Ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

Ecuaciones logarítmicas

Para resolver las ecuaciones logarítmicas utilizaremos la definición de logaritmo y sus propiedades, lo que conviene repasar. Vamos a poner la definición de logaritmo de un número real positivo en base un número real positivo distinto de 1:

Definición: Se define el logaritmo en base $M$ de un número real positivo $A$, al número real $a$, exponente, que hay que elevar la base $M$ para obtener el número $A$:

$$ \log_M A = a \Leftrightarrow M^a = A $$

Importante:

• La base $M$ ha de ser positiva y distinta de 1, $ M > 0 $ y $ M \neq 1$, es decir, $M \in \mathbb{R}^+ \setminus \left \{ 1 \right \} $;
• Sólo podemos calcular el logaritmo de números reales positivos, es decir, $ A \in \mathbb{R}^+, A > 0$;
• El logaritmo (exponente) $a$, no tiene restricción alguna, puede ser un número real cualquiera $a \in \mathbb{R}$.
• Si la base es positiva, nunca podremos calcular el logaritmo de un número menor o igual que cero.

Nota:

• Si no se indica la base, eso quiere decir que trabajamos en base $ 10 \Rightarrow \log 75 = \log_{10} 75$
• El logaritmo neperiano es el que está en base $e \simeq 2,718281828459 \ldots \Rightarrow \log_{e} 45 = \ln 45 $

De las propiedades de logaritmos vamos a usar todas, pero en especial la que más vamos a usar es esta:

Si  $ P = Q \Leftrightarrow \log_M P = \log_M Q $ ¡¡¡Cuidado, los logaritmos no se simplifican!!!

Esta propiedad es consecuencia de la biyectividad de la función logarítmica.

También usaremos la propia definición de logaritmo para resolver este tipo de ecuaciones.

Además, en algunos casos, podríamos hacer un cambio de variable $ \log_a x = t$.

Utilizando la definición de logaritmo o la biyectividad del mismo lo que haremos será transformalas en otro tipo de ecuaciones más sencillas que ya sabemos resolver, por ejemplo, a ecuaciones polinómicas. Veamos unos ejercicios:

Veamos una ecuación «logarítmica» en la que tenemos que cambiar de base:

Cambiamos a base 10

$$ 3 \cdot \dfrac{\log 2 }{\log x} + \dfrac{\log 4 }{\log x} = -5 $$ Ponemos $4 = 2^2 $ $$ 3 \cdot \dfrac{\log 2 }{\log x} + \dfrac{\log 2^2 }{\log x} = -5 $$ Aplicamos propiedad del logaritmo de una potencia $$ 3 \cdot \dfrac{\log 2 }{\log x} + 2 \cdot \dfrac{\log 2 }{\log x} = -5 $$ Sumamos las fracciones $$ 5 \cdot \dfrac{\log 2 }{\log x} = -5 $$ Simplificamos 5 y pasamos el $\log x$ multiplicando:
$$ \cancel{5} \cdot \dfrac{ \log 2 }{ \log x } = - \cancel{5} \Leftrightarrow \dfrac{ \log 2 }{ \log x } = -1 \Leftrightarrow \log 2 = - \log x \Leftrightarrow \log x = - \log 2 \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow \log x = \log 2^{-1} \Leftrightarrow x = 2^{-1} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{\ 2 \ } $$ Comprobación $ x = \dfrac{1}{2} $:
$$ 3 \cdot \log_{ \dfrac{1}{2} } 2 + \log_{ \dfrac{1}{2} } 4 = 3 \cdot (-1) - 2 = -3 - 2 = - 5 $$

Veamos una ecuación «logarítmica» en la que aplicaremos la definición de logaritmo:

Aplicamos la definición y se conviente en una ecuación exponencial:
$$ 9^{x - 1} = 3^x + 648 \Leftrightarrow 9^{x - 1} - 3^x - 648 = 0 \Leftrightarrow \dfrac{9^x}{9} - 3^x - 648 = 0 \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow 9^x - 9 \cdot 3^x - 9 \cdot 648 = 0 \Leftrightarrow (3^2)^x - 9 \cdot 3^x - 9 \cdot 648 = 0 \Leftrightarrow (3^x)^2 - 9 \cdot 3^x - 9 \cdot 648 = 0 $$ Hacemos el cambio de variable $3^x = t $ y tenemos

$$ t^2 - 9t - 5832 = 0 $$ $$ t = \dfrac{ 9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5832) } }{2 \cdot 1} = \dfrac{ 9 \pm \sqrt{ 81 + 23328 } }{ 2 } = \dfrac{ 9 \pm \sqrt{ 23409 } }{ 2 } = \dfrac{ 9 \pm 153 }{ 2 } = $$

$$ \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 162 }{ 2 } = 81  \Rightarrow t_1 = 81 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ -144 }{ 2 } = -72 \Rightarrow t_2 = -72 \end{array}. $$ Ahora tenemos que deshacer el cambio, ya que hemos calculado los valores de «t».

Si $t = 81 \Rightarrow 3^x = 81 \Rightarrow 3^x = 3^4 \Rightarrow x = 4 $

     Comprobamos la solución $x = 4 \Rightarrow \log_{9} \left ( 3^4 + 648 \right ) = \log_{9} \left ( 81 + 648 \right ) = \log_{9} \left ( 729 \right ) = \log_{9} \left ( 729 \right ) = \log_{9} \left ( 9^3 \right ) 3 \checkmark $

Si $t =-72 \Rightarrow 3^x = -72$ y eso es imposible, ya que una potencia de base positiva nunca puede ser negativa. ✗ Luego descartamos esta solución.

