Autor del blog  Raαε  IRa´πz  Gaτςι´@R2G


El aprendizaje ocurre cuando alquien quiere aprender, no cuando alguien quiere enseñar. «Roger Schanck»


Si quieres aprender enseña. «Cicerón»


Cuando uno enseña, dos aprenden. «Robert Heinlein»


Si la gente no cree que las matemáticas son sencillas, es sólo porque no se da cuenta de lo complicada que es la vida. «John Von Neumann»

«George Polya» dijo una vez: «Es mejor resolver un problema de 5 formas diferentes que resolver 5 problemas de la misma forma».

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El humor es importante.

Matemáticas, humor y +.

Hay que tomarse siempre las cosas con un poco de humor ... con mucho humor y más humor ¿Quién no ha pasado por estos estado...

lunes, 21 de junio de 2021

Ecuaciones irracionales (con la incógnita en el radicando) y ejemplos.

  Una ecuación irracional es una ecuación donde la incógnita se encuentra en el radicando. Veamos algunos ejemplos: 

  1. 23x=x
  2. x+1x1=1 
  3. x+3x1=2(x+1) 
¿Cómo se resuelven este tipo de ecuaciones? Vamos a verlo, pero antes tenemos que tener en cuenta una serie de cosas. 

En Matemáticas las raíces cuadradas las intentamos eliminar de dos formas:
  • Racionalizando; 
  • Elevando al cuadrado.
Para resolver este tipo de ecuaciones elegiremos la 2a opción, es decir, elevaremos al cuadrado. Pero al usar esta opción, tenemos un pequeño inconveniente, estamos añadiendo soluciones. Veamos esto con un ejemplo muy sencillo: 

Tenemos la ecuación x=3, si elevamos al cuadrado, es decir, elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad tenemos que  x2=9 y las soluciones de esta ecuación son x=3 que ya la sabíamos y x=3 que no es solución, que ha aparecido por elevar al cuadrado. ¿Cuándo nos daremos cuenta de esto? Cuando comprobemos las soluciones de la ecuación original que estamos resolviendo. Así que siempre tenemos que comprobar las ecuaciones y siempre en la ecuación original, la que tenemos que resolver. 

Otra cosa a tener en cuenta, es que al elevar al cuadrado puede que tengamos una suma o una resta, es decir, tenemos que desarrollar el cuadrado de una suma o de una resta, cuidado, no dejarnos el doble producto, suele ser uno de los errores más comunes en este tipo de ejercicios: 
  • (a+b)2=a2+2ab+b2 
  • (ab)2=a22ab+b2 
También tenemos que tener en cuenta las propiedades de las potencias en general y sobre todo una en particular: 

(cd)n=cndn 
Es decir, la potencia de un producto de varios factores es el producto de las potencias de cada uno de los factores.

También conviene recordar como poner una raíz en forma de exponente fraccionario y recordar la siguiente propiedad: (ab) 1 2= ab = a  b =a 1 2b 1 2
(ab) 1 3= ab 3= a 3 b 3=a 1 3b 1 3

Repasadas algunas cosas vamos a resolver este tipo de ecuaciones. 

Veamos el 1er ejemplo: 23x=x 

Podemos reordenarla de forma que dejamos la raíz  «aislada»  (solamente la raíz) en lado de la igualdad: 
23x=x2+x=3x
Y ahora con la raíz aislada en una lado de la ecuación elevamos al cuadrado: 
2+x=3x(2+x)2=(3x)2
Desarrollamos los cuadrados en ambos lados de la igualdad: 
(2+x)2=(3x)222+22x+x2=9x 
Agrupando y pasándolo todo a un lado de la igualdad tenemos:
4+4x+x29x=0x25x+4=0
Como la suma de los coeficientes es cero 1 es raíz; la otra raíz la sacamos ya que el producto de las dos raíces es 4 y una de ellas es 1, la otra es 4. Vamos a comprobar las raíces en la ecuación inicial: 
  • x=1231=123=1 
  • x=4234=4232=426=4 
En este caso las dos soluciones son raíces de la ecuación inicial. 

Veamos con el 2o ejemplo, la ecuación x+1x1=1. En este caso no se puede aislar una raíz en cada uno de los lados de la ecuación. El consejo en este caso es tener una raíz en cada uno de los lados de la ecuación: 

x+1x1=1x+1=1+x1
y con una raíz en cada lado elevamos al cuadrado: 
(x+1)2=(1+x1)2
Desarrollamos cada uno de los cuadrados y tenemos: 
x+1=12+21x1+x1x+1=1+2x1+x1 
Agrupamos, simplificamos y dejamos la raíz asilada en lado de la ecuación como en el primer ejemplo: 
x+1=1+2x1+x11=2x1 
Ahora estamos igual que en el primer ejercicio, volvemos a elevar al cuadrado y: 
1=2x11=4(x1)1+4=4xx=54
Comprobemos la solución: 
x=5454+1541=9414=3212=22=1 

Vamos con el 3er ejemplo: x+3x1=2(x+1) 

Estamos en el mismo caso que en el anterior ejemplo, no podemos aislar una raíz en cada uno de los dos lados de la ecuación. Así que elevaremos al cuadrado y reordenaremos: 

x+3x1=2(x+1)x+3+x12x+3x1=2(x+1)
Agrupando tenemos: 
2x+22x+3x1=2x+22x+3x1=0x+3x1=0 
(x1)(x+3)=0(x1)(x+3)=0
Claramente los candidatos a soluciones son x=1 y x=3. Vamos a comprobarlos: 
x=33+331=2(3+1)04=4 ✗ no tiene sentido hablar de raíces negativas x=3 no es solución.

x=11+311=2(1+1)40=42=2x=1 es solución.

