Expresiones algebraicas: Operaciones y simplificación. Ejercicios resueltos.

Operaciones con expresiones algebraicas. Simplificar. Ejercicios resueltos.

Usar que $ x^3 - y^3 = (x - y) \cdot (x^2 + xy + y^2)$ y $ x^3 + y^3 = (x + y) \cdot (x^2 - xy + y^2)$

Sustituimos $\dfrac{x^3 - y^3}{x - y}$ por $x^2 + xy + y^2$ y $ x^3 + y^3 = (x + y) \cdot (x^2 - xy + y^2)$:
$$ \dfrac{x^3 - y^3}{x - y} \cdot \dfrac{x + y}{x^3 + y^3 + 2xy(x + y)} = \dfrac{ (x^2 + xy + y^2) \cdot (x + y) }{(x + y) \cdot (x^2 - xy + y^2) + 2xy(x + y)} = $$
Sacamos factor común en el denominador a $x + y$ tenemos que:

$$ = \dfrac{ (x^2 + xy + y^2) \cdot (x + y) }{(x + y) \cdot ( x^2 - xy + y^2 + 2xy ) } = \dfrac{ (x^2 + xy + y^2) \cdot (x + y) }{(x + y) \cdot ( x^2 + xy + y^2 ) } = 1 $$

Vayamos por partes:

$ 1 - \dfrac{m}{m + 1} = \dfrac{ m + 1 - m}{m + 1} = \dfrac{1}{m + 1}$

$ 1 + \dfrac{m}{m + 1} = \dfrac{m + 1 + m }{m + 1} = \dfrac{2m + 1}{m + 1} $

$\dfrac{2}{m} + \dfrac{1}{m^{2}} = \dfrac{2m + 1}{m^{2}} $

$ 1 - \dfrac{1}{m} = \dfrac{m - 1}{m} $

Así:

$$ \dfrac{\left(1 - \dfrac{m}{m + 1} \right )^2 }{1 + \dfrac{m}{m + 1}} \cdot \dfrac{\dfrac{2}{m} + \dfrac{1}{m^{2}}}{1 - \dfrac{1}{m}} = \dfrac{ \dfrac{1}{(m + 1)^2} \cdot \dfrac{2m + 1}{m^{2}} }{ \dfrac{2m + 1}{m + 1} \cdot \dfrac{m - 1}{m} } = \dfrac{ \dfrac{1}{(m + 1)^{\cancel{2}}} \cdot \dfrac{\cancel{2m + 1}}{m^{\cancel{2}}} }{ \dfrac{\cancel{2m + 1}}{\cancel{m + 1}} \cdot \dfrac{m - 1}{\cancel{m}} } = \dfrac{ \dfrac{1}{m + 1} \cdot \dfrac{ 1 }{m} }{ m - 1 } = \dfrac{1}{m \cdot (m^2 - 1) }$$

Vamos por partes, 1º:

$ \dfrac{1 + x}{1 - x} - \dfrac{1 - x}{1 + x} = \dfrac{(1 + x)^2}{(1 - x) \cdot (1+ x)} - \dfrac{(1 - x)^2}{(1 + x) \cdot (1 - x)} = \dfrac{(1 + x)^2 - (1 - x)^2}{(1 + x) \cdot (1 - x)} = \dfrac{1 + 2x + x^2 - 1 + 2x - x^2}{(1 + x) \cdot (1 - x)} = $

$ = \dfrac{4x}{(1 + x) \cdot (1 - x)} $

Ahora hacemos:

$ \dfrac{1 + x}{1 - x} - 1 = \dfrac{1 + x}{1 - x} - \dfrac{1 - x}{1 - x} = \dfrac{1 + x - 1 + x}{1 - x} = \dfrac{2x}{1 - x} $

Y por último:

$ 1 - \dfrac{1}{1 + x } = \dfrac{1 + x}{1 + x} - \dfrac{1}{1 + x } = \dfrac{1 + x - 1}{1 + x } = \dfrac{x}{1 + x } $

Juntando todo tenemos:

$ \left ( \dfrac{1 + x}{1 - x} - \dfrac{1 - x}{1 + x} \right ) : \left [ \left ( \dfrac{1 + x}{1 - x} - 1 \right ) \cdot \left ( 1 - \dfrac{1}{1 + x } \right ) \right ] = \dfrac{4x}{(1 + x) \cdot (1 - x)} : \left [ \dfrac{2x}{1 - x} \cdot \dfrac{x}{1 + x } \right ] = $

$ = \dfrac{4x}{(1 + x) \cdot (1 - x)} : \dfrac{2x^2}{(1 + x) \cdot (1 - x)} = \dfrac{4x}{2x^2} = \dfrac{2}{x} $

Vamos con la primera fracción:
$$ \dfrac{ \dfrac{2x}{\ x - y\ }}{\ \ \dfrac{4 x}{\ x^{2} + 2xy + y^{2}\ } \ \ } = \dfrac{ \ 2x (x + y)^2\ }{ 4 x(x - y) } = \dfrac{ \ (x + y)^2\ }{ 2(x - y) } $$
Vamos con la segunda fracción:
$$ \dfrac{ \ x(x^2 - y^2) \ }{ x + y } = \dfrac{\ x(x + y )(x - y)\ }{\ x + y \ } = x(x - y) $$
Ahora elevamos al cuadrado:
$$ \left [ \dfrac{ \dfrac{2x}{\ x - y\ }}{\ \ \dfrac{4 x}{\ x^{2} + 2xy + y^{2}\ } \ \ } : \dfrac{ \dfrac{x}{\ x + y \ }}{\dfrac{1}{\ x^{2} - y^{2}\ }} \right ]^2 = \left [ \dfrac{ \ (x + y)^2\ }{ 2(x - y) } : x(x - y) \right ]^2 = \left [ \dfrac{ \ (x + y)^2\ }{ 2x(x - y)^2 } \right ]^2 = \dfrac{ \ (x + y)^4\ }{ 4x^2(x - y)^4 } $$
Vamos con la tercera fracción, primero el numerador:

$ 1 + \dfrac{\ y\ }{x} = \dfrac{\ x + y\ }{x} $ y ahora el denominador: $1 - \dfrac{\ y\ }{x} = \dfrac{\ x - y\ }{x} $. Juntando ambos:

$$ \dfrac{1 + \dfrac{\ y\ }{x}}{\ 1 - \dfrac{\ y\ }{x} \ } = \dfrac{ \dfrac{\ x + y\ }{x} }{ \dfrac{\ x - y\ }{x} } = \dfrac{\ x + y\ }{ x - y } $$
Elevamos a la cuarta y tenemos:
$$ \left [ \dfrac{\ x + y\ }{ x - y } \right ]^4 = \dfrac{ \ (x + y)^4\ }{ (x - y)^4 } $$
Juntando todo tenemos:
$$ \dfrac{ (x + y)^4 }{\ 4x^2(x - y)^4 \ } : \dfrac{ (x + y)^4 }{\ (x - y)^4\ } = \dfrac{ (x + y)^4 (x - y)^4 }{\ 4x^2(x - y)^4 (x + y)^4\ } = \dfrac{ \cancel{(x + y)^4} \xcancel{(x - y)^4} }{\ 4x^2 \xcancel{(x - y)^4} \cancel{(x + y)^4}\ } = \dfrac{ 1 }{ \ 4x^2 \ } $$

Vamos con la primera fracción, con el denominador:

$ \dfrac{\ 1\ }{x} + \dfrac{\ 1\ }{y} = \dfrac{\ x + y\ }{xy} $ cogemos el numerador y tenemos:

$$\dfrac{\ \ x^{2} - y^{2} \ \ }{ \dfrac{\ 1\ }{x} + \dfrac{\ 1\ }{y} } = \dfrac{\ x^{2} - y^{2} \ }{ \dfrac{\ x + y\ }{xy} } = \dfrac{\ xy (x^{2} - y^{2}) \ }{ x + y} = \dfrac{\ xy (x - y) (x + y) \ }{ x + y} = xy(x - y)$$
Vamos con la segunda fracción:

con el numerador $ x - \dfrac{x^{2}}{x + y} = \dfrac{x^2 + xy - x^2}{x + y} = \dfrac{xy}{\ x + y\ } $

cogemos el denominador y tenemos: $ y - \dfrac{y^{2}}{\ x + y \ } = \dfrac{xy + y^2 - y^2 }{\ x + y \ } = \dfrac{ xy }{\ x + y \ } $

juntando ambas tenemos:

$$\dfrac{\ x - \dfrac{x^{2}}{x+y}\ }{ \ y - \dfrac{y^{2}}{\ x + y \ } } = \dfrac{ \dfrac{xy}{\ x + y\ } }{ \dfrac{ xy }{\ x + y \ } } = 1 $$ Vamos con la tercera fracción:

con el numerador: $ \dfrac{\ 1\ }{x} - \dfrac{\ 1\ }{y} = \dfrac{\ y - x\ }{xy} $ y el denominador lo hemos hecho antes: $ \dfrac{\ 1\ }{x} + \dfrac{\ 1\ }{y} = \dfrac{\ x + y\ }{xy}$

juntando tenemos que
$$ \dfrac{\dfrac{\ 1\ }{x} - \dfrac{\ 1\ }{y}}{ \dfrac{\ 1\ }{x} + \dfrac{\ 1\ }{y} } = \dfrac{ \dfrac{\ y - x\ }{xy} }{ \dfrac{\ x + y\ }{xy} } = \dfrac{\ y - x\ }{x + y} $$
Juntando todo tenemos:

$$\dfrac{\ x^{2} - y^{2} \ }{ \dfrac{\ 1\ }{x} + \dfrac{\ 1\ }{y} } \cdot \dfrac{\ x - \dfrac{x^{2}}{x+y}\ }{ \ y - \dfrac{y^{2}}{\ x + y \ } } \cdot \dfrac{\dfrac{\ 1\ }{x} - \dfrac{\ 1\ }{y}}{ \dfrac{\ 1\ }{x} + \dfrac{\ 1\ }{y} } = xy(x - y) \cdot 1 \cdot \dfrac{\ y - x\ }{x + y} = \dfrac{\ - xy(x - y)^2 \ }{x + y} $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Método de Gauss. Ejercicios resueltos.

Matrices

Se llama matriz de orden (dimensión) $m \times n$ a un conjunto de $m \times n$ elementos dispuestos en $m$ filas y en $n$ columnas.

