Ecuaciones irracionales (con la incógnita en el radicando) y ejemplos.

  Una ecuación irracional es una ecuación donde la incógnita se encuentra en el radicando. Veamos algunos ejemplos: 

1. $ 2 - 3 \cdot \sqrt{x} = -x  $
2. $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = 1 $ 
3. $\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{2 \cdot (x + 1)}$ 

¿Cómo se resuelven este tipo de ecuaciones? Vamos a verlo, pero antes tenemos que tener en cuenta una serie de cosas. 

En Matemáticas las raíces cuadradas las intentamos eliminar de dos formas:

• Racionalizando; 
• Elevando al cuadrado.

Para resolver este tipo de ecuaciones elegiremos la $2^{\underline{a}}$ opción, es decir, elevaremos al cuadrado. Pero al usar esta opción, tenemos un pequeño inconveniente, estamos añadiendo soluciones. Veamos esto con un ejemplo muy sencillo: 

Tenemos la ecuación $x = 3$, si elevamos al cuadrado, es decir, elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad tenemos que  $x = 9$ y las soluciones de esta ecuación son $x = 3$ que ya la sabíamos y $x = -3$ que no es solución, que ha aparecido por elevar al cuadrado. ¿Cuándo nos daremos cuenta de esto? Cuando comprobemos las soluciones de la ecuación original que estamos resolviendo. Así que siempre tenemos que comprobar las ecuaciones y siempre en la ecuación original, la que tenemos que resolver. 

Otra cosa a tener en cuenta, es que al elevar al cuadrado puede que tengamos una suma o una resta, es decir, tenemos que desarrollar el cuadrado de una suma o de una resta, cuidado, no dejarnos el doble producto, suele ser uno de los errores más comunes en este tipo de ejercicios: 

• $(a + b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2 $ 
• $(a - b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2 $ 

También tenemos que tener en cuenta las propiedades de las potencias en general y sobre todo una en particular: 

$$ (c \cdot d)^n = c^n \cdot d^n $$ 

Es decir, la potencia de un producto de varios factores es el producto de las potencias de cada uno de los factores.

Repasadas algunas cosas vamos a resolver este tipo de ecuaciones. 

$\bullet$ Veamos el $1^{\underline{er}}$ ejemplo: $ 2 - 3 \cdot \sqrt{x} = -x  $ 

Podemos reordenarla de forma que dejamos la raíz  «aislada»  (solamente la raíz) en lado de la igualdad: 

$$2 - 3 \cdot \sqrt{x} = -x \Rightarrow 2 + x = 3 \cdot \sqrt{x} $$

Y ahora con la raíz aislada en una lado de la ecuación elevamos al cuadrado: 

$$2 + x = 3 \cdot \sqrt{x} \Rightarrow (2 + x)^2 = \left (3 \cdot \sqrt{x}\right )^2 $$

Desarrollamos los cuadrados en ambos lados de la igualdad: 

$$(2 + x)^2 = \left (3 \cdot \sqrt{x}\right )^2 \Rightarrow 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + x^2 = 9x$$ 

Agrupando y pasándolo todo a un lado de la igualdad tenemos:

$$4 + 4x + x^2 - 9x = 0 \Rightarrow x^2 -5x + 4 = 0 $$

Como la suma de los coeficientes es cero 1 es raíz; la otra raíz la sacamos ya que el producto de las dos raíces es 4 y una de ellas es 1, la otra es 4. Vamos a comprobar las raíces en la ecuación inicial: 

• $x = 1 \Rightarrow 2 - 3 \cdot \sqrt{1} = -1 \Rightarrow 2 - 3 = -1 \checkmark $ 
• $x = 4 \Rightarrow 2 - 3 \cdot \sqrt{4} = -4 \Rightarrow 2 - 3 \cdot 2 = -4 \Rightarrow 2 -6 = -4 \checkmark $ 

En este caso las dos soluciones son raíces de la ecuación inicial. 

$\bullet$ Veamos con el $2^{\underline{o}}$ ejemplo, la ecuación $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = 1 $. En este caso no se puede aislar una raíz en cada uno de los lados de la ecuación. El consejo en este caso es tener una raíz en cada uno de los lados de la ecuación: 

$$\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = 1 \Rightarrow \sqrt{x + 1} = 1 + \sqrt{x - 1} $$

y con una raíz en cada lado elevamos al cuadrado: 

$$ \left ( \sqrt{x + 1} \right )^2 = \left (1 + \sqrt{x - 1} \right)^2 $$

Desarrollamos cada uno de los cuadrados y tenemos: 

$$ x + 1 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x - 1} + x - 1 \Rightarrow x + 1 = 1 + 2 \cdot \sqrt{x - 1} + x - 1  $$ 

Agrupamos, simplificamos y dejamos la raíz asilada en lado de la ecuación como en el primer ejemplo: 

$$ x + 1 = 1 + 2 \cdot \sqrt{x - 1} + x - 1 \Rightarrow  1 =  2 \cdot \sqrt{x - 1} $$ 

Ahora estamos igual que en el primer ejercicio, volvemos a elevar al cuadrado y: 

$$ 1 = 2 \cdot \sqrt{x - 1} \Rightarrow 1 = 4 \cdot (x - 1) \Rightarrow 1 + 4 = 4x \Rightarrow x = \dfrac{5}{4} $$

Comprobemos la solución: 

$$ x = \dfrac{5}{4} \Rightarrow \sqrt{\dfrac{5}{4} + 1} - \sqrt{\dfrac{5}{4} - 1} = \sqrt{\dfrac{9}{4}} - \sqrt{\dfrac{1}{4} } = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2} = 1 \checkmark $$ 

$\bullet$ Vamos con el $3^{\underline{er}}$ ejemplo: $\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{2 \cdot (x + 1)}$ 

Estamos en el mismo caso que en el anterior ejemplo, no podemos aislar una raíz en cada uno de los dos lados de la ecuación. Así que elevaremos al cuadrado y reordenaremos: 

$$\sqrt{x + 3} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{2 \cdot (x + 1)} \Rightarrow x + 3 + x - 1 - 2 \cdot \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 1} = 2 \cdot (x + 1) $$

Agrupando tenemos: 

$$ 2x + 2 - 2 \cdot \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 1} = 2x + 2  \Rightarrow - 2 \cdot \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 1} = 0 \Rightarrow \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 1} = 0 $$ 

$$ \sqrt{ (x - 1) \cdot (x + 3)} = 0  \Rightarrow (x - 1) \cdot (x + 3) = 0 $$

Claramente los candidatos a soluciones son $x = 1$ y $x = -3$. Vamos a comprobarlos: 

$x = -3 \Rightarrow \sqrt{- 3 + 3} - \sqrt{-3 - 1} = \sqrt{2 \cdot (-3 + 1)} \Rightarrow \sqrt{0} - \sqrt{-4} = \sqrt{-4} $ ✗ no tiene sentido hablar de raíces negativas $x= -3$ no es solución.

$x = 1 \Rightarrow \sqrt{1 + 3} - \sqrt{1 - 1} = \sqrt{2 \cdot (1 + 1)} \Rightarrow \sqrt{4} - \sqrt{0} = \sqrt{4} \Rightarrow 2 = 2 \checkmark  x = 1$ es solución.

Veamos unos ejercicios resueltos:

Este ejercicio tiene solamente una raíz cuadrada, así que la podemos aislar fácilmente:

$ \sqrt{3x - 3} = 4x - 13 $


Elevamos al cuadrado y tenemos

$ 3x - 3 = (4x - 13)^2 \Rightarrow 3x - 3 = 16x^2 - 104x + 169 \Rightarrow 16x^2 - 107x + 172 = 0 $


Resolvemos la ecuación de $2^{\underline{o}}$ grado y tenemos que:

$$ x = \dfrac{ 107 \pm \sqrt{107^{2} - 4 \cdot 172 \cdot 16} }{2 \cdot 16} = \dfrac{ 107 \pm \sqrt{11.449 - 11.008} }{32} = \dfrac{ 107 \pm \sqrt{441} }{32} = \dfrac{ 107 \pm 21 }{32} = $$
$$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 128 }{ 32 } = 4 \Rightarrow x_1 = 4 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 86 }{ 32 } = \dfrac{ 43 }{ 16 } \Rightarrow x_2 = \dfrac{ 43 }{ 16 } \end{array}. $$
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

$x_1 = 4 \Rightarrow \sqrt{3 \cdot 4 - 3} = 4 \cdot 4 - 13 \Rightarrow \sqrt{9} = 16 - 13 \Rightarrow 3 = 16 - 14 \checkmark $

$x_2 = \dfrac{ 43 }{ 16 } \Rightarrow \sqrt{3 \cdot \dfrac{ 43 }{ 16 } - 3} = 4 \cdot \dfrac{ 43 }{ 16 } - 13 \Rightarrow \sqrt{ \dfrac{ 129 - 48 }{ 16 } } = \dfrac{ 43 - 52 }{ 4 } \Rightarrow \sqrt{ \dfrac{ 81 }{ 16 } } = \dfrac{ -9 }{ 4 } \Rightarrow \dfrac{ 9 }{ 4} = \dfrac{ -9 }{ 4 } $ ✗ que no es solución.

Este ejercicio tiene dos raíces, aislar una de ellas es fácil, la otra la pasamos al otro lado de la ecuación

$ \sqrt{2x + 3} - \sqrt{x - 2} = 2 \Rightarrow \sqrt{2x + 3} = 2 + \sqrt{x - 2} $


Elevamos al cuadrado y tenemos

$ \left ( \sqrt{2x + 3} \right ) = \left ( 2 + \sqrt{x - 2} \right )^2 \Rightarrow 2x + 3 = 4 + 4 \cdot \sqrt{x - 2} + x - 2 \Rightarrow 2x + 3 = x + 2 + 4 \cdot \sqrt{x - 2} $


Agrupamos y dejamos la raíz aislada en un lado de la ecuación

$ 2x + 3 = x + 2 + 4 \cdot \sqrt{x - 2} \Rightarrow x + 1 = 4 \cdot \sqrt{x - 2} $

Volvemos a elevar al cuadrado, desarrollamos y agrupamos

$ (x + 1)^2 = \left (4 \cdot \sqrt{x - 2} \right )^2 \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 16 \cdot (x - 2) \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 16x - 32 \Rightarrow x^2 - 14x + 33 = 0 $

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

$$ x = \dfrac{ 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 33} }{2 \cdot 1} = \dfrac{ 14 \pm \sqrt{196 - 132} }{2} = \dfrac{ 14 \pm \sqrt{64} }{2} = \dfrac{ 14 \pm 8 }{2} = $$
$$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 22 }{ 2 } = 11 \Rightarrow x_1 = 11 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 6 }{ 2 } = 3 \Rightarrow x_2 = 3 \end{array}. $$
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

$x_1 = 11 \Rightarrow \sqrt{2 \cdot 11 + 3} - \sqrt{11 - 2} = 2 \Rightarrow \sqrt{25} -\sqrt{9} = 2 \Rightarrow 5 - 3 = 2 \checkmark $

$x_2 = 3 \Rightarrow \sqrt{2 \cdot 3 + 3} - \sqrt{3 - 2} = 2 \Rightarrow \sqrt{ 9 } - \sqrt{1} = 2 \Rightarrow 3 - 1 = 2 \checkmark $

En este caso las dos soluciones cumplen la ecuación.