Ya tenemos los logaritmos con la misma base igualados entonces tenemos que $$ \log_{2} \left( x^{2} - 5x + 4 \right ) = \log_{2}(2x - 6 ) \Leftrightarrow x^{2} - 5x + 4 = 2x - 6 $$ Y ahora lo que tenemos que resolver es una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado para la cual no hace falta aplicar la fórmula:

$$ x^2 - 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \text{ o } x = 5 $$ Comprobamos las soluciones:

Si $x = 2 \Rightarrow \log_{2} \left( 2^{2} - 5 \cdot 2 + 4 \right ) = \log_{2}(2 \cdot 2 - 6 ) \Rightarrow \log_{2} (-2) = \log_{2} (-2) $ ✗

Si $x = 5 \Rightarrow \log_{2} \left( 5^{2} - 5 \cdot 5 + 4 \right ) = \log_{2}(2 \cdot 5 - 6 ) \Rightarrow \log_{2} (4) = \log_{2} (4) \checkmark $

Aplicamos la propiedad $n \cdot \log_a x = \log_a x^n $ y tenemos que

$\log (x - 1)^2 = \log ( x + 11 ) $ y como ya tienen la misma base:

$\log (x - 1)^2 = \log ( x + 11 ) \Leftrightarrow (x - 1)^2 = x + 11 \Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 = x + 11 \Leftrightarrow $

$ \Leftrightarrow x^2 - 3x - 10 = 0$

Ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado que se puede resolver sin fórmula:

$$ x^2 - 3x - 10 = 0 \Leftrightarrow x = -2 \text{ o } x = 5 $$ Comprobamos las soluciones:

Si $x = -2 \Rightarrow 2\log (-2 - 1) = \log ( -2 + 11 ) \Rightarrow 2\log (-3) = \log ( 9 ) $ ✗

Si $x = 5 \Rightarrow 2\log (5 - 1) = \log ( 5 + 11 ) \Rightarrow 2\log (4) = \log ( 16 ) \checkmark $

Aplicamos las propiedades $n \cdot \log_a x = \log_a x^n $ y $ \log_a x - \log_a y = \log_a \left ( \dfrac{x}{y} \right ) $ y tenemos que

$$2 \log x - \log ( x - 16 ) = 2 \Leftrightarrow \log \left ( \dfrac{x^2}{ x - 16 } \right ) = 2 \Leftrightarrow 10^2 = \dfrac{x^2}{ x - 16 } $$ Tenemos una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado que se puede resolver fácilmente:

$$ 10^2 = \dfrac{x^2}{ x - 16 } \Leftrightarrow x^2 - 100x + 1600 = 0 $$ $ x = \dfrac{100 \pm \sqrt{100^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1600) } }{2} = \dfrac{100 \pm \sqrt{10000 - 6400} }{2} = \dfrac{100 \pm \sqrt{ 3600 } }{2} = $

$ = \dfrac{100 \pm 60 }{2} = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 160 }{ 2 } = 80 \Rightarrow x = 80 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 40 }{ 2 } = 20 \Rightarrow x = 20 \end{array} $

Comprobación:

Si $x = 80 \Rightarrow 2\log 80 - \log ( 80 - 16 ) = \log \dfrac{6400}{64} = \log 100 = 2 \checkmark $

Si $x = 20 \Rightarrow 2\log 20 - \log ( 20 - 16 ) = \log \dfrac{400}{4} = \log 100 = 2 \checkmark $

Aplicamos la propiedad $n \cdot \log_a x = \log_a x^n $ y tenemos que

$\log_{4}(x - 1)^2 = 1$ aplicamos la definicón de logaritmo tenemos que

$$(x - 1)^2 = 4 \Leftrightarrow x = -1 \text{ o } x = 3 $$ Comprobación:

Si $x = 3 \Rightarrow 2\log_{4}(3 - 1) = \log_{4} 2^2 = \log_{4} 4 = 1 \checkmark $

Si $x = -1 \Rightarrow 2\log_{4}(-1 - 1) = 2\log_{4}(-2) $ ✗

Una forma de hacerlo:

A priori no puedo aplicar propiedades de los logaritmos de forma que me salga algo más manejable:

$$\log x = \dfrac{2 - \log x}{\log x} \Leftrightarrow (\log x)^2 = 2 - \log x \Leftrightarrow (\log x)^2 + \log x - 2 = 0 $$ Si hacemos el cambio de variable $\log x = t$ tenemos una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado que se puede resolver fácilmente:

$$ t^2 + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \text{ o } t = -2 \Leftrightarrow x = 10 \text{ o } x = 10^{-2} = 0,01 $$ Comprobación:

Si $ x = 10 \Rightarrow \log 10 = \dfrac{ 2 - \log 10 }{ \log 10 } \Rightarrow 1 = \dfrac{ 2 - 1}{1} \Rightarrow 1 = 1 \checkmark $

Si $ x = 10^{-2} \Rightarrow \log 10^{-2} = \dfrac{ 2 - \log 10^{-2} }{ \log 10^{-2} } \Rightarrow -2 = \dfrac{ 2 - (-2)}{-2} \Rightarrow -2 = \dfrac{4}{-2}\checkmark $

Aplicamos la propiedad $1 = \log_a a $ y tenemos que:

$$ \log \left ( 2x^2 - 1 \right ) - \log(3x + 2) = 1 - \log 50 \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow \log \left ( 2x^2 - 1 \right ) - \log(3x + 2) = \log 10 - \log 50 \Leftrightarrow $$
$$ \Leftrightarrow \log \left ( 2x^2 - 1 \right ) + \log 50 = \log 10 + \log(3x + 2) \Leftrightarrow \left ( 2x^2 - 1 \right ) \cdot 50 = 10 \cdot (3x + 2) $$
Volvemos a obtener una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado que se puede resolver fácilmente:

$$ \left ( 2x^2 - 1 \right ) \cdot 5\cancel{0} = \cancel{10} \cdot (3x + 2) \Leftrightarrow 10x^2 - 5 -3x - 2 = 0 \Leftrightarrow 10x^2 - 3x - 7 = 0 \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow 10 \left ( x^2 - \dfrac{3x}{10} - \dfrac{7}{10} \right ) = 0 $$ Las soluciones son $x = 1 \text{ y } x = \dfrac{-7}{10}$.

