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domingo, 17 de octubre de 2021
Ecuaciones logarítmicas y exponenciales.
Ecuaciones logarítmicas
Para resolver las ecuaciones logarítmicas utilizaremos la definición de
logaritmo y sus propiedades, lo que conviene repasar. Vamos a poner la definición de logaritmo de un
número real positivo en base un número real positivo distinto de 1:
Definición: Se define el logaritmo en base de un número real
positivo , al número real , exponente, que hay que elevar la base
para obtener el número :
Importante:
La base ha de ser positiva y distinta de 1, y ,
es decir, ;
Sólo podemos calcular el logaritmo de números reales positivos, es decir, ;
El logaritmo (exponente) , no tiene restricción alguna, puede
ser un número real cualquiera .
Si la base es positiva, nunca podremos calcular el logaritmo de un número
menor o igual que cero.
Nota:
Si no se indica la base, eso quiere decir que trabajamos en base
El logaritmo neperiano es el que está en base
De las propiedades de logaritmos vamos a usar todas, pero en especial la que más
vamos a usar es esta:
Si ¡¡¡Cuidado, los
logaritmos no se simplifican!!!
Esta propiedad es consecuencia de la biyectividad de la función logarítmica.
También usaremos la propia definición de logaritmo para resolver este tipo de ecuaciones.
Además, en algunos casos, podríamos hacer un cambio de variable .
Utilizando la definición de logaritmo o la biyectividad del mismo lo que haremos será transformalas en otro tipo de ecuaciones más sencillas
que ya sabemos resolver, por ejemplo, a ecuaciones polinómicas. Veamos unos ejercicios:
Veamos una ecuación «logarítmica» en la que tenemos que cambiar de base:
Cambiamos a base 10
Ponemos
Aplicamos propiedad del logaritmo de una potencia Sumamos las fracciones Simplificamos 5 y pasamos el
multiplicando: Comprobación :
Veamos una ecuación «logarítmica» en la que aplicaremos la definición de
logaritmo:
Aplicamos la definición y se conviente en una ecuación exponencial: Hacemos el cambio de variable y tenemos
Ahora
tenemos que deshacer el cambio, ya que hemos calculado los valores de «t».
Si
Comprobamos la solución
Si y eso es imposible, ya que una potencia de
base positiva nunca puede ser negativa. ✗ Luego descartamos esta solución.
Ya tenemos los logaritmos con la misma base igualados entonces tenemos que
Y ahora lo que tenemos que resolver es una ecuación de grado para la cual no hace falta aplicar la fórmula:
Comprobamos las soluciones:
Si ✗
Si
Aplicamos la propiedad y tenemos que
y como ya tienen la misma base:
Ecuación de grado que se puede resolver sin fórmula:
Comprobamos las soluciones:
Si ✗
Si
Aplicamos las propiedades y y tenemos que
Tenemos una ecuación de grado que se puede resolver fácilmente:
Comprobación:
Si
Si
Aplicamos la propiedad y tenemos que
aplicamos la definicón de logaritmo tenemos que
Comprobación:
Si
Si ✗
Una forma de hacerlo:
A priori no puedo aplicar propiedades de los logaritmos de forma que me salga algo más manejable:
Si hacemos el cambio de variable tenemos una ecuación de grado que se puede resolver fácilmente:
Comprobación:
Si
Si
Aplicamos la propiedad y tenemos que:
Volvemos a obtener una ecuación de grado que se puede resolver fácilmente:
Las soluciones son .
Comprobación:
Si
Si
Lo que no puede ser. ✗
Una forma de hacerlo:
Ecuación de grado incompleta que se puede resolver fácilmente:
Comprobación:
Si
Si Lo que no puede ser. ✗
Aplicamos la propiedad y tenemos que
Ahora tenemos una ecuación de grado que se puede resolver fácilmente:
Comprobación:
Si Lo que no puede ser. ✗
Aplicamos la definición de logaritmo y ya está:
Este ejercicio lo podemos hacer de dos formas:
Haciendo que , este caso :
Combinando logaritmos, aplicando que :
Igualando las expresiones sobre las que tomamos logaritmos :
Multiplicamos los dos miembros de la ecuación por 10:
Resolviendo la ecuación resultante:
Comprobamos en la ecuación original:
Pasamos los logaritmos a un lado de la ecuación y el número al otro:
Aplicamos las propiedad del logaritmo de una diferencia :
Y aplicamos la definición de logaritmo:
Aplicamos el producto en cruz:
Resolviendo la ecuación resultante:
Vamos a resolver esta ecuación, veamos que el 2 puede ser un pequeño inconveniente, pero vemos que sustituyendo tenemos:
Ahora aplicamos la propiedad del logaritmo de la suma:
Igualando las expresiones sobre las que tomamos logaritmos :
Resolvemos la ecuación:
Resolvemos la ecuación de grado:
Comprobamos:
- :
- :
Salen logaritmos negativos y eso no puede ser ✗.
