Curiosidades

  1. El signo de la división ÷ se llama «óbelo». Recordemos que para la división se pueden utiliar además la fracción, los dos puntos «:» o la barra diagonal «/».  a b=a:b=a/b=a÷b


  2. La división en «caja», que no es caja sino galera entrada 8 del diccionario de la «RAE».



  3. Elementos de la resta:
       a minuendo   b sustraendo    c resta o diferencia    342 minuendo   145 sustraendo    197 resta o diferencia 

  4. Del «Centro virtual Cervantes»:

    Se dice que cierto fraile mendicante entró en una huevería para comprar una docena de huevos. Pero como eran para distintas personas, le dijo así a la huevera:

    —Como son para distintas personas, póngamelos separados de la siguiente manera: media docena, para el padre prior; un tercio de docena, para el padre guardián, y para mí que soy más pobre, un cuarto de docena.

    Es decir, que separó la mitad de doce, o sea, seis huevos; después un tercio de doce, cuatro huevos; y finalmente un cuarto de doce, tres huevos. En total sumaban, como se puede ver, trece huevos: 6 + 4 + 3 = 13.



  5. Billón español y billón americano

    Hay dos escalas para el uso de las potencias de 10, la escala corta (billón americano) y la escala larga (billón español):

    Diferencia entre millones, billones y trillón en escalas numéricas Larga y Corta
     Valor  Escala corta (anglosajona)  Escala larga 1unouno1000milmil1000000millónmillón1000000000billónmil millones o millardo1000000000000trillónbillón 1000000000000000cuatrillónmil billones1000000000000000000quintillóntrillón   En el siglo XVII una corriente de matemáticos anglosajones adoptó la denominación de Billón, para el número 1.000.000.000 o 10 elevado a la novena potencia. Lo que en otros idiomas sería un millardo.

    Este concepto se ha mantenido en el inglés, aunque no ha sido oficialmente aceptado en el Reino Unido hasta 1.974, cuando el gobierno británico aceptaba oficialmente 1.000.000.000 como Billón.

      Otra teoría dice que en el siglo XVII matemáticos de Francia e Italia que decidieron adoptar el concepto billón para llamar a los mil millones, cuando para el resto del mundo era millardo.

    En Italia, 1 Billón son 1.000 millones = 1.000.000.000

    En Francia, 1 billón son un millón de millones. Aunque no ha sido hasta el siglo XX cuando gracias al matemático Nicolás Chuquet se impuso de nuevo el billón español. En 1961 se formalizó el uso de la escala larga.

  6. Un acre son 4046,86 m2 = 40% de una hectarea.

    Una hectarea son 10000m2.

domingo, 12 de septiembre de 2021

Binomio de Newton. Desarrollo. Ejercicios.

El binomio de Newton, llamada así en honor al matemático Sir Isaac Newton (*), es una fórmula para desarrollar la potencia natural de cualquier binomio, es decir, algo de la forma:

(a+b)n o (ab)n Para ello tenemos que manejar con soltura los factoriales y los números combinatorios.

(a+b)n=i=0n(ni)anibi

(ab)n=(a+[b])n=i=0n(ni)ani(b)i

Si queremos calcular directamente un término del desarrollo sin necesidad de hacer el desarrollo completo usaremos la siguiente fórmula: Si es (a+b)nTk=(nk1)an(k1)bk1=(nk1)ank+1bk1

Si es (ab)nTk=(nk1)an(k1)(b)k1=(nk1)ank+1(b)k1









Otra forma de sacar los números combinatorios es con el Triángulo de Pascal o Triángulo de Tartaglia.
Ahora lo que hay que hacer es calcular los números combinatorios y sustituir a y b por las expresiones que tengas en tu ejercicio. Veamos un par de ejemplos:

1.- Con la suma, (x+ 1 x)5, el binomio de una suma elevado a 5: (a+b)5=i=05(5i)a5ibi= =(50)a5+(51)a4b+(52)a3b2+(53)a2b3+(54)ab4+(55)b5= =a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 Ahora sustituimos a por x, b por  1 x y los números combinatorios por su valor (55)=(55)=1, (51)=(54)=5 y (52)=(53)=5!2!3!=542=10