Veamos unos ejercicios resueltos:



Este ejercicio tiene solamente una raíz cuadrada, así que la podemos aislar fácilmente:

3x3=4x13


Elevamos al cuadrado y tenemos

3x3=(4x13)23x3=16x2104x+16916x2107x+172=0


Resolvemos la ecuación de 2o grado y tenemos que:

x=107±1072417216216=107±11.44911.00832=107±44132=107±2132=
=12832=4x1=48632=4316x2=4316.
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

x1=4343=44139=16133=1614

x2=4316343163=44316131294816=435248116=9494=94 ✗ que no es solución.






Este ejercicio tiene dos raíces, aislar una de ellas es fácil, la otra la pasamos al otro lado de la ecuación

2x+3x2=22x+3=2+x2


Elevamos al cuadrado y tenemos

(2x+3)=(2+x2)22x+3=4+4x2+x22x+3=x+2+4x2


Agrupamos y dejamos la raíz aislada en un lado de la ecuación

2x+3=x+2+4x2x+1=4x2

Volvemos a elevar al cuadrado, desarrollamos y agrupamos

(x+1)2=(4x2)2x2+2x+1=16(x2)x2+2x+1=16x32x214x+33=0

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

x=14±142413321=14±1961322=14±642=14±82=
=222=11x1=1162=3x2=3.
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

x1=11211+3112=2259=253=2

x2=323+332=291=231=2

En este caso las dos soluciones cumplen la ecuación.






Pasamos una raíz al otro lado de la igualdad, da igual la que pasemos pero es mejor pasar la que está restando:

x1+x7=2x3 Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad y desarrollamos:

(x1+x7)2=(2x3)2x1+x7+2(x1)(x7)=4(x3)

Reordenando y simplificando tenemos:

2(x1)(x7)=2(x2)(x1)(x7)=(x2)

Volvemos a elevar al cuadrado por segunda vez, desarrollamos y agrupamos

((x1)(x7))2=(x2)2x28x+7=x24x+44x=3x=34

Comprobamos la solución en la ecuación inicial:

x=34341+3472343=014+254294=0

Todas las raíces son negativas por lo tanto, no tiene soluciones reales.






Aislamos la raíz en un lado de la ecuación, elevamos al cuadrado, desarrollamos y agrupamos

x=30xx=(30x)2x=90060x+x2x261x+900=0 Ahora resolvemos una ecuación de 2 grado

x=61±6124190021=61±372136002=61±1212=61±112=
=722=36x1=36502=25x2=25.
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

x=3636=30366=30366=6 ✗ luego no es solución

x=2525=30255=3025 luego sí es solución






Tenemos dos raíces, dejamos una en cada lado, vamos como están, elevamos al cuadrado, desarrollamos, agrupamos y simplificamos

x+1=x+9(x+1)2=(x+9)2x+2x+1=x+92x=8x=4 Volvemos a elevar al cuadrado y ya lo tenemos

x=16, vamos a comprobarlo 16+1=16+94+1=254+1=5 es solución.






Tal y como está elevamos al cuadrado, desarrollamos y agrupamos

(22x1)2=(6x5+2x9)24(2x1)=6x5+2x9+2(6x5)(2x9) 4(2x1)=8x14+2(6x5)(2x9)2(2x1)=4x7+(6x5)(2x9) 4x2=4x7+(6x5)(2x9)5=(6x5)(2x9) Volvemos a elevar al cuadrado, desarrollamos, agrupamos y simplificamos

25=(6x5)(2x9)25=12x254x10x+4512x264x+20=03x216x+5=0 Resolvemos la ecuación de segundo grado:

x=16±16243523=16±256606=16±1966=16±146=
=306=5x1=526=13x2=13.
Vamos a comprobar las soluciones, siempre en la ecuación inicial:

x1=52251=655+2592101=305+10929=25+123=5+1

x2=1322131=2231=213 ✗ que no tiene sentido. Luego no es solución.






Tal y como está hacemos el producto en cruz:

2 x 2 x =(5+ x )(5 x )4x=25x5x=25x=5
Vamos a comprobar la solución x=5, siempre en la ecuación inicial:

 2 5  5 5  = 5+ 5  2 5 45=25520=20






Veamos otro tipo de ejercicios pero también con radicales:



Elevemos al cuadrado los dos lados de la ecuación, desarrollamos y simplificamos

(1x)2=(1x47x2)212x+x2=1x47x22x+x2=x47x2

Nos queda una raíz y por tanto volvemos a elevar al cuadrado los dos miembros de la igualdad, desarrollamos y simplificamos

(2x+x2)2=(x47x2)24x24x3+x4=x2(47x2)4x24x3+x4=4x27x4

8x44x3=04x4(2x1)=0

Las soluciones de la ecuación son x=0 y x=12. Vamos a comprobarlo

x=010=1047021=1

x=12

Por un lado tenemos que 112=12;

Por otro lado 11247(12)2=112474=1121674=11294=11232=

=134=14=1212=12

Las dos soluciones de la ecuación transformada son solución de la ecuación original.





Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

martes, 8 de junio de 2021

Identidades trigonométricas I - Ejercicios con soluciones

Colección de 49 identidades trigonométricas y ejercicios de simplificación.

Para resolver identidades trigonométricas utilizaremos bastantes cosas. Identidades notables, amplificar y simplificar fracciones, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones. La Relación Fundamental de la Trigonometría (RFT)  cos2a+sen2a=1  y las siguientes fórmulas: tga=  sena  cosacotga=cosa  sena  =1  tga   seca=1  cosa  coseca=1  sena   tgacotga=1secacosa=1cosecasena=1 De la Relación Fundamental de la Trigonometría se deducen dos fórmulas más:

Si dividimos la RFT por cos2a tendremos: cos2a+sen2a=1  cos2a  cos2a+  sen2a  cos2a=1  cos2a  1+tg2a=1  cos2a  1+tg2a=sec2a Si dividimos la RFT por sen2a tendremos: cos2a+sen2a=1  cos2a  sen2a+  sen2a  sen2a=1  sen2a  cotg2a+1=1  sen2a  cotg2a+1=cosec2a Un ejercicio que podemos hacer es poner cada razón trigonométrica en función de las demás, como vemos en el ejemplo, En la primera fila vemos que podemos poner el seno de θ, en función del coseno, de la tangente, de la cosecante, de la secante y de la cotangente. ¿Te animas a llenar la tabla? (Si haces click sobre la imagen la veras en tamaño original).






Vamos a desarrollar este ejercicio desarrollando por la izquierda sustituyendo tgα y cotgα por su definición de senα y cosα:

tgα+1  tgα  =senα  cosα  + cosα  senα  =sen2α  senαcosα  + cos2α  cosαsenα  =  sen2α+cos2α    cosαsenα  =1  cosαsenα   ✓






Vamos a desarrollar este ejercicio desarrollando por la izquierda, sustituyendo en el numerador 1 por la Relación Fundamental de la Trigonometría:

1  tg2α  =cos2α+sen2α  tg2α  =cos2α  tg2α  +sen2α  sen2α  cos2α    =(cosα tgα )2+sen2α  sen2α  cos2α    =
=(cosα tgα )2+1  1  cos2α    =(cosα tgα )2+cos2α ✓






Vamos a desarrollar este ejercicio desarrollando por la izquierda, sustituyendo tgα por su definición de senα y cosα:

1  tgα  1  cosα  =1  senα  cosα    1  cosα  =1  senα  cosα    1  cosα  =1  senα   ✓






Vamos a desarrollar este ejercicio desarrollando por la izquierda:

1  cos2α  +1  sen2α  =sen2α  cos2αsen2α  +cos2α  cos2αsen2α  =sen2α+cos2α  cos2αsen2α  =1  cos2αsen2α   ✓






Vamos a desarrollar este ejercicio desarrollando por la derecha sacando factor común a cos2α:

cos4α+cos2αsen2α=cos2α(cos2α+sen2α)=cos2α ✓

Otra forma, esta ve empezando por la izquierda: cos2α=cos2α1=cos2α(cos2α+sen2α)=cos4+cos2αsen2α ✓





Vamos a desarrollar este ejercicio desarrollando por la izquierda:

(1cosα)(1+cosα)  (senαcosα)2  =1cos2α  (senαcosα)2  =sen2α  sen2αcos2α  =sen2α  sen2αcos2α  =1  cos2α  =sec2α ✓






Vamos a desarrollar este ejercicio desarrollando por la izquierda, sustituyendo tgα por su definición de senα y cosα:

  senαcosα    tgα  =  senαcosα    senα  cosα    =  senαcos2α    senα  =  senαcos2α    senα  =cos2α=1sen2α ✓






Vamos a desarrollar este ejercicio desarrollando por la izquierda, empezamos por el paréntesis:

1+tg2α=1+  sen2α    cos2α  =  cos2α    cos2α  +  sen2α    cos2α  =  cos2α+sen2α    cos2α  =1  cos2α   Seguimos con la identidad, con la parte izquierda y nos queda: (1+tg2α)cos2α=1  cos2α  cos2α=1 ✓