Vamos a resolver esta ecuacióneliminado denominadores multiplicando en cruz:
Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia :
Igualando las expresiones sobre las que tomamos logaritmos :
Expandiendo y simplificando:
Pasndo todo a la derecha de la ecuación:
Factorizando:
Las soluciones son:
o
Comprobamos las soluciones:
- :
Lo que no pueder ser ya que aparece el logaritmo de un número ngativo en el denominador ✗.
- :
Aplicando la propiedad de logaritmo de potencia:
Dividiendo ambos lados por 2:
Aplicando la definición de logaritmo:
La solución es:
Aplicando la propiedad de logaritmo de potencia:
Pasamos el logaritmo que está restando al otro lado de la igualdad:
Igualando las expresiones sobre las que tomamos logaritmos :
Resolvemos la ecuación:
Es decir, el discriminante de la ecuación de grado es negativo, es decir, no tiene solución, por tanto la ecuación logarítmica asociada tampoco tiene solución ✗.
Pasamos restando al otro lado de la ecuación:
Aplicando la propiedad de logaritmo de cociente:
Exponenciando ambos lados para eliminar el logaritmo:
Simplificando:
Multiplicando en cruz:
REsolviendo la ecuación tenemos:
Comprobamos:
Ecuaciones exponenciales
Este tipo de ecuaciones son aquellas en las que la variable está en el
exponente. Puede ocurrir dos cosas:
Que las bases sean diferentes, tomaremos logaritmos. Veamos un ejemplo muy
sencillo:
Que las bases sean iguales, y diferentes de 0 y 1, es decir:
Otra opción que podemos manejar es hacer el cambio o para convertirla en una ecuación polinómica.
Veamos algunos ejemplos.
Comprobación:
Si
Si entonces
Así
Otro ejemplo: Aplicamos las
propiedades de las potencias, reordenamos y tenemos:
Hacemos el
cambio de variable y nos quedará:
Hemos transformado una ecuación exponencial en una ecuación de
segundo grado que todos sabemos resolver: Deshacemos el cambio y
tenemos:
Si
Si
Vamos a comprobar:
Si
Si
Como coincide la base y es distinta de 0 y de 1, igualamos los exponentes:
Si
Podemos poner todo en potencias de 2
Como coincide la base y es distinta de 0 y de 1, igualamos los exponentes:
Comprobación:
Si
Como coincide la base y es distinta de 0 y de 1, igualamos los exponentes:
Vamos a comprobarlo:
Si
Vamos a poner las potencias con la misma base:
Hemos puesto la misma base vamos a igualar los exponentes y tenemos:
Vamos a comprobarlo:
Si
Vamos a poner las potencias con la misma base, ya que :
Hemos puesto la misma base vamos a igualar los exponentes y tenemos:
Vamos a comprobarlo:
Si
Si
Aplicamos las propiedades de las potencias y :
Multiplicamos por 3 para quitar denominadores:
Comprobación:
Si
Aplicamos las propiedades de las potencias y :
Multiplicamos por 3 para quitar denominadores:
Comprobación:
Si
Aplicamos las propiedades de las potencias y :
Multiplicamos por 4 para quitar denominadores:
Comprobación:
Si
Aplicamos las propiedades de las potencias y :
Hacemos el cambio y nos queda una ecuación de grado que se resuelve fácilmente:
Comprobación:
Si
Aplicamos la propiedad de las potencias :
Hacemos el cambio y tenemos una ecuación de grado que se resuelve fácilmente:
Se ve que es raíz y por tanto es también raíz.
Si lo que no tiene sentido ✗
Si .
Comprobación:
Si
Aplicamos las propiedades de las potencias , y :
Simplificamos por 5 y quitamos denominadores :
Hacemos el cambio y nos queda una ecuación de grado que se resuelve fácilmente:
Si lo que no puede ser ✗
Si
Comprobación:
Si
Aplicamos las propiedades de las potencias y :
Hacemos el cambio y nos queda una ecuación de grado que se resuelve fácilmente:
Si ✗ Lo que no puede ser.
Si
Comprobación:
Si
Vamos a dejar las solas en el exponente:
Sacamos factor común a en la izquierda de la igualdad y a en la
derecha de la igualdad:
Vamos a pasar las a un lado de la ecuación y las no al otro:
Tomamos logartimos decimales y nos queda:
En este ejercicio no haremos la comprobación.
Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello
podéis mandar un correo a
profesor.maties@gmail.com
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