Comprobación:

Si $x = 1 \Rightarrow \log \left ( 2 \cdot 1^2 - 1 \right ) - \log(3 \cdot 1 + 2) = 1 - \log 50 \Rightarrow $
$ \Rightarrow \log 1 - \log 5 = \log 10 - \log 50 \Rightarrow $

$ \Rightarrow -\log 5 = \log \dfrac{1}{5} \Rightarrow \log 5^{-1} = \log \dfrac{1}{5} \checkmark $


Si $x = \dfrac{-7}{10} \Rightarrow \log \left ( 2 \cdot \left( \dfrac{-7}{10} \right)^2 - 1 \right ) - \log \left (3 \cdot \left ( \dfrac{-7}{10} \right ) + 2 \right ) = 1 - \log 50 \Rightarrow $
$ \Rightarrow \log \left ( \dfrac{98}{100} - 1 \right ) = \log \left ( \dfrac{-2}{100} \right ) $

Lo que no puede ser. ✗

Una forma de hacerlo:

$$3\log x - \log x + \log 2 = \log 32 \Leftrightarrow 2\log x + \log 2 = \log 32 \Leftrightarrow \log 2x^2 = \log 32 \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow 2x^2 = 32 $$ Ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado incompleta que se puede resolver fácilmente:

$2x^2 = 32 \Leftrightarrow x^2 = 16 \Leftrightarrow x = \pm 4 $

Comprobación:

Si $x = 4 \Rightarrow 3\log 4 - \log \dfrac{4}{2} = \log 4^3 - \log 2 = \log \dfrac{64}{2} = \log 32 \checkmark $

Si $x = -4 \Rightarrow 3\log (-4) - \log \dfrac{-4}{2} $ Lo que no puede ser. ✗

Aplicamos la propiedad $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y) $ y tenemos que
$$\log(x - 2) + \log (x - 3) = \log \left(x^{2} + 1 \right) \Leftrightarrow \log (x - 2) \cdot (x - 3) = \log \left(x^{2} + 1 \right) \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow (x - 2) \cdot (x - 3) = x^{2} + 1 $$ Ahora tenemos una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado que se puede resolver fácilmente:

$$ (x - 2) \cdot (x - 3) = x^{2} + 1 \Leftrightarrow x^2 - 5x + 6 = x^2 + 1 \Leftrightarrow - 5x + 6 = + 1 \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow 5x = 5 \Leftrightarrow x = 1 $$ Comprobación:

Si $x = 1 \Rightarrow \log(1 - 2) + \log (1 - 3) = \log \left(1^{2} + 1 \right) \Rightarrow \log(-1) + \log ( -2) $ Lo que no puede ser. ✗

Aplicamos la definición de logaritmo y ya está:
$$x^5 = \sqrt{\ 3\ } \Leftrightarrow x = \sqrt[5]{ \ \sqrt{\ 3\ } \ } = \sqrt[10]{\ 3\ } $$

Este ejercicio lo podemos hacer de dos formas:
$\odn{1}{a} forma: $

\[ \log(10 - x) - 1 = \log \left(2x - \dfrac{\ 37\ }{5}\right) \] Haciendo que $1 = \log_{c} c$, este caso $1 = \log 10$: \[ \log(10 - x) - \log 10 = \log\left(2x - \frac{37}{5}\right) \] Combinando logaritmos, aplicando que $\log_{c} a - \log_{c} b = \log_{c} \left ( \dfrac{\ a \ }{ b } \right )$: \[ \log \left( \dfrac{\ 10 - x\ }{10} \right) = \log \left(\ 2x - \dfrac{\ 37\ }{5} \right ) \] Igualando las expresiones sobre las que tomamos logaritmos $\log_{c} A = \log_{c} B \Leftrightarrow A = B$: \[ \dfrac{\ 10 - x\ }{10} = 2x - \dfrac{\ 37\ }{5} \] Multiplicamos los dos miembros de la ecuación por 10: \[ 10 \cdot \dfrac{\ 10 - x\ }{10} = 10 \cdot \left ( 2x - \dfrac{\ 37\ }{5} \right ) \] Resolviendo la ecuación resultante: \[ 10 - x = 20x - 74 \] \[ 84 = 21x \] \[ x = \dfrac{\ 84\ }{ 21 } = 4 \] Comprobamos en la ecuación original: \[ \log(10 - 4) - 1 = \log \left(2 \cdot 4 - \dfrac{\ 37\ }{5}\right) \] \[ \log(6) - 1 = \log \left( 8 - \dfrac{\ 37\ }{5}\right) \] \[ \log(6) - 1 = \log \left( \dfrac{\ 40\ }{5} - \dfrac{\ 37\ }{5}\right) \] \[ \log(6) - 1 = \log \dfrac{\ 3\ }{ 5 } \] \[ \log(6) - 1 = \log \dfrac{\ 6\ }{ 10 } \checkmark \] $\odn{2}{a} forma: $