Pasamos una raíz al otro lado de la igualdad, da igual la que pasemos pero es mejor pasar la que está restando:

$$\sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 7} = 2\sqrt{x - 3} $$ Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad y desarrollamos:

$$(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 7})^2 = (2\sqrt{x - 3})^2 \Rightarrow x - 1 + x - 7 + 2\sqrt{(x - 1)(x - 7)} = 4(x - 3) $$

Reordenando y simplificando tenemos:

$$2\sqrt{(x - 1)(x - 7)} = 2(x - 2) \Rightarrow \sqrt{(x - 1)(x - 7)} = (x - 2) $$

Volvemos a elevar al cuadrado por segunda vez, desarrollamos y agrupamos

$$\left ( \sqrt{(x - 1)(x - 7)} \right )^2 = (x - 2)^2 \Rightarrow x^2 - 8x + 7 = x^2 - 4x + 4 \Rightarrow - 4x = - 3 \Rightarrow x = \dfrac{3}{4}$$

Comprobamos la solución en la ecuación inicial:

$x = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \sqrt{\dfrac{3}{4} - 1} + \sqrt{\dfrac{3}{4} - 7} - 2\sqrt{\dfrac{3}{4} - 3} = 0 \Rightarrow \sqrt{ \dfrac{-1}{4} } + \sqrt{ \dfrac{-25}{4} } - 2\sqrt{ \dfrac{-9}{4} } = 0 $ ✗

Todas las raíces son negativas por lo tanto, no tiene soluciones reales.

Aislamos la raíz en un lado de la ecuación, elevamos al cuadrado, desarrollamos y agrupamos

$$ \sqrt{x} = 30 - x \Rightarrow x = (30 - x)^2 \rightarrow x = 900 - 60x + x^2 \Rightarrow x^2 - 61x + 900 = 0 $$ Ahora resolvemos una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado

$$ x = \dfrac{ 61 \pm \sqrt{61^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 900} }{2 \cdot 1} = \dfrac{ 61 \pm \sqrt{3721 - 3600} }{2} = \dfrac{ 61 \pm \sqrt{121} }{2} = \dfrac{ 61 \pm 11 }{2} = $$
$$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 72 }{ 2 } = 36 \Rightarrow x_1 = 36 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 50 }{ 2 } = 25 \Rightarrow x_2 = 25 \end{array}. $$
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

$x = 36 \Rightarrow \sqrt{36} = 30 - 36 \Rightarrow 6 = 30 - 36 \Rightarrow 6 = -6 $ ✗ luego no es solución

$x = 25 \Rightarrow \sqrt{25} = 30 - 25 \Rightarrow 5 = 30 - 25 \checkmark $ luego sí es solución

Tenemos dos raíces, dejamos una en cada lado, vamos como están, elevamos al cuadrado, desarrollamos, agrupamos y simplificamos

$$ \sqrt{x} + 1 = \sqrt{x + 9} \Rightarrow \left ( \sqrt{x} + 1 \right )^2 = \left (\sqrt{x + 9} \right)^2 \Rightarrow x + 2 \cdot \sqrt{x} + 1 = x + 9 \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{x} = 8 \Rightarrow \sqrt{x} = 4 $$ Volvemos a elevar al cuadrado y ya lo tenemos

$ x = 16 $, vamos a comprobarlo $ \sqrt{16} + 1 = \sqrt{16 + 9} \Rightarrow 4 + 1 = \sqrt{25} \Rightarrow 4 + 1 = 5 \checkmark $ es solución.

Tal y como está elevamos al cuadrado, desarrollamos y agrupamos

$$ \left( 2 \cdot \sqrt{2x - 1} \right )^2 = \left ( \sqrt{6x - 5} + \sqrt{2x - 9} \right )^2 \Rightarrow 4 \cdot \left (2x - 1 \right ) = 6x - 5 + 2x - 9 + 2 \cdot \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 4 \cdot \left (2x - 1 \right ) = 8x - 14 + 2 \cdot \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} \Rightarrow 2 \cdot \left (2x - 1 \right ) = 4x - 7 + \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 4x - 2 = 4x - 7 + \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} \Rightarrow 5 = \sqrt{ (6x - 5) \cdot (2x - 9)} $$ Volvemos a elevar al cuadrado, desarrollamos, agrupamos y simplificamos

$$ 25 = (6x - 5) \cdot (2x - 9) \Rightarrow 25 = 12x^2 - 54x - 10x + 45 \Rightarrow 12x^2 - 64x + 20 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 16x + 5 = 0 $$ Resolvemos la ecuación de segundo grado:

$$ x = \dfrac{ 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5} }{2 \cdot 3} = \dfrac{ 16 \pm \sqrt{256 - 60} }{6} = \dfrac{ 16 \pm \sqrt{196} }{6} = \dfrac{ 16 \pm 14 }{6} = $$
$$ = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 30 }{ 6 } = 5 \Rightarrow x_1 = 5 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 2 }{ 6 } = \dfrac{ 1 }{ 3 } \Rightarrow x_2 = \dfrac{ 1 }{ 3 } \end{array}. $$
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

$x_1 = 5 \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{2 \cdot 5 - 1} = \sqrt{6 \cdot 5 - 5} + \sqrt{2 \cdot 5 - 9} \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{10 - 1} = \sqrt{30 - 5} + \sqrt{10 - 9} \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{9} = \sqrt{25} + \sqrt{1} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow 2 \cdot 3 = 5 + 1 \checkmark $

$x_2 = \dfrac{ 1 }{ 3 } \Rightarrow 2 \cdot \sqrt{2 \cdot \dfrac{ 1 }{ 3 } - 1} = 2 \cdot \sqrt{\dfrac{ 2 }{ 3 } - 1} = 2 \cdot \sqrt{\dfrac{ -1 }{ 3 } } $ ✗ que no tiene sentido. Luego no es solución.

Veamos otro tipo de ejercicios pero también con radicales:

Elevemos al cuadrado los dos lados de la ecuación, desarrollamos y simplificamos

$$ \left (1 - x \right )^2 = \left ( \sqrt{1 - x \cdot \sqrt{4 - 7x^2} } \right )^2 \Rightarrow 1 - 2x + x^2 = 1 - x \cdot \sqrt{4 - 7x^2} \Rightarrow - 2x + x^2 = - x \cdot \sqrt{4 - 7x^2} $$

Nos queda una raíz y por tanto volvemos a elevar al cuadrado los dos miembros de la igualdad, desarrollamos y simplificamos

$$ \left (- 2x + x^2 \right )^2 = \left (- x \cdot \sqrt{4 - 7x^2} \right )^2 \Rightarrow 4x^2 - 4x^3 + x^4 = x^2 \cdot (4 - 7x^2) \Rightarrow 4x^2 - 4x^3 + x^4 = 4x^2 - 7x^4 \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow 8x^4 - 4x^3 = 0 \Rightarrow 4x^4 \cdot (2x - 1) = 0 $$

Las soluciones de la ecuación son $x = 0$ y $x = \dfrac{1}{2}$. Vamos a comprobarlo

$x = 0 \Rightarrow 1 - 0 = \sqrt{1 - 0 \cdot \sqrt{4 - 7 \cdot 0^2} } \Rightarrow 1 = 1 \checkmark $

$x = \dfrac{1}{2} $

Por un lado tenemos que $ 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} $;

Por otro lado $ \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{4 - 7 \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right ) ^2} } = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{4 - \dfrac{7}{4} } } = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ \dfrac{16 - 7}{4} } } = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{ \dfrac{9}{4} } } = \sqrt{1 - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{2} } = $

$ = \sqrt{1 - \dfrac{3}{4} } = \sqrt{ \dfrac{1}{4} } = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \checkmark $

Las dos soluciones de la ecuación transformada son solución de la ecuación original.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Identidades trigonométricas I - Ejercicios con soluciones

Para resolver identidades trigonométricas utilizaremos bastantes cosas. Identidades notables, amplificar y simplificar fracciones, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones. La Relación Fundamental de la Trigonometría (RFT) $ \fcolorbox{blue}{white}{ $ \color{blue}{ \cos^2 a + \sen^2 a = 1} $ } $ y las siguientes fórmulas: $$ \tg a = \dfrac{\ \ \sen a \ \ }{ \cos a } \qquad \cotg a = \dfrac{ \cos a }{\ \ \sen a \ \ } = \dfrac{ 1 }{ \ \ \tg a \ \ } $$ $$ \sec a = \dfrac{ 1 }{ \ \ \cos a \ \ } \qquad \cosec a = \dfrac{ 1 }{ \ \ \sen a \ \ } $$ $$ \tg a \cdot \cotg a = 1 \qquad \sec a \cdot \cos a = 1 \qquad \cosec a \cdot \sen a = 1 $$ De la Relación Fundamental de la Trigonometría se deducen dos fórmulas más:

Si dividimos la RFT por $\cos^2 a$ tendremos: $$ \cos^2 a + \sen^2 a = 1 \Rightarrow \dfrac{\ \ \cos^2 a \ \ }{ \cos^2 a } + \dfrac{\ \ \sen^2 a \ \ }{ \cos^2 a } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 a \ \ } \Rightarrow 1 + \tg^2 a = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 a \ \ } \Rightarrow 1 + \tg^2 a = sec^2 a $$ Si dividimos la RFT por $\sen^2 a$ tendremos: $$ \cos^2 a + \sen^2 a = 1 \Rightarrow \dfrac{\ \ \cos^2 a \ \ }{ \sen^2 a } + \dfrac{\ \ \sen^2 a \ \ }{ \sen^2 a } = \dfrac{ 1 }{\ \ \sen^2 a \ \ } \Rightarrow \cotg^2 a + 1 = \dfrac{ 1 }{\ \ \sen^2 a \ \ } \Rightarrow \cotg^2 a + 1 = cosec^2 a $$ Un ejercicio que podemos hacer es poner cada razón trigonométrica en función de las demás, como vemos en el ejemplo, En la primera fila vemos que podemos poner el seno de $\theta$, en función del coseno, de la tangente, de la cosecante, de la secante y de la cotangente. ¿Te animas a llenar la tabla? (Si haces click sobre la imagen la veras en tamaño original).