Vamos a desarrollar este ejercicio desarrollando por la izquierda, sustituyendo tgα por su definición de senα y cosα y aplicando la Relación Fundamental de la Trigonometría:

tg2α(1sen2α)=  sen2α    cos2α  cos2α=  sen2α    cos2α  cos2α=sen2α ✓






Vamos a desarrollar este ejercicio desarrollando por la izquierda, aplicando la RFT, es decir que cos2α+1=sen2α:

  sen2αcos2α+1  2=  sen2α+sen2α  2=  2sen2α  2=sen2α ✓






Vamos a desarrollar este ejercicio haciendo el producto en cruz, ya que podremos usar la identidad notable «suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados»:

cotgαcosecα tgαsecα = tgα+secα cotgα+cosecα(cotgαcosecα)(cotgα+cosecα)=(tgαsecα)(tgα+secα) cotg2αcosec2α=tg2αsec2α Ahora sustituimos las expresiones en función de cosα y senα: cotg2αcosec2α=tg2αsec2α cos2α sen2α 1 sen2α=sen2α cos2α  1 cos2α cos2α1 sen2α=sen2α1 cos2α  De la Relación Fundamental de la Trigonometría tenemos que cos2α+sen2α=1cos2α1=sen2α y simétricamente tenemos que sen2α1=cos2α, sustituimos en la expresión y nos queda:  sen2α sen2α=cos2α cos2α 1=1 ✓






Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda sustituyendo secα y cosecα por cosα y senα respectivamente:

1+secα cosec2α(1+cosα) =1+ 1 cosα   1 sen2α (1+cosα) =1+sen2α cosα(1+cosα) =1+1cos2α cosα(1+cosα) = =1+(1cosα)(1+cosα) cosα(1+cosα) =1+(1cosα)(1+cosα) cosα(1+cosα) =1+  1cosα   cosα = =1+1 cosα 1=1 cosα =secα ✓






Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda. Vamos a por el numerador y las identidades notables:

cos4αsen4α=(cos2α)2(sen2α)2=(cos2α+sen2α)(cos2αsen2α)= =cos2αsen2α=(cosα+senα)(cosαsenα) Vamos a ver que nos queda: cos4αsen4α senαcosα =(cosα+senα)(cosαsenα) cosαsenα =cosαsenαcosα cosα+senα  senα=(1tgα)(1+cotgα) ✓






Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda. Vamos a por el numerador:

(1+cosα)2+(1cosα)2=1+2cosα+cos2α+12cosα+cos2α=2+2cos2α=2(1+cos2α) Ahora a por el denominador: sec2αcos2α=1 cos2α cos2α=1 cos2α cos4α cos2α =1cos4α cos2α =(1cos2α)(1+cos2α) cos2α  Vamos a ver que nos queda juntándolo todo: (1+cosα)2+(1cosα)2 sec2αcos2α =2(1+cos2α)(1cos2α)(1+cos2α) cos2α =2(1+cos2α) (1cos2α)(1+cos2α)  cos2α =21cos2α cos2α = =2cos2α 1cos2α =2cos2α sen2α =2cotg2α ✓






Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, pero antes pondremos tgα y cotgα en función del senα y del cosα. Vamos a por el denominador:

1+tg2α=1+ sen2α cos2α= cos2α cos2α+ sen2α cos2α=sen2α+cos2α cos2α =1 cos2α  Vamos a ver que nos queda: cotgα 1+tg2α = cosα senα  1 cos2α  = cosα   senαcos2α  =cosα  tgαcosα  = cos2α  tgα  ✓






Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, pero antes pondremos tgα y cotgα en función del senα y del cosα:

tgα+cotgα= senα cosα+cosα senα = sen2α senαcosα+cos2α senαcosα =sen2α+cos2α senαcosα =1 senαcosα  Ahora elevamos al cuadrado: (tgα+cotgα)2=(1 senαcosα )2=1cos2αsen2α=sen2α+cos2α cos2αsen2α=sen2α cos2αsen2α+cos2α cos2αsen2α= =sen2α cos2αsen2α+cos2α cos2αsen2α=1 cos2α+1 sen2α =sec2α+cosec2α ✓






Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, empezando por el numerador:

senα+tgα=senα+ senα cosα= senαcosα cosα+ senα cosα=senαcosα+senα cosα = senα(cosα+1)  cosα  Ahora el denominador: cotgα+cosecα=cosα senα +1 senα = 1+cosα senα Juntamos todo y nos queda: senα+tgα cotgα+cosecα = senα(cosα+1)  cosα  1+cosα senα=tgα(cosα+1)  1+cosα senα=tgα(cosα+1)  1+cosα senα= tgα1 senα =senαtgα ✓






Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, empezando por el denominador:

1+cotg2α=1+cos2α sen2α =sen2α sen2α +cos2α sen2α =cos2α+sen2α sen2α =1 sen2α  Así nos queda: sec2α  1+cotg2α =   1 cos2α     1 sen2α  =sen2α cos2α =tg2α ✓






Vamos a desarrollar este ejercicio por la izquierda, empezando por el denominador:

1+cotg2α=1+cos2α sen2α =sen2α sen2α +cos2α sen2α =cos2α+sen2α sen2α =1 sen2α  Así nos queda: senα 1+cotg2α =senα 1 sen2α  =sen3α ✓






