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El aprendizaje ocurre cuando alquien quiere aprender, no cuando alguien quiere enseñar. «Roger Schanck»


Si quieres aprender enseña. «Cicerón»


Cuando uno enseña, dos aprenden. «Robert Heinlein»


Si la gente no cree que las matemáticas son sencillas, es sólo porque no se da cuenta de lo complicada que es la vida. «John Von Neumann»

«George Polya» dijo una vez: «Es mejor resolver un problema de 5 formas diferentes que resolver 5 problemas de la misma forma».

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Matemáticas, humor y +.

Hay que tomarse siempre las cosas con un poco de humor ... con mucho humor y más humor ¿Quién no ha pasado por estos estado...

domingo, 17 de octubre de 2021

Ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

Ecuaciones logarítmicas


Para resolver las ecuaciones logarítmicas utilizaremos la definición de logaritmo y sus propiedades, lo que conviene repasar. Vamos a poner la definición de logaritmo de un número real positivo en base un número real positivo distinto de 1:

Definición: Se define el logaritmo en base M de un número real positivo A, al número real a, exponente, que hay que elevar la base M para obtener el número A:

logMA=aMa=A

Importante:

  • La base M ha de ser positiva y distinta de 1, M>0 y M1, es decir, MR+{1};
  • Sólo podemos calcular el logaritmo de números reales positivos, es decir, AR+,A>0;
  • El logaritmo (exponente) a, no tiene restricción alguna, puede ser un número real cualquiera aR.
  • Si la base es positiva, nunca podremos calcular el logaritmo de un número menor o igual que cero.

Nota:

  • Si no se indica la base, eso quiere decir que trabajamos en base 10log75=log1075
  • El logaritmo neperiano es el que está en base e2,718281828459loge45=ln45


De las propiedades de logaritmos vamos a usar todas, pero en especial la que más vamos a usar es esta:

Si  P=QlogMP=logMQ ¡¡¡Cuidado, los logaritmos no se simplifican!!!

Esta propiedad es consecuencia de la biyectividad de la función logarítmica.

También usaremos la propia definición de logaritmo para resolver este tipo de ecuaciones.

Además, en algunos casos, podríamos hacer un cambio de variable logax=t.

Utilizando la definición de logaritmo o la biyectividad del mismo lo que haremos será transformalas en otro tipo de ecuaciones más sencillas que ya sabemos resolver, por ejemplo, a ecuaciones polinómicas. Veamos unos ejercicios:

Veamos una ecuación «logarítmica» en la que tenemos que cambiar de base:

Cambiamos a base 10

3log2logx+log4logx=5 Ponemos 4=22 3log2logx+log22logx=5 Aplicamos propiedad del logaritmo de una potencia 3log2logx+2log2logx=5 Sumamos las fracciones 5log2logx=5 Simplificamos 5 y pasamos el logx multiplicando:
5log2logx=5log2logx=1log2=logxlogx=log2 logx=log21x=21x=1 2  Comprobación x=12:
3log122+log124=3(1)2=32=5





Veamos una ecuación «logarítmica» en la que aplicaremos la definición de logaritmo:


Aplicamos la definición y se conviente en una ecuación exponencial:
9x1=3x+6489x13x648=09x93x648=0 9x93x9648=0(32)x93x9648=0(3x)293x9648=0 Hacemos el cambio de variable 3x=t y tenemos

t29t5832=0 t=9±(9)241(5832)21=9±81+233282=9±234092=9±1532=

1622=81t1=811442=72t2=72. Ahora tenemos que deshacer el cambio, ya que hemos calculado los valores de «t».

Si t=813x=813x=34x=4

     Comprobamos la solución x=4log9(34+648)=log9(81+648)=log9(729)=log9(729)=log9(93)3

Si t=723x=72 y eso es imposible, ya que una potencia de base positiva nunca puede ser negativa. ✗ Luego descartamos esta solución.