Se representa por $$ A = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} \right)$$ y de forma abreviada $A = (a_{ij})$, siendo $a_{ij}$ el elemento que se encuentra en la fila $i$ y en la columna $j$.

Dado el siguiente sistema de $m$ ecuaciones y $n$ incognitas.

$$\left\{\begin{array}{lll} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \ldots + a_{1n}x_{n} & = & b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \ldots + a_{2n}x_{n} & = & b_{2} \\ \quad \vdots \qquad \quad \vdots \qquad \qquad \qquad \vdots & = & \vdots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{1} + \ldots + a_{mn}x_{n} & = & b_{m} \\ \end{array}\right.$$ Según la existencia y la unicidad de las soluciones:

$$ \large \matrix{ \text{ Sistemas } \cr \text{de} \cr \text{ecuaciones} } = \cases{ \textbf{Compatible} \text{, el sistema tiene solución } \large \cases{ \textbf{Determinado} \text{: solución única. } \cr \cr \textbf{Indeterminado} \text{, infinitas soluciones } } \cr \cr \textbf{Incompatible} \text{, el sistema no tiene solución. } \cr } $$

Método de Gauss

El método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales es una generalización del método de reducción y consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente.

Para ello trabajaremos con lo que se llama la matriz ampliada, se denota así,

$$(A | B) = \left( \begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & b_{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} & b_{n} \end{array} \right) $$

En la 1ª columna pondremos los coeficientes de la $x$, en la 2ª columna los coeficientes de la $y$, y así sucesivamente. En la última columna, la $(b_i)$, irán los términos independientes.


Mediante operaciones elementales por filas trasnformaremos la matriz de coeficientes de las variables en una matriz escalonada con ceros por debajo de la diagonal principal, la que forman los elementos $a_{i,i}$, obteniendo así, un sistema equivalente al inicial. Veamos que entendemos por operaciones elementales:

1. Intercambiar dos filas entre sí.
2. Multiplicar (o dividir) una fila por un número distinto de cero.
3. Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila multiplicada por un número distinto de cero.

Veamos el siguiente sistema de ecuaciones lineales $2 \times 2$:

$$\left\{\begin{array}{cccc} 10x & - \ 3y & = & 13 \\ 2x & - \ 7y & = & 9 \end{array}\right.$$
¿Cuántos métodos tenemos para resolver este sistema? ¿Cuál de ellos elegirías? ¿Por qué?
La experiencia dice que la mayoría de las veces el mejor método de resolución de sistemas es el de «reducción» y es el que usaremos en este ejemplo. Para ello multiplico la segunda ecuación por -5 y le sumo la primera:
$$ \left\{\begin{array}{cccc} 10x & - \ 3y & = & 13 \cr \ \ & \ 32y & = & -32 \end{array}\right.$$

Hemos conseguido hacer desaparecer la «$x$» de la segunda ecuación y ahora podemos despejar las variables fácilmente empezando por la «$y$» en la segunda ecuación y despejando la $x$ en la primera.

Veamos un ejemplo, resuelve por el método de Gauss el siguiente sistema $3 \times 3$:
$$ \left\{\begin{array}{ccccc} 3x & - 2y & + 3z & = & 2 \cr 4x & - 3y & + z & = &-1 \cr x & + 5y & - 6z & = &5 \end{array}\right.$$

$$ \begin{array}{ccc} \xrightarrow{ E_{2} = 4E_{1} - 3E_{2} } & \xrightarrow{E_{3} = E_{1} - 3E_{3}} & \xrightarrow{E_{3} = E_{3} + 17E_{2}} \\ \left \{ \begin{array}{ccccc} 3x & - 2y & + 3z &= & 2 \cr 4x & - 3y & + z & = &-1 \cr x & + 5y & - 6z & = &5 \end{array}\right. \rightarrow & \left \{ \begin{array}{ccccc} 3x & - 2y & + 3z &= & 2 \\ & y & + 9z & = & 11 \\ & - 17y & + 21z & = &-13 \end{array}\right. \rightarrow & \left \{ \begin{array}{ccccc} 3x & - 2y & + 3z &= & 2 \\ & y & + 9z & = &11 \\ & & 174z & = &174 \end{array}\right. \\ && \\ & \text{Usando matrices} & \\ && \\ %onecolumn & onecolumn & onecolumn \\ %\hline %onecolumn & onecolumn & onecolumn \\ %\hline \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & -2 & 3 & 2 \\ 4 & -3 & 1 & -1 \\ 1 & 5 & -6 & 5 \end{array} \right) \rightarrow & \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & -2 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 9 & 11 \\ 0 & -17 & 21 & -13 \end{array} \right) \rightarrow & \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & -2 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 9 & 11 \\ 0 & 0 & 174 & 174 \end{array} \right) \end{array}$$

Resolvemos el sistema escalonado que resulta sustituyendo de abajo hacia arriba. De la última ecuación se despeja $z$ y obtenemos que $z = 1$. De la penúltima $y + 9 \cdot 1 = 11$, de donde $y = 11 - 9 = 2$. De la primera ecuación obtenemos $3x - 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 2$, es decir, $3x = 2 + 4 - 3$ luego $3x = 3$ y por tanto $x = 1$.
Para finalizar, realizamos la comprobación, en las tres ecuaciones que forman el sistema:
$$\left\{\begin{array}{ccccc} 3 \cdot 1 & - 2 \cdot 2 & + 3 \cdot 1 & = & 2 \\ 4 \cdot 1 & - 3 \cdot 2 & + 1 & = &-1 \\ 1 & + 5 \cdot 2 & - 6 \cdot 1 & = &5 \end{array}\right.$$



Veamos unos ejemplos utiliando el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones:



$$ a)\ \left\{\begin{array}{lll} \ x + \ y - z & = & 0 \\ \ x - 2y + z & = & 0 \\ 2x - \ y & = & 0 \end{array}\right. $$ $$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & 0 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 2 \cdot E_{1}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 2 & 0 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - E_{2}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \\ \\ \end{array} $$

$$ \left\{\begin{array}{lll} \ x + \ y - z & = & 0 \\ \ \ \ - 3y + 2z & = & 0 \end{array}\right. $$ El sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones. Vamos a calcularlas:
Hacemos $z = \lambda$ y en la segunda ecuación obtenemos $y = \dfrac{2 \cdot \lambda}{3}$. Y si sustituimos en la primera ecuación, $x = z - y = \lambda - \dfrac{2 \cdot \lambda}{3} = \dfrac{\lambda}{3}$.



$$ b)\ \left\{\begin{array}{lll} \ x + \ y - z & = & 1 \\ \ x - 2y + z & = & 3 \\ 3x - 3y + z & = & 8 \\ \end{array}\right. $$ $$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 3 \\ 3 & -3 & 1 & 8 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 3 \cdot E_{1}} \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -3 & 2 & 2 \\ 0 & -6 & 4 & 5 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 2 \cdot E_{2}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -3 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array} $$

Llegamos a una ecuación imposible $0 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = 1$. Luego el sistema es incompatible, es decir, no tiene solución.





$$c)\ \left\{\begin{array}{lll} 2x - \ y + \ z & = & 3 \\ \ x + 2y - \ z & = & 4 \\ \ x - 8y + 5z & = & -6 \end{array}\right.$$ $$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 & 4 \\ 1 & -8 & 5 & -6 \end{array} \right) E_{1} \leftrightarrow E_{2} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & -8 & 5 & -6 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - 2 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - E_{1}} \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & -5 & 3 & -5 \\ 0 & -10 & 6 & -10 \end{array} \right) \\ \\ \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 2 \cdot E_{2}} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & -5 & 3 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array} $$

$$ \left\{\begin{array}{lll} \ x + 2y - z & = & 4 \\ \ \ \ 5y - 3z & = & 5 \end{array}\right. $$ El sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones. Vamos a calcularlas:
Hacemos $z = \lambda$ y en la segunda ecuación obtenemos $y = 1 + \dfrac{3 \cdot \lambda}{5}$. Y si sustituimos en la primera ecuación, $x = 4 - 2y + z = 4 - 2 - \dfrac{6 \cdot \lambda}{5} + \lambda = 2 - \dfrac{\lambda}{5}$.



$$d)\ \left\{\begin{array}{lll} -x + 3y - z & = & 1 \\ \ x + 4y & = & 3 \\ 2x - 6y + 2z & = & 8 \\ \end{array}\right.$$ $$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} -1 & +3 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & 0 & 3 \\ 2 & -6 & 2 & 8 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{1} = -1 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = \dfrac{1}{2} \cdot E_{1}} \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 1 & -1 \\ 1 & 4 & 0 & 3 \\ 1 & -3 & 1 & 4 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - E_{1}} \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 1 & -1 \\ 0 & 7 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array} \right) \end{array} $$

Llegamos a una ecuación imposible $0 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = 5$. Luego el sistema es incompatible, es decir, no tiene solución.