\[ \log(10 - x) - 1 = \log \left(2x - \dfrac{\ 37\ }{5}\right) \] Pasamos los logaritmos a un lado de la ecuación y el número al otro: \[ \log(10 - x) - \log \left(2x - \dfrac{\ 37\ }{5}\right) = 1 \] Aplicamos las propiedad del logaritmo de una diferencia $\log_{c} a - \log_{c} b = \log_{c} \left ( \dfrac{\ a \ }{ b } \right )$: \[ \log \left ( \dfrac{\ 10 - x\ }{ 2x - \dfrac{\ 37\ }{5} } \right) = 1 \] Y aplicamos la definición de logaritmo: \[ 10^1 = \dfrac{\ 10 - x\ }{ 2x - \dfrac{\ 37\ }{5} } \] Aplicamos el producto en cruz: \[ 10 \cdot \left ( 2x - \dfrac{\ 37\ }{5} \right ) = 10 - x \] Resolviendo la ecuación resultante: \[ 20x - 74 = 10 - x \] \[ 21x = 84 \] \[ x = \dfrac{\ 84\ }{ 21 } = 4 \]

Vamos a resolver esta ecuación, veamos que el 2 puede ser un pequeño inconveniente, pero vemos que $2 = \log 100$ sustituyendo tenemos: $$ \log(2x - 3) + \log(3x - 2) = 2 - \log 25 \Leftrightarrow \log(2x - 3) + \log(3x - 2) = \log 100 - \log 25 $$ Ahora aplicamos la propiedad del logaritmo de la suma: $$ \log (2x - 3) \cdot ( 3x - 2 ) = \log \left ( \dfrac{\ 100 \ }{ 25 }\right ) $$ Igualando las expresiones sobre las que tomamos logaritmos $\log_{c} A = \log_{c} B \Leftrightarrow A = B$: $$ (2x - 3) \cdot ( 3x - 2 ) = 4 $$ Resolvemos la ecuación: $$ 6x^2 - 4x - 9x + 6 = 4 \Leftrightarrow 6x^2 - 13x + 2 = 0 $$ Resolvemos la ecuación de $\odn{2}{o}$ grado: $$ x = \dfrac{\ 13 \pm \sqrt{\ (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2\ } \ }{ 2 \cdot 6 } = \dfrac{\ 13 \pm \sqrt{\ 169 - 48\ } \ }{ 12 } = \dfrac{\ 13 \pm \sqrt{\ 121\ } \ }{ 12 } = \dfrac{\ 13 \pm 11 \ }{ 12 } = \begin{array}{l} \oplus \nearrow \dfrac{ 24 }{ 12 } = 2 \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 2 }{ 12 } = \dfrac{\ 1\ }{ 6 } \end{array} $$ Comprobamos:
- $x = 2$: $$ \log \left (2 \cdot 2 - 3 \right ) + \log \left (3 \cdot 2 - 2 \right ) = 2 - \log 25 $$ $$ \log 1 + \log 4 = 2 - \log 25 $$ $$ \log 4 = 2 - \log 25 \leftrightarrow \log 4 = \log 100 - \log 25 \leftrightarrow \log 4 = \log \dfrac{\ 100\ }{ 25 } \leftrightarrow \log 4 = \log 4 \checkmark $$ - $x = \dfrac{\ 1\ }{ 6 }$: $$ \log \left (2 \cdot \dfrac{\ 1\ }{ 6 } - 3 \right ) + \log \left (3 \cdot \dfrac{\ 1\ }{ 6 } - 2 \right ) = 2 - \log 25 $$ $$ \log \left ( \dfrac{\ 1\ }{ 3 } - 3 \right ) + \log \left (\dfrac{\ 1\ }{ 2 } - 2 \right ) = 2 - \log 25 $$ $$ \log \left ( \dfrac{\ -8\ }{ 3 } \right ) + \log \left (\dfrac{\ -3\ }{ 2 } \right ) = 2 - \log 25 $$ Salen logaritmos negativos y eso no puede ser ✗.

\[ \dfrac{\ \log(16 - x^2)\ }{ \log(3x - 4) } = 2 \] Vamos a resolver esta ecuacióneliminado denominadores multiplicando en cruz: \[ \log(16 - x^2) = 2 \cdot \log(3x - 4) \] Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia $p \cdot \log_{c} A = \log_{c} A^p $: \[ \log(16 - x^2) = \log((3x - 4)^2) \] Igualando las expresiones sobre las que tomamos logaritmos $\log_{c} A = \log_{c} B \Leftrightarrow A = B$: \[ 16 - x^2 = (3x - 4)^2 \] Expandiendo y simplificando: \[ 16 - x^2 = 9x^2 - 24x + 16 \] Pasndo todo a la derecha de la ecuación: \[ 0 = 10x^2 - 24x \] Factorizando: \[ 0 = 2x(5x - 12) \] Las soluciones son: \( x = 0 \) o \( 5x - 12 = 0 \Rightarrow 5x = 12 \Rightarrow x = \dfrac{\ 12\ }{5} \)

Comprobamos las soluciones:
- $x = 0$: $$ \dfrac{\ \log(16 - 0^2)\ }{ \log(3 \cdot 0 - 4) } = 2 $$ $$ \dfrac{\ \log 16\ }{ \log( - 4) } = 2 $$ Lo que no pueder ser ya que aparece el logaritmo de un número ngativo en el denominador ✗.