Ya tenemos los logaritmos con la misma base igualados entonces tenemos que log2(x25x+4)=log2(2x6)x25x+4=2x6 Y ahora lo que tenemos que resolver es una ecuación de 2 grado para la cual no hace falta aplicar la fórmula:

x27x+10=0x=2 o x=5 Comprobamos las soluciones:

Si x=2log2(2252+4)=log2(226)log2(2)=log2(2)

Si x=5log2(5255+4)=log2(256)log2(4)=log2(4)








Aplicamos la propiedad nlogax=logaxn y tenemos que

log(x1)2=log(x+11) y como ya tienen la misma base:

log(x1)2=log(x+11)(x1)2=x+11x22x+1=x+11

x23x10=0

Ecuación de 2 grado que se puede resolver sin fórmula:

x23x10=0x=2 o x=5 Comprobamos las soluciones:

Si x=22log(21)=log(2+11)2log(3)=log(9)

Si x=52log(51)=log(5+11)2log(4)=log(16)








Aplicamos las propiedades nlogax=logaxn y logaxlogay=loga(xy) y tenemos que

2logxlog(x16)=2log(x2x16)=2102=x2x16 Tenemos una ecuación de 2 grado que se puede resolver fácilmente:

102=x2x16x2100x+1600=0 x=100±100241(1600)2=100±1000064002=100±36002=

=100±602=1602=80x=80402=20x=20

Comprobación:

Si x=802log80log(8016)=log640064=log100=2

Si x=202log20log(2016)=log4004=log100=2








Aplicamos la propiedad nlogax=logaxn y tenemos que

log4(x1)2=1 aplicamos la definicón de logaritmo tenemos que

(x1)2=4x=1 o x=3 Comprobación:

Si x=32log4(31)=log422=log44=1

Si x=12log4(11)=2log4(2)








Una forma de hacerlo:

A priori no puedo aplicar propiedades de los logaritmos de forma que me salga algo más manejable:

logx=2logxlogx(logx)2=2logx(logx)2+logx2=0 Si hacemos el cambio de variable logx=t tenemos una ecuación de 2 grado que se puede resolver fácilmente:

t2+t2=0t=1 o t=2x=10 o x=102=0,01 Comprobación:

Si x=10log10=2log10log101=2111=1

Si x=102log102=2log102log1022=2(2)22=42








Aplicamos la propiedad 1=logaa y tenemos que:

log(2x21)log(3x+2)=1log50 log(2x21)log(3x+2)=log10log50
log(2x21)+log50=log10+log(3x+2)(2x21)50=10(3x+2)
Volvemos a obtener una ecuación de 2 grado que se puede resolver fácilmente:

(2x21)50=10(3x+2)10x253x2=010x23x7=0 10(x23x10710)=0 Las soluciones son x=1 y x=710.

Comprobación:

Si x=1log(2121)log(31+2)=1log50
log1log5=log10log50

log5=log15log51=log15


Si x=710log(2(710)21)log(3(710)+2)=1log50
log(981001)=log(2100)

Lo que no puede ser. ✗








Una forma de hacerlo:

3logxlogx+log2=log322logx+log2=log32log2x2=log32 2x2=32 Ecuación de 2 grado incompleta que se puede resolver fácilmente:

2x2=32x2=16x=±4

Comprobación:

Si x=43log4log42=log43log2=log642=log32

Si x=43log(4)log42 Lo que no puede ser. ✗








Aplicamos la propiedad logax+logay=loga(xy) y tenemos que
log(x2)+log(x3)=log(x2+1)log(x2)(x3)=log(x2+1) (x2)(x3)=x2+1 Ahora tenemos una ecuación de 2 grado que se puede resolver fácilmente:

(x2)(x3)=x2+1x25x+6=x2+15x+6=+1 5x=5x=1 Comprobación:

Si x=1log(12)+log(13)=log(12+1)log(1)+log(2) Lo que no puede ser. ✗








Aplicamos la definición de logaritmo y ya está:
x5= 3 x=  3  5= 3 10






Este ejercicio lo podemos hacer de dos formas:
1aforma:

log(10x)1=log(2x 37 5) Haciendo que 1=logcc, este caso 1=log10: log(10x)log10=log(2x375) Combinando logaritmos, aplicando que logcalogcb=logc( a b): log( 10x 10)=log( 2x 37 5) Igualando las expresiones sobre las que tomamos logaritmos logcA=logcBA=B:  10x 10=2x 37 5 Multiplicamos los dos miembros de la ecuación por 10: 10 10x 10=10(2x 37 5) Resolviendo la ecuación resultante: 10x=20x74 84=21x x= 84 21=4 Comprobamos en la ecuación original: log(104)1=log(24 37 5) log(6)1=log(8 37 5) log(6)1=log( 40 5 37 5) log(6)1=log 3 5 log(6)1=log 6 10 2aforma:

log(10x)1=log(2x 37 5) Pasamos los logaritmos a un lado de la ecuación y el número al otro: log(10x)log(2x 37 5)=1 Aplicamos las propiedad del logaritmo de una diferencia logcalogcb=logc( a b): log( 10x 2x 37 5)=1 Y aplicamos la definición de logaritmo: 101= 10x 2x 37 5 Aplicamos el producto en cruz: 10(2x 37 5)=10x Resolviendo la ecuación resultante: 20x74=10x 21x=84 x= 84 21=4






Vamos a resolver esta ecuación, veamos que el 2 puede ser un pequeño inconveniente, pero vemos que 2=log100 sustituyendo tenemos: log(2x3)+log(3x2)=2log25log(2x3)+log(3x2)=log100log25 Ahora aplicamos la propiedad del logaritmo de la suma: log(2x3)(3x2)=log( 100 25) Igualando las expresiones sobre las que tomamos logaritmos logcA=logcBA=B: (2x3)(3x2)=4 Resolvemos la ecuación: 6x24x9x+6=46x213x+2=0 Resolvemos la ecuación de 2o grado: x= 13± (13)2462  26= 13± 16948  12= 13± 121  12= 13±11 12=2412=2212= 1 6 Comprobamos:
- x=2: log(223)+log(322)=2log25 log1+log4=2log25 log4=2log25log4=log100log25log4=log 100 25log4=log4 - x= 1 6: log(2 1 63)+log(3 1 62)=2log25 log( 1 33)+log( 1 22)=2log25 log( 8 3)+log( 3 2)=2log25 Salen logaritmos negativos y eso no puede ser ✗.






 log(16x2) log(3x4)=2 Vamos a resolver esta ecuacióneliminado denominadores multiplicando en cruz: log(16x2)=2log(3x4) Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia plogcA=logcAp: log(16x2)=log((3x4)2) Igualando las expresiones sobre las que tomamos logaritmos logcA=logcBA=B: 16x2=(3x4)2 Expandiendo y simplificando: 16x2=9x224x+16 Pasndo todo a la derecha de la ecuación: 0=10x224x Factorizando: 0=2x(5x12) Las soluciones son: x=0 o 5x12=05x=12x= 12 5

Comprobamos las soluciones:
- x=0:  log(1602) log(304)=2  log16 log(4)=2 Lo que no pueder ser ya que aparece el logaritmo de un número ngativo en el denominador ✗.

- x= 12 5:  log(16( 12 5)2) log(3 12 54)=2  log(16 144 25) log( 36 54)=2  log( 400 25 144 25) log( 36 5 20 5)=2  log( 256 25) log( 16 5)=2  log( 16 5)2 log( 16 5)=2 2( 16 5) log( 16 5)=22 log( 16 5) log( 16 5)=2 2 1=2






Aplicando la propiedad de logaritmo de potencia: 2log(x)=10 Dividiendo ambos lados por 2: log(x)=5 Aplicando la definición de logaritmo: x=105 La solución es: x=105= 1  100.000 






Aplicando la propiedad de logaritmo de potencia: logx2log(x6)=0 Pasamos el logaritmo que está restando al otro lado de la igualdad: logx2=log(x6) Igualando las expresiones sobre las que tomamos logaritmos logcA=logcBA=B: x2=x6 Resolvemos la ecuación: x2x+6=0x= 1± 12416  21= 1± 124  21= 1± 23  21 Es decir, el discriminante de la ecuación de 2o grado es negativo, es decir, no tiene solución, por tanto la ecuación logarítmica asociada tampoco tiene solución ✗.