Vamos a proponer una serie de ejercicios:

$$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -2 & 6 \\ 2 & 3 & -2 & 8 \\ 4 & 2 & -6 & 6 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - 2 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 4 \cdot E_{1}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -2 & 6 \\ 0 & -3 & 2 & -4 \\ 0 & -10 & 2 & -18 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = 10 \cdot E_{3} - 3 \cdot E_{2}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -2 & 6 \\ 0 & 3 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & -14 & -14 \end{array} \right) \\ \\ \\ \end{array} $$

De la 3ª fila despejamos $z$ y tenemos que $z = 1$, de la 2ª ecuación despejamos $y$, tenemos que $$3y - 2z = 4 \Rightarrow 3y = 4 + 2 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2 $$ Y de la 1ª ecuación obtenemos el valor de $x$: $$ x = 6 -3y + 2z = 6 - 6 + 2 = 2 $$

Para finalizar, realizamos la comprobación, en las tres ecuaciones que forman el sistema:
$$\left\{\begin{array}{l} 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 2 + 6 - 2 = 6 \\ 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 4 + 6 - 2 = 8 \\ 4 \cdot 2 + 2 \cdot 2 - 6 \cdot 1 = 8 + 4 - 6 = 6 \end{array}\right.$$

$$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 3 \\ 3 & -2 & 1 & 7 \\ 5 & 2 & -5 & 1 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - 3 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 5 \cdot E_{1}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 3 \\ 0 & -8 & 10 & -2 \\ 0 & -8 & 10 & -14 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - E_{2}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 3 \\ 0 & -8 & 10 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & -12 \end{array} \right) \end{array} $$

La última fila es la ecuación $0 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = -12$ que no tiene sentido lo que nos hace ver que este sistema es incompatible.

$$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -2 & 8 \\ 2 & -4 & 3 & -2 \\ 4 & -1 & 6 & -4 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 2 \cdot E_{1}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -2 & 8 \\ 0 & -5 & 5 & -10 \\ 0 & -3 & 10 & 20 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = \frac{-1}{5}E_{2} } \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -2 & 8 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -3 & 10 & 20 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} + 3 \cdot E_{2}} \\ \end{array}} \\ \\ \\ & \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -2 & 8 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 7 & -14 \end{array} \right) & \end{array} $$

El sistema es compatible determinado. Vamos a calcular la solución empezando por la 3ª ecuación, así
$$7 \cdot z = -14 \Rightarrow z = -2$$
Ahora vamos a despejar $y$ en la 2ª ecuación:
$$ y = 2 + z = 2 - 2 = 0 $$ De la 1ª ecuación despejamos $x$:

$$ x = \dfrac{8 - y + 2 \cdot z }{2} = \dfrac{8 - 4 }{2} = \dfrac{ 4 }{2} = 2 $$

Para finalizar, realizamos la comprobación, en las tres ecuaciones que forman el sistema:
$$\left\{\begin{array}{l} 2 \cdot 2 + 0 - 2 \cdot (-2) = 4 + 4 = 8 \\ 2 \cdot 2 - 4 \cdot 0 + 3 \cdot (-2) = 4 - 6 = -2 \\ 4 \cdot 2 - 0 + 6 \cdot (-2) = 8 - 12 = -4 \end{array}\right.$$

$$ \begin{array}{ccc} \left ( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -2 & -6 \\ 2 & -3 & 5 & 6 \\ 5 & -3 & 8 & 6 \end{array} \right ) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - 2 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 5 \cdot E_{1}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -2 & -6 \\ 0 & -9 & 9 & 18 \\ 0 & -18 & 18 & 36 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 2 \cdot E_{2}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -2 & -6 \\ 0 & -9 & 9 & 18 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) { \begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = \dfrac{-1}{9} \cdot E_{2} } \\ \end{array}} \\ \\ \\ & \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -2 & 8 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) & \end{array} $$

$$ \left \{ \begin{array}{l} x + 3y - 2z = -6 \\ \ \ \ \ \ \ \ y - z = -2 \end{array} \right . $$

La última fila que tiene todo ceros nos dice que hay una ecuación que nos dice la misma información que las dos que no se anulan, por eso el sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones. Vamos a calcularlas todas, para ello hacemos que $z = \alpha $, siendo $\alpha$ cualquier número $\mathbb{R}$. Ahora calculamos el valor de $y$:
$$y = z - 2 = \alpha - 2 $$
Ahora despejamos $x$:
$$ x = 6 - 3y + 2z = 6 - 3 \cdot (\alpha - 2) + 2 \cdot \alpha = 6 - 3 \cdot \alpha + 6 + 2 \cdot \alpha = 12 - \alpha $$ Las infinitas soluciones son $$(x, y, z) = (12 - \alpha, \alpha - 2, \alpha) \ \ \alpha \in \mathbb{R} $$

$$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & 4 \\ 2 & 5 & -2 & 10 \\ 4 & 9 & -6 & 18 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - 2 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 4 \cdot E_{1}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - E_{2}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array} $$

$$ \left \{ \begin{array}{l} x + 2y - 2z = 4 \\ \ \ \ \ \ \ \ y + 2z = 2 \end{array} \right . $$

La última fila que tiene todo ceros nos dice que hay una ecuación que nos dice la misma información que las dos que no se anulan, por eso el sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones. Vamos a calcularlas todas, para ello hacemos que $z = \alpha $, siendo $\alpha$ cualquier número $\mathbb{R}$. Ahora calculamos el valor de $y$:
$$y = 2 - 2z = 2 - 2 \alpha $$
Ahora despejamos $x$:
$$ x = 4 - 2y + 2z = 4 - 2\cdot (2 - 2 \alpha) - 2 \alpha = 4 - 4 + 4 \alpha + 2 \alpha = 6 \alpha $$ Las infinitas soluciones son $$(x, y, z) = (6 \alpha, 2 - 2\alpha, \alpha) \ \ \alpha \in \mathbb{R} $$

$$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & -5 \\ 5 & -1 & 2 & 11 \\ 6 & 1 & 1 & 5 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - 5 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 6 \cdot E_{1}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & -5 \\ 0 & -11 & 7 & 36 \\ 0 & -11 & 7 & 35 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - E_{2}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & -5 \\ 0 & -11 & 7 & 36 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right) \end{array} $$

La última fila es la ecuación $0 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = -1$ que no tiene sentido lo que nos hace ver que este sistema es incompatible.

$$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -2 & 15 \\ 1 & 1 & -1 & 7 \end{array} \right) {\begin{array}{c} E_{1} \leftrightarrow E_{3} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 7 \\ 3 & 2 & -2 & 15 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - 3 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 2 \cdot E_{1}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 7 \\ 0 & -1 & 1 & -6 \\ 0 & -1 & 3 & -14 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - E_{2}} \\ \end{array}} \\ \\ \\ & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 7 \\ 0 & -1 & 1 & -6 \\ 0 & 0 & 2 & -8 \end{array} \right) & \end{array} $$

El sistema es compatible determinado. Vamos a calcular la solución empezando por la 3ª ecuación, así
$$2 \cdot z = -8 \Rightarrow z = -4$$
Ahora vamos a despejar $y$ en la 2ª ecuación:
$$ y = z + 6 = -4 + 6 = 2 $$ De la 1ª ecuación despejamos $x$:

$$ x = 7 - y + z = 7 - 2 - 4 = 1 $$

Para finalizar, realizamos la comprobación, en las tres ecuaciones que forman el sistema:
$$\left\{\begin{array}{l} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (-4) = 2 + 2 - 4 = 0 \\ 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot (-4) = 3 + 4 + 8 = 15 \\ 1 + 2 - 1 \cdot (-4) = 1 + 2 + 4 = 7 \end{array}\right.$$

$$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -2 & 4 \\ 2 & 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 & 5 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - 3 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 2 \cdot E_{1}} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -2 & 4 \\ 0 & -4 & 5 & -5 \\ 0 & -7 & 7 & -7 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{ E_{3} = \dfrac{-1}{7} \cdot E_{3} } \\ E_{3} \leftrightarrow E_{2} \\ \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -4 & 5 & -5 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} + 4 \cdot E_{2}} \\ \end{array}} \\ \\ \\ & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right) & \end{array} $$

El sistema es compatible determinado. Vamos a calcular la solución empezando por la 3ª ecuación, así
$$ z = -1 $$
Ahora vamos a despejar $y$ en la 2ª ecuación:
$$ y = z + 1 = -1 + 1 = 0 $$ De la 1ª ecuación despejamos $x$:

$$ x = 4 - 3y + 2z = 4 - 2 = 2 $$

Para finalizar, realizamos la comprobación, en las tres ecuaciones que forman el sistema:
$$\left\{\begin{array}{l} 1 \cdot 2 + 3 \cdot 0 - 2 \cdot (-1) = 2 + 2 = 4 \\ 2 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) = 4 - 1 = 3 \\ 3 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) = 6 - 1 = 5 \end{array}\right.$$

$$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & -8 & 5 & -6 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - 2 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_3 - E_{1}} \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & -5 & 3 & -5 \\ 0 & -10 & 6 & -10 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 2 \cdot E_{2} } \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & -5 & 3 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array} $$

El sistema es compatible indeterminado. Vamos a calcular las infinitas soluciones:
$ z = \alpha$, luego $ 5y - 3z = 5 \Rightarrow y = \dfrac{5 + 3z}{5} = \dfrac{5 + 3 \alpha }{5} $. Y si despejamos $x$ tenemos que
$$ x = 4 - 2y + z = 4 - 2 \dfrac{5 + 3 \alpha }{5} + \alpha = \dfrac{20 - 10 - 6 \alpha + 5 \alpha }{5} = \dfrac{10 - \alpha }{5} $$ $$ (x, y, z ) = \left (\dfrac{10 - \alpha }{5}, \dfrac{5 + 3 \alpha }{5}, \alpha \right ) \ \ \ \forall \alpha \in \mathbb{R} $$

$$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & 2 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_3 - E_{1}} \end{array}} & \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 2 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{ E_{2} = \dfrac{1}{2} \cdot E_{2} } \\ \xrightarrow{ E_{3} = \dfrac{-1}{2} \cdot E_{2} } \end{array}} & \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \end{array} \right) \end{array} $$

El sistema es claramente compatible indeterminado. De la última línea tenemos $z = -1$. De la segunda línea tenemos que $ t = \alpha$ y así $ y = 1 + t = 1 + \alpha $. Por último, de la primera ecuación o línea tenemos que $$ x = y - z - t = 1 + \alpha - (-1) - \alpha = 1 + \alpha + 1 - \alpha = 2 $$ Luego las soluciones son $$ (x, y, z, t) = (2, 1 + \alpha, -1, \alpha) \ \ \forall \in \mathbb{R} $$

$$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 7 & 10 \\ 5 & -1 & 1 & 8 \\ 1 & 4 & -10 & -11 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - 5 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_3 - E_{1}} \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 7 & 10 \\ 0 & -14 & 34 & -42 \\ 0 & 7 & -17 & -21 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = \dfrac{-1}{2} \cdot E_{2} } \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - E_{2} } \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 7 & 10 \\ 0 & 7 & -17 & -21 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array} $$

El sistema es claramente compatible indeterminado. $ z = \alpha$, luego $ 7y - 17z = -21 \Rightarrow y = \dfrac{17\alpha - 21}{7}$. Y si despejamos $x$ tenemos que

$$ x = 10 + 3y - 7z = 10 + 3 \dfrac{17\alpha - 21}{7} - 7\alpha = \dfrac{70 + 51\alpha - 63 - 49 \alpha }{7} = \dfrac{7 + 2\alpha }{7} $$ $$ (x, y, z ) = \left (\dfrac{7 + 2\alpha }{7}, \dfrac{17\alpha - 21}{7}, \alpha \right ) \forall \alpha \in \mathbb{R} $$

$$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 7 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - E_{1}} \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - E_{2}} \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array} $$