Vamos a desarrollar este ejercicio desarrollando por la izquierda sustituyendo $\tg \alpha$ y $\cotg \alpha$ por su definición de $\sen \alpha$ y $\cos \alpha$:

$$ \tg \alpha + \dfrac{ 1 }{\ \ \tg \alpha \ \ } = \dfrac{ \sen \alpha }{\ \ \cos \alpha \ \ } + \dfrac{\ \cos \alpha }{\ \ \sen \alpha \ \ } = \dfrac{ \sen2 \alpha }{\ \ \sen \alpha \cdot \cos \alpha \ \ } + \dfrac{\ \cos^2 \alpha }{\ \ \cos \alpha \cdot \sen \alpha \ \ } = \dfrac{\ \ \sen2 \alpha + \cos^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos \alpha \cdot \sen \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos \alpha \cdot \sen \alpha \ \ } \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio desarrollando por la izquierda, sustituyendo en el numerador 1 por la Relación Fundamental de la Trigonometría:

$$ \dfrac{ 1 }{\ \ \tg^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha }{\ \ \tg^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \ \tg^2 \alpha \ \ } + \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \ \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } \ \ } = \left ( \dfrac{ \cos \alpha }{ \ \tg \alpha \ } \right )^2 + \dfrac{ \cancel{\sen^2 \alpha} }{\ \ \dfrac{ \cancel{\sen^2 \alpha} }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } \ \ } = $$
$$ = \left ( \dfrac{ \cos \alpha }{ \ \tg \alpha \ } \right )^2 + \dfrac{ 1 }{\ \ \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } \ \ } = \left ( \dfrac{ \cos \alpha }{ \ \tg \alpha \ } \right )^2 + \cos^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio desarrollando por la izquierda, sustituyendo $\tg \alpha$ por su definición de $\sen \alpha$ y $\cos \alpha$:

$$ \dfrac{ 1 }{\ \ \tg \alpha \ \ } \cdot \dfrac{ 1 }{\ \ \cos \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \dfrac{ \sen \alpha }{\ \ \cos \alpha \ \ } \ \ } \cdot \dfrac{ 1 }{\ \ \cos \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \dfrac{ \sen \alpha }{\ \ \cancel{\cos \alpha} \ \ } \ \ } \cdot \dfrac{ 1 }{\ \ \cancel{\cos \alpha} \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \sen \alpha \ \ } \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio desarrollando por la izquierda:

$$ \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } + \dfrac{ 1 }{\ \ \sen^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha \ \ } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{\ \ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha \ \ } \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio desarrollando por la derecha sacando factor común a $\cos^2 \alpha $:

$$ \cos^4 \alpha + \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha \cdot (\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha) = \cos^2 \alpha \text{ ✓} $$

Otra forma, esta ve empezando por la izquierda: $$ \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha \cdot 1 = \cos^2 \alpha \cdot (\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha) = \cos^4 + \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio desarrollando por la izquierda:

$$ \dfrac{ (1 - \cos \alpha) \cdot (1 + \cos \alpha) }{\ \ (\sen \alpha \cdot \cos \alpha)^2 \ \ } = \dfrac{ 1 - \cos^2 \alpha }{\ \ (\sen \alpha \cdot \cos \alpha)^2 \ \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \ \sen^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \cancel{\sen^2 \alpha} }{\ \ \cancel{\sen^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } = \sec^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio desarrollando por la izquierda, sustituyendo $\tg \alpha$ por su definición de $\sen \alpha$ y $\cos \alpha$:

$$ \dfrac{ \ \ \sen \alpha \cdot \cos \alpha \ \ }{\ \ \tg \alpha \ \ } = \dfrac{\ \ \sen \alpha \cdot \cos \alpha \ \ }{\ \ \dfrac{ \sen \alpha }{\ \ \cos \alpha \ \ } \ \ } = \dfrac{\ \ \sen \alpha \cdot \cos^2 \alpha \ \ }{\ \ \sen \alpha \ \ } = \dfrac{\ \ \cancel{\sen \alpha} \cdot \cos^2 \alpha \ \ }{\ \ \cancel{\sen \alpha} \ \ } = \cos^2 \alpha = 1 - \sen^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio desarrollando por la izquierda, empezamos por el paréntesis:

$$ 1 + \tg^2 \alpha = 1 + \dfrac{ \ \ \sen^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ \ \ \cos^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } + \dfrac{ \ \ \sen^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } = \dfrac{\ \ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } $$ Seguimos con la identidad, con la parte izquierda y nos queda: $$ (1 + \tg^2 \alpha) \cdot \cos^2 \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } \cdot \cos^2 \alpha = 1 \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio desarrollando por la izquierda, sustituyendo $\tg \alpha$ por su definición de $\sen \alpha$ y $\cos \alpha$ y aplicando la Relación Fundamental de la Trigonometría:

$$ \tg^2 \alpha \cdot (1 - \sen^2 \alpha) = \dfrac{ \ \ \sen^2 \alpha \ \ }{\ \ \cos^2 \alpha \ \ } \cdot \cos^2 \alpha = \dfrac{ \ \ \sen^2 \alpha \ \ }{\ \ \cancel{\cos^2 \alpha} \ \ } \cdot \cancel{\cos^2 \alpha} = \sen^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio desarrollando por la izquierda, aplicando la RFT, es decir que $-\cos^2 \alpha + 1 = \sen^2 \alpha$:

$$ \dfrac{\ \ \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha + 1 \ \ }{ 2 } = \dfrac{\ \ \sen^2 \alpha + \sen^2 \alpha \ \ }{ 2 } = \dfrac{ \ \ 2 \cdot \sen^2 \alpha \ \ }{ 2 } = \sen^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio haciendo el producto en cruz, ya que podremos usar la identidad notable «suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados»:

$$ \dfrac{ \cotg \alpha - \cosec \alpha }{\ \tg \alpha - \sec \alpha \ } = \dfrac{\ \tg \alpha + \sec \alpha \ }{ \cotg \alpha + \cosec \alpha } \Rightarrow (\cotg \alpha - \cosec \alpha) \cdot (\cotg \alpha + \cosec \alpha) = (\tg \alpha - \sec \alpha) \cdot (\tg \alpha + \sec \alpha) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \cotg^2 \alpha - \cosec^2 \alpha = \tg^2 \alpha - \sec^2 \alpha \Rightarrow $$ Ahora sustituimos las expresiones en función de $\cos \alpha$ y $\sen \alpha$: $$ \Rightarrow \cotg^2 \alpha - \cosec^2 \alpha = \tg^2 \alpha - \sec^2 \alpha \Rightarrow \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } - \dfrac{\ 1\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha\ } - \dfrac{\ 1\ }{ \cos^2 \alpha } \Rightarrow \dfrac{\ \cos^2 \alpha - 1\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha - 1 }{\ \cos^2 \alpha\ } \Rightarrow $$ De la Relación Fundamental de la Trigonometría tenemos que $\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha - 1 = -\sen^2 \alpha$ y simétricamente tenemos que $\sen^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$, sustituimos en la expresión y nos queda: $$ \Rightarrow \dfrac{\ - \sen^2 \alpha \ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{ -\cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha\ } \Rightarrow -1 = -1 \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda sustituyendo $\sec \alpha$ y $\cosec \alpha$ por $\cos \alpha$ y $\sen \alpha$ respectivamente:

$$ 1 + \dfrac{ \sec \alpha }{\ \cosec^2 \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) \ } = 1 + \dfrac{\ \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha \ }\ }{\ \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } \cdot (1 + \cos \alpha) \ } = 1 + \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \cos \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) \ } = 1 + \dfrac{ 1 - \cos^2 \alpha }{\ \cos \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) \ } = $$ $$ = 1 + \dfrac{ (1 - \cos \alpha) \cdot (1 + \cos \alpha) }{\ \cos \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) \ } = 1 + \dfrac{ (1 - \cos \alpha) \cdot \cancel{(1 + \cos \alpha)} }{\ \cos \alpha \cdot \cancel{(1 + \cos \alpha)} \ } = 1 + \dfrac{\ \ 1 - \cos \alpha \ \ }{\ \cos \alpha \ } = $$ $$ = 1 + \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha \ } - 1 = \dfrac{ 1 }{\ \cos \alpha \ } = \sec \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda. Vamos a por el numerador y las identidades notables:

$$ \cos^4 \alpha - \sen^4 \alpha = (\cos^2 \alpha)^2 - (\sen^2 \alpha)^2 = (\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha) \cdot (\cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha) = $$ $$ = \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha = (\cos \alpha + \sen \alpha) \cdot (\cos \alpha - \sen \alpha) $$ Vamos a ver que nos queda: $$ \dfrac{ \cos^4 \alpha - \sen^4 \alpha }{\ \sen \alpha \cos \alpha \ } = \dfrac{ (\cos \alpha + \sen \alpha) \cdot (\cos \alpha - \sen \alpha) }{\ \cos \alpha \sen \alpha \ } = \dfrac{ \cos \alpha - \sen \alpha }{ \cos \alpha } \cdot \dfrac{\ \cos \alpha + \sen \alpha \ }{\ \sen \alpha } = (1 - \tg \alpha) \cdot (1 + \cotg \alpha) \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda. Vamos a por el numerador:

$$(1 + \cos \alpha)^2 + (1 - \cos \alpha)^2 = 1 + 2 \cos \alpha + \cos^2 \alpha + 1 - 2 \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 2 + 2\cos^2 \alpha = 2(1 + \cos^2 \alpha) $$ Ahora a por el denominador: $$ \sec^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \dfrac{1}{\ \cos^2 \alpha \ } - \cos^2 \alpha = \dfrac{1}{\ \cos^2 \alpha \ } - \dfrac{ \cos^4 \alpha}{\ \cos^2 \alpha \ } = \dfrac{ 1 - \cos^4 \alpha}{\ \cos^2 \alpha \ } = \dfrac{ (1 - \cos^2 \alpha) \cdot (1 + \cos^2 \alpha) }{\ \cos^2 \alpha \ } $$ Vamos a ver que nos queda juntándolo todo: $$ \dfrac{ (1 + \cos \alpha)^2 + (1 - \cos \alpha)^2 }{\ \sec^2 \alpha - \cos^2 \alpha\ } = \dfrac{ 2(1 + \cos^2 \alpha) }{ \dfrac{ (1 - \cos^2 \alpha) \cdot (1 + \cos^2 \alpha) }{\ \cos^2 \alpha \ } } = \dfrac{ 2 \cancel{(1 + \cos^2 \alpha)} }{ \dfrac{ \ (1 - \cos^2 \alpha) \cdot \cancel{(1 + \cos^2 \alpha)} \ }{\ \cos^2 \alpha \ } } = \dfrac{ 2 }{ \dfrac{ 1 - \cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \ } } = $$ $$ = \dfrac{ 2 \cos^2 \alpha }{\ 1 - \cos^2 \alpha \ } = \dfrac{ 2 \cos^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = 2 \cotg^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, pero antes pondremos $\tg \alpha$ y $\cotg \alpha$ en función del $\sen \alpha$ y del $\cos \alpha$. Vamos a por el denominador:

$$1 + \tg^2 \alpha = 1 + \dfrac{\ \sen^2 \alpha \ }{ \cos^2 \alpha } = \dfrac{\ \cos^2 \alpha \ }{ \cos^2 \alpha } + \dfrac{\ \sen^2 \alpha \ }{ \cos^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \ } = \dfrac{ 1 }{ \ \cos^2 \alpha \ } $$ Vamos a ver que nos queda: $$ \dfrac{ \cotg \alpha }{\ 1 + \tg^2 \alpha\ } = \dfrac{ \dfrac{\ \cos \alpha \ }{ \sen \alpha } }{\ \ \dfrac{ 1 }{ \ \cos^2 \alpha } \ \ } = \dfrac{\ \cos \alpha \ }{\ \ \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos^2 \alpha } \ \ } = \dfrac{ \cos \alpha }{\ \ \dfrac{ \tg \alpha }{ \cos \alpha } \ \ } = \dfrac{\ \cos^2 \alpha \ }{\ \tg \alpha \ } \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, pero antes pondremos $\tg \alpha$ y $\cotg \alpha$ en función del $\sen \alpha$ y del $\cos \alpha$:

$$\tg \alpha + \cotg \alpha = \dfrac{\ \sen \alpha \ }{ \cos \alpha } + \dfrac{ \cos \alpha }{\ \sen \alpha \ } = \dfrac{\ \sen^2 \alpha \ }{ \sen \alpha \cos \alpha } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \sen \alpha \cos \alpha \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{\ \sen \alpha \cos \alpha \ } = \dfrac{ 1 }{ \ \sen \alpha \cos \alpha \ } $$ Ahora elevamos al cuadrado: $$ (\tg \alpha + \cotg \alpha)^2 = \left ( \dfrac{ 1 }{ \ \sen \alpha \cos \alpha \ } \right)^2 = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \cdot \sen^2 \alpha } = $$ $$ = \dfrac{ \cancel{\sen^2 \alpha} }{\ \cos^2 \alpha \cdot \cancel{\sen^2 \alpha} } + \dfrac{ \cancel{\cos^2 \alpha} }{\ \cancel{\cos^2 \alpha} \cdot \sen^2 \alpha } = \dfrac{ 1 }{\ \cos^2 \alpha } + \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } = \sec^2 \alpha + \cosec^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, empezando por el numerador:

$$\sen \alpha + \tg \alpha = \sen \alpha + \dfrac{\ \sen \alpha \ }{ \cos \alpha } = \dfrac{\ \sen \alpha \cdot \cos \alpha \ }{ \cos \alpha } + \dfrac{\ \sen \alpha \ }{ \cos \alpha } = \dfrac{ \sen \alpha \cdot \cos \alpha + \sen \alpha }{\ \cos \alpha \ } = \dfrac{\ \sen \alpha (\cos \alpha + 1)\ }{\ \cos \alpha \ } $$ Ahora el denominador: $$\cotg \alpha + \cosec \alpha = \dfrac{ \cos \alpha }{\ \sen \alpha \ } + \dfrac{1}{\ \sen \alpha \ } = \dfrac{\ 1 + \cos \alpha \ }{ \sen \alpha } $$ Juntamos todo y nos queda: $$ \dfrac{ \sen \alpha + \tg \alpha }{\ \cotg \alpha + \cosec \alpha \ } = \dfrac{ \dfrac{\ \sen \alpha (\cos \alpha + 1)\ }{\ \cos \alpha \ } }{ \dfrac{\ 1 + \cos \alpha \ }{ \sen \alpha } } = \dfrac{ \tg \alpha (\cos \alpha + 1)\ }{ \dfrac{\ 1 + \cos \alpha \ }{ \sen \alpha } } = \dfrac{ \tg \alpha \cancel{(\cos \alpha + 1)}\ }{ \dfrac{\ \cancel{1 + \cos \alpha} \ }{ \sen \alpha } } = \dfrac{\ \tg \alpha }{ \dfrac{1}{\ \sen \alpha\ } } = \sen \alpha \cdot \tg \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, empezando por el denominador:

$$1 + \cotg^2 \alpha = 1 + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } $$ Así nos queda: $$ \dfrac{ \sec^2 \alpha \ }{\ 1 + \cotg^2 \alpha \ } = \dfrac{\ \ \ \dfrac{ 1 }{\ \cos^2 \alpha\ } \ \ \ }{\ \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \ } = \tg^2 \alpha \text{ ✓} $$

Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, empezando por el denominador:

$$1 + \cotg^2 \alpha = 1 + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha }{\ \sen^2 \alpha \ } = \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } $$ Así nos queda: $$ \dfrac{ \sen \alpha }{\ 1 + \cotg^2 \alpha \ } = \dfrac{ \sen \alpha }{\ \dfrac{ 1 }{\ \sen^2 \alpha \ } \ } = \sen^3 \alpha \text{ ✓} $$

Sacamos factor común en el denominador a $\sen \alpha$

$\dfrac{ 1 }{\ \sen^3 \alpha + \sen \alpha \cdot \cos^2 \alpha\ } = \dfrac{ 1 }{\ \sen \alpha \cdot (\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha ) \ } = \dfrac{ 1 }{\ \sen \alpha \ } = \cosec \alpha $ ✓

Sabemos por la relación fundamental de la trigonometría que $1 - \sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha$

$\dfrac{\ 1 - \sen^2 \alpha\ }{ \cos \alpha } = \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{\cos \alpha } = \cos \alpha $ ✓

Desarrollamos la parte derecha de la igualdad, sustituimos $1$ por $\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha$ y en el denominador $1 - \cos^2 \alpha$ por $ \sen^2 \alpha$ y tenemos que

$ \tg \alpha \cdot \dfrac{1}{\ 1 - \cos^2 \alpha\ } = \tg \alpha \cdot \dfrac{\ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha\ }{\sen^2 \alpha} = \tg \alpha \cdot \left ( \dfrac{1}{\ \tg^2 \alpha \ } + 1 \right ) = \dfrac{1}{\ \tg \alpha \ } + \tg \alpha $ ✓

Desarrollamos la parte izquierda de la igualdad, empezamos con el denominador

$ 1 + \cotg^2 \alpha = 1 + \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ \sen^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } + \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha \ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ 1\ }{\ \sen^2 \alpha \ } $

Sustituimos en el denominador y nos queda

$ \dfrac{\ \sen \alpha \ }{\ 1 + \cotg^2 \alpha \ } = \dfrac{\ \ \ \ \ \ \ \ \sen \alpha \ \ \ \ \ \ \ \ }{\ \dfrac{\ 1\ }{\ \sen^2 \alpha \ } \ } = \sen^3 \alpha $ ✓

Desarrollamos la parte izquierda de la igualdad, empezamos con el denominador

$ 1 + \cotg^2 \alpha = 1 + \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ \sen^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } + \dfrac{\ \cos^2 \alpha\ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha \ }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{\ 1\ }{\ \sen^2 \alpha \ } $

Sustituimos en el denominador y nos queda

$ \dfrac{\ \sec^2 \alpha \ }{\ 1 + \cotg^2 \alpha \ } = \dfrac{\ \ \ \ \ \ \ \ \dfrac{\ 1\ }{\ \cos^2 \alpha \ } \ \ \ \ \ \ \ \ }{\ \dfrac{\ 1\ }{\ \sen^2 \alpha \ } \ } = \dfrac{\ \sen^2 \alpha \ }{\ \cos^2 \alpha \ } = \tg^2 \alpha $ ✓

Desarrollamos la parte izquierda de la igualdad, sabemos por la relación fundamental de la trigonometría que $1 = \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha $ y la $\tg \alpha = \dfrac{\sen \alpha}{\cos \alpha} $

$ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha + \tg^2 \alpha = 1 + \dfrac{\sen^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \dfrac{\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha} $ ✓

Hacemos el producto en cruz y tenemos

$ ( 1 - \sen \alpha ) \cdot (1 + \sen \alpha) = \cos \alpha \Rightarrow 1 - \sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha \Rightarrow 1 = \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha $ ✓

Empezamos por la derecha, sustituimos $\tg \alpha = \dfrac{\sen \alpha}{\cos \alpha} $ y multiplicamos numerador y denominador por $\cos^2 \alpha$

$ \dfrac{ \dfrac{\sen \alpha}{\cos \alpha} }{ \dfrac{\sen^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - 1 } = \dfrac{ \cos^2 \alpha \cdot \dfrac{\sen \alpha}{\cos \alpha} }{ \cos^2 \alpha \cdot \left ( \dfrac{\sen^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - 1 \right ) } $

en el numerador simplificamos un $\cos \alpha$ y en el denominador aplicamos la propiedad distributiva

$ = \dfrac{ \cos \alpha \cdot \sen \alpha }{ \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha } $ ✓

Empezamos por la izquierda desarrollando ambas identidades notables

$ \sen^2 \alpha - 2 \cdot \cos \alpha \cdot \cos \alpha + \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha + 2 \cdot \cos \alpha \cdot \cos \alpha + \cos^2 \alpha = $

Se cancela el doble producto y aplicamos la relación fundamental de la trigonometría $\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = 1$

$ = \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha$ = 1 + 1 = 2 $ ✓

Desarrollamos por la izquierda y nos damos cuenta que el numerador es diferencia de cuadrados y si aplicamos la relación fundamental de la trigonometría $\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = 1$ tenemos

$( \sen^2 \alpha)^2 - ( \cos^2 \alpha )^2 = ( \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha ) \cdot ( \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha ) = 1 \cdot ( \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha ) $

$\dfrac{ \sen^4 \alpha - \cos^4 \alpha }{ \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha - \cos^2 \alpha } = 1 $ ✓

Empezamos por $ \dfrac{\ \ 1 + \tg \alpha \ \ }{\sec \alpha} $

Sustituimos $\sec \alpha = \dfrac{1}{\cos \alpha} $ y $\tg \alpha = \dfrac{\ \ \sen \alpha \ \ }{\cos \alpha} $

$ = \dfrac{ \ \ 1 + \dfrac{ \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \dfrac{1}{ \cos \alpha} } = $

operamos en el numerador

$ = \dfrac{ \ \ \dfrac{ \cos \alpha + \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \dfrac{1}{ \cos \alpha} } = $

Se cancelan en el numerador y en el denominador el $\dfrac{ 1 }{ \ \ \cos \alpha \ \ } $ y nos queda

$ = \cos \alpha + \sen \alpha $ ✓

Desarrollamos por la izquierda, sabemos que $\sec \alpha = \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha}$, $\cosec \alpha = \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha}$ y $\cotg \alpha = \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } $

Sustituimos $\tg \alpha = \dfrac{\ \ \sen \alpha \ \ }{\cos \alpha} $

$ \dfrac{\sec^{2} \alpha}{\cosec^2 \alpha -\sec^2 \alpha} + \dfrac{\cotg^2 \alpha}{\cotg^2 \alpha - 1} = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha} }{ \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha} - \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha} } + \dfrac{ \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha } }{ \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha } - 1} = $

operamos en los dos denominadores y tenemos

$ = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha} }{ \dfrac{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha} } + \dfrac{ \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha } }{ \dfrac{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha} } = $

En la $1^{\underline{a}}$ fracción se simplifica el $\cos^2 \alpha$ y en la $2^{\underline{a}}$ se simplifica el $\sen^2 \alpha$ ambos dividen al numerador y denominador de cada fracción

$ = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = $

sumamos ambas fracciones y aplicando la relación fundamental de la trigonometría nos queda

$ = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } $ ✓

Simplifica la siguiente expresión trigonométrica:

Vamos a sustituir $\sen^2 \alpha$ por $1 - \cos^2 \alpha$ en el numrador

$ \dfrac{ \sen^{2} \alpha \cdot ( 1 + \cos \alpha)}{ 1 - \cos \alpha} = \dfrac{(1 - \cos^2 \alpha) \cdot ( 1 + \cos \alpha)}{ 1 - \cos \alpha} = $

Vemos que $1 - \cos^2 \alpha$ es una identidad notable $ 1 - \cos^2 \alpha = (1 + \cos \alpha ) \cdot (1 - \cos \alpha ) $ y simplificamos con el factor del denominador

$ \dfrac{(1 + \cos \alpha ) \cdot (1 - \cos \alpha ) \cdot ( 1 + \cos \alpha)}{ 1 - \cos \alpha} = (1 + \cos \alpha )^2 $

Simplifica la siguiente expresión trigonométrica:

Sabemos que $ \tg \alpha = \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha} $ sustituimos y tenemos

$ \dfrac{ \cos \alpha }{ \tg \alpha \cdot ( 1 - \sen \alpha )} = \dfrac{ \cos \alpha }{ \left ( \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha} \right ) \cdot ( 1 - \sen \alpha )} = \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \sen \alpha \cdot ( 1 - \sen \alpha ) } = $

Sabemos que $ \cos^2 \alpha = 1 - \sen^2 \alpha$ y esto es una identidad notable $ 1 - \sen^2 \alpha = (1 - \sen \alpha) \cdot ( 1 + \sen \alpha ) $ $ = \dfrac{ (1 - \sen \alpha) \cdot ( 1 + \sen \alpha ) }{ \sen \alpha \cdot ( 1 - \sen \alpha ) } = $

simplificamos $ 1 - \sen \alpha $ en el numerador y en el denominador

$ = \dfrac{ 1 + \sen \alpha }{ \sen \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha } + \dfrac{ \sen \alpha }{ \sen \alpha } = \cosec \alpha + 1 $