- $x = \dfrac{\ 12\ }{5}$: $$ \dfrac{\ \log \left (16 - \left ( \dfrac{\ 12\ }{5} \right)^2 \right )\ }{ \log \left ( 3 \cdot \dfrac{\ 12\ }{5} - 4 \right) } = 2 $$ $$ \dfrac{\ \log \left (16 - \dfrac{\ 144\ }{ 25 } \right) \ }{ \log \left ( \dfrac{\ 36\ }{5} - 4 \right) } = 2 $$ $$ \dfrac{\ \log \left ( \dfrac{\ 400\ }{ 25 } - \dfrac{\ 144\ }{ 25 } \right) \ }{ \log \left ( \dfrac{\ 36\ }{5} - \dfrac{\ 20\ }{5} \right ) } = 2 $$ $$ \dfrac{\ \log \left ( \dfrac{\ 256\ }{ 25 } \right) \ }{ \log \left ( \dfrac{\ 16\ }{5} \right ) } = 2 $$ $$ \dfrac{\ \log \left ( \dfrac{\ 16\ }{ 5 } \right )^2 \ }{ \log \left ( \dfrac{\ 16\ }{5} \right ) } = 2 \leftrightarrow \dfrac{\ 2 \cdot \left ( \dfrac{\ 16\ }{ 5 } \right ) \ }{ \log \left ( \dfrac{\ 16\ }{5} \right ) } = 2 \leftrightarrow 2 \cdot \dfrac{\ \log \left ( \dfrac{\ 16\ }{ 5 } \right ) \ }{ \log \left ( \dfrac{\ 16\ }{5} \right ) } = 2 \leftrightarrow \dfrac{\ 2 \ }{ 1 } = 2 \checkmark $$

Aplicando la propiedad de logaritmo de potencia: \[ 2\log(x) = -10 \] Dividiendo ambos lados por 2: \[ \log(x) = -5 \] Aplicando la definición de logaritmo: \[ x = 10^{-5} \] La solución es: \[ x = 10^{-5} = \dfrac{\ 1\ }{\ 100.000\ } \]

Aplicando la propiedad de logaritmo de potencia: \[ \log x^2 - \log (x - 6) = 0 \] Pasamos el logaritmo que está restando al otro lado de la igualdad: \[ \log x^2 = \log (x - 6) \] Igualando las expresiones sobre las que tomamos logaritmos $\log_{c} A = \log_{c} B \Leftrightarrow A = B$: \[ x^2 = x - 6 \] Resolvemos la ecuación: \[ x^2 - x + 6 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\ 1 \pm \sqrt{\ 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 \ } \ }{ 2 \cdot 1} = \dfrac{\ 1 \pm \sqrt{\ 1 - 24\ }\ }{ 2 \cdot 1} = \dfrac{\ 1 \pm \sqrt{\ - 23\ } \ }{ 2 \cdot 1} \] Es decir, el discriminante de la ecuación de $\odn{2}{o}$ grado es negativo, es decir, no tiene solución, por tanto la ecuación logarítmica asociada tampoco tiene solución ✗.

\[ \log (x + 1) = \log (x - 1) + 3 \] Pasamos $ \log (x - 1) $ restando al otro lado de la ecuación: \[ \log (x + 1) - \log (x - 1) = 3 \] Aplicando la propiedad de logaritmo de cociente: \[ \log \left( \dfrac{\ x + 1\ }{ x - 1 } \right ) = 3 \] Exponenciando ambos lados para eliminar el logaritmo: \[ \dfrac{\ x + 1\ }{ x - 1 } = 10^3 \] Simplificando: \[ \dfrac{x + 1}{x - 1} = 10^3 \] Multiplicando en cruz: \[ x + 1 = 1000(x - 1) \] REsolviendo la ecuación tenemos: \[ x + 1 = 1000x - 1000 \Rightarrow 1 + 1000 = 1000x - x \Rightarrow 1001 = 999x \rightarrow x = \dfrac{\ 1.001\ }{ 999 } \] Comprobamos: \[ \log \left ( \dfrac{\ 1.001\ }{ 999 } + 1 \right ) = \log \left ( \dfrac{\ 1.001\ }{ 999 } - 1 \right ) + 3 \] \[ \log \left ( \dfrac{\ 1.001\ }{ 999 } + \dfrac{\ 999\ }{ 999 } \right ) = \log \left ( \dfrac{\ 1.001\ }{ 999 } - \dfrac{\ 999 \ }{ 999 } \right ) + 3 \] \[ \log \dfrac{\ 2.000\ }{ 999 } = \log \dfrac{\ 2\ }{ 999 } + 3 \] \[ \log 2.000 - \log 999 = \log 2 - \log 899 + 3 \] \[ \log 1000 + \log 2 - \log 999 = \log 2 - \log 899 + 3 \] \[ 3 + \log 2 - \log 999 = \log 2 - \log 899 + 3 \checkmark \]

Ecuaciones exponenciales

Este tipo de ecuaciones son aquellas en las que la variable $x$ está en el exponente. Puede ocurrir dos cosas:

1. Que las bases sean diferentes, tomaremos logaritmos. Veamos un ejemplo muy sencillo:
$$3^x = 7 \Rightarrow \log_{3} 3^x = \log_{3} 7 \Rightarrow x = \log_3 7 $$
2. Que las bases sean iguales, y diferentes de 0 y 1, es decir:
$$ \ \text{ Si } \ \ a \neq { 1, 0} \quad a^{p(x)} = a^{s(x)} \Leftrightarrow p(x) = s(x) $$
3. Otra opción que podemos manejar es hacer el cambio $a^x =t$ o $a^{g(x)} = t$ para convertirla en una ecuación polinómica.