El sistema es claramente compatible indeterminado. $ z = \alpha$, luego $ y - z = 1 \Rightarrow y = 1 + z = 1 + \alpha $. Y si despejamos $x$ tenemos que

$$ x = 6 - y - z = 6 - 1 - \alpha - \alpha = 5 - 2 \cdot \alpha $$ $$ (x, y, z ) = \left (5 - 2 \cdot \alpha, 1 + \alpha, \alpha \right ) \ \ \ \forall \alpha \in \mathbb{R} $$

$$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & -1 & 0 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = 2 \cdot E_{2} - 3 \cdot E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_3 - 2 \cdot E_{1}} \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & -7 & 3 & 0 \\ 0 & 7 & -3 & 0 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - E_{2} } \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & -7 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array} $$

El sistema es claramente compatible indeterminado. $ z = \alpha$, luego $ 7y = 3z \Rightarrow y = \dfrac{3\alpha}{7}$. Y si despejamos $x$ tenemos que \\ $$ 2x = 3y - z \Rightarrow x = \dfrac{1}{2} \cdot (3y - z ) = \dfrac{1}{2} \cdot \left ( 3\dfrac{3 \alpha}{7} - \alpha \right ) = \dfrac{1}{2} \cdot \left ( \dfrac{9 \alpha - 7 \cdot \alpha }{7} \right ) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2 \cdot \alpha}{7} = \dfrac{\alpha}{7} $$ $$ (x, y, z ) = \left (\dfrac{\alpha}{7}, \dfrac{3\alpha}{7}, \alpha \right ) \forall \alpha \in \mathbb{R} $$

$$ \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & -1 & -1 & -4 \\ 3 & 1 & 1 & 8 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{2} = E_{2} - E_{1}} \\ \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - 3 \cdot E_{1}} \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -2 & -2 & -10 \\ 0 & -2 & -2 & -10 \end{array} \right) {\begin{array}{c} \xrightarrow{E_{3} = E_{3} - E_{2}} \\ \xrightarrow{E_{2} = \dfrac{-1}{2} \cdot E_{2}} \end{array}} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array} $$

El sistema es claramente compatible indeterminado. $ z = \alpha$, luego $ y + z = 5 \Rightarrow y = 5 - z = 5 - \alpha $. Y si despejamos $x$ tenemos que \\ \\ $$ x = 6 - y - z = 6 - 5 + \alpha - \alpha = 1 $$ $$ (x, y, z ) = \left (1, 5 - \alpha, \alpha \right ) \ \ \ \forall \alpha \in \mathbb{R} $$

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

Ecuaciones logarítmicas

Para resolver las ecuaciones logarítmicas utilizaremos la definición de logaritmo y sus propiedades, lo que conviene repasar. Vamos a poner la definición de logaritmo de un número real positivo en base un número real positivo distinto de 1:

Definición: Se define el logaritmo en base $M$ de un número real positivo $A$, al número real $a$, exponente, que hay que elevar la base $M$ para obtener el número $A$:

$$ \log_M A = a \Leftrightarrow M^a = A $$

Importante:

• La base $M$ ha de ser positiva y distinta de 1, $ M > 0 $ y $ M \neq 1$, es decir, $M \in \mathbb{R}^+ \setminus \left \{ 1 \right \} $;
• Sólo podemos calcular el logaritmo de números reales positivos, es decir, $ A \in \mathbb{R}^+, A > 0$;
• El logaritmo (exponente) $a$, no tiene restricción alguna, puede ser un número real cualquiera $a \in \mathbb{R}$.
• Si la base es positiva, nunca podremos calcular el logaritmo de un número menor o igual que cero.

Nota:

• Si no se indica la base, eso quiere decir que trabajamos en base $ 10 \Rightarrow \log 75 = \log_{10} 75$
• El logaritmo neperiano es el que está en base $e \simeq 2,718281828459 \ldots \Rightarrow \log_{e} 45 = \ln 45 $

De las propiedades de logaritmos vamos a usar todas, pero en especial la que más vamos a usar es esta:

Si  $ P = Q \Leftrightarrow \log_M P = \log_M Q $ ¡¡¡Cuidado, los logaritmos no se simplifican!!!

Esta propiedad es consecuencia de la biyectividad de la función logarítmica.

También usaremos la propia definición de logaritmo para resolver este tipo de ecuaciones.

Además, en algunos casos, podríamos hacer un cambio de variable $ \log_a x = t$.

Utilizando la definición de logaritmo o la biyectividad del mismo lo que haremos será transformalas en otro tipo de ecuaciones más sencillas que ya sabemos resolver, por ejemplo, a ecuaciones polinómicas. Veamos unos ejercicios:

Veamos una ecuación «logarítmica» en la que tenemos que cambiar de base:

Cambiamos a base 10

$$ 3 \cdot \dfrac{\log 2 }{\log x} + \dfrac{\log 4 }{\log x} = -5 $$ Ponemos $4 = 2^2 $ $$ 3 \cdot \dfrac{\log 2 }{\log x} + \dfrac{\log 2^2 }{\log x} = -5 $$ Aplicamos propiedad del logaritmo de una potencia $$ 3 \cdot \dfrac{\log 2 }{\log x} + 2 \cdot \dfrac{\log 2 }{\log x} = -5 $$ Sumamos las fracciones $$ 5 \cdot \dfrac{\log 2 }{\log x} = -5 $$ Simplificamos 5 y pasamos el $\log x$ multiplicando:
$$ \cancel{5} \cdot \dfrac{ \log 2 }{ \log x } = - \cancel{5} \Leftrightarrow \dfrac{ \log 2 }{ \log x } = -1 \Leftrightarrow \log 2 = - \log x \Leftrightarrow \log x = - \log 2 \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow \log x = \log 2^{-1} \Leftrightarrow x = 2^{-1} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{\ 2 \ } $$ Comprobación $ x = \dfrac{1}{2} $:
$$ 3 \cdot \log_{ \dfrac{1}{2} } 2 + \log_{ \dfrac{1}{2} } 4 = 3 \cdot (-1) - 2 = -3 - 2 = - 5 $$

Veamos una ecuación «logarítmica» en la que aplicaremos la definición de logaritmo:

Aplicamos la definición y se conviente en una ecuación exponencial:
$$ 9^{x - 1} = 3^x + 648 \Leftrightarrow 9^{x - 1} - 3^x - 648 = 0 \Leftrightarrow \dfrac{9^x}{9} - 3^x - 648 = 0 \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow 9^x - 9 \cdot 3^x - 9 \cdot 648 = 0 \Leftrightarrow (3^2)^x - 9 \cdot 3^x - 9 \cdot 648 = 0 \Leftrightarrow (3^x)^2 - 9 \cdot 3^x - 9 \cdot 648 = 0 $$ Hacemos el cambio de variable $3^x = t $ y tenemos

$$ t^2 - 9t - 5832 = 0 $$ $$ t = \dfrac{ 9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5832) } }{2 \cdot 1} = \dfrac{ 9 \pm \sqrt{ 81 + 23328 } }{ 2 } = \dfrac{ 9 \pm \sqrt{ 23409 } }{ 2 } = \dfrac{ 9 \pm 153 }{ 2 } = $$

$$ \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 162 }{ 2 } = 81  \Rightarrow t_1 = 81 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -144 }{ 2 } = -72 \Rightarrow t_2 = -72 \end{array}. $$ Ahora tenemos que deshacer el cambio, ya que hemos calculado los valores de «t».

Si $t = 81 \Rightarrow 3^x = 81 \Rightarrow 3^x = 3^4 \Rightarrow x = 4 $

     Comprobamos la solución $x = 4 \Rightarrow \log_{9} \left ( 3^4 + 648 \right ) = \log_{9} \left ( 81 + 648 \right ) = \log_{9} \left ( 729 \right ) = \log_{9} \left ( 729 \right ) = \log_{9} \left ( 9^3 \right ) 3 \checkmark $

Si $t =-72 \Rightarrow 3^x = -72$ y eso es imposible, ya que una potencia de base positiva nunca puede ser negativa. ✗ Luego descartamos esta solución.

Ya tenemos los logaritmos con la misma base igualados entonces tenemos que $$ \log_{2} \left( x^{2} - 5x + 4 \right ) = \log_{2}(2x - 6 ) \Leftrightarrow x^{2} - 5x + 4 = 2x - 6 $$ Y ahora lo que tenemos que resolver es una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado para la cual no hace falta aplicar la fórmula:

$$ x^2 - 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \text{ o } x = 5 $$ Comprobamos las soluciones:

Si $x = 2 \Rightarrow \log_{2} \left( 2^{2} - 5 \cdot 2 + 4 \right ) = \log_{2}(2 \cdot 2 - 6 ) \Rightarrow \log_{2} (-2) = \log_{2} (-2) $ ✗

Si $x = 5 \Rightarrow \log_{2} \left( 5^{2} - 5 \cdot 5 + 4 \right ) = \log_{2}(2 \cdot 5 - 6 ) \Rightarrow \log_{2} (4) = \log_{2} (4) \checkmark $

Aplicamos la propiedad $n \cdot \log_a x = \log_a x^n $ y tenemos que

$\log (x - 1)^2 = \log ( x + 11 ) $ y como ya tienen la misma base:

$\log (x - 1)^2 = \log ( x + 11 ) \Leftrightarrow (x - 1)^2 = x + 11 \Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 = x + 11 \Leftrightarrow $

$ \Leftrightarrow x^2 - 3x - 10 = 0$

Ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado que se puede resolver sin fórmula:

$$ x^2 - 3x - 10 = 0 \Leftrightarrow x = -2 \text{ o } x = 5 $$ Comprobamos las soluciones:

Si $x = -2 \Rightarrow 2\log (-2 - 1) = \log ( -2 + 11 ) \Rightarrow 2\log (-3) = \log ( 9 ) $ ✗

Si $x = 5 \Rightarrow 2\log (5 - 1) = \log ( 5 + 11 ) \Rightarrow 2\log (4) = \log ( 16 ) \checkmark $