Empezamos desarrollando la parte izquierda de la igualdad sabemos que $ \cotg \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{ \sen \alpha } $

$ \tg \alpha \cdot \cotg \alpha - \dfrac{2 \cdot \sen \alpha }{ \sqrt{ 1 + \cotg^2 \alpha } } = 1 - \dfrac{2 \cdot \sen \alpha }{ \sqrt{ 1 + \dfrac{\cos^2 \alpha}{ \sen^2 \alpha } } } = $

operamos dentro de la raíz, aplicamos la relación fundamental de la trigonometría

$ = 1 - \dfrac{2 \cdot \sen \alpha }{ \sqrt{ \dfrac{\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{ \sen^2 \alpha } } } = 1 - \dfrac{2 \cdot \sen \alpha }{ \sqrt{ \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha } } } = 1 - 2 \cdot \sen^2 \alpha = $

aplicamos la relación fundamental de la trigonometría de nuevo $1 = \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha $

$ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha - 2 \cdot \sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha = $

esto es una identidad notable $ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = ( \cos \alpha + \sen \alpha) \cdot ( \cos \alpha -\sen \alpha) $ y además $\cos \alpha = \dfrac{1}{\sec \alpha} $ y $\sen \alpha = \dfrac{1}{\cosec \alpha} $

$ = ( \cos \alpha + \sen \alpha) \cdot ( \cos \alpha -\sen \alpha) = ( \cos \alpha + \sen \alpha) \cdot \left ( \dfrac{1}{\sec \alpha} - \dfrac{1}{\cosec \alpha} \right ) $ ✓

Empezamos por la parte izquierda de la identidad, sabemos que $ \tg \alpha = \dfrac{\sen \alpha}{ \cos \alpha} $ y que $ \sec \alpha = \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha} $ sustituimos

$ \dfrac{2 \cdot \sen \alpha + 3}{2 \cdot \tg \alpha + 3 \sec \alpha } = \dfrac{2 \cdot \sen \alpha + 3}{2 \cdot \left ( \dfrac{\sen \alpha}{ \cos \alpha} \right ) + 3 \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha} } = $

sumamos las dos fracciones del denominador que tienen el mismo denominador y el denominador de las mismas pasa al numerador multiplicando

$ = \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha + 3 \ \ }{ \dfrac{ 2 \cdot \sen \alpha + 3 }{ \cos \alpha} } = \dfrac{ \cos \alpha \cdot \left ( 2 \cdot \sen \alpha + 3 \right )}{ 2 \cdot \sen \alpha + 3 } = $

simplificamos en el numerador y el denominador el factor $ 2 \cdot \sen \alpha + 3 $ y tenemos

$ = \cos \alpha $ ✓

Este ejercicio se resuelve sacando factor común:

$$ \dfrac{\sen \alpha - \cos \alpha}{\tg \alpha - 1} = \dfrac{\cos \alpha \left ( \tg \alpha - 1 \right ) }{\tg \alpha - 1} = \dfrac{\cos \alpha \cancel{ \left ( \tg \alpha - 1 \right )} }{ \cancel{ \tg \alpha - 1} }= \cos \alpha ✓ $$

Otra forma, sacando factor común $\sen \alpha$: $$ \dfrac{\sen \alpha - \cos \alpha}{\tg \alpha - 1} = \dfrac{\sen \alpha \left ( 1 - \cotg \alpha \right ) }{\tg \alpha - 1} = \dfrac{\ \sen \alpha \left (1 - \dfrac{\ 1 \ }{ \tg \alpha} \right ) }{\tg \alpha - 1} = $$ $$ = \dfrac{\ \sen \alpha \left ( \dfrac{\ \tg \alpha - 1 }{ \tg \alpha} \right ) }{\tg \alpha - 1} = \dfrac{\ \sen \alpha \left ( \tg \alpha - 1 \right ) }{\ \tg \alpha (\tg \alpha - 1) \ } = \dfrac{\ \sen \alpha \cancel{ \left ( \tg \alpha - 1 \right ) } \ }{\ \tg \alpha \cancel{ (\tg \alpha - 1) }\ } = \dfrac{\ \sen \alpha \ }{\ \tg \alpha \ } = \dfrac{\ \sen \alpha \ }{\ \dfrac{\ \sen \alpha \ }{\ \cos \alpha \ } \ } = \dfrac{\ \sen \alpha \cdot \cos \alpha \ }{\ \sen \alpha \ } = $$ $$ = \dfrac{\ \cancel{\sen \alpha } \cdot \cos \alpha \ }{\ \cancel{\sen \alpha } \ } = \cos \alpha ✓ $$

Este ejercicio se resuelve sacando factor común:

$$ \tg^{2} \alpha - \sen^{2} \alpha = \sen^{2} \alpha \cdot \left ( \dfrac{1}{\ \cos^2 \alpha \ } - 1 \right ) = \sen^{2} \alpha \cdot \left ( \dfrac{1 - \cos^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \ } \right ) = \sen^{2} \alpha \cdot \left ( \dfrac{\sen^2 \alpha }{\ \cos^2 \alpha \ } \right ) = \sen^2 \alpha \cdot \tg^2 \alpha ✓ $$

Este ejercicio se resuelve sacando factor común:

$$ \dfrac{1 + \cotg \alpha}{\sen \alpha + \cos \alpha} = \dfrac{1 + \cotg \alpha}{\sen \alpha \cdot ( 1 + \cotg \alpha) } = \dfrac{1}{\ \sen \alpha \ } = \cosec \alpha ✓ $$

Este ejercicio se resuelve fácilmente:

$$ \sec^{2} \alpha - 1 = \tg^{2} \alpha \Rightarrow \sec^{2} \alpha = 1 + \tg^{2} \alpha = 1 + \dfrac{\ \sen^{2} \alpha \ }{ \cos^{2} \alpha } = \dfrac{\ \cos^{2} \alpha + \sen^{2} \alpha \ }{ \cos^{2} \alpha } = \dfrac{1}{ \cos^{2} \ \alpha \ } ✓ $$

En este ejercicio haremos uso de la herramienta «sacar factor común», en este caso lo haremos con $\sen^{2} \alpha $:

$$ \sen^{4} \alpha + \cos^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha \cdot \sen^{2} \alpha = \sen^{2} \alpha \cdot (\cos^{2} \alpha + \sen^{2} \alpha ) + \cos^{2} \alpha = \sen^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1 ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la derecha sustituyendo $1 = \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha $

$$ \dfrac{1 + 2 \cdot \sen \alpha \cos \alpha}{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = \dfrac{\cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha + 2 \cdot \sen \alpha \cos \alpha}{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = $$ Aplicamos identidades notables en el numerador, cuadrado de una suma; y en el denominador, suma por diferencia es diferencia de cuadrados: $$ \dfrac{ (\cos \alpha + \sen \alpha)^2 }{ (\cos \alpha - \sen \alpha) \cdot (\cos \alpha - \sen \alpha) } = $$ Simplificando $(\cos \alpha + \sen \alpha)$ nos queda $$ = \dfrac{ \cos \alpha + \sen \alpha }{ \cos \alpha - \sen \alpha } = $$ Sacamos factor común $\cos \alpha $ en el numerador y en el denominador y simplificando $\cos \alpha$ nos queda: $$ = \dfrac{ \cos \alpha ( 1 + \tg \alpha) }{ \cos \alpha ( 1 - \tg \alpha) } = \dfrac{ 1 + \tg \alpha }{ 1 - \tg \alpha } ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda

$$ \cotg \alpha - \dfrac{ \cotg^2 \alpha - 1 }{ \cotg \alpha } = \dfrac{ \cotg^2 \alpha - \cotg^2 \alpha + 1 }{ \cotg \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \cotg \alpha } = $$ $$ = \tg \alpha = \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha } }{ \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha } } = \dfrac{ \sec \alpha }{ \cosec \alpha } ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda

$$ \sec^2 \alpha + \cosec^2 \alpha = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha } + \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha \sen^2 \alpha } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha \sen^2 \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha }{ \cos^2 \alpha \sen^2 \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha \sen^2 \alpha } = $$ $$ = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \alpha } \cdot \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha } = \sec^2 \alpha \cdot \cosec^2 \alpha ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda

$$ \tg \alpha + \cotg \alpha = \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } + \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } + \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha \sen \alpha } = $$ $$ = \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha } \cdot \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha } = \sec \alpha \cdot \cosec \alpha ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda, sacando factor común a $\cos^2 \alpha$

$$ \dfrac{ \cos^2 \alpha \cdot \dfrac{\ \ \sen \alpha \ \ }{ \cos \alpha} }{\ \ \cos^2 \alpha \left ( 1 - \dfrac{ \sen^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \right ) \ \ } = \dfrac{ \cos^2 \alpha \tg \alpha }{\ \ \cos^2 \alpha ( 1 - \tg^2 \alpha) \ \ } = \dfrac{ \cancel{\cos^2 \alpha} \tg \alpha }{\ \ \cancel{\cos^2 \alpha} ( 1 - \tg^2 \alpha) \ \ } = \dfrac{ \tg \alpha }{\ \ 1 - \tg^2 \alpha \ \ } ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda, sustituyendo $\tg \alpha$ y $\cotg \alpha$ por su equivalente:

$$ \dfrac{ \ \ \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } + \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } \ \ }{ \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } - \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } } (1) $$ Trabajamos con el numerador y nos queda: $$ \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } + \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } + \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } = \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha \cos \alpha } $$ Ahora con el denominador: $$ \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } - \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } - \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } = \dfrac{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } $$ Sustityuyendo en $(1)$ nos queda: $$ = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha \cos \alpha } }{ \dfrac{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } } = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \cancel{ \sen \alpha \cos \alpha} } }{ \dfrac{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha }{ \cancel{ \sen \alpha \cos \alpha} } } = \dfrac{ 1 }{\ \ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha \ \ } ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda, sustituyendo $\tg \alpha$, $\cosec \alpha$ y $\cotg \alpha$ por su equivalente:

$$ \dfrac{ \ \ \sen \alpha + \cotg \alpha \ \ }{ \tg \alpha + \cosec \alpha } = \dfrac{ \ \ \sen \alpha + \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } \ \ }{ \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } + \dfrac{1}{ \sen \alpha } } (2) $$ Trabajamos con el numerador y nos queda: $$ \sen \alpha + \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha } + \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos \alpha }{ \sen \alpha } $$ Ahora con el denominador: $$ \dfrac{ \sen \alpha }{ \cos \alpha } + \dfrac{1}{ \sen \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cos \alpha } + \dfrac{ \cos \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } = \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } $$ Sustityuyendo en $(2)$ nos queda: $$ = \dfrac{ \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos \alpha }{ \sen \alpha } }{ \dfrac{ \sen^2 \alpha + \cos \alpha }{ \cos \alpha \sen \alpha } } = \dfrac{ \dfrac{ \cancel{ \sen^2 \alpha + \cos \alpha} }{ \sen \alpha } }{ \dfrac{ \cancel{\sen^2 \alpha + \cos \alpha} }{ \cos \alpha \sen \alpha } } = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \sen \alpha } }{ \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha \sen \alpha } } = $$ $$ = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ \cancel{\sen \alpha} } }{ \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha \cancel{\sen \alpha} } } = \dfrac{ 1 }{ \dfrac{ 1 }{ \cos \alpha } } = \cos \alpha ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la derecha, sustituyendo $\cosec \alpha$ y $\cotg \alpha$ por su equivalente:

$$ \cosec \alpha - \cotg \alpha = \dfrac{ 1 }{\ \ \sen \alpha \ \ } - \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } = \dfrac{ 1 - \cos \alpha }{ \sen \alpha } = $$ Ahora amplificamos la fracción por $1 + \cos \alpha$ $$ = \dfrac{ (1 - \cos \alpha) \cdot (1 + \cos \alpha) }{ \sen \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) } = \dfrac{ 1 - \cos^2 \alpha }{ \sen \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) } = \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen \alpha \cdot (1 + \cos \alpha) } = \dfrac{ \sen^{ \cancel{2} } \alpha }{ \cancel{\sen \alpha} \cdot (1 + \cos \alpha) } = $$ $$ = \dfrac{ \sen \alpha }{ 1 + \cos \alpha } ✓ $$

Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda, poniendo común denominador:

$$ \dfrac{ \ \ 2 - \cosec^2 \alpha \ \ }{ \tg \alpha - 1 } - \cosec^2 \alpha + 1 = \dfrac{ \ \ 2 - \cosec^2 \alpha - \cosec^2 \alpha (\tg \alpha - 1) + \tg \alpha - 1 }{ \tg \alpha - 1 } = \dfrac{ \ \ 2 - \cosec^2 \alpha - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \cosec^2 \alpha + \tg \alpha - 1 }{ \tg \alpha - 1 } = \dfrac{ \ \ 1 - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha }{ \tg \alpha - 1 } $$ Volvemos a igualar $\cotg \alpha$ y hacemos el producto en cruz: $$ \dfrac{ \ \ 1 - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha }{ \tg \alpha - 1 } = \cotg \alpha \Rightarrow 1 - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha = (\tg \alpha - 1) \cdot \cotg \alpha \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 1 - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha = 1 - \cotg \alpha \Rightarrow - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha = - \cotg \alpha $$ Desarrollando la expresión de la izquierda tenemos: $$ - \cosec^2 \alpha \tg \alpha + \tg \alpha = \tg \alpha (1 - \cosec^2 \alpha) = \tg \alpha \left ( 1 - \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha } \right ) = \tg \alpha \left ( \dfrac{ \sen^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha } - \dfrac{ 1 }{ \sen^2 \alpha } \right ) = \tg \alpha \left ( \dfrac{ \sen^2 \alpha - 1 }{ \sen^2 \alpha } \right ) = $$ $$ = \tg \alpha \left ( \dfrac{ \cos^2 \alpha }{ \sen^2 \alpha } \right ) = \tg \alpha \cdot \cotg^2 \alpha = \left (\tg \alpha \cdot \cotg \alpha \right ) \cdot \cotg \alpha = (1) \cdot \cotg \alpha = \cotg \alpha ✓ $$

Aguí tienes otra entrada de ejercicios de identidades trigonométricas para profundizar en este tipo de ejercicios.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Algunas derivadas - Ejercicios con soluciones

Deriva las siguientes funciones

Es la derivada del producto de dos funciones:

$a'(x) = 3 \cdot (2x - 3)^2 \cdot 2 \cdot (3x - 1)^{2} + (2x - 3)^{3} \cdot 2 \cdot (3x - 1) \cdot 3 = $

$ = 6 \cdot (2x - 3)^2 \cdot (3x - 1)^{2} + 6 \cdot (2x - 3)^{3} \cdot (3x - 1) = $

Sacamos factor común $6 \cdot (2x - 3)^2 \cdot (3x - 1) $

$ = 6 \cdot (2x - 3)^2 \cdot (3x - 1) \cdot \left ( 3x - 1 + 2x - 3 \right ) = 6 \cdot (2x - 3)^2 \cdot (3x - 1) \cdot ( 5x - 4 ) $

Es la derivada de un cociente de dos polinomios:

$ b'(x) = \dfrac{ 3x^2 \cdot ( x^3 + 1 ) - (x^3 - 1) \cdot 3x^2 }{ (x^3 + 1)^2 } = $

hacemos cuentas en el numerador

$ = \dfrac{ 3x^5 + 3x^2 - 3x^5 + 3x^2 }{ (x^3 + 1)^2 } = \dfrac{ 6x^2 }{ (x^3 + 1)^2 } $

Esta función también se puede poner de esta otra forma $c(x) = 2 \cdot \sqrt[8]{x^{4} - 1} = 2 \cdot (x^4 - 1 )^{\frac{1}{8} } $
$c'(x) = 2 \cdot \dfrac{1}{8} \cdot (x^4 - 1 )^{\dfrac{-7}{8} } \cdot 4x^3 = \dfrac{x^3}{ \sqrt[8]{ \left (x^{4} - 1 \right )^7 } }$

La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas

$d'(x) = \dfrac{2x}{1 + x^2} + 2 \cdot \dfrac{1}{1 + x^2} = \dfrac{2x + 2}{1 + x^2} $

La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas y además cada una de esas funciones es producto de dos funciones:

$ e'(x) = 3x^2 \cdot e^{x} + x^3 \cdot e^{x} + 2x \cdot e^{x} + x^2 \cdot e^{x} = $

sabemos factor común a $e^x$ y agrupamos términos semjantes:

$ = e^{x} \cdot (3x^2 + x^3 + 2x + x^2) = e^{x} \cdot ( x^3 + 4x^2 + 2x ) $

$ f'(x) = \dfrac{\cos x \cdot (1 + \cos x ) - \sen x \cdot (- \sen x) }{ (1 + \cos x )^2 } = $

quitamos paréntesis y operamos en el numerador

$ = \dfrac{\cos x + \cos^2 x + \sen^2 x }{ (1 + \cos x )^2 } = $

aplicamos la relación fundamental de la trigonometría $\cos^2 x + \sen^2 x = 1$

$ = \dfrac{\cos x + 1 }{ (1 + \cos x )^2 } = \dfrac{ 1 }{ 1 + \cos x } $

La derivada del logaritmo de un función es la derivada de lafunción dividido por la función

$ g'(x) = \dfrac{ 1 + \dfrac{ 2x }{ 2 \sqrt{x^{2} - 1}} }{ x + \sqrt{x^{2} - 1} } = $

simplificamos 2 en el numerador y operamos en el numerador

$ = \dfrac{ \dfrac{\sqrt{x^{2} - 1} + x }{ \sqrt{x^{2} - 1}} }{ x + \sqrt{x^{2} - 1} } = $

Simplificamos en el numerador y en el denominador $ x + \sqrt{x^{2} - 1} $

$ = \dfrac{ 1 }{ \sqrt{x^{2} - 1} } = $

racionalizamos y nos queda

$ = \dfrac{ \sqrt{x^{2} - 1} }{ x^{2} - 1 } $

$h'(x) = 2 \cdot \left ( x - \sqrt{ 1 - x^{2} } \right) \cdot \left ( 1 - \dfrac{-2x}{2 \cdot \sqrt{ 1 - x^{2} }} \right ) $

Simplificamos en el tercer término el 2, que está multiplicando y dividiendo en la fracción, cambiamos el signo y operamos

$ = 2 \cdot \left ( x - \sqrt{ 1 - x^{2} } \right) \cdot \left ( 1 + \dfrac{x}{ \sqrt{ 1 - x^{2} } } \right ) = $

$ = 2 \cdot \left ( x - \sqrt{ 1 - x^{2} } \right) \cdot \left ( \dfrac{ \sqrt{ 1 - x^{2} } + x}{ \sqrt{ 1 - x^{2} } } \right ) = $

aplicamos suma por diferencia igual a diferencia de cuadrados

$ = 2 \cdot \left ( \dfrac{ x^2 - 1 + x^2 }{ \sqrt{ 1 - x^{2} } } \right ) = 2 \cdot \left ( \dfrac{ 2x^2 - 1 }{ \sqrt{ 1 - x^{2} } } \right ) $

La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas:

$ i'(x) = \dfrac{ \ \ \ \dfrac{1}{\sqrt{1 -x^2} \ \ \ } }{\arcsen x} + \dfrac{ \dfrac{1}{x} }{\sqrt{ 1 - \left ( \ln x \right )^2} } = \dfrac{1}{\sqrt{ 1 -x^2 } \cdot \arcsen x} + \dfrac{ 1 }{ x \cdot \sqrt{1 - \left ( \ln x \right )^2} } $

Este ejercicio es un ejemplo de derivación usando la regla de la cadena. En el primer paso derivamos el primer logaritmo

$ j'(x) = \dfrac{ \left ( \ln \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right ) \right )' }{ \ln \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right ) } = $

Ahora derivamos ek numerador y volvemos a aplicar la regla de la cadena por $2^{\underline{a}}$ vez

$ = \dfrac{ 1 }{ \ln \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right ) } \cdot \dfrac{ \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right )' }{ \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) } = $

Aplicamos las propiedades del logaritmo y volvemos a aplicar la regla de la cadena por $3^{\underline{a}}$ vez

$ = \dfrac{ 1 }{ \ln \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right ) } \cdot \dfrac{ \left( \ln \left( 1 - x \right ) - \ln \left( 1 + x \right ) \right )' }{ \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) } = $

Hacemos cuentas y dejamos la expresión de la derivada lo más sencilla posible

$ = \dfrac{ 1 }{ \ln \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right ) \cdot \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) } \cdot \left( \dfrac{ -1}{ 1 - x } - \dfrac{1}{ 1 + x } \right ) = \dfrac{ 1 }{ \ln \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right ) \cdot \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) } \cdot \left( \dfrac{ - 1 - x - 1 + x }{ 1 - x^2 } \right ) = $

$ = \dfrac{ 1 }{ \ln \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right ) \cdot \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) } \cdot \left( \dfrac{ - 2 }{ 1 - x^2 } \right ) = \dfrac{ 1 }{ \ln \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right ) \cdot \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) } \cdot \left( \dfrac{ 2 }{ x^2 - 1 } \right ) = $

$ = \dfrac{ 2 }{ \ln \left( \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \right ) \cdot \ln \left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) \cdot \left( x^2 - 1 \right ) } $

Cuando vamos a derivar un logaritmo que NO es neperiano, tenemos que hacer un cambio de base al número $e$ y la función quedará así

$ k(x) = 5x \log_{5}\left ( x^4 \right ) = 5x \dfrac{ \ln \left ( x^4 \right ) }{ \ln 5 } = \dfrac{20}{ \ln 5 } \cdot x \cdot \ln x $

Ahora derivamos una constante $\dfrac{20}{ \ln 5 }$ por el producto de dos funciones

$ k'(x) = \dfrac{20}{ \ln 5 } \cdot \left ( \ln x + x \cdot \dfrac{ 1 }{ x } \right ) = \dfrac{20}{ \ln 5 } \cdot \left ( \ln x + 1 \right ) $

Ahora vamos a hacer unos ejercicios de derivación logarítmica o la derivación de la función potencial-exponencial. Para ello tenemos dos opciones:

$1^{\underline{a}}$ opción: Aprendernos esta fórmula ( lo que no es aconsejable para la salud )

Derivada de la función potencial-exponencial:

Si $\displaystyle f(x) = b(x)^{a(x)} \Rightarrow f'(x) = b(x)^{a(x)} \cdot a'(x)\cdot \ln b(x) + b(x)^{(a(x) - 1)} \cdot a(x) \cdot b'(x) $

$2^{\underline{a}}$ opción:

Hacer el siguiente procedimiento:

$1^{\underline{o}}$ Tomar logaritmos neperianos en ambos lados de la función

$2^{\underline{o}}$ Aplicar las propiedades de los logaritmos

$3^{\underline{o}}$ Derivar en ambos lados de la igualdad

$4^{\underline{o}}$ Despejar la derivada de la función.