Veamos algunos ejemplos.
$$ \dfrac{\ 1 \ }{2^x} = 16^{ \dfrac{x \cdot (x - 1)}{2}} \Leftrightarrow 2^{-x} = (2^4)^{ \dfrac{x \cdot (x - 1)}{2} } \Leftrightarrow -x = 2x \cdot (x -1) \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow -x = 2x^2 - 2x \Leftrightarrow 2x^2 - x = 0 \Leftrightarrow x \cdot (2x - 1) = \begin{array}{l} \nearrow x_1 = 0 \cr \cr \searrow x_2 = \dfrac{ \ 1 \ }{ 2 } \end{array}. $$ Comprobación:

Si $x = 0 \Rightarrow \dfrac{1}{ \ 2^0 \ } = 16^0 \Rightarrow 1 = 1 \checkmark $

Si $x = \dfrac{1}{ \ 2 \ } $ entonces $ \dfrac{x \cdot (1 -x) }{2} = \dfrac{\frac{1}{2} \cdot \left (1 - \frac{1}{2} \right ) }{2} = \dfrac{\frac{-1}{2} \cdot \frac{1}{2} }{2} = \dfrac{ \frac{-1}{4} }{2} = \dfrac{-1}{8} $

Así $ 2^{- \dfrac{1}{2} } = \left ( 2^4 \right )^{ \dfrac{-1}{8} } \Rightarrow 2^{- \dfrac{1}{2} } = 2^{- \dfrac{1}{2} } \checkmark $

Otro ejemplo: $$ 3^{2x} - 3^{x - 1} = 3^{x + 1} - 1 $$ Aplicamos las propiedades de las potencias, reordenamos y tenemos:

$$ 3^{2x} - \dfrac{3^x}{3} -3 \cdot 3^x - 1 = 0 \Rightarrow \text{quitamos denominadores} \ \ 3 \cdot 3^{2x} - 3^x - 9 \cdot 3^x - 3 = 0 $$ Hacemos el cambio de variable $3^x = t$ y nos quedará:

$$ (3^{x})^2 - 10 \cdot 3^x - 3 = 0 \Rightarrow \quad (3^x = t) \quad 3t^2 - 10t + 3 = 0 $$ Hemos transformado una ecuación exponencial en una ecuación de segundo grado que todos sabemos resolver: $$ t = \dfrac{ 10 \pm \sqrt{(10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 } }{2 \cdot 3} = \dfrac{ 10 \pm \sqrt{ 100 - 36 } }{ 6 } = \dfrac{ 10 \pm \sqrt{ 64 } }{ 6 } = \dfrac{ 10 \pm 8 }{ 6 } = \begin{array}{l} \oplus \nearrow t_1 = 3  \cr \cr \ominus \searrow \dfrac{ 2 }{ 6 } \Rightarrow t_2 = \dfrac{ 1 }{ 3 } \end{array}. $$ Deshacemos el cambio y tenemos:

Si $t = 3 \Rightarrow 3^x = 3 \Rightarrow x = 1 $

Si $t = \dfrac{1}{3} = 3^{-1} \Rightarrow 3^x = 3^{-1} \Rightarrow x = -1 $

Vamos a comprobar:

Si $x = 1 \Rightarrow 3^2 - 1 = 3^2 - 1 \checkmark $

Si $x = -1 \Rightarrow 3^{-2} - 3^{-2} = 3^0 - 1 \Rightarrow 0 = 0 \checkmark $

Como coincide la base y es distinta de 0 y de 1, igualamos los exponentes:
$$ x - 1 = 2x + 1 \Rightarrow -2 = x $$ Si $x = -2 \Rightarrow 3^{-2 - 1} = 3^{2 \cdot (-2) + 1} \Rightarrow 3^{-3} = 3^{-3} \checkmark $

Podemos poner todo en potencias de 2

$$2^{x + 1} = 4 \cdot 8^{x} \Leftrightarrow 2^{x + 1} = 2^2 \cdot \left ( 2^x \right )^3 \Leftrightarrow 2^{x + 1} = 2^{2 + 3x} $$ Como coincide la base y es distinta de 0 y de 1, igualamos los exponentes:
$x + 1 = 2 + 3x \Rightarrow -1 = 2x \Rightarrow x = \dfrac{-1}{2} $

Comprobación:

Si $x = \dfrac{-1}{2} \Rightarrow 2^{\scriptstyle \frac{-1}{2} + 1} = 4 \cdot 8^{\scriptstyle \frac{-1}{2}} \Rightarrow 2^{ \scriptstyle \frac{1}{2} } = \dfrac{4}{ \sqrt{8} } \Rightarrow \sqrt{2} = \dfrac{4}{ 2 \cdot \sqrt{2} } \Rightarrow \sqrt{2} = \dfrac{2}{ \sqrt{2} } \checkmark $

Como coincide la base y es distinta de 0 y de 1, igualamos los exponentes:
$ -x + 1 = 2x + 3 \Rightarrow -2 = 3x \Rightarrow x = \dfrac{-2}{3} $
Vamos a comprobarlo:

Si $x = \dfrac{-2}{3} \Rightarrow 3^{\scriptstyle - \left ( \frac{-2}{3} \right ) + 1} = 3^{\scriptstyle 2 \left (\frac{-2}{3} \right) + 3} \Rightarrow 3^{\scriptstyle \frac{5}{3}} = 3^{\scriptstyle \frac{5}{3}} \checkmark $

Vamos a poner las potencias con la misma base:

$$ 12 \cdot 4^{x + 1} = 3 \cdot 8^{x} \Leftrightarrow 3 \cdot 2^2 \cdot (2^2)^{x + 1} = 3 \cdot (2^3)^{x} \Leftrightarrow 2^2 \cdot (2^2)^{x + 1} = (2^3)^{x} \Leftrightarrow (2)^{2x + 4} = (2)^{3x} $$ Hemos puesto la misma base vamos a igualar los exponentes y tenemos:

$$ 2x + 4 = 3x \Rightarrow 4 = x $$ Vamos a comprobarlo:

Si $x = 4 \Rightarrow 12 \cdot 4^{4 + 1} = 3 \cdot 8^{4} \Rightarrow 12 \cdot 4^5 = 3 \cdot 8^4 \Rightarrow 3 \cdot 4^6 = 3 \cdot 8^4 \Rightarrow 3 \cdot 2^{12} = 3 \cdot 2^{12} \checkmark $

Vamos a poner las potencias con la misma base, ya que $256 = 2^8$:

$$ 2^{1 - x^2} = \dfrac{1}{256} \Leftrightarrow 2^{1 - x^2} = 2^{-8} $$ Hemos puesto la misma base vamos a igualar los exponentes y tenemos:

$$ 1 - x^2 = -8 \Leftrightarrow x^2 = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3 $$ Vamos a comprobarlo:

Si $x = -3 \Rightarrow 2^{1 - (-3)^2} = \dfrac{1}{256} \Rightarrow 2^{-8} = \dfrac{1}{256} \checkmark $

Si $x = +3 \Rightarrow 2^{1 - (+3)^2} = \dfrac{1}{256} \Rightarrow 2^{-8} = \dfrac{1}{256} \checkmark $

Aplicamos las propiedades de las potencias $a^{n - m} = \dfrac{a^n}{a^m}$ y $a^{p + q} = a^p \cdot a^q$:
$$3^{x - 1} + 3^x + 3^{x + 1} = \dfrac{13}{3} \Leftrightarrow \dfrac{3^x}{3} + 3^x + 3\cdot 3^x = \dfrac{13}{3} $$ Multiplicamos por 3 para quitar denominadores:

$$ 3^x + 3 \cdot 3^x + 9 \cdot 3^x = 13 \Leftrightarrow 13 \cdot 3^x = 13 \Leftrightarrow 3^x = 1 \Leftrightarrow x = 0 $$ Comprobación:

Si $x = 0 \Rightarrow 3^{- 1} + 3^0 + 3^1 = \dfrac{1}{3} + 4 = \dfrac{1 + 12}{3} = \dfrac{13}{3} \checkmark $

Aplicamos las propiedades de las potencias $a^{n - m} = \dfrac{a^n}{a^m}$ y $a^{p + q} = a^p \cdot a^q$:
$$3^{x - 1} + 3^x + 3^{x + 1} + 3^{x + 2} = 120 \Leftrightarrow \dfrac{3^x}{3} + 3^x + 3\cdot 3^x + 9 \cdot 3^x = 120 $$ Multiplicamos por 3 para quitar denominadores:

$$ 3^x + 3 \cdot 3^x + 9 \cdot 3^x + 27 \cdot 3^x = 360 \Leftrightarrow 40 \cdot 3^x = 360 \Leftrightarrow 3^x = 9 \Leftrightarrow x = 2 $$ Comprobación:

Si $x = 2 \Rightarrow 3^2 + 3^{1} + 3^4 + 3^3 = 9 + 3 + 81 + 27 = 120 \checkmark $

Aplicamos las propiedades de las potencias $a^{n - m} = \dfrac{a^n}{a^m}$ y $a^{p + q} = a^p \cdot a^q$:
$$ 2^{x - 1} + 2^x + 2^{x + 1} + 2^{x + 2} + 2^{x + 3} = \dfrac{31}{4} \Leftrightarrow \dfrac{2^x}{2} + 2^x + 2\cdot 2^x + 4 \cdot 2^x + 8 \cdot 2^x = \dfrac{31}{4} $$ Multiplicamos por 4 para quitar denominadores:

$$ 2\cdot 2^x + 4\cdot 2^x + 8 \cdot 2^x + 16 \cdot 2^x + 32 \cdot 2^x = 31 \Leftrightarrow 62 \cdot 2^x = 31 \Leftrightarrow 2^x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = -1 $$ Comprobación:

Si $x = -1 \Rightarrow 2^{-2} + 2^{-1} + 2^0 + 2^1 + 2^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} + 7 = \dfrac{1 + 2 + 28 }{4} = \dfrac{31}{4} \checkmark $

Aplicamos las propiedades de las potencias $a^{p + q} = a^p \cdot a^q$ y $(a^s)^t = a^{s\cdot t}$:
$$9^x - 2 \cdot 3^{x + 2} + 81 = 0 \Leftrightarrow (3^x)^2 - 2 \cdot 3^2 \cdot 3^x + 81 = 0 \Leftrightarrow (3^x)^2 - 18 \cdot 3^x + 81 = 0 $$ Hacemos el cambio $t = 3^x$ y nos queda una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado que se resuelve fácilmente:

$$ t^2 - 18 t + 81 = 0 \Leftrightarrow (t -9)^2 = 0 \Leftrightarrow t = 9 \Leftrightarrow 3^x = 9 \Leftrightarrow x = 2 $$ Comprobación:

Si $x = 2 \Rightarrow 9^2 - 2 \cdot 3^{2 + 2} + 81 = 81 - 2 \cdot 81 + 81 = 0 \checkmark $

Aplicamos la propiedad de las potencias $(a^s)^t = a^{s\cdot t}$:
$$3^x - 2 \cdot 9^x + 15 = 0 \Leftrightarrow 3^x - 2 \cdot (3^x)^2 + 15 = 0 \Leftrightarrow 2 \cdot (3^x)^2 - 3^x - 15 = 0 $$ Hacemos el cambio $ 3^x = t $ y tenemos una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado que se resuelve fácilmente:
$$ 2t^2 - t - 15 = 0 \Leftrightarrow 2 \cdot \left ( t^2 - \dfrac{t}{2} - \dfrac{15}{2} \right ) = 0 $$ Se ve que $t = 3$ es raíz y por tanto $t = \dfrac{-5}{2}$ es también raíz.