Aplicamos las propiedades $n \cdot \log_a x = \log_a x^n $ y $ \log_a x - \log_a y = \log_a \left ( \dfrac{x}{y} \right ) $ y tenemos que

$$2 \log x - \log ( x - 16 ) = 2 \Leftrightarrow \log \left ( \dfrac{x^2}{ x - 16 } \right ) = 2 \Leftrightarrow 10^2 = \dfrac{x^2}{ x - 16 } $$ Tenemos una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado que se puede resolver fácilmente:

$$ 10^2 = \dfrac{x^2}{ x - 16 } \Leftrightarrow x^2 - 100x + 1600 = 0 $$ $ x = \dfrac{100 \pm \sqrt{100^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1600) } }{2} = \dfrac{100 \pm \sqrt{10000 - 6400} }{2} = \dfrac{100 \pm \sqrt{ 3600 } }{2} = $

$ = \dfrac{100 \pm 60 }{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 160 }{ 2 } = 80 \Rightarrow x = 80 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 40 }{ 2 } = 20 \Rightarrow x = 20 \end{array} $

Comprobación:

Si $x = 80 \Rightarrow 2\log 80 - \log ( 80 - 16 ) = \log \dfrac{6400}{64} = \log 100 = 2 \checkmark $

Si $x = 20 \Rightarrow 2\log 20 - \log ( 20 - 16 ) = \log \dfrac{400}{4} = \log 100 = 2 \checkmark $

Aplicamos la propiedad $n \cdot \log_a x = \log_a x^n $ y tenemos que

$\log_{4}(x - 1)^2 = 1$ aplicamos la definicón de logaritmo tenemos que

$$(x - 1)^2 = 4 \Leftrightarrow x = -1 \text{ o } x = 3 $$ Comprobación:

Si $x = 3 \Rightarrow 2\log_{4}(3 - 1) = \log_{4} 2^2 = \log_{4} 4 = 1 \checkmark $

Si $x = -1 \Rightarrow 2\log_{4}(-1 - 1) = 2\log_{4}(-2) $ ✗

Una forma de hacerlo:

A priori no puedo aplicar propiedades de los logaritmos de forma que me salga algo más manejable:

$$\log x = \dfrac{2 - \log x}{\log x} \Leftrightarrow (\log x)^2 = 2 - \log x \Leftrightarrow (\log x)^2 + \log x - 2 = 0 $$ Si hacemos el cambio de variable $\log x = t$ tenemos una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado que se puede resolver fácilmente:

$$ t^2 + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \text{ o } t = -2 \Leftrightarrow x = 10 \text{ o } x = 10^{-2} = 0,01 $$ Comprobación:

Si $ x = 10 \Rightarrow \log 10 = \dfrac{ 2 - \log 10 }{ \log 10 } \Rightarrow 1 = \dfrac{ 2 - 1}{1} \Rightarrow 1 = 1 \checkmark $

Si $ x = 10^{-2} \Rightarrow \log 10^{-2} = \dfrac{ 2 - \log 10^{-2} }{ \log 10^{-2} } \Rightarrow -2 = \dfrac{ 2 - (-2)}{-2} \Rightarrow -2 = \dfrac{4}{-2}\checkmark $

Aplicamos la propiedad $1 = \log_a a $ y tenemos que:

$$ \log \left ( 2x^2 - 1 \right ) - \log(3x + 2) = 1 - \log 50 \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow \log \left ( 2x^2 - 1 \right ) - \log(3x + 2) = \log 10 - \log 50 \Leftrightarrow $$
$$ \Leftrightarrow \log \left ( 2x^2 - 1 \right ) + \log 50 = \log 10 + \log(3x + 2) \Leftrightarrow \left ( 2x^2 - 1 \right ) \cdot 50 = 10 \cdot (3x + 2) $$
Volvemos a obtener una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado que se puede resolver fácilmente:

$$ \left ( 2x^2 - 1 \right ) \cdot 5\cancel{0} = \cancel{10} \cdot (3x + 2) \Leftrightarrow 10x^2 - 5 -3x - 2 = 0 \Leftrightarrow 10x^2 - 3x - 7 = 0 \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow 10 \left ( x^2 - \dfrac{3x}{10} - \dfrac{7}{10} \right ) = 0 $$ Las soluciones son $x = 1 \text{ y } x = \dfrac{-7}{10}$.

Comprobación:

Si $x = 1 \Rightarrow \log \left ( 2 \cdot 1^2 - 1 \right ) - \log(3 \cdot 1 + 2) = 1 - \log 50 \Rightarrow $
$ \Rightarrow \log 1 - \log 5 = \log 10 - \log 50 \Rightarrow $

$ \Rightarrow -\log 5 = \log \dfrac{1}{5} \Rightarrow \log 5^{-1} = \log \dfrac{1}{5} \checkmark $


Si $x = \dfrac{-7}{10} \Rightarrow \log \left ( 2 \cdot \left( \dfrac{-7}{10} \right)^2 - 1 \right ) - \log \left (3 \cdot \left ( \dfrac{-7}{10} \right ) + 2 \right ) = 1 - \log 50 \Rightarrow $
$ \Rightarrow \log \left ( \dfrac{98}{100} - 1 \right ) = \log \left ( \dfrac{-2}{100} \right ) $

Lo que no puede ser. ✗

Una forma de hacerlo:

$$3\log x - \log x + \log 2 = \log 32 \Leftrightarrow 2\log x + \log 2 = \log 32 \Leftrightarrow \log 2x^2 = \log 32 \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow 2x^2 = 32 $$ Ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado incompleta que se puede resolver fácilmente:

$2x^2 = 32 \Leftrightarrow x^2 = 16 \Leftrightarrow x = \pm 4 $

Comprobación:

Si $x = 4 \Rightarrow 3\log 4 - \log \dfrac{4}{2} = \log 4^3 - \log 2 = \log \dfrac{64}{2} = \log 32 \checkmark $

Si $x = -4 \Rightarrow 3\log (-4) - \log \dfrac{-4}{2} $ Lo que no puede ser. ✗

Aplicamos la propiedad $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y) $ y tenemos que
$$\log(x - 2) + \log (x - 3) = \log \left(x^{2} + 1 \right) \Leftrightarrow \log (x - 2) \cdot (x - 3) = \log \left(x^{2} + 1 \right) \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow (x - 2) \cdot (x - 3) = x^{2} + 1 $$ Ahora tenemos una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado que se puede resolver fácilmente:

$$ (x - 2) \cdot (x - 3) = x^{2} + 1 \Leftrightarrow x^2 - 5x + 6 = x^2 + 1 \Leftrightarrow - 5x + 6 = + 1 \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow 5x = 5 \Leftrightarrow x = 1 $$ Comprobación:

Si $x = 1 \Rightarrow \log(1 - 2) + \log (1 - 3) = \log \left(1^{2} + 1 \right) \Rightarrow \log(-1) + \log ( -2) $ Lo que no puede ser. ✗

Aplicamos la definición de logaritmo y ya está:
$$x^5 = \sqrt{\ 3\ } \Leftrightarrow x = \sqrt[5]{ \ \sqrt{\ 3\ } \ } = \sqrt[10]{\ 3\ } $$

Este ejercicio lo podemos hacer de dos formas:
$\odn{1}{a} forma: $

\[ \log(10 - x) - 1 = \log \left(2x - \dfrac{\ 37\ }{5}\right) \] Haciendo que $1 = \log_{c} c$, este caso $1 = \log 10$: \[ \log(10 - x) - \log 10 = \log\left(2x - \frac{37}{5}\right) \] Combinando logaritmos, aplicando que $\log_{c} a - \log_{c} b = \log_{c} \left ( \dfrac{\ a \ }{ b } \right )$: \[ \log \left( \dfrac{\ 10 - x\ }{10} \right) = \log \left(\ 2x - \dfrac{\ 37\ }{5} \right ) \] Igualando las expresiones sobre las que tomamos logaritmos $\log_{c} A = \log_{c} B \Leftrightarrow A = B$: \[ \dfrac{\ 10 - x\ }{10} = 2x - \dfrac{\ 37\ }{5} \] Multiplicamos los dos miembros de la ecuación por 10: \[ 10 \cdot \dfrac{\ 10 - x\ }{10} = 10 \cdot \left ( 2x - \dfrac{\ 37\ }{5} \right ) \] Resolviendo la ecuación resultante: \[ 10 - x = 20x - 74 \] \[ 84 = 21x \] \[ x = \dfrac{\ 84\ }{ 21 } = 4 \] Comprobamos en la ecuación original: \[ \log(10 - 4) - 1 = \log \left(2 \cdot 4 - \dfrac{\ 37\ }{5}\right) \] \[ \log(6) - 1 = \log \left( 8 - \dfrac{\ 37\ }{5}\right) \] \[ \log(6) - 1 = \log \left( \dfrac{\ 40\ }{5} - \dfrac{\ 37\ }{5}\right) \] \[ \log(6) - 1 = \log \dfrac{\ 3\ }{ 5 } \] \[ \log(6) - 1 = \log \dfrac{\ 6\ }{ 10 } \checkmark \] $\odn{2}{a} forma: $

\[ \log(10 - x) - 1 = \log \left(2x - \dfrac{\ 37\ }{5}\right) \] Pasamos los logaritmos a un lado de la ecuación y el número al otro: \[ \log(10 - x) - \log \left(2x - \dfrac{\ 37\ }{5}\right) = 1 \] Aplicamos las propiedad del logaritmo de una diferencia $\log_{c} a - \log_{c} b = \log_{c} \left ( \dfrac{\ a \ }{ b } \right )$: \[ \log \left ( \dfrac{\ 10 - x\ }{ 2x - \dfrac{\ 37\ }{5} } \right) = 1 \] Y aplicamos la definición de logaritmo: \[ 10^1 = \dfrac{\ 10 - x\ }{ 2x - \dfrac{\ 37\ }{5} } \] Aplicamos el producto en cruz: \[ 10 \cdot \left ( 2x - \dfrac{\ 37\ }{5} \right ) = 10 - x \] Resolviendo la ecuación resultante: \[ 20x - 74 = 10 - x \] \[ 21x = 84 \] \[ x = \dfrac{\ 84\ }{ 21 } = 4 \]