Veamos unos ejemplos:

$1^{\underline{o}}$ Tomar logaritmos neperianos en ambos lados de la función

$ \ln l(x) = \ln (x^2 + 3x)^{x^3 + 5x^2} $

$2^{\underline{o}}$ Aplicar las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es el exponente por el logaritmo de la base

$\ln l(x) = (x^3 + 5x^2) \cdot \ln (x^2 + 3x) $

$3^{\underline{o}}$ Derivar en ambos lados de la igualdad

$ \dfrac{l'(x)}{ l(x) } = (3x^2 + 10x) \cdot \ln (x^2 + 3x) + (x^3 + 5x^2) \cdot \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x} $

$4^{\underline{o}}$ Despejar la derivada de la función.

$ l'(x) = l(x) \cdot \left [ (3x^2 + 10x) \cdot \ln (x^2 + 3x) + (x^3 + 5x^2) \cdot \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x} \right ] $

sustituimos $l(x)$ por su valor y tenemos

$ l'(x) = (x^2 + 3x)^{x^3 + 5x^2} \cdot \left [ (3x^2 + 10x) \cdot \ln (x^2 + 3x) + (x^3 + 5x^2) \cdot \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x} \right ] $

$1^{\underline{o}}$ Tomar logaritmos neperianos en ambos lados de la función

$ \ln m(x) = \ln ( \arctg x )^{ \ln x } $

$2^{\underline{o}}$ Aplicar las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es el exponente por el logaritmo de la base

$\ln m(x) = \ln x \cdot \ln (\arctg x) $

$3^{\underline{o}}$ Derivar en ambos lados de la igualdad

$ \dfrac{m'(x)}{ m(x) } = \dfrac{1}{x} \cdot \ln (\arctg x) + \ln x \cdot \dfrac{ \dfrac{1}{1 + x^2} }{ \arctg x } $

$ \dfrac{m'(x)}{ m(x) } = \dfrac{\ln (\arctg x)}{x} + \dfrac{ \ln x }{ (1 + x^2) \cdot \arctg x } $

$4^{\underline{o}}$ Despejar la derivada de la función.

$ m'(x) = m(x) \cdot \left [ \dfrac{\ln (\arctg x)}{x} + \dfrac{ \ln x }{ (1 + x^2) \cdot \arctg x } \right ] $

sustituimos $m(x)$ por su valor y tenemos

$ m'(x) = ( \arctg x )^{ \ln x } \cdot \left [ \dfrac{\ln (\arctg x)}{x} + \dfrac{ \ln x }{ (1 + x^2) \cdot \arctg x } \right ] $

Vamos a seguir derivando

Aplicamos la regla de la cadena, es decir, derivamos el arco tangente y la multiplicamos por la derivada de la función sobre la que calculamos el arco tangente y tenemos que manipular algebraicamente la expresión que obtenemos

$ \require{cancel} n'(x) = \dfrac{1}{1 + \left( \dfrac{x + 3}{1 - 3 x} \right )^{2}} \cdot \left [ \dfrac{x + 3}{1 - 3 x } \right ]^{\prime} = $

$ = \dfrac{(1 - 3 x)^2 }{(1 - 3 x)^{2} + (x + 3)^{2}} \cdot \dfrac{[x + 3]^{\prime}(1 - 3 x) -(x + 3)[1 - 3 x]^{\prime}}{(1 - 3 x)^2 } = $

$ = \dfrac{ \cancel{(1 - 3 x)^2} }{(1 - 3 x)^{2} + (x + 3)^{2}} \cdot \dfrac{(1 - 3 x) - (x + 3) \cdot ( - 3 ) }{ \cancel{(1 - 3 x)^2} } = \dfrac{ 1 - 3x + 3x + 3^2 }{(1 - 3 x)^{2} + (x + 3)^{2}} = $

$ = \dfrac{1 + 3^2}{1 - 6 x + 3^2 x^2 + x^2 + 6x + 3^2 } = \dfrac{1 + 3^2 }{1 + 3^2 x^2 + x^2 +3^2 } = \dfrac{1 + 3^2 }{ 1 + 3^2 + (1 + 3^2) \cdot x^2 } = $

$ = \dfrac{1 + 3^2}{\left ( 1 + x^2 \right ) \left(1 + 3^2 \right ) } = \dfrac{1}{1 + x^2 } $

Aplicamos la regla de la cadena, es decir, derivamos el arco tangente y la multiplicamos por la derivada de la función sobre la que calculamos el arco tangente y tenemos que manipular algebraicamente la expresión que obtenemos

Hay que tratar $a$ como una constante $ \require{cancel} ñ'(x) = \dfrac{1}{1 + \left( \dfrac{x + a}{1 - a x} \right )^{2}} \cdot \left [ \dfrac{x + a}{1 - a x } \right ]^{\prime} = $

$ = \dfrac{(1 - a x)^2 }{(1 - a x)^{2} + (x + a)^{2}} \cdot \dfrac{[x + a]^{\prime}(1 - a x) -(x + a)[1 - a x]^{\prime}}{(1 - a x)^2 } = $

$ = \dfrac{ \cancel{(1 - a x)^2} }{(1 - a x)^{2} + (x + a)^{2}} \cdot \dfrac{(1 - a x) - (x + a) \cdot ( - a ) }{ \cancel{(1 - a x)^2} } = \dfrac{ 1 - ax + ax + a^2 }{(1 - a x)^{2} + (x + a)^{2}} = $

$ = \dfrac{1 + a^2}{1 - 2 a x + a^2 x^2 + x^2 + 2 a x + a^2 } = \dfrac{1 + a^2 }{1 + a^2 x^2 + x^2 + a^2 } = \dfrac{1 + a^2 }{ 1 + a^2 + (1 + a^2) \cdot x^2 } = $

$ = \dfrac{1 + a^2}{\left ( 1 + x^2 \right ) \left(1 + a^2 \right ) } = \dfrac{1}{1 + x^2 } $

$ o(x) = \sqrt{\ 2x + 1\ } \cdot \tg \sqrt{\ 2x + 1\ } + \ln( \cos \sqrt{\ 2x + 1\ } ) $

La derivada de la suma es la suma de las derivadas:

$ y' = \left (\sqrt{\ 2x + 1\ } \cdot \tg \sqrt{\ 2x + 1\ } \right )' + (\ln( \cos \sqrt{\ 2x + 1\ } ) )' = $

La primera es la derivada de un producto y la $\odn{2}{a}$ es la derivada de un logaritmo de un coseno, cuidado al aplicar la regla de la cadena:

$ = \left (\sqrt{\ 2x + 1\ } \right)' \cdot \tg \sqrt{\ 2x + 1\ } + \sqrt{\ 2x + 1\ } \cdot \left ( \tg \sqrt{\ 2x + 1\ } \right )' + \left (\ln( \cos \sqrt{\ 2x + 1\ } ) \right )' = $

$ = \dfrac{2}{\ 2 \cdot \sqrt{\ 2x + 1\ }\ } \tg \sqrt{\ 2x + 1\ } + \sqrt{\ 2x + 1\ } \left (1 + \tg^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } \right ) \dfrac{ 2 } {\ 2\cdot \sqrt{\ 2x + 1\ } } + \dfrac{\ - \sen \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{ \cos \sqrt{\ 2x + 1\ } } \left ( \sqrt{\ 2x + 1\ } \right )' = $

$ = \dfrac{2}{\ 2 \cdot \sqrt{\ 2x + 1\ }\ } \tg \sqrt{\ 2x + 1\ } + \sqrt{\ 2x + 1\ } \left (1 + \tg^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } \right ) \dfrac{ 2 } {\ 2\cdot \sqrt{\ 2x + 1\ } } + \dfrac{\ - \sen \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{ \cos \sqrt{\ 2x + 1\ } } \dfrac{2}{\ 2 \cdot \sqrt{\ 2x + 1\ }\ } = $

$ = \dfrac{ \cancelto{1}{2} }{\ \cancel{2} \cdot \sqrt{\ 2x + 1\ }\ } \tg \sqrt{\ 2x + 1\ } + \left (1 + \tg^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } \right ) \dfrac{ \cancel{2 \cdot \sqrt{\ 2x + 1\ } } } {\ \cancel{2\cdot \sqrt{\ 2x + 1\ } } } - \dfrac{\ \cancelto{1}{2} \tg \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{\ \cancel{2} \sqrt{\ 2x + 1\ }\ } = $

$ = \dfrac{\ \tg \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{\ \sqrt{\ 2x + 1\ }\ } + 1 + \tg^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } - \dfrac{\ \tg \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{\ \sqrt{\ 2x + 1\ }\ } = $

$ = \cancel{ \dfrac{\ \tg \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{\ \sqrt{\ 2x + 1\ }\ } } + 1 + \tg^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } \cancel{ - \dfrac{\ \tg \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{\ \sqrt{\ 2x + 1\ }\ } } = $

$= 1 + \tg^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } = \dfrac{\ \cos^2 \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{ \cos^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } } + \dfrac{\ \sen^2 \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{ \cos^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } } = \dfrac{\ \cos^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } + \sen^2 \sqrt{\ 2x + 1\ }\ }{ \cos^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } } = $

$ = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } } = \sec^2 \sqrt{\ 2x + 1\ } $

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Identidades trigonométricas II - Ejercicios con soluciones

Aguí tienes otra entrada de ejercicios de identidades trigonométricas por si los ejercicios de esta entrada te han parecido difíciles.