Luego (x+ 1 x)5=x5+5x4( 1 x)+10x3( 1 x)2+10x2( 1 x)3+5x( 1 x)4+( 1 x)5=

=x5+5x3+10x+ 10 x+ 5 x3+ 1 x5


2.- Con la resta, (xy 1 xy)4, el binomio de una resta elevado a 4: (ab)4=i=04(4i)a4i(b)i= =(40)a4(41)a3b+(42)a2b2(43)ab3+(44)b4 =a44a3b+6a2b24ab3+b4 Ahora sustituimos a por xy, b por  1 xy y los números combinatorios por su valor (40)=(44)=1, (41)=(43)=4 y (42)=4!2!2!=432=6

Luego (xy 1 xy)4=(xy)44(xy)3( 1 xy)+6(xy)2( 1 xy)24(xy)( 1 xy)3+( 1 xy)4=

=(xy)44(xy)2+6 4 (xy)3+ 1 (xy)4



Ejercicios, desarrolla los siguientes binomios:
  1. (3x2)4
  2. (2x3+5x)3
  3. (2+3)5
  4. (52)4
  5. (x2x)4
  6. (2x+y3)4

(3x+2)4=i=04(4i)(3x)4i(2)i=

=(40)(3x)4+(41)(3x)3(2)+(42)(3x)2(2)2+(43)(3x)(2)3+(44)(2)4=

=81x4+216x3+216x2+96x+16






(1x x)5=i=05(5i)(1x )5i(x)i=

=(50)(1x )5+(51)(1x )4(x)+(52)(1x )3(x)2+(53)(1x )2(x)3+

+(54)(1x )(x)4+(55)(x)5= x x351 x +10x10x2+5xx3x5






El desarrollo tiene 5 términos, lo que nos pide este ejercicio es el término 3º, ya que es el término central. Aplicamos la fórmula y tenemos
T3=(42)( x2 9)2(1 x3 )2=(42) x4 811 x6 

Calaculamos el número combinatorio
(42)=4!2!2!=432!2!2!=432!2!2!=432=122=6
Luego el término central será T3=6 x4 811 x6 =681x2






El desarrollo tiene 13 términos, lo que nos pide este ejercicio es el término 7º, ya que es el término central. Aplicamos la fórmula y tenemos
T7=(126)(3x2)6(5x4)6=(126)3656x12x24=(126)156x36

Si calculamos el número combinatorio

(126)=12!6!6!=1211109876!6!65432=1211109876!6!65432=12111098765432=
=1110987652=1198732=113324732=11127=1184=924

y haciendo el resto de operaciones 924156=10.524.937.500

T7=10.524.937.500x36






Para saber si existe un término de grado 13 voy a ver si existe tal término, es decir, voy a ver si existe el término k-ésimo de grado 13 Tk=x13
(8k1)(3x)8k+1(x2)k1=x13

Para calcular el valor de k no nos hace falta el número combinatorio y podemos quitar el 3 de 3x, así nos quedará algo más sencillo
(x)9k(x2)k1=x13 Esto es un ecuación exponencial y tenemos que calcular el valor de k, recordemos que k tiene que ser un «número natural», si no lo fuera el problema no tendría solución y además sabemos que es menor o igual que 13.

Vamos a resolver laecuación:

(x)9kx2k2=x139k+2k2=137+k=13k=6 Una vez que sabemos el valor de k, vamos a calcular el término 6º:

T6=(85)(3x)3(x2)5=(85)27x13
Calculamos el valor de (85)=8765!5!321=8765!5!321=87632=87=56



T6=5627x13=1.512x13







T2=x11(n1)(x2)n1(1 x )1=x11
Sólo nos dicen que el segundo término es de grado 2, luego no necesitamos el coeficiente de dicho término y podemos «prescindir» de él:

x2(n1)(x1)=x11x2n2x1=x11
y ahora planteamos una ecuación exponencial:

2n21=112n=14n=7 Tenemos que desarrollar (x21 x )7

(x21 x )7=i=07(7i)(x2)7i(1 x )i=
=(70)(x2)7+(71)(x2)6(1 x )+(72)(x2)5(1 x )2+(73)(x2)4(1 x )3+
+(74)(x2)3(1 x )4+(75)(x2)2(1 x )5+(76)(x2)(1 x )6+(77)(1 x )7=()
Vamos a calcular los número combinatorios:

Tenemos que (70)=(77)=1 y (71)=(76)=7

Por otro lado tenemos que (72)=(75)=765!5!2!=765!5!2!=762=422=21

Por otro lado tenemos que (73)=(74)=7654!4!3!=7654!4!3!=7656=75=35

Seguimos con el desarrollo del binomio en ()

=x147x11+21x835x5+35x221 x +7 x4 1 x7 








T3=90(52)(3 x )3(x)2=90
1027 x3 x2=90270  x  =90270=90xx=3






T3=x2(n2)(x2)n2(3 x )2=x2
Sólo nos dicen que el tercer término es de grado 2, luego no necesitamos el coeficiente de dicho término y podemos «prescindir» de él:

x2(n2)(x1)2=x2x2n4x2=x2
y ahora planteamos una ecuación exponencial:

2n42=22n=8n=4 Tenemos que desarrollar (x2+3 x )4

(x2+3 x )4=i=04(4i)(x2)4i(3 x )i=
=(40)(x2)4+(41)(x2)3(3 x )+(42)(x2)2(3 x )2+(43)x2(3 x )3+
+(44)(3 x )4=()
Vamos a calcular los número combinatorios:

Tenemos que (40)=(44)=1 y (41)=(43)=4

Por otro lado tenemos que (42)=432!2!2!=432!2!2!=432=12 2 =6

Seguimos con el desarrollo del binomio en ()

=x8+12x5+54x2+ 108  x +81 x4 






115=(10+1)5=i=05(5i)115i(1)i=
=(50)105+(51)104+(52)103+(53)102+(54)10+(55)=()
Sabemos que

(50)=(55)=1, que (51)=(54)=5 y

(52)=(53)=5! 3!2! =543! 3!2! =543! 3!2! =54 2 =20 10 =10
seguimos en () y tenemos que

=100.000+50.000+10.000+1.000+50+1=161.051





(a+b+c)2=([a+b]+c)2=[a+b]2+2[a+b]c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

Hacemos a=2;b=xyc=x2 y tenemos:

(2+x+x2)2=22+x2+(x2)2+22x+22x2+2xx2=
=4+x2+x4+4x+4x2+2x3=x4+2x3+5x2+4x+4

(a+b+c)3=([a+b]+c)3=[a+b]3+3[a+b]2c+3[a+b]c2+c3=
=a3+3a2b+3ab2+b3+3c(a2+2ab+b2)+3ac2+3bc2+c3=
=a3+3a2b+3ab2+b3+3a2c+6abc+3b2c+3ac2+3bc2+c3=
=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3c2b+6abc







(52)(x2)3(3 x )2=(52)(x3)2(1 x )3
10x69 x2 =10x61 x3 10x49=10x39x4+x3=0x3(9x+1)=0
{ Si x=0 no puede sersolución, ya que está en el denominador Si x=1 9  sí es solución.






Vamos con el cuarto término, pero antes calcularemos el número combinatorio asociado:

(93)=9876!6!3!=9876!6!3!=98732=338732=34272=347=84

T4=(93)(x)6(y)3=84x6y3


Vamos ahora con el quinto término, pero antes calcularemos el número combinatorio asociado:

(84)=87654!4!4!=87654!4!4!=8765432=42754=275=70

T5=(84)(2x)4(y)4=7016x4y4=1.120x4y4







Vamos con el término k-ésimo:

Tk=(7k1)(3x2)8k(1 x )k1

Sólo nos dicen que el término k-ésimo es de grado 2, luego no necesitamos el coeficiente de dicho término y podemos «prescindir» de él:

(x2)8k(x1)k1=x2
Y ahora planteamos una ecuación exponencial:

x162kxk+1=x2162kk+1=2173k=215=3kk=5
Vamos a comprobarlo, primero calculamos el número combinatorio:
(74)=7654!4!3!=7654!4!3!=7656=75=35

Seguimos con el desarrollo del binomio en ()

T5=(74)(3x2)3(1 x )4=3527x6x4=945x2







Vamos con el sexto, pero antes calcularemos el número combinatorio asociado:

(95)=98765!5!4!=98765!5!4!=987646=92474=927=126

T6=(95)(3x)4(x)5=12681x9=10.206x9






Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

miércoles, 8 de septiembre de 2021

Propiedad distributiva - Ejemplo gráfico

Hola, Vamos a usar la página web graspablemath.com/ para revisar la propiedad distributiva en el siguiente enlace Propiedad Distributiva .

La propiedad distributiva nos dice
a(b+c)=ab+ac Multiplicar un número por la suma de dos número, es lo mismo que multiplicar ese número por cada uno de los sumandos y efectuar después la suma de esos dos productos.

Veamos algunos ejemplos:


1.- 128+1242
Aquí a=12, b=8 y c=42 aplicamos la propiedad distributiva y tenemos:
128+1242=12(8+42)=1250=600 2.- 2318+1223
Primero aplicamos la conmutativa al segundo producto y nos quedará 2318+2312 y ahora hacemos como en el apartado anterior, aquí a=23, b=18 y c=12 aplicamos la propiedad distributiva y tenemos:
2318+2312=23(18+12)=2330=690 3.- 55(20+6)
Si hacemos primero el paréntesis nos sale el producto 5526 que no es sencillo, pero si aplicamos la distributiva con a=55, b=20 y c=6 tenemos dos productos más sencillos y una suma:
55(20+6)=5520+556=1100+330=1430 4.- 7731
Podemos hacer lo siguiente 77(30+1) y ahora aplicaríamos la distributiva con a=77, b=30 y c=1
77(30+1)=7730+771=2410+77=2487 Gráficamente lo podemos ver así:

La suma de las áreas de dos rectángulos de distinta base pero con la misma altura es la misma área que la de un rectángulo que tiene por base la suma de las bases de dichos rectángulos y la misma altura.

Veamos una imagen que vale más que mil palabras:

La propiedad distributiva se puede generalizar, usando la asociativa:

a(b+c+d)=a([b+c]+d)= Aplico la distributiva y tenemos
=a([b+c]+d)=a[b+c]+ad= Vuelve a aplicar la distributiva en el primer termino y tenemos
=ab+ac+ad a(b+c+d)=ab+ac+ad Esta fórmula se puede usar con 2, 3, 4 o todos los sumandos que quieras dentro del paréntesis.


La propiedad distributiva también se puede usar con la resta:

a(bc)=abac Una explicación muy sencilla es la siguiente:

a(bc)=a[b+(c)]=ab+a(c)=abac Veamos algunos ejemplos:


1.- 12281218
Aquí a=12, b=28 y c=18 aplicamos la propiedad distributiva con la resta y tenemos:
12281218=12(2818)=1210=120 2.- 25181225
Primero aplicamos la conmutativa al segundo producto y nos quedará 25182512 y ahora hacemos como en el apartado anterior, aquí a=25, b=18 y c=12 aplicamos la propiedad distributiva y tenemos:
25182512=25(1812)=256=150 3.- 35(202)
Si hacemos primero el paréntesis nos sale el producto 3518 que no es sencillo, pero si aplicamos la distributiva con a=35, b=20 y c=2 tenemos dos productos más sencillos y una resta:
35(202)=3520352=70070=630 4.- 7729
Podemos hacer lo siguiente 77(301) y ahora aplicaríamos la distributiva con a=77, b=30 y c=1
77(301)=7730771=241077=2333 Gráficamente sería la resta de áreas:
Gifs modificados por la web iloveimg.com

Para terminar con la propiedad distributiva, dentro del paréntesis se pueden alternar sumas y restas:

a(bc+d)=abac+ad Veamos un ejemplo:
12(125+4)=1212125+124=14460+48=132