Vamos a resolver esta ecuación, veamos que el 2 puede ser un pequeño inconveniente, pero vemos que $2 = \log 100$ sustituyendo tenemos: $$ \log(2x - 3) + \log(3x - 2) = 2 - \log 25 \Leftrightarrow \log(2x - 3) + \log(3x - 2) = \log 100 - \log 25 $$ Ahora aplicamos la propiedad del logaritmo de la suma: $$ \log (2x - 3) \cdot ( 3x - 2 ) = \log \left ( \dfrac{\ 100 \ }{ 25 }\right ) $$ Igualando las expresiones sobre las que tomamos logaritmos $\log_{c} A = \log_{c} B \Leftrightarrow A = B$: $$ (2x - 3) \cdot ( 3x - 2 ) = 4 $$ Resolvemos la ecuación: $$ 6x^2 - 4x - 9x + 6 = 4 \Leftrightarrow 6x^2 - 13x + 2 = 0 $$ Resolvemos la ecuación de $\odn{2}{o}$ grado: $$ x = \dfrac{\ 13 \pm \sqrt{\ (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2\ } \ }{ 2 \cdot 6 } = \dfrac{\ 13 \pm \sqrt{\ 169 - 48\ } \ }{ 12 } = \dfrac{\ 13 \pm \sqrt{\ 121\ } \ }{ 12 } = \dfrac{\ 13 \pm 11 \ }{ 12 } = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 24 }{ 12 } = 2 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 2 }{ 12 } = \dfrac{\ 1\ }{ 6 } \end{array} $$ Comprobamos:
- $x = 2$: $$ \log \left (2 \cdot 2 - 3 \right ) + \log \left (3 \cdot 2 - 2 \right ) = 2 - \log 25 $$ $$ \log 1 + \log 4 = 2 - \log 25 $$ $$ \log 4 = 2 - \log 25 \leftrightarrow \log 4 = \log 100 - \log 25 \leftrightarrow \log 4 = \log \dfrac{\ 100\ }{ 25 } \leftrightarrow \log 4 = \log 4 \checkmark $$ - $x = \dfrac{\ 1\ }{ 6 }$: $$ \log \left (2 \cdot \dfrac{\ 1\ }{ 6 } - 3 \right ) + \log \left (3 \cdot \dfrac{\ 1\ }{ 6 } - 2 \right ) = 2 - \log 25 $$ $$ \log \left ( \dfrac{\ 1\ }{ 3 } - 3 \right ) + \log \left (\dfrac{\ 1\ }{ 2 } - 2 \right ) = 2 - \log 25 $$ $$ \log \left ( \dfrac{\ -8\ }{ 3 } \right ) + \log \left (\dfrac{\ -3\ }{ 2 } \right ) = 2 - \log 25 $$ Salen logaritmos negativos y eso no puede ser ✗.

\[ \dfrac{\ \log(16 - x^2)\ }{ \log(3x - 4) } = 2 \] Vamos a resolver esta ecuacióneliminado denominadores multiplicando en cruz: \[ \log(16 - x^2) = 2 \cdot \log(3x - 4) \] Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia $p \cdot \log_{c} A = \log_{c} A^p $: \[ \log(16 - x^2) = \log((3x - 4)^2) \] Igualando las expresiones sobre las que tomamos logaritmos $\log_{c} A = \log_{c} B \Leftrightarrow A = B$: \[ 16 - x^2 = (3x - 4)^2 \] Expandiendo y simplificando: \[ 16 - x^2 = 9x^2 - 24x + 16 \] Pasndo todo a la derecha de la ecuación: \[ 0 = 10x^2 - 24x \] Factorizando: \[ 0 = 2x(5x - 12) \] Las soluciones son: \( x = 0 \) o \( 5x - 12 = 0 \Rightarrow 5x = 12 \Rightarrow x = \dfrac{\ 12\ }{5} \)

Comprobamos las soluciones:
- $x = 0$: $$ \dfrac{\ \log(16 - 0^2)\ }{ \log(3 \cdot 0 - 4) } = 2 $$ $$ \dfrac{\ \log 16\ }{ \log( - 4) } = 2 $$ Lo que no pueder ser ya que aparece el logaritmo de un número ngativo en el denominador ✗.

- $x = \dfrac{\ 12\ }{5}$: $$ \dfrac{\ \log \left (16 - \left ( \dfrac{\ 12\ }{5} \right)^2 \right )\ }{ \log \left ( 3 \cdot \dfrac{\ 12\ }{5} - 4 \right) } = 2 $$ $$ \dfrac{\ \log \left (16 - \dfrac{\ 144\ }{ 25 } \right) \ }{ \log \left ( \dfrac{\ 36\ }{5} - 4 \right) } = 2 $$ $$ \dfrac{\ \log \left ( \dfrac{\ 400\ }{ 25 } - \dfrac{\ 144\ }{ 25 } \right) \ }{ \log \left ( \dfrac{\ 36\ }{5} - \dfrac{\ 20\ }{5} \right ) } = 2 $$ $$ \dfrac{\ \log \left ( \dfrac{\ 256\ }{ 25 } \right) \ }{ \log \left ( \dfrac{\ 16\ }{5} \right ) } = 2 $$ $$ \dfrac{\ \log \left ( \dfrac{\ 16\ }{ 5 } \right )^2 \ }{ \log \left ( \dfrac{\ 16\ }{5} \right ) } = 2 \leftrightarrow \dfrac{\ 2 \cdot \left ( \dfrac{\ 16\ }{ 5 } \right ) \ }{ \log \left ( \dfrac{\ 16\ }{5} \right ) } = 2 \leftrightarrow 2 \cdot \dfrac{\ \log \left ( \dfrac{\ 16\ }{ 5 } \right ) \ }{ \log \left ( \dfrac{\ 16\ }{5} \right ) } = 2 \leftrightarrow \dfrac{\ 2 \ }{ 1 } = 2 \checkmark $$

Aplicando la propiedad de logaritmo de potencia: \[ 2\log(x) = -10 \] Dividiendo ambos lados por 2: \[ \log(x) = -5 \] Aplicando la definición de logaritmo: \[ x = 10^{-5} \] La solución es: \[ x = 10^{-5} = \dfrac{\ 1\ }{\ 100.000\ } \]

Aplicando la propiedad de logaritmo de potencia: \[ \log x^2 - \log (x - 6) = 0 \] Pasamos el logaritmo que está restando al otro lado de la igualdad: \[ \log x^2 = \log (x - 6) \] Igualando las expresiones sobre las que tomamos logaritmos $\log_{c} A = \log_{c} B \Leftrightarrow A = B$: \[ x^2 = x - 6 \] Resolvemos la ecuación: \[ x^2 - x + 6 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\ 1 \pm \sqrt{\ 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 \ } \ }{ 2 \cdot 1} = \dfrac{\ 1 \pm \sqrt{\ 1 - 24\ }\ }{ 2 \cdot 1} = \dfrac{\ 1 \pm \sqrt{\ - 23\ } \ }{ 2 \cdot 1} \] Es decir, el discriminante de la ecuación de $\odn{2}{o}$ grado es negativo, es decir, no tiene solución, por tanto la ecuación logarítmica asociada tampoco tiene solución ✗.

\[ \log (x + 1) = \log (x - 1) + 3 \] Pasamos $ \log (x - 1) $ restando al otro lado de la ecuación: \[ \log (x + 1) - \log (x - 1) = 3 \] Aplicando la propiedad de logaritmo de cociente: \[ \log \left( \dfrac{\ x + 1\ }{ x - 1 } \right ) = 3 \] Exponenciando ambos lados para eliminar el logaritmo: \[ \dfrac{\ x + 1\ }{ x - 1 } = 10^3 \] Simplificando: \[ \dfrac{x + 1}{x - 1} = 10^3 \] Multiplicando en cruz: \[ x + 1 = 1000(x - 1) \] REsolviendo la ecuación tenemos: \[ x + 1 = 1000x - 1000 \Rightarrow 1 + 1000 = 1000x - x \Rightarrow 1001 = 999x \rightarrow x = \dfrac{\ 1.001\ }{ 999 } \] Comprobamos: \[ \log \left ( \dfrac{\ 1.001\ }{ 999 } + 1 \right ) = \log \left ( \dfrac{\ 1.001\ }{ 999 } - 1 \right ) + 3 \] \[ \log \left ( \dfrac{\ 1.001\ }{ 999 } + \dfrac{\ 999\ }{ 999 } \right ) = \log \left ( \dfrac{\ 1.001\ }{ 999 } - \dfrac{\ 999 \ }{ 999 } \right ) + 3 \] \[ \log \dfrac{\ 2.000\ }{ 999 } = \log \dfrac{\ 2\ }{ 999 } + 3 \] \[ \log 2.000 - \log 999 = \log 2 - \log 899 + 3 \] \[ \log 1000 + \log 2 - \log 999 = \log 2 - \log 899 + 3 \] \[ 3 + \log 2 - \log 999 = \log 2 - \log 899 + 3 \checkmark \]

Ecuaciones exponenciales

Este tipo de ecuaciones son aquellas en las que la variable $x$ está en el exponente. Puede ocurrir dos cosas:

1. Que las bases sean diferentes, tomaremos logaritmos. Veamos un ejemplo muy sencillo:
$$3^x = 7 \Rightarrow \log_{3} 3^x = \log_{3} 7 \Rightarrow x = \log_3 7 $$
2. Que las bases sean iguales, y diferentes de 0 y 1, es decir:
$$ \ \text{ Si } \ \ a \neq { 1, 0} \quad a^{p(x)} = a^{s(x)} \Leftrightarrow p(x) = s(x) $$
3. Otra opción que podemos manejar es hacer el cambio $a^x =t$ o $a^{g(x)} = t$ para convertirla en una ecuación polinómica.