Sacamos factor común en el denominador a senα

1 sen3α+senαcos2α =1 senα(sen2α+cos2α) =1 senα =cosecα






Sabemos por la relación fundamental de la trigonometría que 1sen2α=cos2α

 1sen2α cosα= cos2α cosα=cosα






Desarrollamos la parte derecha de la igualdad, sustituimos 1 por cos2α+sen2α y en el denominador 1cos2α por sen2α y tenemos que

tgα1 1cos2α =tgα cos2α+sen2α sen2α=tgα(1 tg2α +1)=1 tgα +tgα






Desarrollamos la parte izquierda de la igualdad, empezamos con el denominador

1+cotg2α=1+ cos2α sen2α= sen2α sen2α+ cos2α sen2α= cos2α+sen2α sen2α= 1  sen2α 

Sustituimos en el denominador y nos queda

 senα  1+cotg2α =        senα          1  sen2α  =sen3α






Desarrollamos la parte izquierda de la igualdad, empezamos con el denominador

1+cotg2α=1+ cos2α sen2α= sen2α sen2α+ cos2α sen2α= cos2α+sen2α sen2α= 1  sen2α 

Sustituimos en el denominador y nos queda

 sec2α  1+cotg2α =         1  cos2α           1  sen2α  = sen2α  cos2α =tg2α






Desarrollamos la parte izquierda de la igualdad, sabemos por la relación fundamental de la trigonometría que 1=cos2α+sen2α y la tgα=senαcosα

cos2α+sen2α+tg2α=1+sen2αcos2α=cos2α+sen2αcos2α=1cos2α






Hacemos el producto en cruz y tenemos

(1senα)(1+senα)=cosα1sen2α=cos2α1=cos2α+sen2α






Empezamos por la derecha, sustituimos tgα=senαcosα y multiplicamos numerador y denominador por cos2α

senαcosαsen2αcos2α1=cos2αsenαcosαcos2α(sen2αcos2α1)

en el numerador simplificamos un cosα y en el denominador aplicamos la propiedad distributiva

=cosαsenαsen2αcos2α






Empezamos por la izquierda desarrollando ambas identidades notables

sen2α2cosαcosα+cos2α+sen2α+2cosαcosα+cos2α=

Se cancela el doble producto y aplicamos la relación fundamental de la trigonometría cos2α+sen2α=1

=sen2α+cos2α+sen2α+cos2α = 1 + 1 = 2 $ ✓






Desarrollamos por la izquierda y nos damos cuenta que el numerador es diferencia de cuadrados y si aplicamos la relación fundamental de la trigonometría cos2α+sen2α=1 tenemos

(sen2α)2(cos2α)2=(sen2α+cos2α)(sen2αcos2α)=1(sen2αcos2α)

sen4αcos4αsen2αcos2α=sen2αcos2αsen2αcos2α=1






Empezamos por   1+tgα  secα

Sustituimos secα=1cosα y tgα=  senα  cosα

=  1+senαcosα  1cosα=

operamos en el numerador

=  cosα+senαcosα  1cosα=

Se cancelan en el numerador y en el denominador el 1  cosα   y nos queda

=cosα+senα






Desarrollamos por la izquierda, sabemos que secα=1cosα, cosecα=1senα y cotgα=cosαsenα

Sustituimos tgα=  senα  cosα

sec2αcosec2αsec2α+cotg2αcotg2α1=1cos2α1sen2α1cos2α+cos2αsen2αcos2αsen2α1=

operamos en los dos denominadores y tenemos

=1cos2αcos2αsen2αsen2αcos2α+cos2αsen2αcos2αsen2αsen2α=

En la 1a fracción se simplifica el cos2α y en la 2a se simplifica el sen2α ambos dividen al numerador y denominador de cada fracción

=sen2αcos2αsen2α+cos2αcos2αsen2α=

sumamos ambas fracciones y aplicando la relación fundamental de la trigonometría nos queda

=sen2α+cos2αcos2αsen2α=1cos2αsen2α





Simplifica la siguiente expresión trigonométrica:


Vamos a sustituir sen2α por 1cos2α en el numrador

sen2α(1+cosα)1cosα=(1cos2α)(1+cosα)1cosα=

Vemos que 1cos2α es una identidad notable 1cos2α=(1+cosα)(1cosα) y simplificamos con el factor del denominador

(1+cosα)(1cosα)(1+cosα)1cosα=(1+cosα)2





Simplifica la siguiente expresión trigonométrica:


Sabemos que tgα=senαcosα sustituimos y tenemos

cosαtgα(1senα)=cosα(senαcosα)(1senα)=cos2αsenα(1senα)=

Sabemos que cos2α=1sen2α y esto es una identidad notable 1sen2α=(1senα)(1+senα) =(1senα)(1+senα)senα(1senα)=

simplificamos 1senα en el numerador y en el denominador

=1+senαsenα=1senα+senαsenα=cosecα+1






Empezamos desarrollando la parte izquierda de la igualdad sabemos que cotgα=cosαsenα

tgαcotgα2senα1+cotg2α=12senα1+cos2αsen2α=

operamos dentro de la raíz, aplicamos la relación fundamental de la trigonometría

=12senαsen2α+cos2αsen2α=12senα1sen2α=12sen2α=

aplicamos la relación fundamental de la trigonometría de nuevo 1=cos2α+sen2α

cos2α+sen2α2sen2α=cos2αsen2α=

esto es una identidad notable cos2α+sen2α=(cosα+senα)(cosαsenα) y además cosα=1secα y senα=1cosecα