log(x+1)=log(x1)+3 Pasamos log(x1) restando al otro lado de la ecuación: log(x+1)log(x1)=3 Aplicando la propiedad de logaritmo de cociente: log( x+1 x1)=3 Exponenciando ambos lados para eliminar el logaritmo:  x+1 x1=103 Simplificando: x+1x1=103 Multiplicando en cruz: x+1=1000(x1) REsolviendo la ecuación tenemos: x+1=1000x10001+1000=1000xx1001=999xx= 1.001 999 Comprobamos: log( 1.001 999+1)=log( 1.001 9991)+3 log( 1.001 999+ 999 999)=log( 1.001 999 999 999)+3 log 2.000 999=log 2 999+3 log2.000log999=log2log899+3 log1000+log2log999=log2log899+3 3+log2log999=log2log899+3





Ecuaciones exponenciales


Este tipo de ecuaciones son aquellas en las que la variable x está en el exponente. Puede ocurrir dos cosas:
  1. Que las bases sean diferentes, tomaremos logaritmos. Veamos un ejemplo muy sencillo:
  2. 3x=7log33x=log37x=log37
  3. Que las bases sean iguales, y diferentes de 0 y 1, es decir:
  4.   Si   a1,0ap(x)=as(x)p(x)=s(x)
  5. Otra opción que podemos manejar es hacer el cambio ax=t o ag(x)=t para convertirla en una ecuación polinómica.
Veamos algunos ejemplos.
 1 2x=16x(x1)22x=(24)x(x1)2x=2x(x1) x=2x22x2x2x=0x(2x1)=x1=0x2= 1 2. Comprobación:

Si x=01 20 =1601=1

Si x=1 2  entonces x(1x)2=12(112)2=12122=142=18

Así 212=(24)18212=212

Otro ejemplo: 32x3x1=3x+11 Aplicamos las propiedades de las potencias, reordenamos y tenemos:

32x3x333x1=0quitamosdenominadores  332x3x93x3=0 Hacemos el cambio de variable 3x=t y nos quedará:

(3x)2103x3=0(3x=t)3t210t+3=0 Hemos transformado una ecuación exponencial en una ecuación de segundo grado que todos sabemos resolver: t=10±(10)243323=10±100366=10±646=10±86=t1=326t2=13. Deshacemos el cambio y tenemos:

Si t=33x=3x=1

Si t=13=313x=31x=1

Vamos a comprobar:

Si x=1321=321

Si x=13232=3010=0


Como coincide la base y es distinta de 0 y de 1, igualamos los exponentes:
x1=2x+12=x Si x=2321=32(2)+133=33








Podemos poner todo en potencias de 2

2x+1=48x2x+1=22(2x)32x+1=22+3x Como coincide la base y es distinta de 0 y de 1, igualamos los exponentes:
x+1=2+3x1=2xx=12

Comprobación:

Si x=12212+1=4812212=482=4222=22








Como coincide la base y es distinta de 0 y de 1, igualamos los exponentes:
x+1=2x+32=3xx=23
Vamos a comprobarlo:

Si x=233(23)+1=32(23)+3353=353








Vamos a poner las potencias con la misma base:

124x+1=38x322(22)x+1=3(23)x22(22)x+1=(23)x(2)2x+4=(2)3x Hemos puesto la misma base vamos a igualar los exponentes y tenemos:

2x+4=3x4=x Vamos a comprobarlo:

Si x=41244+1=3841245=384346=3843212=3212








Vamos a poner las potencias con la misma base, ya que 256=28:

21x2=125621x2=28 Hemos puesto la misma base vamos a igualar los exponentes y tenemos:

1x2=8x2=9x=±3 Vamos a comprobarlo:

Si x=321(3)2=125628=1256

Si x=+321(+3)2=125628=1256








Aplicamos las propiedades de las potencias anm=anam y ap+q=apaq:
3x1+3x+3x+1=1333x3+3x+33x=133 Multiplicamos por 3 para quitar denominadores:

3x+33x+93x=13133x=133x=1x=0 Comprobación:

Si x=031+30+31=13+4=1+123=133








Aplicamos las propiedades de las potencias anm=anam y ap+q=apaq:
3x1+3x+3x+1+3x+2=1203x3+3x+33x+93x=120 Multiplicamos por 3 para quitar denominadores:

3x+33x+93x+273x=360403x=3603x=9x=2 Comprobación:

Si x=232+31+34+33=9+3+81+27=120








Aplicamos las propiedades de las potencias anm=anam y ap+q=apaq:
2x1+2x+2x+1+2x+2+2x+3=3142x2+2x+22x+42x+82x=314 Multiplicamos por 4 para quitar denominadores:

22x+42x+82x+162x+322x=31622x=312x=12x=1 Comprobación:

Si x=122+21+20+21+22=14+12+7=1+2+284=314








Aplicamos las propiedades de las potencias ap+q=apaq y (as)t=ast:
9x23x+2+81=0(3x)22323x+81=0(3x)2183x+81=0 Hacemos el cambio t=3x y nos queda una ecuación de 2 grado que se resuelve fácilmente:

t218t+81=0(t9)2=0t=93x=9x=2 Comprobación:

Si x=292232+2+81=81281+81=0








Aplicamos la propiedad de las potencias (as)t=ast:
3x29x+15=03x2(3x)2+15=02(3x)23x15=0 Hacemos el cambio 3x=t y tenemos una ecuación de 2 grado que se resuelve fácilmente:
2t2t15=02(t2t2152)=0 Se ve que t=3 es raíz y por tanto t=52 es también raíz.

Si t=523x=52 lo que no tiene sentido ✗

Si t=33x=3x=1.

Comprobación:

Si x=131291+15=318+15=0








Aplicamos las propiedades de las potencias anm=anam, ap+q=apaq y (as)t=ast:

5x+1=10+352x55x=10+3525x Simplificamos por 5 y quitamos denominadores 5x:

5x=2+355x(5x)225x15=0 Hacemos el cambio 5x=t y nos queda una ecuación de 2 grado que se resuelve fácilmente:
t22t15=0(t5)(t+3)=0 Si t=35x=3 lo que no puede ser ✗

Si t=55x=5x=1

Comprobación: Si x=151+1=10+352152=10+3525=10+15








Aplicamos las propiedades de las potencias ap+q=apaq y (as)t=ast:
4x=8+2x+1(2x)2=8+22x(2x)222x8=0 Hacemos el cambio 2x=t y nos queda una ecuación de 2 grado que se resuelve fácilmente:
t22t8=0(t4)(t+2)=0t=2 o t=4 Si t=22x=2 ✗ Lo que no puede ser.

Si t=42x=4x=2

Comprobación:

Si x=242=8+22+142=8+23=8+8








Vamos a dejar las x solas en el exponente:
2x+2x1+2x2=5x+5x1+5x22x+2x 2 +2x 22 =5x+5x 5 +5x 52  2x+2x 2 +2x 4 =5x+5x 5 +5x 25  Sacamos factor común a 2x en la izquierda de la igualdad y a 5x en la derecha de la igualdad:

2x(1+1 2 +1 4 )=5x(1+1 5 +1 25 ) 2x(4+2+1 4 )=5x(25+5+1 25 )2x(7 4 )=5x(31 25 ) Vamos a pasar las x a un lado de la ecuación y las no x al otro:

2x5x=431 725 (25)x=431 725  Tomamos logartimos decimales y nos queda: log(25)x=log(431 725 )xlog(25)=log(431 725 )x=log124log175log2log5
En este ejercicio no haremos la comprobación.






Iremos actualizando esta sección con los ejercicios que nos pidáis, para ello podéis mandar un correo a profesor.maties@gmail.com

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