Veamos algunos ejemplos.
$$ \dfrac{\ 1 \ }{2^x} = 16^{ \dfrac{x \cdot (x - 1)}{2}} \Leftrightarrow 2^{-x} = (2^4)^{ \dfrac{x \cdot (x - 1)}{2} } \Leftrightarrow -x = 2x \cdot (x -1) \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow -x = 2x^2 - 2x \Leftrightarrow 2x^2 - x = 0 \Leftrightarrow x \cdot (2x - 1) = \begin{array}{l} \nearrow x_1 = 0 \cr \cr \searrow x_2 = \dfrac{ \ 1 \ }{ 2 } \end{array}. $$ Comprobación:

Si $x = 0 \Rightarrow \dfrac{1}{ \ 2^0 \ } = 16^0 \Rightarrow 1 = 1 \checkmark $

Si $x = \dfrac{1}{ \ 2 \ } $ entonces $ \dfrac{x \cdot (1 -x) }{2} = \dfrac{\frac{1}{2} \cdot \left (1 - \frac{1}{2} \right ) }{2} = \dfrac{\frac{-1}{2} \cdot \frac{1}{2} }{2} = \dfrac{ \frac{-1}{4} }{2} = \dfrac{-1}{8} $

Así $ 2^{- \dfrac{1}{2} } = \left ( 2^4 \right )^{ \dfrac{-1}{8} } \Rightarrow 2^{- \dfrac{1}{2} } = 2^{- \dfrac{1}{2} } \checkmark $

Otro ejemplo: $$ 3^{2x} - 3^{x - 1} = 3^{x + 1} - 1 $$ Aplicamos las propiedades de las potencias, reordenamos y tenemos:

$$ 3^{2x} - \dfrac{3^x}{3} -3 \cdot 3^x - 1 = 0 \Rightarrow \text{quitamos denominadores} \ \ 3 \cdot 3^{2x} - 3^x - 9 \cdot 3^x - 3 = 0 $$ Hacemos el cambio de variable $3^x = t$ y nos quedará:

$$ (3^{x})^2 - 10 \cdot 3^x - 3 = 0 \Rightarrow \quad (3^x = t) \quad 3t^2 - 10t + 3 = 0 $$ Hemos transformado una ecuación exponencial en una ecuación de segundo grado que todos sabemos resolver: $$ t = \dfrac{ 10 \pm \sqrt{(10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 } }{2 \cdot 3} = \dfrac{ 10 \pm \sqrt{ 100 - 36 } }{ 6 } = \dfrac{ 10 \pm \sqrt{ 64 } }{ 6 } = \dfrac{ 10 \pm 8 }{ 6 } = \begin{array}{l} \oplus \nearrow t_1 = 3  \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 2 }{ 6 } \Rightarrow t_2 = \dfrac{ 1 }{ 3 } \end{array}. $$ Deshacemos el cambio y tenemos:

Si $t = 3 \Rightarrow 3^x = 3 \Rightarrow x = 1 $

Si $t = \dfrac{1}{3} = 3^{-1} \Rightarrow 3^x = 3^{-1} \Rightarrow x = -1 $

Vamos a comprobar:

Si $x = 1 \Rightarrow 3^2 - 1 = 3^2 - 1 \checkmark $

Si $x = -1 \Rightarrow 3^{-2} - 3^{-2} = 3^0 - 1 \Rightarrow 0 = 0 \checkmark $

Como coincide la base y es distinta de 0 y de 1, igualamos los exponentes:
$$ x - 1 = 2x + 1 \Rightarrow -2 = x $$ Si $x = -2 \Rightarrow 3^{-2 - 1} = 3^{2 \cdot (-2) + 1} \Rightarrow 3^{-3} = 3^{-3} \checkmark $

Podemos poner todo en potencias de 2

$$2^{x + 1} = 4 \cdot 8^{x} \Leftrightarrow 2^{x + 1} = 2^2 \cdot \left ( 2^x \right )^3 \Leftrightarrow 2^{x + 1} = 2^{2 + 3x} $$ Como coincide la base y es distinta de 0 y de 1, igualamos los exponentes:
$x + 1 = 2 + 3x \Rightarrow -1 = 2x \Rightarrow x = \dfrac{-1}{2} $

Comprobación:

Si $x = \dfrac{-1}{2} \Rightarrow 2^{\scriptstyle \frac{-1}{2} + 1} = 4 \cdot 8^{\scriptstyle \frac{-1}{2}} \Rightarrow 2^{ \scriptstyle \frac{1}{2} } = \dfrac{4}{ \sqrt{8} } \Rightarrow \sqrt{2} = \dfrac{4}{ 2 \cdot \sqrt{2} } \Rightarrow \sqrt{2} = \dfrac{2}{ \sqrt{2} } \checkmark $

Como coincide la base y es distinta de 0 y de 1, igualamos los exponentes:
$ -x + 1 = 2x + 3 \Rightarrow -2 = 3x \Rightarrow x = \dfrac{-2}{3} $
Vamos a comprobarlo:

Si $x = \dfrac{-2}{3} \Rightarrow 3^{\scriptstyle - \left ( \frac{-2}{3} \right ) + 1} = 3^{\scriptstyle 2 \left (\frac{-2}{3} \right) + 3} \Rightarrow 3^{\scriptstyle \frac{5}{3}} = 3^{\scriptstyle \frac{5}{3}} \checkmark $

Vamos a poner las potencias con la misma base:

$$ 12 \cdot 4^{x + 1} = 3 \cdot 8^{x} \Leftrightarrow 3 \cdot 2^2 \cdot (2^2)^{x + 1} = 3 \cdot (2^3)^{x} \Leftrightarrow 2^2 \cdot (2^2)^{x + 1} = (2^3)^{x} \Leftrightarrow (2)^{2x + 4} = (2)^{3x} $$ Hemos puesto la misma base vamos a igualar los exponentes y tenemos:

$$ 2x + 4 = 3x \Rightarrow 4 = x $$ Vamos a comprobarlo:

Si $x = 4 \Rightarrow 12 \cdot 4^{4 + 1} = 3 \cdot 8^{4} \Rightarrow 12 \cdot 4^5 = 3 \cdot 8^4 \Rightarrow 3 \cdot 4^6 = 3 \cdot 8^4 \Rightarrow 3 \cdot 2^{12} = 3 \cdot 2^{12} \checkmark $

Vamos a poner las potencias con la misma base, ya que $256 = 2^8$:

$$ 2^{1 - x^2} = \dfrac{1}{256} \Leftrightarrow 2^{1 - x^2} = 2^{-8} $$ Hemos puesto la misma base vamos a igualar los exponentes y tenemos:

$$ 1 - x^2 = -8 \Leftrightarrow x^2 = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3 $$ Vamos a comprobarlo:

Si $x = -3 \Rightarrow 2^{1 - (-3)^2} = \dfrac{1}{256} \Rightarrow 2^{-8} = \dfrac{1}{256} \checkmark $

Si $x = +3 \Rightarrow 2^{1 - (+3)^2} = \dfrac{1}{256} \Rightarrow 2^{-8} = \dfrac{1}{256} \checkmark $

Aplicamos las propiedades de las potencias $a^{n - m} = \dfrac{a^n}{a^m}$ y $a^{p + q} = a^p \cdot a^q$:
$$3^{x - 1} + 3^x + 3^{x + 1} = \dfrac{13}{3} \Leftrightarrow \dfrac{3^x}{3} + 3^x + 3\cdot 3^x = \dfrac{13}{3} $$ Multiplicamos por 3 para quitar denominadores:

$$ 3^x + 3 \cdot 3^x + 9 \cdot 3^x = 13 \Leftrightarrow 13 \cdot 3^x = 13 \Leftrightarrow 3^x = 1 \Leftrightarrow x = 0 $$ Comprobación:

Si $x = 0 \Rightarrow 3^{- 1} + 3^0 + 3^1 = \dfrac{1}{3} + 4 = \dfrac{1 + 12}{3} = \dfrac{13}{3} \checkmark $

Aplicamos las propiedades de las potencias $a^{n - m} = \dfrac{a^n}{a^m}$ y $a^{p + q} = a^p \cdot a^q$:
$$3^{x - 1} + 3^x + 3^{x + 1} + 3^{x + 2} = 120 \Leftrightarrow \dfrac{3^x}{3} + 3^x + 3\cdot 3^x + 9 \cdot 3^x = 120 $$ Multiplicamos por 3 para quitar denominadores:

$$ 3^x + 3 \cdot 3^x + 9 \cdot 3^x + 27 \cdot 3^x = 360 \Leftrightarrow 40 \cdot 3^x = 360 \Leftrightarrow 3^x = 9 \Leftrightarrow x = 2 $$ Comprobación:

Si $x = 2 \Rightarrow 3^2 + 3^{1} + 3^4 + 3^3 = 9 + 3 + 81 + 27 = 120 \checkmark $

Aplicamos las propiedades de las potencias $a^{n - m} = \dfrac{a^n}{a^m}$ y $a^{p + q} = a^p \cdot a^q$:
$$ 2^{x - 1} + 2^x + 2^{x + 1} + 2^{x + 2} + 2^{x + 3} = \dfrac{31}{4} \Leftrightarrow \dfrac{2^x}{2} + 2^x + 2\cdot 2^x + 4 \cdot 2^x + 8 \cdot 2^x = \dfrac{31}{4} $$ Multiplicamos por 4 para quitar denominadores:

$$ 2\cdot 2^x + 4\cdot 2^x + 8 \cdot 2^x + 16 \cdot 2^x + 32 \cdot 2^x = 31 \Leftrightarrow 62 \cdot 2^x = 31 \Leftrightarrow 2^x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = -1 $$ Comprobación:

Si $x = -1 \Rightarrow 2^{-2} + 2^{-1} + 2^0 + 2^1 + 2^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} + 7 = \dfrac{1 + 2 + 28 }{4} = \dfrac{31}{4} \checkmark $

Aplicamos las propiedades de las potencias $a^{p + q} = a^p \cdot a^q$ y $(a^s)^t = a^{s\cdot t}$:
$$9^x - 2 \cdot 3^{x + 2} + 81 = 0 \Leftrightarrow (3^x)^2 - 2 \cdot 3^2 \cdot 3^x + 81 = 0 \Leftrightarrow (3^x)^2 - 18 \cdot 3^x + 81 = 0 $$ Hacemos el cambio $t = 3^x$ y nos queda una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado que se resuelve fácilmente:

$$ t^2 - 18 t + 81 = 0 \Leftrightarrow (t -9)^2 = 0 \Leftrightarrow t = 9 \Leftrightarrow 3^x = 9 \Leftrightarrow x = 2 $$ Comprobación:

Si $x = 2 \Rightarrow 9^2 - 2 \cdot 3^{2 + 2} + 81 = 81 - 2 \cdot 81 + 81 = 0 \checkmark $

Aplicamos la propiedad de las potencias $(a^s)^t = a^{s\cdot t}$:
$$3^x - 2 \cdot 9^x + 15 = 0 \Leftrightarrow 3^x - 2 \cdot (3^x)^2 + 15 = 0 \Leftrightarrow 2 \cdot (3^x)^2 - 3^x - 15 = 0 $$ Hacemos el cambio $ 3^x = t $ y tenemos una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado que se resuelve fácilmente:
$$ 2t^2 - t - 15 = 0 \Leftrightarrow 2 \cdot \left ( t^2 - \dfrac{t}{2} - \dfrac{15}{2} \right ) = 0 $$ Se ve que $t = 3$ es raíz y por tanto $t = \dfrac{-5}{2}$ es también raíz.