=(cosα+senα)(cosαsenα)=(cosα+senα)(1secα1cosecα)






Empezamos por la parte izquierda de la identidad, sabemos que tgα=senαcosα y que secα=1cosα sustituimos

2senα+32tgα+3secα=2senα+32(senαcosα)+31cosα=

sumamos las dos fracciones del denominador que tienen el mismo denominador y el denominador de las mismas pasa al numerador multiplicando

=  2senα+3  2senα+3cosα=cosα(2senα+3)2senα+3=

simplificamos en el numerador y el denominador el factor 2senα+3 y tenemos

=cosα






Este ejercicio se resuelve sacando factor común:

senαcosαtgα1=cosα(tgα1)tgα1=cosα(tgα1)tgα1=cosα

Otra forma, sacando factor común senα: senαcosαtgα1=senα(1cotgα)tgα1= senα(1 1 tgα)tgα1= = senα( tgα1tgα)tgα1= senα(tgα1) tgα(tgα1) = senα(tgα1)  tgα(tgα1) = senα  tgα = senα   senα  cosα  = senαcosα  senα = = senαcosα  senα =cosα






Este ejercicio se resuelve sacando factor común:

tg2αsen2α=sen2α(1 cos2α 1)=sen2α(1cos2α cos2α )=sen2α(sen2α cos2α )=sen2αtg2α






Este ejercicio se resuelve sacando factor común:

1+cotgαsenα+cosα=1+cotgαsenα(1+cotgα)=1 senα =cosecα






Este ejercicio se resuelve fácilmente:

sec2α1=tg2αsec2α=1+tg2α=1+ sen2α cos2α= cos2α+sen2α cos2α=1cos2 α 






En este ejercicio haremos uso de la herramienta «sacar factor común», en este caso lo haremos con sen2α:

sen4α+cos2α+cos2αsen2α=sen2α(cos2α+sen2α)+cos2α=sen2α+cos2α=1






Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la derecha sustituyendo 1=cos2α+sen2α

1+2senαcosαcos2αsen2α=cos2α+sen2α+2senαcosαcos2αsen2α= Aplicamos identidades notables en el numerador, cuadrado de una suma; y en el denominador, suma por diferencia es diferencia de cuadrados: (cosα+senα)2(cosαsenα)(cosαsenα)= Simplificando (cosα+senα) nos queda =cosα+senαcosαsenα= Sacamos factor común cosα en el numerador y en el denominador y simplificando cosα nos queda: =cosα(1+tgα)cosα(1tgα)=1+tgα1tgα






Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda

cotgαcotg2α1cotgα=cotg2αcotg2α+1cotgα=1cotgα= =tgα=senαcosα=1cosα1senα=secαcosecα






Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda

sec2α+cosec2α=1cos2α+1sen2α=sen2αcos2αsen2α+cos2αcos2αsen2α=cos2α+cos2αcos2αsen2α=1cos2αsen2α= =1cos2α1sen2α=sec2αcosec2α






Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda

tgα+cotgα=senαcosα+cosαsenα=sen2αcosαsenα+cos2αcosαsenα=cos2α+sen2αcosαsenα=1cosαsenα= =1cosα1senα=secαcosecα






Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda, sacando factor común a cos2α

cos2α  senα  cosα  cos2α(1sen2αcos2α)  =cos2αtgα  cos2α(1tg2α)  =cos2αtgα  cos2α(1tg2α)  =tgα  1tg2α  






Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda, sustituyendo tgα y cotgα por su equivalente:

  cosαsenα+senαcosα  cosαsenαsenαcosα(1) Trabajamos con el numerador y nos queda: cosαsenα+senαcosα=cos2αcosαsenα+sen2αsenαcosα=cos2α+sen2αsenαcosα=1senαcosα Ahora con el denominador: cosαsenαsenαcosα=cos2αcosαsenαsen2αsenαcosα=cos2αsen2αsenαcosα Sustityuyendo en (1) nos queda: =1senαcosαcos2αsen2αsenαcosα=1senαcosαcos2αsen2αsenαcosα=1  cos2αsen2α  






Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda, sustituyendo tgα, cosecα y cotgα por su equivalente:

  senα+cotgα  tgα+cosecα=  senα+cosαsenα  senαcosα+1senα(2) Trabajamos con el numerador y nos queda: senα+cosαsenα=sen2αsenα+cosαsenα=sen2α+cosαsenα Ahora con el denominador: senαcosα+1senα=sen2αsenαcosα+cosαcosαsenα=sen2α+cosαcosαsenα Sustityuyendo en (2) nos queda: =sen2α+cosαsenαsen2α+cosαcosαsenα=sen2α+cosαsenαsen2α+cosαcosαsenα=1senα1cosαsenα= =1senα1cosαsenα=11cosα=cosα






Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la derecha, sustituyendo cosecα y cotgα por su equivalente:

cosecαcotgα=1  senα  cosαsenα=1cosαsenα= Ahora amplificamos la fracción por 1+cosα =(1cosα)(1+cosα)senα(1+cosα)=1cos2αsenα(1+cosα)=sen2αsenα(1+cosα)=sen2αsenα(1+cosα)= =senα1+cosα






Este ejercicio lo empezamos desarrollando por la izquierda, poniendo común denominador:

  2cosec2α  tgα1cosec2α+1=  2cosec2αcosec2α(tgα1)+tgα1tgα1=  2cosec2αcosec2αtgα+cosec2α+tgα1tgα1=  1cosec2αtgα+tgαtgα1 Volvemos a igualar cotgα y hacemos el producto en cruz:   1cosec2αtgα+tgαtgα1=cotgα1cosec2αtgα+tgα=(tgα1)cotgα 1cosec2αtgα+tgα=1cotgαcosec2αtgα+tgα=cotgα Desarrollando la expresión de la izquierda tenemos: cosec2αtgα+tgα=tgα(1cosec2α)=tgα(11sen2α)=tgα(sen2αsen2α1sen2α)=tgα(sen2α1sen2α)= =tgα(cos2αsen2α)=tgαcotg2α=(tgαcotgα)cotgα=(1)cotgα=cotgα





Aguí tienes otra entrada de ejercicios de identidades trigonométricas para profundizar en este tipo de ejercicios.


Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

lunes, 7 de junio de 2021

Algunas derivadas - Ejercicios con soluciones

Deriva las siguientes funciones

Es la derivada del producto de dos funciones:

a(x)=3(2x3)22(3x1)2+(2x3)32(3x1)3=

=6(2x3)2(3x1)2+6(2x3)3(3x1)=

Sacamos factor común 6(2x3)2(3x1)

=6(2x3)2(3x1)(3x1+2x3)=6(2x3)2(3x1)(5x4)






Es la derivada de un cociente de dos polinomios:

b(x)=3x2(x3+1)(x31)3x2(x3+1)2=

hacemos cuentas en el numerador

=3x5+3x23x5+3x2(x3+1)2=6x2(x3+1)2






Esta función también se puede poner de esta otra forma c(x)=2x418=2(x41)18
c(x)=218(x41)784x3=x3(x41)78






La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas

d(x)=2x1+x2+211+x2=2x+21+x2






La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas y además cada una de esas funciones es producto de dos funciones:

e(x)=3x2ex+x3ex+2xex+x2ex=

sabemos factor común a ex y agrupamos términos semjantes:

=ex(3x2+x3+2x+x2)=ex(x3+4x2+2x)






f(x)=cosx(1+cosx)senx(senx)(1+cosx)2=

quitamos paréntesis y operamos en el numerador

=cosx+cos2x+sen2x(1+cosx)2=

aplicamos la relación fundamental de la trigonometría cos2x+sen2x=1

=cosx+1(1+cosx)2=11+cosx






La derivada del logaritmo de un función es la derivada de lafunción dividido por la función

g(x)=1+2x2x21x+x21=

simplificamos 2 en el numerador y operamos en el numerador

=x21+xx21x+x21=

Simplificamos en el numerador y en el denominador x+x21

=1x21=

racionalizamos y nos queda

=x21x21






h(x)=2(x1x2)(12x21x2)

Simplificamos en el tercer término el 2, que está multiplicando y dividiendo en la fracción, cambiamos el signo y operamos

=2(x1x2)(1+x1x2)=

=2(x1x2)(1x2+x1x2)=

aplicamos suma por diferencia igual a diferencia de cuadrados

=2(x21+x21x2)=2(2x211x2)






La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas:

i(x)=   11x2   arcsenx+1x1(lnx)2=11x2arcsenx+1x1(lnx)2






Este ejercicio es un ejemplo de derivación usando la regla de la cadena. En el primer paso derivamos el primer logaritmo

j(x)=(ln(ln(1x1+x)))ln(ln(1x1+x))=

Ahora derivamos ek numerador y volvemos a aplicar la regla de la cadena por 2a vez

=1ln(ln(1x1+x))(ln(1x1+x))ln(1x1+x)=

Aplicamos las propiedades del logaritmo y volvemos a aplicar la regla de la cadena por 3a vez

=1ln(ln(1x1+x))(ln(1x)ln(1+x))ln(1x1+x)=

Hacemos cuentas y dejamos la expresión de la derivada lo más sencilla posible

=1ln(ln(1x1+x))ln(1x1+x)(11x11+x)=1ln(ln(1x1+x))ln(1x1+x)(1x1+x1x2)=

=1ln(ln(1x1+x))ln(1x1+x)(21x2)=1ln(ln(1x1+x))ln(1x1+x)(2x21)=

=2ln(ln(1x1+x))ln(1x1+x)(x21)






Cuando vamos a derivar un logaritmo que NO es neperiano, tenemos que hacer un cambio de base al número e y la función quedará así

k(x)=5xlog5(x4)=5xln(x4)ln5=20ln5xlnx

Ahora derivamos una constante 20ln5 por el producto de dos funciones

k(x)=20ln5(lnx+x1x)=20ln5(lnx+1)





Ahora vamos a hacer unos ejercicios de derivación logarítmica o la derivación de la función potencial-exponencial. Para ello tenemos dos opciones:

1a opción: Aprendernos esta fórmula ( lo que no es aconsejable para la salud )

Derivada de la función potencial-exponencial:

Si f(x)=b(x)a(x)f(x)=b(x)a(x)a(x)lnb(x)+b(x)(a(x)1)a(x)b(x)

2a opción:

Hacer el siguiente procedimiento:

1o Tomar logaritmos neperianos en ambos lados de la función

2o Aplicar las propiedades de los logaritmos

3o Derivar en ambos lados de la igualdad

4o Despejar la derivada de la función.