Sustituimos $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha$

$ = \dfrac{1 - \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha}{\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha } = $

Sustituimos $1 - \cos^2 \alpha = \sen^2 \alpha$ y en el denominador los $\sen^2 \alpha$ se cancelan; $\tg \alpha = \dfrac{\sen \alpha}{\cos \alpha}$

$ = \dfrac{2 \sen^2 \alpha}{ \cos^2 \alpha } = 2 \tg^2 \alpha $ ✓

Sustituimos $\sen 2\alpha = 2 \cdot \sen \alpha \cdot \cos \alpha $ y $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha$

$ = 2 \cdot \sen \alpha \cdot \cos^2 \alpha - \sen \alpha \cdot \cos^2 \alpha + \sen^3 \alpha = $

agrupamos los términos semejantes y nos queda

$ = \sen \alpha \cdot \cos^2 \alpha + \sen^3 \alpha = $

sacamos factor común a $\sen \alpha $ y nos queda

$ = \sen \alpha \cdot \left ( \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha \right ) = $

aplicamos la relación fundamental de la trigonometría $ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = 1$

$ = \sen \alpha $ ✓

Sustituimos $\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sen \alpha \cdot \sen \beta$ y $ \sen(\alpha - \beta) = \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta$

$ = \cos \alpha \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sen \alpha \cdot \sen \beta) + \sen \alpha \cdot ( \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta ) = $

desarrollamos y nos queda

$ = \cos^2 \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sen \alpha \cdot \sen \beta + \sen^2 \alpha \cdot \cos \beta - \sen \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \sen \beta = $

se cancelan los términos $\cos \alpha \cdot \sen \alpha \cdot \sen \beta$ y sacamos factor común a $\cos \beta$ y tenemos

$ = \cos \beta \cdot \left ( \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha \right ) = $

aplicamos la relación fundamental de la trigonometría $ \cos^2 \alpha + \sen^2 \alpha = 1$

$ = \cos \beta $ ✓

Desarrollamos $\cos \left ( \dfrac{\pi}{4} - \alpha \right ) = \cos \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) \cdot \cos \alpha + \sen \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) \cdot \sen \alpha$

$ = \sqrt{2} \cdot \left [ \cos \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) \cdot \cos \alpha + \sen \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) \cdot \sen \alpha \right ] = $

sabemos que $ \cos \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) = \sen \left ( \dfrac{\pi}{4} \right ) = \dfrac{ \sqrt{2} }{2}$

$ = \sqrt{2} \cdot \left [ \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \cos \alpha + \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \sen \alpha \right ] = $

hacemos cuentas y

$ = \sqrt{2} \cdot \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \cos \alpha + \sqrt{2} \cdot \dfrac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \sen \alpha = $

simplificamos y nos queda

$ = \sen \alpha + \cos \alpha $ ✓

sustituimos la $\sec A = \dfrac{1}{ \cos A}$ y la $\tg A = \dfrac{\sen A}{\cos A} $

$ = \dfrac{1}{ \cos^2 A} - \dfrac{\sen^2 A}{\cos^2 A} = \dfrac{1 - \sen^2 A}{\cos^2 A} $

sabemos que $ 1 - \sen^2 A = \cos^2 A$ luego

$ = \dfrac{\cos^2 A}{\cos^2 A} = 1 $ ✓

Sustituimos $\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sen \alpha \cdot \sen \beta$ y $ \sen(\alpha - \beta) = \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta$

y $\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sen \alpha \cdot \sen \beta$ y $ \sen(\alpha + \beta) = \sen \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sen \beta$

$ = \dfrac{ \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta - (\sen \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sen \beta) }{ \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sen \alpha \cdot \sen \beta - (\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sen \alpha \cdot \sen \beta) } = $

quitamos paréntesis y operamos

$ = \dfrac{ \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta - \sen \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sen \beta }{ \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sen \alpha \cdot \sen \beta - \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sen \alpha \cdot \sen \beta } = $

Se cancelan en el numerador los términos $\sen \alpha \cdot \cos \beta$ y en el denominador $\cos \alpha \cdot \cos \beta$

$ = \dfrac{ -2 \cos \alpha \cdot \sen \beta }{ -2 \sen \alpha \cdot \sen \beta } = $

se simplifica en el numerador y denominador $ \sen \beta$ y el $-2$

$ = \dfrac{ \cos \alpha }{ \sen \alpha } = \cotg \alpha = \dfrac{1}{ \tg \alpha } $ ✓

Simplifica todo lo que puedas la siguiente expresión:

Sustituimos $\cos (2\alpha - \beta) = \cos 2\alpha \cdot \cos \beta + \sen 2\alpha \cdot \sen \beta$ y $ \sen(2\alpha - \beta) = \sen 2\alpha \cdot \cos \beta - \cos 2\alpha \cdot \sen \beta$

y $\cos (2\alpha + \beta) = \cos 2\alpha \cdot \cos \beta - \sen 2\alpha \cdot \sen \beta$ y $ \sen(2\alpha + \beta) = \sen 2\alpha \cdot \cos \beta + \cos 2\alpha \cdot \sen \beta$

$ = \dfrac{ \cos 2\alpha \cdot \cos \beta + \sen 2\alpha \cdot \sen \beta - (\cos 2\alpha \cdot \cos \beta - \sen 2\alpha \cdot \sen \beta) }{ \sen 2\alpha \cdot \cos \beta - \cos 2\alpha \cdot \sen \beta + (\sen 2\alpha \cdot \cos \beta + \cos 2\alpha \cdot \sen \beta) } = $

quitamos paréntesis y operamos

$ = \dfrac{ \cos 2\alpha \cdot \cos \beta + \sen 2\alpha \cdot \sen \beta - \cos 2\alpha \cdot \cos \beta + \sen 2\alpha \cdot \sen \beta }{ \sen 2\alpha \cdot \cos \beta - \cos 2\alpha \cdot \sen \beta + \sen 2\alpha \cdot \cos \beta + \cos 2\alpha \cdot \sen \beta } = $

Se cancelan en el numerador los términos $\cos 2\alpha \cdot \cos \beta$ y en el denominador $\cos 2\alpha \cdot \sen \beta$

$ = \dfrac{ 2 \sen 2\alpha \cdot \sen \beta }{ 2 \sen 2\alpha \cdot \cos \beta } = $

se simplifica en el numerador y denominador $ \sen 2\alpha$ y el $2$

$ = \dfrac{ \sen \beta }{ \cos \beta } = \tg \beta $ ✓

Empezamos por $ \dfrac{\ \ 1 + \tg \alpha \ \ }{\sec \alpha} $

Sustituimos $\sec \alpha = \dfrac{1}{\cos \alpha} $ y $\tg \alpha = \dfrac{\ \ \sen \alpha \ \ }{\cos \alpha} $

$ = \dfrac{ \ \ 1 + \dfrac{ \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \dfrac{1}{ \cos \alpha} } = $

operamos en el numerador

$ = \dfrac{ \ \ \dfrac{ \cos \alpha + \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \dfrac{1}{ \cos \alpha} } = $

Se cancelan en el numerador y en el denominador el $\dfrac{ 1 }{ \ \ \cos \alpha \ \ } $ y nos queda

$ = \cos \alpha + \sen \alpha $ ✓

Empezamos por $ \dfrac{\ \ \cos \alpha + \tg \alpha \ \ }{\cos \alpha \cdot \tg \alpha} $

Sustituimos $\tg \alpha = \dfrac{\ \ \sen \alpha \ \ }{\cos \alpha} $

$ = \dfrac{ \ \ \cos \alpha + \dfrac{ \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \cos \alpha \cdot \dfrac{ \sen \alpha}{ \cos \alpha} } = $

operamos en el numerador y en el denominador

$ = \dfrac{ \ \ \dfrac{\cos^2 \alpha + \sen \alpha}{ \cos \alpha} \ \ }{ \cos \alpha \cdot \dfrac{ \sen \alpha}{ \cos \alpha} } = $

Se cancelan en el numerador y en el denominador el término $\dfrac{ 1 }{ \ \ \cos \alpha \ \ } $ y nos queda

$ = \dfrac{ \ \ \cos^2 \alpha + \sen \alpha \ \ }{ \cos \alpha \cdot \sen \alpha } = $

separamos en dos fracciones y nos queda

$ = \dfrac{ \ \ \cos^2 \alpha \ \ }{ \cos \alpha \cdot \sen \alpha } + \dfrac{ \ \ \sen \alpha \ \ }{ \cos \alpha \cdot \sen \alpha } = $

simplificamos en la $1^{\underline{a}}$ fraccción $\cos \alpha$ y en la $2^{\underline{a}}$ el $\sen \alpha$

$ = \dfrac{ \ \ \cos \alpha \ \ }{ \sen \alpha } + \dfrac{ 1 }{ \ \ \cos \alpha \ \ } = \cotg \alpha + \sec \alpha $ ✓

Empezamos por $ \dfrac{1 - \sen^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} $

factorizamos $1 - \sen^4 \alpha = (1 - \sen^2 \alpha) \cdot ( 1 + \sen^2 \alpha ) = $ sustituimos $ 1 - \sen^2 \alpha = \cos^2 \alpha $ y qnos queda $1 - \sen^4 \alpha = \cos^2 \alpha \cdot ( 1 + \sen^2 \alpha )$ sustituimos

$ = \dfrac{ \cos^2 \alpha \cdot ( 1 + \sen^2 \alpha )}{\cos^2 \alpha} = $

simplificamos $\cos^2 \alpha $ en el numerador y en el denominador y nos queda

$ = 1 + \sen^2 \alpha = $

sustituimos $ \sen^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $ y tenemos

$ = 1 + 1 - \cos^2 \alpha = 2 - \cos^2 \alpha $ ✓

Empezamos por $ \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha \ \ }{\tg 2\alpha} $

$$ \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha \ \ }{\tg 2\alpha} = \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha \ \ }{ \dfrac{ \sen 2 \alpha }{ \cos 2 \alpha} } = \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha \ \ }{ \dfrac{ 2 \sen \alpha \cos \alpha }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha} } = \dfrac{\ \ 2 \cdot \sen \alpha \ \ }{ \ \ \dfrac{ 2 \sen \alpha \cos \alpha \ \ }{ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha} } = \dfrac{ \ \ 2 \sen \alpha \left ( \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha \right ) \ \ }{ 2 \sen \alpha \cos \alpha } = $$

$$ = \dfrac{ \ \ \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha \ \ }{ \cos \alpha } = \cos \alpha - \dfrac{\ \ \sen^2 \alpha \ \ }{\cos \alpha} ✓ $$

Empezamos por $ \dfrac{ \tg (2 \alpha) }{1 + \sec (2 \alpha) } $

$$ \dfrac{ \tg (2 \alpha) }{1 + \sec (2 \alpha) } = \dfrac{ \dfrac{ \ \ \sen 2\alpha \ \ }{ \cos 2\alpha } }{1 + \dfrac{ \ \ 1 \ \ }{ \cos 2\alpha } } = \dfrac{ \dfrac{ \ \ \sen 2\alpha \ \ }{ \cos 2\alpha } }{\dfrac{ \ \ \cos 2\alpha + 1 \ \ }{ \cos 2\alpha } } = \dfrac{ \ \ \sen 2\alpha \ \ }{ \ \ \cos 2\alpha + 1 \ \ } = \dfrac{ \ \ 2 \sen \alpha \cos \alpha \ \ }{1 + \cos^2 \alpha - \sen^2 \alpha} = \dfrac{ \ \ 2 \sen \alpha \cos \alpha \ \ }{ 2 \cos^2 \alpha } = $$

$$ = \dfrac{ \ \ \sen \alpha \ \ }{ \cos \alpha } = \tg \alpha ✓ $$

Empezamos por transformar sumas y restas en productos, $\cos 5 \theta + \cos \theta = 2 \cdot \cos 3\theta \cdot \cos 2\theta $ y

en el denominador $ \sen 5 \theta - \sen \theta = 2 \cdot \cos 3\theta \cdot \sen 2\theta $ sustituimos

$ \dfrac{ \cos 2 \theta + \cos 5 \theta + \cos \theta }{\sen 2 \theta + \sen 5 \theta - \sen \theta } = \dfrac{ \cos 2 \theta + 2 \cdot \cos 3\theta \cdot \cos 2\theta }{\sen 2 \theta + 2 \cdot \cos 3\theta \cdot \sen 2\theta } $

sacamos factor común en el numerador a $\cos 2 \theta$ y en el denominador a $\cos 2 \theta$ nos queda

$ = \dfrac{ \cos 2 \theta \cdot ( 1 + 2 \cdot \cos 3\theta ) }{\sen 2 \theta \cdot (1 + 2 \cdot \cos 3\theta ) } $

simplificamos el factor $ 1 + 2 \cdot \cos 3\theta $ y tenemos

$ = \dfrac{ \ \ \cos 2 \theta \ \ }{ \sen 2 \theta } = \cotg 2\theta $ ✓

Aquí tienes el enlace a otra página con más ejercicios de identidades trigonométricas (III).

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com