Si $t = \dfrac{-5}{2} \Rightarrow 3^x = \dfrac{-5}{2} $ lo que no tiene sentido ✗

Si $t = 3 \Rightarrow 3^x = 3 \Rightarrow x = 1$.

Comprobación:

Si $x = 1 \Rightarrow 3^1 - 2 \cdot 9^1 + 15 = 3 - 18 + 15 = 0 \checkmark $

Aplicamos las propiedades de las potencias $a^{n - m} = \dfrac{a^n}{a^m}$, $a^{p + q} = a^p \cdot a^q$ y $(a^s)^t = a^{s\cdot t}$:

$$5^{x + 1} = 10 + 35^{2 - x} \Leftrightarrow 5 \cdot 5^x = 10 + 3 \cdot \dfrac{5^2}{5^x} $$ Simplificamos por 5 y quitamos denominadores $5^x$:

$$ 5^x = 2 + 3 \cdot \dfrac{5}{5^x} \Leftrightarrow (5^x)^2 - 2 \cdot 5^x - 15 = 0 $$ Hacemos el cambio $5^x = t$ y nos queda una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado que se resuelve fácilmente:
$$t^2 - 2t - 15 = 0 \Leftrightarrow (t - 5) \cdot (t + 3) = 0 $$ Si $t = -3 \Rightarrow 5^x = -3 $ lo que no puede ser ✗

Si $t = 5 \Rightarrow 5^x = 5 \Rightarrow x = 1 $

Comprobación: Si $x = 1 \Rightarrow 5^{1 + 1} = 10 + 3 \cdot 5^{2 - 1} \Rightarrow 5^2 = 10 + 3 \cdot 5 \Rightarrow 25 = 10 + 15 $

Aplicamos las propiedades de las potencias $a^{p + q} = a^p \cdot a^q$ y $(a^s)^t = a^{s\cdot t}$:
$$4^x = 8 + 2^{x + 1} \Leftrightarrow (2^x)^2 = 8 + 2 \cdot 2^x \Leftrightarrow (2^x)^2 - 2 \cdot 2^x - 8 = 0 $$ Hacemos el cambio $2x = t $ y nos queda una ecuación de $2^{\underline{\circ}}$ grado que se resuelve fácilmente:
$$ t^2 - 2t - 8 = 0 \Leftrightarrow (t - 4)(t + 2 ) = 0 \Leftrightarrow t = -2 \text{ o } t = 4 $$ Si $t = -2 \Rightarrow 2^x = -2 $ ✗ Lo que no puede ser.

Si $t = 4 \Rightarrow 2^x = 4 \Rightarrow x = 2 $

Comprobación:

Si $x = 2 \Rightarrow 4^2 = 8 + 2^{2 + 1} \Rightarrow 4^2 = 8 + 2^3 = 8 + 8 \checkmark $

Vamos a dejar las $x$ solas en el exponente:
$$ 2^x + 2^{x - 1} + 2^{x - 2} = 5^x + 5^{x - 1} + 5^{x - 2} \Leftrightarrow 2^x + \dfrac{2^x}{\ 2 \ } + \dfrac{2^x}{\ 2^2 \ } = 5^x + \dfrac{5^x}{\ 5 \ } + \dfrac{5^x}{\ 5^2 \ } \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow 2^x + \dfrac{2^x}{\ 2 \ } + \dfrac{2^x}{\ 4 \ } = 5^x + \dfrac{5^x}{\ 5 \ } + \dfrac{5^x}{\ 25 \ } $$ Sacamos factor común a $2^x$ en la izquierda de la igualdad y a $5^x$ en la derecha de la igualdad:

$$ 2^x \cdot \left ( 1 + \dfrac{1}{\ 2 \ } + \dfrac{1}{\ 4 \ } \right ) = 5^x \cdot \left (1 + \dfrac{ 1 }{\ 5 \ } + \dfrac{ 1 }{\ 25 \ } \right ) \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow 2^x \cdot \left ( \dfrac{4 + 2 + 1 }{\ 4 \ } \right ) = 5^x \cdot \left ( \dfrac{ 25 + 5 + 1 }{\ 25 \ } \right ) \Rightarrow 2^x \cdot \left ( \dfrac{7 }{\ 4 \ } \right ) = 5^x \cdot \left ( \dfrac{ 31 }{\ 25 \ } \right ) $$ Vamos a pasar las $x$ a un lado de la ecuación y las no $x$ al otro:

$$ \dfrac{ 2^x }{ 5^x } = \dfrac{ 4 \cdot 31 }{\ 7 \cdot 25 \ } \Rightarrow \left ( \dfrac{ 2 }{ 5 } \right )^x = \dfrac{ 4 \cdot 31 }{\ 7 \cdot 25 \ }$$ Tomamos logartimos decimales y nos queda: $$ \log \left ( \dfrac{ 2 }{ 5 } \right )^x = \log \left ( \dfrac{ 4 \cdot 31 }{\ 7 \cdot 25 \ } \right ) \Rightarrow x \cdot \log \left ( \dfrac{ 2 }{ 5 } \right ) = \log \left ( \dfrac{ 4 \cdot 31 }{\ 7 \cdot 25 \ } \right ) \Rightarrow x = \dfrac{\log 124 - \log 175 }{\log 2 - \log 5 } $$
En este ejercicio no haremos la comprobación.

Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com