Si $t = \dfrac{-5}{2} \Rightarrow 3^x = \dfrac{-5}{2} $ lo que no tiene sentido ✗

Si $t = 3 \Rightarrow 3^x = 3 \Rightarrow x = 1$.

Comprobación:

Si $x = 1 \Rightarrow 3^1 - 2 \cdot 9^1 + 15 = 3 - 18 + 15 = 0 \checkmark $

Aplicamos las propiedades de las potencias $a^{n - m} = \dfrac{a^n}{a^m}$, $a^{p + q} = a^p \cdot a^q$ y $(a^s)^t = a^{s\cdot t}$:

$$5^{x + 1} = 10 + 35^{2 - x} \Leftrightarrow 5 \cdot 5^x = 10 + 3 \cdot \dfrac{5^2}{5^x} $$ Simplificamos por 5 y quitamos denominadores $5^x$:

$$ 5^x = 2 + 3 \cdot \dfrac{5}{5^x} \Leftrightarrow (5^x)^2 - 2 \cdot 5^x - 15 = 0 $$ Hacemos el cambio $5^x = t$ y nos queda una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado que se resuelve fácilmente:
$$t^2 - 2t - 15 = 0 \Leftrightarrow (t - 5) \cdot (t + 3) = 0 $$ Si $t = -3 \Rightarrow 5^x = -3 $ lo que no puede ser ✗

Si $t = 5 \Rightarrow 5^x = 5 \Rightarrow x = 1 $

Comprobación: Si $x = 1 \Rightarrow 5^{1 + 1} = 10 + 3 \cdot 5^{2 - 1} \Rightarrow 5^2 = 10 + 3 \cdot 5 \Rightarrow 25 = 10 + 15 $

Aplicamos las propiedades de las potencias $a^{p + q} = a^p \cdot a^q$ y $(a^s)^t = a^{s\cdot t}$:
$$4^x = 8 + 2^{x + 1} \Leftrightarrow (2^x)^2 = 8 + 2 \cdot 2^x \Leftrightarrow (2^x)^2 - 2 \cdot 2^x - 8 = 0 $$ Hacemos el cambio $2x = t $ y nos queda una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado que se resuelve fácilmente:
$$ t^2 - 2t - 8 = 0 \Leftrightarrow (t - 4)(t + 2 ) = 0 \Leftrightarrow t = -2 \text{ o } t = 4 $$ Si $t = -2 \Rightarrow 2^x = -2 $ ✗ Lo que no puede ser.

Si $t = 4 \Rightarrow 2^x = 4 \Rightarrow x = 2 $

Comprobación:

Si $x = 2 \Rightarrow 4^2 = 8 + 2^{2 + 1} \Rightarrow 4^2 = 8 + 2^3 = 8 + 8 \checkmark $

Vamos a dejar las $x$ solas en el exponente:
$$ 2^x + 2^{x - 1} + 2^{x - 2} = 5^x + 5^{x - 1} + 5^{x - 2} \Leftrightarrow 2^x + \dfrac{2^x}{\ 2 \ } + \dfrac{2^x}{\ 2^2 \ } = 5^x + \dfrac{5^x}{\ 5 \ } + \dfrac{5^x}{\ 5^2 \ } \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow 2^x + \dfrac{2^x}{\ 2 \ } + \dfrac{2^x}{\ 4 \ } = 5^x + \dfrac{5^x}{\ 5 \ } + \dfrac{5^x}{\ 25 \ } $$ Sacamos factor común a $2^x$ en la izquierda de la igualdad y a $5^x$ en la derecha de la igualdad:

$$ 2^x \cdot \left ( 1 + \dfrac{1}{\ 2 \ } + \dfrac{1}{\ 4 \ } \right ) = 5^x \cdot \left (1 + \dfrac{ 1 }{\ 5 \ } + \dfrac{ 1 }{\ 25 \ } \right ) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 2^x \cdot \left ( \dfrac{4 + 2 + 1 }{\ 4 \ } \right ) = 5^x \cdot \left ( \dfrac{ 25 + 5 + 1 }{\ 25 \ } \right ) \Rightarrow 2^x \cdot \left ( \dfrac{7 }{\ 4 \ } \right ) = 5^x \cdot \left ( \dfrac{ 31 }{\ 25 \ } \right ) $$ Vamos a pasar las $x$ a un lado de la ecuación y las no $x$ al otro:

$$ \dfrac{ 2^x }{ 5^x } = \dfrac{ 4 \cdot 31 }{\ 7 \cdot 25 \ } \Rightarrow \left ( \dfrac{ 2 }{ 5 } \right )^x = \dfrac{ 4 \cdot 31 }{\ 7 \cdot 25 \ }$$ Tomamos logartimos decimales y nos queda: $$ \log \left ( \dfrac{ 2 }{ 5 } \right )^x = \log \left ( \dfrac{ 4 \cdot 31 }{\ 7 \cdot 25 \ } \right ) \Rightarrow x \cdot \log \left ( \dfrac{ 2 }{ 5 } \right ) = \log \left ( \dfrac{ 4 \cdot 31 }{\ 7 \cdot 25 \ } \right ) \Rightarrow x = \dfrac{\log 124 - \log 175 }{\log 2 - \log 5 } $$
En este ejercicio no haremos la comprobación.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

Errores absoluto y relativo. Ejemplo.

Error absoluto:
$$ \quad E_{a} = | Medida_{exacta} - Media_{aproximada}| $$

Error relativo:
$$ \quad E_{r} = \dfrac{ \ E_{a} \ }{ Medida_{exacta} } = $$

$$ = \dfrac{ | Medida_{exacta} - Media_{aproximada}| }{ Medida_{exacta} } $$ Se quiere evaluar la precisión de dos callbres.

1. Con el calibre A se mide un clllndro de diámetro 3,256 cm y el calibre da una medición de 3,28 cm.
2. Con el calibre B se mide un tornillo de diámetro 0,458 cm y su medición es de 0,47 cm.

¿Qué calibre es más preciso? Calcula los errores relativos y compáralos.

Criterios de divisibilidad: «Otro criterios de divisibilidad ... » del 7, del 11 y del 13.

Criterio de divisibilidad del 11:

Siempre viene en los libros de texto el siguiente criterio, que lía mucho a los discentes:
«Un número es divisible entre 11 cuando la suma de los números que ocupan la posición par menos la suma de los números que ocupan la posición impar es igual a 0 o a un número múltiplo de 11»

En lugar de usar este criterio, vamos a probar con este:

1. Agrupamos las cifras por parejas empezando por la derecha, si el número tiene un número impar de cifras nos quedará una cifra suelta, da igual;
2. Sumamos todos los grupos de cifras que se han formado;
3. - Si el resultado es un número de dos cifras iguales, el número es divisible por 11;
   - Si el resultado es un número de dos cifras diferentes, el número no es divisible por 11;
   - Si el resultado de esta suma es un número de 3 cifras o más se repite el proceso con la suma obtenida.

Veamos unos ejemplos:

1. Número 32.505
   1. Hacemos los grupos de dos cifras empezando por la derecha: 05, 25 y 3
   2. Los sumamos: 05 + 25 + 3 = 33
   3. Tiene las dos cifras iguales luego es divisible por 11.
   Hacemos la división para comprobarlo:

2. Número 873.147
   1. Hacemos los grupos de dos cifras empezando por la derecha: 47, 31, 87;
   2. Los sumamos: 47 + 31 + 87 = 165
   Como el número es de 3 cifras, repetimos el proceso:
   1. Hacemos grupos de dos cifras empezando por la derecha: 65, 1;
   2. Los sumamos: 65 + 1 = 66;
   3. Como el número tiene las dos cifras iguales es múltiplo de 11.
   Hacemos la división para comprobarlo:

3. Número 1.341
   1. Hacemos los grupos de dos cifras empezando por la derecha: 13, 41;
   2. Los sumamos: 13 + 41 = 54
   3. Como el número tiene las dos cifras diferentes, no es divisible por 11.
   Vamos a hacer la división para ver que no es divisible:

Criterio de divisibilidad del 7:

Cogemos el número quitándole la cifra de las unidades y le restamos la cifra de las unidades multiplicada por 2, si el número es múlitplo de 7 ya está, si no sabemos si es múltiplo de 7 porque el número es bastante grande, podemos reiterar el proceso las veces que sea necesario:

Veamos el ejemplo con el número $ 3269 \Rightarrow 326 - 9 \cdot 2 = 326 - 18 = 308$, no lo vemos claro. Reiteramos el proceso y tenemos:

Seguimos con el número $ 308 \Rightarrow 30 - 8 \cdot 2 = 30 - 16 = 14$, que es múltiplo de 7, entonces el número 3269 es múltiplo de 7 y finalizamos el proceso. Hagamos la división para comprobarlo.

Ejercicio 1: Comprobar que 3.748 NO es múltiplo de 7.

Ejercicio 2: Comprobar que 4.221 SÍ es múltiplo de 7.

Criterio de divisibilidad del 13:

Para saber si un número es divisible entre 13, al número que resulta de quitarle la cifra de las unidades le restamos las unidades por 9. Si esa resta tiene como resultado 0 múltiplo de 13 entonces el número es divisible entre 13. Si no vemos con claridad que dicho número es múltiplo de 13 podemos reiterar el proceso.

Ejemplo: Veamos si 1.430 es divisible por 13:

Restamos $ 143 - 9 \cdot 0 = 143 $, reiteramos el proceso y nos queda: $ 14 - 3 \cdot 9 = 14 - 27 = -13 $ que claramente es múltiplo de 13.

Ejercicio 3: Comprobar que 3.748 NO es múltiplo de 13.

Ejercicio 4: Comprobar que 4.238 SÍ es múltiplo de 13.