Veamos unos ejemplos:




1o Tomar logaritmos neperianos en ambos lados de la función

lnl(x)=ln(x2+3x)x3+5x2

2o Aplicar las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es el exponente por el logaritmo de la base

lnl(x)=(x3+5x2)ln(x2+3x)

3o Derivar en ambos lados de la igualdad

l(x)l(x)=(3x2+10x)ln(x2+3x)+(x3+5x2)2x+3x2+3x

4o Despejar la derivada de la función.

l(x)=l(x)[(3x2+10x)ln(x2+3x)+(x3+5x2)2x+3x2+3x]

sustituimos l(x) por su valor y tenemos

l(x)=(x2+3x)x3+5x2[(3x2+10x)ln(x2+3x)+(x3+5x2)2x+3x2+3x]






1o Tomar logaritmos neperianos en ambos lados de la función

lnm(x)=ln(arctgx)lnx

2o Aplicar las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es el exponente por el logaritmo de la base

lnm(x)=lnxln(arctgx)

3o Derivar en ambos lados de la igualdad

m(x)m(x)=1xln(arctgx)+lnx11+x2arctgx

m(x)m(x)=ln(arctgx)x+lnx(1+x2)arctgx

4o Despejar la derivada de la función.

m(x)=m(x)[ln(arctgx)x+lnx(1+x2)arctgx]

sustituimos m(x) por su valor y tenemos

m(x)=(arctgx)lnx[ln(arctgx)x+lnx(1+x2)arctgx]



Vamos a seguir derivando



Aplicamos la regla de la cadena, es decir, derivamos el arco tangente y la multiplicamos por la derivada de la función sobre la que calculamos el arco tangente y tenemos que manipular algebraicamente la expresión que obtenemos

n(x)=11+(x+313x)2[x+313x]=

=(13x)2(13x)2+(x+3)2[x+3](13x)(x+3)[13x](13x)2=

=(13x)2(13x)2+(x+3)2(13x)(x+3)(3)(13x)2=13x+3x+32(13x)2+(x+3)2=

=1+3216x+32x2+x2+6x+32=1+321+32x2+x2+32=1+321+32+(1+32)x2=

=1+32(1+x2)(1+32)=11+x2






Aplicamos la regla de la cadena, es decir, derivamos el arco tangente y la multiplicamos por la derivada de la función sobre la que calculamos el arco tangente y tenemos que manipular algebraicamente la expresión que obtenemos

Hay que tratar a como una constante ñ(x)=11+(x+a1ax)2[x+a1ax]=

=(1ax)2(1ax)2+(x+a)2[x+a](1ax)(x+a)[1ax](1ax)2=

=(1ax)2(1ax)2+(x+a)2(1ax)(x+a)(a)(1ax)2=1ax+ax+a2(1ax)2+(x+a)2=

=1+a212ax+a2x2+x2+2ax+a2=1+a21+a2x2+x2+a2=1+a21+a2+(1+a2)x2=

=1+a2(1+x2)(1+a2)=11+x2






o(x)= 2x+1 tg 2x+1 +ln(cos 2x+1 )

La derivada de la suma es la suma de las derivadas:

y=( 2x+1 tg 2x+1 )+(ln(cos 2x+1 ))=

La primera es la derivada de un producto y la 2a es la derivada de un logaritmo de un coseno, cuidado al aplicar la regla de la cadena:

=( 2x+1 )tg 2x+1 + 2x+1 (tg 2x+1 )+(ln(cos 2x+1 ))=

=2 2 2x+1  tg 2x+1 + 2x+1 (1+tg2 2x+1 )2 2 2x+1 + sen 2x+1  cos 2x+1 ( 2x+1 )=

=2 2 2x+1  tg 2x+1 + 2x+1 (1+tg2 2x+1 )2 2 2x+1 + sen 2x+1  cos 2x+1 2 2 2x+1  =

=21 2 2x+1  tg 2x+1 +(1+tg2 2x+1 )2 2x+1  2 2x+1  21tg 2x+1   2 2x+1  =

= tg 2x+1    2x+1  +1+tg2 2x+1  tg 2x+1    2x+1  =

= tg 2x+1    2x+1  +1+tg2 2x+1  tg 2x+1    2x+1  =

=1+tg2 2x+1 = cos2 2x+1  cos2 2x+1 + sen2 2x+1  cos2 2x+1 = cos2 2x+1 +sen2 2x+1  cos2 2x+1 =

=1cos2 2x+1 =sec2 2x+1 



Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com